Tuyển tập bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác trong các đề thi (Có đáp án chi tiết)

Nội dung text: Tuyển tập bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác trong các đề thi (Có đáp án chi tiết)

1. TUYỂN TẬP BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI CĨ ĐÁP ÁN CHI TIẾT Bài 1. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:) 1) sin33 xcos+=+− xsin xcos( x1sin x.cos)( x ) 2) sin33 xcos−=−+ xsin xcos( x1sin x.cos)( x ) Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 1) cossin12sin222 −=− 5) 2cos112sin22 −=− 2) 34sin4cos1−=− 22 6) sincotcostansincos +=+ 3) sin4 + cos 4 = 1 − 2sin 2 cos 2 7) cos4 − sin 4 = cos 2 − sin 2 4)sincossincossincos33 += 8) sincos12cos2sin14422 −=−=− Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau: 1 1cossin− xx 1) tanxx+= cot 6) = sinxx cos sin1cosxx+ 11 112 2) +=1 7) 11tan0−++= x 1++ tanxx 1 cot cosxcosx 1sin+ 2 x tanxy+ tan 3) =+12tan 2 x 8) tanxy tan = 1sin− 2 x cotxy+ cot 21 cosx 1 4) 1− cot4 x = − 9) tan x += sin24xx sin 1+ sinxx cos sinxx 1+ cos 2 5) += 1+ cosx sin x sin x LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122
2. ACB Bài 4. Cho tam giác ABC . Chứng minh đẳng thức sincos . 22 Bài 5. Chứng minh đẳng thức sau: sincos12cos442xxx−=− . Bài 6. Chứng minh đẳng thức: sin1sincos1cos5424222xxxxxx( +++++=) 404sin.cos2022( ) ( ) . 2222 3 Bài 7. Chứng minh đẳng thức: sinsin2sinsin xxxx+++=−+−+ ( ) . 424 s i n t a n+ Bài 8. Chứng minh rằng với mọi gĩc làm cho biểu thức cĩ nghĩa, biểu thức đĩ khơng c o s c o+ t thể là một số âm. 1 Bài 9. a) Chứng minh: sin.cos.cos2.cos4sin8xxxxx = . 8 35 b) Áp dụng tính: A = sin 6.sin0000 42.sin 66.sin 78 , B = cos.cos.cos . 777 311 Bài 10. a) Chứng minh: sincos2cos44 xxx=−+ . 828 357 b) Áp dụng tính: S =sin4 + sin 4 + sin 4 + sin 4 . 16 16 16 16 1cos2− x Bài 11. a) Chứng minh: tan x = . sin2x 35 b) Áp dụng tính: S =++tantantan222 . 121212 Bài 12. Chứng minh các cơng thức sau sin 1+ cos 2 tansin22 − a) += b) = tan6 1+ cos sin sin cotcos22 − 1 c) = sin.cos d) sintan4sintan3cos322222 +−+= tancot + 1tana− 2 e) =− cos44 asina f) tan2a−= sin 2 a tan 2 a .sin 2 a 1tana+ 2 Bài 13. Chứng minh: a) sin3x .sin3 x+= cos3 x .cos 3 x cos 3 2 x 1+− cos1xx cos b) −= 2cot0xx 1−+ cos1xx cos2 Bài 14. Chứng minh các cơng thức sau sin2 sin + cos 1−+ cos 1 cos 2 a) − =sin + cos b) += sin −− cos tan2 1 1+− cos 1 cos sin Bài 15. Chứng minh các đẳng thức sau: LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122
