19 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh (Từ năm 2000 đến 2019)

Nội dung text: 19 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh (Từ năm 2000 đến 2019)

1. “Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mong, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”. 19 BỘ HSG TOÁN 9 HÀ TĨNH CẤP TỈNH (Từ năm 2000 ® 2019 ) SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2000 – 2001 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 1 2 1 2 1+ + æ4 4 - 4 2 1+ 2 ö 2 2 Bài 1: Tính giá trị biểu thức: B = ç + ÷ . ç 4 4 ÷ èç 1- 2 2 ø÷ 1+ 2 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 13 x2 - x4 + 9 x2 + x4 (0 £ x £ 1) 2x3 9y3 (x y)(2xy 3) Bài 3: Giải hệ phương trình: 2 2 x xy y 3 Bài 4: Tìm số tự nhiên abcdef sao cho các số: abcdef; bcdef; cdef; def; ef đều là số chính phương. Bài 5: Cho D ABC, đường thẳng d cắt hai cạnh AB, AC và trung tuyến AM theo thứ tự E, F, N. AB AC 2AM 1/ Chứng minh: + = AE AF AN 2/ Giả sử đường thẳng d song song với BC, trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P, đường thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ // BC “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2001 – 2002 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 2 é ù 1 1 2 ê 1 1 2 1 1 ú Bài 1 : Cho biểu thức: P = 2 1+ ( - x ) : ê 1+ ( - x ) - ( - x )ú 4 x 4 x 2 x ëê ûú a/ Rút gọn P b/ Tìm tất cả các giá trị nguyên x, để P nhận giá trị nguyên c/ Tìm tất cả những giá trị x, để P - 3 > 1 Bài 2 a/ Tìm các số hữu tỉ x, y thoả mãn phương trình: 3 3 x( 2002 2001) y( 2002 2001) 2002 2001 b/ Tìm các số nguyên dương x; y; z với x > y > z thoả mãn phương trình: xyz + xy + xz + yz + x + y + z = 2001 Bài 3 Cho đường tròn tâm O đường kính AB; vẽ các tiếp tuyến a qua A, b qua B của đường tròn. Một tiếp tuyến d của đường tròn (khác a, b) cắt A, B lần lượt tại I và J a/ Chứng minh rằng đường tròn đường kính IJ tiếp xúc với đường thẳng AB b/ Gọi M là tiếp điểm của d với đờng tròn; H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB. Chứng minh các đường thẳng AJ, BI, MH cắt nhau tại trung điểm của MH. c/ Gọi A’, B’ lần lượt là chân của các đường vuông góc hạ từ A, B xuống d. Cho biết IJ = 2A’B’. Hãy xác định góc nhọn giữa hai đường thẳng AB và d Bài 4 Cho hai tam giác đều bằng nhau, chồng lên nhau sao cho phần chung của chúng là một hình lục giác MNPQRS. Chứng minh: MN + PQ + RS = NP + QR + SM “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2002 – 2003 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 3 1 1 Bài 1: Giải phương trình: 3 x2 x2 1 2 2 Bài 2: Cho hàm số: f (x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f (x) 1; x  1;1 . Tìm max(6a2 5b2 ). 3 4 2002 Bài 3: Tìm phần nguyên của số: S = 2 + 3 + 4 + + 2002 . 2 3 2001 Bài 4: Cho tam giác ABC có các đường cao BB1;CC1 và góc A là góc lớn nhất của tam giác. 2 Chứng minh: BA.BC1 + CA.CB1 = BC . Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R; C là một điểm trên đường kính AB. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn trên tại D. Gọi (O1; R1);(O2 ; R2 ) là hai đường tròn khác nhau sao cho mỗi đường tròn đều tiếp xúc với cả AB, CD và nửa đường tròn đã cho. Chứng minh rằng: R1 + R 2 £ 2R.( 2 - 1) . Đẳng thức xẩy ra khi nào? “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2003 – 2004 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 4 Bài 1: Giải phương trình: 2 x2 x2 3x 3 Bài 2: a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 - x y + x + y - y + 1 ïì x2 - y2 - z2 = 1 b/ Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình 3 ẩn: íï îï x - y - z = - 3 Bài 3: Các số dương a, b, c thoả mãn đẳng thức 2.(a4 b4 c4 ) (a2 b2 c2 )2 Chứng minh tồn tại ABC nhận a, b, c làm độ dài 3 cạnh. Bài 4: Tam giác ABC không vuông, có các đường cao AM, BN, CP (M Î BC;N Î CA;P Î AB ) cắt nhau tại H. