Tuyển tập đề học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Khối 9 - Năm học 2022-2023 - Vũ Ngọc Thành

73 trang Đình Phong 23/10/2023 6217

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập đề học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Khối 9 - Năm học 2022-2023 - Vũ Ngọc Thành", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_de_hoc_sinh_gioi_cap_tinh_mon_toan_khoi_9_nam_hoc.pdf

Nội dung text: Tuyển tập đề học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Khối 9 - Năm học 2022-2023 - Vũ Ngọc Thành

VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 9 Tỉnh Hà Tĩnh • Giáo viên gĩp đề: Nguy ễn D ươ ng Quang Minh • Giáo viên gĩp đề: Nguy ễn Duy Hồng • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. I.PH ẦN GHI K ẾT QU Ả: 5 4 3 2 Câu 1. Cho x =2 + 5 . Tính giá tr ị bi ểu th ức Px=−5 18 x − 10 x − 13 xx ++ 3 4 . 1 2 5x12x− − Câu 2. Cho bi ểu th ức C= + − : . Tìm t ất c ả các giá tr ị nguyên c ủa x để 1− x x1 + 1x− x1 − giá tr ị của bi ểu th ức C là s ố nguyên. 11 1 1 14+ 3 4 + 5 4 + + 29 4 44 4 4 Câu 3. Tính giá tr ị của bi ểu th ức A = . 1 1 1 1 24+ 4 4 + 6 4 + ⋯ 30 4 + 4 4 4 4 Câu 4. Tìm s ố tự nhiên n để B= n2 + 4n + 2013 là s ố chính ph ươ ng. Câu 5. Gọi M là hình chi ếu vuơng gĩc c ủa g ốc t ọa độ O trên đường th ẳng y=() m2x + +− m5 với m là tham s ố. Khi OM đạt giá tr ị lớn nh ất thì giá tr ị của m b ằng bao nhiêu? Câu 6. Cho các s ố th ực d ươ ng a, b th ỏa mãn a32− ab + ab 2 −6 b 3 = 0 . Tính giá tr ị của bi ều th ức 4a4− b 4 P = . 4b4− a 4 3 Câu 7. Cho tam giác ABC vuơng t ại A đường cao AH . Bi ết r ằng AH= ,BC = 4BH . Tính di ện 2 tích tam giác ABC . Câu 8. Cho tam giác ABC vuơng t ại A cĩ 4AB= 3AC, BC = 25 . V ẽ hình ch ữ nh ật DEFG nội ti ếp tam giác ABC sao cho D thu ộc c ạnh AB , E thu ộc c ạnh AC , F và G thu ộc c ạnh BC . Tính di ện tích l ớn nh ất c ủa hình ch ữ nh ật DEFG . Câu 9. Cho a, b khơng âm th ỏa mãn 2ab+≤ 4,2 a + 3 b ≤ 6 . Tìm giá tr ị lớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức P= a2 − 2a − b . Câu 10. Gi ải ph ươ ng trình 3x2 ++ 33 3x = 2x + 7 . II. PH ẦN T Ự LU ẬN (Thí sinh trình bày L ời gi ải vào t ờ gi ấy thi) 2 2 2xy x+ y + = 1 Câu 11. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x+ y 2 2xy++ 1() x −−= x 12
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 12. Cho n ửa đường trịn tâm O đường kính AB= 2R . L ấy điểm M bất k ỳ trên n ửa đường trịn ( M khác A, B ), các ti ếp tuy ến t ại A và M của n ửa đường trịn (O) cắt nhau t ại K . G ọi E và giao điềm c ủa AM và OK . Đường th ẳng qua O vuơng gĩc v ới AB cắt BM tại N . a) Tính BM. AN theo R . b) Vẽ MH vuơng gĩc v ới AB tại H . Gọi F là giao điềm c ủa BK và MH . Ch ứng minh r ằng EF song song v ới AB và BH.OK= OE ⋅ AB . Câu 13. Cho các s ố th ực khơng âm x, y,z th ỏa mãn x3+ y 3 + z 3 = 3 . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức xy+ yz + zx + x3 + y 3 + z 3 P = . 5() xy+ yz + zx + 1 Hết
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG D ẪN GI ẢI • Giáo viên gĩp đề: Nguy ễn D ươ ng Quang Minh • Giáo viên gĩp đề: Nguy ễn Duy Hồng • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. 5 4 3 2 Câu 1. Cho x =2 + 5 . Tính giá tr ị bi ểu th ức Px=−5 18 x − 10 x − 13 xx ++ 3 4 . Lời gi ải Ta cĩ x2=+ 5 ⇔− (x2)2 =⇔ 5 x 2 − 4x10 −= , do đĩ P=− 5x5 20x 434323 −+−−+− 5x 2x 8x 2x 3x 12x 2 −+−−++ 3x x 2 4x 110x 5 P5xx=3( 2 −−+ 4x1) 2xx22( −−+ 4x1) 3x( x 2 −−+−−+ 4x1) ( x 2 4x1) 102( ++ 5) 5 P =25 + 10 5 . 1 2 5x12x− − Câu 2. Cho bi ểu th ức C= + − : . Tìm t ất c ả các giá tr ị nguyên c ủa x để 1− x x1 + 1x− x1 − giá tr ị của bi ểu th ức C là s ố nguyên. Lời gi ải 1 ĐKX Đ: x≥ 0;x ≠ 1;x ≠ 4 2 Ta cĩ C = . Để C∈ Z thì 1− 2x ∈ U2( ) =−−{ 2;1;1;2} ⇔∈ x{ 1;0 } 1− 2 x Đối chi ếu ĐKX Đ ta cĩ x= 0 . 11 1 1 14+ 3 4 + 5 4 + + 29 4 44 4 4 Câu 3. Tính giá tr ị của bi ểu th ức A = . 1 1 1 1 24+ 4 4 + 6 4 + ⋯ 30 4 + 4 4 4 4 Lời gi ải 11 12 11 Với n ∈ ℕ* , ta cĩ n4+=++−= nn 42 nn 22 + −= nnn 22 −+ nn 2 ++ 44 2 22 lần l ượt thay n= 1,3,5, , 29 Ta cĩ 1111 1 1 112222−+ 11 ++ 33 −+ 33 ++ 2929 2 −+ 2929 2 ++ 2222 2 2 A = . 1111 1 1 222222−+ 22 ++ 44 −+ 44 ++ 3030 2 −+ 3030 2 ++ 2222 2 2 1111 1 1 Ta th ấy 112222++=−+ 2 2 ;2 ++=−+ 2 33 ,,29 2 ++= 29 3030 2 −+ 2222 2 2
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 1 Do đĩ A = 1861 Câu 4. Tìm s ố tự nhiên n để B= n2 + 4n + 2013 là s ố chính ph ươ ng. Lời gi ải Đặt n2+ 4n + 2013 = a 2 . V ới a∈ N ta cĩ a2− (n + 2) 2 = 2009 Vì a+( n2 +) >− a( n2 + ) ta cĩ các tr ường h ợp: a+( n + 2) = 2009 TH1. ⇔2n() + 2 = 2008 n= 1002 a−() n2 + = 1 a+( n + 2) = 287 TH2. ⇔2n() + 2 = 280 n= 138 a−() n2 + = 7 a+( n + 2) = 49 TH3. ⇔2n2() + = 8 n= 2 a−() n + 2 = 41 Vậy n∈{ 2;138;1002 } là các giá tr ị cần tìm. Câu 5. Gọi M là hình chi ếu vuơng gĩc c ủa g ốc t ọa độ O trên đường th ẳng y=( m2x +) +− m5 với m là tham s ố. Khi OM đạt giá tr ị lớn nh ất thì giá tr ị của m b ằng bao nhiêu? Lời gi ải Xét m= − 2 y= − 7 khi đĩ OM= 7 Xét m≠ − 2 . G ọi A,B là giao điểm c ủa đường th ẳng y=( m2x +) +− m5 với tr ục Ox,Oy . 5− m Tọa độ của A ;0,B0;m ()− 5 m+ 2 5− m Suy ra OA= ;OB = m5 − m+ 2 1 1 1 OA2⋅ OB 2 m 2 −+−+ 10 m 25 (7 m 15) 2 Ta cĩ = + OM2 = = = +≤50 50 OM222 OA OB OA 222+ OB m ++ 4 m 5 ( m ++ 2) 2 1 15 Vậy OM cĩ giá tr ị lớn nh ất b ằng 50 khi đĩ m = − 7 Câu 6. Cho các s ố th ực d ươ ng a, b th ỏa mãn a32− ab + ab 2 −6 b 3 = 0 . Tính giá tr ị của bi ều th ức 4a4− b 4 P = . 4b4− a 4 Lời gi ải Ta cĩ a32−+−=⇔− a b ab 23 6 b 0 a 322 2a b +− a b 2ab 223 + 3ab − 6 b = 0 b 2 11 b 2 Vì aabba2−+3 2 =− + = 0 ab= = 0 lo ại) 2 4
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 −63 Vậy a= 2 b P = 12 3 Câu 7. Cho tam giác ABC vuơng t ại A đường cao AH . Bi ết r ằng AH= ,BC = 4BH . Tính di ện 2 tích tam giác ABC . Lời gi ải A x 3x B C H Đặt BH= x suy ra CH= 3x 3 1 Ta cĩ BH.CH= AH2 3x 2 = ⇔ x = . 4 2 1 1 3 B4.4C= = S= AHBC . = 2ABC 2 2 Câu 8. Cho tam giác ABC vuơng t ại A cĩ 4AB= 3AC, BC = 25 . V ẽ hình ch ữ nh ật DEFG nội ti ếp tam giác ABC sao cho D thu ộc c ạnh AB , E thu ộc c ạnh AC , F và G thu ộc c ạnh BC . Tính di ện tích l ớn nh ất c ủa hình ch ữ nh ật DEFG . Lời gi ải A x D E B C G H F Kẻ đường cao AH AB AC AB2 AC 2 Ta cĩ 4AB= 3AC = = 3 4 9 16 AB2+ AC 2 BC 2 25 2 = === 25 AB= 15;AC = 20 . 916+ 25 25 AB⋅ AC Lại cĩ AH= = 12 . Đặt AD= x BD= 15 − x BC
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 DE AD x 5x DG BD 15− x 4( 15− x ) Do đĩ = = DE= ; = = DG = BC AB 15 3 AH AB 15 5 1 1 Suy ra S=⋅ DEDG =⋅4 x() 15 −≤ x [x15 +−= x]2 75 . V ậy di ện tích hình ch ữ nh ật DEG 3 3 DEFG đạt giá tr ị lớn nh ất b ằng 75 . Câu 9. Cho a, b khơng âm th ỏa mãn 2ab+≤ 4,2 a + 3 b ≤ 6 . Tìm giá tr ị lớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức P= a2 − 2a − b . Lời gi ải Ta cĩ 2ab4+≤⇔≥ 42ab2a +≥ ⇔≥⇔ 2a 2aa ≥2 ⇔ a 2 ≤ 2a Do đĩ P= a2 − 2a −≤ b 2a − 2a −≤ b 0 . V ậy GTLN c ủa P bằng 0 khi (a;b)∈{( 0;0) ,( 2;0 )} . 2a − 6 Mặt khác 2a+ 3 b ≤ 6 ⇔−≥ b 3 2a − 6 2 2 22 22 Suy ra Paabaa=−−≥−+22 2 2 =− a −≥− 3 399 22 2 14 Vậy GTNN c ủa P bằng − khi ()a;b= ; . 9 3 9 Câu 10. Gi ải ph ươ ng trình 3x2 ++ 33 3x = 2x + 7 . Lời gi ải ĐKX Đ: x≥ 0 . Ta cĩ 3x2 + 33 −()() x5 += x2 +− 3x . x2−10x +8x 2 − 5 x + 4 2 1 ⇔ = ⇔ ()()x −−1x 4 = = 0 3x2 + 33 + x + 5 x +2 + 3 x 3x2 + 33 + x + 5 x+2 + 3 x x =1 Xét ()()x−1 x − 4 =⇔ 0 x = 4 2 1 Xét − = 0 3x2 + 33 + x + 5 x+2 + 3 x Với x =1 là nghi ệm. 3( x − 11 ) Với x ≠ 1 ta cĩ =⇔1 3x2 ++ 336 x =− 3 x 33 3x2 + 33 + 6 x kết h ợp v ới 3x2 ++ 33 3 x = 2x + 7 được x− 3x − 40 = 0 Vậy t ập nghi ệm ph ươ ng trình S = {1;4;64 } . II. PH ẦN T Ự LU ẬN (Thí sinh trình bày Lời gi ải vào t ờ gi ấy thi)
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 2 2 2xy x+ y + = 1 Câu 11. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x+ y 2 2xy++ 1() x −−= x 12 Lời gi ải ĐKX Đ: x+≠ y 0;2x ++> y 1 0;x2 −−> x 1 0 * ( ) 2xy Từ ph ươ ng trình x2+ y 2 + = 1 . x+ y x2(xy++) yxy 2 ( ++) 2 xy− x − y = 0 ⇔ x2( xy+−+) x 22 yxyyx( +−+) 22+ 2 xyyxy +−− 2 = 0 ⇔ xxy2( +−+1) yxy 2 ( +− 1) ++( xyxy)( +− 1 ) = 0 ⇔ ( x+−y1)( x2 + y 2 + x + y ) = 0 Xét x+ y −1 = 0 , thay vào ph ươ ng trình 2xy++ 1 x2 −−= x 12 được x+2 x2 −−= x 1 2 ( ) ( ) 2 Với điều ki ện x2 − x −1 ≥ 0 , ta cĩ ()x+2( x2 −− x 1) = 4 . 2 ⇔ ()x+2( x4−2x 3 − x 2 + 2140 x +) − = ⇔ ( x+2)( x4−2x 3 − x 2 + 214 x +) − = 0 ⇔ x5− 5 x 3 + 5 x − 2 = 0 ⇔ ( x−2)(x4+ 2x 3 −−+= x 2 2 x 1 ) 0 2 ⇔ ()x−2( x2 + x − 1) = 0 Với x−20 = ⇔ x = 2 y = − 1 (TM ĐK). −−15 35 + −+ 15 Với xx2 +−=10 ⇔ x = y= ; x = xx2 − − 10 10) theo ĐKX Đ thay vào ĐKX Đ * ( ) −1 − 53 + 5  Hệ ph ươ ng trình cĩ t ập nghi ệm ()()x;y∈ 2;1, − ;  . 2 2  Câu 12. Cho n ửa đường trịn tâm O , đường kính AB= 2 R . L ấy điểm M bất kì trên n ửa đường trịn ( M khác A, B ), các ti ếp tuy ến t ại A và M của n ửa đường trịn (O) cắt nhau t ại K . G ọi E là giao điểm c ủa AM và OK . Đường th ẳng qua O vuơng gĩc v ới AB cắt BM tại N . a) Tính BM. AN theo R .
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 b) Vẽ MH vuơng gĩc v ới AB tại H . G ọi F là giao điểm c ủa BK và MH . Ch ứng minh r ằng EF song song v ới AB và BH. OK= OE . AB . Lời gi ải BM BA 2 a) Ta cĩ BMA= BON =90 ° ∆BMA∽ ∆ BNO = BMBN.= BABO . = 2 R BO BN Vì NO⊥ AB nên ∆ANB cân t ại N . Suy ra BN= AN , suy ra BMAN.= 2 R 2 . b) Ta cĩ KM= KAOM, = OA nên KO là trung tr ực c ủa AM , suy ra KO⊥ AM và EA= EM (1) . Gọi P là giao điểm c ủa đường th ẳng BM và đường th ẳng AK . Ta cĩ ∆AMP vuơng t ại M , cĩ KA= KM nên KA= KM = KP . FM BF FH Áp d ụng h ệ qu ả định lí Thales, ta cĩ = = FM= FH (2) KP BK KA Từ (1), (2) suy ra EF là đường trung bình ∆AHM nên EF// AB . Mặt khác OK cũng là đường trung bình c ủa ∆ABP nên OK// BP . BM BA Ta cĩ ABM= AOK và AMB= OAK =90 ° ∆BMA∽ ∆ OAK = OA OK BM BH Tươ ng t ự ∆BHM∽ ∆ OEA = . OA OE BA BH Suy ra = BHOK.= OE . AB . OA OE 3 3 3 Câu 13. Cho các s ố th ực khơng âm x, y,z th ỏa mãn x+ y + z = 3 . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức xy+ yz + zx + x3 + y 3 + z 3 P = . 5() xy+ yz + zx + 1 Lời gi ải Áp d ụng B ĐT Cauchy ta cĩ 9x=3 +++ 11y 3 +++ 11z 3 ++≥ 113xyz() ++ ⇔xy + yz + zx ≤ 3 . Lại cĩ 3() xy++ yz zx ≤++ (x y z)2 ≤⇔++≤ 9 xy yz zx 3 .
