›
›
›

Tuyển tập các bài hình học trong đề thi vào Lớp 10 TP. Hà Nội - Nguyễn Văn Vui

pdf 25 trang thaodu 9640
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập các bài hình học trong đề thi vào Lớp 10 TP. Hà Nội - Nguyễn Văn Vui", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftuyen_tap_cac_bai_hinh_hoc_trong_de_thi_vao_lop_10_tp_ha_noi.pdf

Nội dung text: Tuyển tập các bài hình học trong đề thi vào Lớp 10 TP. Hà Nội - Nguyễn Văn Vui

  1. 1 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TP.HÀ NỘI Bài 1: ( Hà Nội 2006 – 2007) Cho O đường kính A B R 2 ,C là trung điểm của OA, dây MN vuông góc với tại . Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM , H là giao điểm của AK và a) Chứng minh tứ giác B C H K là tứ giác nội tiếp. b) Tính A H A. K theo R c) Xác định vị trí của điểm để tổng K M K N K B đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. Hướng dẫn giải: M K H O A C B N a) Vì KO đường kính AB AKKB Suy ra:  AKB 90 Xét tứ giác BCHK:  HCK  HKB 90  90  180  Suy ra BHCK nội tiếp R b) Theo phương tích ta có: AH. AK AB . AC 2 R . R2 2 Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  2. 2 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. N I M B K c) Ta chứng minh tam giác B M N đều thật vậy: Ta có: 3 BMBNBC222 BARRR 23 2 BMBNR 3 R2 3 Lại có: MCOMOCRRMNMCR 222 23 42 Suy ra B M N đều. Khi đó ta luôn có: KM KB KN ( Chứng minh bằng cách dựng hình phụ như hình vẽ ) Suy ra: KM KB KNKNR242 KNR KMKBKNR 4 max Dấu “=” xảy ra khi KON,, thẳng hàng. Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  3. 3 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. Bài 2: ( Hà Nội 2007 – 2008 ) Cho OR; tiếp xúc với đường thẳng d tại A . Trên lấy điểm H không trùng với sao cho A H R . Qua kẻ đường thẳng vuông góc với , đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B . ( nằm giữa và ). a) Chứng mình ABE  EAH và ABH~ EAH b) Lấy điểm C trên sao cho là trung điểm của đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB tại K . Chứng minh tứ giác A H E K là tứ giác nội tiếp. c) Xác định vị trí của điểm để AB R 3 . Hướng dẫn giải: A H K E C I O B 1 a) Ta có  ABEEAH  sđ AE 2 Khi đó dễ dàng chứng minh: ( g.g ) b) Xét ACE có đường cao EH đồng thời là đường trung tuyến nên cân tại Khi đó ACE  CAE  ABE ACKABH~ (g.g) AKC 90  Xét tứ giác có: AHE  AKE 90  90  180  Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  4. 4 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. Suy ra A H E K nội tiếp. R 3 c) Từ C hạ CIABIAB . Khi đó I A I B 2 AI 3 AIOOAI: cos OA 2  OAI 30 Mà O A I A B H ( 2 góc so le trong ) ABR 3  ABHAH 30 22 R 3 Khi đó H là giao điểm của và d A; 2 Bài 3: ( Hà Nội 2008 – 2009 ) Cho O có đường kính AB 2 R và điểm E bất kì trên đường tròn ( khác AB, ). Đường phần giác AEB cắt cạnh AB tại F và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K a) Chứng minh rằng: KAFKEA~ b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn thẳng EF với OE , chứng minh rằng đường tròn tâm bán kính IE tiếp xúc với tại và tiếp xúc với đường thẳng tại . c) Chứng minh MNAB// , trong đó MN, lần lươt là giao điểm thứ hai của AE BE, với đường tròn I . d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi chuyển động trên đường tròn , với P là giao điểm của NF và AK ; Q là giao điểm của MF và BK . Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  5. 5 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. E M N I A F O B P Q K AK KB a) Do EK là phân giác AEB AEK  BEK  KAB 45  Khi đó dễ dàng chứng minh KAFKAE~ ( g.g ) b) Ta có 3 điểm E I,, O thẳng hàng mà OIOEIE suy ra I tiếp xúc với O tại E Ta có: IEIFIEFIFE    EFAFEBFBE   ( Tính chất góc ngoài ). EFA  FEB  FBE  FEI  IEB  FBE  FEIIEB 2. EFA IFE IFA  FEI  2. IEB IFE  2. FEI  IEB  2. FEB 2.45   90 Hay IF AB Suy ra tiếp xúc với AB tại F c) Ta có: IM IF IME cân tại I IEM  IME Lại do OE OA OAE cân tại O OAE  OEA Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  6. 