›
›
›

Tuyển tập đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Trịnh Bình (Có lời giải)

pdf 236 trang thaodu 6670
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Trịnh Bình (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftuyen_tap_de_thi_vao_lop_10_chuyen_toan_nam_hoc_2019_2020_tr.pdf

Nội dung text: Tuyển tập đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Trịnh Bình (Có lời giải)

  1. TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2019-2020 ¥¨ªª¤§©ª¤«ª«¦
  2. 1 TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƢỜNG CHUYÊN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2019-2020 MÔN TOÁN LỜI NÓI ĐẦU Để góp phần định hướng cho việc dạy - học ở các trường nhất là việc ôn tập, rèn luyện kĩ năng cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục, nhằm nâng cao chất lượng các kì thi tuyển sinh, sachhoc.com gÉÉÇÊÈÉË Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn toán năm học 2019-2020 có đáp án chi tiết. Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu được biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ năng của Bộ GDĐT, trong đó tập trung vào những kiến thức cơ bản, trọng tâm và kĩ năng vận dụng, được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi dựa trên các đề thi năm 2019 các trường chuyên trên cả nước. Mỗi đề thi đều có hướng dẫn giải chi tiết! Hy vọng đây là Bộ tài liệu ôn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất lượng dạy - học ở các trường THCS và kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2020- 2021 và những năm tiếp theo. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ của đội ngũ những người biên soạn, song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự đóng góp của các thầy, cô giáo và các em học sinh trong toàn tỉnh để Bộ tài liệu được hoàn chỉnh hơn. Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất trong các kỳ thi sắp tới! ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  3. 2 MỤC LỤC Trang Đề thi Đáp án 1. Đề vào 10 Chuyên toán Nghệ An năm học 2019 -2020 4 52 2. Đề v|o 10 Chuyên to{n Nam Định năm học 2019 -2020 5 55 3. Đề v|o 10 Chuyên to{n Thanh Hóa năm học 2019 -2020 6 60 4. Đề v|o 10 Chuyên tin Thanh Hóa năm học 2019 -2020 7 64 5. Đề v|o 10 Chuyên to{n Đ| Nẵng năm học 2019 -2020 8 68 6. Đề v|o 10 Chuyên to{n Điện Biên năm học 2019 -2020 9 73 7. Đề v|o 10 Chuyên to{n Tuyên Quang năm học 2019 -2020 10 78 8. Đề v|o 10 Chuyên to{n Hƣng Yên năm học 2019 -2020 11 82 9. Đề vào 10 Chuyên toán Bình Thuận năm học 2019 -2020 12 85 10. Đề v|o 10 Chuyên to{n Phú Yên năm học 2019 -2020 13 88 11. Đề vào 10 Chuyên toán Hải Phòng năm học 2019 -2020 14 94 12. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Ninh năm học 2019 -2020 15 98 13. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Nam năm học 2019 -2020 16 100 14. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Bình năm học 2019 -2020 17 107 15. Đề vào 10 Chuyên toán Phú Thọ năm học 2019 -2020 18 110 16. Đề vào 10 Chuyên toán Cần Thơ năm học 2019 -2020 19 113 17. Đề vào 10 Chuyên toán Thừa Thiên Huế năm học 2019 -2020 21 120 18. Đề v|o 10 Chuyên to{n Đăk Nông năm học 2019 -2020 22 125 19. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Ngãi năm học 2019 -2020 23 128 20. Đề v|o 10 Chuyên to{n T}y Ninh năm học 2019 -2020 24 133 21. Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Định năm học 2019 -2020 25 136 22. Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Phƣớc năm học 2019 -2020 26 141 23. Đề vào 10 Chuyên toán Bắc Ninh năm học 2019 -2020 27 145 24. Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Dƣơng năm học 2019 -2020 29 150 25. Đề v|o 10 Chuyên to{n Sơn La năm học 2019 -2020 30 154 26. Đề vào 10 Chuyên toán Tiền giang năm học 2019 -2020 31 161 27. Đề v|o 10 Chuyên to{n Kh{nh Hòa năm học 2019 -2020 32 164 28. Đề vào 10 Chuyên toán TP Hồ Chí Minh năm học 2019 -2020 33 168 ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  4. 