3. sincoscos224xxx−+ 1) = tan4 x 6) (tan2tan)(sin2tan)tanxxxxx−−= 2 cossinsin224xxx−+ 62cos4+ x 1cos1cos4cot+−xxx 2) tancot22xx+= 7) −= 1cos4− x 1cos1cossin−+xxx sincos22xx 3) 1sin.cos−−= xx 8) cosx+ cos(12000 − x ) + cos(120 + x ) = 0 1cot1tan++xx xx3 2 cos2cosxx−+ 22 4 cotcot − 4) = tan x 9) 22= 8 22xx 3 2sin2 sin+−xx cos.cos.1cotx + 4 22 6 6 1 2 44 5) cosx− sin x = cos2 x 1 − sin 2 x 10) cosx− sin x + sin2 x = 2 cos 2 x − 4 4 Bài 16. Chứng minh các biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x: a) 3(sin4x+ cos 4 x ) − 2(sin 6 x + cos 6 x ) b) cos2sincos3sincossin642244xxxxxx+++ 3 c) cos.coscos.cos xxxx−++++ 3464 22 d) coscoscos222xxx+++− 33 1 Bài 17. a) Chứng minh: cotcot −= 2 . sin2 1111 b) Chứng minh: +++=− cotcot16xx. sin2sin4sin8sin16xxxx 1 c) cos.cosx − x .cos + x = .cos3 x 3 3 4 d) sin52sin(cos4cos2xxxxx−+= )sin Bài 18. a) Chứng minh: tancot2cot =− 2 . 1x 1 x 1 x 1 x b) Chứng minh: tan+ tan + + tan = cot − cot x . 22222 2 2n 2 n 2 n 2 n 111 Bài 19. a) Chứng minh: =−. 4cossin222xxx 24sin 11111 b) Chứng minh: ++ +=− . xxxx 2 4cos422 cos4 222 cos4 sin nnsin x 2 2222 nn 1 Bài 20. a) Chứng minh: sin3 x=− (3sin x sin3 x ). 4 3x 3 xnn− 1 3 x1 x b) Chứng minh: sin+ 3sin + + 3 sin = 3 sin − sin x . 3432 3nn 3 LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122
4. 1tan2 Bài 21. a) Chứng minh: 1+=. cos2tan 111tan 2 n x b) Chứng minh: 11 1+++= . cos 2cosxxxx 2cos 2tan2 n sin2 Bài 22. a) Chứng minh: cos = . 2sin xxxx sin b) Chứng minh: cos.cos cos = . 2 2 n x 222sinn 2n Bài 23. Chứng minh rằng: 21n a) Q ==cos.cos cos 212121nnn+++ 2n 2421 n b) R ==cos.cos − cos n 212121nnn+++ 2 Bài 24. Chứng minh các hệ thức sau: 31 53 1) sincoscos444xxx+=+ 2) sincoscos466xxx+=+ 44 88 1 xx1 3) sin.coscos.sinsin4xxxxx33−= 4) sin6− cos 6 = cosxx (sin 2 − 4) 4 2 2 4 2 2 x 1− 2sin x 5) 1sin2sin−=− x 6) = 1 42 2cot +−xx .cos2 44 1cos++ x x 2 1+ sin2x 7) tan.1 += 8) tan +=x 42 4 cos2x sin + x 2 cos xx tan2tan22xx− 9) =−cot 10) tan.tan3xx= 1sin42− x 1tan.tan2− 22xx 2 11) tanx=− cot x 2cot 2 x 12) cotxx+= tan sin2x 1 1 1 1 1 1 x 13) + + +cosx = cos , với 0 x . 2 2 2 2 2 2 8 2 Bài 25. Chứng minh các biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x Axxxxx=−++2cossinsin44222 .cos3sin B=(tan x + cot x ) 22 − (cot x − tan x ) C=sin2 x .tan 2 x + 2sin 2 x − tan 2 x + cos 2 x Bài 26. Chứng minh: LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122
5. a) 4cos.coscoscos3xxxx −+= b) 4sin.sinsinsin3xxxx −+= 33 33 Áp dụng tính: A = sin10.sin50.sin70ooo B = cos10.cos50.cos70ooo 000 C = sin20.sin40.sin80000 D = cos20.cos40.cos80 Bài 27. Chứng minh các đẳng thức sau: a) cosx+ sin x = 2 cos x − = 2 sin x + 44 b) cossin2xxxx−=+=− cos2 sin 44 c) sin()sin()sinsincoscosxyxyxyyx+−=−=− 2222 d) cos()cos()cossincossinxyxyxyyx+−=−=− 2222 Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a) sinsin2 +−−= sinxxx b) 4sin.sin4sin3 xxx+−=− 44 33 22 c) tanxxxxxx .tantan.tantan.tan3 ++++++= − 3333 32 d) cos.coscos.cos13 xxxx−++++=− 34644 ( ) Bài 29. Chứng minh các đẳng thức sau: cos()cotcot1abab−+ sin()sin()sin()abbcca−−− a) = b) ++= 0 cos()cotcot1abab+− coscoscoscoscoscosabbcca sin()sin()abab+− cos()cos()abab+− c) =−tantan22ab d) =−1tantan22ab coscos22ab coscos22ab Bài 30. