Tuyển tập đề tuyển sinh vào 10 Chuyên trên toàn quốc năm học 2020-2021 - Vũ Ngọc Thành

129 trang thaodu 8430

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập đề tuyển sinh vào 10 Chuyên trên toàn quốc năm học 2020-2021 - Vũ Ngọc Thành", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_de_tuyen_sinh_vao_10_chuyen_tren_toan_quoc_nam_hoc.pdf

Nội dung text: Tuyển tập đề tuyển sinh vào 10 Chuyên trên toàn quốc năm học 2020-2021 - Vũ Ngọc Thành

Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TRÊN TOÀN QUỐC 2020-2021 Phần 1: Tuyển tập các đề thi trên toàn quốc (từ trang 2 đến trang 75) Phần 2: Phân loại theo chủ đề • Chủ đề 1: Căn bậc hai và các bài toán liên quan trang 71 • Chủ đề 2:Hàm số và các bài toán liên quan trang 82 • Chủ đề 3:Phương trình trang 85 • Chủ đề 4: Hệ phương trình trang 92 • Chủ đề 5: Bất đẳng thức trang 96 • Chủ đề 6: Giải bài toán bằng cách lập pt, hệ pt trang 103 • Chủ đề 7: Số học- đa thức trang 104 • Chủ đề 8:Hình học trang 113 Ngày 28/7/2020 Vũ Ngọc Thành Bản Vàng Pheo Phong Thổ Lai Châu Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 1
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN KHTN Môn: Toán chung Thời gian: 120 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Giải hệ phương trình ( x2 + y2 + xy = 7 9x3 = xy2 + 70(x − y) 2. Giải phương trình √ √ 11 5 − x + 8 2x − 1 = 24 + 3p(5 − x)(2x − 1) Bài 2. 1. Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn x2y2 − 16xy + 99 = 9x2 + 36y2 + 13x + 26y 2. Với a, b là các số thực dương thỏa mãn 2 ≤ 2a + 3b ≤ 5, 8a + 12b ≤ 2a2 + 3b2 + 5ab + 10. Chứng minh rằng 3a2 + 8b2 + 10ab ≤ 21. Bài 3. Cho tam giác ABC có BAC[ là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn (O) . Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác BAC[ . Lấy các điểm M, N thuộc (O) sao cho các đường thẳng CM và BN cùng song song với đường thẳng AD . 1. Chứng minh rằng AM = AN 2. Gọi giao điểm của đường thẳng MN với các đường thẳng AC, AB lần lượt là E, F . Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. 3. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM, AN. Chứng minh rằng các đường thẳng EQ, EP, AD đồng quy. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 4. Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a(a + bc)2 b(b + ca)2 c(c + ab)2 + + ≥ 4 b (ab + 2c2) c (bc + 2a2) a (ca + 2b2) —HẾT— 2
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI CHUYÊN XH VÀ NV 2020-2021 Môn: Toán. Thời gian: 60 phút, không kể phát đề. Bài 1.  x 7 + 12(x + y) = 31  y 1. Giải hệ phương trình x + x + y = 3  y √ √ 2. Giải phương trình x + 3 + 2 x = 2 + px(x + 3) 2 3. Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x − 2x − a = 0 với a là số thực dương. Chứng minh 3 3 biểu thức M = x1 + x2 + 6x1x2 là số nguyên. Bài 2. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)(A, B ∈ (O)) 1. Chứng minh rằng tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB ( N không trùng với A, B và trung điểm của đoạn thẳng AB NA HA ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng MN. Chứng minh rằng = NB HB a b Bài 3. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng + ≤ 1 + a2 1 + b2 1 √ 1 + c2 —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 3
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 Môn: Toán vòng II. Thời gian: 270 phút, không kể phát đề. Bài 1. ( (x + y)(x + 1) = 4 1. Giải hệ phương trình (y2 + xy + x + y + 5) (x3 + y3 + 12y + 13) = 243 2. Giải phương trình (x − 12)7 + (2x − 12)7 + (24 − 3x)7 = 0 Bài 2. 1. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho cả ba số 4a2 + 5b, 4b2 + 5c, 4c2 + 5a đều là bình phương của số nguyên dương. 2. Từ một bộ bốn số thực (a, b, c, d) ta xây dựng bộ số mới (a + b, b + c, c + d, d + a) và liên tiếp xây dựng các bộ số mới theo quy tắc trên. Chứng minh rằng nếu ở hai thời điểm khác nhau ta thu được cùng một bộ số (có thể khác thứ tự) thì bộ số ban đầu phải có dạng (a, −a, a, −a) Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A với BAC[ 90◦ Gọi P là giao điểm của BE với trung trực BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Gọi Q là hình chiếu vuông góc của E lên AP . Gọi giao điểm của EQ và PK là F . 1. Chứng minh rằng bốn điểm A, E, P, F cùng thuộc một đường tròn. 2. Gọi giao điểm của KQ và PE là L. Chứng minh rằng LA vuông góc với LE. 3. Gọi giao điểm của FL và AB là S. Gọi giao điểm của KE và AL là T . Lấy R là điểm đối xứng của A qua L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST và đường tròn ngoại tiếp tam giác BP R tiếp xúc với nhau. Bài 4. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 1 1 1 2 4 a b c 3 + + − 1 + 1 ≥ + 3 + + . a b c abc bc ca ab —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 4
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN LAI CHÂU 2020-2021 Môn: Toán chung Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Không sử dụng máy tính, giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1. 2x − 6 = 0 2. x2 − 4x + 3 = 0 ( x + y = 10 3. x − y = 4 Bài 2. √ √ √ 1. Thực hiện phép tính: 64 + 25 − 9 1 2 6 2. Cho biểu thức: Q = √ + √ − với x ≥ 0; x 6= 9 x − 3 x + 3 x − 9 (a) Rút gọn biểu thức Q (b) Tính giá trị của Q biết x = 4 Bài 3. 1. Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 (P) 2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d): y = −x + 3 Bài 4. Một ô tô khách dự tính đi từ thành phố Lai Châu đến huyện Nậm Nhùn trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô này dừng lại nghỉ 10 phút. Do đó để đến Nậm Nhùn đúng hạn xe phải tăng tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết rằng quãng đường từ thành phố Lai Châu đi huyện Nậm Nhùn dài 120 km. Bài 5. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE không đi qua tâm tới đường tròn đó (B,C là hai tiếp điểm; D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của AO và BC. 1. Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh AH.AO = AD.AE Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 3. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K. Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB tại P và cắt AC tại Q. Chứng minh rằng: IP + KQ ≥ PQ Bài 6. Cho a, b là các số không âm thỏa mãn a2 + b2 ≤ 2, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = ap3b(a + 2b) + bp3a(b + 2a). —HẾT— 5
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN HƯNG YÊN 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. 2x + 1 1 x + 4 Bài 1. M = √ − √ : 1 − √ với x ≥ 0, x 6= 1; x 6= 9. x3 − 1 x − 1 x + x + 1 1. Rút gọn biểu thức M. 2. Tìm giá trị của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên dương. Bài 2. 1. Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng với hệ số góc dương đi qua điểm A(2; 1) và tạo 1 với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 2 2. Tìm các giá trị của m để phương trình 2x2 − (m + 5)x + m + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm 17 phân biệt x , x thỏa mãn x2 + x2 = . 1 2 1 2 4 Bài 3. √ 1. Giải phương trình 5x2 − 2x − 3 − (2x − 1) 5x2 + 2x − 1 = 0 (x x2 − 2 + x2y + 4 = 2 x2 + y 2. Giải hệ phương trình x2 − y + 2 = 0 Bài 4. 1. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a . M là điểm di động trên đoạn OB (M khác O và B ). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N. (a) Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. (b) Chứng minh 3 điểm C, M, N thẳng hàng. 2. Cho tam giác MNP vuông cân tại M, MN = a. Lấy điểm D thuộc cạnh MN; điểm E thuộc cạnh NP sao cho chu vi tam giác NDE bằng 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác NDE Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 5. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện (a + b)3 + 4ab ≤ 12. Chứng minh rằng 1 1 + + 2020ab ≤ 2021. 1 + a 1 + b —HẾT— 6
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. a b c Bài 1. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện + + = 2020. Tính giá trị của biểu b + c c + a a + b thức a2 b2 e2 P = + + :(a + b + c). b + c c + a a + b Bài 2. √ √ 1. Giải phương trình: 2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4 (y2 − 2xy = 8x2 − 6x + 1 2. Giải hệ phương trình: y2 = x2 + 8x2 − x + 1 Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < CA ) nội tiếp đường tròn (O). Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) tại A1. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại B1. Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt (O) tại C1. Chứng minh rằng các đường thẳng qua A1,B1,C1 lần lượt vuông góc với BC, CA, AB đồng quy. Bài 4. a2 + b2 (a − b)2 1. Cho 2 số thực a, b. Chứng minh rằng: ≥ ab + 2 a2 + b2 + 2 2. Cho hai số dương a, b thoả mãn điều kiện a + 8 ≤ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 20 7 b − a + + a b Bài 5. Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F . Kẻ đường kính EJ của đường tròn (I). Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC. Đường thẳng JD cắt d, BC lần lượt tại L, H. 1. Chứng minh: E, F, L thẳng hàng. 2. JA, JP cắt BC lần lượt tại M, K, Chứng minh: MB = MK. x 3 Bài 6. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình 3 − y = 1 Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu —HẾT— 7
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN LAI CHÂU 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. √ √ √ x + 2 x − x − 3 x − x 2 Bài 1. Cho biểu thức P = √ − √ : √ + √ . x + 1 x − x − 2 x − x − 2 x − 2 1. Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn biểu thức P. 2. Tìm x để P = 1. Bài 2. 1. Cho Parabal có phương trình: y = 3x2 (P) và đường thẳng có phương trình y = 6x + 2m − 1 (d). Tìm m để parabal (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. 2 2. Cho phương trình: x − 6x + 2m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 3 3 thỏa mãn x1 + x2 < 72 Bài 3. Cho (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). I là một điểm thuộc đoạn BC(IB < IC). Kẻ đường thẳng d vuông góc với OI tại I. Đường thẳng d cắt đường thẳng AB, AC lần lượt E và F . 1. Chứng minh tứ giác OIBE và tứ giác OIF C là các tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh I là trung điểm của EF . 3. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác AP Q nhỏ nhất. √ √ √ √ Bài 4. Giải phương trình: 2x2 − 1 + x2 − 3x − 2 = 2x2 + 2x + 3 + x2 − x + 2. Bài 5. Cho a, b, c là ba số dương biết a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 3. a2 b2 c2 —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 8
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 TUYỂN SINH CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 Môn: chuyên toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. (x − 2)2 1. Cho biểu thức P = √ . Tìm số tự nhiên x lớn nhất có hai chữ số để P có giá trị là số x + 2 x − 1 chính phương. 2. Cho P (x) là một đa thức có tất cả các hệ số đều là số nguyên thoả mãn P (0) = 21; P (1) = 7. Chứng minh rằng P (x) không có nghiệm nguyên. Bài 2. x √ √ 1. Giải phương trình: √ + x + 1 = 3x + 1 x + 2 (x2 + xy + x − 12y = 12 2. Giải hệ phương trình: xy + 3y2 − x + 6y = −3 Bài 3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), giả sử B, C cố định và A di động trên đường tròn sao cho AB < AC và AC < BC. Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AC và BC lần lượt tại P và Q. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AC cắt AB và BC lần lượt tại M và N. 1. Chứng minh rằng OM.ON = R2 2. Chứng minhrằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn. 3. Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và CPQ cắt nhau tại S và T , gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ST . Chứng minh rằng H chạy trên một đường tròn cố định khi A đi động. Bài 4. Giả sử phương trình 2x2 + 2ax + 1 − b = 0 có hai nghiệm nguyên (với a, b lần lượt là tham số). Chứng minh rằng a2 − b2 + 2 là số nguyên và không chia hết cho 3 . Bài 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ac 1 T = + + − . Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 3a + 4b + 5c 3b + 4c + 5a 3c + 4a + 5b pab(a + 2c)(b + 2c) —HẾT— 9
