35 Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Nội dung text: 35 Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

1. 35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1. Cho ABC có a =12, b =15, c =13 a. Tính số đo các góc của ABC b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC c. Tính S, R, r d. Tính ha ,hb ,hc HS: Tự giải 2. Cho ABC có AB = 6, AC= 8, A 1200 a. Tính diện tích ABC b. Tính cạnh BC và bán kính R HS: Tự giải 3. Cho ABC có a = 8, b =10, c =13 a.ABC co góc tù hay không? b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC c. Tính diện tích ABC HS: Tự giải 4. Cho ABC có A 600 , B 450 ,b 2 tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC và diện tích tam giác HS: Tự giải 3 5. Cho ABC AC = 7, AB = 5 và cos A tính BC, S, h , R 5 a HS: Tự giải 6. Cho ABC có mb 4,mc 2 và a = 3 tính độ dài cạnh AB, AC HS: Tự giải 7. Cho ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S 3 3 . Tính cạnh BC HS: Tự giải 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4 HS: Tự giải 9. Tính A của ABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b b2 a2 c a2 c2 HS: Tự giải 10. Cho ABC . CMR tan A c2 a2 b2 a. tan B c2 b2 a2 2 1 cosC b. c2 a b 4S sin C c. S 2R2 sin Asin Bsin C 1 2 2  2 d. S AB AC ABAC 2 e. a bcosC c cos B 2 f. sin A p p a p b p c bc HS Tự giải 11. Gọi G là trọng tâm ABC và M là điểm tùy ý. CMR
2. a. MA2 MB2 MC 2 GA2 GB2 GC 2 3GM 2 2 2 2 2 2 2 b. 4 ma mb mc 3 a b c HS Tự giải 12. Cho ABC có b + c =2a. CMR a. sin B sin C 2sin A 2 1 1 b. ha hb hc HS Tự giải 13. Cho ABC biết A 4 3, 1 , B 0,3 ,C 8 3,3 a. Tính các cạnh và các góc còn lại của ABC b. Tính chu vi và diện tích ABC HS Tự giải 14. Cho ABC biết a 40,6; B 36020',C 730 . Tính A , cạnh b,c của tam giác đó HS Tự giải 15. Cho ABC biết a 42,4m ; b 36,6m ; C 33010' . Tính A, B và cạnh c. HS Tự giải 16. Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phái tránh 1 ngọn núi , do đó người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Biết góc tạo bời 2 đoạn dây AC và CB là 750 . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê bao nhiêu m dây ? HS Tự giải 17. 2 vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết C AB 870 ,C BA 620 . Hãy tính khoảng cách AC và BC. HS Tự giải Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, A và hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau. Tính SABC . Hướng dẫn giải: A Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc 2 2 2 2 2 N với nhau thì . mb mc a M 3 3 4 a2 b2 c2 4 a2 c2 b2 ( ) ( ) a2 9 2 4 9 2 4 5a2 b2 c2 B Mặt khác a2 b2 c2 2bc cos A C 2a2 2a2 a2 5a2 2bc cos A bc cos A cos 1 S bcsin A a2 tan ABC 2 Bài 19. Cho tam giác ABC. Gọi lA ,lB ,lC lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng.
