10 Bài toán học sinh giỏi Lớp 8 chọn lọc - Nguyễn Văn Đại

Nội dung text: 10 Bài toán học sinh giỏi Lớp 8 chọn lọc - Nguyễn Văn Đại

1. Người thành “đạt” khụng dành “chỗ” cho kẻ lười “biếng”. 10 BÀI TOÁN HSG 8 CHỌN LỌC 1/ Chứng minh rằng: n3 6n 2 8n 48 với mọi số chẵn n. Giải Ta cú: n3 6n 2 8n = n(n 2 6n 8) n(n 2 4n 2n 8) = n[n(n 4) 2(n 4)] n(n 2)(n 4) Đặt n 2k ( vỡ n chẵn) Do đú: n(n - 2)(n - 4) = 8k(k - 1)(k - 2) Ta cú: 8kM8 đ " k ẻ Âùỹ ýù ị 8k(k - 1)(k - 2)M48 k(k - 1)(k - 2)M6 ;" k ẻ Â ỵù Vậy n3 - 6n2 + 8nM48 đ " n chẵn. 27- 12x 2/ Tỡm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + 9 Giải - Tỡm GTNN của biểu thức. 27 - 12x (x2 - 12x + 36) - x2 - 9 A = = x2 + 9 x2 + 9 2 (x - 6) - (x2 + 9) (x - 6)2 A = = - 1³ - 1 x2 + 9 x2 + 9 Vậy GTNN của biểu thức A = - 1 đạt được khi x = 6. - Tỡm GTLN của biểu thức. 2 2 2 2 27 - 12x (4x + 36)- 4x - 12x - 9 4(x + 9)- (2x + 3) A = = = x2 + 9 x2 + 9 x2 + 9 (2x + 3)2 A = 4- Ê 4 x2 + 9 3 Vậy GTLN của biểu thức A = 4 đạt được khi x 2 3/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất biểu thức: A x x 1 x 3 x 4 x 6 10 Giải Ta cú: A = ộx - 1 x - 6 ựộx - 3 x - 4 ự= x2 - 7x + 6 x2 - 7x + 12 + 10 (x) ởờ( )( )ỷỳởờ( )( )ỷỳ ( )( ) Đặt x2 7x 6 = t A t t t 6 10 t 2 6t 9 1 t 3 2 1 1 “Mầm đỏ” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. ị A t Min 1 đạt được khi t = -3 2 Do đú: A(x)Min 1 đạt được khi x 7x 6 3 7 13 x1 2 2 x 7x 9 0 7 13 x 2 2 7 13 7 13 Vậy GTNN của biểu thức A 1 đạt được khi x hoặc x (x) 2 2 4/ Tỡm dư phộp chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho đa thức x2 + 8x + 12. Giải Đặt F(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 Ta cú: F(x) = [(x + 1)(x + 7)][(x + 3)(x + 5)] + 9 2 2 F(x) = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 9 2 2 F(x) = [(x + 8x + 12) -5][(x + 8x + 12) + 3] + 9 2 2 2 2 F(x) = [(x + 8x + 12) - 2(x + 8x + 12) – 6]: (x + 8x + 12) dư - 6 Vậy phộp chia đa thức F(x) cho đa thức x2 + 8x + 12 dư - 6. 5/ Giải phương trỡnh sau: y 2 4 x 2y 2 x 1 2 0 Giải Ta cú: y2 4x 2y 2x 1 2 0 (y2 2y 1) (22x 2.2x 1) 0 2 2 y 1 0 y 1 y 1 2x 1 0 x 2 1 0 x 0 Vậy nghiệm của phương trỡnh là x = 0 và y = - 1. 6/ Tỡm a, b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 Giải Tỡm a, b ta cú: ax3 bx2 10x 4 x2 x 2 x 1 x 2 + Thay x = 1 cú: a + b + 6 = 0 (1) + Thay x = - 2 cú : - 8a + 4b - 24 = 0 (2) a b 6 0 a b 6 0 3a 12 0 a 4 Từ (1) và (2) ta cú: 8a 4b 24 0 2a b 6 0 b a 6 b 2 3 2 Vậy khi a = - 4 và b = - 2 thỡ đa thức f (x ) = - 4 x - 2 x 1 0 x 4 chia hết cho đa thức 2 g(x) x x 2 . 7/ Chứng minh A = 3n3 + 15n chia hết cho 18 với mọi n. Giải Ta cú: “Mầm đỏ” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. A 3n3 15n 3n3 18n 3n 3n n2 1 18n 3 n 1 n n 1 18n 3 n 1 n n 1 M18 ; n 18nM18 ;n 3 n 1 n n 1 18nM18 Vậy A 3n3 15nM18 ; n ộ 2 2 3 ự 8/ Chứng minh rằng B = ờn(n - 2) - n ỳM10 với " n ẻ  . ở ỷ Giải Ta cú: ộ 2 2 3 ự ộ 2 2 2 ự 2 2 B = ờn(n - 2) - n ỳ= n ờ(n - 2) - n ỳ= n(n - n - 2)(n + n - 2) ở ỷ ở ỷ B = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) - Tớch 5 số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 2 và cho 5 chia hết cho 10. ỹ (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)M2ù ý ị (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)M(2.5) ù (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)M5ỵù ị B = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)M10 đ " n ẻ  ộ 2 2 3 ự Vậy Bvới= .ờn(n - 2) - n ỳM10 " n ẻ  ở ỷ 9/ Chứng minh rằng n3 17nM6 với n  . Giải Ta cú: n3 17n n3 18n n n3 n 18n n n2 1 18n n 1 n n 1 18n n 1 n n 1 M6   n 1 n n 1 18nM6 n  18nM6  Vậy n3 17nM6 với n  10/ Tỡm dư trong phộp chia đa thức A = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 2008 cho đa thức B = x2 + 10x + 21. Giải Ta cú: A x 2 x 8 x 4 x 6 2008 A x2 10x 16 x2 10x 24 2008 2 2 A x 10x 21 5 x 10x 24 3 2008 2 A x2 10x 21 2 x2 10x 21 1993 2 Do đú: A x2 10x 21 2 x2 10x 21 1993 M (x2 10x 21) dư 1993 Vậy đa thức A x 2 x 4 x 6 x 8 2008 chia cho đthức B x2 10x 21 dư 19993 “Mầm đỏ” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.