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán- tin Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. √ √ √ p √ 1. Thu gọn biểu thức: A = (4 + 15)( 5 − 3) 4 − 15. 2. Cho phương trình: 2019x2 − (m − 2020)x − 2021 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có p 2 p 2 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = x1 + 2020 − x2 + 2020. Bài 2. √ 1. Giải phương trình: 5 1 + x3 = 2 (x2 + 2) (x3 − x2y + xy2 − y3 = 0 2. Giải hệ phương trình: √ xy + 3y − x + 3 − 2 = 0 Bài 3. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20202000 + 1) chia hết cho (n3 + 2018n) Bài 4. 1. Cho hình thoi ABCD có ABC[ = 60◦. Gọi M là điểm bất kỳ trên đường chéo BD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AD và N là trung điểm của đoạn HK. Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BD chứa điểm A dựng tam giác đều BED. Chứng minh 3 điểm M, N, E thẳng hàng. 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác trong của BAC[ cắt đường tròn (O) tại D khác A. Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đường thẳng AC tại điểm F khác A. (a) Chứng minh BM.BC = BF.BD. (b) Chứng minh EF ⊥ AC. Bài 5. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + yz y + zx z + xy P = + + . Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu y + z z + x x + y —HẾT— 10
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021 Môn: Toán chuyên toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức √ √ √ 3x + 4 x − 7 x + 1 x − 3 P = √ − √ − √ x + 2 x − 3 x + 3 x − 1 nhận giá trị nguyên. 2. Cho phương trình 2x2 − 3x + 2m = 0. Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 1 1 khác 0 thỏa − = 1. x1 x2 Bài 2. x2 − x2 + 1 1 1. Giải phương trình = . x2 + 3x2 − x 2 ( √ √ x + y − 3x + 2y = −1 2. Giải hệ phương trình √ x + y = y − x Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho p3 + 3pq + q3 là một số chính phương. Bài 4. 1. Cho tam giác ABC cân tại A ( với BAC[ MB + MC. 2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm cạnh BC và E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AC và AB. Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AO và BC theo thứ tự M và N. (a) Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp. (b) Gọi K là giao điểm của AB và ED, L là giao điểm của AC và FD, H là trung điểm của KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . Chứng minh HI ⊥ EF . Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu (x + y)2 (x + y)2 Bài 5. Cho x, y là 2 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = + . x2 + y2 xy —HẾT— 11
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN SỞ HÀ NỘI NĂM 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. √ 1. Giải phương trình x2 + 3x + 5 = (x + 3) x2 + 5. 2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b − 2c = 0 và 2ab − bc − ca = 0. Chứng minh a = b = c. Bài 2. 1. Chứng minh với mọi số nguyên dương n, số A = 11n + 7n − 2n − 1 chia hết cho 15 . √ √ m √ m 3( 11 − 3) 2. Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn 11 − > 0. Chứng minh 11 − ≥ . n n mn Bài 3. 1. Cho đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn P (1) = 3 và P (3) = 7. Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức P (x) cho đa thức x2 − 4x + 3. 2. Với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c + abc = 4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + ca. Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm I đến các đường thẳng BC, CA, AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn ( I ) tại hai điểm phân biệt D và M. Đường thẳng qua K song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại N. 1. Chứng minh tam giác MFD đồng dạng với tam giác BNK. 2. Gọi P là giao điểm của BI và FD. Chứng minh góc BMF bằng góc DMP . 3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC đi qua trung điểm của đoạn thẳng KN. Bài 5. Cho một bảng ô vuông kích thước 6 × 7 ( 6 hàng; 7 cột) được tạo bởi các ô vuông kích thước 1 × 1.Mỗi ô vuông kích thước 1 × 1 được tô bởi một trong hai màu đen hoặc trắng sao cho trong mọi Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu bảng ô vuông kích thước 2 × 3 hoặc 3 × 2 có ít nhất hai ô vuông kích thước 1 × 1 được tô màu đen chung cạnh. Gọi m là số ô vuông kích thước 1 × 1 được tô màu đen trong bảng. 1. Chỉ ra một cách tô sao cho m = 20. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của m. —HẾT— 12
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Cho biểu thức √ √ √ √ 2 x + 1 2 x − 1 x + 2 √ x + 4 A = √ + √ + √ 3 x − √ với x ≥ 0, x 6= 1, x 6= 4, x 6= 9. x − 2 3 − x x − 5 x + 6 x − 1 1. Rút gọn A 2. Tìm x sao cho A < 2. Bài 2. 1. Cho phương trình x4 − 2mx2 + m2 − 2m + 2 = 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có 4 4 4 4 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x1 + x2 + x3 + x4 = 24. √ (2 x + y = y2 + y − x 2. Giải hệ phương trình . py − 1 = px + 3y + 1 − 4 Bài 3. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x2 + 5y2 + 4xy + 3x + 4y = 27. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M = x + 2y. Bài 4. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với _ _ đường tròn ( B, C là các tiếp điểm, AD < AE, DB < DC ). Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với DE tại H, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại K . Chứng minh: 1. Tứ giác BCOH nộp tiếp. 2. KD là tiếp tuyến của đường tròn (O) . 3. DBC\ = HBC\ ab (a + b) Bài 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho là số nguyên. ab + 2 —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 13
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN AN GIANG NĂM 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1 1. Tính giá trị biểu thức A = 2a3 − 3a2 − 3a − 1 với a = √ . 3 3 − 1 1 1 2. Giải phương trình 2 x2 + − 7 x − + 2 = 0. x2 x  √ √  2 + 2 2 |x| + y = 3 2 Bài 2. Giải hệ phương trình √ .  1 + 2 x − y = 3 √ Bài 3. Cho hàm số y = 3 − 1 x + 1 có đồ thị là đường thẳng (d). 1. Vẽ đồ thị (d) của hàm số đã cho trên mặt phẳng tọa độ. 2. Đường thẳng (d0) song song với (d) và đi qua điểm có tọa độ (0; 3). Đường thẳng (d) và (d0) cắt trục hoành lần lượt tại A; B, cắt trục tung lần lượt tại D; C. Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 4. Trên đường tròn đường kính AD lấy hai điểm B và C khác phía với AD sao cho BAC[ = 60◦. Từ B kẻ BE vuông góc với AC (E ∈ AC). 1. Chứng minh rằng hai tam giác ABD và BEC đồng dạng. 2. Biết EC = 3cm. Tính độ dài dây BD. Bài 5. Trên mỗi đỉnh của một đa giác có 12 cạnh người ta ghi một số, mỗi số trên một đỉnh là tổng của hai số ở hai đỉnh liền kề. Biết hai số ở hai đỉnh A5 và A9 là 10 và 9. Tìm số ở đỉnh A1. A8 A7 A6 A9 A5 9 10 A10 A4 Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu A11 A3 A12 A2 A1 —HẾT— 14
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH CHUYÊN BÀ RỊA- VŨNG TÀU NĂM 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. √ x − 4 x + x + 2 1. Rút gọn biểu thức P = √ + √ với 0 ≤ x 6= 4. x x − 8 ( x + 1)2 + 3 √ √ 2. Giải phương trình x2 + 3 = x + 2x − 1. (x − y + 2 = xy 3. Giải hệ phương trình . (2 − x) y = x2 + y2 Bài 2. 1. Cho đa thức P (x) = (x − 2) (x + 4) x2 + ax − 8 + bx2 với a và b là các số thực thỏa mãn a + b < 1. Chứng minh rằng phương trình P (x) = 0 có bốn nghiệm phân biệt. 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x (x + y)2 − y + 1 = 0. Bài 3. Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 S = (a + b) √ + √ . a2 − ab + 2b2 b2 − ab + 2a2 Bài 4. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Từ điểm S thuộc tia đốicủa tia AB kẻ đến (O) hai tiếp tuyến SC và SD( C, D là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của hai đường kính AB và dây CD. Vẽ đường tròn (O0) đi qua C và tiếp xúc với đường thẳng AB tại S. Hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại M khác C. 1. Chứng minh tứ giác SMHD nội tiếp. 2. Gọi K là hình chiếu vuông góc của C trên BD, I là giao điểm của BM và CK. Chứng minh HI song song với BD. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 3. Các đường thẳng SM và HM lần lượt cắt (O) tại các điểm L và T (L, T khác M). Chứng minh rằng tứ giác CDT L là hình vuông khi và chỉ khi MC2 = MS.MD. Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là chân ba đường AB 2 BC 2 CA 2 cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC. Biết + + = 36, hãy chứng minh rằng HF HD HE tam giác ABC đều. —HẾT— 15
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Cho biểu thức √ √ √ 3x + 5 x − 1 − 14 x − 1 − 2 x − 1 A = √ − √ − √ x − 3 + x − 1 x − 1 − 1 x − 1 + 2 với x ≥ 1, x 6= 2. (a) Rút gọn biểu thức A. (b) Tìm tất cả các giá trị x để A nhận giá trị là số nguyên. Cho parabol (P ): y = x2 và đường thẳng (d): y = −mx + 2 − m ( m là tham số ). Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho biểu thức 1 1 T = 4 + 4 đạt giá trị nhỏ nhất. (x1 + 1) (x2 + 1) 2. Bài 2. √ 1. Giải phương trình (x + 1) x − 1 + 5x = 13. 2. Giải hệ phương trình  x3 − xy + 2x2 − 2y = 0  √ (x + y − 2) x + 1 . = y(x − 5) + 9x − 5  x − 2 Bài 3. a2 − 3 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) để biểu thức nhận giá trị là số nguyên. ab + 3 2. Trong mặt phẳng cho 2020 điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1cm chứa không ít hơn 1010 điểm trong 2020 điểm đã cho. Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, K là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF . 1. Chứng minh rằng KB.KC = KE.KF và H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF . Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 2. Qua điểm F kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AC, đường thẳng này cắt các đường thẳng AK, AD lần lượt tại P và Q. Chứng minh FP = FQ. 3. Chứng minh rằng đường thẳng HK vuông góc với đường thẳng AM. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 1 + + ≤ 5a2 + (b + c)2 5b2 + (c + a)2 5c2 + (a + b)2 3 —HẾT— 16
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.  ax + by = c  Bài 1. Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 sao cho hệ phương trình bx + cy = a có nghiệm (x, y).  cx + ay = b a2 b2 c2 Chứng minh rằng + + = 3. bc ca ab Bài 2. (x4 − 2x2y = 1 1. Giải hệ phương trình . 2x2 + y2 − 2y = 2 √ 2. Giải phương trình 2 (x − 2) x + 2 = −x2 + 3x + 3. Bài 3. 1. Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho 2n + 2021 và 3n + 2020 đều là các số chính phương. x2 − 2 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho có giá trị là số nguyên. xy + 2 Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm O và O’ nằm khác phía đối với đường thẳng AB. Đường thẳng d thay đổi đi qua B cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D (d không trùng với đường thẳng AB). 1. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất. 2. Gọi M là điểm di chuyển từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O); N là điểm di 0 chuyển từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên (O’) sao cho góc ∠AOM luôn bằng góc ∠AO N. Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x2z2 + y2z2 + 1 ≤ 3z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 8 4z2 P = + + . (x + 1)2 (y + 3)2 (1 + 2z)2 Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu —HẾT— 17