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau : 1) 3( sin4466 xcos+−+= x2 sin) xcos( x1 ) 2) (sin acosacos−=−+−)2 a 1tan22 asin( a 1cot) a ( ) 3) tan2 a−= sin 2 a tan 2 a.sin 2 a 4) cot2222 acos−= acot a.cos a sin a 1+ cosa 2 5) += 1+ cosa sin a sin a Bài 31. 1 a) Chứng minh rằng: sin3 x=− (3sin x sin3 x ) (1) 4 a3 a 3 an− 1 3 a b) Thay x= vào(1), tính Sn = sin + 3sin + + 3 sin . 3nn3 32 3 LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122
6. Bài 32. s i n2a a) Chứng minh rằng: c o sa = . 2s i n a x x x b) Tính Pn = cos cos cos . 2 222 n Bài 33. 1 x a) Chứng minh rằng: =−cotcot x . sin2x 1 1 1 b) Tính Sk= + + + (2n−1 ) sin sin2 sin2n−1 Bài 34. a) Chứng minh rằng: tan.tan2tan22tan2 xxxx =−. 2212aaaaa n− b) Tính San =+++tan.tan2tan.tan 2tan.tan 2222221nn− Bài 35. Chứng minh các đẳng thức sau: 12sin21tan−+2 xx 2 a) cottan2tanxxxx−−= 24cot 4 b) = 1sin−− 41tanxx 2 13tan 2 x 1sin 2cos2 xx− c) −=+tan16 x d) tan 4x −= coscos62xx cos4sinxxx 2cos2 + e) tan 6tanxxxxxx−−= 4tan 2tan 2 .tan 4 .tan 6 sin7x f) =+++12cos22cos42cos6xxx sin x g) cos5xxxxxx .cos3sin7+= .sincos2 .cos4 Bài 36. Chứng minh rằng các biểu thức sau độc lập với a. cossin33aa+ 1) Aaa=+sin.cos cossinaa+ 2) B=2( sin6 a + cos 6 a) − 3( sin 4 a + cos 4 a) 3) Caaaaa=−+−+3(sincos88664 ) 4 cossin6sin( ) 4) Daaa=+−4(sincos)44 cos4 5) E=8( cos88 a − sin a) − cos 6 a − 7cos 2 a Bài 37. Chứng minh rằng: cot a.cot b 1 1) cot( a = b) cot b cot a 2) tan( a+ b) − tan a − tan b = tan a.tan b.tan( a + b) 2sin( a b) 3) = tan a tan b cos( a+ b) + cos( a − b) LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122
7. 4) sinabsinasinb2sin222( +−−=+) a.sin b.cosab ( ) Bài 38. Chứng minh rằng 1) sin3a3sin=− a4sina 3 2) cos34cos3cosaaa=−3 2 31 3) tancotxx+= 4) sincoscos444xxx+=+ sin 2x 44 Bài 39. Chứng minh rằng : 2t a na 1tana− 2 tan 2a 1) s i n 2 a = 2) cos 2a = 3) = cos4a 1 t+ a n a 2 1tana+ 2 tan 4atan− 2a Bài 40. Chứng minh rằng 1 a) sin.sin.sinsin3 −+= 334 b) sin52sincos4cos2sin −+= ( ) Bài 41. Chứng minh các hệ thức sau: a) sin().sin()sinsinxyxyxy+−=− 22 2sin()xy+ b) tantanxy+= cos()cos()xyxy++− c) (cos70cos50oooo++ )(cos230cos290 ) +++=(cos40cos160oooo )(cos320cos380 )0 tan2tan22xx− d) tan.tan3xx= 22 1tan2.tan− xx Bài 42. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) 2tantan()sinsinaab=+=+ khibaab .cos() b) 2tana= tan( a + b ) khi 3sin b = sin(2 a + b ) 1 c) tanabkhiabab .tancos()2cos()= −+=− 3 1− k d) tan(a+ b ).tan b = khi cos( a + 2 b ) = k cos a 1+ k Bài 43. Chứng minh rằng: a) Nếu cos()0ab+= thì sin(2aba+= )sin . b) Nếu sin(2a+= b ) 3sin b thì tan(a+= b ) 2tan a . Bài 44. 2tan()ab+ a) Cho sin(2a+= b ) 5sin b . Chứng minh: = 3 tana b) Cho tan(a+= b ) 3tan a. Chứng minh: sin(2a+ 2 b ) + sin2 a = 2sin2 b Bài 45. Chứng minh rằng: 1) cotx− tan x − 2tan 2 x − 4tan 4 x = 8cot8 x 2) tan3a− tan 2 a − tan a = tan3 a .tan 2 a .tan a LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122
