10 Đề ôn tập thi học kỳ môn Toán Lớp 8

Nội dung text: 10 Đề ôn tập thi học kỳ môn Toán Lớp 8

1. ĐỀ 01 Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử (với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b) A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Câu 2. x 3 x 6 x 1 1 . 3 2 a) Giải phương trình sau: x 2 4 3 2 2 b) Tìm x; y biết: x2 - y2 + 2x - 4y-10 =0 với x,y nguyên dương. Câu 3: Cho abc = 2. Rút gọn biểu thức: a b 2c A ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 Câu 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 b) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC để cho AEMF là hình vuông. ĐỀ 02 Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x5 + x +1 c) x4 + 4 d) xx - 3x + 4x -2 với x 0 Câu 2. Giải phương trình sau: x 17 x 21 x 1 a) 4 b) 4x – 12.2x + 32 = 0 1990 1986 1004 c) 1 = 1 +1 +1 (x là ẩn số) a b x a b x Câu 3: a) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2 10x 21 . 1
2. b) Tìm các số nguyên a và b để biểu thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho biểu thức B(x) x2 3x 4 Câu 4: x y z a b c x2 y2 z2 a) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1 . a b c x y z a2 b2 c2 b) Tìm các giá trị của x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . Câu 5: Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. ĐỀ 03 1 3 x 2 1 A : Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (4 điểm) 1 6y 2 a) Giải phương trình: 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= (x 16)(x 9) x Bài 3: (3 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Bài 4: (4 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: ab(a b) ac(a c) bc(2a b c) b) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức B(x) x2 3x 4 Bài 5: (6điểm) 1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR: 2
3. a) KC = KP b) A, D, K thẳng hàng. c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi. 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại HA' HB' HC' H. CMR: bằng một hằng số. AA' BB' CC' ĐỀ 04 Bài 1: (4đ) x2 y2 x y a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3( ) 5 (với x, y y2 x2 y x khác 0) b) Tìm giá trị nguyên của x để A M B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . x y 2 x y c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Cmr 0 y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4x 2x 1 x2 Bài 2: (2đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 1 1 1 1 b) 8(x )2 4(x2 )2 4(x2 )(x )2 (x 4)2 x x2 x2 x Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. ĐỀ 05 1 a2 1 4a 2b 2 Bài 1. Cho biểu thức: A 3 2 : 3 2a b 2a b 2a a b a b ab a a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A biết 4a2 + b2 = 5ab và a > b > 0 Bài 2 a) Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) b) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. c) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 3
4. a b c A = 3 b c a a c b a b c Bài 3. Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt nhau tại O. Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4,7,5 a) Tính NC biết BC = 18 cm b) Tính AC biết MC - MA = 3cm AP BN CM c) Chứng minh . . 1 PB NC MA Câu 4. ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S. a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c) Chứng minh P là trực tâm SQR. d) MN là trung trực của AC. e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. ĐỀ 06 Bài 1: ( 6 điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 x.y + x + y ( với mọi x ;y) b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = x 2 x 3 x 2 x 2 Bài 2. (8đ) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh : a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi . b) AEF ~ CAF và AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi . Bài 3 (3điểm): Tìm dư của phép chia đa thức: x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1 Bài 4( 3điểm) Trong hai số sau đây số nào lớn hơn: a = 1969 1971 ; b = 2 1970 ĐỀ 07 Bài 1: ( 6 điểm ) a) Chứng minh rằng x 3 y 3 z 3 x y 3 3xy. x y z 3 4
5. 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0. Tính A x y z x 2 y 2 z 2 Bài 2: (8đ). Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. a) Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh: 1 MO IC 2 b) Tính số đo B·MK ? c) Gọi P và Q lần lượt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất? 2x 1 Bài 3 (3điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: M x2 2 Bài 4( 3điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: yx2 +yx +y =1. ĐỀ 08 Bài 1: ( 6 điểm ) a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 27 12x x 2 9 1 1 1 b) Cho B = b2 c2 - a 2 c2 a 2 - b2 a 2 b2 - c2 Rút gọn biểu thức B, biết a + b + c = 0. Bài 2: (6 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC ( E AB ; F AC ) a) Chứng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của M. b) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất. c) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định Bài 3 (5 điểm): a) Cho a 4; ab 12. Chứng minh rằng C = a + b 7 b) Chứng minh rằng số: 1 1 1 1 a = , n Z không phải là một số nguyên. 1.2 2.3 3.4 n.(n+1) + Bài 4( 3điểm). Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < 0 (2) Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm 5