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Cho biểu thức p √ p √ x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 A = . r16 8 − + 1 x2 x Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định. Rút gọn A. ( x2y + 2x2 + 3y = 15 2. Giải hệ phương trình . x4 + y2 − 2x2 − 4y = 5 Bài 2. 1. Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm x2 + ax + 1 = 0; x2 + bx + 1 = 0; x2 + cx + 1 = 0. 2. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (1 + 2a) (1 + 2bc). Bài 3. 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n (2n + 7) (7n + 1) luôn chia hết cho 6. 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 4a + 1 và 4b − 1 nguyên tố cùng nhau; a + b là ước của 16ab + 1. Bài 4. 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA. Vẽ tia Ix vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại C. Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E 6= B; E 6= C) nối AE cắt CI tại F . (a) Chứng minh rằng BEF I là tứ giác nội tiếp. (b) Gọi K là giao điểm của hai tia BE và Ix. Giả sử F là trung điểm của IC. Chứng minh rằng hai tam giác AIF và KIB đồng dạng. Tính IK theo R . Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng nhau. Bài 5. Một bảng có kích thước 2n × 2n ô vuông, n là số nguyên dương. Người ta đánh dấu vào 3n ô bất kỳ của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho các ô được đánh dấu đều nằm trên n hàng và n cột này. —HẾT— 18
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN NĂM 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 3 10 4 1. Rút gọn biểu thức T = √ − √ − p √ 5 − 2 5 6 + 2 5 2 2. Cho hai đường thẳng (d1): y = −2x + 3 và (d2): y = (m − 3m) x + 5 − 2m với m là tham số. Tìm m để (d1) k (d2). Bài 2. 1. Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình 2x2 − (m + 1) x + m − 3 = 0 có hai nghiệm 2 phân biệt x1; x2 thỏa mãn 2x1 + 6x1 + (1 − m)x1 + m = 12. 2. Giả sử A = 2n + 4n + 6n + 8n với n là số nguyên dương. Chứng minh với mọi n không chia hết cho 4 thì A chia hết cho 5. Bài 3. 1. Giải phương trình √ √ √ x − 3 + 2x − 1 = −2x2 + 10x + 1 2. Giải hệ phương trình ( x3 − 3y3 + 2xy + 2x − 2y = 0 √ px3 + 2y2 + 4 − x + 3y + 1 + x3 − 2y − 1 = 0 Bài 4. 1. Ông Việt muốn xây một bồn chứa nước hình trụ có thể tích 8m3. Đáy và thành làm bằng bê-tông giá 10 nghìn đồng/m2, nắp làm bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m2. Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chia phí xây dựng là thấp nhất? 2. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng √ √ √ 16a + 9 + 16b + 9 + 16c + 9 ≥ 11. Bài 5. Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B, C là hai điểm thuộc đường tròn tâm O). Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC ( M Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu khác B, C ). Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lần lượt tại E, F . Đường thẳng BC cắt OE, OF lần lượt tại P, Q. 1. Chứng minh rằng ABC[ = ADC\. 2. Chứng minh rằng FP ⊥ OE. PQ 3. Chứng minh rằng không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R). EF —HẾT— 19
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH DƯƠNG NĂM 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Giải phương trình √ √ √ ( x + 2020 − x − 2019)(1 + x2 + x − 2019 · 2020) = 4039. 1 1 1 2. Cho hai số thực m, n khác 0 thỏa mãn + = . Chứng minh rằng phương trình m n 2 x2 + mx + n x2 + nx + m = 0 luôn có nghiệm. Bài 2. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 1 ≤ x ≤ y ≤ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x2 + y2 + 4 (x − y − xy) + 7 Bài 3. 1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình x2 + xy + y2 = x2y2. 2. Với a, b là các số thực dương thỏa mãn ab + a + b = 1, chứng minh rằng: a b 1 + ab + = . 1 + a2 1 + b2 p2 (1 + a2) (1 + b2) Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A BAC[ > 90◦ nội tiếp đường tròn (O) bán kính R, M là điểm nằm trên cạnh BC (BM > CM). Gọi D là giao điểm của AM và đường tròn (O) ( D khác A ), điểm H là trung điểm đoạn thẳng BC. Gọi E là điểm chính giữa cung lớn BC, ED cắt BC tại N. 1. Chứng minh rằng MA.MD = MB.MC và BN.CM = BM.CN. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD. Chứng minh rằng ba điểm B, I, E thẳng hàng. 3. Khi 2AB = R, xác định vị trí của M để 2MA + AD đạt giá trị nhỏ nhất. —HẾT— 20
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Cho biểu thức √ √ 2 a 1 2 a A = 1 − : √ − √ √ a + 1 a + 1 a a + a + a + 1 1. Rút gọn biểu thức A. √ 2. Tính giá trị của A khi a = 2021 − 2 2020. Bài 2. √ 1. Giải phương trình 2x2 − 3x 5x − 4 + 5x − 4 = 0. ( 4x2y − xy2 = 5 2. Giải hệ phương trình . 64x3 − y3 = 61 Bài 3. 1. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d): y = 2x − m cắt parabol (P ): y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2 + mx + 8 = 0 và phương trình x2 + x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung. 3. Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực khác 0 thì tồn tại ít nhất một trong các phương trình sau có nghiệm 4ax2 + 2(b + c)x + c = 0 (1); 4bx2 + 2(c + a)x + a = 0 (2); 4cx2 + 2(a + b)x + b = 0 (3) . Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC với (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm H. 1. Chứng minh rằng tứ giác BF HD; ABDE nội tiếp và H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF . Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác DF EM nội tiếp. 3. Tia MH cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng các đường thẳng AI, EF, BC đồng quy. Bài 5. 1. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: y2 + 2y = 4x2y + 8x + 7. . 2. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a; b) thỏa mãn b2 + 3a.a2b. Bài 6. 21
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 1. Cho a, b là hai số dương. Chứng minh 1 1 4 (a) + ≥ . a b a + b √ 1 (b) a2 − ab + 3b2 + 1 ≥ (a + 5b + 2). 4 1 1 1 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn + + ≤ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P = √ + √ + √ a2 − ab + 3b2 + 1 b2 − bc + 3c2 + 1 c2 − ca + 3a2 + 1 —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 22
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021 Môn: không chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. p √ p √ 1. Tính giá trị biểu thức A = 5 + 2 6 + 5 − 2 6. √ √ x + x 4 − 5 x 2. Rút gọn biểu thứcB = + √ với x ≥ 0 và x 6= 1. 1 − x 1 − x Bài 2. 1 1. Vẽ đồ thị hàm số y = − x2. 2 2. Giải phương trình (x − 2) (x − 1) (x + 3) (x + 4) − 24 = 0. Bài 3. Cho phương trình 2x2 − 4mx − 2m2 − 1 = 0 (1) ( với m là tham số). 1. Chứng tỏ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) khi m = 3, không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức 2 2 Q = 8x1 − 50x1 − 70 8x2 − 50x2 − 70 + 2094. Bài 4. Cho đường tòn (O; R) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của Ax của (O; R) lấy điểm C khác A. Kẻ tiếp tuyến CD với (O; R) ( D là tiếp điểm, D khác A ). 1. Chứng minh rằng tứ giác OACD nội tiếp được một đường tròn. 2. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BD tại E. Chứng minh rằng BD.BE = 2R2. 3. Gọi F là trung điểm của OE. Chứng minh rằng ba điểm B, F, C thẳng hàng. A a Bài 5. Cho ∆ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng sin ≤ . 2 b + c —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 23
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. (xy + x + y = 5 Bài 1. Giải hệ phương trình xy + x2 + y2 = 7 Bài 2. 1. Cho p và p + 2 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6. 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là lập phương của một số nguyên dương. 1 1 1 Bài 3. Cho các số thực x, y, z ≥ 1 thỏa mãn + + = 2. Chứng minh rằng x y z √ √ √ x + y + z ≥ x − 1 + py − 1 + z − 1. Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Cho K là một điểm tùy ý trên cạnh BC ( K khác B, C). Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BF K và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK. Chứng minh rằng M, H, N thẳng hàng. Bài 5. Cho 20 điểm phân biệt trong mặt phẳng. Chứng minh rằng tồn tại đường tròn chứa đúng 12 điểm đã cho bên trong và có đúng 8 điểm đã cho bên ngoài. —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 24
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN CAO BẰNG NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Cho biểu thức √ √ x2 − x 3x + 2 x 2(x − 1) P = √ − √ + √ x + x + 1 x x − 1 với x > 0; x 6= 1 . 1. Rút gọn biểu thức P 2. Tìm tất cả các giá trị của x để √ 0 thỏa mãn x+y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2 + − y2 x2 17 . 16 —HẾT— 25
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương, khác 1 của x thì biểu thức √ √ √ x − 1 x + 1 1 x 3 A = √ − √ √ − − √ x + 1 x − 1 4 x 4 x − 2 x + 9 không nhận giá trị nguyên. x2 + y2 + z2 x2 y2 z2 2. Xét các bộ số (x; y; z) thỏa mãn = + + với a, b, c là các số khác 0. Tính giá a2 + b2 + c2 a2 b2 c2 x2020 y2020 z2020 trị của biểu thức Q = + + . b2c2 c2a2 a2b2 Bài 2. Trên đồ thị hàm số y = −0, 5x2, cho điểm M có hoành độ dương và điểm N có hoành độ âm. Đường thẳng MN cắt trục Oy tại C, với O là gốc tọa độ. Viết phương trình đường thẳng OM khi C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN . Bài 3. 1. Giải phương trình √ 3x3 − x2 + 2x − 28 + x3 − 4 x3 − 7 = 0.   3x + 4xy − x2 = 3y(y + 3) 2. Giải hệ phương trình 8 . px2 − 6y + 1 + py2 − 2x + 9 =  3 Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2x2 + x − m2 + 2m − 15 2x2 + 3x − m2 + 2m − 14 = 0 2 2 2 2 có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x1 + x2 + x3 + x4 = 3x2x3. Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC (Bb 6= Cb) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao xuất phát từ B và C lần lượt cắt đường thẳng AO tại D và E. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và O0 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE. Chứng minh rằng: Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 1. Tam giác HDE đồng dạng với tam giác ABC và AH là tiếp tuyến của đường tròn (O0). 2. Đường thẳng AO0 đi qua trung điểm của đoạn BC. Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn (AB 6= AC), nội tiếp đường tròn tâm O . Kẻ đường phân giác AD (D ∈ BC) của tam giác đó. Lấy điểm E đối xứng với D qua trung điểm của đoạn BC . Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AO ở H, đường thẳng vuông góc với BC tại E cắt AD ở K. Chứng minh rằng tứ giác BHCK nội tiếp. 26
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Bài 7. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: s s s ! x2 + y2 y2 + z2 z2 + x2 √ rx + y ry + z rz + x + + + 3 ≤ 2 + + xy(x + y) yz(y + z) zx(z + x) xy yz zx —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 27