8. 2 3) tancotxx+= sin x 4) cossin12sin442xxx−=− sin1cos2xx+ 5) += 1cossinsin+ xxx Bài 46. Chứng minh rằng: sin 4xx cos2 tan2x 1++ cot 2 x 1 tan 4 x 1) .= tan x 2) . = 1++ cos4xx 1 cos2 1++ tan2x cot 2 x tan 2 x cot 2 x s i n .cxx o t 1 3) =1 4) sintancos222xxx==− c o s x cos2 x Bài 47. Chứng minh: 1sin+ 2 a tansin22aa− 1) =+1tan 2 a 2) = tan6 a 1sin− 2 a cotcos22aa− 3) sin.22222 tan4sintan3cos3aaaaa +−+= Bài 48. Chứng minh rằng : sincos144aa sincos188aa 1) Nếu += thì += abab + ab33(ab+ )3 sin 4a 2) cos.sinsin.cos33aaaa −= 4 sin33 acos− asin 2a 3) =+1 sin acosa2− 112sin a− 2 4) tan 2a += cos2a1sin− 2a cosasin+− acosasin a 5) −=2tan 2a cosasin−+ acosasin a 11sin 2a 6) 1tan+++−= a1tan a 2 cosacosacos a sin 2a− 2sin a a 7) = tan2 sin 2aa+ 2sin 2 2 a 8) 1sin2sin−=− a 24 9) sin 3a=+− 4sin a.sin( 60a00 .sin) 60a( ) 10) cos3a=+− 4cosa.cos( 60a00 .cos) 60a( ) 11) tan 3a=+− tan a.tan( 60a00 .tan) 60a( ) Bài 49. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) 2tana= tan( a + b ) khi sin b = sin a . cos ( a + b ) b) 2tana= tan( a + b ) khi 3sin b = sin(2 a + b ) LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122
9. 1 c) tan.tancos()2cos()abkhiabab= −+=− 3 1− k d) tan().tancos(2)cosabbkhiabka+=+= 1+ k Bài 50. Chứng minh các đẳng thức sau: 1) sin.sinsin.sinsin.sin0abcbcacab( −+−+−=) ( ) ( ) 2) cos( ab+−++−++−= .sin) abcos( bc) .sinbccos( ) ac .sin( ca0) ( ) ( ) aa1 00 3) sin a2sin15.cos15−−+= 222 sinos33aca+ sinostan122acaa−− 4) =−1sincosaa 5) = sincosaa+ 12sincost++aa ana1 tantanab− 6) sinossinossincos446622acaacaaa+−−= 7) = tantanab cotcotba− 8) 2sincos13sincos( 6644aaaa++=+ ) ( ) 9) 3sincos2sincos1( 4466xxxx+−+= ) ( ) sin1cos2aa+ 10) tan2a−= sin 2 a tan 2 a .sin 2 a 11) += 1cossinsin+ aaa 1sin+ 2 a 12) caaaossin2cos1442 −=− 13) 12tan+=2 a ( nếu s i n 1a ) 1sin− 2 a sinos1cot22acaa−− 14) = 15) cotoscotcos2222acaaa−= 12sincos1cot++aaa t anasin a 16) tansintanasin2222aaa−= 17) −=cosa sincotaa 1sin+ 2 a caaossin22− 18) =+12tan 2 a 19) = sin.22a os ca 1sin− 2 a cottan22aa− Bài 51. Chứng minh biểu thức khơng phụ thuộc vào x. a) Acosaxcos=−+−−22( x2cosa.cos) x.cos ax ( ) ĐS: sin2 a b) Bcos=−+++ x2cosa.cos22 x.cos axcosax( ) ( ) ĐS: sin a2 Bài 52. Chứng minh các biểu thức lượng giác sau luơn luơn nhận giá trị khơng đổi, khơng phụ thuộc vào gĩc 2π2π 22 ππ a) cosa+++− cos acos a b) sin a+−−− sin asin a.sin a 33 33 Bài 53. Chứng minh các biểu thức sau khơng phụ thuộc vào gĩc 훼 a) 2cos44222α−++ sin α sin α.cos α 3sin α b) (tanα+ cotα)22 −( tanα − cotα) c) 3(sin4 α +cos4 α )-2(sin6 α +cos6 α ) d) (sin4 α +cos4 α -1).