6. ĐỀ 09 Bài 1: ( 5 điểm ) a) Cho a, b > 0 và a+b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = (1+ 1 )2 + (1+1 )2 a b b) Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 3 . 2 3 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 . 4 Bài 2 : (8đ). Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Tứ giác AMDB là hình gi? b). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB. Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình PB 16 chữ nhật ABCD. Bài 3 (4điểm): Giải phương trình: a) (x+1)4 + (x+3)4 = 16 x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 b) 4 1006 1004 1002 1000 Bài 4( 3 điểm). a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b) Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24 ĐỀ 10 Bài 1: ( 4 điểm ). Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài 2: (6 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh CE vuông góc với DF. b) Chứng minh MAD cân. c) Tính diện tích MDC theo a Bài 3 (5 điểm): 2 a) Rút gọn biểu thức: x x 6 x3 4x2 18x 9 6
7. 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0(x, y, z 0) . Tính x y z x2 y2 z2 Bài 4 (5 điểm). a) Cho hai số x, y thoã mãn điều kiện 3x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x2 + y2 b) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1. C/m: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 HƯỚNG DẪN 3 1 3ab 1 312 1 Ta có: C = a + b = (a b) a 2 a 2  4 7 (ĐPCM) 4 4 4 4 4 4 Ta có: 19702 – 1 < 19702 1969.1971 < 19702 2 1969.1971 2.1970 (*) (0.25đ) Cộng 2.1970 vào hai vế của (*) ta có: 2.1970 2 1969.1971 4.1970 (0.25đ) ( 1969 1971) 2 (2 1970) 2 (0.25đ) 1969 1971 2 1970 (0.25đ) Vậy: 1969 1971 2 1970 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 27 12x A x2 9 2 2 2 2 27 12x x 12x 36 x 9 x 6 A 1 1 x2 9 x2 9 x2 9 A đạt giá trị nhỏ nhất là -1 x 6 2 0 hay x = A = 2 2 2 27 12x 4x 36 4x 12x 9 2x 3 4 4. A đạt GTLN là 4 x2 9 x2 9 x2 9 2 3 2x 3 0 x 2 Do a, b, c là các số dương nên ta có; 2 (a – 1)2 0a 0 a2 1 2a a2 2a 1 a2 1 4a (1) 0,25đ Tương tự (b + 1)2 4b (2) 0,25đ (c + 1)2 4c (3) 0,25đ Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có: (b + 1)2(a + 1)2(c + 1)2 64abc (vì abc = 1) 7
8. ((b + 1)(a + 1)(c + 1))2 64 (b + 1)(a + 1)(c + 1) 8 0,25đ Bài IV: y x2 + y x + y = 1 . (1) Nếu phương trình có nghiệm thì x ,y > 0. (1) y(x2 + x +1) = 1 y= 1 y = 1 ,x= 0 x2 + x +1 =1 Vậy nghiệm của phương trình trên là (x,y) = (0 ,1). (1đ) Bài 1:(2 điểm) Ta có: a + b + c = 0 b + c = - a. Bình phương hai vế ta có : (b + c)2 = a2 b2 + 2bc + c2 = a2 b2 + c2 - a2 = -2bc Tương tự, ta có: c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab 1 1 1 -(a+b+c) A = - - - = =0 (vì a + b + c = 0) 2bc 2ca 2ab 2abc Vậy A= 0. 1) Đặt y = x + 2 ta được phương trình: (y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16 y4 + 6y2 -7 = 0 Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là z1 = 1 và z2 = -7. 2 y = 1 có 2 nghiệm y1 = 1 ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3. y 2 = -7 không có nghiệm. x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 2) 4 1006 1004 1002 1000 x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 1 1 1 1 0 1006 1004 1002 1000 x 2007 x 2007 x 2007 x 2007 0 1006 1004 1002 1000 1 1 1 1 (x 2007) 0 (x 2007) = 0 1006 1004 1002 1000 1 1 1 1 Vì 0 x 2007 1006 1004 1002 1000 Bài 3:(1,5 điểm) Ta có: 8
9. 1 1 1 1 1 1 1 a = 1 2 2 3 3 4 n n+1 1 n = 1 = 1 ; n+1 n+1 Mặt khác a > 0. Do đó a không nguyên Bài 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120 Kết quả phân tích A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4) => A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2) L à tích của 4 số nguyên liên tiêp nên A  24 Bài 4: Giải a. chứng minh được F C . BA + CA. BE = AB2 (0,5 điểm ) + Chứng minh được chu vi tứ giác MEAF = 2 AB ( không phụ vào vị trí của M ) ( 0,5 điểm ) b. Chứng tỏ được M là trung điểm BC Thì diện tích tứ giác MEAF lớn nhất (1 điểm ) c. Chứng tỏ được đường thẳng MH  EF luôn đi qua một điểm N cố định ( 1 điểm ) a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17. b) (1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - - abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ. Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 + + 6918) = 88(1918 – 1917.69 + + 6918) chia hết cho 44. 1 1 1 1 1 1 0 x y z z x y 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3. 2 . 3 . 2 3 z x y z x x y x y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 . . 3 3 3 3. x y z x y x y x y z xyz 1 1 1 xyz xyz xyz yz zx xy Do đó : xyz( + + )= 3 3 3 x3 y3 z3 x3 y3 z3 x2 y2 z2 9