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AH. a/ Chứng minh: IJ ^ PN b/ Chứng minh IJ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DPNB Bài 5: Đường tròn tâm O có hai dây AB, CD cố định và không cắt nhau. Điểm P di động trên cung AB(cung AB không chứa các điểm C, D; P ¹ A,P ¹ B ). Gọi giao điểm của PC, PD với AB lần lượt là M và N. Gọi (O1 ) là đường tròn đi qua 3 điểm P, M và D. Chứng minh rằng khi P di động trên cung AB thì: a/ Đường tròn (O1 ) luôn đi qua 1 điểm cố định khác điểm D. AM.NB b/ Đại lượng không đổi. MN “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2004 – 2005 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 5 Bài 1: 1 a/ Tính tổng: a a a trong đó: a với n = 1; 2; 3; ; 2005. 1 2 2005 n (n 1) n n n 1 1 1 1 b/ Cho x1; x2 ; ; x900 là 900 số tự nhiên sao cho: 60 . Chứng minh tồn x1 x2 x900 tại ít nhất 2 số bằng nhau. Bài 2: Giải phương trình: a a a x x Bài 3: Cho tam thức bậc hai: f (x) = ax2 + 1998x + c (a,c Î Z; a < 2000) và f(x) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB và BC ở P và Q. Đường thẳng đi qua trung điềm F của AC và tâm I cắt cạnh AB ở E. Đường thẳng đi qua P và Q cắt đường cao AH ở M. Đường thẳng đi qua F vuông góc với AC cắt tia phân giác AI ở N a/ Chứng minh 3 điểm P, Q, N thẳng hàng. b/ Chứng minh AE = AM. “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2005 – 2006 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 6 Bài 1: a/ Chứng minh nếu các số không âm a, b, c thoả mãn: a b c a b c thì 2006 a 2006 b 2006 c 2006 a b c 3 b/ Các số thực x, y, z thoả mãn đẳng thức: x 1 y2 y 1 z2 z 1 x2 . 2 3 Chứng minh: x2 y2 z2 2 1 2 3 12 Bài 2: Tìm nghiệm (x, y, z) với x; y; z > 0 của hệ phương trình: x y z x 2y 3z 3 Bài 3: Cho tam giác ABC cố định. Hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao cho M, N thuộc đường thẳng BC; P, Q thứ tự thuộc các cạnh AC, AB. a/ Tìm vị trí P, Q trên các cạnh AC, AB để diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất. b/ Khi hình chữ nhật MNPQ thay đổi thì giao điểm I của 2 đường chéo của nó chạy trên đường nào? Bài 4: Trên nửa đường tròn (O), đường kính BC lấy điểm A. Vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi M, N thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB, AC. Các dây BN, CM cắt nhau tại K. Tia phân giác của các góc AHB, AHC lần lượt cắt BN, CM tại E và F. Chứng minh: a/ AK ^ EF b/ Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn. xy Bài 5: Các số dương x, y thoả mãn x xy 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x2 + y2 “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2006 – 2007 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 7 1 3a x Bài 1: Cho phương trình: 1 . 4x a 2 x 1 a/ Tìm a để phương trình có nghiệm x 4 b/ Giải phương trình với giá trị a tìm được ở trên a b c b c a Bài 2: Ba số a, b, c khác 0 thoả mãn: . b c a a b c Chứng minh có ít nhất 2 số bằng nhau. 3 3 Bài 3: Gọi (x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình: x y 1 3xy . 1 y0 Tính giá trị của biểu thức: A (1 x0 )(1 )(1 ) y0 x0 Bài 4: Cho 2 đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; R’) có bán kính khác nhau cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A; B (O; O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB). Vẽ tiếp tuyên chung CD thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm A, có bờ là đường thẳng OO’, trong đó C và D thứ tự thuộc đường tròn (O; R) và (O’; R’). Từ C và D lần lượt kẻ các đường thẳng song song với AD và AC, chúng cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a/ Tứ giác BCED nội tiếp đường tròn b/ Ba điểm A, B, E thẳng hàng c/ BE < R + R’ Bài 5: Ba số dương x, y, z thoả mãn: xy yz zx 3xyz . Chứng minh rằng: 3 x2 3 y2 3 z2 x y z “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2007 – 2008 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 8 Bài 1: 1 2 x y 5 x y a/ Giải hệ phương trình: 2 2 1 4 x y 2 2 7 x y x 1 x 2 b/ Giải phương trình: 1 1 2 x 2 Bài 2: a/ Các cạnh a, b, c của tam giác ABC thoả mãn đẳng thức 1 1 1 1 a b c ; p . p p a p b p c 2 Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? x y z 2 b/ Các số dương x, y, z thoả mãn x y z 2 x y z Tính giá trị biểu thức: P (1 x)(1 y)(1 z) 1 x 1 y 1 z Bài 3: Ba đường tròn (O; R), (O1; R1), (O2; R2) với R < R1 < R2 tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một đồng thời tiếp xúc với một đường thẳng. Gọi S, S 1, S2 lần lượt là diện tích các đường tròn tâm O, O1, O2 . 