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 5( xy+ yz + zx) + 15 14 1415 3 Do đĩ 5P= =+ 1 ≥+= 1 P ≥ . 5xyyzzx()+++ 1 5xyyzzx() +++ 1 5.31 + 8 8 3 Vậy giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa P bằng . Đạt được khi x= y = z = 1 . 8
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 9 Tỉnh Khánh Hịa • Giáo viên gĩp đề: Nguy ễn Bá Vinh + 0384 93 77 30 • Giáo viên gĩp đề: Đặng Mai Qu ốc Khánh + 0905712246 • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (4,0 điểm) ()3− 1.103 + 6 3 1. Rút g ọn bi ểu th ức A= 6+ 25 − 5 2 xy +1  2. Cho x, y là các s ố nguyên th ỏa mãn d ẳng th ức x2+ y 2 +  = 2 . Ch ứng minh r ằng  x+ y  xy +1 là m ột s ố chính ph ươ ng. Câu 2. (4,0 điểm) 1. Cho đa th ức f() x khác h ằng với các h ệ số nguyên th ỏa mãn f()()()3.4 f= f 7 . Ch ứng minh rằng đa th ức f() x −12 khơng cĩ nghi ệm nguyên. 2. Tìm 3 số nguyên t ố sao cho tích c ủa chúng g ấp 5 lần t ổng c ủa chúng. Câu 3. (4,0 điểm) 6x− 4 1. Gi ải ph ươ ng trình 2x+− 4 22 −= x x2 + 4 2. Cho a, b là hai s ố th ực l ớn h ơn 1 và th ỏa mãn điều ki ện a+ b ≤ 4 . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa a4 b 4 bi ểu th ức B =3 + 3 . ()b−1() a − 1 Câu 4. (6,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC , I là m ột điểm b ất k ỳ nằm trong tam giác. Qua I vẽ đường th ẳng DE song song v ới AB ( D∈ AB, E ∈ BC ) và đường th ẳng IM song song v ới BC ( M∈ AC ). Tính ID BE CM giá tr ị của bi ểu th ức + + . AB BC CA 2. Cho hình vuơng ACD cĩ tâm O . Điểm E thay đổi trên c ạnh BC ( E khác B và C ). G ọi F là giao điểm c ủa tia AE và đường th ẳng CD , g ọi H là giao điểm c ủa OE và BF . 1 1 a) Ch ứng minh r ằng + khơng đổi. AE2 AF 2 b) Tìm v ị trí điểm E để di ện tích tam giác HAD đạt giá tr ị lớn nh ất. Câu 5. (2,0 điểm) Một t ứ giác l ồi cĩ độ dài b ốn c ạnh đều là s ố tự nhiên sao cho t ổng ba s ố bất kì trong chúng chia hết s ố cịn l ại. Ch ứng minh r ằng t ứ giác đĩ cĩ ít nh ất hai c ạnh b ằng nhau. Hết
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG D ẪN GI ẢI • Giáo viên gĩp đề: Nguy ễn Bá Vinh + 0384 93 77 30 • Giáo viên gĩp đề: Đặng Mai Qu ốc Khánh + 0905712246 • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (4,0 điểm) ( 3− 1.10) 3 + 6 3 1. Rút g ọn bi ểu th ức A= 6+ 25 − 5 2 xy +1  2. Cho x, y là các s ố nguyên th ỏa mãn d ẳng th ức x2+ y 2 +  = 2 . Ch ứng minh r ằng  x+ y  xy +1 là m ột s ố chính ph ươ ng. Lời gi ải ( 3− 1.10) 3 + 6 3 1. Rút g ọn bi ểu th ức A= 6+ 25 − 5 3 ()31.1063−+3 ( 3− 1.) 3 ( 3 + 1 ) () 31.31 −+() A = = = = 2 2 6+ 25 − 5 ( 5+ 1) − 5 ()5+ 1 − 5 2 xy +1  2. Cho x, y là các s ố nguyên th ỏa mãn d ẳng th ức x2+ y 2 +  = 2 . Ch ứng minh r ằng  x+ y  xy +1 là m ột s ố chính ph ươ ng. Cách 1: 2 2 xy+12  xy + 1 x2++ y 2  =⇔+−2()() x y 21 xy ++   = 0 xy+  xy +  2 2 xy+1  xy + 1  ⇔+−+()()xy2 xy . +   = 0 xy+   xy +  2 xy +1  ⇔+−x y  = 0 x+ y  xy +1 ⇔+−x y = 0 x+ y xy +1 ⇔x + y = x+ y 2 ⇔+1 xy =( x + y ) Vì x, y ∈ℤ nên x+ y ∈ ℤ ⇒ xy +1 là m ột s ố chính ph ươ ng. Cách 2: Đặt x+ y = a, xy = b ⇒x2 + y 2 = a 2 − 2 b
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2 2 2 2 xy +1  (b +1) Theo gi ả thi ết: x+ y +  = 2 ⇔−+a2 2 b = 2  x+ y  a2 ⇔−a2222 abb +++− 212 b a 2 = 0 2 ⇔(ab2 −) −2( ab 2 −+=) 1 0 2 ⇔(a2 −− b 1) = 0 ⇔a2 − b −=1 0 ⇔b +1 = a 2 2 Hay xy+1 =( xy + ) là m ột s ố chính ph ươ ng v ới x, y là các s ố nguyên. Câu 2. (4,0 điểm) 1. Cho đa th ức f( x ) khác h ằng v ới các h ệ số nguyên th ỏa mãn f(3.4) f( )= f ( 7 ). Ch ứng minh rằng đa th ức f( x )−12 khơng cĩ nghi ệm nguyên. 2. Tìm 3 số nguyên t ố sao cho tích c ủa chúng g ấp 5 lần t ổng c ủa chúng. Lời gi ải 1. Cho đa th ức f( x ) khác h ằng v ới các h ệ số nguyên th ỏa mãn f(3.4) f( )= f ( 7 ). Ch ứng minh rằng đa th ức f( x )−12 khơng cĩ nghi ệm nguyên. Gi ả sử f( x ) −12 cĩ nghi ệm nguyên x= a ⇒ fx()12− =( xagx − ) .() ⇒ fx( )=( x − agx). ( ) + 12     ⇒73.4 =ff( ) ( ) = (3– ag) .( 3)+ 12 . ( 4– ag) .( 4)+ 1 2   ⇒ 73=−+( −a)(4 a) . g( 3) .g( 4) 12(3−a) . g ( 3)+ (4.− a) g(4)  + 12.1 2 + 12 (*) Vì (3 – a) và (4 – a) là hai s ố nguyên liên ti ếp nên tích chia h ết cho 2 ⇒ Vế ph ải c ủa (*) chia h ết cho 2 , nh ưng v ế trái khơng chia h ết cho 2 (Vơ lý) ⇒ Điều gi ả sử sai. Vậy f( x ) –12 khơng cĩ nghi ệm nguyên. 2. Cách 1: Gọi 3 s ố nguyên t ố cần tìm là a, b , c . Khi đĩ, ta cĩ: abc 5=( a + b + c) abc 5⋮
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Vì a, b , c cĩ vai trị bình đẳng nên khơng m ất tính t ổng quát, gi ả sử a⋮5 a = 5 (vì a∈ P ) Khi đĩ: 5 55bc=( ++ bc) ⇔++= 5 bcbc . ⇔ bcbc . −−+= 16 ⇔bc( −−−=⇔−1) ( c 16) ( cb 1)( −= 16) Vì b; c là các s ố nguyên t ố nên b – 1 và c – 1 là hai s ố nguyên d ươ ng. mà (b – 1)(c – 1) = 6 = 1.6 = 2.3 nên ta cĩ b ảng sau: b – 1 1 6 2 3 c – 1 6 1 3 2 b 2 7 3 4 c 7 2 4 3 (Th ỏa mãn) (Th ỏa mãn) (Lo ại vì (Lo ại vì c ∉ P) b ∉ P) Do vai trị c ủa a, b , c là bình đẳng nên ba s ố cần tìm là 2; 5; 7 Vậy ba s ố cần tìm là 2; 5; 7 Cách 2: (Ph ươ ng pháp s ắp th ứ tự tồn ph ần) Gọi 3 s ố nguyên t ố cần tìm là a, b , c . Khi đĩ, ta cĩ: 1 1 1 1 abc=5( a ++⇔ b c ) + + = bc ca ab 5 Vì a, b , c cĩ vai trị bình đẳng. Khơng m ất tính t ổng quát, ta cĩ th ể gi ả sử a≥ b ≥ c a≥ b ac ≥ bc Do đĩ, abc≥ ≥ abacbc≥ ≥ b≥ c ab ≥ ac 1 1 1 ≤ ≤ ab ac bc 1 1 ≤ 3. 5 bc bc ≤ 15 cb=3; = 5 15a= 5( a + 8 ) al = 4 ( ) Mà b, c là số nguyên t ố và b≥ c nên cb=2; = 5 10 aa= 5() + 7 atm= 7() cb=2; = 3 6a= 5() a + 5 al = 25( ) Do vai trị c ủa a, b , c là bình đẳng nên ba s ố cần tìm là 2; 5; 7 Vậy ba s ố cần tìm là 2; 5; 7 Câu 3. (4,0 điểm) 6x− 4 1. Gi ải ph ươ ng trình 2x+− 4 22 −= x x2 + 4
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2. Cho a, b là hai s ố th ực l ớn h ơn 1 và th ỏa mãn điều ki ện a+ b ≤ 4 . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa a4 b 4 bi ểu th ức B =3 + 3 . (b−1) ( a − 1 ) Lời gi ải 6x− 4 1. Gi ải ph ươ ng trình 2x+− 4 22 −= x x2 + 4 Điều ki ện: −2 ≤ x ≤ 2 6x− 4 Ta cĩ: 2x+− 4 22 −= x x2 + 4 2( 3x− 2 ) 23x(− 2 ) ⇔ = 2x+ 4 + 22 − x x2 + 4 2 x = ⇔ 3 2x422x++ −= x2 + 4 (*) Ta cĩ: (*)⇔422x2x ( + )( −−−+= ) x2 2x8 0 ⇔422x2x( + )( −+− )( 2xx4 )( += ) 0 ⇔−2x422x( ( ++− ) ( 2xx4 ).( += ) ) 0 2− x = 0 ⇔ 422x(++ ) ( 2xx4 − ).( += ) 0 ( ) + V ới 2− x = 0 ⇔x = 2 (th ỏa ĐK) + V ới −2 ≤ x ≤ 2 thì VT c ủa ( ) luơn d ươ ng nên ( ) vơ nghi ệm. 2  Vậy tập nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là S = 2;  . 3  2. Cho a, b là hai s ố th ực l ớn h ơn 1 và th ỏa mãn điều ki ện a+ b ≤ 4 . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa a4 b 4 bi ểu th ức B =3 + 3 . (b−1) ( a − 1 ) Cách 1: Do a>1, b > 1 nên a−>1 0, b −> 1 0 Áp d ụng B ĐT Cauchy cho hai s ố dươ ng, ta cĩ: 2a2 b 2 B ≥ (1) ()()()()a−1 b − 1 a − 1 b − 1 b2 Ta l ại cĩ: 0< 1.()b − 1 ≤ () 2 4 a2 0< 1.()a − 1 ≤ () 3 4 4≥ab + ≥ 2 ab ab ≤ 44( ) Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2a2 b 2 .4 3 128 128 B ≥ = ≥ = 32 a3. b 3 a. b 4 a4 b 4 = Dấu “=” x ảy ra khi và ch ỉ khi ()b−13() a − 1 3 ⇔a = b = 2 a−=−=1 b 1 1; ab += 4 Vậy giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa B là 32 và đạt được khi a= b = 2 Cách 2: x= a − 1 Đặt ()x, y > 0 , vì a+ b ≤ 4 nên x+ y ≤ 2 y= b − 1 4 4 4 4 ()x+1() y + 1 AM− GM (2x) ( 2 y ) x2 y 2  Khi đĩ, B 16   =3 + 3 ≥ 3 +=+ 3 33  y x y x yx  AM− GM x2 y 2 1AM− GM 32 (x+ y ) ≤ 2 ≥16.2 . =≥ 32 ≥ 32 y3 x 3 xy x+ y    2   Dấu “=” x ảy ra t ại xy= =⇔1 ab = = 2 . Câu 4. (6,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC , I là m ột điểm b ất k ỳ nằm trong tam giác. Qua I vẽ đường th ẳng DE song song v ới AB ( D∈ AB, E ∈ BC ) và đường th ẳng IM song song v ới BC ( M∈ AC ). Tính ID BE CM giá tr ị của bi ểu th ức + + . AB BC CA 2. Cho hình vuơng ACD cĩ tâm O . Điểm E thay đổi trên c ạnh BC ( E khác B và C ). G ọi F là giao điểm c ủa tia AE và đường th ẳng CD , g ọi H là giao điểm c ủa OE và BF . 1 1 a) Ch ứng minh r ằng + khơng đổi. AE2 AF 2 b) Tìm v ị trí điểm E để di ện tích tam giác HAD đạt giá tr ị lớn nh ất. Lời gi ải: ID BE CM 1. Tính giá tr ị của bi ểu th ức + + . AB BC CA
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Cách 1: A D I M B E C Ta cĩ: IM // EC (gt) ⇒ ∆DIM∽ ∆ DEC (1) DE // AB (gt) ⇒ ∆DEC∽ ∆ ABC (2) Từ (1) và (2) suy ra: ∆DIM∽ ∆ ABC ID DM ⇒ = AB CA BE AD Lại cĩ DE // AB ⇒ = BC AC ID BE CM DM AD CM CA Vậy + + = + + = =1 AB BC CA CA CA CA CA Cách 2: B N E I A D C M Gọi N là giao điểm c ủa IM và AB . CM BN IE Xét ΔABC , ta cĩ: MN // BC = = (vì t ứ giác BNIE là hình bình hành) CA BA AB ID CM ID IE DE Suy ra + = + = . AB CA AB AB AB DE CE ID CM CE Ta l ại cĩ: DE // AB = .Suy ra + = . AB CB AB CA BC ID CM BE CE BE BC + += + = = 1. AB CA CB BC BC BC ID BE CM Vậy + + = 1 AB BC CA
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2. A B O M E H P Q H' D C F 1 1 a) Ch ứng minh r ằng + khơng đổi. AE2 AF 2 Cách 1: AB AD Ta cĩ: = cos BAE ; = sin DFA = sin BAE (Vì AB//DF nên DFA= BAE (so le trong)) AE AF AB 2  AD  2 Do đĩ +   = 1 AE   AF    2  1 1  ⇔AB  2 + 2  = 1 (vì AB = AD)  AE AF  1 1 1 ⇔ + = AE2 AF 2 AB 2 1 1 1 Vì khơng đổi nên + khơng đổi. ( đpcm) AB 2 AE2 AF 2 Cách 2: Xét ∆FDA và ∆ABE cĩ: DFA= BAE (so le trong, AB//DF) 0 FDA= ABE = 90 Suy ra ∆FDA∽ ∆ ABEg( − g ) AFDF AF 2 DF 2 = ⇒ = AE AB AE2 AB 2 Mà DF2= AF 2 − AD 2 = AF 2 − AB 2 AF2 AF 2− AB 2 AF2 AF 2 Nên = ⇒ = − 1 AE2 AB 2 AE2 AB 2 1 11 11 1 ⇒ = − ⇒ + = AE2 AB 22 AF AE 2 AF 2 AB 2 1 1 1 Vì khơng đổi nên + khơng đổi. ( đpcm) AB 2 AE2 AF 2 b) Tìm vị trí điểm E để di ện tích tam giác HAD đạt giá tr ị lớn nh ất.
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Gọi H’ là chân đường vuơng gĩc h ạ từ C xu ống BF. Ta cĩ: BH’. BF= BOBD . = BC 2 (h ệ th ức l ượng trong tam giác vuơng) BH' BO ⇒ = , mà DBF chung BD BF Nên ∆BHO'∽ ∆ BDFc ( −− g c ) 0 1 Suy ra BH' O= BDF = 45 ⇒BH' O = BH ' C 2 ⇒ H’O là tia phân giác c ủa BH' C (1) BE AB BC BH ' Lại cĩ: = = = EC CF CF HC' ⇒ H’E là tia phân giác c ủa BH' C (2) Từ (1) và (2) suy ra H’, O, E th ẳng hàng H' ≡ H CH⊥ BF Qua H k ẻ đường vuơng gĩc xuơng AD c ắt AD, BC l ần l ượt t ại P và Q. Gọi M là trung điểm c ủa BC. 3 2S= ADHP . = AD.() HQ +=+ PQ AD2 ADHQ . ≤+ AD 2 ADH . M = AD 2 HAD 2 3 S ≤ AD 2 . HAD 4 Dấu “=” x ảy ra khi HQ= HM ⇔≡ Q M ⇔ OQH, , th ẳng hàng ⇔E ≡ M (vì H, O , E th ẳng hàng). Vậy để di ện tích tam giác HAD đạt giá tr ị lớn nh ất thì E là trung điểm c ủa BC . Câu 5. (2,0 điểm) Một t ứ giác l ồi cĩ độ dài bốn cạnh đều là s ố tự nhiên sao cho t ổng ba số bất kì trong chúng chia h ết s ố cịn l ại. Ch ứng minh r ằng t ứ giác đĩ cĩ ít nh ất hai c ạnh b ằng nhau. Lời gi ải: Cách 1: Gi ả sử độ dài 4 c ạnh c ủa t ứ giác là abcd, , , ( abcd , , , ∈ℕ*) và khơng cĩ 2 c ạnh nào b ằng nhau. Khơng m ất tính t ổng quát, gi ả sử: a> b > c > d . bcd++ acd ++ bad ++ Đặt : x=; y = ; z = với x, y, z ∈ℕ* (1) a b c Từ a> b > c > d ⇒ x a nên x >1 hay x ≥ 2 ⇒ y ≥ 3 và z ≥ 4 Do đĩ t ừ (1) ta cĩ: bcd+ + ≥ 2 a ; acd+ + ≥ 3 b ; abd+ + ≥ 4 c Cộng 3 bất đẳng th ức này được 3d≥ b + 2 c (*) Mặt khác: a> b > c > d ⇒ 3d< b + 2 c mâu thu ẫn (*) ⇒ Điều gi ả sử sai.
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Vậy t ứ giác đĩ ph ải cĩ ít nh ất hai c ạnh bằng nhau (đpcm). Cách 2: Gọi độ dài các c ạnh c ủa t ứ giác là abcd, , , ( abcd , , , ∈ℕ* ) . Gi ả sử khơng cĩ 2 c ạnh nào c ủa t ứ giác b ằng nhau. Khơng m ất tính t ổng quát, gi ả sử a> b > c > d . (*) Do t ứ giác l ồi nên a > nm> > 3 n≥ 5, m ≥ 4 . Cộng (1), (2), (3) v ế theo v ế ta cĩ: 3(abcd+++) = 3 ambnc + + ≥+ 3 a 4 b + 5 c mà 3a+ mb + nc ≥+ 3 a 4 b + 5 c (vì n≥ 5, m ≥ 4 ) Suy ra 3(abcd+++) ≥ 3 a + 4 b + 5 c ⇔ (bd–) + 2–( cd ) ≤ 0 mâu thu ẫn (*) Vậy t ứ giác cĩ ít nh ất 2 c ạnh b ằng nhau.