(tg2 α +cotg2 α +2) e) sin2α.cot 2 α−+ cos 2 α 1 f) sin4α−−− cos 4 α cos 2 α 3sin 2 α Bài 54. Chứng minh các biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x : LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122
10. a) A= cos4 x − sin 4 x + 2sin 2 x b) Bsinxsinx.cosxcosx=++ 4222 c) Ccosxsinx.cosxsinx=++ 4222 d) Dcosx2cosx3sinx2sinx3=−+−4242( ) ( ) e) Esinxcosx2sinxcosxsinx=+−−+66442 f) Fcosx.=+−+ 22222cotx5cosxcotx4sinx Bài 55. Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến x 2 ππ a) Asinxcosx.cosx=+−+ 33 222 ππ b) Bcosxcosxcosx=+−++ 33 222 2π2π c) Csinxsinxsinx=+−++ 33 222 2π2π d) Dcosxcosxcosx=+++− 33 Bài 56. Chứng minh các hệ thức sau: cos1sin + (sincos)(sincos) +−− 22 a) = b) = 4 1sincos− sin.cos 1tan−−αcosαsinα c) = d) tan2222αsin−= αtan α.sin α 1tan++αcosαsinα 22 22 sin αcos−− αsinαcosα 14sin− α.cos α 2 e) = f) =+(sinαcosα ) 12sin++α.cosαsinαcosα (sinαcosα− )2 cos224αsin−+ αsin α cosα.cotαsinα.tanα− g) = cot4α h) =+1sin α.cosα 224 11 sin αcos−+ αcos α − sinαcosα 12sin−−α.cosα1tanα k) = cos22αsinα1tanα−+ Bài 57. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin4x− cos 4 x = 1 − 2cos 2 x b) sin4x+ cos 4 x = 1 − 2cos 2 x .sin 2 x c) sin6x+ cos 6 x = 1 − 3sin 2 x .cos 2 x d) sincos1882244xxxxxx+= 4sin −+ .cos2sin .cos e) cot2x−= cos 2 x cos 2 x .cot 2 x f) tan2x−= sin 2 x tan 2 x .sin 2 x g) 1+ sinx + cos x + tan x = (1 + cos x )(1 + tan x ) LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122
11. h) sin.tancos.cot2sin.costancot22xxxxxxxx++=+ sincos12cosxxx+− i) = 1cossincos1−−+ xxx 1sin+ 2 x k) =+1tan 2 x 2 1sin− x Bài 58. Chứng minh các đẳng thức sau: tantanab+ sincos1cotaaa + 2 a) tan.tanab= b) −= cotcotab+ sincoscossinaaaa−−1cot− 2 a 22 sincosaa sinsincos2 aaa + c) 1sin.cos−−= aa d) −=+ sincosaa 1cot1tan++aa sincosaa− tan12 a − 1cos(1cos)+−aa 2 tan1cot1tan224aaa ++ e) 12cot−=a f) . = sin a sin2 a 1tancottancot++2222aaaa 2 1sin1sin+−aa tantansinsin2222abab−− g) −=4tan2 a h) = 1sin1sin−+aa tan.tansin.sin2222abab sintan22aa− tan1cot33aa i) = tan6 a k) −+=+ tancot33aa 22 22 coscotaa− sincosaasin.cosaa Bài 59. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: a) 3(sincos)2(sincos)4466xxxx+−+ ĐS: 1 b) 3(sincos)4(cos2sin)6sin88664xxxxx−+−+ ĐS: 1 c) (sincos1)(tancot2)4422xxxx+−++ ĐS: –2 d) cos.cot3coscot2sin22222xxxxx +−+ ĐS: 2 sin3cos144xx+− 2 e) ĐS: sincos3cos1664xxx++− 3 tancoscotsin2222xxxx−− f) + ĐS: 2 sincos22xx sincos166xx+− 3 g) ĐS: sincos144xx+− 2 LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122