3 29. Đề vào 10 Chuyên toán Bạc Lƣu năm học 2019 -2020 34 172 30. Đề v|o 10 Chuyên to{n Gia Lai năm học 2019 -2020 36 177 31. Đề vào 10 Chuyên toán Bạc Lƣu năm học 2019 -2020 37 184 32. Đề vào 10 Chuyên toán Vũng T|u năm học 2019 -2020 38 185 33. Đề vào 10 Chuyên toán Kon Tum năm học 2019 -2020 39 189 34. Đề vào 10 Chuyên toán Hà Nội (vòng 1) năm học 2019 -2020 40 194 35. Đề vào 10 Chuyên toán Hà Nội (vòng 2) năm học 2019 -2020 41 196 36. Đề vào 10 Chuyên toán An Giang năm học 2019 -2020 42 200 37. Đề vào 10 Chuyên toán Sƣ Phạm Hà Nội (vòng 1) 2019 -2020 43 204 38. Đề vào 10 Chuyên toán Hƣng Yên (vòng 2) 2019 -2020 44 207 39. Đề vào 10 Toán chung Kon Tum năm học 2019 -2020 45 210 40. Đề v|o 10 to{n chung Hƣng Yên năm học 2019-2020 46 212 41. Đề vào 10 toán chung Nam Định năm học 2019-2020 47 217 42. Đề vào 10 PTNK Hồ Chí Minh (vòng 1) năm học 2019-2020 48 222 43. Đề vào 10 PTNK Hồ Chí Minh (vòng 2) năm học 2019-2020 49 226 44. Đề vào 10 Chuyên Quảng Trị năm học 2019-2020 50 230 45. Đề vào 10 Chuyên toán Sƣ Phạm Hà Nội (vòng 2) 2019 -2020 51 232 ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  5. 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NGHỆ AN TRƢỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƢỜNG THPT CHUYÊN – TRƢỜNG ĐH VINH Năm học 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 1 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1. (6,0 điểm) a) Giải phƣơng trình - + - + = . ì + + = b) Giải hệ phƣơng trình í î + + = Câu 2. (3,0 điểm) a) Cho đa thức = + + ()ÎN thỏa mãn ()()- = Chứng minh ()()- là một số lẻ. b) Tìm các cặp số nguyên dƣơng () sao cho + + chia hết cho + + . Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số thực dƣơng thỏa mãn = + + + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = + + + + + Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn ()< nội tiếp đƣờng tròn () . Gọi l| điểm nằm chính giữa của cung nhỏ . Trên cạnh lấy điểm sao cho = , đƣờng thẳng cắt đƣờng tròn () tại ( khác ). C{c đƣờng thẳng và cắt cạnh lần lƣợt tại và . a) Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác . b) Chứng minh là trực tâm của tam giác . c) Gọi là trung điểm của , tia cắt đƣờng tròn () tại . Chứng minh đƣờng thẳng là tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác . Câu 5 (2,0 điểm). Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm n|o cũng l| đỉnh của một tam giác mà mỗi tam gi{c đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019. Hết Họ và tên .þþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþSố báo danh ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  6. 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 2 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1: ( 2,0 điểm) a) Cho x= 3 + 5 + 2 3 + 3 - 5 + 2 3 . Tính giá trị của biểu thức P= x() 2 - x . b) Cho ba số thỏa mãn ab+ bc + ca = 2019 .Chứng minh: a2 bc b 2 ca c 2 ab + + = 0 . a2+ 2019 b 2 + 2019 c 2 + 2019 Câu 2: ( 2,0 điểm) Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình sau: ì 1 1 + = + 2 2 ï 2 2 3 x y 3 ïx y a) x3 +() x + 1 = 9x + 8 . b) í . 1 1 ï + + = 3 3 3 3 3 x y îï x y Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( Với AB < AC ) nội tiếp đƣờng tròn tâm O. Đƣờng ph}n gi{c v| đƣờng phân giác ngoài của cắt đƣờng tròn () lần lƣợt tại D và E ( cùng khác A ). Gọi G là hình chiếu vuông góc của E lên cạnh AC, gọi M v| N tƣơng ứng l| trung điểm của c{c đoạn thẳng BC và BA. Gọi K l| trung điểm của đoạn thẳng GM, H l| giao điểm của đƣờng thẳng AB v| đƣờng thẳng MG, F l| giao điểm của đƣờng thẳng MN v| đƣờng thẳng AE. a) Chứng minh rằng hai đƣờng thẳng AD và GM song song. b) Chứng minh FH = MC. c) Chứng minh KE+ KN £ 2.EN . n5 + 29n Câu 4: ( 1,5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì cũng l| số nguyên. 