ĐỖ VĂN LINH TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 9 Tỉnh Bắc Kạn Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (6,0 điểm) 3xx++ 14 x + 3 3 x + 2 x 1) Cho bi ểu th ức P = + − : ()x>0, x ≠ 9 . xx−−23 x + 1 x − 3 xx + Rút g ọn bi ểu th ức P và tính giá tr ị của bi ểu th ức P khi x =+13 62 + 9 + 42. 2) Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ tr ục t ọa độ Oxy , cho đường th ẳng dy:=() m2 + 1 xm − . Tìm t ất c ả các giá tr ị của tham s ố m để đường th ẳng d cắt tr ục hồnh, tr ục tung l ần l ượt t ại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cĩ di ện tích b ằng 0,4 cm 2 (O là g ốc t ọa độ, đơ n v ị đo trên các tr ục là cm ). Câu 2. (4,0 điểm) 1) Gi ải ph ươ ng trình x++−=+31 x 2()() x + 31. − x 1 1 7 x+ + y − = x y 2 2) Gi ải h ệ ph ươ ng trình . 1 1 25 x2+ + y 2 + = x2 y 2 4 Câu 3. (3,0 điểm) 1) Tìm t ất c ả các c ặp s ố nguyên ()x, y th ỏa mãn x2 − yx + y +2 = 0. 2) Tìm t ất c ả các s ố nguyên t ố p sao cho 2 p + p2 cũng là s ố nguyên t ố. Câu 4. (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC cĩ các đường trung tuy ến AP, BM , CN cắt nhau t ại tr ọng tâm G, BM vuơng gĩc v ới CN . AH là đường cao c ủa tam giác ABC , GK vuơng gĩc BC() K∈ BC . 4 1 1 Ch ứng minh AH= 3 GK và = + . AH2 BM 2 CN 2 2) Cho tam giác ABC vuơng t ại A() AB< AC . Đường trịn ()I nội ti ếp tam giác ABC ti ếp xúc v ới các c ạnh BC, CA , AB lần l ượt t ại D, E , F . Gọi S là giao điểm c ủa AI và DE . C a) Ch ứng minh AIB =90 0 + và ∆IAB∼ ∆ EAS . 2 b) Gọi K là trung điểm c ủa AB , M là giao điểm c ủa KI và AC . Đường th ẳng ch ứa đường cao AH của tam giác ABC cắt đường th ẳng DE tại N . Ch ứng minh AM= AN . Câu 5. (1,0 điểm) Cho các s ố th ực khơng âm a, b , c th ỏa mãn a+ b +3 c = 2 . Tìm giá tr ị lớn nh ất và nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức T= ab + ac − 6 bc . Hết
ĐỖ VĂN LINH TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG DẪN GI ẢI Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (6,0 điểm) 3xx++ 14 x + 3 3 x + 2 x 1) Cho bi ểu th ức P = + − : (x>0, x ≠ 9 ). xx−−23 x + 1 x − 3 xx + Rút g ọn bi ểu th ức P và tính giá tr ị của bi ểu th ức P khi x =+13 62 + 9 + 42. 2) Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ tr ục t ọa độ Oxy , cho đường th ẳng dy:=( m2 + 1 ) xm − . Tìm t ất c ả các giá tr ị của tham s ố m để đường th ẳng d cắt tr ục hồnh, tr ục tung l ần l ượt t ại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cĩ di ện tích b ằng 0,4 cm 2 (O là g ốc t ọa độ, đơ n v ị đo trên các tr ục là cm ). Lời gi ải 1) Với x>0, x ≠ 9 . Ta cĩ 3xx++++ 14( xx 3)( −− 332) ( xx +)( + 1 ) x P = : ()xx+1() − 3 xx() + 1 x−4 x + 3 1 ( x−1)( x − 3 ) P =: = .11()x +=− x xx+−13x +1 xx +− 13 ()() ()() Vậy v ới x>0, x ≠ 9 thì P= x − 1. Ta cĩ 2 x =+1362 +() 221 +=+ 136322 + 2 2 =+136() 21 +=+ 1962 =() 321. + 2 2 Với x =(3 2 + 1 ) ta cĩ: P= x −=1() 321 + −= 1321132. +−= 2) m + Tìm được điểm A ,0 , B() 0, − m m2 +1 m + Tính được OA=, OB =−= m m m2 +1 1 1 m m2 + Tính được S= OAOB. = . m = OAB 2 2 ()m2+1 2() m 2 + 1
ĐỖ VĂN LINH TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 m2 2 + S=0,4 ⇔ = 0,4 =⇔=⇔=± m2 4 m 2 OAB 2()m2 + 1 5 Vậy m = ± 2 th ỏa mãn yêu c ầu bài tốn. Câu 2. (4,0 điểm) 1) Gi ải ph ươ ng trình x++−=+31 x 2( x + 31.)( − x ) 1 1 7 x+ + y − = x y 2 2) Gi ải h ệ ph ươ ng trình . 1 1 25 x2+ + y 2 + = x2 y 2 4 Lời gi ải 1) Điều ki ện: −3 ≤x ≤ 1 t 2 − 4 Đặt tx= ++−31,0 xt()()() ≥ x+ 31 − x = 2 t2 −4 t + 2 t = 2 Ta cĩ ph ươ ng trình t=+2 0 ⇔−() t 21 − =⇔ 0 2 2 t = 0 x = − 3 Với t=⇔2()() x + 31 − x =⇔ 0 (th ỏa mãn). x =1 Với t=⇔0( x + 31)( − x) =−⇔ 2 PTVN . Vậy t ập nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là T ={ − 3;1} . 2) Điều ki ện: x, y ≠ 0 1 1 7 x+ + y − = x y 2 . 2 2 Hệ pt t ươ ng đươ ng v ới 1 1 25 x+ +− y = x y 4 7 u+ v = 1 1 2 Đặt ux=+≥2, vy =− ta cĩ h ệ ph ươ ng trình . x y 25 u2+ v 2 = 4 7 7 v= − u u+ v = 7 2 2 v= − u 3 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔==u2, v 2 2 25 2 7 25 2 2 u+ v = u+ − u = 2u− 7 u + 60 = 4 2 4 1 x + = 2 x =1 x x2 −+=210 x x = 1 ⇔ ⇔ ⇔∨ 1 . 1 3 2y2 − 3 y − 20 = y = 2 y = − y − = 2 y 2
ĐỖ VĂN LINH TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 1 Vậy hệ ph ươ ng trình cĩ các nghi ệm là ()1,2 , 1,− . 2 Câu 3. (3,0 điểm) 1) Tìm t ất c ả các c ặp s ố nguyên ( x, y ) th ỏa mãn x2 − yx + y +2 = 0. 2) Tìm t ất c ả các s ố nguyên t ố p sao cho 2 p + p2 cũng là s ố nguyên t ố. Lời gi ải 1) PT ⇔y( x −=1) x 2 + 2 Nếu x =1 thì PT ⇔y.0 = 3 (vơ lí) x2+2 x 2 − 13 + 3 Xét x ≠ 1 khi đĩ y= = =++ x 1 x−1 x − 1 x − 1 Để y ∈ℤ ta c ần cĩ x−∈1 U( 3) ⇔−∈ x 1{ 1,3, −− 1, 3 } Ta cĩ b ảng x −1 1 3 −1 −3 x 2 4 0 −2 y 6 6 −2 −2 Vậy ph ươ ng trình cĩ các nghi ệm nguyên là (2,6) ,( 4,6) ,( 0,− 2) ,( − 2, − 2 ) . 2) Trong bài tốn này, ta xét các tr ường h ợp sau. TH1: N ếu p = 2 , ta cĩ 2p +p2 = 228 2 + 2 = là h ợp s ố TH2: N ếu p = 3, ta cĩ 23+ 3 2 =+ 8 9 = 17 là s ố nguyên t ố TH3: N ếu p > 3, d ễ th ấy p khơng chia h ết cho 3 và 2. Ta đặt p=2 k + 1 , khi đĩ 2p+=p2212 2 k+ += p 2.4 k +≡+≡ p 2 2 1 0( mod3 ). Lập lu ận trên cho ta bi ết, 2 p + p2 là h ợp s ố, mâu thu ẫn. Vậy p = 3 là s ố nguyên t ố duy nh ất th ỏa mãn bài tốn. Câu 4. (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC cĩ các đường trung tuy ến AP, BM , CN cắt nhau t ại tr ọng tâm G, BM vuơng gĩc v ới CN . AH là đường cao c ủa tam giác ABC , GK vuơng gĩc BC( K∈ BC ). 4 1 1 Ch ứng minh AH= 3 GK và = + . AH2 BM 2 CN 2 2) Cho tam giác ABC vuơng t ại A( AB< AC ). Đường trịn (I ) nội ti ếp tam giác ABC ti ếp xúc v ới các c ạnh BC, CA , AB lần l ượt t ại D, E , F . Gọi S là giao điểm c ủa AI và DE . C a) Ch ứng minh AIB =90 0 + và ∆IAB∼ ∆ EAS . 2 b) Gọi K là trung điểm c ủa AB , M là giao điểm c ủa KI và AC . Đường th ẳng ch ứa đường cao AH của tam giác ABC cắt đường th ẳng DE tại N . Ch ứng minh AM= AN . Lời gi ải 1)
ĐỖ VĂN LINH TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 A M N G B K P C H Ta cĩ GK// AH (Do cùng vuơng gĩc v ới BC ). Theo định lí Thales ta cĩ PG GK = (1) PA AH PG 1 Mặt khác do G là tr ọng tâm tam giác nên ta cĩ = (2) PA 3 GK 1 Từ (1) và (2) ta cĩ = hay AH= 3 GK . AH 3 Vì BM⊥ CN , theo h ệ th ức l ượng trong tam giác vuơng ta cĩ 111 1 1 =+= + GK2 GB 2 GC 2 2 2 2 2 BM CN 3 3 1 1 1 = + 9GK2 4 BM 2 4 CN 2 4 1 1 Mặt khác theo ch ứng minh trên AH2= 9 GK 2 . Suy ra = + . AH2 BM 2 CN 2 A E F K I M S B H D C N
ĐỖ VĂN LINH TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 BAC + ABC180 0 − C C Ta cĩ AIB =−1800 =− 180 0 =+ 90 0 . 2 2 2 C Mặt khác AES= AED =90 0 + (là gĩc ngồi c ủa tam giác DEC cân t ại C). 2 AIB= AES . Và EAS = IAB nên ∆IAB∼ ∆ EAS . AK IK Vì IA là phân giác c ủa ∆AMK nên = . Áp d ụng định lý Talet ta cĩ: AM IM IK FK AK FK AK AM = = = (1). IM FA AM FA FK FA AN SA AK Mặt khác , = = (2) ID SI FK AM AN Từ (1) và (2) suy ra = mà FA= ID nên AM= AN . FA ID Câu 5. (1,0 điểm) Cho các s ố th ực khơng âm a, b , c th ỏa mãn a+ b +3 c = 2 . Tìm giá tr ị lớn nh ất và nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức T= ab + ac − 6 bc . Lời gi ải Tìm Max Ta cĩ T= ab +− ac6 bc ≤ ab + ac , (do bc ≥ 0 ) =+ab32 ac − ac ≤+ ab 3, ac (do ac ≥ 0 ) a+ b + 3 c 2 =+≤a() b3 c = 1 (Theo b ất đẳng th ức Cơ – si) 2 MaxT = 1 khi c=0, a = b = 1. Tìm Min Ta cĩ T= ab + ac −6 bc ≥− 6 bc (do a ≥ 0 ) Mặt khác 2=++ab 3 cb ≥+ 323 c ≥ bc , (do a ≥ 0 và b ất đẳng th ức Cơ – si) 1 1 bc≤ 6262 bc≤ − bc ≥ − T≥ − 2 Min T = − 2 khi a=0, b = 1, c = . 3 3
GV TR ẦN TH Ị TH ẢO TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 9 Tỉnh Nghệ An bảng A • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (3,5 điểm) Câu 1 (3,5 điểm). a) Cho m,n là các s ố nguyên. Ch ứng minh r ằng mn() m2− n 2 chia h ết cho 6 . b) Tìm t ất c ả các s ố nguyên t ố p, q , r th ỏa m ăn p2+14 q 2 + 2 r 2 = 6 pqr . Câu 2 . (6,5 điểm) a) Gi ải ph ưong trình (13x+ 1) 2 x −= 1 (7 x − 1) 8 x +− 1 4 . x4+2 xyxy 3 + 22 = 7 x b) Gi ải hệ ph ươ ng trình x( y− x + 1) = 3 Câu 3 . (1,5 điểm) Cho các s ố th ực d ươ ng x, y th ỏa mãn x2−+= y 2 z 2 xy +3 yz + zx . x 1 Tìm giá tr ị lớn nh ất c ủa bi ểu th ức P = − . (2y+ z)2 xy(y + 2z) Câu 4 . (7,0 điểm) . Cho n ửa đường trịn (O) , đường k ính BC= 2R và m ột điềm A thay đổi trên n ửa đường trịn đĩ ( A khơng trùng v ới B và C ). V ẽ AH vuơng gĩc v ới BC tại H . G ọi I,J lần l ượt là tâm đường trịn n ội ti ếp các tam giác AHB và AHC . Đường th ẳng IJ cắt AB,AC theo th ứ tự tại M và N . a) Ch ứng minh tam giác AMN vuơng cân. PA2 PB 2 PC 2 b) Gọi P là giao điểm c ủa BI và CJ . Ch ứng minh + + = 1. CA⋅ AB AB ⋅ BC BC ⋅ CA c) Tìm giá tr ị lớn nh ất c ủa chu vi tam giác HIJ theo R. Câu 5 . (1,5 điểm) . Trên m ột khu đất hình ch ữ nh ật kích th ước 100 m× 120 m . Ng ười ta mu ốn xây m ột sân bĩng nhân t ạo cĩ n ền đất là hình ch ữ nh ật kích th ước 25 m× 35 m và 9 b ồn hoa hình trịn đường kính 5 m . Ch ứng minh r ằng dù xây tr ước 9 b ồn hoa ở các v ị trí nh ư th ế nào thì trên ph ần đất cịn lại luơn tìm được m ột n ền đất kích th ước 25 m× 35 m đế xây sân bĩng. Hết
GV TR ẦN TH Ị TH ẢO TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG D ẪN GI ẢI • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (3,5 điểm) a) Cho m,n là các s ố nguyên. Ch ứng minh r ằng mn( m2− n 2 ) chia h ết cho 6 . b) Tìm t ất c ả các s ố nguyên t ố p, q , r th ỏa mãn p2+14 q 2 + 2 r 2 = 6 pqr Lời gi ải a) Ta cĩ mnm( 2−=−=−+−= n 2 ) mnmn3 3 mnmnmnmn 3 3 n(m3 −− m) mn( 3 − n ) Với m ọi s ố nguyên a , ta cĩ a3 −= aaa( − 1)( a + 1) Vì a−1, a , a + 1 là 3 s ố nguyên liên ti ếp nên aa(− 1)( a + 1)⋮ 6 aa3 − ⋮ 6 , v ới m ọi s ố nguyên a m3 − m ⋮6 Từ đĩ suy ra nm()()3− m − mn 3 − n ⋮6 mn( m2− n 2 )⋮6 n3 − n ⋮ 6 b) +) N ếu q khong chia het cho 3 q2≡1( mod 3] 14 q 2 ≡ 2[ mod 3] ⇐ q2+ r 2 ≡ 2 2 14 2 1(mod 3) r khong chia het cho 3 r≡1(mod 3) 2 r ≡ 1(mod3) 2 q = 3 Suy ra p ≡ 2(mod3) (vơ lý) r = 3 +) V ới q= 3 p2+ 2 r 2 = 18( pr − 7 ) Nếu p lẻ p3+ 2 r 2 lẻ và 18(pr − 7) ch ẵn nên khơng t ồn t ại p, r th ỏa mãn p = 2 r = 5 Khi p = 2 , thay tr ở lại ta cĩ : r 2 -18r +65 = 0 r =13 +)Với r= 3 p2+ 14 q 2 = 18( pq − 1) Nếu p lẻ p2+14 q 2 và 18(pq − 1) ch ẵn nên khơng t ồn t ại p, q th ỏa mãn p = 2 q =1 2 Khi p = 2 , thay tr ở lại ta cĩ : 7p− 18 q + 11 = 0 11 q = 7 Vậy (p ; q ; r )= (2;3;5) hoặc (p ; q ; r )= (2;3;13) Câu 2 . (6,5 điểm) a) Gi ải ph ưong trình (13x+ 1) 2 x −= 1 (7 x − 1) 8 x +− 1 4 . x4+2 xyxy 3 + 22 = 7 x b) Gi ải hệ ph ươ ng trình x( y− x + 1) = 3 Lời gi ải 1 a) Điều ki ện x ≥ 2 a=8 x + 1 14x−= 2 (8 x ++ 1) 3(2 xab −=+ 1)2 3 2 Đặt (a> 0, b ≥ 0) 2 2 b=2 x − 1 26x+= 2 (2 x −+ 1) 3(8 xba +=+ 1) 3 Khi đĩ ph ươ ng trình trên tr ở thành (ab2 +−+32 )a( bab2 38() 2 ) =⇔− ab 3 =⇔8 a −= b 2
GV TR ẦN TH Ị TH ẢO TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Với ab− = 2 81 xx+− 212 −=⇔ 81 xx += 212 −+⇔+= 81(212) x x −+ 2 3x − 1 ≥ 1 ⇔3x −= 122 x −⇔ 1 (3x− 1)2 = 4(2 x − 1) 2 ( x2 + xy) =7 x + 9 (1) b) Hệ ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới xy= x2 − x + 3 (2) 2 Thay (2) vào (1) ta cĩ (2x3 −+ x 379) = x + ⇔4x4 − 4 x 3 + 13 x 2 − 13 x = 0 x = 0 ⇔4(xx3 −+ 1)13( xx −=⇔− 1) 0 xx ( 1)4() x 2 +=⇔ 13 0 x =1 Thay vào (2) ta th ấy Khi x= 0 0 y = 3 (khơng th ỏa mãn) Khi x= 1 y = 3 Vậy nghi ệm c ủa h ệ đã cho là (x ; y )= (1;3) . Câu 3 . (1,5 điểm) Cho các s ố th ực d ươ ng x, y th ỏa mãn x2− y 2 += z 2 xy +3 yz + zx . x 1 Tìm giá tr ị lớn nh ất c ủa bi ểu th ức P = − . (2y+ z)2 xy(y + 2z) Lời gi ải Ta cĩ x2−+=+ y 2 z 2 xy3 yzzx +⇔+ ( xz )(2 =+ xyy )(3) + z xyyz+++3 2 ( xyz ++ 2 3) 2 ≤ = xyz+2 + 3 ≥ 2( xz + ) 2 yzx+ ≥ 2 4 x 1 Do đĩ ≤ (1) (2yz+ )2 2 yz + +) Lai cĩ: 1 1321 y+ y + z 2 1 xyyz(2)+=⋅ xyyz (3)(2) +≤⋅ x = xyz (2 +≤+ )2 (2 yz ) 3 (2) 3 323 3 1 3 Từ (1), (2) suy ra P ≤ − 2yz+ (2 yz + ) 3 13 2 312 2 2t3− 9t 2 + 27 Đặt 2y+ z = t,t > 0 . Ta cĩ P =− =− −+ =− tt9tt93 3 9 9t 3 2 2(t−6 t + 9) (2 t + 3) 2(3)(23)2t−2 t + =− =− ≤∀>;t 0 . D ấu "=" x ảy ra ⇔t = 3. 9 9t3 99 t 3 9 x=3 z x = 3 2 Vậy maxP=⇔= yz ⇔= y 1 9 2y+ z = 3 z = 1 Câu 4 . (7,0 điểm) . Cho n ửa đường trịn (O) , đường kính BC= 2R và m ột điềm A thay đổi trên n ửa đường trịn đĩ ( A khơng trùng v ới B và C ). V ẽ AH vuơng gĩc v ới BC tại H . G ọi I,J lần lượt là tâm đường trịn n ội ti ếp các tam giác AHB và AHC . Đường th ẳng IJ cắt AB,AC theo th ứ tự tại M và N .
