Tuyển tập các chủ đề trong các đề học sinh giỏi môn Toán năm 2017-2018-2019 - Vũ Ngọc Thành

237 trang thaodu 10650

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập các chủ đề trong các đề học sinh giỏi môn Toán năm 2017-2018-2019 - Vũ Ngọc Thành", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_cac_chu_de_trong_cac_de_hoc_sinh_gioi_mon_toan_nam.pdf

Nội dung text: Tuyển tập các chủ đề trong các đề học sinh giỏi môn Toán năm 2017-2018-2019 - Vũ Ngọc Thành

Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] TUYỂN TẬP CÁC CHỦ ĐỀ TRONG CÁC ĐỀ HSG NĂM 2017-2018- 2019 • Mã id trong câu hỏi dùng để truy cập lời giải • Ví dụ trên trang web • Gõ từ khóa là : [id50] sẽ tìm được lời giải câu hỏi gắn mã [id50] Mục lục Chủ đề 1. Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Chủ đề 2. Hệ Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chủ đề 3. Bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chủ đề 4. Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chủ đề 5. Hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Chủ đề 6. Tọa độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Chủ đề 7. Lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Chủ đề 8. Bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Chủ đề 9. Nhị thức Niuton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Chủ đề 10. Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Chủ đề 11. Dãy số- giới hạn-hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Chủ đề 12. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Chủ đề 13. Mũ- logarit và các bài toán liên quan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Chủ đề 14. Nguyên hàm-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Chủ đề 15. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Chủ đề 16. Hình học không gian thuần túy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Chủ đề 17. Tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Chủ đề 18. Số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 4/2/2020 bản Vàng Pheo Phong Thổ Lai Châu Vũ Ngọc Thành 0367884554 1
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] | Chủ đề 1. Phương trình Câu 1. [id2044](HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Giải phương trình: √ (x2 − x − 2) x − 1 = 0 Câu 2. [id2045](HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Giải phương trình: √ √ 3x + 3 − 5 − 2x − x3 + 3x2 + 10x − 26 = 0 Câu 3. [id2046](HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Phương trình √ x3 + 1 = 2 3 2x − 1 có ba nghiệm phân biệt. Tính tổng các nghiệm đó. √ A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. −1 + 5 . Câu 4. [id2047](HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Giải phương trình √ √ 2 2 log3 x − x + 1 + log1 (1 − 2x) + 2x = 1 − x − x + 1 3 Câu 5. [id2048](HSG12Hà Nam 2018-2019) Cho phương trình sau với m là tham số thực "r # √ x2 − 2x 1 x2 − 2x log2 x2 − 2x + 2011 + 1 = m log (x2 − 2x + 2011) − . 2019 8 2019 4 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn 1 ≤ |x − 1| ≤ 3 . Câu 6. [id2049](HSG12 Hà Nam2018-2019) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:  √ p 2019x+y = x2 + 1 + x y2 + 1 + y (1)  √ 18y2  25x2 + 9x 9x2 − 4 = 2 + (2)  y2 + 1 Câu 7. [id2050](HSG12Bắc Ninh 2018 – 2019)Cho các hàm số f0 (x) , f1 (x) , f2 (x) , thỏa mãn: f0 (x) = ln x + |ln x − 2019| − |ln x + 2019| , fn+1 (x) = |fn (x)| − 1, ∀n ∈ N. Số nghiệm của phương trình là A. 6063 . B. 6059 . C. 6057 . D. 6058 . Câu 8. [id2051](HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ (−8 ; +∞) để phương trình sau có nhiều hơn hai nghiệm phân biệt? x2 + x (x − 1) 2x+m + m = 2x2 − x + m .2x−x2 . A. 6 . B. 7 . C. 5 . D. 8 . Câu 9. [id2052](HSG12 Đồng Nai 2018-2019) Giải phương trình 8.25x −8.10x −15.22x+1 = 0 2
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 10. [id2053](HSG12 Hưng Yên 2018-2019) Giải phương trình √ !sin2x 5 + 5cos 2x = |x − 1| + |x + 5| . 3 Câu 11. [id2054](HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2−2x+1−2|x−m| 3 = logx2−2x+3 (2 |x − m| + 2) có đúng ba nghiệm phân biệt: A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Câu 12. [id2055](HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Giải phương trình √ 2x2 + 2x − 3 + 3 x2 + x + 1 = 0 Câu 13. [id2056](HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Cho phương trình √ √ 251+ 1−x2 − (m + 2) .51+ 1−x2 + 2m + 1 = 0 , với m là tham số. Giá trị nguyên dương lớn nhất của tham số m để phương trình có nghiệm là A. 5 . B. 26 . C. 25 . D. 6 . Câu 14. [id2057](HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 8x + 3x.4x + 3x2 + 1 2x = m3 − 1 x3 + (m − 1) x có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0; 10)? A. 101. B. 100. C. 102. D. 103. Câu 15. [id2058](HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Tìm m để phương trình − 2 (m + 1) 2x + 3m − 8 = 0 có hai nghiệm trái dấu. 8 8 A. −1 < m < 9 . B. m < . C. < m < 9 . D. m < 9 . 3 3 Câu 16. [id2059](HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Giải phương trình 4x+1 + 41−x = 2 2x+2 − 22−x + 8 Câu 17. [id2060](HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho phương trình 2 −|x−m| √ 2 −x +2x 9 .log 3 3 x − 2x + 3 + 3 .log1 (2 |x − m| + 2) = 0. 3 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có 3 nghiệm? A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . Câu 18. [id2061](HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải phương trình: √ √ √ x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x2 + 8x − 7 + 1. 3
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] √ Câu 19. [id2062](HSG12 Đồng Nai 2018-2019) Chứng minh rằng phương trình −x = 3 x2 − 6x + 3 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt x1, x2, x3 . Tính giá trị của biểu thức 3 2 3 2 3 2 T = x1 + x1 + 9 x2 + x2 + 9 x3 + x3 + 9 Câu 20. [id2063](HSG10 Nam Tiền Hải Thái Bình 2018-2019) √ 1. Tính tổng các nghiệm của phương trình: 3x2 + 15x + 2 x2 + 5x + 1 = 2. √ √ √ 2. Giải phương trình x + 3 − x + 1 x2 + x2 + 4x + 3 = 2x Câu 21. [id2064](HSG10 THuận Thành 2018-2019) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 − 3x + a = 0 ; x và x là hai nghiệm của phương trình x2 − 12x + b = 0 . Biết rằng x x x 3 4 2 = 3 = 4 . Tìm a và b x1 x2 x3 Câu 22. [id2065](HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm 2018-2019) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của 2 2 phương trình: x − 3x + a = 0 , x3 và x4 là hai nghiệm của phương trình: x − 12x + b = 0 . Biết rằng x1, x2, x3, x4 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm a, b Câu 23. [id2066](HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Giải phương trình √ x2 − 3x − 1 + 7 = 2x Câu 24. [id2067](HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Giải phương trình q (x − 2)3 + 2. (x − 1)3 = 3 x2 − 3x + 2 Câu 25. [id2068](HSG12 tỉnh GIA LAI 2018-2019) √ 1. Giải các phương trình trên tập hợp các số thực: x4 − 6x3 + 6x2 + 9x = 2 x2 − 3x x 2. Giải các phương trình trên tập hợp các số thực: 7 − 6log7 (6x + 1) − 1 = 0 Câu 26. [id2069](HSG12 Quảng Bình 2018-2019) Giải phương trình sau trên tập số thực R : √ √ x3 − 7x2 + 9x + 12 = (x − 3) x − 2 + 5 x − 3 x − 3 − 1 Câu 27. [id2070](HSG12 Thái Nguyên năm 2018-2019) Giải phương trình √ √ x3 − 7x2 + 9x + 12 = (x − 3) x − 2 + 5 x − 3 x − 3 − 1 Câu 28. [id2071](HSG10 HÀ NAM 2018-2019)Giải phương trình √ (x + 1) 6x2 − 6x + 25 = 23x − 13 Câu 29. [id2072](HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Chứng minh rằng phương trình 4x5 + 2018x + 2019 = 0 có duy nhất một nghiệm thực 4
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 30. [id2073](HSG12 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Giải phương trình √ √ x2 1 − x + 1 + x = 2 − 4 Câu 31. [id2074](HSG12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Giải phương trình √ √ 2x + 3 + (x + 1) x2 + 6 + (x + 2) x2 + 2x + 9 = 0 (x ∈ R) Câu 32. [id2075](HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội2018-2019)Giải phương trình √ 4x2 + 12x x + 1 = 27 (x + 1) Câu 33. [id2076](HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Giải phương trình √ √ √ 3x + 1 + 4x − 3 = 5x + 4 Câu 34. [id2077](HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0; 1] . Chứng minh phương trình f(x) + [f(1) − f(0)] x = f(1) có ít nhất một nghiệm thuộc [0; 1] Câu 35. [id2078](HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019) Tìm m để phương trình mx2 − 2 (m − 2) x + 2m − 7 = 0 4 ( m là tham số) có hai nghiệm x , x thỏa mãn: |x − x | = 2 1 2 3 Câu 36. [id2079](HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm 2018-2019)Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: √ √ √ √ √ m 1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 Câu 37. [id2080](HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Cho phương trình x2 + ax + 12 + a x2 + ax + 1 + 1 = 0, với a là tham số. Biết rằng phương trình có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng a > 2 Câu 38. [id2081](HSG11 Bắc Ninh 2018-2019) Cho tam thức f (x) = x2 +bx+c . Chứng minh rằng nếu phương trình f (x) = x có hai nghiệm phân biệt và b2 − 2b − 3 > 4c thì phương trình f [f (x)] = x có bốn nghiệm phân biệt Câu 39. [id2082](HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Cho phương trình (m + 2) px (x2 + 1) − x2 + (m − 6) x − 1 = 0 (1) . Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thực 5
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 40. [id2083](HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Cho đa thức f (x) = x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 có nghiệm thực. Chứng minh rằng a2 + b2 − 4b + 1 > 0 Câu 41. [id2084](HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Tất cả các giá trị của tham số m 4 2 π π để phương trình tan x − = m có 6 nghiệm phân biệt thuộc − ; là cos2x 2 2 A. m = 3 . B. 2 0 6
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 49. [id2092](HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m (m ∈ R) để phương trình: x4 − (3m + 1) x2 + 6m − 2 = 0 có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn −4 Câu 50. [id2093](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) . Giả sử phương trình bậc hai 2 3 2 ẩn x ( m là tham số): x − 2 (m − 1) x − m + (m + 1) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 ≤ 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 3 3 P = x1 + x2 + x1x2 (3x1 + 3x2 + 8) Câu 51. [id2094](HSG11 Phú Yên 2018-2019) Cho bốn số thực p, q, m, n thỏa mãn hệ thức (q − n)2 + (p − m)(pn − qm) < 0(1). Chứng minh rằng 2 phương trình x2 + px + q = 0 (2) và x2 + mx + n = 0 (3) đều có các nghiệm phân biệt và các nghiệm của chúng nằm xen kẽ nhau khi biểu diễn trên trục số Câu 52. [id2095](HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh 2019) Cho hàm số đa thức bậc ba y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Với m là tham số thực 3 bất kì thuộc đoạn [0; 2] , phương trình f x3 − 2x2 + 2019x = m2 − 2m + có 2 bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. Câu 53. [id2096](HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội 2018-2019) Cho phương trình x4 − 2 (m + 2) x2 + 2m + 3 = 0 ( m là tham số). Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 4 4 4 4 thỏa mãn x1 + x2 + x3 + x4 = 52 Câu 54. [id2097] phương trình √ √ 3x − 4 − x + 2 = x − 3 Câu 55. [id2098](HSG cấp Hà Tĩnh 2012-2013) Giải các phương trình sau: √ √ x − 1 + x + 7 + x2 − 3x − 2 = 0 Câu 56. [id2099](HSG Lớp 10 – SGD Hà Tĩnh - 2016 - 2017) Giải phương trình √ √ 6x − 2 x + 1 − 2 − 2x = √ 9x2 + 4 Câu 57. [id2100](HSG CẤP - THANH HÓA- 2017-2018) Giải bất phương trình √ √ 4x2 + 5x + 1 + 2 x2 + x + 1 ≥ x + 3 (1). 7