30 b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên () sao cho 2() x2+ y 2 - 3x + 2y - 1 và 5() x2+ y 2 + 4x + 2y + 3 đều là số chính phƣơng. Câu 5: ( 1,5 điểm ) a) Cho các số thực thỏa mãn ()()()a4+ b 4 b 4 + c 4 c 4 + a 4 = 8 . Chứng minh rằng ()()()a2- abb + 2 b 2 - bcc + 2 c 2 - caa + 2 ³ 1 . b) Trƣớc ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận đƣợc bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn lớp 9A nhận đƣợc bút tổng cộng là 25. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  7. 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THANH HÓA NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 3 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm): 1/ Cho ba số thực dƣơng thõa mãn . Chứng minh rằng + + = + + + + + + 2/ Cho các số khác 0 thỏa mãn . Hãy tính giá trị của biểu thức = + + Câu 2 (2,0 điểm): 1/ Giải phƣơng trình + + + - + = () ì ï + + + = ï 2/ Giải hệ phƣơng trình í ï + + + = îï Câu 3 (2,0 điểm): 1/ Tìm tất cả các cặp số nguyên thõa mãn + = + + + . 2/ Cho hai số nguyên dƣơng x, y với x > 1 và thỏa mãn điều kiện 2x2 – 1 = y15. Chứng minh rằng x chia hết cho 15. Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giâc ABC nhọn nội tiếp đƣờng tròn (O) với AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt (O) tại D kh{c A. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đƣờng thẳng AC tại E kh{c C. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đƣờng thẳng AB tại F khác B. 1/ Chứng minh hai tam gi{c BDF, CDE đồng dạng. 2/ Chứng minh rằng ba điểm E, M, F thẳng hàng và ^ 3/ Đƣờng phân giác của góc BAC cắt EF tại điểm N. Đƣờng phân giác của góc CEN cắt CN tại P, đƣờng phân giác của góc BFN cắt BN tại Q. Chứng minh rằng PQ // BC. Câu 5 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đƣờng thẳng sao cho không có hai đƣờng thẳng n|o song song v| không có ba đƣờng thẳng n|o đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đƣờng thẳng trong số c{c đƣờng thẳng đã cho gọi l| tan gi{c đẹp nếu nó không bị đƣờng thẳng nào trong số c{c đƣờng thẳng còn lại cắt. Chứng minh rằng số tam gi{c đẹp không ít hơn 674. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  8. 7 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THANH HÓA NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên Tin) Đề số 4 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1. Chứng minh rằng: + + + = + + + 2. Cho là số thực âm thỏa mãn + = . Tính giá trị của biểu thức: = + Câu 2: (2,0 điểm) 1. Giải phƣơng trình: + = - ïì + - + = 2. Giải hệ phƣơng trình: í îï()+ - + = Câu 3: (2,0 điểm) 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phƣơng trình: - - + + = 2. Cho biểu thức: =()() + + - + + với a,b,c là các số nguyên dƣơng. Chứng minh rằng chia hết cho 30. Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ()< nội tiếp đƣờng tròn () có tâm là . Các đƣờng cao của tam giác cắt nhau tại . Đƣờng phân giác ngoài của cắt các cạnh lần lƣợt tại . Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác cắt đƣờng phân giác của tại điểm khác cắt tại điểm và cắt tại điểm . Chứng minh tam giác cân tại . Chứng minh là hình bình hành. Chứng minh giao điểm của hai đƣờng thẳng và thuộc đƣờng tròn () . Câu 5: (1,0 điểm) Với các số thực không âm thỏa mãn + + = , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =()()() + + + Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  9. 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 5 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. x+ 6 x - 9 + x - 6 x - 9 Bài 1. ( 2,0 điểm) a) Tìm giá GTNN biểu thức A = , với x> 9 . 81 18 - + 1 x2 x b) Tìm x thỏa 9x- 8 + 7x - 6 + 5x - 4 + 3x - 2 + x = 0. Bài 2. ( 2,0 điểm) a) Cho ba số thực dƣơng ph}n biệt thỏa + + = . Xét ba phƣơng trình bậc hai 4x2+ 4ax + b = 0,4x 2 + 4bx + c = 0,4x 2 + 4cx + a = 0 . Chứng minh rằng trong ba phƣơng trình trên có ít nhất một phƣơng trình có nghiệm và có ít nhất một phƣơng trình vô nghiệm. 