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN ĐẮK LĂK NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P ): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2 (m + 1) x + 3 với m là tham số. √ 1. Tìm tọa độ điểm A thuộc parabol (P ) sao cho độ dài đoạn thẳng OA bằng 2 5. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol tại hai điểm phân biệt có 2 hoành độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 − 2mx1 + 2x2 − x1x2 = 2. Bài 2. 1. Giải phương trình x2 + x + 42 + 8x x2 + 4 + 23x2 = 0. 2. Giải hệ phương trình ( √ √ 2 x + y + 2 x − y = 4 + px2 − y2 √ √ . 2 x + 3 y = 6 Bài 3. 1. Chứng minh rằng khi lấy 1011 số bất kỳ từ 2020 số nguyên dương đầu tiên, ta luôn tìm được hai số x, y (x > y) từ 1011 số đó sao cho x chia hết cho y. 2. Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn phương trình x3 − x2y − 4y3 − y = 1. Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3(ab + bc + ca) (a + b + c)3 P = + . a2 + b2 + c2 abc Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC. Đường thẳng DE cắt tia CB tại M. Đường thẳng MA cắt đường tròn đường kính AH tại I ( I khác A ). Các đường thẳng BI và AC cắt nhau tại N. Chứng minh rằng: Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 1. Các tứ giác ADHE vàBCED nội tiếp đường tròn. 2. ∆MBI đồng dạng với ∆MAC và ∆NAI đồng dạng với ∆NBC. 3. MB.MC + NA.NC = MN 2. —HẾT— 28
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN ĐẮK NÔNG NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. √ x 2x − x Bài 1. Cho biểu thức P = √ − √ với x > 0 và x 6= 1. x − 1 x − x 1. Rút gọn biểu thức P . √ 2. Tính giá trị của biểu thức P với x = 4 + 2 3. Bài 2. √ 1. Giải phương trình 4 x + 1 = x2 − 5x + 14. ( √ x + y + 5 = 1 2. Giải hệ phương trình √ . y + x + 5 = 1 Bài 3. 1. Cho phương trình bậc hai: x2 − 2 (m − 1) x + 2m − 4 = 0 (∗) với m là tham số. Chứng tỏ rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi giá trị m. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 biểu thức A = x1 + x2. 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x; y) của phương trình 6x + 5y + 18 = 2xy. Bài 4. Một tô chạy từ A đến B với quãng đường dài 80 km trong một thời gian dự định. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu ô tô phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 15 km/h. Để đến B đúng thời gian dự định nên quãng đường còn lại ô tô phải tăng vận tốc hơn vận tốc dự định là 10km/h. Tính thời gian dự định của ô tô. (Giả thiết xe chạy liên tục không nghỉ). Bài 5. Cho đường tròn (O; R). Một đường thẳng d không đi qua tâm O cắt đường tròn tại hai điểm A và B, trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn (O) (C; D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB . 1. Chứng minh bốn điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đoạn thẳng OM cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 3. Vẽ một đường thẳng qua điểm O vuông góc với đoạn thẳng OM và cắt các tia MC, MD theo thứ tự hai điểm P và Q . Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất. 1 1 Bài 6. Cho hai số dương x, y thỏa mãn x+y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = + . x2 + y2 xy —HẾT— 29
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG NAI 2020-2021 Môn: Toán chuyên Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 6x + 7y = 8 và |9x − 10y| < 200. 2. Tìm các tham số nguyên n để phương trình x2 + nx + n = 0 có nghiệm nguyên. 3. Cho a là số thực thỏa mãn a ≥ 0 và a 6= 9. Rút gọn biểu thức √ √ 27 − a a 27 (a a + 125) P = √ − √ √ . a + 3 a a − 2a + 10 a + 75 Tìm a để P đạt giá trị lớn nhất. Bài 2. √ √ 1. Giải phương trình x 3 35 − x3(x + 3 35 − x3) = 30. 2 2. Tìm các tham số thực m để phương trình x − (2m + 1)x + m − 1 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 sao x1 · x2 − x1 − x2 + 3 cho biểu thức M = 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. (x1) + (x2) Bài 3. Giải hai hệ phương trình sau: ( 6x3 + 2x2y = x + y 1. x2 − 6xy − y2 = 6 ( x2 = y3 + 36 2. y2 = x3 + 36 Bài 4. 1 1. Cho − < a, b, c ∈ . Chứng minh 3 R 1 + a2 1 + b2 1 + c2 6 + + ≥ . 1 + 3b + c2 1 + 3c + a2 1 + 3a + b2 5 2. Trong mặt phẳng cho 1889 điểm thỏa mãn với 3 điểm bất kỳ tạo thành 3 đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. Chứng minh trong các điểm đã cho tồn tại 237 điểm cùng nằm bên trong Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 1 hoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn . 2 3. Có bao nhiêu cách bỏ 5 cây bút khác màu gồm xanh, đen, tím, đỏ, hồng vào 5 hộp đựng bút khác màu gồm xanh, đen, tím, đỏ, hồng sao cho mỗi hộp chỉ có một bút và màu bút khác với màu hộp? Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại trực tâm H, biết AB < AC. Gọi L là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của (O) . Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC, EF . 30
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 1. Chứng minh tứ giác ALMO nội tiếp đường tròn. Gọi D là giao điểm của (O) với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ALMO , D khác A . Chứng minh LD là tiếp tuyến của (O) . 2. Chứng minh MH vuông góc với AK, suy ra KH vuông góc với AM . 3. Chứng minh rằng ba điểm A, N, D thẳng hàng. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 31
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN GIA LAI NĂM 2020-2021 Môn:chung Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. (3x + y = 5 1. Không sử dụng máy tính bỏ túi, giải hệ phương trình . x − 2y = 4 √ 2. Giải phương trình x2 − 6x + 9 = 2x − 2020. Bài 2. 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng(d): y = x − 2m và Parabol (P ): y = 2x2. Xác định giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P ) tại hai điểm phân biệt. 2. Rút gọn biểu thức √ √ √ 3(x + x − 1) x + 1 x + 2 P = √ − √ − √ x + x − 2 x + 2 x − 1 với x ≥ 0 và x 6= 1. Bài 3. 1. Không sử dụng máy tính bỏ túi, giải phương trình x2 − 4x − 5 = 0. 2. Cho phương trình x2 − 4(m + 1)x + 3m2 + 2m − 5 = 0, với m là tham số. Xác định giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 2 2 x1 + 4(m + 1)x2 + 3m + 2m − 5 = 9. Bài 4. Quãng đường từ A đến B dài 100 km. Cùng một lúc, một xe máy khởi hành từ A đi đến B và một tô khởi hành từ B đến A. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến B. Giả sử vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi. Biết vận tốc của xe máy nhỏ hơn vận tốc của xe tô là 20 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe. Bài 5. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OA , qua C kẻ dây cung MN vuông góc với OA . Gọi K là điểm tùy trên cung nhỏ BM ( K không trùng với B và M ), H là giao điểm của AK và MN . Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 1. Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh AK.AH = R2. 3. Trên đoạn thẳng KN lấy điểm I sao cho KI = KM. Chứng minh NI = KB. —HẾT— 32
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN GIA LAI NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. √ a − 1 a + 1 + 2 a 1. Rút biểu thức A = √ + √ với a ≥ 0, a 6= 1. a − 1 a + 1 2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (m − 1) x + m2 nghịch biến trên R và đồ thị của nó đi qua điểm M (2; 1). Bài 2. 1. Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + 2m − 4 = 0, ( với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt 2 2 x1; x2. Tìm giá trị của tham số m để x1 + x2 = 3. 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2x2 − 8x + 62 = (x − 1)y2 + x2 − 6x + 5 y Bài 3. 1. Giải phương trình √ √ 2x2 + 5x + 12 + 2x2 + 3x + 2 = x + 5. ( x2 + y2 = 4 2. Giải hệ phương trình (x + y) (16 − x2y2 − 4xy) = 2y3 Bài 4. Cho đường tròn (O; R), BC là một dây cung cố định của (O; R) không qua O. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho AB < AC và tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Gọi T là giao điểm của DE với BC . 1. Chứng minh tứ giác BCDE là nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh TB2 = T D.T E − T B.BC. √ 3. Cho BC = R 3. Tìm giá tri lớn nhất của chu vi tam giác ADH theo R . 1 1 1 Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 5. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn + + ≥ 2020. Tìm giá trị nhỏ nhất của x + y y + z z + x biểu thức √ py2 + 2x2 pz2 + 2y2 x2 + 2z2 P = + + xy yz x —HẾT— 33
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN HÀ NAM NĂM 2020-2021 Môn:Toán chung Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. √ √ p √ 1. Rút gọn biểu thức A = 50 − 32 − 3 + 2 2. √ x − 2 1 x + 1 2. Cho biểu thức B = √ + √ · √ với x > 0, x 6= 1. Rút gọn biểu thức B và x + 2 x x + 2 x − 1 tìm giá trị của x để B = 3. Bài 2. 1. Giải phương trình x2 − 5x − 6 = 0. ( 3x − 2|y| = 1 2. Giải hệ phương trình . x + 3|y| = 4 Bài 3. 1. Cho hàm số y = ax2 (a 6= 0) có đồ thị là parabol như hình vẽ. Xác định hệ số a . y 4 −2 O x 1 2. Cho phương trình x2 = x + m2 ( với m là tham số). Chứng minh phương trình đã cho luôn có 2 3 p 3 Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m ∈ R. Tìm các giá trị của m để x1 = 20 − x2. Bài 4. Cho đường tròn (O) , đường kính AB cố định. Điểm H cố định nằm giữa hai điểm A và O sao cho AH < OH. Kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H . Gọi C là điểm tùy thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B . Gọi K là giao điểm của AC và MN . 1. Chứng minh tứ giác BCKH nội tiếp. 2. Chứng minh tam giac AMK đồng dạng với tam giác ACM. 3. Cho độ dài đoạn thẳng AH = a. Tính AK.AC − HA.HB theo a . 34
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 4. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC. Xác định vị vị trí của điểm C để độ dài đoạn thẳng IN nhỏ nhất. Bài 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + b = 3ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức r ab r b r a P = + + a + b + 1 bc + c + 1 ac + c + 1 —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 35
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN HÀ NAM NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Cho biểu thức √ √ x + 3 x + 2 x + x 1 1 P = √ − : √ + √ x + x − 2 x − 1 x + 1 x − 1 với x > 0, x 6= 1. 1. Rút gọn biểu thức P . √ 1 x + 1 2. Tìm x để − ≥ 1. P 8 Bài 2. 1. Cho phương trình x4 − 2mx2 + 2m + 6 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 sao cho x1 < x2 < x3 < x4 và x4 − 2x3 + 2x2 − x1 = 0. ( xy2 + 4y2 + 8 = x (x + 2) 2. Giải hệ phương trình √ . x + y + 3 = 3 2y − 1 Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , có đường cao AH . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M . Gọi A0 là điểm đối xứng với A qua O . Đường thẳng MA0 cắt các đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K . Gọi L là giao điểm của MA và BC . Đường thẳng A0I cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D . Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm S. 1. Chứng minh tam giác ANA0 là tam giác cân và MA0.MK = ML.MA. 2. Chứng minh MI2 = ML.MA và tứ giác NHIK là tứ giác nội tiếp. 3. Gọi T là trung điểm của cạnh SA , chứng minh ba điểm T,I,K thẳng hàng. 4. Chứng minh nếu AB + AC = 2BC thì I trọng tâm của tam giác AKS . Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn 2x − y2 + 4y + 61 = 0 Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 8. Chứng minh a b c 1 + + ≤ a2 + b2 + c2 . ca + 4 ab + 4 bc + 4 16 —HẾT— 36
