10 bài tập Hình học Lớp 9 - Đường tròn và tiếp tuyến

Nội dung text: 10 bài tập Hình học Lớp 9 - Đường tròn và tiếp tuyến

1. 10 Bài tập ôn hình lớp 9 HK 1 (Đường tròn & tiếp tuyến) BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : a/ AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). b/ FA.FH = FB.FC. c/ Bốn điểm A, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn , xác định tâm I của đường tròn. d/ IE là tiếp tuyến của đường tròn (I). Giải. a/Chứng minh AH vuông góc BC : Có DBC nội tiếp (O) đường kính BC (gt) => DBC vuông tại D => BD CD hay BD AC. Chứng minh tươ tự : CE AB Xét ABC có : CE AB (cmt) => CE đường cao thứ nhất. BD AC (cmt) => BD đường cao thứ hai. hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt) = > H là trực tâm của tam giác ABC = > AH là đường cao thứ ba. = > AH BC tại F. b/ Chứng minh FA.FH = FB.FC : Xét FAB và FCH, ta có :BFA=CFH = 90º A1 + ABC = 90º ( FAB vuông tại F) C1 + ABC =90º ( FAC vuông tại F) => A1 = C1 (1) => FAB  FCH => FA/FC = FB/FH FA.FH = FB.FC c/ Chứng minh .A, E, H, D nằm trên đường tròn: Xét ΔAEH vuông tại E (gt) AEH nội tiếp đường tròn đường kính AH (1). Hay A, E, H nằm trên đường tròn đường kính AH(1). Xét ΔADH vuông tại D (gt) ΔADH nội tiếp đường tròn đường kính AH Hay A, D, H nằm trên đường tròn đường kính AH(2). Từ (1) và (2) : A, E, H, D nằm trên đường tròn đường kính AH . : tâm I là trung điểm AH. d/.Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Xét Δ AEI, ta có : IA = IE (bán kính) Δ AEI cân tại I  A1 = E1(2) Chưng minh tưng tự, ta được :  C1 =  E3(3) 1
2. Từ (1), (2) và (3), ta được : E1 = E3; Mà: E1 +  E2 = 90º; E3 +  E2=90º Hay : IEO = 90º IE EO tại E; Mà : E thuộc (O) Vậy : IE là tiếp tuyến của đường tròn (O). BÀI 2 : Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O; R) lấy điểm M. Lấy điểm B trên đường tròn (O; R) sao cho MB = MA a/ Chứng minh : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). b/ Cho OM = 2R. chứng minh : tam giác ABC đều. tính độ dài và các cạnh và diện tích của tam giác AMB theo R. c/ Vẽ đường kính BE của (O). chứng minh : AE // OM. GIẢI. a/ Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Xét AOM và BOM, có: MA = MB (gt); OA = OB (bán kính); OM cạnh chung. AOM = BOM MBO = MAO; Mà:  MAO = 90º (MA tiếp tuyến của (O)) MBO = 90º Hay MB OB tại B. Mà : điểm B của đường tròn (O; R) Vậy : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) b/ Chứng minh ABC đều & tính Diện tích AMB Xét AOM vuông tại A, ta có : sin OMA = OA : OM = ½ OMA =30º Mặt khác:  AMB + 2 OMA =60º (tính chất hai T.tuyến cắt nhau). Xét ABM, ta có: MA = MB (gt) ABM cân tại M; Mà :  AMB = 60º (cmt) ABM đều. Xét AOM vuông tại A, theo định lí pytago ta có : OM2 = MA2 + 0B2 (2R)2 = MA2 + R2 MA = AB = R 3 Đường cao của đều cạnh R 3 là h = 3/2R Diện tích S A BM = ½ h. AB = 3/4R. 3 (dvdt) c/. chứng minh : AE // OM : Có :MA = MB (gt); OA = OB (bán kính) MO là đường trung trực AB OM AB (1) Xét ABE nội tiếp (O), có : BE là đường kính ABE vuông tại A AE AB (2) Từ (1) và (2) AE // OM. 2
3. Bài 3 : Cho nữa đường tròn (O; R) có đường kính AB. tiếp tuyến tại điểm M trên nữa đường tròn lần lượt cắt hai tiếp tuyến tại A và B ở C và D. a/ Chứng minh : AC + DB = CD. b/ Chứng minh : tam giác COD vuông và AC.BD = R2. c/ OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F. chứng minh : - Tứ giác OEMF là hình chữ nhật. - OE.OC = OF.OD = R2. - EF BD. d/ Chứng minh : AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD. e/ AD cắt BC tại N. chứng minh : MM // AC. GIẢI. a/ Chứng minh : AC + DB = CD. Ta có : CA = CM (tính chất hai tt cắt nhau) DB = DM (tính chất hai tt cắt nhau) CD = CM + MD AC + DB = CD. b/. Chứng minh COD vuông và AC.BD = R2. Ta có : OD là tia phân giác BOM (tính chất hai tt cắt nhau) OC là tia phân giác  COM (tính chất hai tt cắt nhau) Mà :  BOM và  COM kề bù. OC OD tại O.; Hay COD vuông tại O. Trong COD vuông tại O, có đường cao OM. hệ thức lượng : MC.MD = OM2 = R2 ; Hay : AC.BD= R2 (CA = CM và DB = DM) c/ Các CM * CM Tứ giác OEMF là hình chữ nhật : Ta có : CA = CM (cmt); OA = OM ( bán kính). CO là đường trung trực của AM CO cắt AM tại E, EA = EM MEO = 90º CM tuơng tự , ta được : MFO = 90º Tứ giác OEMF, ta có : MEO = MFO = 90º Tứ giác OEMF là hình chữ nhật. *Ch. Minh OE.OC = OF.OD = R2 Trong COM vuông tại M, có đường cao ME. hệ thức lượng : OC. OE = OM2 = R2 CM tươnh tự : OD. OF = OM2 = R2 OE.OC = OF.OD = R2. 3