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 58. [id2101](HSG Khối 10 - Hải Dương - 2017 – 2018) Giải phương trình √ √ √ x + 3 − x + 1 x2 + x2 + 4x + 3 = 2x Câu 59. [id2102]Giải phương trình √ √ √ ( x + 3 − x + 1)(x2 + x2 + 4x + 3) = 2x Câu 60. [id2103](HSG cấp trường lớp 11 – THPT Trần Phú – Thanh Hóa – 2012 - 2013) Giải phương trình sau: √ x2 + x + 2013 = 2013 √ Câu 61. [id2104]Giải phương trình: x2 + 8 = 3 x3 + 8 √ Câu 62. [id2105]Giải phường trình 2x2 − 5x − 7 + (x − 1) x + 1 = 0 Câu 63. [id2106](HSG10 OLYMPIC THÁNG 4 ĐỒNG NAI 2017-2018) Giải phương trình √ x2 + 8 = 3 x3 + 8 Câu 64. [id2107](HSG10 QUẢNG NAM 2016-2017) Giải phương trình √ 2x2 − 5x − 7 + (x − 1) x + 1 = 0 Câu 65. [id2108](THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – 2018) Giải phương trình: 3 4x3 − x + 33 − x3 = . Câu 66. [id2109](HSG cấp trường Yên Định 1 2017-2018) Giải phương trình: √ 5 1 5 x + √ = 2x + + 4. 2 x 2x Câu 67. [id2110](HSG trường THPT Nga Sơn-Thanh Hóa 2017-2018) Giải phương trình : √ x 8x2 − 36x + 53 = 25 + 3 3x − 5 Câu 68. [id2111](HSG 11 – HÀ NAM 2016-2017) Giải phương trình sau trên tập số thực: √ 8x3 − 4x − 1 = 3 6x + 1 Câu 69. [id2112](HSG11-NGHỆ AN- 2015-2016) Giải phương trình r √ 5x2 − 2 3 x3 + 5x2 − 1 = 6 8
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] √ 1 + x3 2 Câu 70. [id2113](HSG cấp Hà Nam) Giải phương trình = x2 + 2 5 √ 1 + x3 2 Câu 71. [id2114](HSG 11 – HÀ NAM 2009-2010) Giải phương trình = x2 + 2 5 Câu 72. [id2115](HSG10 THPT-PĐP 2017-2018) 2. Giải phương trình 2 13 6 + = 3x2 − 4x + 1 3x2 + 2x + 1 x Câu 73. [id2116]Tìm tất cả các nghiệm thuộc [0; 1] của phương trình 8x(2x2 − 1)(8x4 − 8x2 + 1) = 1 (1) Câu 74. [id2117]Trên đoạn [0; 1] , phương trình 8x(1 − 2x2)(8x4 − 8x2 + 1) = 1 có bao nhiêu nghiệm? √ √ Câu 75. [id2118]Giải phương trình 3 3 2x − 1 − 4 5 − x + 5 = 0 Câu 76. [id2119](HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Giải hệ phương trình √ ( 2 − x = 2y+2 √ p 4 1 + x + xy 4 + y2 = 0. Câu 77. [id2120](HSG cấp trường Cao Bá Quát 2009-2010) Chứng minh rằng phương trình √ √ √ 4 − x + 4 − 2x + 4 − 3x = 6 có đúng một nghiệm Câu 78. [id2121]HSG LỚP 12 - SỞ BẮC GIANG- 2016-2017) Giải phương trình √ √ √ √ 3 x + 3 + 3 x + 2 = 3 2x2 + 4x + 3 + 3 2x2 + 4x + 2 , (x ∈ R) Câu 79. [id2122](HSG10OLYMPIC THÁNG 4 ĐỒNG NAI 2017-2018) Ở một công ty có 10 xe đưa rước nhân viên xuất phát từ cùng một bến để đi đến công ty. Mỗi tài xế có hai lựa chọn là : 1. Đi quốc lộ không ngại kẹt xe nhưng phải đi vòng, thời gian tốn là 40 phút. 2. Đi nội thành, đường ngắn hơn và chỉ mất 15 phút nếu một xe chạy, nhưng do đường nhỏ nên nếu có thêm một xe nữa cùng chạy ( chỉ xét xe của công ty này) thì thời gian di chuyển của các xe sẽ cùng tăng 5 phút, cứ như thế, thời gian sẽ tăng tỉ lệ thuận với số xe tăng thêm. Hỏi các tài xế phải thảo luận và chọn ra bao nhiêu xe đi trong nội thành để tổng thời gian các xe di chuyển là ít nhất ? Câu 80. [id2123](HSG10 ĐỒNG NAI 2013-2014) Giải phương trình √ √ x2 + x + 2 + x2 − x + 2 = 2x + 1( với x ∈ R) 9
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 81. [id2124](HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Giải phương trình : s x3 + 1 √ √ √ + x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3 x + 3 Câu 82. [id2125](HSG11 Cao Bằng 2011 - 2012)Giải phương trình r √ √ √ √ 3 + 4 6 − 16 3 − 8 2 x = 4x − 3 Câu 83. [id2126](HSG Dương Xá – Hà Nội) Cho phương trình: x3 − 4x + 1 = 0 (4) 1. Chứng minh rằng phương trình (4) có đúng 3 nghiệm phân biệt. 8 8 8 2. Giả sử x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình trên. Tính x1 + x2 + x3 Câu 84. [id2127](HSG Cao Bằng 2017-2018) Giải phương trình √ √ √ x + x + 1 − x2 + x = 1 Câu 85. [id2128](HSG Thừa Thiên Huế 2017-2018) Giải phương trình sau √ 5 1 + 1 + x3 = x2 4x2 − 25x + 18 , ∀x ≥ 0 Câu 86. [id2129](CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Giải hệ phương trình ( √ p4x2 + (4x − 9) (x − y) + xy = 3y 4p(x + 2) (y + 2x) = 3 (x + 3) Câu 87. [id2130](HSG cấp Thừa Thiên Huế 2017-2018) Giải phương trình sau: √ 5 1 + 1 + x3 = x2 4x2 − 25x + 18 , ∀x ≥ 0 Câu 88. [id2131](HSG Quảng Nam 2016 2017) Giải phương trình √ 2x2 − 5x − 7 + (x − 1) x + 1 = 0 Câu 89. [id2132](CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Giải phương trình r 5 2x2 − (x2 + x − 5). x − = 10 − 2x x Câu 90. [id2133](HSG cấp Hà Nội 2016-2017) Giải phương trình q x3 − 3x2 + 2 (x + 2)3 − 6x = 0 10
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 91. [id2134](HSG cấp Long An 2016-2017) Giải phương trình sau trên tập số thực: √ 2(x2 − 3x + 2) = 3 x3 + 8 Câu 92. [id2135]Giải phương trình q x3 − 3x2 + 2 (x + 2)3 − 6x = 0 (1) Câu 93. [id2136](HSG12 Hà Nội – 2017-2018) Giải phương trình q x3 − 3x2 + 2 (x + 2)3 − 6x = 0 (1) Câu 94. [id2137](HSG ĐĂKLẮC 2017-2018) Giải phương trình √ 8x3 − 17x2 + 10x − 2 = 2 3 5x2 − 1 Câu 95. [id2138](HSG LỚP 12 SỞ BẮC GIANG 2016 – 2017) Giải phương trình √ √ √ √ 3 3 3 3 x + 3 + x + 2 = 2x2 + 4x + 3 + 2x2 + 4x + 2, (∀x ∈ R) Câu 96. [id2139](HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017)Giải phương trình: √ √ x − 1 √ p(x − 2) (4 − x) + x − 2 + 4 − x = + x + 1 (x ∈ ) 2 R Câu 97. [id2140] Quảng Ngải 16-17) Giải phương trình: √ √ x − 1 √ p(x − 2) (4 − x) + x − 2 + 4 − x = + x + 1 (x ∈ ) 2 R Câu 98. [id2141](HSG cấp Bắc Giang 2016-2017) Giải phương trình √ √ √ √ 3 x + 3 + 3 x + 2 = 3 2x2 + 4x + 3 + 3 2x2 + 4x + 2 Câu 99. [id2142](HSG Lào Cai 2016-2017) Giải phương trình: √ √ √ √ 2x2 + 5x − 6x2 + 11x − 10 = 3 x − 3x − 2 Câu 100. [id2143](HSG cấp lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Giải bất phương trình √ √ 4x2 + 5x + 1 + 2 x2 + x + 1 ≥ x + 3 (1). 11
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 101. [id2144](HSG Hải Dương 2016-2017) Giải bất phương trình √ √ 2 + 3 x2 + x. x − 2 ≤ 2 x2 − 3x Câu 102. [id2145](HSG cấp Hà Nam 2017-2018) Giải bất phương trình sau trên tập số thực 16x2 + 96x + 208 √ √ x2 + 9 + log √ √ ≤ 2 3x + 4 − 6x + 3 5x + 9 2 12x + 16 + 45x + 81 Câu 103. [id2146](HSG cấp thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017) Tìm m để phương trình sau có đúng 4 nghiệm thực phân biệt: √ √ √ (x − 4)2 = m( 1 + x + x2 − 3 1 − x + 4) + 6 1 − x3 + 13 Câu 104. [id2148](HSG cấp Vĩnh Phúc 2016-2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm dương phân biệt x3 − 3(m + 1)x2 + 3(2m + 1)x + 2m2 − 9m − 5 = 0 Câu 105. [id2149](THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – 2018) Tìm m để phương trình x2 − 2mx − 2m + 15 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt Câu 106. [id2150](HSG Yên Định1 2017-2018) 1. Cho phương trình : x2 − mx + m − 1 = 0 .Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 2x1x2 + 3 B = 2 2 x1 + x2 + 2 (x1x2 + 1) Câu 107. [id2151](HSG 11 Cẩm Thủy 1 Thanh Hóa 2017 - 2018) Tìm m để phương trình: −x2 + 2x + 4p(x + 1)(3 − x) = m − 3 có nghiệm Câu 108. [id2152](HSG10 THPT-PĐP 2017-2018) Giải và biện luận phương trình: (m + 1) (m + 2) x = m + 2 2x + 1 Câu 109. [id2153](HSG11 – THPT Hậu Lộc 4 – Thanh Hóa – 2014 – 2015) Tìm m để phương trình: x3 − 2(m + 1)x2 + (5m − 1)x − 2m + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Câu 110. [id2154]Tìm m để phương trình x4 − 4x2 + 2m − 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng Câu 111. [id2155]Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số s 2 2x − x + 2 y = − 1 x2 − 2mx + 1 có tập xác định là R 12
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] | Chủ đề 2. Hệ Phương trình Câu 112. [id2198](HSG12Bắc Ninh 2018–2019) Cho hệ phương trình  x2 + y2 + z2 = 6  xy + yz + zx = −3  x6 + y6 + z6 = m với x , y , z là ẩn số thực, m là tham số. Số giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm là A. 24 . B. 13 . C. 12 . D. 25 . Câu 113. [id2199](HSG12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm ( log2018x + log2019y = 1 p p log2019x + log2018y = m Câu 114. [id2200](HSG12 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình ( 2x3 − (y − 2) x2 − xy = m x2 + 3x − y = 1 − 2m có nghiệm Câu 115. [id2201](HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa 2018-2019) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm ( √ 3x − 6 2x + 4 = 4p3y + 18 − 2y 3x + 2y − 6 − 6m = 0 Câu 116. [id2202](HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội 2018-2019) Cho hệ phương trình ( mx + y = m + 1 . Khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y ) , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + my = 2 o o 2 A = xo + 2yo + 5 Câu 117. [id2203](HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa 2018-2019) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm ( √ 3x − 6 2x + 4 = 4p3y + 18 − 2y 3x + 2y − 6 − 6m = 0 Câu 118. [id2204](HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm ( √ 3x − 6 2x + 4 = 4p3y + 18 − 2y 3x + 2y − 6 − 6m = 0 Câu 119. [id2205](HSG12 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình   x + y + 4 = 2xy x+y p  2 = m x + y + x2 + x + y2 + y + 5 có nghiệm (x; y) thỏa mãn x ≥ 1, y ≥ 1 13
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 120. [id2206](HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Giải hệ phương trình  1 y2  x + = 2 + x x√  ln (2x − 3) + 8x2 − 20x + 12 = ln y + 2y Câu 121. [id2207](Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Giải hệ phương trình  √ p  x2 + 1 + x y2 + 1 − y = 1  3px + 2y − 2 + xpx − 2y + 6 = 10 Câu 122. [id2208](HSG11 tChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019) Giải hệ phương trình  2 p 3  (y + 1) + y y2 + 1 = x + (1) √ 2  x + x2 − 2x + 5 = 1 + 2p2x − 4y + 2 (2) Câu 123. [id2209](HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Giải hệ phương trình ( √ √ x − 1 + x + 1 = py − 1 + py + 1 x2 + x + 12py + 1 = 36 Câu 124. [id2210](HSG12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019) Giải hệ phương trình ( √ (17 − 3x) 5 − x + (3y − 14) p4 − y = 0 , (x, y ∈ R) 2p2x + y + 5 + 3p3x + 2y + 11 = x2 + 6x + 13 Câu 125. [id2211](HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:  y + py2 + 1  (x − y) x2 + xy + y2 − 2 = 2 ln √ x + x2 + 1  3x.2x = 3y + 2y + 1 Câu 126. [id2212](Chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) Giải hệ phương trình: ( 8 x4 + y2 − xy3 − 9x = 0 8 y4 + x2 − yx3 − 9y = 0 Câu 127. [id2213](HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Giải hệ phương trình  √ p  x2 + 1 + x y2 + 1 − y = 1  3px + 2y − 2 + xpx − 2y + 6 = 10 Câu 128. [id2214](HSG10 CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI 2018-2019) Giải hệ phương trình sau : ( 2x2 + xy − y2 − 5x + y + 2 = 0 x2 + y2 + x + y − 4 = 0 (2) 14
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 129. [id2215](HSG10 Kim Liên 2018-2019) Giải hệ phương trình ( x4 + x2y2 − x3y = 1 x3y + xy − x2 = −1 Câu 130. [id2216](HSG10 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) ( (x − y) x2 + xy + y2 + 3 = 3 x2 + y2 + 2 1. Giải hệ phương trìn x2y + x2 − 2x − 12 = 0 √ √ 2. Giải phương trình (x − 3) 1 + x − x 4 − x = 2x2 − 6x − 3 √ 3. Giải bất phương trình x3 + (3x2 − 4x − 4) x + 1 ≤ 0 Câu 131. [id2217](HSG11 Bắc Ninh 2018-2019)Giải hệ phương trình ( x3 + xy2 + x = 2y3 + y √ x3 + 3y + 5 2x2 + 5x = 3y3 + 5x2 + 2y + 5 Câu 132. [id2218](HSG11 Nghệ An 2018-2019) Giải hệ phương trình ( √ p x + x2 + 2x + 2 = y2 + 1 − y − 1 p x3 − 3x2 + 2y2 − 6 2x2 − y − 2 = 0 Câu 133. [id2219](HSG12 Quảng Ngãi 2018-2019)Giải hệ phương trình √  2 p  2x y − 7 3x − 2 − x + 3xy = 5 √  p 2 2 2 (4 + y ) − 1 = 1 + 4x − xy Câu 134. [id2220](HSG12 Bến Tre 2018-2019) Giải hệ phương trình  √ √  (y − 2) x + 2 − x y = 0 (1) √ √ p  x + 1 ( y + 1) = (y − 3) 1 + x2 + y − 3x Câu 135. [id2221](HSG12 Hải Dương 2018-2019) Giải hệ phương trình ( 2 √ √ (3x + 1) + 4 y = y2 + 4 3x + 1 √ 3xy = 4x + 4 + 2 x + 3 Câu 136. [id2222](HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải hệ phương trình  √ √  y3 − 4y2 + 4y = x + 1 y2 − 5y + 4 + x + 1 √ √  2 x2 − 3x + 3 + 6x − 7 = y2(x − 1)2 + y2 − 1 3x − 2 15