GV TR ẦN TH Ị TH ẢO TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 a) Ch ứng minh tam giác AMN vuơng cân. PA2 PB 2 PC 2 b) Gọi P là giao điểm c ủa BI và CJ . Ch ứng minh + + = 1. CA⋅ AB AB ⋅ BC BC ⋅ CA c) Tìm giá tr ị lớn nh ất c ủa chu vi tam giác HIJ theo R. Lời gi ải ° a) Ta cĩ BA C= 90 (gĩc nội ti ếp ch ắn n ửa đường trịn) HA HC +) Tam giác ABC vuơng t ại A , đường cao AH suy ra HA2 = HB ⋅ HC = (1) HB HA HI HA +) L ại cĩ ∆IHA# ∆ JHC(g.g ) = (2) HJ HC HI HB Từ (1) và (2) suy ra = HJ HA ° Đồng th ời IHJ =AHB = 90 ∆ HIJ# ∆ HBA (c.g.e) . ° HIJ= HBA MIH+ MBH = 180 ° ° ° Suy ra IMB+ IHB = 180 IMB= 135 AMN= 45 . Suy ra tam giác AMN vuơng cân tai A . b)
GV TR ẦN TH Ị TH ẢO TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Ta cĩ AP là phân giác c ủa BAC . Qua P vẽ đường th ẳng vuơng gĩc v ới AP , c ắt AB,AC theo th ứ tự tại D và E . Suy ra tam giác ADE vuơng cân t ại A . ° Suy BDP= BPC = PEC = 135 Khi đĩ, ta cĩ: PD PC +) ∆DBP# ∆ PBC(g ⋅ g) = và PB2 = DB ⋅ BC . (3) BD PB PE PB +) ∆EPC# ∆ PBC(g ⋅ g) = và PC2 = BC ⋅ CE . (4) CE PC PD PE PC PB Suy ra: ⋅ = ⋅ = 1 PD⋅ PE = BD ⋅ CE BD⋅ CE = PD ⋅ PE = PE2 ( do BD CE PB PC PD= PE) Áp d ụng định lí Pytago cho tam giác PAE vuơng t ại P ta cĩ: PA2= AE 2 − PE 2 = AE 2 −⋅=⋅−⋅ BD CE AE AD BD CE, theo (5). =−(AC CE )( AB −− BD ). BD CE = AB . AC − BD . AC − AB . CE PA2. BC= AB AC BC − (.) BC BD AC − AB (.) EC BC PA2. BC= AB AC BC − PB 2 . AC − PC 2 . AB , do k ết h ợp v ới (3) và (4). PA2 PB 22 PC PA 222 PB PC =1 − − + + = 1 AB⋅ AC BC ⋅⋅ AB AC BC AB ⋅⋅⋅ AC AB BC BC CA c) Gọi K và F theo th ứ tụ là giao điêm c ủa Al;AJ với BC . Ta cĩ AFC= FAC + ACF = ∆ ạ = AFC BAF BAF cân t i B BF BA BAF= HAF + BAH Tươ ng t ư ∆CAK cân t ại C CK= CA Khi đĩ: KF=−=− CK CF CK (BC − BF) =+− AC AB BC ° Xét tam giác KAJ cĩ KAJ= 45 ;JA = JK (do J nằm trên CJ là trung tr ưc đoạn AK )
GV TR ẦN TH Ị TH ẢO TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 AJ 1 AI 1 ∆KAJ vuơng cân t ại J = . T ươ ng t ư ∆FAI vuơng cân t ại F = AK 2 AF 2 AJ AI IJ AJ 1 Từ đĩ suy ra = ∆AJI # ∆ AKF(c ⋅⋅g c) = = AK AF FK AK 2 2 2 FK AB+− AC BC2( AB+ AC) − BC 2 ⋅− BC BC BC( 2 − 1) IJ == ≤ = = 22 2 22 Đẳng th ức x ảy ra khi AB= AC . Lại cĩ ∆IHJ vuơng t ại H suy ra IH2+ JH 2 = IJ 2 BC( 2− 1) Mặt khác IHJH+≤ 2IH()2 += JH 2 2JJ 2 =⋅≤⋅ 2IJ 2 = BC(21) − . Đẳng 2 th ức x ảy ra khi IH= JH BC( 2− 1) BC 2R Từ (8) và (9) suy ra IH++≤ JH IJ + BC( 2 −=== 1) R 2 2 2 2 Dấu "=" x ảy ra khi A là điểm chính gi ữa cung BC. Vậy GTLN c ủa chu vi ∆HIJ là R 2 , khi A là điểm chinh gi ữa cung BC . Câu 5 . (1,5 điểm) . Trên m ột khu đất hình ch ữ nh ật kích th ước 100 m× 120 m . Ng ười ta mu ốn xây m ột sân bĩng nhân t ạo cĩ n ền đất là hình ch ữ nh ật kích th ước 25 m× 35 m và 9 b ồn hoa hình trịn đường kính 5 m . Ch ứng minh r ằng dù xây tr ước 9 b ồn hoa ở các v ị trí nh ư th ế nào thì trên ph ần đất cịn lại luơn tìm được m ột n ền đất kích th ước 25 m× 35 m đế xây sân bĩng. Lời gi ải Ta chia m ảnh đát hình ch ữ nh ật ban đầu thành các m ảnh đất hình ch ữ nh ật cĩ kích th ước 30 m× 40 m (nh ư hình v ẽ). Cĩ tất c ả 10 hình ch ữ nh ật 30 m× 40 m Theo nguyên li Dicrichle t ồn t ại it nh ất m ột hình ch ữ nh ật 30 m× 40 m khơng ch ứa tâm hình trịn nào trong 9 hình trịn nĩi trên. Gi ả sử đĩ là ABCD Ta c ắt m ỗi c ąnh c ủa m ảnh đất ABCD này đi 2,5 m được một m ảnh đất m ới MNPQ cĩ: Chi ều r ộng MN= 30 − 2.2,5 = 25 m Chi ều dài NP= 40 − 2.2,5 = 35 m Suy ra MNPQ là m ảnh đất đủ để xây sân bĩng theo yêu c ẩu. Nh ư v ậy trong ph ần đất cịn l ại sau khi xây 9 b ồn hoa ta luơn tìm được mành đất cĩ kích th ước 25 m× 35 m đế xây sân bĩng.
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 9 Tỉnh Nghệ An bảng B • Giáo viên gĩp đề: Đường Lý + 0948523135 • Giáo viên gĩp đề: Th ảo Tr ần 0989457818 • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (3,5 điểm) a) Cho a, b là các s ố tự nhiên l ẻ và khơng chia h ết cho 3. Ch ứng minh r ằng a2− b 2 chia h ết cho 24. b) Tìm t ất c ả các s ố nguyên d ươ ng n để 9n2 + 6n − 35 là s ố nguyên t ố. Câu 2. (6,5 điểm) a) Gi ải ph ươ ng trình 3x+= 1 8x ++ 1 2x − 1. xy2 2 + 2xy+ 1 = 7x + 9 b) Gi ải h ệ ph ươ ng trình   xy()− x = 2 . Câu 3. (1,5 điểm) Cho các s ố th ực khơng âm x, y,z th ỏa mãn x+ 3y + 2z = 3 . Tìm giá tr ị lớn nh ất x2+ 9y 2 của bi ểu th ức P= + zz8z17.()2 −+ xy+ 1 Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội ti ếp đường trịn ()O,R . Trên cung BC khơng ch ứa điểm A lấy điểm M bất k ỳ (M khơng trùng v ới B và C). a) Ch ứng minh MA= MB + MC . MD MD b) Gọi D là giao điểm c ủa AM và BC. Ch ứng minh + = 1. MB MC 12 2 1 1  c) Xác định v ị trí c ủa M để tổng: + +2023  +  đạt giá tr ị nh ỏ nh ất. MA MD MB MC   Câu 5. (1,5 điểm) Trên m ột khu đất hình ch ữ nh ật kích th ước 100m× 120m. Ng ười ta mu ốn xây m ột sân bĩng nhân t ạo cĩ n ền đất là hình ch ữ nh ật kích th ước 25m× 35m và 9 bồn hoa hình trịn đường kính 5m . Ch ứng minh r ằng dù xây tr ước 9 bồn hoa ở các v ị trí nh ư th ế nào thì trên ph ần đất cịn l ại luơn tìm được m ột n ền đất kích th ước 25m× 35m để xây sân bĩng. Hết
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG D ẪN GI ẢI • Giáo viên gĩp đề: Đường Lý + 0948523135 • Giáo viên gĩp đề: Th ảo Tr ần 0989457818 • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (3,5 điểm) a) Cho a, b là các s ố tự nhiên l ẻ và khơng chia h ết cho 3. Ch ứng minh r ằng a2− b 2 chia h ết cho 24. b) Tìm t ất c ả các s ố nguyên d ươ ng n để 9n2 + 6n − 35 là s ố nguyên t ố. Lời gi ải a)  a2 ≡ 1 mod3 a kh«ng chia hÕt cho 3  ( ) 2 2 +) Do  ⇒ ⇒a − b3⋮ ( 1 ) b kh«ng chia hÕt cho 3  2  b≡ 1() mod3 a− 1⋮ 2 +) Do a khơng chia h ết cho 2 ⇒ ⇒ a2 −1 ⋮ 8, do a− 1 và a+ 1 là hai s ố ch ẵn liên ti ếp. a+ 1⋮ 4 +) T ươ ng t ự b2 − 1⋮ 8 Do đĩ ab222− =( a1 −−) ( b18 2 − ) ⋮ ( 2 ) Từ (1), (2) suy ra a2− b 2 ⋮ 24. 2 b) Ta cĩ 9n2 +−= 6n 35( 9n2 ++−= 6n 1) 36( 3n +− 1) 36 =(3n +− 1 6)( 3n ++= 1 6) ( 3n − 5)( 3n + 7 ) Lại cĩ: 3n− 5 0, b ≥ 0 ⇒6x += 2( 8x1 +−) ( 2x1 −=−) a b  b= 2x− 1 Ph ươ ng trình trên tr ở thành: a2− b 2 = 2a( + b ) ⇔+(a ba)( −−=⇔−−= b 2) 0 a b 2 0,doa +> b 0 2 Với ab2−=⇒ 8x1 +− 2x12 −=⇔ 8x1 += 2x12 −+⇔+= 8x1( 2x12 −+ )
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 3x− 1 ≥ 0  ⇔3x −= 1 2 2x −⇔ 1   2 (3x− 1 ) =4(2x − 1 )  1   x= 1 x ≥  5 ⇔ 3 ⇔  5 . V ậy ph ươ ng trình đã cho cĩ 2 nghi ệm x= 1, x = .   2 x = 9 9x− 14x + 5 = 0  9  2 (xy+ 1) = 7x+ 9 ( 1 ) b) Hệ ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới   2 xy= x+ 2 () 2 2 Thay (2) vào (1) ta cĩ: (x2+ 3) = 7x9 +⇔+ x 4 6x 2 − 7x = 0 ⇔xx( 3 + 6x −= 7) 0 x= 0 ⇔xx1x() −()2 ++=⇔ x 7 0  x= 1 Thay vào (2) ta th ấy: Khi x= 0 ⇒0y = 3 (khơng th ỏa mãn). Khi x= 1 ⇒ y = 3 Vậy nghi ệm c ủa h ệ đã cho là (x;y)=( 1;3.) Câu 3. (1,5 điểm) Cho các s ố th ực khơng âm x, y,z th ỏa mãn x+ 3y + 2z = 3 . Tìm giá tr ị lớn nh ất x2+ 9y 2 của bi ểu th ức P= + zz8z17.()2 −+ xy+ 1 Lời gi ải 3 +) Ta cĩ: x+ 3y + 2z =⇒+ 3 x 3y =− 3 2z ⇒− 3 2z ≥⇒≤ 0 z 2 2 x2222+ 9y x + 9y x 22 +++ 9y 6xy6 (x+ 3y) + 6 +) L ại cĩ = +−=6 6 − 6 = − 6 xy1+ xy1 + xy1 + xy+ 1 2 (3− 2z) + 6 x+ 3y = 3 − 2z ≤ −6, do  1 xy ≥ 0 2 Khi đĩ P≤(3− 2z ) + z3 − 8z 2 + 17z =−z3 4z 2 ++= 5z 9( z 2 −+ 2z 1z)( −+ 2) 11 2 3 =11+()()z− 1 z − 2 ≤11, do z −<≤ 2 0,∀ 0 z ≤ . 2 Dấu "= " xảy ra ⇔z = 1. 1  1  Vậy max P= 11 ⇔() x;y;z =  0; ; 1  ho ặc ()x;y;z= ;0;1.  3   3  Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội ti ếp đường trịn (O,R ). Trên cung BC khơng ch ứa điểm A lấy điểm M bất k ỳ (M khơng trùng v ới B và C). a) Ch ứng minh MA= MB + MC .
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 MD MD b) Gọi D là giao điểm c ủa AM và BC. Ch ứng minh + = 1. MB MC 12 2 1 1  c) Xác định v ị trí c ủa M để tổng: + +2023  +  đạt giá tr ị nh ỏ nh ất. MA MD MB MC   Lời gi ải a) Ch ứng minh MA= MB + MC . Trên đoạn AM l ấy điểm E sao cho ME = MB, Ta cĩ: AMB = ACB = 60 0 (cùng ch ắn cung AB). Suy ra tam giác MBE là tam giác đều. Suy ra MB = BE (1) Xét tam giác EBA và tam giác MBC cĩ: MB= BE; AB = AC; BCM = BAE (cùng ch ắn cung BM) Suy ra ∆EBA = ∆ MBC (c.g.c) ⇒EA = MC (2) Từ (1) và (2) suy ra MB+ MC = ME + EA = MA. MD MD b) Gọi D là giao điểm AM và BC. Ch ứng minh + = 1 MB MC Ta cĩ ADB = CDM (đối đỉnh) và BAD = DCM (cùng ch ắn cung BM) MD BD ⇒∆ABD# ∆ CMD (g.g) ⇒= (3) CM AB MD CD Tươ ng t ự ∆ACD# ∆ BMD (g.g) ⇒= BM AC
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 MD CD CD Lại do AC= AB ⇒ = = (4) BM AC AB MD MD BD CD BC AB Cộng (3) và (4) v ế theo v ế ta cĩ + = + = = = 1 CM BM AB AB AB AB 12 2 1 1  c) Xác định v ị trí c ủa M để tổng: + +2023  +  đạt giá tr ị nh ỏ nh ất. MA MD MB MC  MDMD 1 1 1 4 Từ kết qu ả câu b) + =⇒1 = + ≥ MB MC MD MB MC MB+ MC Dấu “=” x ảy ra khi MB = MC (5) 122 1112   11  11  Khi đĩ: ++2023 +=+++ 2   2023  +  MA MD MB MC  MA  MB MC   MB MC  12 1 1  = +2025  +  MA MB MC  12 4 12 4 ≥+2025. =+ 2025. (do k ết qu ả câu a: MB+ MC = MA ) MA MB+ MC MA MA 8112 8112 4056 = ≥ = (do MA≤ 2R ). Dấu “=” x ảy ra khi MA= 2R ⇒ MB = MC. MA 2R R Câu 5. (1,5 điểm) Trên m ột khu đất hình ch ữ nh ật kích th ước 100m× 120m. Ng ười ta mu ốn xây m ột sân bĩng nhân t ạo cĩ n ền đất là hình ch ữ nh ật kích th ước 25m× 35m và 9 bồn hoa hình trịn đường kính 5m . Ch ứng minh r ằng dù xây tr ước 9 bồn hoa ở các v ị trí nh ư th ế nào thì trên ph ần đất cịn l ại luơn tìm được m ột n ền đất kích th ước 25m× 35m để xây sân bĩng. Lời gi ải Ta chia m ảnh đất hình ch ữ nh ật ban đầu thành các m ảnh đất hình ch ữ nh ật nh ỏ kích th ước 30m x 40m (nh ư hình v ẽ). Cĩ t ất c ả 10 hình ch ữ nh ật 30m x 40m . Theo nguyên lí Dicrichle t ồn t ại ít nh ất m ột hình ch ữ nh ật 30m x 40m khơng ch ứa tâm hình trịn nào trong 9 hình trịn nĩi trên. Gi ả sử đĩ là ABCD Ta c ắt m ỗi c ạnh c ủa m ảnh đất ABCD này đi 2,5m được m ột m ảnh đất m ới MNPQ cĩ: Chi ều r ộng MN = 30− 2.2,5 = 25m Chi ều dài NP= 40 − 2.2,5 = 35m Suy ra MNPQ là m ảnh đất đủ để xây sân bĩng theo yêu c ầu. Nh ư v ậy trong ph ần đất cịn l ại sau khi xây 9 b ồn hoa ta luơn tìm được m ảnh đất cĩ kích th ước 25m x 35m để xây sân bĩng.
