Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 12 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 12 (Có đáp án)

1. Đề 12 Câu 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3 . b) Giải phương trình: x3 3x2 2x 0 . Câu 2 a) Chứng minh rằng n3 11n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. b) Cho x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 . Câu 3 2 x 4x2 2 x x2 3x Cho biểu thức A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A. b) Tìm giá trị của x để A 0 . Câu 4 2 a) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức x 3 là số nguyên? x 2 b) Cho a b c 0 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 3abc . Câu 5 Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P khác trung điểm của BD, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì? Vì sao? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF song song với AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. Câu 6 Cho ha , hb là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a, b của một tam giác. Hãy xác định dạng của tam giác đó nếu a ha b hb .
2. Hướng dẫn chấm Câu 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3 . b) Giải phương trình: x3 3x2 2x 0 . Giải a) Ta có: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3 P 2 a3 b3 7ab a b P 2 a b a2 ab b2 7ab a b P a b 2a2 5ab 2b2 2 2 P a b 2a 4ab ab 2b P a b a 2b 2a b b) x3 3x2 2x 0 x x2 3x 2 0 x x 1 x 2 0 Vậy S  2; 1;0 Câu 2 a) Chứng minh rằng n3 11n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. b) Cho x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 . Giải a) Ta có: n3 11n n n2 11 n n2 1 12 n n2 1 12n n 1 n n 1 12n Vì n 1 n n 1 là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên n 1 n n 1 chia hết cho 6 và 12n chia hết cho 6. Do đó n3 11n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. b) Cách 1 Từ x y 1 y 1 x , do đó ta có: 2 2 2 2 2 1 A x 1 x x 1 2x x 2 x x 2 2 2 1 1 1 1 2 A 2 x 2 x 2 4 2 2 2 1 1 Vậy minA x y . 2 2
3. Cách 2 Ta có: x y 1 x2 2xy y2 1. (1) Mặt khác x y 2 0 x2 2xy y2 0 (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: 1 2 x2 y2 1 x2 y2 2 1 1 Vậy minA x y . 2 2 2 x 4x2 2 x x2 3x Cho biểu thức A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A. b) Tìm giá trị của x để A 0 . Giải a) 2 x 0 2 x 4 0 x 0 ĐKXĐ: 2 x 0 x 2 2 3 x 3 2x x 0 2 x 3x 0 2 x 4x2 2 x x2 3x A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x 4x2 A x 3 b)