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 137. [id2223](HSG12 Hà Nội năm 2018-2019) Giải hệ phương trình ( x2 + 3y2 + 2xy − 6x − 2y + 3 = 0 (1) x2 − y + 5 = 2xpy + 3 (2) Câu 138. [id2224](HSG12 tỉnh QUẢNG NINH 2018-2019) Giải hệ phương trình  1 100x x − 2  log = 1 − y2 y2 y2 √  pxy − 2 = 3 x − 1 + y Câu 139. [id2225](HSG10 HÀ NAM 2018-2019) Giải hệ phương trình ( x3 − y3 + 3x2 + 6x − 3y + 4 = 0 (x + 1)py + 1 + (x + 6)py + 6 = x2 − 5x + 12y Câu 140. [id2226](HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN HÀ NỘI 2018-2019) Giải hệ phương trình ( 3p2x + y + px − 2y + 1 = 5 2px − 2y + 1 − 5x = 10y + 9 Câu 141. [id2227](HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Giải hệ phương trình ( x3 + 3x2 + 4x + 2 = y3 + y √ 4x + 6 x − 1 + 7 = (4x − 1) y Câu 142. [id2228](HSG11 Hậu Lộc tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải hệ phương trình √ x + 1 + py + 1 = p4 − x + 5y √ (x, y ∈ R) x2 + y + 2 = p5 (2x − y + 1) + 3x + 2 Câu 143. [id2229](HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải hệ phương trình ( √ x + 1 + py + 1 = p4 − x + 5y √ (x, y ∈ R) x2 + y + 2 = p5 (2x − y + 1) + 3x + 2 Câu 144. [id2230](HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Giải hệ phương trình ( x3 − y3 − 3 2x2 − y2 + 2y + 15x − 10 = 0 √ p2 − y + 3 − x = 2x − 2 Câu 145. [id2231](HSG12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Giải hệ phương trình ( x3 − y3 − 3x2 + 4x − y − 2 = 0 (x, y ∈ R) p2x + y + 5 − p3 − x − y = x3 − 3x2 − 10y − 10 16
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 146. [id2232](HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Giải hệ phương trình ( 2 2 x + y + 1 = 2 (xy − x + y) (1) √ (x, y ∈ R) x3 + 3y2 + 5x − 12 = (12 − y) 3 − x (2) Câu 147. [id2233](HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:  8xy  x2 + y2 + = 16 x + y √ √  2x2 − 5x + 2 x + y − 3x − 2 = 0 Câu 148. [id2234](HSG11 THuận Thành 2018-2019) Giải hệ phương trình ( √ p x + 4 + x2 + 8x + 17 = y + y2 + 1 √ x + y + py + 21 + 1 = 2p4y − 3x Câu 149. [id2235](HSG12 Quảng Ninh 2018-2019) Cho x, y là các số thực dương. Giải hệ phương trình sau ( (y + 1) log4 [(x + 1) (y + 1)] = 16 − (x − 1) (y + 1) 4x2 + 7xy − 3x + y2 = 99 Câu 150. [id2236](HSG12 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019)Giải hệ phương trình √ ( 2 xy (x + y − 1) = x2 + y2 p √ x2y y2 + 1 − x2 + 1 = x2y − x Câu 151. [id2237](HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Giải hệ phương trình ( √ p + 4 + x2 + 8x + 17 = y + y2 + 1 √ x + y + py + 21 + 1 = 2p4y − 3x Câu 152. [id2238](HSG12 YÊN LẠC 2 năm 2018-2019) Giải hệ phương trình ( √ p 3x2 − 2x − 5 + 2x x2 + 1 = 2 (y + 1) y2 + 2y + 2 x2 + 2y2 = 2x − 4y + 3 Câu 153. [id2239](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019)Giải hệ phương trình ( x2 + y2 − 2y − 6 + 2p2y + 3 = 0 (x − y) x2 + xy + y2 + 3 = 3 x2 + y2 + 2 Câu 154. [id2240](HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Giải hệ phương trình: ( x2 + x3y − xy2 + xy − y = 1 x4 + y2 − xy (2x − 1) = 1 17
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 155. [id2241](HSG12 Tỉnh Đồng Nai 2018-2019) Giải hệ phương trình ( x3 − x2y − y2 − 2x + 1 = 0 √ x − x − 2 = p3y − 2 − 2y2 Câu 156. [id2242](HSG12 tỉnh Thái Binh năm 2018-2019)Giải hệ phương trình √  3 2  y (x + 5) 2 + x = 1 + 3y √ √ √ √ 2  2 + x2 − 2x + 4 + x2 − 6x + 12 = y 3 x2 − 2x + 4 + 5 x2 − 6x + 12 + 8 Câu 157. [id2243](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Giải hệ phương trình ( x2 + y2 (x + y) + 2xy = x + y √ √ x2 − 11x + 6 − 2 9x − 5 = x + y Câu 158. [id2244](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Giải hệ phương trình ( 7x3 − 3(y + 4)x2 + 3(2 − y2)x = y3 + 1 2py + 4 = 9x2 − x − 4 Câu 159. [id2245](HSG12 tỉnh Hưng Yên 2018-2019) Giải hệ phương trình:  √ p  y3 − y2 − 2y + 1 = ln x2 + 1 + x + ln y2 + 1 − y  x3 − x = y2 + y − 1 Câu 160. [id2246]Giải hệ phương trình x3 + xy2 + x = y3 + yx2 + y p2x − y + px + y + 1 = xy − 3x + 1 Câu 161. [id2247](HSG10 QUẢNG NAM 2016-2017) Giải hệ phương trình ( x3 + xy2 + x = y3 + yx2 + y p2x − y + px + y + 1 = xy − 3x + 1 Câu 162. [id2248](HSG cấp trường Yên Định 1 2017-2018) Giải hệ phương trình:  √ p p  x (x + y) + x + y = 2y 2y3 + 1 √ (x, y ∈ R)  8x2 − 8y + 3 = 8y 2x2 − 3x + 1 Câu 163. [id2249](HSG CẤP TỈNH - THANH HÓA- 2017-2018) Giải hệ phương trình  √ q √ √  x + xy + (x − y) ( xy − 2) = y + y (1) √ (x, y ∈ R) .  y + xy + x − x2 (x + 1) − 4 = 0 (2) 18
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 164. [id2250](HSG11 Quảng Bình – 2012 - 2013) Giải hệ phương trình:  2 x  x + + = 10  y y 1  x2 + + 2x = 12  y2 ( x3(1 + 2y) = 1 Câu 165. [id2251](HSG10 Hà Tĩnh 2016 - 2017) Giải hệ phương trình x(y3 − 1) = 2 Câu 166. [id2252](HSG11 Cao Bằng 2011 - 2012) Giải hệ phương trình  1 1 3  + =  x y 4 (x, y ∈ ) 1 1 2 R  + =  6x 5y 15 ( x3 (1 + 2y) = 1 Câu 167. [id2253](HSG10 HÀ TĨNH 2016-2017) Giải hệ phương trình x y3 − 1 = 2 Câu 168. [id2254](Olympic 10 Quảng Nam 2018) Giải hệ phương trình ( p3 2x − y = y − 2x + 4 p 2x + x3 + 16x − 8y = y (x − 1) + 5 Câu 169. [id2255](HSG 11 chuyên Trần Ngọc Diễm 2016 - 2017) Giải hệ phương trình:  2 2  x − 2y = 1  2 2 2y − 3z = 1 (x, y, z ∈ R)  xy + yz + zx = 1 Câu 170. [id2256](HSG11 VĨNH LONG 2013-2014) Giải hệ phương trình  r 1 p  x + + x + y − 3 = 3  y 1  2x + y + = 8  y Câu 171. [id2257](HSG11 VĨNH PHÚC 2010-2011) Giải hệ phương trình  2 2  x − 2y = 1  2 2 2y − 3z = 1 (x, y, z ∈ R)  xy + yz + zx = 1 Câu 172. [id2258](HSG11 Quỳnh Lưu II – Nghệ An - 2011 - 2012) Giải hệ phương trình : ( x3 − 3x = py + 1 y2 − xy + 2y = 3x + 3 19
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 173. [id2259]Giải hệ phương trình ( 3x2 (2y − 1) = 4y2 − 4y + 21 . 3x(2y − 1)2 = x2 + 20 Câu 174. [id2260]Giải hệ phương trình  x2y + 2y + x = 4xy  1 1 x + + = 3  x2 xy y Câu 175. [id2261]Giải hệ phương trình ( (x + y)2 + p3(x + y) = p2(x + y + 1) + 4 √ (x2 + y − 2) 2x + 1 = x3 + 2y − 5 Câu 176. [id2262](HSG11 Trần Phú Thanh Hóa2012 - 2013) Giải hệ phương trình : ( x2 + y2 − 3x + 4y = 1 3x2 − 2y2 − 9x − 8y = 3 Câu 177. [id2263](HSG Lớp 10 – SGD Hải Dương - Năm 2018) Giải hệ phương trình: ( x2 + x3y − xy2 + xy − y = 1 x4 + y2 − xy (2x − 1) = 1 Câu 178. [id2264](HSG lớp 11 – sở GD Thanh Hóa – 2017 - 2018) Giải hệ phương trình √ ( p3 2 + 2x2y + 4 x + 2y = 4 p √ x 4y2 + 1 + 2y x2 + 1 = 0 Câu 179. [id2265](HSG Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Giải hệ phương trình : ( (8x − 13) y = (x + 1) p3 3y − 2 − 7x (y − 1) x2 + (8y + 7) x = y2 + 12y + (x + 1) p3 3y − 2 Câu 180. [id2266](HSG10 THPT-PĐP 2017-2018) Giải hệ phương trình ( x2 y2 + 1 + 2y x2 + x + 1 = 3 x2 + x y2 + y = 1 Câu 181. [id2267](HSG 11 trường THPT Quỳnh Lưu II – Nghệ An 2011-2012) Giải hệ phương trình : ( x3 − 3x = py + 1 y2 − xy + 2y = 3x + 3 20
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 182. [id2268](HSG11-QUỲNH LƯU-11-12) Giải hệ phương trình : ( x3 − 3x = py + 1 y2 − xy + 2y = 3x + 3 Câu 183. [id2270](HSG 11 trường THPT Thạch Thành III – 2017-2018) Giải hệ phương trình: ( x3 − y3 − 3x2 + 6y2 = −6x + 15y − 10 √ √ y x + 3 + (y + 6) x + 10 = y2 + 4x Câu 184. [id2271](HSG 11 – HÀ NAM 2009-2010) Giải hệ phương trình: ( x2 + y2 − x − y = 2 p p x2 − y + y2 − x = 2 Câu 185. [id2272](HSG 11 – VĨNH PHÚC 2013-2014) Giải hệ phương trình ( 2y2 − 4xy + 3y − 4x − 1 = 3p(y2 − 1)(y − 2x) py + 1 + py − 2x = p2(y − x + 1) Câu 186. [id2273](HSG Khối 10 - Hải Dương - 2017 – 2018) Giải hệ phương trình  x2y + 2y + x = 4xy  1 1 x + + = 3  x2 xy y Câu 187. [id2274](HSG11 Bắc Giang cấp trường 2012 - 2013) Giải hệ phương trình:  q √ q √  x + y + x − y = 2 √ q √  y + x − y − x = 1 Câu 188. [id2275](HSG11 Quỳnh Lưu Nghệ An 2017 - 2018) Giải hệ phương trình: ( √ √ √ y − x + 1 + 2 = x + 1 + 2 − x (1) 2x3 − y3 + x2y2 = 2xy − 3x2 + 3y (2) Câu 189. [id2276](HSG Hà Tĩnh 2012-2013) Giải hệ phương trình  y  x + √ + y2 = 0  1 + x2 + x x2 √  + 2 x2 + 1 + y2 = 3  y2 Câu 190. [id2277](HSG11 Cẩm Thủy 1 Thanh Hóa 2017 - 2018) Giải hệ phương trình  17 − x2 √ √ p  = x 3 x + 1 + 2 63 − 14x − 18y y  x x2 + 2x + 9 + 12y = 34 + 2 (13 − 3y) p17 − 6y. 21
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 191. [id2278](HSG trường THPT Nga Sơn-Thanh Hóa 2017-2018) Giải hệ phương trình : ( x2 (y + 1) (x + y + 1) = 3x2 − 4x + 1 . xy + x + 1 = x2 Câu 192. [id2002](HSG Quảng Nam 2016 2017) Giải hệ phương trình ( x3 + xy2 + x = y3 + yx2 + y p2x − y + px + y + 1 = xy − 3x + 1 Câu 193. [id2003](HSG12 HÀ NAM 2016- 2017) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:  r 2 2 √  2xy x + y 2 xy + x + y  + = x + y 2 2  q  3x+y−1 + 1 = 3x − y + (2x − 1)2 + x − y + 1 Câu 194. [id2004](HSG 11 Thanh Hóa 2017 - 2018) Giải hệ phương trình  √ q √ √  x + xy + (x − y) ( xy − 2) = y + y √ (x, y ∈ R) .  y + xy + x − x2 (x + 1) − 4 = 0 Câu 195. [id2005](HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018) Giải hệ phương trình ( x3 − y3 + 3x2 + 6x − 3y + 4 = 0 (x, y ∈ R) (x + 1) py + 1 + (x + 6) py + 6 = x2 − 5x + 12y Câu 196. [id2006](HSG Ninh Bình 2017-2018) Giải hệ phương trình ( p √ √ − xy + y2 + x = y + y (1) p √ √ √ 5x2 + 4y − x2 − 3x − 18 = x + 4 y Câu 197. [id2008](HSG12 cấp tỉnh GIA LAI 2014-2015) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:  √ √ p p  x − 1 + x + 1 = y − 1 + y + 1 p 6  2xy + x + 6 = 4y − 1 − x Câu 198. [id2009](HSG12 Hải Dương 2016 - 2017) Giải hệ phương trình:  √ p p  x (x + y) + x + y = 2y 2y3 + 1 √ (x, y ∈ R)  8x2 − 8y + 3 = 8y 2x2 − 3x + 1 Câu 199. [id2010](HSG Gia Lai 2014 - 2015) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:  √ √ p p  x − 1 + x + 1 = y − 1 + y + 1 p 6  2xy + x + 6 = 4y − 1 − x 22
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 200. [id2011](HSG cấp thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017) Giải hệ phương trình sau: ( log 2x . log 3y = 1 x 2 + y 3 = 31 Câu 201. [id2012](HSG12 Cao Bằng 2016 – 2017) Giải hệ phương trình  2 2  x + 1 + y + xy = 4y y (x, y ∈ ) x + y = + 2 R  x2 + 1 Câu 202. [id2013](HSG Hà Tĩnh 2017-2018) Giải hệ phương trình  √ p √  x + 1 − 1 y2 + 1 + y = x  2x3 y2 + 1 − (x + 1) xy = 2 Câu 203. [id2014](HSG Cao Bằng 2017-2018) Giải hệ phương trình ( y3 + y − 2 = x x2 + 3x + 4 x2 + y2 = 5 Câu 204. [id2015](THANH HÓA) Giải hệ phương trình  r √ 2xy x2 + y2 2 xy + x + y  + = x + y 2 2  p3 9xy + 3x + 6y + 9 + 2p3 6xy + 2 = 3x + 4 Câu 205. [id2016](HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Giải hệ phương trình ( √ p − 2x − 5 + 2x x2 + 1 = 2 (y + 1) y2 + 2y + 2 2x − 4y + 3 = x2 + 2y2 Câu 206. [id2017](HSG 12 cấp tỉnh ĐỒNG THÁP 2016-2017) Giải hệ phương trình:  √ p  x + x2 + 2x + 2 + 1 y + y2 + 1 = 1 (x, y ∈ ) p R  py − xy + 9 + 2016 = y2 + 2y + 4 + 2017x Câu 207. [id2018](HSG Thanh Hóa 2013-2014) Giải hệ phương trình  2 2 2  5 + 16.4x −2y = 5 + 16x −2y 72y−x +2 (x, y ∈ R)  x3 + 17x + 10y + 17 = 2 x2 + 4 p4y + 11 Câu 208. [id2019](HSG cấp tỉnh Hà Nội 2016-2017) Giải hệ phương trình  √ p  x + x2 + 1 y + y2 + 9 = 3 √  x x − y + y = 4 23
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 209. [id2020](HSG Hà Nam 2017-2018) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực : √  √ x  2.4y + 1 = 2 2x+1 + 2log ( )  2 y 2 p3  √ x − x − 2 4y2 + 1  x + 1 = √  3 2x + 1 − 3 Câu 210. [id2021](HSG BẮC NINH – 2016 – 2017) Tìm tất cả giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: ( √ y3 = x x − 1 − y √ 4 (3x + 2) y3 + 12x2 − 12x − 72 3 − x + m = 5x3 + 60y2 + 60 Câu 211. [id2022](HSG cấp tỉnh Hưng Yên 2017-2018) Giải hệ phương trình ( 3x2 − 2y2 − xy + 12x − 17y − 15 = 0 √ √ 2 − x + 6 − x − x2 = y + p2y + 5 − py + 4 Câu 212. [id2023](HSG cấp tỉnh tp Đà Nẵng 2017-2018) Giải hệ phương trình ( x2+y2 2 2 .log2 (x + y) = 2 + log2(1 + xy) (x − y)2 + x + y − 2 = 0 (2) Câu 213. [id2024](HSGLong An 2016-2017) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: ( 3 2(2x + 1) + 2x + 1 = (2y − 3)py − 2 2x + p2y + 3 = 6 − y Câu 214. [id2025](HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018) Giải hệ phương trình:  3 6 2 2  y x − 1 + 3y x − 2 + 3y + 4 = 0 √ p 3 (x, y ∈ R)  (4x + 3) 4 − xy (x2 − 1) + 3x + 8 − 1 = 9 Câu 215. [id2026]Giải hệ phương trình  √ p  x + x2 + 1 y + y2 + 9 = 3 (1) √  x x − y + y = 4 (2) Câu 216. [id2027](HSG12 Hà Nội – năm 2017-2018) Giải hệ phương trình  √ p  x + x2 + 1 y + y2 + 9 = 3 √  x x − y + y = 4 (2)  √ p  x + x2 + 2x + 2 + 1 y + y2 + 1 = 1 Câu 217. [id2028](HSG Đồng Tháp 2016-2017) Giải hệ phương trình (x, y ∈ ) p R  py − xy + 9 + 2016 = y2 + 2y + 4 + 2017x 24