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 9 Tỉnh Ninh Bình • Giáo viên gĩp đề: Tr ọng Nguyên + 0969524689 • Giáo viên gĩp đề: Nhung Bùi + 0912672510 • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (5,0 điểm) a+ a + 1 1 a 1. Với a ≥ 0 và a ≠ 1, rút g ọn bi ểu th ức P = + + . aa+−2 a − 1 aa + 2 2. Cho ph ươ ng trình ()()m+1 x3 + 31 m − xxm 2 −− 410 += (v ới m là tham s ố). Tìm m để ph ươ ng trình đã cho cĩ 3 nghi ệm phân bi ệt. 2023 2023 2022 2 3. Cho đa th ức Px()()=− x2 = ax2023 + ax 2022 ++++ axaxa 2 1 0 . Tính giá tr ị của 2 2 bi ểu th ức Qaaa=++++()()0 2 4 a 2020 + a 2022 −++++ aaa 1 3 5 aa 2021 + 2023 . 3x + 1 Câu 2. (4,0 điểm) Gi ải ph ươ ng trình 3x + 2 = 2x + 1 1. Gi ải ph ươ ng trình 2xx2+−= 32212() x − xx 2 +− 3. 2 2 2xy x+ y + = 1 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x+ y 2x+ 3 y − xyx += 2 Câu 3. (3,0 điểm) 1. Tìm t ất c ả các s ố tự nhiên x, y th ỏa mãn xy2()()−+1 yx 2 −= 1 1. 2. Cho các s ố th ực d ươ ng a, b , c th ỏa mãn a+ b + c = 3. Tìm giá tr ị lớn nh ất c ủa bi ểu th ức ab bc ca P = + + . ab+3 c bc + 3 a ca + 3 b Câu 4. (6,0 điểm) Cho 3 điểm phân bi ệt c ố định A, B , C cùng n ằm trên đường th ẳng d (điểm B nằm gi ữa A và C ), g ọi I là trung điểm c ủa đoạn th ẳng BC . Đường trịn tâm O luơn đi qua hai điểm B và C (điểm O khơng thu ộc d ). K ẻ các ti ếp tuy ến AM, AN với đường trịn tâm O ( M, N là các ti ếp điểm). Đường th ẳng MN cắt OA tại điểm H và c ắt BC tại điểm K. 1. Ch ứng minh t ứ giác OMNI nội ti ếp và AH. OA= AN 2 . 2. Khi đường trịn tâm O thay đổi, ch ứng minh MN luơn đi qua điểm K cố định. 3. Tia AO cắt đường trịn tâm O tại hai điểm P, Q (điểm P nằm gi ữa A và O ). G ọi D là trung điểm c ủa đoạn th ẳng HQ . Từ H kẻ đường th ẳng vuơng gĩc v ới MD và c ắt đường th ẳng MP tại E. Ch ứng minh P là trung điểm c ủa ME . Câu 5. (2,0 điểm) Cho m ột b ảng ơ vuơng kích th ước 10 x10 gồm 100 ơ vuơng đơ n v ị (c ạnh b ằng 1). 1. Điền vào m ỗi ơ vuơng đơ n v ị một trong các s ố −1; 0; 1 . Xét các t ổng c ủa t ất c ả các s ố đã điền trên m ỗi hàng, m ỗi c ột và hai đường chéo c ủa b ảng đã cho. H ỏi các t ổng đĩ cĩ th ể nh ận bao nhiêu giá tr ị và ch ứng minh trong đĩ cĩ hai t ổng b ằng nhau. 2. Điền vào m ỗi ơ vuơng đơ n v ị một s ố nguyên d ươ ng khơng v ượt quá 10 sao cho hai s ố ở hai ơ chung c ạnh ho ặc chung đỉnh là hai s ố nguyên t ố cùng nhau. Ch ứng minh trong b ảng đã cho t ồn tại m ột s ố được điền ít nh ất 17 lần. Hết
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG D ẪN GI ẢI • Giáo viên gĩp đề: Tr ọng Nguyên + 0969524689 • Giáo viên gĩp đề: Nhung Bùi + 0912672510 • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (5,0 điểm) a+ a + 1 1 a 1. Với a ≥ 0 và a ≠ 1, rút g ọn bi ểu th ức P = + + . aa+−2 a − 1 aa + 2 2. Cho ph ươ ng trình (m+1) x3 +( 31 m −) xxm 2 −− 410 += (v ới m là tham s ố). Tìm m để ph ươ ng trình đã cho cĩ 3 nghi ệm phân bi ệt. 2023 2023 2022 2 3. Cho đa th ức Px()()=− x2 = ax2023 + ax 2022 ++++ axaxa 2 1 0 . Tính giá tr ị của 2 2 bi ểu th ức Qaaa=++++()()0 2 4 a 2020 + a 2022 −++++ aaa 1 3 5 aa 2021 + 2023 . Lời gi ải a+ a + 1 1 a 1. (2,0 điểm) Với a ≥ 0 và a ≠ 1, rút g ọn bi ểu th ức P = + + aa+−2 a − 1 aa + 2 aa++11 aaa ++ 111 P = ++ = ++ aaa+−−21a() a + 2 aaaa +−−+ 212 a+ a + 1 1 1 = + + ()a−1() a + 2 a−1 a + 2 aa++1 a + 2 a − 1 aa ++ 32 = + + = ()aa−+12() () aa −+ 12() () aa −+ 12() () aa −+ 12() ( a+1)( a + 2 ) a +1 = = . ()a−1() a + 2 a −1 2. (2,0 điểm) Cho ph ươ ng trình (m+1) x3 +( 31 m −) xxm 2 −− 410 += (v ới m là tham s ố). Tìm m để ph ươ ng trình đã cho cĩ 3 nghi ệm phân bi ệt. (m+1) x3 +( 31 m −) xxm 2 −− 410 += (1) ⇔+(mxx1) 2( −+ 14) mx( 2 −−−= 1) ( x 10) 2 ⇔−( x1) ( m + 1) x + 4 mx( +−= 110) x−1 = 0 x = 1 ⇔ 2 ⇔ 2 ()()()mxmx+1 + 4 +−= 110 mxmxm + 1 + 4 +−= 410(2) Ph ươ ng trình đã cho cĩ 3 nghi ệm phân bi ệt ⇔ ph ươ ng trình (2) cĩ hai nghi ệm phân bi ệt khác 1 m +1 ≠ 0 2 ⇔∆= ′ ()()()2m −+ m 1410 m −> 2 ()m+1 .1 + 4 m .1 + 4 m −≠ 1 0
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 m ≠ − 1 1 m 0 ⇔ 3 \ 9m ≠ 0 m≠ −1, m ≠ 0 2023 2023 2022 3. (1,0 điểm) Cho đa th ức Pxx()()=−2 = ax2023 + ax 2022 +++ axa 1 0 . 2 2 Tính giá tr ị của bi ểu th ức Qaaa=()()0 ++++ 2 4 a 2022 −++++ aaa 1 3 5 a 2023 . Đặt Aaaa=++++0 2 4 a 2020 + aBaaa 2022 , =++++ 1 3 5 a 2021 + a 2023 ta cĩ QA=−=−2 B 2 ( ABAB)( + ) 2023 P()()11=− = aa2023 + 2022 +++ aaAB 1 0 + = − 1 2023 2023 P()()−=−13 =− aa2023 + 2022 −−+ aaAB 1 0 − = − 3 Q = 32023 . 3x + 1 Câu 2. (4,0 điểm) Gi ải ph ươ ng trình 3x + 2 = 2x + 1 1. Gi ải ph ươ ng trình 2xx2+−= 32212() x − xx 2 +− 3. 2 2 2xy x+ y + = 1 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x+ y 2x+ 3 y − xyx += 2 Lời gi ải 1. (2,0 điểm) Gi ải ph ươ ng trình 2xx2+−= 32212() x − xx 2 +− 3. x ≥1 2 Điều ki ện xác đị nh 2x+ x − 3 ≥ 0 ⇔ 3 x ≤ − 2 232212xx2+−=−() x xx 2 +−⇔− 321()()() xx +=− 2212 x xx2 +− 3 2x − 1 = 0 ⇔()212x −( xx2 +−−−=⇔ 3 x 20) 2x2 + x − 3 − x − 20 = 1 x = 1 ⇔ 2 ; x = lo ại vì khơng th ỏa mãn điều ki ện. 2 2x2 + x − 3 = x + 2 x ≥ − 2 2x2 + x − 3 = x + 2 ⇔ 2 2 2x+ x − 3 =() x + 2 3+ 37 x= ( TM ) x ≥ − 2 2 ⇔ ⇔ x2 −3 x − 7 = 0 3− 37 x= ( TM ) 2 3+ 37 3 − 37 Vậy ph ươ ng trình đã cho cĩ 2 nghi ệm x=, x = . 2 2
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2 2 2xy x+ y + = 1 2. (2,0 điểm) Gi ải h ệ ph ươ ng trình x+ y . 2x+ 3 y − xyx += 2 Điều ki ện xác đị nh x+ y > 0 2xy2 2 xy x2++ y 2 =⇔+−1() x y 2 xy + = 1 xy+ xy + 2 1 x+ y − 1 ⇔+−−()x y121 xy − = 0 ⇔+−()()x y1 x ++− y 12. xy = 0 x+ y x+ y x+ y −1 = 0 x+ y −1 = 0 ⇔2xy ⇔ ⇔=−y1 x x++− y 1 = 0 x2+ y 2 ++ x y = 0 ( VN ) x+ y x =1 Thay y=1 − x vào ph ươ ng trình cịn l ại ta cĩ x2 + x −2 = 0 ⇔ x = − 2 Với x= 1 y = 0 th ỏa mãn điều ki ện Với x= − 2 y = 3 th ỏa mãn điều ki ện Vậy h ệ ph ươ ng trình đã cho cĩ nghi ệm ( xy;) =( 1;0,) ( xy ;) =( − 2;3.) Câu 3. (3,0 điểm) 1. Tìm t ất c ả các s ố tự nhiên x, y th ỏa mãn xy2( −+1) yx 2 ( −= 1) 1. 2. Cho các s ố th ực d ươ ng a, b , c th ỏa mãn a+ b + c = 3. Tìm giá tr ị lớn nh ất c ủa bi ểu th ức ab bc ca P = + + . ab+3 c bc + 3 a ca + 3 b Lời gi ải 1. (1,5 điểm) Tìm t ất c ả các s ố tự nhiên x, y th ỏa mãn xy2( −+1) yx 2 ( −= 1) 1. xy2( −+111) yx 2 ( −=⇔) xyxy( +−) ( xy2 + 2 ) = 1 Đặt x+ y = S, xy = P ta cĩ SP−( S2 − 2)1 P = S 2 +1 5 ⇔=P ⇔=−+ P S 2 S+2 S + 2 Vì xy,∈ ℕ SP , ∈ ℕ S + 2 là ước c ủa 5 và S +2 ≥ 2 nên S+2 = 5 ⇔ S = 3 S = 3 X = 1 Ta cĩ x, y là nghi ệm ph ươ ng trình X2 −3 X + 2 = 0 ⇔ P = 2 X = 2 Vậy ( x, y ) = ( 1;2 ) ho ặc ( x, y ) = ( 2;1) . 2. (1,5 điểm) Cho các s ố th ực d ươ ng a, b , c th ỏa mãn a+ b + c = 3. Tìm giá tr ị lớn nh ất ab bc ca của bi ểu th ức P = + + ab+3 c bc + 3 a ca + 3 b Ta cĩ ab+=+++3 c ab( abcc) =+( acbc)( + )
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 a b + ab ab = ≤ c+ a c + b , d ấu b ằng x ảy ra khi a= b ab+3 c()() cacb + + 2 b c + bc bc Tươ ng t ự = ≤ a+ b a + c , d ấu b ằng x ảy ra khi b= c bc+3 a()() abac + + 2 c a + ca ca và = ≤ b+ c b + a , d ấu b ằng x ảy ra khi c= a ca+3 b()() bcba + + 2 1 a b b c c a 3 Do đĩ P ≤ +++++ = 2 cacbabacbcba+ + + + + + 2 a= b = c Dấu b ằng x ảy ra khi ⇔a = b = c = 1 a+ b + c = 3 3 Vậy giá tr ị lớn nh ất c ủa P bằng khi a= b = c = 1. 2 Câu 4. (6,0 điểm) Cho 3 điểm phân bi ệt c ố định A, B , C cùng n ằm trên đường th ẳng d (điểm B nằm gi ữa A và C ), g ọi I là trung điểm c ủa đoạn th ẳng BC . Đường trịn tâm O luơn đi qua hai điểm B và C (điểm O khơng thu ộc d ). K ẻ các ti ếp tuy ến AM, AN với đường trịn tâm O ( M, N là các ti ếp điểm). Đường th ẳng MN cắt OA tại điểm H và c ắt BC tại điểm K. 1. Ch ứng minh t ứ giác OMNI nội ti ếp và AH. OA= AN 2 . 2. Khi đường trịn tâm O thay đổi, ch ứng minh MN luơn đi qua điểm K cố định. 3. Tia AO cắt đường trịn tâm O tại hai điểm P, Q (điểm P nằm gi ữa A và O ). G ọi D là trung điểm c ủa đoạn th ẳng HQ . Từ H kẻ đường th ẳng vuơng gĩc v ới MD và c ắt đường th ẳng MP tại E. Ch ứng minh P là trung điểm c ủa ME . Lời gi ải 1. Vì AM, AN là ti ếp tuy ến c ủa đường trịn tâm O nên AMO= ANO =90 ° Do đĩ M, N thu ộc đường trịn đường kính OA Vì I là trung điểm c ủa đoạn th ẳng BC nên OI⊥ BC OIA =90 ° Nên I thu ộc đường trịn đường kính OA Suy ra 5 điểm OM, , AI ,, N cùng thu ộc đường trịn đường kính OA
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Vậy t ứ giác OMNI nội ti ếp đường trịn đường kính OA . Ta cĩ AM= AN, OM = ON AO là đường trung tr ực c ủa đoạn th ẳng MN Suy ra AO⊥ MN tại H Tam giác ANO vuơng t ại N cĩ đường cao NH . Ta cĩ AH. OA= AN 2 . AN AC 2. Ta cĩ ∆ANB∼ ∆ ACN nên ta cĩ = ⇔AN2 = ABAC. AB AN Mà AHOA.= AN2 AHAO .= ABAC . AH AK Ta l ại cĩ ∆AHK∼ ∆ AIO nên ta cĩ = ⇔AI. AK = AH . AO AI AO AB. AC Suy ra AIAK.= AHAO . = ABAC . AK = AI Vì ABC, , , I cố định nên AK khơng đổi khi đường trịn tâm O thay đổi Suy ra K cố định. Do đĩ MN luơn đi qua điểm K cố định. 3. Ta cĩ PMQ =90 ° (gĩc n ội ti ếp ch ắn n ửa đường trịn) và EH vuơng gĩc v ới MD . Suy ra DMQ= MEH ( cùng ph ụ với gĩc EMD ) Mà MQD= EMH (cùng ph ụ với gĩc MPQ ) Do đĩ ∆QDM∼ ∆ MHE( gg . ) MQ DQ MQ. MH Do đĩ = ME = (1) ME MH DQ MQ QH MQ. MH Ta l ại cĩ ∆MQH∼ ∆ PMH = MP = PM MH QH MQ. MH Do D là trung điểm c ủa QH QH= 2 DQ MP = (2) 2DQ 1 Từ (1) và (2) MP= ME P là trung điểm c ủa ME . 2 Câu 5. (2,0 điểm) Cho m ột b ảng ơ vuơng kích th ước 10 x10 gồm 100 ơ vuơng đơ n v ị (c ạnh b ằng 1). 1. Điền vào m ỗi ơ vuơng đơ n v ị một trong các s ố −1; 0; 1 . Xét các t ổng c ủa t ất c ả các s ố đã điền trên m ỗi hàng, m ỗi c ột và hai đường chéo c ủa bảng đã cho. H ỏi các t ổng đĩ cĩ th ể nh ận bao nhiêu giá tr ị và ch ứng minh trong đĩ cĩ hai t ổng b ằng nhau. 2. Điền vào m ỗi ơ vuơng đơ n v ị một s ố nguyên d ươ ng khơng v ượt quá 10 sao cho hai s ố ở hai ơ chung c ạnh ho ặc chung đỉnh là hai s ố nguyên t ố cùng nhau. Ch ứng minh trong b ảng đã cho t ồn tại m ột s ố được điền ít nh ất 17 lần. Lời gi ải 1. Tổng các s ố trên m ỗi hàng, m ỗi c ột ho ặc hai đường chéo c ủa b ảng ơ vuơng đã cho nh ận m ột trong các giá tr ị −10; − 9; ; 0; ; 9;10 Vậy t ổng các s ố trên m ỗi hàng, m ỗi c ột và hai đường chéo cĩ th ể nh ận 21 giá tr ị Cĩ t ất c ả 10 cột, 10 hàng và 2 đường chéo nên cĩ 22 tổng Theo nguyên lý Dirichlet nên trong 22 t ổng cĩ 2 t ổng cĩ giá tr ị bằng nhau. 2. Từ gi ả thi ết suy ra trên m ột b ảng ơ vuơng kích th ước 2 x 2 cĩ khơng quá m ột s ố ch ẵn và cĩ khơng quá m ột s ố chia h ết cho 3.
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Để ph ủ kín b ảng ơ vuơng kích th ước 10 x10 thì c ần 25 ơ vuơng kích th ước 2 x 2 . Do v ậy khi điền hết các s ố vào b ảng ơ vuơng kích th ước 10 x10 thì cĩ t ối đa 25 số chia h ết cho 2 . Trong 75 ơ cịn lại cĩ t ối đa 25 số chia h ết cho 3. Do v ậy trong b ảng s ẽ cĩ t ối thi ểu 50 số khơng chia h ết cho 2 và khơng chia h ết cho 3. Tức là các ơ đĩ điền m ột trong ba s ố 1; 5; 7. Theo nguyên lý Dirichlet cĩ m ột trong ba s ố 1; 5; 7 được điền ít nh ất 17 lần.
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 9 Tỉnh Phú thọ Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. A. PH ẦN TR ẮC NGHI ỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Nếu a, b là các s ố tự nhiên sao cho 7+ 48 =a + b thì a2+ b 2 bằng A. 25. B. 37. C. 29. D. 40. 1x + 1 Câu 2: Cĩ bao nhiêu giá tr ị nguyên c ủa x để bi ểu th ức P = : nh ận giá tr ị nguyên? x2 − xxxx + + x A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 3: Một chi ếc xe khách kh ởi hành t ừ Hà N ội và m ột chi ếc xe t ải kh ởi hành t ừ Vinh cùng m ột lúc và đi ng ược chi ều nhau. Sau khi g ặp nhau, xe khách ch ạy thêm 2 gi ờ thì đến Vinh, cịn xe t ải ch ạy thêm 4 gi ờ 30 phút thì đến Hà N ội. Bi ết Hà N ội cách Vinh là 300 km, hai xe đi cùng tuy ến đường. Vận t ốc c ủa xe khách b ằng A. 60 km/h. B. 40 km/h. C. 50 km/h. D. 80 km/h. Câu 4: Trong m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy , cho đa giác OABCDE cĩ t ọa độ các đỉnh A()()3;0 , B 3;3 , C()()()1;3 , D 1;5 , E 0;5 . Đường th ẳng y= ax chia đa giác thành hai ph ần cĩ di ện tích b ằng nhau. Kh ẳng định nào sau đây đúng? A. 0 v . Giá tr ị của u− v + a bằng A. 100. B. 115. C. 130. D. 145. + = + a b2() m 1 2 2 Câu 8: Cho hai s ố a và b th ỏa mãn điều ki ện . Gọi m0 là giá tr ị của m để tổng a+ b ab.= m2 − m + 2 đạt giá tr ị nh ỏ nh ất. Kh ẳng định nào sau đây đúng? A. −2 <m0 < 0. B. 0<m0 < 1. C. −3 <m0 <− 2. D. 1<m0 < 3. Câu 9: Khi tính tốn th ể tích c ăn phịng hình h ộp ch ữ nh ật, b ạn An đã nh ập sai chi ều cao vào máy tính, 1 An đã nh ập s ố li ệu l ớn h ơn chi ều cao th ật. Sau khi cĩ k ết qu ả, An nĩi: “Mình đã nh ầm, nh ưng 3 1 khơng sao, l ại tr ừ b ớt đi kết qu ả này thì s ẽ cho k ết qu ả đúng thơi”. B ạn Bình, ng ười đã tính 3
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 đúng k ết qu ả nĩi rằng: “K ết qu ả đĩ v ẫn ch ưa đúng, An ph ải ti ếp t ục c ộng thêm 8m3 nữa m ới đúng”. Th ể tích c ăn phịng bằng A. 24m3 . B. 72m3 . C. 48m3 . D. 64m3 . 2 2 Câu 10: Cho tam giác ABC vuơng t ại A, kẻ đường cao AH , bi ết SABH=15,36 cm ; S AHC = 8,64 cm . Độ dài c ủa AH bằng A. 4,8cm . B. 9,6cm . C. 2,4cm . D. 6,4cm . Câu 11: Trong hình bên, ABCD là hình thang cĩ hai đáy AB=2; CD = 5, AX song song v ới BC , BY song song v ới AD ; BY lần l ượt c ắt AX, AC tại Z, W. Khi đĩ t ỉ s ố di ện tích c ủa tam giác AZW và hình thang ABCD bằng 8 7 A. . B. . 105 105 9 10 C. . D. . 105 105 Câu 12: Cho hình thang ABCD cĩ AB song song v ới CD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau t ại O. Qua O kẻ đường th ẳng song song v ới hai đáy, c ắt AD và BC lần l ượt t ại P và Q. Khi PQ= a 1 1 thì giá tr ị của + bằng AB CD 1 2 a a A. . B. . C. . D. . a a 3 2 Câu 13: Cho tam giác ABC đều, cĩ c ạnh b ằng 6cm . Trên đoạn BC lấy điểm D sao cho BD= 2 cm . Đường trung tr ực c ủa đoạn AD cắt AB tại E. Độ dài c ủa DE bằng A. 2,8cm . B. 5, 2cm . C. 3,6cm . D. 3cm . Câu 14: Cho t ứ giác ABCD nội ti ếp đường trịn (O), đường th ẳng AD cắt đường th ẳng BC tại Q, đường th ẳng AB cắt đường th ẳng CD tại P. Từ P, Q lần l ượt k ẻ các ti ếp tuy ến PM, QN với (O) ( M, N là các ti ếp điểm). Bi ết PM= uQN, = v . Độ dài c ủa PQ bằng u+ v uv A. . B. . C. u2+ v 2 . D. uv . 2 2 Câu 15: Cho tam giác ABC đều, n ội ti ếp đường trịn tâm (O; R ) . D là điểm di độ ng trên c ạnh BC , đường th ẳng AD cắt đường trịn (O) tại E, ( E khác A ). G ọi R1, R 2 lần l ượt là bán kính c ủa đường trịn ngo ại ti ếp các tam giác EBD, ECD . Giá tr ị l ớn nh ất c ủa R1. R 2 bằng 3R2 R2 3R2 3R2 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 2
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 16: Một đồn h ọc sinh đi tr ải nghi ệm ở cơng viên V ăn Lang thành ph ố Vi ệt Trì b ằng ơ tơ. N ếu m ỗi ơ tơ ch ở 22 học sinh thì th ừa 1 học sinh. N ếu b ớt đi 1 ơ tơ thì s ố học sinh được chia đều cho các ơ tơ cịn l ại. Bi ết m ỗi ơ tơ ch ở khơng quá 30 học sinh, s ố học sinh c ủa đồn tham quan là A. 506. B. 528. C. 507. D. 529. B. PH ẦN T Ự LU ẬN (12,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) . 1. Tìm t ất c ả các c ặp s ố nguyên d ươ ng ( x; y ) th ỏa mãn: 3( x2+ y 2 ) + 2( xy −= 1662.) m2+ n 2 mn 2. Cho các s ố nguyên d ươ ng a, b , m , n th ỏa mãn (a, b ) = 1 và = . a b Ch ứng minh r ằng: a+2 b + a − 2 b là s ố nguyên. Câu 2. (4,0 điểm) x4 y 4 1 + = 1. Cho ab, , x , y là các s ố th ực th ỏa mãn a b ab+ . Ch ứng minh r ằng: 2 2 x+ y = 1 x10 y 10 2 + = . a5 b 5 ()a+ b 5 2. Gi ải ph ươ ng trình: ()x+15 xx2 +−= 2 35 xx 2 +− 4 5. 3 xxy()+++= xy2 y( 2 y + 1 ) 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình: . 2x+ 3.3 y += 5 yx2 +− 6 Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân t ại A( BAC < 900 ). Một đường trịn ti ếp xúc v ới AB, AC lần lượt t ại B, C . Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy điểm M ( M khác B, C ). Gọi I, H , K lần l ượt là hình chi ếu c ủa M trên BC, CA , AB . Gọi P là giao điểm c ủa hai đường th ẳng MB và IK , Q là giao điểm c ủa hai đường th ẳng MC và IH , T là giao điểm c ủa hai đường th ẳng HK và MI . a) Ch ứng minh TK. MH= MK . TH . b) Ch ứng minh PQ song song v ới BC . c) Gọi (O1 ) và (O2 ) lần l ượt là đường trịn ngo ại ti ếp các tam giác MPK và MQH, N là giao điểm th ứ hai c ủa (O1 ) và (O2 ) ( N khác M ). Ch ứng minh khi M di động trên cung nh ỏ BC thì đường th ẳng MN luơn đi qua m ột điểm c ố định. Câu 4. (1,0 điểm) Cho x, y , zt , là các s ố th ực khơng âm thay đổi th ỏa mãn: x2+ y 2 + z 2 + t 2 = 2023. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức: x y z t S = + + + . 2023 2023+yzt 2023 2023 + xzt 2023 2023 + txy 2023 2023 + xyz Hết
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG D ẪN GI ẢI Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. A. PH ẦN TR ẮC NGHI ỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Đáp án Câu Đáp án 1 A 9 B 2 A 10 A 3 A 11 A 4 B 12 B 5 D 13 A 6 D 14 C 7 D 15 B 8 B 16 D B. PH ẦN T Ự LU ẬN (12,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) . 1. Tìm t ất c ả các c ặp s ố nguyên d ươ ng ( x; y ) th ỏa mãn: 3( x2+ y 2 ) + 2( xy −= 1662.) m2+ n 2 mn 2. Cho các s ố nguyên d ươ ng a, b , m , n th ỏa mãn (a, b ) = 1 và = . a b Ch ứng minh r ằng: a+2 b + a − 2 b là s ố nguyên. Lời gi ải 1) Xét phươ ng trình: 3( x2+ y 2 ) + 2( xy −= 1662.) 2 ⇔3 ()x +− y 2 xy += 2 xy 664. ⇔3()x + y2 − 4 xy = 664 ⇔3()x + y2 = 4 xy + 664 Đặt S=+ x yP; = xyS ,( 2 ≥ 4 P ) (* ) , ta được PT : 3S2 = 4 P + 664 (1 ) Vì S2 ≥ 4 P nên 3S2≤ S 2 + 664 ⇔ S 2 ≤ 332. 664 664 Lại cĩ: P > 0 nên 3S2> 664 ⇔ S 2 > . Suy ra: <S 2 ≤ 332. 3 3 Từ (1) suy ra: S ch ẵn nên S ∈{16;18} .