6 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. EMI  EAO mà chúng ở vị trí đồng vị MN// AB . d) Ta chứng minh được tứ giác: KP F Q là hình chữ nhật KQ F P Mặt khác APF vuông cân tại P F P P A AB KQPAKQPKPAPKAKR 2 2 Lại có: PQKFOKR Suy ra: CVRKPQ 12 CVRKPQ min12 Dấu “=” xảy ra khi E là điểm chính giữa cung AB Bài 4: ( Hà Nội 2009 – 2010 ) Cho OR; và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến A B A, C với đường tròn ( BC, là các tiếp điểm ) a) Chứng minh tứ giác A B O C nội tiếp. b) Gọi EBCOA . Chứng minh rằng BEOA và OEOAR. 2 c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn lấy điểm K bất kì ( khác ) . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt theo thứ tự tại PQ, . Chứng minh rằng tam giác APQ có chu vi không đổi khi điểm chuyển động trên cung nhỏ . d) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đường thẳng theo thứ tự tại MN, . Chứng minh rằng: PMQNMN Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  7. 7 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. M B P K O E A Q C N a) Do A B A, C là các tiếp tuyến  ABOACO   90   ABOACO 180 Tứ giác A B O C nội tiếp b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: ABAC Lại có OAOB Suy ra OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC OBAC Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABO ta có: OE. OAOBR 22 c) Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có: PKPB QKQC; CVAPQ AP AQ PQ AP PB AQ QC AB AC ( không đổi ) d) Ta có AMN cân tại A AMN  ANM (1) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  8. 8 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. BOCBACBAC  180 Ta có:  POQ 90 222 BAC Lại có:  AOBBAO  9090 2 BACBAC  POQAOBAOQPOBAOQPOB      22  OQNPOM (2) Từ (1), (2) ta chứng minh được: POMOQN~ (g.g) PMOMMN 2 PM QNOM ONOM 2 ONQN 4 MN Ta có: PMQNPMQNMN 2.2. ( đccm ) 2 Bài 5: ( Hà Nội 2010 – 2011 ) Cho đường tròn O đường kính ABR 2 và điểm C thuộc đường tròn đó ( khác AB, ). Lấy điểm D thuộc dây BC ( khác BC, ). Tia AC cắt cung nhỏ tại điểm E , tia cắt BE tại F . a) Chứng minh F C D E là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: DADEDB DC c) Chứng minh  CFDOCB  . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác , chứng minh IC là tiếp tuyến của . d) Biết D F R . Chứng minh tgAFB 2 Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  9. 9 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. F I C E D A O B a) Vì CO đường kính AB    ACBFCD9090 Tương tự:  FED 90 Xét tứ giác F C D E có:   FCDFED 180 tứ giác nội tiếp. b) Dễ dàng chứng minh: ADCBDE~ ( g.g ) DA DC DA DE DB DC ( đccm ) DB DE c) Theo câu a) tứ giác nội tiếp nên: CFD  CED mà  OBCCED  ( Tứ giác ACEB nội tiếp O Lại do OCB cân tại O OCB  OBC Suy ra: CFD  OCB Xét tứ giác nội tiếp có: FCD  FED 90  Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  10. 10 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. tâm I là trung điểm của FD Khi đó: I C I D I F I C F cân tại  CFIICFOCB    OCIOCBICDICFICDFCD       90 Suy ra: I C O C mà CO IC là tiếp tuyến của O d) Chứng minh tương tự câu c) ta có: IE là tiếp tuyến của EDR Suy ra: IDIE 22 Mặt khác theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có IO là tia phân giác C I E CIE  CIOOIEAFB   2 CIR tan AFB OC 2 Bài 6: ( Hà Nội 2011 – 2012 ) Cho đường tròn đường kính ABR 2 . Gọi dd12, lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn tại AB, . Gọi là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn ( không trùng ). Đường thẳng d đi qua và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng lần lượt tại MN, . a) Chứng minh tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh  ENIEBI  và  MIN 90 c) Chứng minh: AMBNAIBI d) Gọi F là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm của . Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R khi 3 điểm EIF,, thẳng hàng. Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  11. 11 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. d2 N d1 E M O A I B F a) Vì d1 là tiếp tuyến của O tại A nên d1  BA  MAI 90  Lại có: MNEIMEI   90 Xét tứ giác A M E I ta có:   MAIMEI 90 Suy ra tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh tương tự ta có tứ giác: M N E I nội tiếp. Khi đó:  ENIEBI  Ta có: EMI  EAI EMI  ENI  EAI  EBI 90  Suy ra:  MIN 90 c) Ta có: AIM  BNI 90   BIN Suy ra: AMI~ BIN ( g.g ) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  12. 12 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. AMAI AMBNAIBI BIBN d) Khi EIF,, thẳng hàng Vì F là điểm chính giữa cung AB EF là phân giác AEB AEI  BEI 45  RR Ta có:  AEIAMIAMI   45 vuông cân tại A MI AI 22 2 2 33R Tương tự: NIIBR 2.2 2 2 1133 RRR 2 Suy ra: SMINI MIN 224 22 Bài 7: ( Hà Nội 2012 – 2013 ) Cho đường tròn OR; đường kính . Bán kính OC vuông góc với , M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC , ( khác AC, ). BMACH  . K là hình chiếu của H trên . a) Chứng minh tứ giác C B K H nội tiếp. b) Chứng minh  ACMACK  c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho AMBE . Chứng minh tam giác ECM vuông cân tại C d) Gọi d là tiếp tuyến của O tại A . Gọi là một điểm nằm trên sao cho hai điểm PC, APMB. nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng và R . Chứng minh rằng MA PB đi qua trung điểm của HK . Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  13. 13 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. d C I M H P N E A O B K a) Vì CO đường kính AB  ACB 90 Lại có: HKABHKB   90 Xét tứ giác B C H K : HKB  HCB 180  Suy ra tứ giác nội tiếp. b) Theo câu a) nội tiếp  ACKABM  mà A B C M nội tiếp O ABM  ACM Suy ra:  ACMACK  c) Vì C là điểm chính giữa cung nên ACAB Lại có: MAC  EBC; MA EB Khi đó ta có: MACEBC c g c Suy ra: CM CE (1) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  14. 14 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. Mặt khác: MCE  ECB mà HCE  ECB  90 HCE  MCA  MCE  90 (2) Từ (1),(2) ta có MC E vuông cân tại C AP. MBAPROB d) Theo giả thiết: R MAMAMBMB Mặt khác: P M A M B O ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ) APMBOMcgc~ APM cân tại P P A P M Gọi I M  B d ta có: APM vuông tại M P, A I mà P M P A Suy ra là trung điểm AI Lại do: A I H// K A B  Suy ra BP cũng đi qua trung điểm của HK ( Hệ quả của đinh lí Ta – lét ) Bài 8: ( Hà Nội 2013 – 2014 ) Cho đường tròn O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AMAN, với đường tròn ( MN, là các tiếp điểm ). Một đường thẳng d đi qua cắt đường tròn tại hai điểm BC, ( ABAC , không đi qua O ) a) Chứng minh tứ giác A M O N nội tiếp. b) Chứng minh rẳng: ANABAC2 . . Tính độ dài đoạn BC khi ABAN 4;6 c) Gọi I là trung điểm của . Đường thẳng NI cắt đường tròn tại điểm thứ hai T . Chứng minh rằng MTAC// . d) Hai tiếp tuyến của tại cắt nhau tại K . Chứng minh rằng thuộc đường thẳng cố định khi đường thẳng thay đổi thỏa mãn đề bài. Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  15. 15 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. K T M C I B O A N a) Do AMAN, là tiếp tuyến của O  AMANO  O90 Xét tứ giác A M O N :   AMOANO 180 AMON nội tiếp ABAN b) Dễ dàng chứng minh: ABNANC~ ( g.g ) AB. ACAN 2 ANAC c) Vì I là trung điểm của BC OI  BC  AIO 90  1 Khi đó tứ giác AION nội tiếp  AINAONMON   2 1 Mặt khác: MTN  MON 2 Suy ra: MTN  AIN ( mà chúng ở vị trí đồng vị ) MT// AC d) Dễ dàng chứng minh KIO,, thẳng hàng ( do cùng nằm trên đường trung trực của ) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  16. 