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH SỞ HÀ NỘI NĂM 2020-2021 Môn: chuyên tin Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. √ 1. Giải phương trình (x + 2) x2 + 1 = x3 + 2x + 1 2. Chứng minh 1 1 1 1 1 √ √ + √ √ + √ √ + ··· + √ √ = 1 − √ 2 1 + 1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4 2021 2020 + 2020 2021 2021 Bài 2. 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , số A = 59n − 17n − 9n + 2n chia hết cho 35 . 2. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện x2y − 3y − 4x − 1 = 0. Bài 3. 1. Tìm tất cả các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện a2 + b2 + c2 = 38, a + b = 8, b + c ≥ 7 2. Với a, b, c là các số thực không âm và luôn thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ca, chứng minh √ a + b + c ≥ 3 3 2abc. Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và ba đường cao AD, BE, CF cùng đi qua điểm H . Gọi (S) là đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF . 1. Chứng minh đường tròn (S) đi qua trung điểm của đoạn thẳng AH . 2. Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường tròn (S) với các đoạn thẳng BH và CH .Tiếp tuyến tại điểm D của đường tròn (S) cắt đường thẳng MN tại điểm T . Chứng minh đường thẳng HT song song với đường thẳng EF . 3. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng BH và DF , Q là giao điểm của hai đường thẳng CH và DE . Chứng minh ba điểm T, P, Q là ba điểm thẳng hàng. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 5. Trên bàn có 6 hộp kẹo, mỗi hộp có 5 viên kẹo, An và Bình cùng chơi một trò chơi như sau: mỗi lượt chơi, An sẽ chọn một hộp tùy và lấy ít nhất 1 viên kẹo ở hộp đó, còn Bình thì chọn một số hộp và trong các hộp đã chọn, mỗi hộp lấy đúng 1 viên kẹo. Hai bạn luân phiên thực hiện lượt chơi của mình. Bạn đầu tiên không thể thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc. Nếu An là người lấy kẹo trước, hãy chỉ ra chiến thuật chơi để Bình là người thắng cuộc. —HẾT— 37
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện sau:  2x3 = 3y3 = 4z3  √ √ p3 2x2 + 3y2 + 4z2 = 2 + 3 12 + 3 16 .  x · y · z > 0 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức P = + + . x y z Bài 2. Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1), trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Biết rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: phương trình (1) có nghiệm, số a2020b chia hết cho 12 ; số c3 + 3 chia hết cho c + 3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng a + b + c. Bài 3. Tìm số nguyên a bé nhất sao cho x4 + 2x2 − 4x + a ≥ 0 với mọi số thực x. Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB > BC. Một đường tròn đi qua hai đỉnh A, C của tam giác ABC lần lượt cắt các cạnh AB, BC tại hai điểm K, N ( K, N khác các đỉnh của tam giác ABC ). Giả sử đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt nhau tại giao điểm thứ hai là M ( M khác B ). Chứng minh rằng: 1. Ba đường thẳng BM, KN, AC đồng quy tại điểm P . 2. Tứ giác MNCP là nội tiếp. 3. BM 2 − PM 2 = BK.BA − P C.P A. Bài 5. Cho hai số A, B cùng có 2020 chữ số. Biết rằng: số A có đúng 1945 chữ số khác 0 , bao gồm 1930 chữ số ngoài cùng về bên trái và 15 chữ số ngoài cùng về bên phải; số B có đúng 1954 chữ số khác 0 , bao gồm 1930 chữ số ngoài cùng về bên trái và 24 chữ số ngoài cùng về bên phải. Chứng minh rằng ƯCLN(A,B) là một số có không quá 1954 chữ số. —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 38
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN KHTN - ĐHQG HÀ NỘI NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. ( x2 + y2 + xy = 7 1. Giải hệ phương trình . 9x3 = xy2 + 70(x − y) 2. Giải phương trình √ √ 11 5 − x + 8 2x − 1 = 24 + 3p(5 − x)(2x − 1). Bài 2. 1. Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn x2y2 − 16xy + 99 = 9x2 + 36y2 + 13x + 26y. 2. Với a, b là những số thực dương thỏa mãn 2 ≤ 2a + 3b ≤ 5, 8a + 12b ≤ 2a2 + 3b2 + 5ab + 10. Chứng minh 3a2 + 8b2 + 10ab ≤ 21. Bài 3. Cho tam giác ABC có BAC[ là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn (O) . Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác BAC[ . Lấy các điểm M, N thuộc (O) sao cho các đường thẳng CM và BN cùng song song với đường thẳng AD . 1. Chứng minh rằng AM = AN. 2. Gọi giao điểm của đường thẳng MN với các đường thẳng AC, AB lần lượt là E, F . Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. 3. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM, AN. Chứng minh rằng các đường thẳng EQ, EP và AD đồng quy. Bài 4. Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a(a + bc)2 b(b + ca)2 c(c + ab)2 Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu + + ≥ 4 b (ab + 2c2) c (bc + 2a2) a (ca + 2b2) —HẾT— 39
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. √ (2x2 − 6x + 3)3 3 + 5 1. Tính giá trị của biểu thức: B = (10x2 − 30x + 11)2 + khi x = . x3 − 3x4 + x3 − 1 2 1 1 2. Chứng minh rằng : + ≤ −2 biết x y ( x3 + y3 + 3 (x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0 xy > 0 Bài 2. √ 1. Giải phương trình 5x2 + 3x + 6 = (7x + 1) x2 + 3 . 2. Giải hệ phương trình  8xy  x2 + y2 + = 16  x + y √ 5√ √ .  x2 + 12 + x + y = 3x + x2 + 5  2 Bài 3. √ √ p √ 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y = z + 2 2 2. Tìm tất cả các số tự nhiên a để a − 2; 4a2 − 16a + 17; 6a2 − 24a + 25 đều là các số nguyên tố. Bài 4. 1. Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy E là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AD ( E không trùng với A và D ). Đường thẳng EC cắt OA tại M ; đường thẳng EB cắt OD tại N. √ (a) Chứng minh rằng: AM · ED = 2OM · EA. OM ON (b) Xác định vị trí điểm E để tổng + đạt giá trị nhỏ nhất. AM DN Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính MN . Trên tia đối của tia MO lấy điểm B . Trên tia đối của tia NO lấy điểm C . Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) , chúng cắt nhau tại A , tiếp điểm của nửa đường tròn (O) với BA, AC lần lượt là E, D. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Chứng minh A H, B D, C E đồng quy. x2y Bài 5. Cho ba số thực x, y, z dương thỏa mãn x y + y z + z x + 2 x y z = 1. Chứng minh : + x + 1 y2z z2x + ≥ 2xyz. y + 1 z + 1 —HẾT— 40
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN HÒA BÌNH NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Tin Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Phân tích đa thức thành nhân tử A = 2x2 + 5x + 2. 2. Giải phương trình |4x + 1| = 3. p √ p √ 3. Rút gọn biểu thức B = 6 + 2 5 + 6 − 2 5. 4. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = 4x − 3 và parabol (P ): y = x2. Bài 2. 1 1 1. Giải phương trình √ − √ = 10. x − 5 x + 5 2. Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn (2x1 + 1) (2x2 + 1) = 13 . Bài 3. ( √ √ x + 2 − 2 y − 1 = −4 1. Giải hệ phương trình √ 3 x + 2 + y = 16 2. Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10 cm. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2 cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông. Bài 4. Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC 0). Qua C kẻ tiếp tuyến d tới (O) . Đường thẳng AM cắt d và BC lần lượt tại Q và N . Các đường thẳng MB và AC cắt nhau tại P . 1. Chứng minh rằng: P QCM là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh rằng: PQ song song với BC . 1 1 1 3. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt d tại E . Chứng minh rằng: + = . CN CQ CE 4. Xác định vị trí của M sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBN lớn nhất. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 5. √ √ 1. Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn 2x + y2 − 2y x − 3(2 x − 3) = 0 . 2. Cho hai số x, y thỏa mãn √ p (x + x2 + 2020)(y + y2 + 2020) = 2020. Tính giá trị của: S = x + y. —HẾT— 41
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN HÒA BÌNH NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Rút gọn biểu thức: a − 9 (a) A = √ . a − 3 √ √ √ 3 − 6 2 + 8 (b) B = √ − √ . 1 − 2 1 + 2 2. Giải phương trình |x2 + 3x − 1| = 3. Bài 2. 1. Cho phương trình x2 + mx + m − 1 = 0 ( m là tham số ). Tìm m để phương trình có hai nghiệm 2 2 x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 − 4 (x1 + x2) = 5. 2. Một ca nô xuôi dòng trên mộtkhúc sông từ bến A đến bến B dài 96 km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách bến B là 100 km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 30 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Bài 3. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M ( M khác B , M khác C ), từ M kẻ MI , MK , MP lần lượt vuông góc với AB , AC , BC (I ∈ AB, K ∈ AC, P ∈ BC). 1. Chứng minh rằng: MPK\ = MBC\ . 2. Chứng minh rằng: Tam giác MIP đồng dạng với tamgiác MPK . 3. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI · MK · MP đạt giá trị lớn nhất. Bài 4. ( (x − y)(y2 − 2y) = −1 1. Giải hệ phương trình . x − y2 + y = 2 2. Cho ba số x, y, z thỏa mãn đồng thời: x2 − 2y + 1 = y2 − 2z + 1 = z2 − 2x + 1 = 0. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Tính giá trị của biểu thức A = x1000 + y1000 + z1000. Bài 5. 1. Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn: xy2 + y2 − x2 + xy − 2x + y = 0. 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Tia phân giác của góc A cắt đường tròn (O) tại D . Chứng minh rằng AB + AC < 2AD. —HẾT— 42
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN KHÁNH HÒA NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. v u  s  u x4 − 12 1. Cho x là số thực dương bất kì, đơn giản biểu thức: A = u2 1 + 1 + . t  2x2  2. Cho x2 + x − 1 = 0, tính giá trị của biểu thức B = x4 − 3x2 + 3. Bài 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P ) có phương trình y = 2x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = −2mx + m + 1 ( m là tham số ). 1. Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P ) tại hai điểm phân biệt. 2. Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P ), tìm m thỏa mãn 1 1 đẳng thức 2 + 2 = 66. (2x1 − 1) (2x2 − 1) Bài 3. 1. Cho P (x) = ax2 + bx + c là số nguyên với mọi x là số nguyên. Chứng minh rằng: 2a, b + c, c là các số nguyên. 2. Cho x, y là các số thực dương và x5 − y3 ≥ 2x. Chứng minh rằng x3 ≥ 2y. Bài 4. Để xác thực tài khoản của người dùng A , một ứng dụng yêu cầu người đó thiết lập một mật khẩu là một số tự nhiên gồm 3 chữ số và chia hết cho 6 , trong đó các chữ số phải lớn hơn 4 . Hỏi người dùng A có thể tạo ra bao nhiêu mật khẩu theo yêu cầu trên. Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có AC = 2AB. Gọi M là trung điểm của AC , D là chân đường phân giác trong góc A , G là giao điểm của AD với đường tròn (O) ( G khác A ), E là hình chiếu vuông góc của O lên AD , F thuộc cạnh AD thỏa mãn CD = CF ( F khác D ). Chứng minh rằng: 1. Tứ giác DMCG là tứ giác nội tiếp đường tròn. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 2. AM 2 = AD.AE. 3. EBF\ = ECF[ . —HẾT— 43
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÂM ĐỒNG NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Chứng minh rằng hàm số y = (−m2 + 2m − 10) x + 2021 luôn nghịch biến với mọi giá trị của tham số m . √ √ √ Bài 2. Giải phương trình 4 − x2 + 6 = 2 2 + x + 3 2 − x . Bài 3. Tìm các số tự nhiên n sao cho n2 + 18n + 2020 là số chính phương. Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB k CD), hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết AC = 8 cm; BD = 6 cm. Tínhchiều cao của hình thang. Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, d, e ta luôn có: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e). Bài 6. Cho phương trình x2 + mx + n = 0, trong đó x là ẩn số; m, n là tham số thỏa mãn m + n = 4. 2 Tìm các giá trị của m, n để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 = x2 + x2. Bài 7. Một tổ chức từ thiện cần chia đều một số quyển vở thành các phần quà để tặng cho các cháu nhỏ ở một trung tâm nuôi dạy trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần quà giảm 6 quyển vở thì sẽ có thêm 5 phần quà nữa cho các cháu, còn nếu mỗi phần quà giảm 10 quyển vở thì các cháu sẽ có thêm 10 phần quà. Hỏi tổ chức từ thiện trên có bao nhiêu quyển vở. Bài 8. Cho hai đường tròn (O; R) và đường tròn (O0; R0) tiếp xúc trong tại điểm A (trong đó R > R0). Gọi BC là một dây của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại D . Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc BAC . Bài 9. Cho các số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn x3 = 3x − 1, y3 = 3y − 1, z3 = 3z − 1. Tính giá trị biểu thức S = x2 + y2 + z2. Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC . Gọi AH, BD, CK là các đường cao của tam giác (H ∈ BC, D ∈ AC, K ∈ AB). Chứng minh rằng: Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu S HDK + cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 SABC —HẾT— 44