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Với S=16 P= 26,( tm /( *)) . Khi đĩ x, y là 2 nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: X =8 + 38 X2 −16 X + 26 =⇔ 0 (lo ại do x, y nguyên d ươ ng). X =8 − 38 Với S=18 P = 77 , th ỏa mãn (*). Khi đĩ x, y là 2 nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: X = 7 X2 −18 X + 77 =⇔ 0 (t/m). X =11 Vậy cĩ 2 c ặp s ố nguyên d ươ ng ( x, y ) th ỏa mãn là: (7;11 ) và (11;7) . 2) Gọi d= ( mn,) m== dxn , dyxy ,,( ) = 1;,, dxy ∈ ℤ+ . Thay vào (1) , ta được: bx( 2+ y 2 ) = axy ( 2 ) Từ (2) suy ra: axy⋮( x2+ y 2 ) mà ( x, y ) = 1 nên a⋮( x2+ y 2 ). Và bx( 2+ y 2 )⋮ a và (a; b ) = 1 nên ( x2+ y 2 )⋮ a Vậy ta ph ải cĩ: x2+ y 2 = a , kéo theo b= xy . Suy ra: a+=+2 b xy2 ;, xy ∈ ℤ+ . Suy ra: a+2 b ∈ ℤ . () Lại cĩ: abxy−2 =() − 2 ab− 2 ∈ ℤ . Do đĩ: a+2 b + a − 2 b là s ố nguyên. Câu 2. (4,0 điểm) x4 y 4 1 + = 1. Cho ab, , x , y là các s ố th ực th ỏa mãn a b ab+ . Ch ứng minh r ằng: 2 2 x+ y = 1 x10 y 10 2 + = . a5 b 5 ()a+ b 5 2. Gi ải ph ươ ng trình: ()x+15 xx2 +−= 2 35 xx 2 +− 4 5. 3 xxy()+++= xy2 y( 2 y + 1 ) 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình: . 2x+ 3.3 y += 5 yx2 +− 6 Lời gi ải 1) Từ gi ả thi ết, ta cĩ: 2 2 2 xy44( x+ y ) xxyy 4224+2 + + = = . ab ab+ ab + x4 y 4 b a ()ab+ ++() ab =+ x42 xyy 22 + 4 ⇔+x4 xy 44 ++ yx 44 =+2 xyy 224 + a b a b
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 b2 a 2 ⇔x4 + y 4 = 2 xy 22 ab ab ⇔bx24 + ay 24 = 2 abxy 22 2 ⇔()bx2 − ay 2 = 0 ⇔bx2 = ay 2 x2 y 2 x 2+ y 2 1 Suy ra: = = = () * . a b ab+ ab + Áp d ụng k ết qu ả (*) , ta cĩ: 5 x10 x 2 1 5 1 = = = a5 a ab+ ()a+ b 5 5 y10 y 2 1 5 1 = = = b5 b ab+ ()a+ b 5 x10 y 10 1 1 2 Do đĩ: += + = . a5 b 5 ()ab+5() ab + 5() ab + 5 x ≤ − 1 2) Điều ki ện: 3 ()* x ≥ 5 Ta cĩ: ()x+15 xx2 +−= 235 xx 2 +− 45 ⇔+()x15 xx2 +−= 2 35 xx 2 +−+− 2 32 x 2 ()1 Đặt t=5 xx2 +− 2 3, t ≥ 0. () Khi đĩ ph ươ ng trình 1 tr ở thành: t2 − x +1 t + 2 x −= 20 ( ) ( ) t = 2 ⇔ t= x − 1 x =1 2 Với t= 2 5 x+ 232 x − = ⇔ 7 () t/m*() x = − 5 Với tx= − 1 5 xx2 + 23 − = x − 1
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 −1 + 5 x = 2 x2 + x −1 = 0 ⇔ ⇔ −1 − 5 (vơ nghi ệm) x ≥1 x = 2 x ≥1 7 Vậy ph ươ ng trình đã cho cĩ 2 nghi ệm x=1, x = − . 5 3 3) Điều ki ện: x≥−; y ≥ 0; xy +≥ 0. 2 Xét ph ươ ng trình (1) : xxy()+++= xy2 y( 2 y 3 + 1 ) ⇔++xxy2 xy +=2 y 2 + 2 y ⇔+−xxy22 y 2 +( xy +− 20 y ) = ()3 Xét xy++2 y =⇔== 0 xy 0 khơng th ỏa mãn h ệ ph ươ ng trình. x+ y − 2 y Xét x+ y +2 y > 0 , ta cĩ: ()()()3⇔+x 2 yxy −+ = 0 x+ y + 2 y 1 ⇔−++()xy x2 y = 0 x+ y + 2 y x= y ⇔ 1 x+2 y + = 0 x+ y + 2 y 1 Do x+ y ≥0; y > 0 nên x+2 y + > 0. x+ y + 2 y Với x= y , thay vào ph ươ ng trình ( 2) c ủa h ệ , được ph ươ ng trình: 23.x+3 x += 5 xx2 +− 6 (4 ) 3 Nh ận xét VT()3≥ 0, ∀ x ≥− nên x2 + x −60 ≥ x ≥ 2. 2 (4) ⇔233x +−3 x ++ 53 3 x +−=+− 52 xx2 12 ( ) ( ) 3 26x− x + 58 − x +5. + 3.2 =−+()()x 34 x 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 23 x + 5 3 ⇔−x 3 + −+=x 4 0 4 () 2 ()() 2x + 3 + 3 3 3 ()x+5 + 2 x ++ 54 Vì x≥ 223 xxxx+= ++−≥ 5 2 + 523 x+ ≥3 x + 5
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 23 x + 5 233x++>3 x + 5 < 2 2x + 3 + 3 3 3 Lại cĩ: 2 < <1, ∀≥x 2. ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 4 23 x + 5 3 Suy ra: +2 <<+∀≥3x 4, x 2. 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 3 x + 2 5 3 +2 −+<∀≥()x4 0, x 2. 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 PT ()4 ⇔ x = 3. Vậy hpt đã cho cĩ nghi ệm duy nh ất ()()x; y = 3;3 . Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân t ại A( BAC < 900 ). Một đường trịn ti ếp xúc v ới AB, AC lần lượt t ại B, C . Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy điểm M ( M khác B, C ). Gọi I, H , K lần l ượt là hình chi ếu c ủa M trên BC, CA , AB . Gọi P là giao điểm c ủa hai đường th ẳng MB và IK , Q là giao điểm c ủa hai đường th ẳng MC và IH , T là giao điểm c ủa hai đường th ẳng HK và MI . a) Ch ứng minh TK. MH= MK . TH . b) Ch ứng minh PQ song song v ới BC . c) Gọi ()O1 và ()O2 lần l ượt là đường trịn ngo ại ti ếp các tam giác MPK và MQH, N là giao điểm th ứ hai c ủa ()O1 và ()O2 ( N khác M ). Ch ứng minh khi M di động trên cung nh ỏ BC thì đường th ẳng MN luơn đi qua m ột điểm c ố định. Lời gi ải
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 a) Từ gi ả thi ết cĩ t ứ giác BKMI nội ti ếp suy ra KBI= KMT . Tứ giác CHMI nội ti ếp nên HCI= TMH . Do tam giác ABC cân t ại A nên ABC= ACB . hay KMT= HMT . Vì th ế cĩ MT là đường phân giác trong KMH . TH MH Từ đĩ cĩ: = . TK MK Suy ra: TH. MK= MH . TK . b) Tứ giác CHMI nội ti ếp suy ra MIH= MCH mà MCH= MBC (gĩc n ội ti ếp và gĩc t ạo b ởi ti ếp tuy ến và dây cung) nên MIH= MBC . Tươ ng t ự: MIK= MCB (*). Từ đĩ: PMQ+ PIQ = 1800 . Suy ra t ứ giác MPIQ nội ti ếp. Do t ứ giác MPIQ nội ti ếp nên MQP= MIK ; Theo (*) MIK= MCB nên MQP= MCB . Từ đĩ suy ra PQ song song v ới BC . c) Do PQ/ / BC nên MPQ= MBC , MBC= IKM (t ứ giác BKMI nội ti ếp). Suy ra PKM= MPQ .
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Vì Q, K nằm khác phía đối v ới MP nên PQ là ti ếp tuy ến c ủa đường trịn (O1 ) tại P. Tươ ng t ự PQ là ti ếp tuy ến c ủa đường trịn (O2 ) tại Q. Gọi E là giao điểm c ủa đường th ẳng MN và PQ . Ch ứng minh: EP2= EM. EN ; EQ 2 = EM . EN nên E là trung điểm c ủa PQ .Suy ra MN đi qua trung điểm E của PQ . Do PQ/ / BC nên MN đi qua trung điểm D của BC , D là điểm c ố định. Từ đĩ ta được đpcm. Câu 4. (1,0 điểm) Cho x, y , zt , là các s ố th ực khơng âm thay đổi th ỏa mãn: x2+ y 2 + z 2 + t 2 = 2023. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức: x y z t S = + + + . 2023 2023+yzt 2023 2023 + xzt 2023 2023 + txy 2023 2023 + xyz Lời gi ải x y z t Đặt a=; b = ; c = ; d = . 2023 2023 2023 2023 a,,, b c d ≥ 0 1 a b c d Khi đĩ cĩ . F = +++ . a2+ b 2 + c 2 + d 2 = 1 20231 +bcd 1 + acd 1 + abd 1 + abc Ch ỉ ra được: 2 1 ()a+ b + c + d F ≥ ⋅ ⋅ 2023a+ b + c + d + 4 abcd Nh ận xét: 0≤a ,,, b c d ≤ 1 , suy ra (1−a)( 1 − b)( 1 − c)( 1 −≥ d ) 0. Hay Q=+12( ab +++++ ac ad bc bd cd) −+++− ( a b c d )4 abcd ≥+++++−()()ab ac ad bc bd cd5 abcd + abc + abd ++ acd bcd Áp d ụng b ất đẳng th ức Cauchy, ta cĩ: ab+++++≥ ac ad bc bd cd66 () abcd3 = 6 abcd Ngồi ra abc+ abd + bcd + acd ≥ 0 Suy ra Q≥6 abcd −= 5 abcd 5( abcd −+ abcd) abcd ≥∀ 0,,,,0;1. abcd ∈ [ ] Do a2+ b 2 + c 2 + d 2 = 1 nên Q=+++()() abcd2 −++++ abcd4 abcd ≥ 0 suy ra ()()abcd+++2 ≥ abcd ++++ 4 abcd 1 Từ đĩ F ≥ . 2023 Dấu b ằng x ảy ra khi:
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ⇔===abc0; d = 1 và các hốn v ị hay xyz= ==0, t = 2023 và các hốn v ị. 1 Vậy GTNN c ủa F bằng . 2023
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 9 Tỉnh Quảng Bình • Giáo viên gĩp đề: Nguy ễn Đức Kh ăm. • Giáo viên gĩp đề: Đặng Đức Quý • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. 25x 1 x − 1 ể ứ A = − + Câu 1. (2.0 điểm) Cho bi u th c : 2 . 21x+4x − 1 21 x − ()2x + 1 a) Rút g ọn bi ểu th ức A. b) Tính giá tr ị bi ểu th ức A khi x =320 + 14 2 + 3 20 − 14 2 . Câu 2. (2.0 điểm) a) Gi ải ph ươ ng trình: xx2 −−=4 2 x − 11() − x . 3x+() m − 1 y = 12 b) Cho h ệ ph ươ ng trình: (v ới m là tham s ố). Tìm t ất c ả các giá tr ị của m để ()m−1 x + 12 y = 24 hệ ph ươ ng trình trên cĩ nghi ệm duy nh ất ()x; y th ỏa điều ki ện x+ y > 1. Câu 3. (1.5 điểm) Cho ba s ố th ực d ươ ng x, y , z th ỏa mãn x+ y + z = 2023 . yz zx xy 2023 Ch ứng minh r ằng: x.+ y . + z . ≤ . y+2022 zz + 2022 xx + 2022 y 3 Câu 4. (3,5 điểm) Cho hình vuơng ABCD cĩ c ạnh b ằng a. Điểm E di động trên c ạnh CD (khác C, D ). M là giao điểm c ủa AE với BC . Qua A kẻ đường th ẳng vuơng gĩc v ới AE cắt CD tại N. I là trung điểm c ủa đoạn th ẳng MN . Đường phân giác c ủa gĩc BAE cắt c ạnh BC tại P. Ch ứng minh r ằng: a) BM. DE= a 2 . b) AI vuơng gĩc v ới MN và I luơn n ằm trên m ột đường th ẳng c ố định khi E di động trên c ạnh CD (khác C, D ). c) AP≤ 2 EP . Câu 5. (1,0 điểm) Cho Pnn=64 − +2 n 3 + 2 n 2 (v ới n∈ℕ, n > 1 ). Ch ứng minh rằng: P khơng ph ải là s ố chính ph ươ ng. Hết
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG D ẪN GI ẢI • Giáo viên gĩp đề: Nguy ễn Đức Kh ăm • Giáo viên gĩp đề: Đặng Đức Quý • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. 25x 1 x − 1 ể ứ A = − + Câu 1. (2.0 điểm) Cho bi u th c : 2 . 21x+4x − 1 21 x − ()2x + 1 a) Rút g ọn bi ểu th ức A. b) Tính giá tr ị bi ểu th ức A khi x =320 + 14 2 + 3 20 − 14 2 . Lời gi ải 1 a) Điều ki ện: x≥0; x ≠ ; x ≠ 1 . 4 4x−− 25 xx + 2 + 1(2 x + 1) 2 x−1 2 x + 1 2x + 1 A = . = . = (2x+ 1)(2 x − 1) x − 1 2x− 1 x − 1 2x − 1 2x + 1 1 Vậy A = với điều ki ện x≥0; x ≠ ; x ≠ 1 . 2x − 1 4 b) Áp d ụng h ằng đẳng th ức ()()ab+3 =++ a3 b 3 3 abab + , ta cĩ : x3 =+20 14 2 +−+ 20 14 2 33 ( 20 + 14 2)( 20 − 14 2) . x ⇔=+x3 40 33 20 + 14 2 20 − 14 2 . x ( )( ) ⇔x3 −6 x − 40 = 0 ⇔−( x4)( x2 ++ 4 x 10) = 0 ⇔=x4 ( dox 2 ++> 4 x 10 0) 2x + 12415 + Thay x = 4 vào A ta được A = = = 2x − 1 241 − 3 5 Vậy A = khi x =320 + 14 2 + 3 20 − 14 2 . 3 Câu 2. (2.0 điểm) a) Gi ải ph ươ ng trình: xx2 −−=4 2 x − 11( − x ) . 3x+( m − 1) y = 12 b) Cho h ệ ph ươ ng trình: (v ới m là tham s ố). Tìm t ất c ả các giá tr ị của m để ()m−1 x + 12 y = 24 hệ ph ươ ng trình trên cĩ nghi ệm duy nh ất ( x; y ) th ỏa điều ki ện x+ y > 1. Lời gi ải a) Điều ki ện: x ≥1 (*). Ta cĩ: xx2 −−=4 2 x − 11( − x ) ⇔+x2 2 xx −+−− 1 x 12( xx + −−= 1)30
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2 ⇔+( xx −12) −( xx + −−= 130) ⇔+()xx −+11() xx + −−= 130 1≤x ≤ 3 ⇔+xx −=⇔13 x −=−⇔ 13 x x−=1 9 − 6 x + x 2 1≤x ≤ 3 1≤x ≤ 3 1≤x ≤ 3 ⇔ ⇔ ⇔⇔= x = 2 x 2 x2 −7 x + 10 = 0 ()()x−2 x − 5 = 0 x = 5 Vậy ph ươ ng trình cĩ nghi ệm x = 2. 3x+( m − 1) y = 12( 1 ) 3x+() m − 1 y = 12 b) Ta cĩ: ⇔ 24−()m − 1 x ()m−1 x + 12 y = 24 y = ()2 12 Thay (2) vào (1) ta được: 2 36−−()m 1 x = 16824 − m ⇔−(m7)( m + 5) x = 24 m − 168( 3 ) Hệ cĩ nghi ệm duy nh ất khi và ch ỉ khi (3) cĩ nghi ệm duy nh ất m ≠ − 5 ⇔ m ≠ 7 . 24168m − 24(m − 7 ) 24 Khi đĩ: x = = = ()()mm−+75()() mm −+ 75 m + 5 Thay vào (2) ta được 24 24(m− 1) 2( m − 1 ) 12 ()m−1 . +=⇔=− 12 yy 24 12 24 ⇔=− y 2 ⇔= y m+5 m + 5 mm ++ 55 24 12 36−m − 5 m −31 Do đĩ: x+ y > 1 ⇔ + >⇔1 > 0 ⇔ <⇔−<<+0m 31 0 m 5 m+5 m + 5 m + 5 m + 5 ⇔−5 <m < 31 Kết h ợp v ới điều ki ện ta cĩ −5 <m < 31 và m ≠ 7 . Vậy −5 <m < 31 và m ≠ 7 th ỏa mãn yêu c ầu c ủa bài tốn. Câu 3. (1.5 điểm) Cho ba s ố th ực d ươ ng x, y , z th ỏa mãn x+ y + z = 2023 . yz zx xy 2023 Ch ứng minh r ằng: x.+ y . + z . ≤ . y+2022 zz + 2022 xx + 2022 y 3 Lời gi ải Ta s ử dụng các b ất đẳng th ức quen thu ộc sau: + Cho ba s ố th ực a, b , c ta cĩ: ()()()ab−2 +− bc 2 +− ca 2 ≥⇔++−−−≥0 abcabbcca2 2 2 0 ⇔ ()()()a++ b c2 ≥3 ab ++ bc ca 1
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 + Cho hai b ộ số th ực (a1, a 2 , a 3 ) và (b1, b 2 , b 3 ) ta cĩ: 2 2 2 ()()()ab12− ab 21 +− ab 23 ab 32 +− ab 31 ab 13 ≥ 0 2 2 2 2 2 2 ⇔()()()()()()ab12 + ab 21 + ab 23 + ab 32 + ab 31 + ab 13 ≥2(abab1122 + abab 2233 + abab 3311 ) 2 2 2 2 2 2 2 ⇔++(a1 a 2 a 3)( b 1 ++≥ b 2 b 3) () abab 11 + 22 + ab 33 2 2 2 2 2 2 ababab11++≤ 22 33( a 1 ++ a 2 a 3)( b 1 ++ b 2 b 3 ) ()2 Ta ch ứng minh cho tr ường h ợp t ổng quát: Cho ba s ố th ực x, y , z dươ ng và x+ y + z = k > 1. xy (k−1) x + y Ta cĩ b ất đẳng th ức sau: ≤ ()3 xk+() − 1 y k 2 Th ật v ậy, ()()()()31⇔−k x2 ++− xy k 12 xy +− k 1 y2 − kxy 2 ≥ 0 ⇔−()()k1 x − y 2 ≥ 0 (đúng) yz zx xy Áp d ụng (3) ta cĩ: x.+ y . + z . ykz+−()1 zkx +−() 1 xky +−() 1 1 ≤xk.1() −++ yzyk .1() −++ zxzk .1() −+ xy k ( ) 1 =x.1() k −++ yx zx y .1() k −++ zy xy z .1() k −+ xz yz k ( ) 1 ≤()()()()x ++ y z( k −1 yx ++− zx k 1 zy ++− xy k 1 xz + yz ) (theo (2)) k 2 1 ()x+ y + z k =k2 () zx + xy + yz =++≤xy yz zx = (theo (1)) k 3 3 yz zx xy k Do đĩ: x.+ y . + z . ≤ () 4 ykz+−()1 zkx +−() 1 xky +−() 1 3 yz zx xy 2023 Thay k = 2023 ta được: x.+ y . + z . ≤ (đpcm ) y+2022 zz + 2022 xx + 2022 y 3 2023 Dấu "= " xảy ra khi x= y = z = . 3 Câu 4. (3,5 điểm) Cho hình vuơng ABCD cĩ c ạnh b ằng a. Điểm E di động trên c ạnh CD (khác C, D ). M là giao điểm c ủa AE với BC . Qua A kẻ đường th ẳng vuơng gĩc v ới AE cắt CD tại N. I là trung điểm c ủa đoạn th ẳng MN . Đường phân giác c ủa gĩc BAE cắt c ạnh BC tại P. Ch ứng minh r ằng: a) BM. DE= a 2 . b) AI vuơng gĩc v ới MN và I luơn n ằm trên m ột đường th ẳng c ố định khi E di động trên c ạnh CD (khác C, D ). c) AP≤ 2 EP .