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 218. [id2029](HSG cấp tỉnh Hà Nam 2016-2017) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực  r 2 2 √  2xy x + y 2 xy + x + y  + = x + y 2 2  q  3x+y−1 + 1 = 3x − y + (2x − 1)2 + x − y + 1 Câu 219. [id2030](HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình 2016-2017) Giải hệ phương trình ( √ p x2 + 1 + x + 1 = 2y + 4y2 − 4y + 2 x3 + 2x2 + 4y2 = 1 Câu 220. [id2031](HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018) Giải hệ phương trình: ( x3 − y3 − 3 2x2 − y2 + 2y + 15x − 10 = 0 p √ p x2 + y − 5 + 3 y − 3x2 − 6y + 13 = 0 Câu 221. [id2032](HSG CẤP TỈNH TOÁN 12 – NH 16-17 THANH HÓA) Giải hệ phương trình  2 2 p 2  2x 4x − y + 2 + 4x (y − 1) = y − 2 − 2x + y − 3y + 2 (1) √ p 3  y − 2 − 1 2x + 1 = 8x − 13 (y − 2) + 82x − 29 (2) Câu 222. [id2033](HSG tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Giải hệ phương trình sau ( x3 − y3 + 3y2 + x − 4y + 2 = 0 √ (x, y ∈ R) . x3 + x − 3 = 2 x + 2 + y Câu 223. [id2034](HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Giải hệ phương trình ( 2x(4x2 − y + 2) + 4x2(y − 1) = py − 2 − 2x + y2 − 3y + 2 √ (x, y ∈ R). (py − 2 − 1) 2x + 1 = 8x3 − 13(y − 2) + 82x − 29 Câu 224. [id1984](HSG cấp tỉnh Hải Phòng 2016-2017) Tìm điều kiện của tham số m để hệ ( x3 − y3 + 3y2 − 3x − 2 = 0 phương trình sau có nghiệm √ p (x, y ∈ R) . x2 + 1 − x2 − 3 2y − y2 + m = 0 25
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] | Chủ đề 3. Bất phương trình Câu 225. [id2158](HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho hàm số mx3 mx2 f (x) = − + − (3 − m) x + 2. 3 2 Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để f0 (x) < 0 với mọi x . 12 12 12 12 A. 0; . B. 0; . C. 0; . D. 0; . 5 5 5 5 Câu 226. [id2159](HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Tập hợp các giá trị thực của tham số thực m để x2 − mx − 1 ≤ 2∀x ∈ x2 − 2x + 3 R là đoạn [a; b] . Tính S = a.b A. S = −12 . B. S = 2 . C. S = 8 . D. S = 12 . Câu 227. [id2160](HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019)Tìm tất cả giá trị của tham số m để x2 − 4x − 4 ≤ 2 x2 − 2(m − 1)x + 16 với mọi giá trị x ∈ R Câu 228. [id2161](HSG10 CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI 2018-2019) Tìm m để bất phương trình x2 − 4x + m − 2 < ≤ 3 x2 − 2x + 3 nghiệm đúng ∀x ∈ R ? Câu 229. [id2162](HSG10 Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho bất phương trình √ − 2x + 2 ≥ 2m + 1 − 2x2 + 4x , m là tham số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m ∈ [−5; 50] để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định của nó Câu 230. [id2163](HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Biết 1 thì bất phương trình A có tập nghiệm chứa [−1; 4] . Tính S = a + 6b . 13 A. S = 17 . B. S = 3 . C. S = . D. S = 20 . 6 Câu 231. [id2165](HSG10 Hà Tĩnh năm 2018-2019) Giải bất phương trình √ 3x 2x − x2 + 3 ≥ 2 1 − x4 . Câu 232. [id2166](HSG10 CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI 2018-2019) Giải bất phương trình sau: √ x2 + 4x 2x2 + 5x − 3 ≥ 0 26
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 233. [id2167](HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải bất phương trình √ √ √ ( x + 3 − x − 1) · (1 + x2 + 2x − 3) ≥ 4 Câu 234. [id2168](HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) G1ả1 bất phương trình √ √ √ ( x + 3 − x − 1) · (1 + x2 + 2x − 3) ≥ 4. Câu 235. [id2169](HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải bất phương trình √ √ √ ( x + 3 − x − 1) · (1 + x2 + 2x − 3) ≥ 4 Câu 236. [id2170](HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Giải bất phương trình √ √ 2x − 5 − x2 − x + 25 x2 − 5x + 6 ≤ 0 Câu 237. [id2171](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Giải bất phương trình: √ (x + 1) (x + 4) ≤ 5 x2 + 5x + 28 (x ∈ R) Câu 238. [id2172](HSG12 Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Bất phương trình √ √ 2 + 32x 34x + 4 − 34x − 7 32x − 2 √ √ + ≥ √ 2 + 32x − 2 − 32x 32x 4 − 34x − 2 + 32x có bao nhiêu nghiệm? A. 3. B. 2. C. Vô số. D. 1. √ Câu 239. [id2173](HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Bất phương trình x2 − 4 ≥ x + 3 có nghiệm 13 13 A. x logπ (2x − 5) 4 4 là 5 A. ; 6 . B. (−∞ ; 6) . C. (6 ; +∞) . D. (−1 ; 6) . 2 27
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 243. [id2177](HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Tìm tập nghiệm S của bất 21−3x 25 phương trình: ≥ . 5 4 1 1 A. S = (−∞; 1] . B. S = ; +∞ . C. S = −∞; . D. S = [1; +∞) . 3 3 Câu 244. [id2178](HSG Lớp 10 – SGD Hải Dương - Năm 2018) Giải phương trình: √ √ 3x + 1 + 5x + 4 = 3x2 − x + 3 Câu 245. [id2179](HSG Lớp 10 – SGD Hà Tĩnh - Năm 2016 - 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm √ √ √ x − 1 − 2 4 x2 − x + m x ≤ 0 Câu 246. [id2180](HSG cấp Nam Định 2014-2015 – Dự bị) Giải bất phương trình sau: √ √ √ 2 + x2 − 2x + 5 (x + 1) + 4x x2 + 1 ≤ 2x x2 − 2x + 5 Câu 247. [id2181](HSG11 Cao Bằng 2011 - 2012) Tìm số các giá trị x ∈ Z thỏa mãn bất phương trình √ 2 x2 ≥ (x − 4) 1 + x + 1 . ’ Câu 248. [id2182](HSG11Thạch Thành III – 2017-2018) Giải bất phương trình: q 3 2 3 x − 3x + 2 (x + 2) − 6x ≥ 0 (x ∈ R) Câu 249. [id2183](HSG lớp 11 – sở GD Thanh Hóa – 2017 - 2018) Giải bất phương trình √ √ 2x2 − 6x + 8 − x ≤ x − 2 Câu 250. [id2184](HSG10 HÀ TĨNH 2016-2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm √ √ √ x − 1 − 2 4 x2 − x + m x ≤ 0 Câu 251. [id2185](HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Giải bất phương trình : 4x3 x 3 3x3 + ≤ 7 x + 1 x + 1 Câu 252. [id2186](HSG Khối 10 - Hải Dương - 2017 – 2018) Giải bất phương trình (x2 − 3x + 2)(x2 − 12x + 32) ≤ 4x2 (1) 28
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 253. [id2187]Giải bất phương trình (x2 − 3x + 2)(x2 − 12x + 32) ≤ 4x2 Câu 254. [id2188](HSG11Sông Lô – Vĩnh Phúc 2012-2013) Giải bất phương trình: √ √ x2 + 91 − x − 2 1 (x + 2)(x + 4)(x + 7) Câu 258. [id2192](Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Giải bất phương trình √ √ 5x + 4 − p2 (x − 1) ≥ x Câu 259. [id2193]Ở một công ty, có 10 xe đưa rước nhân viên xuất phát từ cùng một bến để đi đến côn ty. Mỗi tài xế có hai lựa chọn là: 1. Đi quốc lộ, không ngại kẹt xe nhưng phải đi vòng, thời gian tốn 40 phút. 2. Đi nội thành, đường ngắn hơn và chỉ mất 15 phút nếu một xe chạy, nhưng do đường nhỏ nên nếu có thêm một xe nữa cùng chạy ( chỉ xét xe của công ty này ) thì thời gian di chuyển của mỗi xe cùng tăng thêm 5 phút; cứ như thế, thời gian tăng sẽ tỉ lệ thuận với số xe tăng thêm. Hỏi các tài xế phải thảo luận và chọn ra bao nhiêu xe đi trong nội thành để tổng số thời gian các xe di chuyển là ít nhất Câu 260. [id2194]Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn Câu 261. [id2195](HSG11 Lê Quý ĐônV1 2013 – 2014) Giải bất phương trình sau: √ (x − 3) x2 + 4 ≤ x2 − 9. 29
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 262. [id2284](HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu I; II . Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1, 6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai sản phẩm trên. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Tổng số tiền lãi là lớn nhất có thể đạt được là: A. 4, 0 triệu. B. 7, 2 triệu. C. 6, 8 triệu. D. 5, 7 triệu. Câu 263. [id2285](HSG10 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019)Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất Câu 264. [id2286](HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( 2x − y + a ≤ 0 hai điểm A (0 ; 9) , B (3 ; 6) . Gọi D là miền nghiệm của hệ phương trình . Tìm 6x + 3y + 5a ≥ 0 tất cả các giá trị của a để AB ⊂ D . 30
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] | Chủ đề 4. Bất đẳng thức Câu 265. [id1808](Chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) 1. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 1 1 1 x − = y − = z − = 1. y2 z2 x2 Tính giá trị biểu thức √ √ P = xpy − 1 + y z − 1 + z x − 1. 2. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a − a3 ≥ b + b3 . Chứng minh a2 + b2 < 1 π Câu 266. [id1809](HSG12 tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2018-2019) Cho x, y ∈ 0 ; . 2 Chứng minh rằng: 1 1 1 9 + + ≤ sin2xsin2y + 1 sin2xcos2y + 1 cos2x + 1 2 sin2x sin 2y + sin 2x sin y + sin 2x cos y Câu 267. [id1810](HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 √ ab + bc + ca √ (a + b + c) + + + 4 2 ≥ 9 + 4 2 a b c a2 + b2 + c2 Câu 268. [id1811](HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. 1. Chứng minh rằng a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 = abc. 2. Chứng minh rằng √ pa (bc − IA2) + pb (ca − IB2) + pc (ab − IC2) ≤ 6abc. Hãy chỉ ra một trường hợp xảy ra dấu đẳng thức Câu 269. [id1812](HSG12 tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c ≥ abc . Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≥ abc Câu 270. [id1813](HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 . Chứng m1nh rằng b + c c + a a + b √ √ √ √ + √ + √ ≥ a + b + c + 3 a b c Câu 271. [id1814](HSG11 ChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng: a(a − 2b + c) b(b − 2c + a) c(c − 2a + b) + + ≥ 0 ab + 1 bc + 1 ca + 1 31
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] r32 Câu 272. [id1815](HSG10 Nam Tiền Hải Thái Bình 2018-2019) Cho 0 2 xyz Câu 276. [id1819](HSG10 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn xy + yz + xz = 3 . Chứng minh bất đẳng thức: x2 y2 z2 √ + + √ ≥ 1 x3 + 8 py3 + 8 z3 + 8 Câu 277. [id1820](HSG12 tỉnh Bến Tre năm 2018-2019) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 − 3b ≤ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 4 8 P = + + (a + 1)2 (b + 2)2 (c + 3)2 Câu 278. [id1821](HSG12 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 1 ta luôn có: logn (n + 1) > logn+1 (n + 2) Câu 279. [id1822](HSG10 CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI 2018-2019) Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1 . Chứng minh rằng √ a b c 3 3 + + ≥ b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 2 32
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 280. [id1823](HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm 2018-2019)Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 3 . Chứng minh rằng: 4 4 4 + 1 + 1 + 1 ≥ 3(a + b + c)2. a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 281. [id1824](HSG12 tỉnh Bến Tre năm 2018-2019) Cho a,b,c là các số thực không âm và không đồng thời bằng 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 ≤ 6b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 8 1 P = + + (a + b + c)2 (b + 11)2 (c + 6)2 Câu 282. [id1825](HSG 12 Yên Lạc 2 Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho n số a1, a2, , an ∈ 2 2 2 2 2 [0; 1] . Chứng minh rằng: (1 + a1 + a2 + a3 + + an) ≥ 4 a1 + a2 + a3 + + an Câu 283. [id1826](HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Cho x, y, z là các số thực dương.Chứng minh rằng: √ √ √ 2 x 2 y 2 z 1 1 1 + + ≤ + + x3 + y2 y3 + z2 z3 + x2 x2 y2 z2 Câu 284. [id1827](HSG11 Cụm Hà Đông Hoài Đức Hà Nội năm 2018-2019) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ∈ [1; 2] ta luôn có: 1 1 1 (a + b + c) + + ≤ 10. a b c Câu 285. [id1828](HSG10 HÀ NAM 2018-2019)Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 + ≤ √ 2a + 1 2b + 1 2c + 1 a2 + b2 + c2 + 6 Câu 286. [id1829](HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (b + c − a)2 (c + a − b)2 (a + b − c)2 P = + + a2 + (b + c)2 b2 + (a + c)2 c2 + (a + b)2 Câu 287. [id1830](HSG12 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn (a + c) (b + c) = 4c2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 32a3 32b3 r 1 1 P = + + (a + b − 3c) . + (b + 3c)3 (a + 3c)3 a2 b2 Câu 288. [id1831](HSG12 tỉnh Thái Binh năm 2018-2019) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 9 32 − √ ≥ −5 pab (a + c)(b + c) 4 + 4a2 + 4b2 + c2 33