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LẠNG SƠN NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. √ √ 1. Giải phương trình x − 3 + 3 x + 4 = 3. 2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn √ √ √ √ √ √ x − y3 + y − z3 + z − x3 = 0. Tính tổng √ √ √ √ √ √ S = ( x − y)2021 + ( y − z)2021 + ( z − x)2021. Bài 2. 1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P = + + . 36x 9y z 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 + + ≥ . (a + 1)(b + 1) (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) 4 Bài 3. 1. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a − 1 và b + 2021 đều chia hết cho 6. Chứng minh 4a + a + b chia hết cho 6 . 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p là ước của 5p − 2p. Tìm tất cả các số nguyên tố p và q (5p − 2p) (5p − 2p) sao cho là một số nguyên. pq Bài 4. Cho tam giác ABC không có góc tù, AB < AC, nội tiếp đường tròn (O; R). Trong đó B, C cố định trên đường tròn (O) , A di động trên cung lớn BC . Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại M . Từ M kẻ đường thẳng song song với AB , đường thẳng này cắt (O) tại D và E ( D thuộc cung nhỏ BC ), cắt BC tại F , cắt AC tại I . 1. Chứng minh rằng MBIC là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn FI · FM = FD · FE. ◦ 2. Chứng minh MIO\ = 90 . Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu lớn nhất. 3. Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q ( P thuọc cung nhỏ AB ). Đường thẳng QF cắt (O) tại T ( T khác Q ). Chứng minh ba điểm P , T , M thẳng hàng. Bài 5. Bên trong hình chữ nhật có chiều dài 101 cm và chiều rộng 20 cm cho 10101 điểm. Vẽ 10101 √ hình tròn có tâm lần lượt là 10101 điểm đã cho và bán kính đều bằng 2 cm. Hỏi có hay không 6 điểm thuộc vào phần chung của 6 hình tròn nhận chính 6 điểm ấy làm tâm? Tại sao? —HẾT— 45
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÀO CAI NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. p3 √ p3 √ 4 + 15 + 4 − 15 + 1 1. Cho x = . Tính giá trị biểu thức 2 P = 12x5 − 18x4 + 4x3 − 15x2 − 21. 2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 7. Chứng minh rằng a b c 14 + + = . 7 + a2 7 + b2 7 + c2 (a + b)(b + c)(c + a) Bài 2. 1. Hai bến sông A và B cách nhau 60 km. Một tàu tuần tra đi xuôi dòng từ A và B , rồi ngược dòng từ B về A . Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 20 phút. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng là 6 km/h. Tính vận tốc xuôi dòng của tàu tuần tra. 2 2. Cho phương trình x + 4x + m + 1 = 0, tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu 2 2 2 thức T = x1x2 + x1 − 9x1x2 − 4x2 + 8 đạt giá trị nhỏ nhất. 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P ): y = x2 và đường thẳng d : y = mx + 2. Gọi C là giao điểm của d và trục tung. Tìm m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A (x1; y1) ,B (x2; y2) sao cho diện tích tam giác OBC gấp 2 lần diện tích tam giác OAC , biết rằng x1 0 thỏa mãn a + b + c = 1, chứng minh rằng a b c √ + √ + √ ≤ 1. a + a + bc b + b + ca c + c + ab Đẳng thức xảy ra khi nào? 46
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Bài 5. 1. Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình y3 + x2 + y2 − 3xy + 2x − 3y + 1 = 0. 2. Chứng minh rằng nếu a là số nguyên không chia hết cho 5 và không chia hết cho 7 thì (a4 − 1) (a4 + 8a2 + 1) chia hết cho 35 . —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 47
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Cho biểu thức √ √ √ x x − 3 2( x − 3) x + 3 P = √ √ − √ + √ ( x + 1)( x − 3) x + 1 3 − x với x ≥ 0, x 6= 9. 1. Rút gọn biểu thức P . 2. Tìm x để P là số nguyên. 3 Bài 2. Cho hàm số: y = − x + 3 có đồ thị (d). 4 1. Vẽ đồ thị (d). 2. Gọi A là giao điểm của (d) với trục tung Oy ; B là giao điểm của (d) với trục hoành Ox. Tính chu vi tam giác OAB và khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) . Bài 3. Cho phương trình m (m2x − m − 2) = 8x + 4 với m là tham số, m 6= 2. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình trên có nghiệm nhỏ hơn −2. Bài 4. Cho đường tròn (O) có AB là đường kính. Vẽ đường kính CD không trùng với AB . Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F . Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng AF . 1. Chứng minh ACBD là hình chữ nhật. 2. Chứng minh QO song song BF và ∆BQC là tam giác cân. 3. Chứng minh EB · EC + FB · FD ≥ 2CD2. Bài 5. Cho đa giác đều 24 cạnh A1A2 . . . .A23A24. Có tất cả bao nhiêu tam giác vuông nhưng không phải là tam giác vuông cân được tạo thành từ các đỉnh của đa giác trên? 3 b2 c2 Bài 6. Cho các số thực a, b, c sao cho a ≥ 0; b ≥ ; c ≥ 5 và a2 + + ≤ 12. Tìm giá trị lớn nhất 2 2 9 của √ √ √ Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu M = 2ab − 3a + ca + 8c + 2 c − 5. Bài 7. Cho ∆ABC nhọn có AB < AC. Gọi O, H, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác trên. Gọi E là điểm tùy sao cho luôn tạo thành ∆EHG và ∆EOG. Chứng minh: tỉ số diện tích ∆EHGvà diện tích ∆EOGkhông phụ thuộc vào vị trí của điểm E . —HẾT— 48
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1 1 1 1. Cho các số thực x, y, z khác 0 . Đặt a = x+ , b = y+ , c = xy+ . Chứng minh a2+b2+c2−abc = x y xy 4. 2. Cho các số thực a, b khác −2 thỏa mãn (2a + 1)(2b + 1) = 9.Tính giá trị của biểu thức A = 1 1 + . 2 + a 2 + b Bài 2. √ 1. Giải phương trình 2x2 + x + 3 = 3x x + 3.  √ √ (x − y)2  2x + 1 + 2y + 1 = 2. Giải hệ phương trình 2 .  (x + y)(x + 2y) + 3x + 2y = 4 Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) . Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại M, N và có tâm I thuộc cạnh BC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. 1. Chứng minh các điểm A, M, H, I, N cùng thuộc đường tròn và HA là tia phân giác của góc MHN . 2. Đường thẳng đi qua I và vuông góc với BC cắt MN tại K . Chứng minh AK đi qua trung điểm D của BC . 3. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S . Chứng minh BAS[ = CAD\. Bài 4. 1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3 + y2 = xy2 + 1. 1 b 2. Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn c + = a + . Chứng minh ab là lập phương của một b a số nguyên dương. Bài 5. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 1. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh a3 + b3 + c3 ≤ 1 + a4 + b4 + c4. 8 2. Ban đầu có 2020 viên sỏi để trong 1 chiếc túi. Có thể thực hiện công việc như sau: Bước 1: Bỏ đi 1 viên sỏi và chia túi này thành 2 túi mới. Bước 2: Chọn 1 trong 2 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó thành 2 túi mới, khi đó có 3 túi. Bước 3: Chọn 1 trong 3 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và 49
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 chia túi đó thành 2 túi mới, khi đó có 4 túi. Tiếp tục quá trình trên. Hỏi sau một số bước có thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi hay không? —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 50
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021 Môn: Toán chung Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức P = √ x2 − 6x + 9 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = x + 3 − m cắt parabol y = x2 tại hai điểm phân biệt. √ 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC , biết độ dài cạnh của tam giác là 3 cm. 4. Cho hình nón có thể tích V = 4π cm3 , biết bán kính đáy R = 2 cm. Tính chiều cao của hình nón đó. Bài 2. Cho biểu thức √ x x + 1 x + 2 P = √ + − √ x + x + 1 x − 1 x x − 1 ( với x ≥ 0; x 6= 1 ). 1. Rút gọn biểu thức P . 2 2. Chứng minh P > với mọi x ≥ 0 và x 6= 1. 3 Bài 3. 1. Cho phương trình x2 − (m + 1)x + 2m − 2 = 0 ( với m là tham số). (a) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m thì phương trình luôn có nghiệm. (b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 sao cho √ √ x1 + 2 − x2 + 2 = 1. q 2. Giải phương trình x3 − 3x2 − 3x + 2 (x + 1)3 = 0. Bài 4. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt BC và đường tròn (O) lần lượt tại M và I . Gọi D là điểm thuộc cung Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu lớn BC của đường tròn (O) ( với DB < DC). 1. Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . 2. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng DB, DC. Chứng minh DM vuông góc với EF . 3. Gọi K là giao điểm thứ hai của tia DM với đường tròn (O) . Chứng minh KI là tia phân giác của AKM\ . 51
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Bài 5. ( √ x2(y + 1) + 3x + 1 = x2 1 − y 1. Giải hệ phương trình √ √ . x2 + 9 = 6x 1 − y − x − 1 √ √ √ 2. Xét a, b, c là các số dương thỏa mãn a + 1 + b + 1 + c + 1 = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức √ √ √ P = a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ac + a2 —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 52
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1 1. Giải phương trình 2x x2 + − 3 = 3x2 + x. x2 ( x3 + x2 + y2 − x2y − xy − y = 0 2. Giải hệ phương trình √ √ √ . x + y − 1 = 2y − 3x − 4 Bài 2. 1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y và số nguyên tố p thỏa mãn px − y4 = 4. 2. Chứng minh rằng nếu m, n là hai số tự nhiên thỏa mãn 2m2 + m = 3n2 + n thì 2m + 2n + 11 là số chính phương. Bài 3. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiệna + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức r a + b r b + c r c + a P = + + . c + ab a + bc b + ca Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) . Các đường caoAD, BE, CF của tamgiác ABC cắt nhau tại điểm H . 1. Chứng minh BC là đường phân giác ngoài của tam giác DEF . 2. Gọi M là giao điểm của đường thẳng EF với đường tròn (O) ( M nằm trên cung nhỏ AB ); O1,O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMF và tam giác CME . Chứng minh AM ⊥ O1O2. 3. Lấy điểm K trên đoạn thẳng HC ( K khác H và C ), đường thẳng BK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I và đường thẳng CI cắt đường thẳng BE tại điểm G . Chứng minh hệ thức FK BF.BE S = + S ( trong đó S là diện tích tam giác GF B , S là MGF B FC CF · CE ∆CEF ∆GF B ∆CEF diện tích tam giác CEF ). Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 5. Trong hình chữ nhật có chiều dài bằng 149 cm, chiều rộng bằng 40 cm cho 2020 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm trong số 2020 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 2 cm. —HẾT— 53