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Lời gi ải N I A D E K L B P C M F a) BM. DE= a 2 0 Xét tam giác AEN cĩ: EAN = 90 , AD là đường cao. Áp d ụng h ệ th ức trong tam giác vuơng cho tam giác AEN ta cĩ: DE. DN= AD2 DE . DN= a 2 ( 1 ) Xét hai tam giác ADN và MBA ta cĩ: 0 ADN= ABM = 90 AD= AB = a DAN= BAM (vì cùng ph ụ với gĩc DAE ) Suy ra: ∆ADN = ∆ MBA( g. c . g) DN= BM ( 2 ) Từ (1), (2) suy ra: BM. DE= a 2 (đpcm ) b) Xét tam giác AMN ta cĩ: AM= AN (theo câu a)), AI là đường trung tuy ến. Suy ra: AI là đường cao c ủa tam giác AMN hay AI⊥ MN . 0 Xét tam giác AMN ta cĩ: MAN = 90 (gi ả thi ết), AI là đường trung tuy ến. Suy ra: MN AI = ()3 . 2 0 Xét tam giác CMN ta cĩ: MCN = 90 (gi ả thi ết), CI là đường trung tuy ến. Suy ra: MN CI = ()4 . 2 Từ (3), (4) suy ra: AI= CI hay I nằm trên đường trung tr ực c ủa đoạn th ẳng AC (5)
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Mặt khác, BD là đường trung tr ực c ủa đoạn th ẳng AC (vì ABCD là hình vuơng) (6) Từ (5), (6) suy ra: I nằm trên đường th ẳng BD cố định ( đpcm ) c) AP≤ 2 EP Kẻ EF⊥ AP( F ∈ AB ) , EK⊥ AB( K ∈ AB ) (7) 0 Xét t ứ giác BCEK cĩ B= C = K = 90 nên BCEK là hình ch ữ nh ật. Suy ra: EK= BC = a (8) Gọi L là giao điểm c ủa AP với EK . Ta cĩ: BAP= KEF (vì cùng ph ụ với gĩc AKL (9) Từ (7), (8), (9) suy ra: ∆ABP = ∆ EKF AP= EF (10 ) Vì AP vừa là đường cao v ừa là đường phân giác c ủa tam giác AEF nên AP là đường trung tr ực của đoạn th ẳng EF . Suy ra: PE= PF (11 ) Từ (10), (11) ta cĩ: AP=≤+=+= EF PE PF PE PE2 PE ⇔≤ AP 2 PE (đpcm ) Câu 5. (1,0 điểm) Cho Pnn=64 − +2 n 3 + 2 n 2 (v ới n∈ℕ, n > 1 ). Ch ứng minh rằng: P khơng ph ải là s ố chính ph ươ ng. Lời gi ải Ta cĩ: Pnn=−++=642 n 3 2 nnn 22 ( + 1).( 22 nn -2 + 2) Với n∈ℕ, n > 1 thì nn2−2 += 2 ( n − 1) 2 +> 1 ( n − 1) 2 và nn2−2 += 2 n 2 − 2( n −< 1) n 2 Do đĩ: ()n−12 < nn2 − 2 +< 2 n 2 n2 −2 n + 2 khơng là s ố chính ph ươ ng Vậy Pnn=64 − +2 n 3 + 2 n 2 khơng là s ố chính ph ươ ng.
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 9 Tỉnh Thanh Hĩa • Giáo viên gĩp đề: Đỗ Văn Hồn + 0979760783 • Giáo viên gĩp đề: Ph ạm V ăn V ượng +976978545 • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (4,0 điểm) . 2x 1 9 x + 14 1. Cho bi ểu th ức P = ⋅+ 1 + với x ≥ 0 . x+3 x + 2 xx ++ 32 Rút g ọn bi ều th ức P và tìm các giá tr ị của x để bi ểu th ức P cĩ giá tr ị là s ố tự nhiên. 2. Cho các s ố th ực a, b , c th ỏa mãn đồng th ời a2+=2 bb 42 ; += 2 cc 42 ; += 2 a 4 . Tính giá tr ị bi ểu th ức Ba=+++2 b 2 c 2 abc 222 −() ab 22 + bc 22 + ca 22 + 2022 . Câu 2. (4,0 điểm) . 1. Gi ải ph ươ ng trình 4xxx3+ 13 2 − 14 =− 3 15 x + 9 . x3+3 xy 2 + 49 = 0 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình . x2−8 xy + y 2 = 8 y − 17 x Câu 3. (4,0 điểm) . 1. Tìm t ất c ả các b ộ số nguyên ()m, p , q th ỏa mãn: 2m ⋅p2 + 1 = q 5 trong đĩ m> 0; p , q là hai s ố nguyên t ố. 2. Cho a, b là hai s ố nguyên th ỏa mãn a khác b và ab() a+ b chia h ết cho a2+ ab + b 2 . Ch ứng minh r ằng a− b > 2 ab . Câu 4. (6,0 điểm) . Cho tam giác ABC nh ọn n ội ti ếp đường trịn tâm O bán kính R . Đường trịn tâm I đường kính BC cắt các c ạnh AB và AC lần l ượt ở M và N . Các tia BN và CM cắt nhau tại H . G ọi K là giao điềm c ủa IH với MN . Qua I kẻ đường th ẳng song song v ới MN cắt các đường th ẳng CM và BN lần l ượt ở E và Q . 1. Ch ứng minh ∆ANM đồng d ạng v ới ∆ABC và BQI = ECI . KN HN 2 2. Ch ứng minh IQ. IE= IC 2 và = . KM HM 3. Gọi D la giao điểm c ủa AH với BC . Ch ứng minh r ằng 1 1 1 4 + + ≤ . AD⋅ BN BN ⋅ CM CM ⋅ AD3( R − OH ) 2 Câu 5. (2,0 điểm) Cho ba s ố a, b , c ≥ 1 th ỏa mãn 16abc+ 4()() abbcca ++ =+ 8124 abc ++ . Tìm giá 1 1 1 tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức Q = + + aa()2−+1 abb() 2 −+ 1 bcc() 2 −+ 1 c Hết
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LỜI GI ẢI • Giáo viên gĩp đề: Đỗ Văn Hồn + 0979760783 • Giáo viên gĩp đề: Ph ạm V ăn V ượng +976978545 • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (4,0 điểm) . 2x 1 9 x + 14 1. Cho bi ểu th ức P = ⋅+ 1 + với x ≥ 0 . x+3 x + 2 xx ++ 32 Rút g ọn bi ều th ức P và tìm các giá tr ị của x để bi ểu th ức P cĩ giá tr ị là s ố tự nhiên. 2. Cho các s ố th ực a, b , c th ỏa mãn đồng th ời a2+=2 bb 42 ; += 2 cc 42 ; += 2 a 4 . Tính giá tr ị bi ểu th ức Ba=+++2 b 2 c 2 abc 222 −( ab 22 + bc 22 + ca 22 ) + 2022 . Lời gi ải 2x 1 9 x + 14 1. Cho bi ểu th ức P = ⋅+ 1 + với x ≥ 0 . x+3 x + 2 xx ++ 32 Rút g ọn bi ều th ức P và tìm các giá tr ị của x để bi ểu th ức P cĩ giá tr ị là s ố tự nhiên. Điều ki ện x ≥ 0 . Ta cĩ: 2x 1914 x+2x( x + 1 ) 914 x + P =⋅++ 1 = + x+3 x + 2 xx ++ 32 ()x+1() x + 2() x + 2() x + 1 21114x+ x +( x+2)( 2 x + 7 ) 27 x + = = = ()x+2() x + 1() x + 2() x + 1 x +1 2x + 7 Vậy P = với x ≥ 0 x +1 2( x + 1) + 5 5 5 Ta cĩ P = =2 + , vì x ≥ 0 nên 0< ≤ 5 suy ra 2<P ≤ 7 x+1 x + 1 x +1 5 555  Do P ∈N nên P ∈{}3;4;5;6;7 ⇔ ∈{} 1;2;3;4;5 ⇔+∈x 1 5; ; ; ;1  . x +1 2 3 4  321  941  ⇔∈x 4;;;;0  ⇔∈ x 16;;; ;0  . 234  4916  9 4 1  Kết h ợp v ới điều ki ện ta th ấy x ∈ 16; ; ; ;0  là giá tr ị cần tìm. 4 9 16  9 4 1  Vậy để P cĩ giá tr ị là s ố tự nhiên thì x ∈ 16; ; ; ;0  4 9 16  2. Cho các s ố th ực a, b , c th ỏa mãn đồng th ời a2+=2 bb 42 ; += 2 cc 42 ; += 2 a 4 . Tính giá tr ị bi ểu th ức Ba=+++2 b 2 c 2 abc 222 −( ab 22 + bc 22 + ca 22 ) + 2022 .
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 a2+=−=1 b 4 1( b 2 − 1)( b 2 + 1 ) Từ gi ả thi ết ta suy ra: b2+=−=1 c 4 1()() c 2 − 1 c 2 + 1 2 4 2 2 c+=−=1 a 1()() a − 1 a + 1 Nhân v ế với v ế 3 đằng th ức trên v ới nhau ta được: (abc222+111)( +)( +=−) ( bcabca 222222 111111)( −)( −)( +)( +)( + ) Do (a2+1)( b 2 + 1)( c 2 +> 10) nên (b2−1)( c 2 − 1)( a 2 −= 11) . Khai tri ền ta được bca222− ab 22 − bc 22 − ca 22 +++−=⇔ a 2 b 2 c 21 1 abc 222 +++− a 2 b 2 c 2( ab 22 + bc 22 + ca 22 ) = 2. Vậy B =2 + 2022 = 2024 Câu 2. (4,0 điểm) . 1. Gi ải ph ươ ng trình 4xxx3+ 13 2 − 14 =− 3 15 x + 9 . x3+3 xy 2 + 49 = 0 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình . x2−8 xy + y 2 = 8 y − 17 x Lời gi ải 1. Gi ải ph ươ ng trình: 4xxx3+ 13 2 − 14 =− 3 15 x + 9 3 ĐKX Đ: x ≥ − . 5 Pt đã cho 4xxx3+ 13 2 − 14 −+ 3 15 x += 90 3 2 2 ⇔+4xxxx 13 −−++ 12() 23 1590 x +=⇔( 4 xxx − 3)()() +− 4 23 x +− 1590 x += (2x+ 3)2 −( 15 x + 9 ) ⇔−+−()434x2 x() x = 0 ()2x+ 3 + 15 x + 9 4x2 + 12 x +− 9 15 x − 9 ⇔−+−()434x2 x() x = 0 ()2x+ 3 + 15 x + 9 4x2 − 3 x = 0 (1) 2 1 ⇔−()434x x x +− =⇔ 0 1 2x+ 3 + 15 x + 9 x +4 − = 0() 2 2x+ 3 + 15 x + 9 x = 0 −Pt() 1 ⇔ 3 (đều tho ả mãn ĐKX Đ) x = 4 1 Xét Pt (2): x +4 − = 0 2x+ 3 + 15 x + 9 3 17 9 1 5 Vì x≥ − x +4 ≥ và 2x++ 3 15 x +≥ 9 ≤ 5 5 52x+ 3 + 15 x + 9 9 1 128 Suy ra x +−4 ≥> 0 nên pt (2) vơ nghi ệm. 2x+ 3 + 15 x + 9 45
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3  Vậy ph ươ ng trình đã cho cĩ t ập nghi ệm là S = 0;  . 4  x3+3 xy 2 + 49 = 0 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình . x2−8 xy + y 2 = 8 y − 17 x Nhân hai v ế của ph ươ ng trình (2) v ới 3, r ồi c ộng v ới ph ươ ng trình (1) v ế theo v ế ta được pt: x322++3 x 3 xy − 24 xy ++= 3 y 2 4924 y − 51 x ⇔++++xxx33 2 313 yx 2 ( +− 124) yx( ++ 148) ( x += 10) 2 2 2 2 ⇔+( xxyy1) ( ++− 1) 3 24 +=⇔+ 48 0( xx 1) ( ++− 1) 3( y 4) = 0 x +1 = 0 ⇔ (x+ 1)2 + 3( y − 4) 2 = 0 x=−1 x =− 1 TH1: 3 2 ⇔ x+3 xy =− 49 y = 4; y =− 4 (x+ 1)2 + 3( y − 4) 2 = 0 x = − 1 TH2: ⇔ x3+3 xy 2 = − 49 y = 4 Vậy h ệ đã cho cĩ hai nghi ệm ( x, y )∈−{( 1;4) ,( −− 1; 4 )} Câu 3. (4,0 điểm) . 1. Tìm t ất c ả các b ộ số nguyên (m, p , q ) th ỏa mãn: 2m ⋅p2 + 1 = q 5 trong đĩ m> 0; p , q là hai s ố nguyên t ố. 2. Cho a, b là hai s ố nguyên th ỏa mãn a khác b và ab( a+ b ) chia h ết cho a2+ ab + b 2 . Ch ứng minh r ằng a− b > 2 ab . Lời gi ải 1. Tìm t ất c ả các b ộ số nguyên (m, p , q ) th ỏa mãn: 2m ⋅p2 + 1 = q 5 trong đĩ m> 0; p , q là hai s ố nguyên t ố. Vì m > 0 và p nguyên t ố nên 2m p2 + 1 lẻ q lẻ Nếu p = 2 thì 21m+25+=⇔−q( q 1)( qqqq 432 ++++= 12) m + 2 Vì q lẻ q4+ q 3 + q 2 ++ q 1 lẻ lớn h ơn 1 2 m+2 cĩ ước l ẻ lớn h ơn 1 , vơ lý. Do đĩ p lẻ. Ta vi ết ph ươ ng trình đã cho d ưới d ạng (q−1)( qqqq432 ++++= 1) 2 m p 2 Do q4+ q 3 + q 2 ++ q 1 lẻ và l ớn h ơn 1 nên qqqq4+ 3 + 2 ++=1 p ho ặc qqqq432+ + ++=1 p 2 + Xét tr ường h ợp qqqq4+ 3 + 2 ++=1 pq − 1 = 2 m p . Do 2m p> p nên q−>1 qqqq4 + 3 + 2 ++ 1 (vơ lý) + Xét tr ường h ợp
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 qqqq432+ + ++=1 p 2 44 qqq 4322432+ + 2 ab . Đặt d =ƯCLN(a, b) Suy ra a= xdb, = yd với ƯCLN (x,y) = 1 Khi đĩ: aba( + b) dxyx( + y ) = ∈ Z a2++ abb 22 x ++ xy y 2 Ta cĩ UCLN( x2++= xy y 2; x) UCLN( y 2 ; x ) = 1 . Tươ ng tự UCLN( x2+ xy + y 2 ; y ) = 1 Đặt d ' = UCLN ( x+ y, x2 + xy + y 2 ) 2 2 x+ y⋮ d ' ( x++ xy y) − xx() + yd⋮ ' x2 ⋮ d ' d '= 1 x2+ xy + y 2 ⋮ d ' 2 2 y2 ⋮ d ' ()x++ xy y − yxyd() + ⋮ ' Do đĩ dx: 2+ xyy + 2 d≥ x 2 + xyy + 2 Mặt khác abdxyd−|3 =3 −|3 = 2 xydd−3 . ≥ 2 . 1. ( x 2 + xyy+2 ) > dxyab2 = . Vậy a− b > 3 ab Câu 4. (6,0 điểm) . Cho tam giác ABC nh ọn n ội ti ếp đường trịn tâm O bán kính R . Đường trịn tâm I đường kính BC cắt các c ạnh AB và AC lần l ượt ở M và N . Các tia BN và CM cắt nhau tại H . G ọi K là giao điềm c ủa IH với MN . Qua I kẻ đường th ẳng song song v ới MN cắt các đường th ẳng CM và BN lần l ượt ở E và Q . 1. Ch ứng minh ∆ANM đồng d ạng v ới ∆ABC và BQI = ECI . KN HN 2 2. Ch ứng minh IQ. IE= IC 2 và = . KM HM 3. Gọi D la giao điểm c ủa AH với BC . Ch ứng minh r ằng 1 1 1 4 + + ≤ . AD⋅ BN BN ⋅ CM CM ⋅ AD3( R − OH ) 2 Lời gi ải
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 A N K M O H E P B C D I Q 1. Ch ứng minh ∆ANM đồng d ạng v ới ∆ABC và BQI = ECI . AN AB Ta cĩ: ∆ANB ∼∆ AMC() g ⋅ g = AM AC Xét ∆ANM và ∆ABC cĩ: AN AB = ; A là gĩc chung AM AC ∆ANM ∼ ∆ ABC ( c.g.c ) (Đpcm) Vì ∆ANM ∼ ∆ ABC ANM= ABC Mà ANM+ MNB = ABC + MCB = 90 (Do BN⊥ AC; CM ⊥ AB) MNB = MCB mà MNB = BQI (2 gĩc so le trong) BQI = MCB hay BQI = ECI( đpcm ) KN HN 2 2. Ch ứng minh IQ. IE= IC 2 và = . KM HM Theo câu a, BQI = ECI lại cĩ BIQ = EIC (2 gĩc đối đỉnh) ∆BIQ ∼ ∆ EIC( gg. ) IQ IB = IQ⋅ IE = IC. IB mà IB= IC( gt) IQIE. = IC 2 IC IE IQ IC 2 = ()1 IE IE KN HK KM KN IQ Áp d ụng h ệ qu ả Ta - Lét ta cĩ: = = = (2) IQ HI IE KM IE KN IC 2 Từ (1) và (2) = KM IE
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Trên c ạnh EM lấy P sao cho IP= IEP( ≠ E) ∆ IPE cân t ại I IPC = IEP Mà IEP = HMN(2 gĩc so le trong, MN EQ ) HMN = IPE hay HMN = IPC Lại cĩ: ICP = HNM ∆ HMN ∼ ∆ IPC() g. g IC HN IC HN = mà IP= IE (cách l ấy điểm P ) = (4) IP HM IE HM KN HN 2 Từ (3) và (4) = ()đpcm KM HM 3. Gọi D la giao điểm c ủa AH với BC . Ch ứng minh r ằng 1 1 1 4 + + ≤ . ADBN⋅ BNCM ⋅ CM ⋅ AD3( R − OH ) 2 Vì BN⊥ ACCM; ⊥ AB ; { H} =∩ BN CM H là tr ực tâm ∆ABC AH⊥ BC hay AD⊥ BC HD HN HM SSS Do đĩ ta cĩ: ++ =HBC + HAC +HAB = 1 AD BN CM SABC S ABC S ABC AD− AH BN − BH CM − CH AH BH CH + + =⇔++=1 2 AD BN CM ADBNCM Do H là tr ực tâm ∆ABC nh ọn nên H nằm trong ∆ABC AH≥ AO − OH =− R OH > 0 BH≥ BO − OH =− R OH > 0 (B ĐT ba điểm) CH≥ CO − OH =− R OH > 0 AH BH CH 111 111 2 2 =++≥−()R OH ++ + + ≤ ()5 AD BN CM AD BN CM AD BN CM ROH− Với m ọi x, y ta cĩ : ()0x− y2 ≥⇔ x 2 + y 2 ≥ 2 xy Ch ứng minh t ươ ng t ự : y22+≥ z2; yzz 22 +≥ x 2 zy Cộng theo t ừng v ế ba B ĐT trên ta được: 2( x222++ y z) ≥ 2 ( xyzzx ++) ⇔++≥++ x 222 y z xyyzzx ⇔++(x y z )2 ≥ 3 () xy ++ yz zx 1 1 1 Áp d ụng B ĐT trên v ới x=; y = ; z = ta suy ra được: AD BN CM 111 2 1 1 1 ++≥ 3 + + () 6 AD BN CM AD⋅ BN BN ⋅ CM CM ⋅ AD 1 1 1 4 Từ (5) và (6) + + ≤ (đpcm) ADBN⋅ BNCM ⋅ CM ⋅ AD3( R − OH ) 2 Dấu " =" x ảy ra ⇔ dấu " =" c ủa các b ất đẳng th ức trên đồng th ời x ảy ra ⇔ ∆ ABC đều.