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 289. [id1832](HSG11 - THPT Lê Quý Đôn – 2013 – 2014) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≤ 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1 Câu 290. [id1833](OLIMPIC 11 – TP HCM - 2017-2018) Cho các số thực dương a1, a2, a3, a4, a5 lập thành cấp số cộng và các số thực dương b1, b2, b3, b4, b5 lập thành cấp số nhân. Biết rằng a1 = b1 và a5 = b5 . Chứng minh rằng: a2 + a3 + a4 ≥ b2 + b3 + b4. 1 1 1 Câu 291. [id1834]Xét các số thực x, y, z thỏa mãn + + = 2. Chứng minh: x + y + 2z2 ≥ 6. x y z Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 292. [id1835](HSG10 OLYMPIC THÁNG 4 ĐỒNGNAI2017-2018) Xét các số thực 1 1 1 dương x, y, z thỏa mãn + + = 2 Chứng minh rằng: x + y + 2z2 ≥ 6. Hỏi đẳng thức xảy ra khi x y z nào ? Câu 293. [id1836](HSG 11 trường THPT Sông Lô – Vĩnh Phúc 2012-2013) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 + 1 = 2 (ab + bc + ca) . Chứng minh rằng: 1 (a + b − c)4 + (b + c − a)4 + (a + c − b)4 ≥ 3 Câu 294. [id1837](HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018) Chứng minh: √ √ √ a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > Câu 295. [id1838](HSG lớp 11 – sở GD Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≥ 1 a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2 ( x, y, z > 0 Câu 296. [id1839](HSG11-QUỲNH LƯU-11-12) Cho .Chứng minh rằng x + y + z = xyz 1 1 1 3 √ + + √ ≤ x2 + 1 py2 + 1 z2 + 1 2 Câu 297. [id1840](HSG CẤP TỈNH - THANH HÓA- 2017-2018) Cho x, y, z là các số thực phân biệt và không âm. Chứng minh rằng x + y y + z z + x 9 + + ≥ . (x − y)2 (y − z)2 (z − x)2 x + y + z 34
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 298. [id1841]Cho các số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: a + 1 b + 1 c + 1 + + ≥ 3 1 + b2 1 + c2 1 + a2 Câu 299. [id1842](HSG Lớp 10 – SGD Hà Tĩnh - Năm 2016 - 2017) Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + abc ≥ 4 Câu 300. [id1843]Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z A = + + x2 + yz y2 + xz z2 + yx Câu 301. [id1844](HSG11 – THPT Hậu Lộc 4 – Thanh Hóa – 2014 – 2015) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz . Chứng minh rằng: √ p √ xy + yz + zx ≥ 3 + x2 + 1 + y2 + 1 + z2 + 1 Câu 302. [id1845](HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Cho a; b; c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng (a + b − c)3 (b + c − a)3 (c + a − b)3 + + ≥ 1 3c 3a 3b Câu 303. [id1846](HSG 11 – VĨNH LONG 2013-2014) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: √ √ √ 3 3a + 5b + 3 3b + 5c + 3 3c + 5a ≤ 6. Câu 304. [id1847](HSG10 ĐỒNG NAI 2013-2014) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c = 1 . Chứng minh a b c + + ≥ 1 a + 6bc b + 6ac c + 6ba Câu 305. [id1848](HSG trường THPT Nga Sơn-Thanh Hóa 2017-2018) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3 . Chứng minh rằng √ a3 b3 c3 3 2 √ + √ + √ ≥ b2 + 1 c2 + 1 c2 + 1 2 Câu 306. [id1849](HSG10 QUẢNG NAM 2016-2017) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa x2 + y2 + z2 ≤ 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y z x H = + + x2 + 2y + 3 y2 + 2z + 3 z2 + 2x + 3 35
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 307. [id1850](HSG 11 – Vĩnh Phúc 2014-2015) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta có bất đẳng thức sau: a2b2 a2 + b2 − 2 ≥ (a + b)(ab − 1) Câu 308. [id1851](HSG11-VĨNH PHÚC-14-15) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta có bất đẳng thức sau: a2b2 a2 + b2 − 2 ≥ (a + b)(ab − 1) Câu 309. [id1853](Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Cho ba số thực dương x, y, z . Chứng minh 2 1 1 ≤ + 1 x + y + 1 x + z + 1 x + 1 + (y + z) 2 ( x, y, z > 0 Câu 310. [id1854](HSG11 Quỳnh Lưu II – Nghệ An - 2011 - 2012) Cho x + y + z = xyz Chứng minh rằng 1 1 1 3 √ + + √ ≤ x2 + 1 py2 + 1 z2 + 1 2 Câu 311. [id1855](HSG10 HÀ TĨNH 2016-2017) Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + abc ≥ 4 Câu 312. [id1856] (HSG BÌNH ĐỊNH -2013-2014) Cho n số a1, a2, a3, a4, , an ∈ [0; 1] . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 (1 + a1 + a2 + a3 + a4 + + an) ≥ 4 a + a2 + a + a + + a 3 4 n Câu 313. [id1858]Cho hai số x , y thoả mãn x2 + 4y2 = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của M = 4x2 − 3xy + 2y2 Câu 314. [id1859]Cho a , b , c > 0 và ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng: 2a 2b 2c 1 1 1 + + ≤ √ + √ + √ a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 Câu 315. [id1860](HSG12 BẮC GIANG- 2016-2017) Cho các số thực x , y , z không âm đôi một phân biệt . tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P = (x2 + y2 + z2)[ + + ] (x − y)2 (y − z)2 (z − x)2 Câu 316. [id1861]Cho tứ diện ABCD vuông ở D . Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa đường cao DH với các cạnh DA, DB, DC . Chứng minh rằng cos α + cos β cos β + cos γ cos γ + cos α √ + + ≥ 6 3 cos2γ cos2α cos2β 36
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 317. [id1942](HSG Lào Cai 2016-2017) Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn 3 x2 + y2 + z2 = . 4 1 1 1 Chứng minh rằng + + − 2 (x + y + z) ≥ 3 x y z Câu 318. [id1943](HSG HẬU LỘC 2017 - 2018) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz. √ p √ Chứng minh rằng: xy + xz + yz ≥ 3 + x2 + 1 + y2 + 1 + z2 + 1 Câu 319. [id1944](THANH HÓA 2017-2018) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh rằng: √ p √ xy + yz + zx ≥ 3 + x2 + 1 + y2 + 1 + z2 + 1 Câu 320. [id1945](HSG 11 Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho x, y, z là các số thực phân biệt và không âm. Chứng minh rằng x + y y + z z + x 9 + + ≥ . (x − y)2 (y − z)2 (z − x)2 x + y + z Câu 321. [id1946](HSG cấp tỉnh Hà Nội 2016-2017) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = (a + 6) (b + 6) (c + 6) Câu 322. [id1947](HSG Cao Bằng 2017-2018) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 + + ≤ 3. x y z Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 4 Câu 323. [id1948](HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng: b2 c2 a2 1 + + ≥ (ab + 2) (2ab + 1) (bc + 2) (2bc + 1) (ac + 2) (2ac + 1) 3 Câu 324. [id1949](HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018) Cho a và b là hai số thực dương. Chứng minh rằng (a + b)2 a2 + b2 ≥ 8a2b2 37
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 325. [id1950]Cho các số dương x, y, z . Chứng minh rằng: x2 y2 z2 x + y + z xy yz zx + + ≥ ≥ + + y + z z + x x + y 2 x + y y + z z + x Câu 326. [id1951](HSG12 Bình Thuận 2016 2017) Cho các số dương x, y, z . Chứng minh rằng: x2 y2 z2 x + y + z xy yz zx + + ≥ ≥ + + y + z z + x x + y 2 x + y y + z z + x Câu 327. [id1952](HSG Tỉnh Gia Lai 2014 - 2015) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 2xyz . Chứng minh rằng: r x r y r z + + ≤ 1 2y2z2 + xyz 2z2x2 + xyz 2x2y2 + xyz Câu 328. [id1953](HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018) Cho x, y, z là số thực thỏa mãn x > y > z > 0 và x + y + z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 8 2 P = + + + (x − y)2 (y − z)2 xz y3 Câu 329. [id1954](HSG12 cấp tỉnh GIA LAI 2014-2015) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 2xyz . Chứng minh rằng: r x r y r z + + ≤ 1 2y2z2 + xyz 2z2x2 + xyz 2x2y2 + xyz Câu 330. [id1864](HSG12 tỉnh TỈNH VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho ba số thực x, y, z thuộc khoảng ; 3) thỏa mãn 2 3 4 − 1 − 1 − 1 = 1. x y z x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + 4 9 16 Câu 331. [id1865](HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho x , y là các số thực thỏa mãn √ x + y = x − 1 + p2y + 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 + 2 (x + 1) (y + 1) + 8p4 − x − y. Khi đó, giá trị của M + m bằng. A. 41 . B. 42 . C. 44 . D. 43 . Câu 332. [id1866](HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho hàm số y = ax3 + cx + d , a 6= 0 có min f (x) = f (−2) . Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [1 ; 3] bằng (−∞ ; 0) A. d + 2a . B. d + 8a . C. d − 16a . D. d − 11a . 38
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 333. [id1867](HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Nhà xe khoán cho hai tài xế taxi Nam và Tiến mỗi người lần lượt nhận 32 lit và 72 lit xăng. Hỏi tổng số ngày ít nhất là bao nhiêu để hai tài xế chạy tiêu thụ hết số xăng của mình được khoán, biết rằng chỉ tiêu cho hai người một ngày tổng cộng chỉ chạy đủ hết 10 lit xăng và mỗi ngày lượng xăng của mỗi người chạy là không thay đổi. A. 20 ngày. B. 25 ngày. C. 15 ngày. D. 10 ngày. Câu 334. [id1868](HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn 5 x3 + y3 + z3 = (x + y + z)(xy + yz + zx) + 15xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = p2 (x + y + z) − y2 + z2 Câu 335. [id1869](HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Cho các số thực dương x, y thay đổi và thỏa điều kiện x > y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 x T = logx x + 3log . y y y A. 19 . B. 13 . C. 14 . D. 15 . Câu 336. [id1870](Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x4 + y4 + z4 ≤ 2y2 + 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: √ 1 P = 2y (x + z) + x2 + y2 + z2 + 1 Câu 337. [id1871](HSG 12 Yên Lạc 2 Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cos x + 2 sin x + 3 y = 2 cos x − sin x + 4 Câu 338. [id1872](HSG12 Quảng Ninh 2018-2019) Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 24 m3 . Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng bằng 4. Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có mặt trên). Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất Câu 339. [id1873](HSG12 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Cho x và y là các số thực thỏa x2 − xy + y2 mãn 2x ≥ y > 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + xy + y2 Câu 340. [id1874](HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x ≥ −1 , y ≥ −1 , z ≥ −4 và x + y + z = 0 . 1. Chứng minh x2 + y2 + 4xy + 2 ≥ z2 + 2z. 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x2 y2 − 1 P = + x2 + y2 + 4 (xy + 1) z (3 + z) + x + y + 2 39
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] 2 Câu 341. [id1875](HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 )Xét hàm số f (x) = x + ax + b với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [1; 3] . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b . A. −4 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . Câu 342. [id1876](HSG10 HÀ NAM 2018-2019)Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2 x2 + y2 = 1 + xy. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 7 x4 + y4 + 4x2y2. Tính M + m Câu 343. [id1877](HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất 50 hành khách trên một chuyến đi. Theo tính toán của nhà xe, nếu xe chở được k khách thì giá tiền mà mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là 3k2 180 − trăm đồng. Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ 2 hành khách nhiều nhất. Tính số tiền đó Câu 344. [id1878](HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất 50 hành khách trên mỗi chuyến đi. Theo tính toán của nhà xe, nếu chở được k khách thì giá tiền mà mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là 3k2 180 − trăm đồng. Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ 2 hành khách nhiều nhất. Tính số tiền đó Câu 345. [id1879](HSG12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 + bc b2 + ca c2 + ab √ P = + + − 4 4 a + b + c b + c c + a a + b Câu 346. [id1880](HSG12 tỉnh QUẢNG NINH 2018-2019) Nhà bạn An muốn đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 400000 cm3 nước. Biết rằng chiều cao của bể gấp 2 lần chiều rộng của bể . Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên liệu nhất Câu 347. [id1881](HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Một chất điểm chuyển động có phương trình s (t) = t3 − 3t2 + 9t + 2, (t > 0) , t tính bằng giây và s (t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật nhỏ nhất? A. 3 giây. B. 1 giây. C. 2 giây. D. 6 giây. Câu 348. [id1882](HSG12 HCM năm 2018-2019) Cho các số thực a, b, c ∈ (1; +∞) thỏa mãn a10 ≤ b và logab + 2logbc + 5logca = 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2logac + 5logcb + 10logba Câu 349. [id1883](HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin2x f(x) = x x sin4 + cos4 2 2 40