16 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. Vì KB là tiếp tuyến của O  KBO  90 . Xét K B O vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OB22 OI. OK OM Khi đó: M I O K~ M O ( c.g.c )  KMOMIO (1) Mặt khác ta chứng minh được 5 điểm A, M , , , I O N cùng nằm trên một đường tròn. Suy ra:  MNONMOMIO    180 (2) Từ (1),(2) ta có:      NMOKMONMOKMO180180 Suy ra 3 điểm K M,, N thẳng hàng Do MN, cố định nên K luôn chuyển động trên một đường thẳng cố định. Bài 9: ( Hà Nội 2014 – 2015 ) Cho OR; đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường ( M khác AB, ). Tiếp tuyến của tại B cắt đường thẳng AMAN, lần lượt tại QP, . a) Chứng minh rằng A M B N là hình chữ nhật. b) Chứng minh 4 điểm MNPQ,,, cùng nằm trên một đường tròn. c) Gọi E là trung điểm của BQ . Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F . Chứng minh rằng là trung điểm BP và MENF// . d) Khi đường kính quay quanh và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính để tứ giác M NPQ có diện tích nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  17. 17 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. Q E M A O B F N P a) Do MO đường kính AB nên:  AMB 90 Tương tự:  ANBMAN   90 Suy ra: AMBN là hình chữ nhật. b) Do QB là tiếp tuyến của O QBAB Khi đó:  ABMAQBMBQ    90 Mặt khác là hình chữ nhật  ABMANM  Suy ra:  ANMMQB  tứ giác MNPQ nội tiếp, hay 4 điểm MNPQ,,, thuộc cùng một đường tròn. c) Xét ABQ có OE là đường trung bình OE// AQ Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  18. 18 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. OF OE mà OF// AP AP AQ Xét trong APB có O là trung điểm AB , O F A// P nên F là trung điểm BP Ta có E là trung điểm BQ MEEQEB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ) MEB cân tại E  MEB 180  2  EBM Tương tự:   NFBNBF1802. Suy ra:  NFBMEBNBFMBENBFMBE     1802180236023602.90180        Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía nên: ME N// F d) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác APQ ta có: 1112 APAQABAP222 AQ . 12 AP.8284 AQRSRSR222 4.RAP2 AQ APQAPQ Lại có: AMANR222 4 AM.2 ANR 2 22 22 22SRSRAMNAMN Ta có: 2 SRAPQ 4 SSSRRR 43222 2 MNPQAPQAMN SRAMN SR3 2 MNPQ min Dấu “=” xảy ra khi: AP AQ MNAB AM AN Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  19. 19 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. Bài 10: ( Hà Nội 2015 – 2016 ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO ( khác AO, ). Đường thẳng đi qua vuông góc với cắt nửa đường tròn tại K . Gọi M là điểm bất kì trên cung KB ( khác KB, ). Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM BM, lần lượt tại HD, . Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N . a) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh C AC B C H C D c) Chứng minh 3 điểm A,, D N thẳng hàng và tiếp tuyến tại của đường tròn đi qua trung điểm của đoạn thẳng DH . d) Khi di động trên cung . Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn giải: D E K ≡ I M N F A O B C Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  20. 20 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. a) Vì MO đường kính ABAMMBAMB    90 Xét tứ giác A C M D:  ACDAMB   90 Suy ra tứ giác nội tiếp. b) Tương tự ta có: BCHM cũng là tứ giá nội tiếp  ADCAMCCBH   ACDHCB~ ( g.g ) CA CD CACB CD CH ( đccm ) CH CB c) Vì NO đường kính A B A  N H B (1) Mặt khác xét: ABD có AHDBDHAB; H là trực tâm BHAD (2) Từ (1),(2) suy ra: A,, N D thẳng hàng. Giả sử NE là tiếp tuyến tại N của O E DH  ENO 90 mà  ANB 90  ENHANO  Do:  ANONAOCHBNHE    Suy ra:  ENHEHNENH  cân tại EENEH Khi đó dễ dàng chứng minh: EN ED Suy ra: E là trung điểm ND . d) Gọi F  MN AB Từ F dựng tiếp tuyến FI với Ta có:  MCN     MCH NCH   NAH MBHADB180 2 (3) Lại có: MON 180   NOA  MOB NOA 180  2  DAB NOA  MOB 360  2 180   ADB  2 ADB MOB 180  2  DBA Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  21. 