3. 2bc A A a. l cos A b c 2 A B C cos cos cos 1 1 1 b. 2 2 2 lA lB lC a b c 1 1 1 1 1 1 c. lA lB lC a b c Hướng dẫn giải: B C D a. Trước hết chứng minh công sin 2sin cos 2 2 bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có A 2 thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên. 1 1 A 1 A S bcsin A ,S cl sin , S bl sin ABC 2 ABD 2 A 2 ACD 2 A 2 2bc A Mà S S S l cos ABC ABD ACD A b c 2 A cos 2 1 b c 1 1 b. lA 2 bc 2b 2c B C cos cos 1 1 1 1 Tương tự 2 , 2 lB 2a 2c lC 2a 2b A B C cos cos cos 1 1 1 2 2 2 lA lB lC a b c A B C cos cos cos 1 1 1 c. Ta có 2 2 2 lA lB lC lA lB lC 1 1 1 1 1 1 lA lB lC a b c Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi ma ,mb ,mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua m m m A, B, C, m a b c . Chứng minh rằng 2 A 3 S m m m m m m m ABC 4 a b c N Hướng dẫn giải: M G Gọi D là điểm đối xứng của A qua trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành C 1 Dễ thấy S S S S S GBD GBC AGB AGC 3 ABC B P 2 2 2 Mà GBD có ba cạnh m , m , m D 3 a 3 b 3 c 2 2 SGBD m m ma m mb m mc 3
4. 3 S 3S m m m m m m m ABC GBD 4 a b c Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Chứng minh rằng S (p a)(p b)(p c)(p d) ABCD a b c d Với P 2 B Hướng dẫn giải: b C Do ABCD nội tiếp nên a sin ABC sin ADC x cos ABC cos ADC c 1 A S S S ab cd sin B ABCD ABC ADC 2 d 1 ab cd 1 cos2 B 2 D Trong tam giác ABC có AC 2 a2 b2 2abcos B Trong tam giác ADC có AC 2 c2 d 2 2cd cos D a2 b2 c2 d 2 a2 b2 2abcos B c2 d 2 2cdcocD cos B 2(ab cd) 2 2 2 2 2 1 1 a b c d Do đó S ab cd 1 cos2 B ab cd 1 ABCD 2 2 2(ab cd) 1 2 2 1 2 2 2 2 4 ab cd  a2 b2 c2 d 2   a b c d   c d a b  4   4     a b c d a b c d a b c d a b c d 2 2 2 2 a b c d S (p a)(p b)(p c)(p d) Với p ABCD 2 Bài 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng a2 b2 c2 cos A cos B cosC 2abc a b c Hướng dẫn giải: 2    2 2 2       Ta có AB BC CA 0 AB BC CA 2AB.BC 2BC.CA 2AB.CA a2 b2 c2 2ac cos B 2bc cos A 2abcosC a2 b2 c2 cos A cos B cosC 2abc a b c Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c là a x2 x 1,b 2x 1,c x2 1 chứng minh rằng tam giác có một góc bằng 1200 . Hướng dẫn giải:
5. x2 1 0 Điều kiện a, b, c là 3 cạnh của tam giác 2x 1 0 x 1 2 2 x 1 2x 1 x x 1 Với x 1 thì a > b và a > c nên a là cạnh lớn nhất 1 Tính cos A A 1200 . 2 Bài 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có a2 b2 c2 a. cot A cot B cot C R abc A ( p b)( p c) b. sin 2 bc A Hướng dẫn giải: a. Sử dụng định lí sin và cosin. b. Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp 1 A A Ta có S pr bcsin A =bcsin .cos 1 ABC 2 2 2 O Từ hình vẽ: A S A r ( p a) tan ABC ( p a) tan (2) B C 2 p 2 2 S A A A Từ (1) và (2) ABC ( p a) tan bcsin .cos p 2 2 2 p( p a)( p b)( p c) A bc( p a)sin p 2 A ( p b)( p c) sin 2 bc 1 Bài 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi S a b c a c b ABC 4 Hướng dẫn giải: a b c a b c a b c a b c Theo Hê rong SABC 2 2 2 2 a b c 2 a c b 2 a b c a b c a b c a b c a b c a c b a b c a b c b2 c2 a2 Tam giác ABC vuông tại A Bài 26 Cho tam giác ABC . Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam r 1 giác. Chứng minh rằng: R 2 Hướng dẫn giải: S abc r S 2 4 p p a p b p c 4 p a p b p c Ta có r , R p 4S R pabc pabc abc