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 350. [id1884](HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019)Cho hàm số f (x) có đạo hàm xác định trên R là √ f 0 (x) = x x2 − 1 x2 + 3. Giả sử√a, b là hai số thực thay đổi√ sao cho a < b ≤ 1 . Giá√ trị nhỏ nhất của f (a) − f (b)√ bằng 3 − 64 33 3 − 64 3 11 3 A. . B. . C. − . D. − . 15 15 5 5 Câu 351. [id1885](HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất h π π i và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x| + cos 2x trên − ; . √ √ 4 4 √ π 3 π 3 − 2 π π 3 A. − + . B. + . C. − 1 . D. − . 6 2 12 2 4 6 2 Câu 352. [id1886](HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019)Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì có chi phí nguyên vật liệu là 80 ngàn đồng một mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí nguyên vật liệu là 40 ngàn đồng một mét dài. Tính diện tích lớn nhất của phần đất mà người nông dân rào được với chi phí vật liệu là 20 triệu đồng. Câu 353. [id1887](HSG10 CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI 2018-2019) Cho tam giác ABC . Đặt a = BC , b = AC , c = AB . Gọi M là điểm tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = MA2 + MB2 + MC2 theo a , b , c Câu 354. [id1888](HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho x , y , z là 3 số thực thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1 . 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy + yz + 2019zx. 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = xy + yz + 2zx Câu 355. [id1889](HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: 1 4x2 + 4y2 + z2 = (2x + 2y + z)2. 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 8x3 + 8y3 + z3 P = (2x + 2y + z)(4xy + 2yz + 2zx) Câu 356. [id1890](HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Tìm giá trị thực của tham số 2 m 6= 0 để hàm số y = mx − 2mx − 3m − 2 có giá trị nhỏ nhất bằng −10 trên R . A. m = 2 . B. m = −2 . C. m = −1 . D. m = 1 . Câu 357. [id1891](HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa xy yz zx mãn x2 + y2 + z2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = + + z x y 41
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 358. [id1892](HSG12 Cao Bằng năm 2018-2019) Một khách sạn có 50 phòng. Nếu mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá lên 20 ngàn đồng thì có thêm hai phòng bỏ trống không có người thuê. Hỏi giám đốc khách sạn phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất? Câu 359. [id1893](HSG12 tỉnh Thái Nguyên năm 2018-2019) Cho các số thực dương x, y 8 thỏa mãn điều kiện x2 + 2y2 = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 p P = 7 (x + 2y) − 4 x2 + 2xy + 8y2 Câu 360. [id1894](HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Với a, b, c là các số thực lớn hơn 1 , đặt x = loga (bc) , y = logb (ca) , z = logc (ab) . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x+y+4z A. 6 . B. 12 . C. 10 . D. 16 . Câu 361. [id1895](HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019) 0 Cho hai tia Ax , By với AB = 100 (cm) , xAB[ = 45 và By ⊥√AB . Chất điểm X chuyển động trên tia Ax bắt đầu từ A với vận tốc 3 2 (cm/s) , cùng lúc đó chất điểm Y chuyển động trên tia By bắt đầu từ B với vận tốc 4 (cm/s) . Sau t (giây) chất điểm X di chuyển được đoạn đường AM , chất điểm Y di chuyển được đoạn đường BN . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN . Câu 362. [id1896](HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √ √ P = sin A + sin B + 4 12 sin C Câu 363. [id1897](HSG12 Quảng Ngãi 2018-2019) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa c 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 b c 5a M = + + 2 a + b c + b a + c 42
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 367. [id1901](HSG12 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho các số dương a , b , c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 6 P = √ √ − √ a + ab + 3 abc a + b + c Câu 368. [id1902](HSG12 Tỉnh Đồng Nai 2018-2019) Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của a b c P = + + 2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b Câu 369. [id1903](HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn điều kiện 3a2 + 2b2 + c2 = 6 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 (a + b + c) − abc Câu 370. [id1904](HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019)Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz + (x + y + z)2 1 P = − xy + yz + zx xy + yz + zx + 1 Câu 371. [id1905](HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y P = √ + √ 2019 − x 2019 − y Câu 372. [id1906](HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = ab + bc + ca. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 c2 √ P = + + + a + b + c a2 + 3bc b2 + 3ca c2 + 3ab Câu 373. [id1907](HSG12 Quảng Ninh 2018-2019) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 10 P = √ √ √ − 16 xy + 2 10yz + 2 10xz 45 + x + y + z Câu 374. [id1908](HSG12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Trên sa mạc có một khu đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 70 km , chiều rộng AD = 10 km . Vận tốc trung bình của xe máy trên khu đất này là 20 km/h , riêng đi trên cạnh CD thì vận tốc là 40 km/h . Một người đi xe máy xuất phát từ A lúc 8h sáng và muốn đến B sau 3h nữa. Hỏi người đó có thể đến B kịp thời gian không? Xây dựng phương án di chuyển trên khu đất từ A đến B để hết ít thời gian nhất 43
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 375. [id1909](HSG12 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x ≥ y; x ≥ z; x2 + 9yz ≤ xz + 9xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức r9y − x 2y + x 2y + z 2z + x P = 3 + + + y x + y y + z x + z Câu 376. [id1910](HSG12 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x ≥ y ≥ z và x2 + y2 + z2 = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x − y)(y − z)(z − x)(xy + yz + zx) Câu 377. [id1911](HSG12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Cho x, y, z là các số dương 1 1 1 thỏa mãn + + = 2018 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z 1 1 1 3029 P = + + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 2 Câu 378. [id1912](HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y + z x + z x + y P = √ + √ + √ 2019 − y − z 2019 − x − z 2019 − x − y Câu 379. [id1913](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Cho x; y > 0 là những số 2018 2019 thay đổi thỏa mãn + = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y x y Câu 380. [id1914](HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 (b + c) 4a + 3c 12 (b − c) T = + + 2a 3b 2a + 3c Câu 381. [id1915](HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) x, y, z ∈ [2018; 2019] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức |2018.2019 − xy| |2018.2019 − yz| |2018.2019 − zx| f(x, y, z) = + + (x + y)z (y + z)x (z + x)y Câu 382. [id1916](HSG12 YÊN LẠC 2 năm 2018-2019) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7 121 A = + a2 + b2 + c2 14 (ab + bc + ca) Câu 383. [id1917](HSG 11 Cẩm Thủy1 Thanh Hóa 2017 - 2018) Cho x, y > 0 thỏa mãn x2y + xy2 = x + y + 3xy. (1 + 2xy)2 − 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2 + 2xy 44
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 384. [id1918](HSG11-NGHỆ√ AN- 2015-2016)Cho ba số thực dương thay đổi a , b , c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c) ab + bc + ca . Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức 1 P = a(a − 2b + 2) + b(b − 2c + 2) + c(c − 2a + 2) + abc Câu 385. [id1919](HSG 11 – VĨNH PHÚC 2013-2014) Xét phương trình bậc hai ax2+bx+c = 8a2 − 6ab + b2 0 có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 2] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4a2 − 2ab + ac Câu 386. [id1920](HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho x, y ∈ R thỏa mãn √ x + y x + 4 + py − 8 = . 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = x + y Câu 387. [id1921](HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = sin(2018x) − 2cos2(1009x) + 2017 Câu 388. [id1922](HSG cấp tỉnh Hà Nam) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = 1+c (a + b) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c2 P = + + 1 + a2 1 + b2 1 + c2 Câu 389. [id1924](HSG 11 – VĨNH PHÚC 2010-2011) Giả sử A , B , C , D lần lượt là số đo các góc DAB[ , ABC[ , BCD[ , CDA[ của tứ giác lồi ABCD bất kì. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A P = − sin + sin B + sin C + sin D Câu 390. [id1925](HSG11 THPT Trần Phú Thanh Hóa – 2012 - 2013) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: sin2A + sin2B + sin2C M = cos2A + cos2B + cos2C Câu 391. [id1926](HSG 11 – HÀ NAM 2016-2017) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: √ x y xyz P = + + x + yz y + xz z + xy Câu 392. [id1927](HSG Nam Định 2014-2015) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 8 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P = + + 2a + b + 6 2b + c + 6 2c + a + 6 45
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 393. [id1928](HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ( a + 2b > c . a2 + b2 + c2 − 2 = ab + bc + ca Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a + c + 2 a + b + 1 P = − a(b + c) + a + b + 1 (a + c)(a + 2b − c) Câu 394. [id1929]Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab bc ca P = + + a2 + ab + bc b2 + bc + ca c2 + ca + ab Câu 395. [id1930]( HSG THANH HÓA 2018)Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xy + yz + zx P = x2 + y2 + z2 + x2y + y2z + z2x Câu 396. [id1931](THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Với a , b , c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: r bc r ca r ab P = + + a2 + ab + bc + ca b2 + ab + bc + ca c2 + ab + bc + ca Câu 397. [id1932](HSG 11 trường THPT Thạch Thành III – 2017-2018) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz và x > 1 , y > 1 , z > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x − 1 y − 1 z − 1 P = + + y2 z2 x2 Câu 398. [id1933]Cho các số thực dương x, y, z thỏa x2 + y2 + z2 ≤ 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y z x H = + + x2 + 2y + 3 y2 + 2z + 3 z2 + 2x + 3 Câu 399. [id1934]Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (2x + 3y + z)3 (2y + 3z + x)3 (2z + 3x + y)3 P = √ + + . 3 3 z2x2 + 1 3p3 x2y2 + 1 3p3 y2z2 + 1 Câu 400. [id1935](HSG cấp trường Yên Định 1 2017-2018) 2. Cho a, b, c ≥ 0 và a2 +b2 +c2 = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 P = √ + √ + √ 1 + b2 1 + c2 1 + a2 46