21 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. Suy ra: MON 180  2  ADB (4) Từ (3),(4) ta có: M  O N M C N Suy ra: MO C N nội tiếp FNFMFCFO Lại có: FMFNFIFIFCF O 22 F I C F~ O I ( c.g.c )  FCIFIOICAB    90 Suy ra: IK Suy ra F là giao điểm của đường thẳng AB và tiếp tuyến của O tại K Bài 11: ( Hà Nội 2016 – 2017 ) Cho đường tròn và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( B là tiếp điểm ) và đường kính BC . Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( khác CO, ). Đường thẳng AI cắt đường tròn tại hai điểm DE, ( D nằm giữa AE, ). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE a) Chứng minh bốn điểm ABOH,,, cùng nằm trên một đường tròn. ABBD b) Chứng minh AEBE c) Đường thẳng d đi qua E và song song với AO , cắt tại . Chứng minh HKDC// d) Tia CD cắt tại P , tia EO cắt BP tại . Chứng minh tứ giác B E C F là hình chữ nhật. Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  22. 22 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. B F M O P A D I H E K C a) Vì H là trung điểm của DB OHDB hay Lại có AB là tiêó tuyến của O  ABO 90 Xét tứ giác ABOH: ABO  AHO 180  Suy ra tứ giác A B H O nội tiếp. b) Ta có:  ABDAED  ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ) Khi đó dễ dàng chứng minh: ABD~ AEB ( g.g ) AB BD AE BE c) Ta có: HKAOOAHHEK//   ( 2 góc so le trong ) mà OAH  HBO  HEK  HBO BHCE nội tiếp. IHK  IBE  IDC HK// DC ( 2 góc ở vị trí đồng vị ) d) Gọi M  HK AO Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  23. 23 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. OCROP Theo định lí Ta – lét ta có: (1) KCKCPM APADAD Lại có: (2) PMDHHE AP AD Dễ dàng chứng minh: APD~ EKH ( g.g ) (3) EK H E Từ (2), (3) ta có: P M E K ROPOB Suy ra: KCEKKC Lại có:  BOPAHBAHEBKEEKC      180180  Suy ra: P B O E~ C K  PBOECKPBOKCEOEC~   Suy ra tứ giác B E C F nội tiếp mà BECOFO,, Lại do: B C E, F là các đường kính nên là hình chữ nhật. Bài 12: ( Hà Nội 2017 – 2018 ) Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi MN, lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC . Hai dây ANCM, cắt nhau tại điểm I . Dây MN cắt các cạnh AB BC, lần lượt tại HK, . a) Chứng minh bốn điểm CNKI,,, cùng một đường tròn. b) Chứng minh: NB2 NK. NM c) Chứng minh B H I K là hình thoi. d) Gọi PQ, lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác M B K , tam giác M C K và E là trung điểm của đoạn thẳng PQ . Vẽ đường kính ND của đường tròn . Chứng minh 3 điểm DEK,, thẳng hàng. Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  24. 24 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. D A Q E M F H I O P J K B C N a) Do MN, là điểm chính giữa cung nhỏ AB BC, nên ta có: sđ MA = sđ MB ; sđ NB = sđ NC 1 1 ta có:  NIC sđ MA s đ NC ;  NKC sđ MBđ s NA 2 2 Suy ra: NKC NIC CNKI là tứ giác nội tiếp hay CNKI,,, thuộc cùng một đường tròn. b) Do sđ = sđ  BMNKBN  BNNK Dễ dàng chứng minh: BMN~ KBN ( g.g ) NBNK2 NM. NMNB c) Chứng minh tương tự câu a) ta có: AMHI là tứ giác nội tiếp. Khi đó ta có:  AHIAMI  mà AMI  ABI Suy ra: AHI  ABI mà chúng ở vị trí đồng vị HI// BK Tương tự ta có: IK// HB Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!
  25. 25 Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. Suy ra: B H I K là hình bình hành (1) Nhận thấy I là giao điểm 3 đường phân giác của ABC BI là phân giác ABC ABC  IBK 2 Gọi J  BI HK 1 1 ACBABC Lại có:  BKJ sđ BMsđ CN 222 2  ABCACBBAC   180 Xét BJ K có:  IBKBKP   90 22 Suy ra: vuông tại J hay HK BI (2) Từ (1), (2) suy ra tứ giác là hình thoi. d) Ta có N là điểm chính giữa BC  BMNNBC  Khi đó xét P ta có PB là tiếp tuyến PPBBN  Mặt khác xét O có ND là đường kính nên BDBN Ta có: BDBN BPD,, thẳng hàng. BPBN Chứng minh tương tự ta có: C Q,, D thẳng hàng Ta có: BHKCKQ ; là các tam giác cân tại PQ, Mặt khác:  HBKQCK  do BDC cân tại C Suy ra: HKB  QCK ( mà 2 góc này ở vị trí so le trong ) HK// DQ Tương tự: QK// HD Suy ra: DHKQ là hình bình hành. Do E là trung điểm HQ nên DEK,, thẳng hàng. Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!