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN NINH BÌNH NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. q 2 2 1. Cho P = a2 + a2(a + 1) + (a + 1) với a ∈ Z. Chứng minh P là một số tự nhiên. √ x − 1 1 1 √ 2. Tính giá trị biểu thức A = : √ − √ với x = 4 + 2 3. x2 − x x x + 1 Bài 2. 1. Cho phương trình x2 − 2mx + 2m − 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 x1, x2 (x1 < x2) thỏa mãn 4x1 = x2 . ( x2 − 2y2 + xy + x − y = 0 2. Giải hệ phương trình . x2 + y2 = 10 Bài 3. 1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2022 là số chính phương. √ √ 2. Giải bất phương trình x + 1 − 4 − x < 1. Bài 4. Cho đường tròn (T ) tâm O và dây cung AB cố định (O/∈ AB). P là điểm di dộng trên đoạn thẳng AB (P 6= A, B và P khác trung điểm của đoạn thẳng AB ). Đường tròn (T1) tâm C điqua điểm P tiếp xúc với đường tròn (T ) tại A . Đường tròn (T2) tâm D đi qua P tiếp xúc với đường tròn (T ) tại B . Hai đường tròn (T1) và (T2) cắt nhau tại N (N 6= P ). Gọi (d1) là tiếp tuyến chung của (T ) với (T1) tại A , (d2) là tiếp tuyến của (T ) với (T2) tại B , (d1) cắt (d2) tại điểm Q . 1. Chứng minh tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh ANP\ = BNP\ và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua một cố định khi P di động trên đoạn thẳng AB (P 6= A, B và P khác trung điểm của đoạn thẳng AB). Bài 5. 1. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn √ √ √ √ Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 = 2021. a2 b2 c2 1r2021 Chứng minh rằng: + + ≥ . b + c c + a a + b 2 2 2. Với số thực a , ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí n + 1 n hiệu là [a]. Dãy các số x0, x1, x2, xn, được xác định bởi công thức xn = √ − √ . Hỏi √ 2 2 trong 200 số {x0, x1, x2, . . . , x199} có bao nhiêu số khác 0 ? ( Biết 1, 41 < 2 < 1, 42) —HẾT— 54
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1 1 1 1 1. Cho x + y + z = x2 + y2 + z2 = 2 và xyz 6= 0. Chứng minh rằng + + = . x y z xyz 2. Cho 0 0. Chứng minh bất đẳng thức √ s √ xy 1 2 yz √ + √ √ + √ ≥ 2 1 + yz xy + yz 1 + xy —HẾT— 55
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN PHÚ YÊN NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Thực hiện phép tính r2020 + x r2020 − x r2020 + x r2020 − x P = ( + ):( − ) 2020 − x 2020 + x 2020 − x 2020 + x ( x2 − y = mxy + 5 Bài 2. Cho hệ phương trình với m là tham số. y2 − x = mxy + 5 1. Giải hệ phương trình với m = 1. 2. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 3. Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN ( M, N là các tiếp điểm) và cát tuyến ABC (AB 0, y > 0 và xy = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = + . 4(y + 2) 4(x + 2) —HẾT— 56
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN QUẢNG BÌNH NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Cho biểu thức √ √ √ x + 2 x − x − 3 x − x 2 P = √ − √ : √ + √ . x + 1 x − x − 2 x − x − 2 x − 2 1. Rút gọn biểu thức P . 1 2. Chứng minh P ≤ . 7 Bài 2. √ √ 1. Giải phương trình x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5. 2 2 2. Cho phương trình x − (m − 1)x − m + m − 2 = 0 (1) ( với m là tham số).Gọi x1, x2 là hai x 2 x 3 nghiệm của phương trình (1), tìm m để Q = 1 + 2 đạt giá trị lớn nhất. x2 x1 Bài 3. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a − 1)3 + (b − 1)3 + (c − 1)3. Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho M = n · 4n + 3n chia hết cho 7 . Bài 5. Cho tam giác đều ABC cố định nội tiếp đường tròn (O) . Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại E ( E không trùng với hai điểm A và B ). Đường thẳng d cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) lần lượt tại M và N . Gọi F là giao điểm của MC và BN . Chứng minh rằng: 1. ∆CAN đồng dạng với ∆BMA, ∆MBC đồng dạng với ∆BCN. 2. Bốn điểm B, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 3. Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng d thay đổi. —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 57
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN QUẢNG BÌNH NĂM 2020-2021 Môn: chuyên chung Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. 2x 5 5 Bài 1. Cho biểu thức P = + √ + √ ( với x ≥ 0, x 6= 25). x − 25 x − 5 x + 5 1. Rút gọn biểu thức P . 1 2. Tìm các giá trị của x để P = − . 3 Bài 2. Cho hàm số y = (m − 3) x + 2 n − 5 (1) có đồ thị là đường thẳng d (với m, n là tham số). 1. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên R. 2. Tìm m, n để đường thẳng d đi qua hai điểm A (−1; 2) và B (2; 4). Bài 3. Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 − 3 = 0 (2) ( với m là tham số). 1. Giải phương trình (2) khi m = 3. 2 2 2. Tìm các giá trị của m để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 + x2 − 2x1x2 > 3. Bài 4. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 1 5 + . a2 + b2 ab Bài 5. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC) có đường cao AH (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn (O1) đường kính BH cắt AB tại I ( I khác B ) và nửa đường tròn (O2) đường kính HC cắt AC tại K ( K khác C ). Chứng minh rằng: 1. Tứ giác AKHI là hình chữ nhật. 2. Tứ giác BIKC là tứ giác nội tiếp. 3. IK là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1) và (O2). —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 58
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Cho biểu thức √ 2 x + x 18 A = √ + √ − , 1 + px + 4 x + 4 x − 2 x − 3 x − 9 với x ≥ 0, x 6= 9. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 3n − 8 là lập phương của một số tự nhiên. Bài 2. Cho Parabol (P ): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + 3. Tìm giá trị của tham số m biết rằng đường thẳng (d0): y = 4x + m cắt đường thẳng (d) tại điểm có hoành độ dương thuộc (P ) . Bài 3. √ 1. Giải phương trình ( 2 − x + 1)2 = 3x + 1. 2. Giải hệ phương trình ( x2 + y2 + xy + x = 5 . x2y + xy2 + y2 + 5x + xy + 5y = 2 Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A (AB < AC), M là trung điểm của AC , G là trọng tâm của tam giác ABM . 1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh OG vuông góc với BM . 2. Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho BN = BA. Vẽ NK vuông góc với AB tại K , BE vuông góc BE với AC tại E , KF vuông góc với BC tại F. Tính tỉ số . KF Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H . Vẽ đường tròn (O) đường kính BC . Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E cắt AD tại K . 1. Chứng minh KA = KE. 2. Vẽ tiếp tuyến AM của đường tròn (O) ( M là tiếp điểm). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu giác HDM. Chứng minh O, I, M thẳng hàng. Bài 6. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = 3xy + yz2 + zx2 − x2y. —HẾT— 59
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN QUẢNG NGÃI NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1. Rút gọn biểu thức √ √ √ a 1 a − a a + a A = − √ · √ − √ , 2 2 a a + 1 a − 1 với a > 0, a 6= 1. 2. Cho hàm số y = mx + m − 1 , với m là tham số. Chứng minh đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m . Bài 2. 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 − n − 5 là số chính phương. 2. Ta nhận thấy số 2025 thỏa mãn tính chất rất đẹp: 2025 = (20 + 25)2 . Tìm tất cả các số tự nhiên 2 có bốn chữ số abcd cũng thỏa mãn tính chất trên, nghĩa là abcd = (ab + cd) . Bài 3. 2x 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = . x2 + 1 √ √ 2. Giải phương trình 3x + 1 + x + 3 = 4. 3. Cho biểu thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c, với a, b, c là các số thực. Biết f (1) = 2, f (2) = 3. Tính giá trị của Q = f(5) − 6 f(3) + 2020. Bài 4. 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , có đường cao AH . Tia phân giác của HAC\ cắt HC tại D . Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên AC . Tính AB , biết BC = 25 cm và DK = 6 cm. 2. Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC , nội tiếp đường tròn (O) . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Đường thẳng AH cắt BC tại D và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K . Gọi L là giao điểm của hai đường thẳng CH và AB , S là giao điểm của hai đường thẳng BH và AC . Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu (a) Chứng minh tứ giác BCSL nội tiếp và BC là đường trung trực của đoạn thẳng HK . (b) Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng OM cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi N là trung điểm của PQ. Chứng minh hai đường thẳng HM và AN cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn (O) . Bài 5. Cho 16 số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2021 , đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong 16 số trên có ít nhất một số là số nguyên tố. —HẾT— 60
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN QUẢNG TRỊ NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. ( x2 = 2y + 3 1. Giải hệ phương trình . y2 = 2x + 3 2. Giải phương trình √ x2 + 3 − (x + 3) x2 + 3 + 2(x + 1) = 0. Bài 2. 1. Cho các parabol 2 2 (P1): y = mx , (P2): y = nx (m 6= n). Lấy các điểm A, B thuộc (P1) và C, D thuộc (P2) sao cho ABCD là hình vuông nhận Oy làm trục đối xứng. Tính diện tích hình vuông ABCD . a3 + 1 b2 + 1 c3 + 1 2. Cho a, b, c là ba số thực phân biệt thỏa mãn = = . Chứng minh rằng a b c abc + 1 = 0. Bài 3. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 3a2 + 3b2 + 8c2 = 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + ca. Bài 4. 1. Tìm các số nguyên dương n để n2 + 2020 là số chính phương. 2. Chứng minh rằng có thể chọn 3 số a1, a2, a3 trong 7 số nguyên tố phân biệt bất kì sao cho P = (a1 − a2)(a1 − a3)(a2 − a3) chia hết cho 216 . Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M là điểm chính giữa cung AB không chứa C và I là điểm trên đoạn MC sao cho MI = MA. 1. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . 0 2. Vẽ đường tròn (O ) tiếp xúc với (O) tại D và tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại E, F . Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu (a) Chứng minh ba điểm M, E, D thẳng hàng. (b) Chứng minh tứ giác DIF C nội tiếp. —HẾT— 61
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN TÂY NINH NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Giải phương trình (x − 1) (x2 − 5x − 24) = 0. p √ p √ 9 + 4 5 − 29 − 12 5 Bài 2. Rút gọn biểu thức T = √ . 5 AB 3 Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ( H thuộc cạnh BC ). Biết = và AC 4 12 AH = a. Tính theo a độ dài BC . 5 ( x2y − 5xy2 + xy = 0 Bài 4. Giải hệ phương trình . x − 2y + xy = 6 Bài 5. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 − 1 chia hết cho 24 . 2 Bài 6. Tìm m để phương trình x − mx + m − 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho S = 2x1x2 + 15 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. x1 + x2 + 2 (x1x2 + 1) Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn, không cân có O là tâm đường tròn ngoại tiếp và AH là đường cao với H thuộc BC . Gọi M là trung điểm cạnh BC và K là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh AC . Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABK cắt lại cạnh BC tại D . 1. Chứng minh CH.CM = CB.CD. 2. Gọi N là trung điểm của AB. Chứng minh I là trung điểm của ON . Bài 8. Cho tam giác ABC có ABC[ = 30◦ , ACB[ = 15◦ và M là trung điểm của BC . Lấy điểm D thuộc cạnh BC sao cho CD = AB. Tính số đo góc MAD . Bài 9. Cho a, b, c là các số thực có tổng bằng 0 và −1 ≤ a, b, c ≤ 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + 2b2 + c2. —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 62
