Tuyển tập bài tập Hình học không gian trong đề thi Đại học và Cao đẳng qua các năm

Nội dung text: Tuyển tập bài tập Hình học không gian trong đề thi Đại học và Cao đẳng qua các năm

1. ĐỀ THI HAY NHẤT - HÌNH HỌC CÁC ĐỀ TỐT NGHIỆP CÁC ĐỀ ĐẠI HỌC TN – 2006 KHỐI A -2006 Cho hình chĩp SABC cĩ ABCD là hình vuơng canh a Hình trụ cĩ 2 đáy O và O’.bán kính = chiều cao = a , SA vuơng gĩc với đáy, SB = a 3 A thuộc đtrịn O, B thuộc đtrịn O’ và AB = 2a 1. Tính thể tích SABCD Tính thể tích tứ diện OO’AB 2. Chứng minh trung điểm SC là tâm mặt cầu KHỐI D -2006 ngoại tiếp SABCD Hình chĩp SABC, ABC là tam giác đều cạnh a, TN – 2007 SA = 2a , SA vuơng gĩc (ABC). Gọi M,N là hình Cho hình chĩp SABC , ABC là tam giác vuơng tại B. chiếu vuơng gĩc của A lên SB,SC SA vuơng gĩc với đáy. Biết SA = AB = CB =a Tính thể tích khối chĩp ABCNM Tính thể tích khối chĩp SABC KHỐI A1 -2007 DB TN - 2008 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cĩ AB = a, AC = 2a,  Cho hình chĩp tam giác đều SABC cĩ cạnh bằng a, o AA1 2a 5 và BAC 120 . Gọi M là trung điểm cạnh bên bằng 2a. Goi I là trung điểm của BC của cạnh CC . Chứng minh MBMA và tính khoảng 1. Chứng minh SA vuơng gĩc với BC 1 1 cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM). 2. Tính thể tích khối chĩp SABI theo a KHỐI A2 -2007 DB  Cho hình chĩp SABC cĩ gĩc SBC,ABC 60o , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a TN – 2008 lần 2 khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC). Cho hình chĩp SABC cĩ tam giác vuơng tại B, SA vuơng gĩc với (ABC) .Biết AB = a , BC = a3 và KHỐI B1 -2007 DB SA = 3a Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng 1. Tính thể tích SABC theo a tâm O, SA vuơng gĩc với hình chĩp. Cho AB = a, SA 2. Gọi I là trung điểm của SC, tính BI = a2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên TN – 2009 SB, SD. Chứng minh SC  (AHK) và tính thể tích Cho hình chĩp S.ABC cĩ mặt bên SBC là tam giác đều hình chĩp OAHK. cạnh a, cạnh bên SA KHỐI B2 -2007 DB vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Biết BAC = 1200 , Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường trịn đường kính tính thể tích của khối chĩp S.ABC theo a. AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường trịn đĩ sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuơng gĩc với (P) tại A  lấy điểm S sao cho SAB,SBC 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh AHK vuơng và tính VSABC? KHỐI D1 -2007 DB Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cĩ đáy ABC là tam giác vuơng AB AC a , AA1 = a2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuơng gĩc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính V . MA1BC1 KHỐI D2 -2007 DB Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cĩ tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM  B1C và tính d(BM, B1C).
2. CĐ 2008 Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thang, KHỐI B 2009 hai gĩc BAD = ABC = 90, AB = BC = a , AD = 2a , Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ BB’ = a, gĩc SA vuơng gĩc với đáy và SA = 2a , Gọi M,N lần lượt giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0; tam là trung điểm SA,SD giác ABC vuơng tại C và B· AC = 600. Hình chiếu vuơng 1. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật gĩc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm 2. và tính thể tích khối chĩp SBCNM theo a của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo KHỐI D 2008 a. Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ cĩ đáy là tam giác KHỐI D 2009 vuơng , AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a2 , gọi M là Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam trung điểm của BC . giác vuơng tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là 1. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và ABCA’B’C’ A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng 2. khoảng cách giữa AM , B’C cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). KHỐI B 2008 KHỐI A 2010 Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng Cho hình chĩp SABCD , cĩ đáy ABCD là hình cạnh 2a, SA = a, SB = a3 và ( SBC) vuơng gĩc với vuơng cạnh a, gọi M, N lần lượt là trung điểm của đáy . Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB, BC . AB,AD , H là giao điểm của CN, DM .Biết SH vuơng 1. tính theo a thể tích khối chĩp SBMDN và gĩc với (ABCD) và SH = a3 .Tính thể tích SCDNM 2. tính cosin của gĩc giữa SM, DN và khoảng cách giữa DM , SC KHỐI A 2008 KHỐI B 2010 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ cĩ độ dài cạnh bên 2a, đáy Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA”B”C” cĩ AB = ABC là tam giác vuơng tại A, AB = a, AC = a3 và a , gĩc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và ( ABC) bằng hình chiếu vuộng gĩc của A’ trên (ABC) là trung 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC . Tính thể điểm cạnh BC . tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu 1. Tính theo a thể tích của khối chĩp A’ABC và ngoại tiếp tứ diện GABC theo a 2. tính cosin của gĩc giữa AA’ , B’C’ KHỐI D 2010 KHỐI A 2009 Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABCD là hình vuơng Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang cạnh a , cạnh bên SA = a; hình chiếu vuơng gĩc của vuơng tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; gĩc giữa hai đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC , AH 0 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 . Gọi I là trung = AC/4 .Goi Cm là đường cao của tam giác SAC . điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) Chứng minh M là trung điểm SA và thể tích tứ diện cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a. SMBC theo a ĐÁP ÁN
3. Khoi d 2006 Khoi b 2006 Khoi a 2006
4. Khoi a1 db 2007 Cách khác: 2 2 2 2 + Ta cĩ A1M A1C1 C1M 9a BC2 AB2 AC2 2AB.AC.cos1200 7a2 BM2 BC2 CM2 12a2 2 2 2 2 2 2 A1B A1A AB 21a A1M MB MB vuơng gĩc với MA1 + Hình chĩp MABA1 và CABA1 cĩ chung đáy là tam giác ABA1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. 1 1 V V V AA .S a3 15 MABA1 CABA1 3 1 ABC 3 3V 6V a 5 d(a,(MBA )) 1 S MB.MA 3 MBA1 1 S Khoi a2 db 2007 N A C 60 M B
5. 2. Gọi M là trung điểm của BC. thì SM  BC,  AM  BC SMA SBC, ABC 60o a 3 Suy ra SMA đều cĩ cạnh bằng 2 1 Do đĩ S .SM.AM.sin60o SMA 2 1 3a2 3 3a2 3 . . 2 4 2 16 1 1 a2 3 a3 3 Ta cĩ V 2V 2. .BM.S .a. SABC SBAM 3 SAM 3 16 16 Gọi N là trung điểm của đoạn SA. Ta cĩ CN  SA a 13 CN (vì SCN vuơng tại N) 4 1 1 a 3 a 13 a2 39 S .AS.CN . . SCA 2 2 2 4 16 a3 3 1 1 a2 39 Ta cĩ V .S .d B, SAC . .d B, SAC SABC 16 3 SCA 3 16 3 3a d B,SAC a3 3 a2 39 13 Khoi b1 db 2007 +BC vuơng gĩc với (SAB) BC vuơng gĩc với AH mà AH vuơng với SB AH vuơng gĩc với (SBC) AH vuơng gĩc SC (1) + Tương tự AK vuơng gĩc SC (2) (1) và (2) SC vuơng gĩc với (AHK ) SB2 AB2 SA2 3a2 SB = a 3 a 6 2a 3 2a 3 AH.SB = SA.AB AH= SH= SK= 3 3 3 (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuơng tại A) HK SH 2a 2 Ta cĩ HK song song với BD nên HK . BD SB 3 Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta cĩ 4a2 2a AM2 AH2 HM2 AM= 9 3 1 1 a 2 1 2a3 V OA.S . HK.AM OAHK 3 AHK 3 2 2 27 Khoi b2 db 2007
6. * Chứng minh AHK vuơng Suy ra hình chiếu vuơng gĩc của SCB trên mặt Ta cĩ: AS  CB phẳng (SAB) là SIB AC  CB ( ACB nội tiếp 3 3 3 Vì BI AB . Suy ra SSIB SSAB .R.SA ( ) nửa đường trịn) 4 4 4 CB  (SAC) CB  AK 1 1 2 2 Ta cĩ: SSBC BC.SC R 3. SA R mà AK  SC AK  (SCB) 2 2 AK  HK AHK vuơng tại K Theo định lý về diện tích hình chiếu ta cĩ: * Tính V theo R 1 R 3 SABC S S .cos60o S SA2 R2 ( ) Kẻ CI  AB SIB SBC 2 SBC 4 Do giả thiết ta cĩ AC = R = OA = R Từ ( ), ( ) ta cĩ: SA OC AOC đều 2 R IA IO 1 R3 6 2 Từ đĩ VSABC SA.dt ABC 3 12 Ta cĩ SA  (ABC) nên (SAB)  (ABC) CI  (SAB) Khoi d 2007 Khoi b 2007
7. Khoi a 2007 Khoi cd 2008
8. Khoi d 2008 Khoi b 2008
9. Khoi a 2008
10. Khoi cd 2009 C/ Khoi d 2009 M AC 2 9a2 4a2 5a2 AC a 5 BC 2 5a2 a2 4a2 BC 2a H là hình chiếu của I xuống mặt ABC / Ta có IH  AC A I IA/ A/ M 1 IH 2 4a B IH IC AC 2 AA/ 3 3 C 1 1 1 4a 4a3 V S IH 2a a (đvtt) IABC 3 ABC 3 2 3 9 Tam giác A’BC vuông tại B H 1 2 A Nên SA’BC= a 52a a 5 2 2 2 2 Xét 2 tam giác A’BC và IBC, Đáy IC A/C S S a2 5 3 IBC 3 A/ BC 3 3V 4a3 3 2a 2a 5 Vậy d(A,IBC) IABC 3 2 SIBC 9 2a 5 5 5 Khoi b 2009 a BH 2 1 a 3a a 3 C N A BH= , BN 3 ; B ' H 2 BN 3 2 2 4 2 gọi CA= x, BA=2x, BC x 3 H CA2 BA2 BC 2 2BN 2 2 M 2 2 2 2 2 3a x 2 9a 3x 4x 2 x 4 2 52 3 a 3 B Ta cĩ: B ' H BB ' 2 2 Khoi a 2009 Từ giả thiết bài tốn ta suy ra SI thẳng gĩc với mặt phẳng ABCD, gọi J là trung điểm của BC; E là hình chiếu của I xuống BC. 2 2a a 3a IJ CH 1 3a 3a BC a 5 A N IJ SCIJ a , CJ= B 2 2 2 2 2 4 2 2 3a 2 1 1 3a 2 3a 6a 3a 3 SCIJ IE CJ IE SE ,SI , H 4 2 CJ 2 5 5 5 I J 1 1 3a 3 3a3 15 V a 2a2a 3 2 5 5 E D C
11. Khoi cd 2010 Khoi d 2010 Khoi b 2010
12. Khoi a 2010