6. 2 p a b c Mà ( p a)( p b) 2 2 2 p a c b ( p a)( p c) 2 2 2 p b c a ( p b)( p c) 2 2 abc r 1 p a p b p c 8 R 2 Bài 27. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 2 2 cos A cos B 1 2 2 a. 2 2 cot A cot B sin A sin B 2 b. 3S 2R2 sin3 A sin3 B sin3 C c. p p a p b p c 3p 1 d. S 2 a4 b4 c4 16 Hướng dẫn giải: 2 sin2 A sin2 B 1 1 1 a. BĐT 2 2 2 2 1 sin A sin B 2 sin A sin B 2 1 1 1 2 2 2 2 sin A sin B 2 sin A sin B 1 1 2 2 4 2 2 sin A sin B sin A sin B b. 3S 2R2 sin3 A sin3 B sin3 C 3 3 3 3abc 2 a b c 3 3 3 2R 3 3 3 3abc a b c 4R 8R 8R 8R c. Từ x y z 2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx x y z 2 x2 y2 z2 Nên x, y,z dương thì x y z x2 y2 z2 áp dung vào CM + p a p b p c p a p b p c p 2 + p a p b p c 3 p a p b p c 3p 2 a b c a b c a b c a b c d. S p( p a)( p b)( p c) 2 2 2 2 1 1 (b c)2 a2  a2 (b c)2  (b c)2 a2  a2 16     16   1 1 b2 c2 2bc a2 a2 2b2 2c2 a2 a2 16 16 1 1 2b2a2 2c2a2 a2 (a4 b4 c4 ) 16 16 1 2 2 Bài 28. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng SABC a sin 2B b sin 2B 4
7. Hướng dẫn giải: Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB C C C B B A A B A C’ C’ C’ Xét các trường hợp + B là góc nhọn hay vuông, + B là góc tù Bài 29. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca Hướng dẫn giải: Ta có a b c a b 2 c2 a2 b2 c2 2ab Bài 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi chỉ ra tam giác có tổng lập phương các cạnh bé nhất. Hướng dẫn giải: a b c 2 3(a2 b2 c2 ) 2 2 a b c 4 9 a2 b2 c2 9 a a3 b b3 c c3 a b c a3 b3 c3 4 a b c 1 8 a3 b3 c3 (a b c)3 p3 khi tam giác đều 9 a b c 9 9 1 1 1 1 Bài 31. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng a2 b2 c2 4r 2 Hướng dẫn giải: 1 1 a2 a2 (b c)2 a2 a2 (b c)2 1 1 1 1 Tương tự , b2 b2 (c a)2 c2 c2 (a b)2 1 1 1 1 1 1 Nên a2 b2 c2 a2 (b c)2 b2 (c a)2 c2 (a b)2
8. 1 1 1 a b c a b c b c a b c a c a b c a b 1 1 1 4 p b p c 4 p c p a 4 p a p b p p2 p2 1 4( p a) p b p c 4 p( p a) p b p c 4S 2 4r 2 Bài 32. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng a b c a. 3 b c a a c b a b c 1 1 1 1 b ha hb hc r hb hc ha 1 c. 2 2 2 ha hb hc r Hướng dẫn giải: b c a c a b a. (b c a)(c a b) c 2 c a b a b c (c a b)(a b c) a 2 b c a b a c (b c a)(b a c) b 2 abc a b c a c b (b c a) abc 1 a b c a c b (b c a) a b c a b c Mà 33 . . 3 (b c a) a c b a b c b c a a c b a b c 1 p a b c b. p a b c 2 S 2S 2S 2S 1 1 1 1 1 1 1 1 S 2S 2S 2S ha hb hc r p a b c 2 2 2 2S a 2S b 2S c 1 c. b 2S c 2S a 2S r a2 b2 c2 2S a2 b2 c2 2 p b c a r b c a
9. a2 a2 Ta có a2 b2 2ab b 2a 2a b b b b2 c2 Tương tự 2b c , 2c a c a a2 b2 c2 Công lại ta có a b c 2 p b c a Bài 33. Cho tam giác ABC có sin2 B sin2 C 2sin2 A . Chứng minh rằng A 600 . Hướng dẫn giải: sin2 B sin2 C 2sin2 A b2 c2 2a2 2 2 2 2 b c 2 2 2 b c 2 2 b c a b c 1 cos A 2 cos600 2bc 2bc 4bc 2 4 4 4 Bài 34. Cho tam giác ABC có a 3 b 3 c 3 . Chứng minh rằng có một góc tù. Hướng dẫn giải: 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 a 3 b 3 c 3 c a 3 b 3 a b 3a 3b 3 a 3 b 3 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 4 4 a b a 3b 3 a 3 b 3 a b 2a 3b 3 a 3b 3 2 a4 b4 2a2b2 a2 b2 a2 b2 c2 c2 a2 b2 Mà cosC 0 C 900 2ab Bài 35. Tam giác ABC có a2 b2 c2 36r 2 thì có tính chất gì? Hướng dẫn giải: S 2 ( p a)( p b)( p c) ( p b)( p c) ( p c)( p a) ( p a)( p b) a2 b2 c2 36 36 36 p2 p p Ta có 2 ( p b)( p c) 2 p b 2 p c a ( p b)( p c) ( p c)( p a) ( p a)( p b) abc p 8p 9abc a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 9abc a b c Mà a2 b2 c2 ab bc ca a b c ab bc ca 9abc
10. a b c 2 b c a 2 c a b 2 0 a b c Vậy tam giác ABC có a2 b2 c2 36r 2 thì tam giác ABC đều.