1 1 1 Chứng minh: 4 4 4 S S1 S2 Bài 4: Cho đường tròn (O, R) và đường tròn (O’ , R’) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm C, kẻ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O’). Đường thẳng AD, AE cắt đường tròn tâm O’ lần lượt tại M và N (M và N khác A). Tia DE cắt MN tại I. Chứng minh: a) D M IB đồng dạng với D A E B b) O'I ^ MN Bài 5: Tam giác ABC có góc A không nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P 1 1 1 b c a “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2008 – 2009 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 9 Bµi 1: 1 x x 2 1 2 2 y y a/ Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 1 x x 8 y y 1 1 1 b/ Ba sè a,b,c, tho¶ m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn: a + b + c = 1 và 1 . a b c Chøng minh rằng: a 2009 b 2009 c 2009 1 Bµi 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x 3 2 (3x 2)3 3x(3x 2) Bµi 3: Tõ mét ®iÓm A ngoµi ®­êng trßn t©m O, vÏ c¸c tiÕp tuyÕn AD, AE (D, E lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Tia AO c¾t ®­êng trßn t©m O t¹i B,C (B ë gi÷a A vµ C), kÎ DH vu«ng gãc víi CE t¹i H. Gäi P lµ trung ®iÓm cña DH. Tia CP c¾t ®­êng trßn t©m O t¹i Q (Q ≠ C). Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DE lµ I. a/ Chøng minh tø gi¸c DQIP lµ tø gi¸c néi tiÕp ®­êng trßn. b/ Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®i qua3 ®iÓm A, D, Q Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng d n»m ngoµi ®­êng trßn t©m O. VÏ OA vu«ng gãc víi d t¹i A. Tõ A, kÎ c¸c c¸t tuyÕn d1, d2 lÇn l­ît c¾t ®­êng trßn (O) t¹i B, C vµ D, E (B ë gi÷a A vµ C, cßn D ë gi÷a A Vµ E). Gäi M, N thø tù lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng th¼ng BE vµ DC víi ®­êng th¼ng d. Chøng minh tam gi¸c OMN lµ tam gi¸c c©n. Bµi 5: C¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n: x4 + y4 + z4 = 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x) . “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2009 – 2010 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 10 x3 x2 y 3(2x y) Bài 1: a/ Giải hệ phương trình: 2 xy y 3 5 1 4 b/ Giải phương trình 2x x x x x x Bài 2: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn đẳng thức x y z 1 1 1 Chứng minh rằng: 0 x y z x y z x y z Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ các đường cao AH, HE, HF của các tam giác ABC, ABH, ACH. Gọi S1, S2, S3 thứ tự là diện tích của các hình tròn đường kính BE, CF, BC. 3 3 3 Chứng minh rằng: S1 S2 S3 Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Hai điểm M, N lần lượt di dộng trên hai cạnh AB, AC sao cho MN = MB + NC. Tia phân giác goc BMN cắt cạnh BC tại P. Gọi Q là 1 điểm thuộc đoạn thẳng MN thỏa mãn MQ = MB. Chứng minh rằng: a/ Tia PN là phân giác của góc QPC b/ Đương thẳng MP luôn đi qua 1 điểm cố định khi M, N di động Bài 5: Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a b c 5 . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: P = a + 1 + 2b + 1 + 3c + 1 “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2010 – 2011 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 11 3 1 1 Bµi 1: Cho ph­¬ng tr×nh x 3 m 1 x m 3 0 (*) x x a/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 3 b/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã ®óng hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt 2 1 1 1 1 1 1 Bµi 2: a/ Cho a, b, c Z tháa m·n ®iÒu kiÖn 2 2 2 a b c a b c Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 3 b/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh x3 + ax2 + bx + 1 = 0, biÕt r»ng a, b, c lµ sè h÷u tØ vµ 1 + 2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Bµi 3: Cho x, y N* tháa m·n x + y = 2011. T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc P = x x2 y y y2 x Bµi 4: Cho nöa ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh AB = 2R, mét d©y cung MN = R di chuyÓn trªn nöa ®­êng trßn. Qua M kÎ ®­êng th¼ng song song ON c¾t ®­êng th¼ng AB t¹i E. Qua N kÎ ®­êng th¼ng song song OM c¾t ®­êng th¼ng AB t¹i F. a/ CMR: MNE  NFM b/ Gäi K lµ giao ®iÓm cña EN vµ FM. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d©y MN ®Ó chu vi tam gi¸c MKN lín nhÊt Bµi 5: Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1. a3 b3 c3 3 Chøng minh r»ng 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4 “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2011 – 2012 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 12 Bài 1: a/ Rút gọc biểu thức: A 5 3 29 12 5 3 2 b/ Tìm các số a, b thoả mãn: 7 20 3 a b 3 a b 3 Bài 2: a/ Giải phương trình: x2 x 12 1 x 36 (x 1)(y 1) 10 b/ Giải hệ phương trình: ( x y)( xy 1) 3 Bài 3: Cho 3 số m, n, p thoả mãn: m2 m2 p2 p2 + n2 n2 m2 + n2 = + = 2; + + = 4 n2 p2 n2 m2 p2 Tính giá của biểu thức: Q = m2 + n3 + p4 Bài 4: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, trên cung nhỏ AC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm D khác A, C. Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB. I là giao điểm của KH và AC a/ Chứng minh: DI  AC và HK < AC b/ Lấy E là trung điểm của AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE cắt IK tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm của IK. Bài 5: Cho 2 số thực x, y khác 0 thay đổi thoả mãn: (x + y + 1)xy = x2 + y2 1 1 Tìm GTLN của biểu thức: A x3 y3 “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 13 Bài 1. a/ Tính giá trị biểu thức: M x y 3 3 x y xy 1 , biết x 3 3 2 2 3 3 2 2 , y 3 17 12 2 3 17 12 2 . 2x x 5 b/ Giải phương trình: . x 2 x 1 x 2 x 1 3 Bài 2. x 2 y 2 3 4x a/ Giải hệ phương trình: . 3 3 2 x 12x y 6x 9 b/ Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên ab 1 bc 1 ca 1 P . abc Bài 3. Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: a b c 3 . 1 a 1 b 1 c 2 Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD. a/ Chứng minh AH vuông góc với BH. b/ Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng. Bài 5. Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: .x y z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 4 y 4 z 4 F . x 2 y 2 x y y 2 z 2 y z z 2 x 2 z x “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 14 Câu 1: a/ Giải phương trình: 2 2x 1 x2 1 3x3 xy2 2y b/ Giải hệ phương trình: 3 2 y x y 2x Câu 2: a/ Cho a,b,c R thoả mãn: a5 + b5 + c5 = a 2 + b2 + c2 = 1 . Tính: P = a 2012 + b2013 + c2014 x2 y2 4x2y2 b/ Cho x, y > 0. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + y2 x2 (x2 + y2 )2 x2 y2 z2 Câu 3: Giả sử phương trình: 3 có 3 nghiệm không đồng thời bằng nhau (a ; b; c); (p; yz xz xy a b c q; r); ( ; ; ) . Chứng minh rằng: (ap2 ;bq2 ;cr 2 ) cũng là nghiêm của phương trình đó. p q r Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = AC = a. ABC ACB (00 ;900 ) . Gọi M là trung điểm của BC. Góc xMy quay quanh điểm M sao cho Mx; My lần lượt cắt AB; AC tại D; E. a/ Tính BD.CE theo a; b/ Gọi d(M;DE) = R(khoảng cách từ M đến DE). Chứng minh rằng AB, AC là các tiếp tuyến của (M; R) c/ Tìm vị trí của DE để SADE lớn nhất. Câu 5: Cho 2014 điểm phân biệt trên đường tròn bán kính R = 1 sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ là 3 . Chứng minh có thể chọn ra 672 điểm sao cho bất cứ bộ ba điểm nào cũng là 3 đỉnh của một tam giác có một góc lớn hơn 1200. “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2014 – 2015 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 15 Câu 1. a/ Giải bất phương trình: x2 6x 2 2(2 x) 2x 1. 5 4 10 6 x xy y y b/ Giải hệ phương trình: 2 4x 5 y 8 6 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm x2 m y(x my) 2 x y xy Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2; 4) và các đường thẳng d1 : 2x y 2 0, d 2 : 2 x y 2 0 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho (C) cắt 2 2 d1 tại A, B và cắt d2 tại C, D thỏa mãn AB + CD + 16 = 5AB.CD. Câu4. 