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 5. (2,0 điểm) Cho ba s ố a, b , c ≥ 1 th ỏa mãn 16abc+ 4( abbcca ++) =+ 8124 ( abc ++ ) . Tìm giá 1 1 1 tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức Q = + + aa()2−+1 abb() 2 −+ 1 bcc() 2 −+ 1 c Lời gi ải a2−−1 a bb 2 −− 1 cc 2 −− 1 Ta có: Q = + + aa()2−−1 a 2 bb() 22 −− 1 b cc() 22 −− 1 c aabbcc2−−1 2 −− 1 2 −− 1 a 222 − 111 b − c − = + + =− ++ 3 −a − b − c abc abc2−−−111 2 2 abc2 −−− 111 2 2 −=− + + =− = + + Q 3 P . Với P abc abc Sử dụng b ất đẳng th ức : V ới x, y , z ≥ 0 , ta luơn cĩ x+ y + z ≤3() xyz ++ Dấu "=" x ảy ra khi và ch ỉ khi x= y = z . Từ bất đẳng th ức đã cho ta cĩ: 1 1 1 111 111 Suy ra P =−+−+−≤111 33 − ++ =− 93 ++ a2 b 2 c 2 abc 222 abc 222 1 1 1 2 P ≤9 − ++ a b c Từ gi ả thi ết 16abc+ 4( abbcca ++) =+ 8124 ( abc ++ ) 81 111 111 ⇔=16 + 24 ++ − 4 ++ () * abc ab bc ca a b c 1 1 1 1111 2 1 1 111 3 Ta cĩ + + ≤⋅ ++ và ≤ ⋅ ++ ab bc ca3 a b c abc27 a b c Dấu "=" x ảy ra khi và ch ỉ khi a= b = c . 1 1 1 Đặt t=++;0 <≤ t 3 (Vì a, b , c ≥ 1 ) . T ừ ( * ) ta cĩ a b c 4 163≤+−⇔+−−≥⇔−tttttt3 8 2 4 3 3 8 2 4160() 3 tt 4( + 2)2 ≥⇔≥ 0 t ( Vi 0 <≤ t 3) 3 111 2 4 2 65 65 9− 65 Suy ra P ≤−++9 ≤− 9 = Q−=−≥−3 P ⇔ Q ≥ . D ấu a b c 3 3 3 3 16abc+ 4( abbcca ++) =+ 8124( abc ++ ) . 9 "=" x ảy ra khi và ch ỉ khi abc== ⇔=== abc 4 a, b , c ≥ 1 9− 65 9 Vậy giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa Q là khi a= b = c = . 3 4
GV NHĨM ĐỖ TI ẾN TRUNG 0979911991 TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 9 Tỉnh Yên Bái • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (4,0 điểm) 2- 3 6-33 1. Rút g ọn bi ểu th ức S = + . 2 2 2. Cho P()x = x 3+ ax 2 + bx + c với a, b , c là các s ố th ực. Bi ết r ằng P()() 2 = P 3= 2023. Tính giá tr ị bi ểu th ức Q=P5()()− P0. 1 1 925x2 − Câu 2. (3,0 điểm) Gi ải ph ươ ng trình 8 + + 1 = . 3x− 53 x + 5 x Câu 3. (6,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB . M ột điểm H cố định thu ộc bán kính OB ( H khác O và B ). Qua điểm H kẻ dây cung MN vuơng gĩc v ới đường kính AB . M ột điểm C đi động trên cung nh ỏ AN (C khác A và N ). G ọi L là giao điểm c ủa BC và MN . a) Ch ứng minh r ằng ACLH là m ột t ứ giác n ội ti ếp và BH. BA= BLBC . . b) Ch ứng minh r ằng BN là tiếp tuy ến c ủa đường trịn ngo ại ti ếp tam giác CLN . c) Đường th ẳng qua N và vuơng gĩc v ới AC cắt MC tại D . Tìm v ị trí c ủa điểm C trên cung nh ỏ AN của đường trịn tâm O sao cho di ện tích tam giác ADM đạt giá tr ị lớn nh ất. Câu 4. (4,0 điểm) 1. Tìm t ất c ả các b ộ ba s ố nguyên t ố ()p, q , r th ỏa mãn ()()p2+1 q 2 +=+ 1 r 2 1 . 2. Cho m và n là các s ố nguyên d ươ ng th ỏa mãn mn +1 chia h ết cho 24 . Ch ứng minh r ằng m+ n cũng chia h ết cho 24 . Câu 5. (3,0 điểm) 1. Cho x, y , z là các s ố th ực d ươ ng th ỏa mãn x+ y + z = 3 . Ch ứng minh r ằng yz+ zx + xy + + + ≥ 3 . x+1 y + 1 z + 1 2. Để chu ẩn b ị cho K ỳ thi ch ọn h ọc sinh gi ỏi c ấp t ỉnh, b ạn Tùng quy ết định luy ện t ập gi ải m ột s ố bài tốn trong vịng 6 tu ần. Theo d ự định, b ạn Tùng s ẽ gi ải ít nh ất m ột bài tốn m ỗi ngày và khơng quá 10 bài tốn m ỗi tu ần. Ch ứng minh r ằng luơn t ồn t ại m ột chu ỗi ngày liên ti ếp mà trong kho ảng th ời gian đĩ t ổng s ố bài tốn Tùng gi ải b ằng 23. ___ H ết ___
GV NHĨM ĐỖ TI ẾN TRUNG 0979911991 TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LỜI GI ẢI • Sản ph ẩm do nhĩm: th ực hi ện. Câu 1. (4,0 điểm) 2- 3 6-33 1. Rút g ọn bi ểu th ức S = + . 2 2 2. Cho P( x) = x 3+ ax 2 + bx + c với a, b , c là các s ố th ực. Bi ết r ằng P( 2) = P( 3) = 2023. Tính giá tr ị bi ểu th ức Q=P5( ) − P0.( ) 1 1 925x2 − Câu 2. (3,0 điểm) Gi ải ph ươ ng trình 8 + + 1 = . 3x− 53 x + 5 x Lời gi ải 1. Ta cĩ: 2 2 2-3 6-33()2-3() 6-33 2-36-332-3 6-33 S=+= + =+=+ 2 2 22-3 26-3331− 3-3 31 − 331− () () () 3- 3 = = 1 3() 3− 1 2. Ta cĩ: P( 2) = P( 3) = 2023 ⇔+++=+++= 8 4abc 2 27 9 abc 3 2023 5 ab+ = − 19 Do đĩ: Q = P( 5) − P( 0) =( 125 + 25abcc ++−=+ 5) 125 5( 5 ab +=+−=) 125 5( 19) 30. 1 1 925x2 − Câu 2. (3,0 điểm) Gi ải ph ươ ng trình 8 + + 1 = . 3x− 53 x + 5 x Lời gi ải −5 3 1 1 925x2 − 6 x 925 x 2 − + Ta cĩ: 8 + += 1 ⇔ 8.1 += () * 3535xx− + xx 9252 − x 9x2− 25 9 x 2 − 25 1 x + Đặt t= >⇔=0 t 2 ⇔= x xtx29 2 − 25 + Khi đĩ, ph ươ ng trình 6 ()*8.1⇔ +=⇔−−=⇔−ttt32 480 ttt 322 43480 + −=⇔−() ttt 4() 2 −+ 3120 =⇔= t 4 t 2 2 x= − 1,( thm . ) 29x − 25 2 + V ới t=⇔=44 ⇔ 916250 x − x −=⇔ 25 x x= ,( loai ) 19 + V ậy: Ph ươ ng trình đã cho cĩ t ập nghi ệm là S ={ − 1} . Câu 3. (6,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB . M ột điểm H cố định thu ộc bán kính OB ( H khác O và B ). Qua điểm H kẻ dây cung MN vuơng gĩc v ới đường kính AB . M ột điểm C đi động trên cung nh ỏ AN ( C khác A và N ). G ọi L là giao điểm c ủa BC và MN . a) Ch ứng minh r ằng ACLH là m ột t ứ giác n ội ti ếp và BH. BA= BLBC . .
GV NHĨM ĐỖ TI ẾN TRUNG 0979911991 TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 b) Ch ứng minh r ằng BN là tiếp tuy ến c ủa đường trịn ngo ại ti ếp tam giác CLN . c) Đường th ẳng qua N và vuơng gĩc v ới AC cắt MC tại D . Tìm v ị trí c ủa điểm C trên cung nh ỏ AN của đường trịn tâm O sao cho di ện tích tam giác ADM đạt giá tr ị lớn nh ất. Lời gi ải a) Tứ giác ACLH cĩ: AHL =90 ° và ACL= ACB =90 ° . Suy ra ACLH nội ti ếp. BH BL Ta cĩ: ∆HLB∽ ∆ CAB,(.) g g = BH . BA= BL . BC BC BA b) Ta cĩ: BNL= BNM . NCL= NCB . Do AB⊥ MN B là điểm chính gi ữa cung MN . Do đĩ BNM= BCN . Suy ra BNL= NCL . Suy ra BL là ti ếp tuy ến c ủa đường trịn ngo ại ti ếp tam giác CNL . c) Do ND⊥ AC và BC⊥ AC nên ND// BC . Gọi J là giao điểm c ủa AC và DN . Ta cĩ: JCN+ NCB =90 ° , DCJ+ JCN + NCB + BCM =°180 mà BCM= BCN DCJ= NCJ . Suy ra CJ là đường trung tr ực c ủa ND hay AC là trung tr ực c ủa ND . Ta cĩ: AD= AN = AM . Kẻ AK⊥ DM ∆ AKM∽ ∆ ACB,( g . g ) S AM 2 ∆AKM = = const S∆AKM= a. S ∆ ACB , () a = const S∆ACB AB Ta cĩ : S∆ADM lớn nh ất ⇔ S∆AKM lớn nh ất ⇔ S∆ACB lớn nh ất
GV NHĨM ĐỖ TI ẾN TRUNG 0979911991 TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 1 Mà: S= dCABAB(), . lớn nh ất ⇔ C là điểm chính gi ữa cung AB , ( vì d( CAB, ) ≤ R ) ∆ACB 2 Câu 4. (4,0 điểm) 1. Tìm t ất c ả các b ộ ba s ố nguyên t ố ( p, q , r ) th ỏa mãn ( p2+1)( q 2 +=+ 1) r 2 1*( ) . Lời gi ải 1. Vì ( p, q , r ) là m ột b ộ ba số nguyên t ố th ỏa mãn ( pq2+1)( 2 +=+ 1) r 2 1 r> 3 r lẻ r 2 +1 ch ẵn p2+1; q 2 + 1 khơng cùng l ẻ Gi ả sử rằng p= 2 p 2 + 1 = 5 lẻ q2 +1 ch ẵn. T ừ (*) 5q2+ 4 = r 2 + N ếu q là s ố nguyên t ố khơng chia h ết cho 3 thì q2≡1 (mod3) 5 q 2≡ 2 (mod 3) 5 q 2+≡ 0 (mod3) ⇔≡ r 2 0 (mod 3) ⇔≡ r 0 (mod 3) , mà r là s ố nguyên t ố lớn h ơn 3 , (khơng th ỏa mãn) q = 3 . + Khi đĩ: r2 = 49 r = 7 Vậy: các b ộ ba s ố nguyên t ố ( p, q , r ) th ỏa mãn ( p2+1)( q 2 +=+ 1) r 2 1*( ) là : (2;3;7) ;( 3;2;7 ) 2. Cho m và n là các s ố nguyên d ươ ng th ỏa mãn mn +1 chia h ết cho 24 . Ch ứng minh r ằng m+ n cũng chia h ết cho 24 . Lời gi ải + Đặt : Amn= +++=+1 mnm( 11;)( n +) Bmn = +−−=− 1 mnm( 11)( n − ) + Xét AB.=( m2 − 1)( n 2 − 1 ) + Vì mn +1⋮ 24 m ⋮ 24 và n ⋮ 24 m ⋮ 3 và n ⋮ 3 m 2 −1⋮ 3 và n 2 −1⋮ 3 AB.⋮ 3 2 , (1) + M ặt khác, vì mn +1⋮ 24 mn. lẻ m và n cùng l ẻ m 2 −1⋮ 8 và n 2 −1⋮ 8 AB.⋮ 8 2 , (2) A⋮24 (mn+1) + m + n⋮ 24 m+ n ⋮ 24 + T ừ (1) và (2) suy ra: AB.⋮ 242 ,()vì() mn + 1⋮ 24 B⋮24 ()()mn+1 − m + n⋮ 24 m+ n ⋮ 24 Câu 5. (3,0 điểm) 1. Cho x, y , z là các s ố th ực d ươ ng th ỏa mãn x+ y + z = 3 . Ch ứng minh r ằng yz+ zx + xy + + + ≥ 3 . x+1 y + 1 z + 1 Lời gi ải yz+ zx + xy + 1. Đặt A = + + x+1 y + 1 z + 1 + Vì: xyz+ + = 3 xy+=− 3; zyz +=− 3; xxz +=− 3 y + Khi đĩ: 333−−−xyz 3 − x 3 − y 3 − z A= + + A +=3 ++ 1 ++ 1 + 1 xyz+++111 x + 1 y + 1 z + 1 4 4 4 A+=3 + + x+1 y + 1 z + 1 + Vì xyz+ + = 3 xyz+ + +++= 1116 . 4 4 4 + Ta cĩ: A++=36 +++ x 1 +++ y 1 ++ z 1 x+1 y + 1 z + 1 4 4 + Áp d ụng, b ất đẳng th ức Cơ- Si, ta cĩ: ++≥x1 .14() x += x+1 x + 1
GV NHĨM ĐỖ TI ẾN TRUNG 0979911991 TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 4 4 Tươ ng t ự: ++≥y1 .14() y += y+1 y + 1 4 4 và ++≥z1 .14() z += z+1 z + 1 + C ộng v ế với v ế ba b ất đẳng th ức trên, suy ra: A+≥++⇔9444 A ≥ 3 + D ấu “ = ” x ảy ra 4 =x + 1 x +1 4 A+≥++⇔9444 =+⇔=== yxyz 1 1 y +1 4 =z + 1 z +1 2. Để chu ẩn b ị cho K ỳ thi ch ọn h ọc sinh gi ỏi c ấp t ỉnh, b ạn Tùng quy ết định luy ện t ập gi ải m ột số bài tốn trong vịng 6 tu ần. Theo d ự định, b ạn Tùng s ẽ gi ải ít nh ất m ột bài tốn m ỗi ngày và khơng quá 10 bài tốn m ỗi tu ần. Ch ứng minh r ằng luơn t ồn t ại m ột chu ỗi ngày liên ti ếp mà trong kho ảng th ời gian đĩ t ổng s ố bài tốn Tùng gi ải b ằng 23. Lời gi ải ℤ + Gọi xi lần l ượt là s ố bài tốn mà Tùng gi ải trong ngày th ứ i , (1≤i ≤ 42, i ∈ ). Do Tùng sẽ gi ải ít nh ất m ột bài tốn m ỗi ngày và khơng quá 10 bài tốn trong m ỗi tu ần nên: 1≤xi ≤ 4 + Đặt : Sxxi=+++1 2 xi i ,( = 1,42 ) , ta cĩ: Si≠ S j ,( ∀≠ i jj ; = 1,42 ) + Xét tập h ợp A= { SS1; 2 ; ; S 42 } với 1≤Si ≤ 60 và BS=+{ 123; S 2 + 23; ; S 42 + 23 } với 24≤S j + 23 ≤ 83 . Hai t ập h ợp A và B cĩ t ất c ả 84 ph ần t ử, nh ận các giá tr ị trong t ập h ợp {1;2;3; ;83 }, (vì S42=+++ xx 1 2 x 42 ≤ 6.10 = 60 nên S42 +23 ≤ 60 + 23 = 83 ) nên theo nguyên lý Đi- rích -lê , tồn t ại hai ph ần t ử bằng nhau. Mặt khác, hai ph ần t ử bằng nhau này khơng cùng thu ộc A, khơng cùng thu ộc B vì Si≠ S j nên một ph ần t ử thu ộc A và m ột ph ần t ử thu ộc B, ch ẳng h ạn Si ∈ A và Sj +23 ∈ B . Khi đĩ: SSi= j +23, ( ij > ) nên Si− S j = 23 Vậy, t ừ ngày th ứ j đến ngày th ứ i là chu ỗi ngày liên ti ếp mà trong kho ảng th ời gian đĩ t ổng s ố bài tốn Tùng gi ải b ằng 23. Hết