4. *Ch.minh EF BD. Xét ABM, ta có: EA = EM (cmt); FB = FM (cmt) EF là đường trung bình EF // AB Mà AB BD (tính chất tt) EF BD. d/ Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD. Trong COD vuông tại O (cmt) COD nội tiếp đường tròn (I) đường kính CD IC = ID. Mặt khác : CA // BD (cùng vuông góc AB) Tứ giác ABDC là hình thang. Xét hình thang ABDC, ta có : IC = ID (cmt); OA = OB (AB là đường kính (O)) IO là đường trung bình IO // CA Mà CA AB IO AB tại O Mà : điểm O thuộc (I) AB là tiếp tuyến của (I) đường kính CD e/ Chứng minh NM // AC Ta có : AC // BD (cmt) (định lí talet thuận) Mà : CA = CM và DB = DM (cmt) NM // AC (định lí talet đảo) . II. PHẦN BÀI TẬP ỨNG DỤNG : BÀI 1 ( 3,5 điểm) : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a/ Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn . xác định tâm I của đường tròn đó. b/ Chứng minh AH vuông góc BC. c/ Cho góc A = 600, AB = 6cm. tính BD. d/Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (I). Hình gợi ý 4
5. Bài 2 ( 4 điểm) : Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho AB < AC. a) Chứng minh tam giác ABC vuông. b) Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến (d’) với đường tròn (O), (d’) cắt (d) tại D. Chứng minh : DA =DF. c) Hạ CH vuông góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm CH. d) Tia AK cắt DC tại E. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O) , suy ra OE // CA. Bài 3 : Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R . Vẻ các tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C là các tiếp điểm ) a) C/m: Tam giác ABC đều b) Từ O kẻ đường vuông góc vớiOBcắt AC tại S . C/m : SO = SA c) Gọi I là trung điểm của OA . C/minh SI là tiếp tuyến của (O) d) Tính độ dài SI theo R Bài 4 : (4 đ) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.H là trung điểm của OB.Qua H vẽ dây CD vuông góc vơi AB. a) Chứng minh tam giác OCB đều. b) Tính đô dài AC và CH theo R. c) Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở I.Chứng tỏ 3 điểm O,B,I thẳng hàng và 4HB.HI = 3R2 d) Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E.OE cắt CI tại K.Chứng minh KB là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD. Bài 5 : (3,5 điểm) Từ một điểm A ở ngoài (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C. Vẽ đường kính BD của (O). a) Chứng minh ΔBCD vuông. b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh DC. AO = 2R2 . d) Biết OA = 2R. Tính diện tích ΔBCK theo R. Bài 5. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là hai tiếp điểm),OMcắt AB tại H. 1) Chứng minh H là trung điểm của AB. 2) Trên đường thẳng AB lấy điểm N (với A nằm giữa B và N). Từ M kẻ một đường thẳng vuông góc với ON tại K và cắt AB tại I. Chứng minh 5 điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 3) Chứng minh : NA.NB = NI.NH 4) Tia MK cắt đường tròn (O) tại C và D (với C nằm giữa M và D). Chứng minh 5
6. NC và ND là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 6 : (3,5đ) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm) a) Chứng minh OM  AB. Tính MA theo R. b) Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân. c) Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J. Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi. d) Tính diện tích AJIB theo R. BÀI 7 : Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm) e) Chứng minh OM  AB. Tính MA theo R. f) Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân. g) Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J. Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi. h) Tính diện tích AJIB theo R. PHH sưu tầm và chỉnh lí 4-1-2014 Nguồn GDPT Bài gốc của thày Trần Thanh Phong 6