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. (x − 2)2 1. Cho biểu thức P = √ . Tìm số tự nhiên x lớn nhất có hai chữ số để P có giá trị là số x + 2 x − 1 chính phương. 2. Cho P (x) là một đa thức có tất cả các hệ số đều là số nguyên thỏa mãn P (0) = 21; P (1) = 7. Chứng minh rằng P (x) không có nghiệm nguyên. Bài 2. x √ √ 1. Giải phương trình √ + x + 1 = 3x + 1 . x + 2 ( x2 + xy + x − 12y = 12 2. Giải hệ phương trình . xy + 3y2 − x + 6y = −3 Bài 3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), giả sử B , C cố định và A di động trên đường tròn sao cho AB < AC và AC < BC . Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AC và BC lần lượt tại P và Q . Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AB và BC lần lượt tại M và N . 1. Chứng minh rằng OM.ON = R2. 2. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn. 3. Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và CPQ cắt nhau tại S và T , gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ST . Chứng minh rằng H chạy trên một đường tròn cố định khi A di động. Bài 4. Giả sử phương trình 2x2 + 2ax + 1 − b = 0 có hai nghiệm nguyên ( với a, b là tham số). Chứng minh a2 − b2 + 2 là số nguyên và không chia hết cho 3 . Bài 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ac 1 Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu T = + + − 3a + 4b + 5c 3b + 4c + 5a 3c + 4a + 5b pab(a + 2c)(b + 2c) —HẾT— 63
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 Môn:Toán chung Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Cho biểu thức √ x − 2 3 3 P = √ − √ + √ x − 1 x + 2 x + x − 2 ( với x ≥ 0, x 6= 1). 1. Rút gọn biểu thức P . √ 2. Tính giá trị của biểu thức P khi x = 6 − 4 2. x2 Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = và hai đường thẳng 2 2 (d1): y = 5x + 2, (d2): y = m + 1 x + m (với m là tham số). 1. Tìm m để (d1) song song với (d2). 2. Tìm m để (d2) cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho Q = x1+x2−4x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3. Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 − 3m = 0 ( với m là tham số). 1. Giải phương trình với m = 0. 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1 + 2) (x2 + 2) = 10. Bài 4. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB . Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn, kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại C. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng OB, đường thẳng đi qua E cắt đường tròn (O) ở M và N ( M khác A và B ). Tia AM , AN thứ tự cắt d ở P và Q . 1. Chứng minh tứ giác BCP M nội tiếp. 2. Chứng minh AM · AP = AN · AQ. 7R 3. Giả sử MN = tính độ dài ME, NE theo R. 4 Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 4. Cho A, B, C cố định. Chứng minh rằng khi MN quay quanh điểm E ( M khác A và B ) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AP Q luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 5. Giải phương trình √ √ 2x + 3 + (x + 1) x2 + 6 + (x + 2) x2 + 2x + 9 = 0 —HẾT— 64
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN THÁI NGUYÊN NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Cho hai số thực a, b thỏa mãn ab = 2. Chứng minh a9 + b9 = a4 + b4 a5 + b5 − 16(a + b). Bài 2. Giải phương trình √ √ √ 16x2 − 1 − 2 4x + 1 + 4x − 1 = 2. Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + 3b + 5c = 2020 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3ab 15bc 5ca P = + + . a + 3b 3b + 5c 5c + a Bài 4. Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương. Chứng minh 15n + 8 là hợp số. Bài 5. Bạn Chi được thưởng mỗi ngày ít nhất một chiếc kẹo, nhưng trong 7 ngày liên tiếp, tổng số kẹo Chi nhận được không quá 10 chiếc. Chứng minh trong một số ngày liên tiếp, tổng số kẹo Chi nhận được là 27 chiếc. Bài 6. Cho đường tròn (O) , từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC . Vẽ đường kính CD của đường tròn (O) . Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại M khác D . 1. Chứng minh tam giác AMB và tam giác ABD đồng dạng. 2. Gọi N là giao điểm của BM và AO . Chứng minh NH2 = NM · NB . Bài 7. Cho đường tròn (I, r) nội tiếp tam giác ABC . Điểm M thuộc cạnh BC với M 6= B, M 6= C . Đường tròn (I1, r1) nội tiếp tam giác AMC . Đường thẳng song song với BC , tiếp xúc với đường tròn 0 0 0 0 (I1, r1) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại B ,C . Gọi N là giao điểm của AM với B C , đường tròn 0 (I2, r2) nội tiếp tam giác AB N. Chứng minh: 1. Bốn điểm A, I, I1,I2 cùng nằm trên một đường tròn. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 2. r = r1 + r2. —HẾT— 65
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN THANH HÓA NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Tin Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. p √ p √ 5 + 21 − 5 − 21 1. Cho x = √ . Tính giá trị của 3 P = 1 + 2020x2000 − 1010x20222021 2 2 2. Cho phương trình x − x + a = 0 có hai nghiệm là x1, x2 và phương trình x − 97x + b = 0 có hai 4 4 nghiệm là x1, x2 . Tính giá trị của b . Bài 2. √ 1. Giải phương trình 3x x2 + x + 1 = 3x2 + x + 1. ( (x + y)(x2 + y2) = 15 2. Giải hệ phương trình . (x − y)(x2 − y2) = 3 Bài 3. 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn y2 − 3x2 + 2xy + 8x − 9 = 0. 2. Cho a, b, c là ba số nguyên thỏa mãn a2(c − b) + b2(a − c) + c2(b − a) = a + b + c. Chứng minh rằng a + b + c chia hết cho 27 . Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB , y > , z > − và + + ≥ 2. 18 7 2020 18x + 17 7y + 6 2020z + 2021 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (18x − 1)(7y − 1)(2020z + 1). —HẾT— 66
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN THANH HÓA NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. 1 1 1 1. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện a + b + c = 1 và + + = 1. Chứng a b c minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất một số bằng 1 . 2. Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện x + y + z = 2045 và (x − 18)3 + (y − 7)3 + (z − 2020)3 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = (x − 18)2021 + (y − 7)2021 + (z − 2020)2021. Bài 2. 1 35 1. Giải phương trình 1 + √ = . x2 − 1 12x ( x − 3y = 4x2 + 3x + 3 2. Giải hệ phương trình . y2 + 4y + 18 = 7x2 + 16x Bài 3. 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn xy2 − (x − 2) (x4 + 2x + 1) = 2y2. 2. Chứng minh rằng nếu 2n = 10a + b ( với a, b, n là các số tự nhiên thỏa mãn 0 3) thì ab chia hết cho 6 . Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn có BAC[ > 45◦. Về phía ngoài tam giác BAC dựng các hình vuông ABMN và ACP Q . Đường thẳng AQ cắt đoạn thẳng BM tại E , đường thẳng AN cắt đoạn thẳng CP tại F. 1. Chứng minh tứ giác EF QN nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Gọi I là trung điểm của đoạn đoạn thẳng EF . Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 3. Đường thẳng MN cắt đường thẳng PQ tại D . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMQ và DNP cắt nhau tại K ( K khác D ). Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại B và C cắt nhau tại J. Chứng minh bốn điểm D, A, K, J thẳng hàng. Bài 5. Trên một đường tròn người ta lấy 2024 điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xen kẽ nhau. Tại mỗi điểm ta ghi một số thực khác 0 và 1 sao cho quy tắc sau được thỏa mãn " số ghi tại mỗi điểm màu xanh bằng tổng của hai số ghi tại hai điểm màu đỏ kề nó;số ghi tại mỗi điểm màu đỏ bằng tích của hai số ghi tại hai điểm màu xanh kề nó". Tính tổng của 2024 số đó. —HẾT— 67
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN ĐH HUẾ VÒNG 1 NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. Cho biểu thức √ √ √ 3x + 9x − 3 x + 1 x − 2 1 A = √ − √ + √ √ − 1 . x + x − 2 x + 2 x − 1 1 − x 1. Tìm điều kiện của biểu thức A . 2. Rút gọn giá trị của biểu thức A . Bài 2. Cho phương trình x2 + (2m − 1)x − 3 = 0. 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, trái dấu. 2. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có tổng hai nghiệm là một số dương. 2 2 3. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 7. Bài 3. 1. Cho hai đường thẳng d1 : y = 2x − 5 , d2 : y = 4x − m, trong đó m là tham số. Tìm m để d1 cắt d2 tại một điểm thuộc trục hoành. 2. Đầu tháng 2 năm 2020, khi đang vào mùa thu hoạch, giá tôm hùm bất ngờ giảm mạnh do dịch bệnh COVID-19. Gia đình ông A cho biết vì sợ tôm chết nên phải bán 40% số tôm với giá 400 nghìn đồng mỗi kilôgam. Sau đó nhờ phong trào "giải cứu tôm hùm" nên đã bán được số tôm còn lại với giá 700 nghìn đồng mỗi kilôgam. Ông A cho biết đã đầu tư vào hồ tôm 250 triệu đồng và nếu trừ đi số tiền đầu tư này thì gia đình ông lãi được 40 triệu đồng ( không kể công chăm sóc gần 1 năm của gia đình). Ông A cũng cho biết thêm rằng, nếu không có dịch COVID-19 thì thương lái sẽ mua hết số tôm hùm với giá 1,2 triệu đồng mỗi kilôgam. Hỏi nếu không có mùa dịch COVID-19 thì gia đình ông A thu được lợi nhuận bao nhiêu? Bài 4. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Qua A kẻ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) , với M và N là các tiếp điểm. Dựng cát tuyến ABC với đường tròn (O) sao cho B nằm giữa A, C đồng thời B và M nằm cùng phía so với đường thẳng AO . 1. Chứng minh tứ giác ANOM nội tiếp được đường tròn và AB.AC = AM 2. Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 2. Gọi H là giao điểm của AO và MN . Chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp được đường tròn. 3. Qua B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng MC lần lượt cắt AM và MN tại E và F . Chứng minh HM là phân giác trong của góc BHC\ và B là trung điểm của đoạn thẳng EF . 1 y2 Bài 5. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2x2 + + = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 4 P = xy. —HẾT— 68
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO ĐH HUẾ VÒNG 2 NĂM 2020-2021 Môn: chuyên Toán Thời gian: 180 phút, không kể phát đề. Bài 1. √ √ 1. Giải phương trình 3x + 1 + 2 − x = 3 . ( x3 + y3 = 2 2. Giải hệ phương trình . x2y + xy2 = 2 Bài 2. Cho P là parabol có phương trình y = x2, A là điểm có tọa độ (3; 5) và m là tham số có giá trị dương. 1. Viết phương trình đường thẳng qua A và có hệ số góc m . 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để d cắt P . 3. Giả sử d cắt P tại 2 điểm có hoành độ x1 và x2. Tìm mối liên hệ giữa x1 và x2. Bài 3. Cho a, b, c là các số thay đổi đồng thời thỏa mãn các điều kiện a + b + c = 8 và a2 + b2 + c2 = 22 . 1. Tính ab + bc + ca. 10 2. Chứng minh rằng 2 ≤ a, b, c ≤ . 3 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a3 + b3 + c3. Bài 4. Một hình chữ nhật bị các đường thẳng chia thành các đa giác như hình vẽ. Trong đó có 3 tam giác và 2 tứ giác có diện tích là 5, 6, 10, x và 54 . Hãy tìm giá trị của x . 6 5 54 x Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 10 Bài 5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B.Trên tia đối của tia AB lấy điểm P . Kẻ các tiếp tuyến PC và PD với đường tròn (O’), trong đó C và D là các tiếp điểm và D nằm bên trong đường tròn (O) . AC AD 1. Chứng minh = BC BD 69
Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 2. Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt (O) theo thứ tự tại các điểm thứ hai E, F và gọi I là giao điểm của CD với EF . Chứng minh các cặp tam giác ∆IF B, ∆CAB và ∆EIB, ∆ADB là đồng dạng.Từ đó suy ra I là trung điểm của đoạn thẳng EF . 3. Chứng minh rằng khi P thay đổi CD luôn đi qua một điểm cố định. Bài 6. Cho A là tập gồm 17 số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}. Chứng minh rằng có thể chọn được 5 số từ tập A sao cho tổng của 5 số này chia hết cho 5 . —HẾT— Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 70