1/ Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác CM 3 b trong AL và 5 2 5 . Tính và cos A . AL 2 c 9 2/ Cho a,b ¡ thỏa mãn: (2 a)(1 b) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 P 16 a4 4 1 b4 Câu 5. Cho f x x2 ax b với a,b ¢ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên m,n, p đôi một phân biệt và 1 m,n, p 9 sao cho: f m f n f p 7 . Tìm tất cả các bộ số (a;b). “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2015 – 2016 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 16 I / PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm số a, b trong sơ đồ sau: b a 15 10 12 18 11 9 15 21 12 10 8 22 20 Câu 2: Trong hộp có 45 viên bi màu, gồm 20 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh và 10 bi màu vàng. Cần lấy ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắc chắn có 3 viên bi: a/ Màu đỏ b/ Cùng màu 1616 161616 16161616 16 Câu 3: Giá trị của biểu thức : là bao nhiêu? 6161 616161 61616161 61 Câu 4: Gọi a là nghiệm âm của phương trình x2 – x – 1 = 0. Giá trị của biểu thức A = 2 a 3 5 8a là bao nhiêu? Câu 5: Tìm số nguyên n biết n2 – 4n + 7 là số chính phương Câu 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 4x2 6x 1 4 6x 4 4x2 y 3 Câu 7: Tìm nghiệm của hệ phương trình 2 y 4xy 2x 1 an Câu 8: Cho a1 và an+1= với mọi n 1 , n N . Tìm a64 nan 1 1 a Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của P a với a > 0 là bao nhiêu? a a 1 2 Câu 10: Cho V ABC biết độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 7, 6, 7. Đường phân giác trong của các góc A và B cắt nhau tại O. Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại lần lượt tại M, N. Tìm chu vi của V MNC II/ PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và BAC = 600. Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của V ABC và I là trung điểm của BC. a/ Chứng minh rằng V INP đều b/ Giả sử IA là phân giác của N· IP . Tính số đo của.B·CP Câu 12: Viết các số 1; 2; 3; 4; 5 lên bảng. Ta thực hiện phép thay thế các số theo quy luật sau: Ở mỗi bước nếu có hai số a, b nào đó thỏa mãn a – b 2 thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số a – 1, b + 1. Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên? “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
17. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2016 – 2017 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 17 I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ bên. Câu 2. Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây 1; 1; 2; 5; 29; Câu 3. Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong một cái hộp. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được. 1 Câu 4. Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được tổng số cá câu được, 9 1 bạn câu được nhiều nhất câu được tổng số cá câu được. Biết rằng số cá câu được của mỗi bạn là 7 khác nhau. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người. Câu 5. Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức x 2 y 2 2 3. Câu 6. Giải phương trình 3 x 2 3 x 4 3 2 . 2 x 2x y 3 y Câu 7. Giải hệ phương trình . 2 2 x 2xy y 2 4 (x 2y)(y 2x) Câu 8. Cho các số x, y 0 thỏa mãn x 1 . Tìm giá trị lớn nhất của P . y x2 y2 Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE đồng quy tại điểm K nằm trong tam giác (D BC, E AB) . Biết AKE và BKE có diện tích lần lượt là 10m2 và 20m2 . Tính diện tích ABC . Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác trong CD AB đồng quy. Tính . AC II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) ab Câu 11. Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn a b . a b Câu 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song. Gọi F là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Đường phân giác góc B·cắtED GH tại điểm I. a/ Chứng minh rằng IH .BD IG.AC S b/ Cho độ dài CD = 2AB. Tìm tỉ số diện tích IAB . S ICD Câu 13. Cho hình tròn (C) có bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn (C) thì luôn tồn tại hai điểm trong k điểm đó thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1 “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
18. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2017 – 2018 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 18 I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm số cạnh của đa giác lồi có 27 đường chéo? Câu 2: Cho a1 = 2017 vaø an+ 1 = a1 + 2017 vôùi " n ³ 1,n Î ¥ . Tìm a2018? 5ab Câu 3: Cho 4a2 + b2 = 5ab vôùi b > 2a > 0. Tính giaù trò cuûa P = . 3a2 + 2b2 Câu 4: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200m, vận tốc vật thứ nhất là 4m/s, vận tốc vật thứ hai là 6m/s. Hai vật xuất phát cùng một thời điểm tại một vị trí và chuyển động cùng chiều. Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ nhất mấy lần? (không kể lúc xuất phát). Câu 5: Có bao nhiêu tam giác khác nhau mà độ dài các cạnh là các số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp {1;2;3;4;5;6;7} . Câu 6: Giải phương trình: 3 1- x + x + 3 = 2 Câu 7: Cho các số a, b thõa mãn a3 + 8b3 = 1- 6ab . Tính a + 2b. ì 2 2 2 ï b + c = a Câu 8: Tìm các số nguyên dương a, b, c (b > c) thõa mãn íï ï 2 a + b + c = bc îï ( ) Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỷ lệ với các số 2; 3; 4 và chu vi của tam giác ABC bằng 26. Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC. Câu 10: Cho tam giác ABC có Aµ= 300; Bµ= 50 caïnh AB = 2 3 . Tính AC(AC + BC). II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) ì 2 2 ï 2y - x = 1 Câu 11: Giải hệ phương trình: íï ï 2 x3 - y = y3 - x îï ( ) Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC. Gọi I là giao điểm của BO với EF, M là điểm di động trên đoạn CE. Gọi H là giao điểm của BM và EF. a/ Chứng minh rằng nếu AM = AB thì các tứ giác BDHF và ABHI nội tiếp. b/ Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF cuae (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Chứng minh rằng: PQ < EF. Câu 13: Cho x, y là các số nguyên không đồng thời bằng 0. Tìm HTNN của F = | 5x2 + 11xy - 5y2 | . “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
19. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2018 – 2019 Môn: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 19 I/ PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1. Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A( )và B(2; 7). Tính M = Câu 2. Dãy số thõa mãn an+1 = an + 3, với n và a2 + a19 = 25. Tính tổng S = a1 + a2 + + a20 Câu 3. Cho hai số thực a, b thõa mãn Tính a – b Câu 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2)và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất Câu 5. Cho số thực a > 0. Timg GTLN của P = Câu 6. Cho các số thực a, b, c khác -1 và các số x, y, z khác 0 thỏa mãn Tính tổng T = Câu 7. Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11 Tính Q = 4P(4) + P(-1) Câu 8. Tìm các số thực a biết a + và - đều là các số nguyên. Câu 9. Cho góc nhọn có tan = 2. Tính M = Câu 10. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD, tia phân giác góc A cắt BD tại I. Biết IB = 10 , ID = 5 . Tính diện tích tam giác ABC. II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giây thi) Câu 11. Giải phương trình Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. a/ Khi AB = 12cm, tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC bằng . Tính diện tích tam giác ABC. b/ Gọi E, F lần lượt hình chiếu H trên AB, AC. Chứng minh rằng Câu 13. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda Future với chi phí mua vào là 23 triệu đồng và bán ra 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khác sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng, theo tỉ lệ cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
20. thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 20 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được là cao nhất. “Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.