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 401. [id1936](Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P = + + 2a3 + b3 + c3 + 2 a3 + 2b3 + c3 + 2 a3 + b3 + 2c3 + 2 Câu 402. [id1937](HSG cấp tỉnh lớp 11 – Quảng Bình – 2012 - 2013) Cho phương trình: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0. 4 Với d = 1 , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a2 + b2 + c2 ≥ 3 Câu 403. [id1938](HSG Lớp 10 – SGD√ Hải Dương - Năm 2018) Cho a , b , c là các số thực 3 3 dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = √ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 1 1 1 M = + + a2 + b2 + 3 b2 + c2 + 3 c2 + a2 + 3 Câu 404. [id1939](HSG Khối 10 - Hải Dương - 2017 – 2018) Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab bc ca P = + + a2 + ab + bc b2 + bc + ca c2 + ca + ab Câu 405. [id1955](HSG cấp tỉnh Hưng Yên 2017-2018) Cho tam giác ABC nhọn.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √ T = cos A + cos2A + 2 cos B + cos2B + 2 cos C + cos2C + 2 Câu 406. [id1956](HSG BẮC NINH – 2016 – 2017) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + b + c = a3 + b3 + c3. Chứng minh rằng aabbcc ≤ 1 Câu 407. [id1957](HSG cấp tỉnh tp Đà Nẵng 2017-2018) Cho các số thực a , b thay đổi nhưng luôn thỏa √ √ a 2 − b2 + b 2 − a2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức √ P = (a + b)3 − 12 (a − 1) (b − 1) + ab Câu 408. [id1958](HSG K12 Cao Bằng 2016 – 2017) Cho hai số thực x , y không âm thỏa mãn điều kiện x + y = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y P = + y + 1 x + 1 Câu 409. [id1959](HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 P = + + a2 + a + 1 b2 + b + 1 c2 + c + 1 47
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 410. [id1961](HSG CẤP TỈNH TOÁN 12 – NH 16-17 THANH HÓA) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz + x + z = y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 4z 3z P = − − √ + √ x2 + 1 y2 + 1 z1 + 1 (z2 + 1) z2 + 1 Câu 411. [id1962](HSG cấp tỉnh Hà Nam 2017-2018) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab ≥ 1 và c(a + b + c) ≥ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b + 2c a + 2c P = + + 6 ln(a + b + 2c) 1 + a 1 + b Câu 412. [id1963]( HSG TPHCM 2016-2017) 4 Trên đoạn [1 ; 4] , các hàm số f (x) = x 2 + px + q ; g (x) = x + có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt x 2 tại cùng một điểm. Tìm giá trị lớn nhất của f (x) trên đoạn này Câu 413. [id1964](HSG cấp thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017) 13 − x 2 Tìm tất cả các số thực a, b (a < b) sao cho trên đoạn [a ; b] , hàm số f (x) = có giá trị nhỏ 2 nhất là 2a và giá trị lớn nhất là 2b Câu 414. [id1966](HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2013-2014) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : √ √ √ 8a + 3b + 4 ab + bc + 3 abc P = 1 + (a + b + c)2 Câu 415. [id1968](HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn + x + z = y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 4z 3z P = − − √ + √ . x2 + 1 y2 + 1 z2 + 1 (z2 + 1) z2 + 1 Câu 416. [id1969](HSG LỚP 12 TỈNH VĨNH LONG) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 2x2 + 2y2 − xy = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 7 x4 + y4 + 4x2y2 Câu 417. [id1970](HSG Hà Tĩnh 2017-2018) Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm số y = f0 (x) ; đồ thị của hàm số y = f0 (x) được cho như hình vẽ sau và f (0) + f (1) − 2f (2) = f (4) − f (3) . Hỏi trong các giá trị f (0) , f (1) , f (4) giá trị nào là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [0; 4] ? 48
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] 1 Câu 418. [id1971](HSG tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho các số thực x; y ∈ ; 1 . 2 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 P = x5y + xy5 + − 3 (x + y) x2 + y2 Câu 419. [id1972](HSG cấp tỉnh Sơn La 2017-2018) Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 3 P = √ √ − √ a + ab + 3 abc a + b + c Câu 420. [id1973](HSG12 HÀ NAM 2016- 2017) Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn 0 < (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 ≤ 18. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z 1 P = 4 3 + 43 + 43 + log x2017 + y2017 + z2017 − (x + y + z)4 − 2017. 3 108 Câu 421. [id1974](HSG cấp Thành phố Cần Thơ 2017-2018) Xét các số thực a, b, c thay đổi thuộc đoạn [1; 2] và thỏa mãn a + b + c = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a4 + b4 + 5c2 + 6abc + 1 P = − abc. ab + bc + ca 1 Câu 422. [id1975](HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho các số thực x; y ∈ ; 1 2 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x5y + xy5 + − 3 (x + y) x2 + y2 Câu 423. [id1976](HSG cấp tỉnh Ninh√ Bình 2017-2018) Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 2x + 4 − x2 . Khi đó tổng m2 + M2 là A. 40 . B. 32 . C. 24 . D. 36 . Câu 424. [id1977](HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và x ≥ y, x ≥ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y 1 y z P = + + 10y − x 2 y + z z + x Câu 425. [id1978](HSG cấp tỉnh Hà Nam 2016-2017) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn 0 < (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 ≤ 18. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z 1 P = 4 3 + 43 + 43 + log x2017 + y2017 + z2017 − (x + y + z)4 − 2017. 3 108 49
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 426. [id1979](HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình 2016-2017) 1. Chứng minh rằng 3x4 + 1 ≥ 4x3 với mọi giá trị của x . 2. Cho các số thực dương x, y, z .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x4 + 4y3 + 16z3 + 1 M = (x + y + z)3 Câu 427. [id1980](HSG Quảng Ngải 16-17) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và x ≥ y, x ≥ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y 1 y z P = + + 10y − x 2 y + z z + x Câu 428. [id1981](HSG cấp tỉnh Bắc Giang 2016-2017) Cho các số thực x, y, z không âm đôi một phân biệt.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P = x2 + y2 + z2 + + (x − y)2 (y − z)2 (z − x)2 Câu 429. [id1982](HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn ln b2 + c2 + 1 − 2 ln (3a) = 9a2 − b2 − c2 − 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 (b + c) 5a2 − 1 P = + . a 2a3 Câu 430. [id1983](HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) Cho a , b , c là các số thực dương và a = 1 , thỏa mãn: 1 a3b + b3a + = ab + 2. ab Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 3 P = + − 1 + a2 1 + b2 1 + 2c Câu 431. [id1985](HSG Quảng Nam 2016 2017) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa x2+y2+z2 ≤ 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y z x H = + + . x2 + 2y + 3 y2 + 2z + 3 z2 + 2x + 3 Câu 432. [id1986](HSG cấp tỉnh Long An 2016-2017) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1 1 1 + + ≥ 2. x + 1 y + 1 z + 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = xyz 50
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 433. [id1987](HSG cấp thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017) Trên đoạn [1 ; 4] , các hàm 4 số f (x) = x 2 + px + q ; g (x) = x + có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt tại cùng một điểm. Tìm giá x 2 trị lớn nhất của f (x) trên đoạn này Câu 434. [id1988](HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn ab + bc + ca = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 Q = + + b2 + 3 c2 + 3 a2 + 3 Câu 435. [id1989]Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 27 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (a + 6) (b + 6) (c + 6) Câu 436. [id1990](HSG12 Hà Nội – năm 2017-2018) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (a + 6) (b + 6) (c + 6) 6 Câu 437. [id1991](HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018) Cho x > 0 , y > 0 thỏa x4 +y4 +4 = xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 3 − 2xy P = + + 1 + 2x 1 + 2y 5 − x2 − y2 Câu 438. [id1992](HSG cấp tỉnh Hải Phòng 2016-2017) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x − 2 y − 2 z − 2 P = + + + 2x2 + 2y2 + 2z2 + xy + yz + zx. 3 − y − z 3 − z − x 3 − x − y Câu 439. [id1993](HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018) Cho a , b , c , d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 + a2 + b2 + a2b2 1 + c2 + d2 + c2d2 Câu 440. [id1994]( HSG 12 cấp tỉnh ĐỒNG THÁP 2016-2017) Cho x , y , z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 y2 z2 27 P = + + + x2 + y2 + z2 x2y + y3 y2z + z3 z2x + x3 4 Câu 441. [id1995]( THANH HÓA)Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + 1 = z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 y3 z3 14 P = + + + √ x + yz y + zx z + xy (z + 1) 1 + x + y + xy 51
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 442. [id1996](HSG cấp tỉnh Đồng Tháp 2016-2017) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 y2 z2 27 P = + + + x2 + y2 + z2 x2y + y3 y2z + z3 z2x + x3 4 Câu 443. [id1997]Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn y + z = x y2 + z2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 4 P = + + + (x + 1)2 (y + 1)2 (z + 1)2 (x + 1) (y + 1) (z + 1) Câu 444. [id1998](HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn y + z = x y2 + z2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 4 P = + + + (x + 1)2 (y + 1)2 (z + 1)2 (x + 1) (y + 1) (z + 1) 52
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] | Chủ đề 5. Hình học phẳng # » Câu 445. [id2433](HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Cho tam giác OAB . Đặt OA = #» # » #» # » # » # » 1 # » # » 1 # » a , OB = b . Gọi C , D , E là các điểm sao cho AC = 2AB , OD = OB , OE = OA . Hãy biểu # » # » # » #» #» 2 3 thị các vectơ OC , CD , DE theo các vectơ a , b . Từ đó chứng minh C , D , E thẳng hàng Câu 446. [id2434](HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Cho tam giác ◦ # » # » ABC có AB = c, AC = b và BAC[ = 60 . Các điểm M, N được xác định bởi MC = −2MB và # » −1 # » NA = NB . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau 2 Câu 447. [id2435](HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông cân tại A , có trọng tâm G . Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A . Chứng minh EC ⊥ ED Câu 448. [id2436](HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có AB = 1 # » # » # » # » , AC = x và BAC[ = 60◦ . Các điểm M , N được xác định bởi MC = −2MB và NB = −2NA . Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau Câu 449. [id2437](HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC , ta có # » # » # » # » # » # » 1 GA.GB + GB.GC + GC.GA = − (AB2 + BC2 + CA2) 6 Câu 450. √[id2438](HSG11# » # » Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại B , BC = a√ 3 . Tính AC.CB . √ a2 3 a2 3 A. − . B. 3a2 . C. . D. −3a2 . 2 2 Câu 451. [id2439](HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại A , r2 đặt BC = a , AC = b , AB = c . Cho biết a , b , c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tính B, C Câu 452. [id2440](HSG10 CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI 2018-2019) Giả sử √ √ a = 6cm , b = 2 cm , c = 1 + 3 cm . Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC và diện tích tam giác ABC Câu 453. [id2441](HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019)Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c , độ dài ba đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là ha, hb, hc . Biết rằng asinA + bsinB + csinC = ha + hb + hc. Chứng minh tam giác ABC đều Câu 454. [id2442](HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; BA = c và diện tích là S . Biết S = b2 − (a − c)2 . Tính tanB? Câu 455. [id2443](HSG10 HÀ NAM 2018-2019)Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn a3 + b3 + c3 2r + = 4. abc R Chứng mình tam giác ABC là tam giác đều 53
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 456. [id2444](HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019)Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c , độ dài ba đường trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt là ma, mb, mc a b c √ . Chứng minh rằng: + + ≥ 2 3 ma mb mc Câu 457. [id2445](HSG10 HÀ NAM 2018-2019) Cho tứ giác lồi ABCD có AC ⊥ BD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 1 . Đặt diện tích tứ giác ABCD bằng S và AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. (ab + cd) (ad + bc) Tính giá trị biểu thức T = S Câu 458. [id2446](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Cho tam giác ABC có BC = 1 a ; AC = b và diện tích bằng S . Tính các góc của tam giác này biết S = a2 + b2 4 Câu 459. [id2447](HSG 12 Yên Lạc 2 Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có r2 BC = a, AB = c, AC = b . Biết góc BAC[ = 90◦ và a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. 3 Tính số đo góc B, C Câu 460. [id2448](HSG10 Nam Tiền Hải Thái Bình 2018-2019) Chứng minh rằng: 2 (m2 + m2 + m2) a Sin A + b Sin B + c Sin C = a b c 3R với mọi tam giác ABC .( a = BC , b = AC , c = AB ; ma , mb , mc lần lượt là độ dài đường trung tuyến hạ từ A, B, C ; R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) Câu 461. [id2449](HSG12 Quảng Ninh 2018-2019) Cho tam giác ABC có cạnh BC = a , AB = c thỏa mãn √ B √ B 2a − c. cos = 2a + c. sin , 2 2 với 2a > c Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân Câu 462. [id2450](HSG12 tỉnh GIA LAI 2018-2019) Cho tam giác ABC có AB = c , BC = a a √ , CA = b , h là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A và b + c = + h 3 . Chứng minh rằng a 2 a ∆ABC đều Câu 463. [id2451](HSG10 Kim Liên 2018-2019) Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ. BC = a, CA = b, AB=c. 1. Chứng minh rằng (b2 − c2)cosA=a(c.cosC-b.cosB) . 2. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB2 + MC2 = MA2 Câu 464. [id2452](HSG10 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho tam giác nhọn ABC , gọi H, E, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C . Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S∆ABC và S∆HEK . Biết rằng S∆ABC = 4 S∆HEK , chứng minh 9 sin2A + sin2B + sin2C = 4 Câu 465. [id2453](HSG12 tỉnh QUẢNG NINH 2018-2019) Cho tam giác ABC không có góc vuông và có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng nếu a2 + b2 = 2c2 và tan A + tan C = 2 tan B thì tam giác ABC là tam giác đều 54
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 466. [id2454](HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có chu vi bằng √ 0 20, góc BAC[ = 60 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 3 . Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C lên BC, AC, AB và M là điểm trong tam giác ABC sao cho ABM[ = BCM[ = CAM\ = ϕ . Tính cot ϕ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 Câu 467. [id2455](HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho ∆ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB ở D, E, F . Đường thẳng qua A song song BC cắt DE, DF lần lượt tại M, N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn (I) \ tại điểm L khác D , NE MF = K . 1. Chứng minh A, K, L thẳng hàng. 2. Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại M, N cắt EF tại U, V . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN Câu 468. [id2456](HSG12 tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) Cho tam giác ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H , K là trung điểm BC và G là hình chiếu vuông góc của H trên AK . Lấy D đối xứng G qua BC và I đối xứng C qua D. Tia phân giác ACB[ cắt AB tại F và tia phân giác [BID cắt BD ở M , MF cắt AC tại E . 1. Chứng minh rằng D nằm trên đường tròn (O) . 2. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC ở X , XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM ở điểm thứ hai là Y . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn (O) Câu 469. [id2457](HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Cho tam giác ABC (AB > AC) là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) , H là trực tâm tam giác. Gọi J là trung điểm của BC . Gọi D là điểm đối xứng với A qua O . 1. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC, CH, BH . Chứng minh rằng tứ giác PMJN nội tiếp. 2. Cho biết BAC[ = 600 , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng 2[AHI = 3ABC[ Câu 470. [id2458](HSG10 HÀ NAM 2018-2019) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15 . Lấy các điểm N, P lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 5, CM = 10, AP = 4 . Chứng minh rằng AM ⊥ PN Câu 471. [id2459](HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho tam giác ABC , M là điểm di động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm vị trí điểm M để MB2 + MC2 − 2MA2 đạt giá trị nhỏ nhất Câu 472. [id2460](HSG12 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019)Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Các đường tròn (O1) ,(O2) cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại B, C. Gọi D là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) . 1. Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC; 2. Chứng minh ba đường thẳng BC,EF,HD đồng quy Câu 473. [id2461](HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có ABC[ = 60◦ . Gọi D là giao điểm của chân đường phân giác trong góc A với BC , điểm E và F lần lượt là hình AB S chiếu vuông góc của D lên AB và BC . Đặt = x , tính tỉ số DEF theo x và tính tỉ số đó khi AC SABC BD = 3, BC = 9 Câu 474. [id2462](HSG12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Cho tam giác đều OAB có AB = a . Trên đường thẳng (d) đi qua O vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy một điểm M sao cho OM = x . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB. Đường thẳng EF cắt đường thẳng (d) tại N. 55
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] 1. Chứng minh rằng AN ⊥ BN. 2. Xác định x theo a để thể tích khối tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó Câu 475. [id2463](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh a . Trên các cạnh BC , CA , AB lần lượt lấy các điểm N, M, P sao cho a 2a BN = ; CM = ; AP = x (0 < x < a) . 3 3 Tìm x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM Câu 476. [id2464](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Cho tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh BC , CA , AB lần lượt lấy các điểm N , M , P sao cho BN = na , CM = ma , AP = x với 0 < n < 1 , 0 < m < 1 , 0 < x < a . Tìm giá trị của x theo m, n, a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM Câu 477. [id2465](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Cho tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh BC , CA , AB lần lượt lấy các điểm N , M , P sao a 2a cho BN = , CM = , AP = x với 0 < x < a . Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN tạo 3 3 với đường thẳng PM một góc 60◦ Câu 478. [id2466](HSG11 tChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có AB = AC , các điểm D , E , F lần lượt nằm trên các cạnh BC , CA , AB sao cho DE //AB , DF //AC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại các điểm A , G . Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm H (H 6= E) . Đường thẳng qua G vuông góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm K (K 6= G) , đường thẳng qua G vuông góc với GC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm L (L 6= G) . Gọi P , Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GDK , GDL . Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên cạnh BC thì: 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định. 2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định Câu 479. [id2467](HSG12 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019)Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD được sơn trang trí như hình bên. Chi phí để sơn phần tô đậm là 250.000 đồng/ m2 và phần còn lại là 160.000 đồng/ m2 . Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên là bao nhiêu? Biết AD = 4 m , CD = 3 m và AE = EF = FB Câu 480. [id2468](HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019) Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp (O) . Một đường tròn (J) thay đổi đi qua B, C và cắt các đoạn thẳng AB , AC lần lượt tại D và E . Trên đường thẳng BC lấy hai điểm phân biệt R, S sao cho (DER) và (DES) tiếp xúc với đường thẳng BC . Giả sử (ADE) cắt (O) tại M khác A . Gọi (O0) là đường tròn ngoại tiếp tam giác RSM . 1. Chứng minh rằng đường tròn (O0) đi qua trực tâm của tam giác ARS . 2. Chứng minh rằng điểm O0 luôn di động trên một đường thẳng cố định khi (J) thay đổi 56
Truy cập gõ [id50] sẽ tìm được lời giải câu gắn mã [id50] Câu 481. [id2469](HSG10 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có trọng tâm # » # » #» PA G và điểm N thỏa mãn NB − 3NC = 0 . Gọi P là giao điểm của AC và GN , tính PC Câu 482. [id2470](HSG12 HCM ngày 2 năm 2018-2019) Cho AB là một dây cố định khác đường kính của đường tròn (O) cố định. Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB . Xét đường tròn (O0) thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB và tiếp xúc trong với (O) ( sao cho O0 khác phía với M so với đường thẳng AB ). Các đường thẳng qua M vuông góc với O0A , O0B cắt đường thẳng AB lần lượt tại các điểm C, D . 1. Chứng minh rằng AB = 2CD . 2. Gọi T là một điểm thuộc (O0) sao cho ATB[ = 90◦ . Tiếp tuyến của (O0) tại T cắt đoạn AB tại N và đường thẳng MN cắt (O) tại K khác M . Vẽ đường tròn qua M, K và tiếp xúc ngoài với (O0) tại S . Chứng minh rằng điểm S luôn di động trên một đường tròn cố định khi (O0) thay đổi Câu 483. [id2471](HSG12 tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O) . Phân giác trong góc BAC[ cắt (O) tại điểm D khác A , lấy E đối xứng B qua AD , đường thẳng BE cắt (O) tại F khác B . Lấy điểm G di chuyển trên cạnh AC ( G khác A, C ), đường thẳng BG cắt (O) tại H khác B. Đường thẳng qua C song song AH cắt FD tại I . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCG cắt EI tại hai điểm phân biệt K, L . Chứng minh rằng đường trung trực đoạn thẳng KL luôn đi qua một điểm cố định Câu 484. [id2473](HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019 (2)) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) , đường tròn tâm I tiếp xúc với các tia AB , AD lần lượt tại E và F , đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm T . Hai tiếp tuyến tại A và T của đường tròn (O) cắt nhau tại K . Các đường thẳng TE , TF lần lượt cắt đường tròn (O) thứ tự tại các điểm M, N ( M, N khác T ). 1. Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng. 2. Đường phân giác của góc BAC cắt đường thẳng MC tại P , đường thẳng KP cắt đường thẳng CN tại Q . Chứng minh rằng: Nếu N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD bằng nhau Câu 485. [id2474](HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP . Gọi G là giao điểm của AQ và BM , H là giao điểm của AN và CP . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ , HNP cắt nhau tại E và F ( E nằm trong đường tròn (O) ). 1. Chứng minh rằng ba điểm A, E, F thẳng hàng. 2. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, O, E cùng thuộc một đường tròn Câu 486. [id2475](HSG chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) Cho đường thẳng d và điểm A cố định không thuộc d, H là hình chiếu của A trên d. Các điểm B, C thay đổi trên d sao cho HB.HC = −1. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N. 1. Chứng minh đường thẳng MN đi qua một điểm cố định. 2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC. Chứng minh O chạy trên một đường thẳng cố định. Câu 487. [id3146](Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Cho tam giác ABC . Gọi# » H #là » trực# » tâm# và » O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Chứng minh rằng: OH = OA + OB + OC 57