1 b) Cho hàm số y= x2 có đồ thị ()P v| điểm A() 2;2 . Gọi l| đƣờng thẳng qua A có hệ số 2 góc m. Tìm tất cả các giá trị của m để cắt đồ thị () tại hai điểm A v| B, đồng thời cắt trục Ox tại điểm C sao cho AB= 3AC . Bài 3. ( 2,0 điểm) Giải phƣơng trình v| hệ phƣơng trình sau: ì 1 ï8xy+ 22y + 12x + 25 = a) x2 - 6x3() + x114x3x113 + + + + + = 0 b) í x3 ï 3 î y+ 3y =() x + 5 x + 2 Bài 4: ( 1,5 điểm) Trên nửa đƣờng tròn () đƣờng kính AB = 2r lấy điểm C khác A sao cho CA < CB. Hai tiếp tuyến của nửa đƣờng tròn () tại B, C cắt nhau ở M. Tia AC cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MCB tại điểm thứ hai là D. Gọi K l| giao điểm thứ hai của BD và nửa đƣờng tròn r2 3 () , P l| giao điểm của AK và BC. Biết rằng diện tích hai tam giác CPK và APB lần lƣợt là 12 r2 3 và , tính diện tích tứ giác ABKC. 3 Bài 5. ( 1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( BA < BC) nội tiếp trong đƣờng tròn () . Vẽ đƣờng tròn () đi qua A v| C sao cho () cắt c{c tia đối của tia AB và CB lần lƣợt tại c{c điểm thứ hai là D và E. Gọi M l| giao điểm thứ hai của đƣờng tròn () v| đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Chứng minh QM vuông góc BM. Bài 6. ( 1,0 điểm ) Ba bạn A,B,C cùng chơi một trò chơi: Sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể giống nhau ), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó. Sau đ}y l| c{c c}u đối thoại giữa B và C. B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhƣng chắc chắn C cũng không biết. C nói: Mới đầu thì tôi không biết nhƣng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa , số m| A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn. B nói: À, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi. Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ? ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  10. 9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐIỆN BIÊN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 6 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) æ2x+ 1 x ö æx- 4 ö (2,5 điểm). 1. Cho biểu thức =ç - ÷. x - với ³ và ¹ Câu 1 P ç ÷ ç ÷ èxx+ 1 x- x + 1 ø è x - 2 ø a) Rút gọn b) Tìm để P 2- x 0 . a b c Chứng minh rằng + + ³ 2. b+ c c + a a + b Câu 4 (3,0 điểm). 1. Cho tam gi{c nhọn ABC AB AC nội tiếp đƣờng tròn t}m I. Gọi E l| hình chiếu vuông góc của B trên đƣờng thẳng AI . T l| giao điểm của BE và đƣờng tròn t}m a) Chứng minh rằng tam gi{c c}n tại Từ đó suy ra AC l| đƣờng ph}n gi{c của góc BCT . b) Gọi M l| trung điểm của BC và D l| giao điểm của ME và AC . Chứng minh rằng BD AC. 2. Cho tam giác ABC, trên đƣờng trung tuyến AD lấy điểm I cố định ( khác và ). Đƣờng thẳng d đi qua I cắt c{c cạnh AB, AC lần lƣợt tại MN, . X{c định vị trí của đƣờng thẳng d để diện tích tam gi{c AMN đạt gi{ trị nhỏ nhất. Câu 5 (1,0 điểm). x+ y 2019 Tìm tất cả c{c số nguyên dƣơng thỏa mãn l| số hữu tỷ v| y+ z 2019 x2+ y 2 + z 2 l| số nguyên tố. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  11. 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 7 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) 1 1 1 1 Câu 1 (1,0 điểm) Tính tổng S= + + + + 3+ 1 5 + 3 7 + 5 20192+ 2019 2 - 2 2 Câu 2 (2,0 điểm) Cho phƣơng trình x- 2mx + m - 4 (1) (m là tham số). a) Chứng minh rằng phƣơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Với giá trị nào của m thì phƣơng trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: 2 2 x1 x 2 x1+ x 2 = + x2 x 1 Câu 3 (2,0 điểm) Giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình sau: ì 2 2 2 ï2 x+ y + 2 x - y = 4 + x - y a) 2x1- + 5x - = x22 - + - 2x + 11x5 - ; b) í . îï x+ y = 2 Câu 4 (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn (O) cố định v| điểm A cố định ở ngo|i đƣờng tròn (O). Từ A kẻ đƣờng thẳng tiếp xúc với đƣờng tròn (O) tại B. Một tia Ax thay đổi, nằm trong miền OAB , cắt đƣờng tròn (O) tại hai điểm C, D (C ở giữa A và D). Từ B kẻ BH vuông góc với AO tại H. Chứng minh rằng: a) Tích AC.AD không đổi; b) CHOD là tứ giác nội tiếp; c) Phân giác của CHD cố định. x4+ x 2 + x + 2 Câu 5 (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để A = nhận x4+ 3x 3 + 7x 2 + 3x + 6 giá trị là một số nguyên. b) Cho các số dƣơng a, b, c thỏa mãn a+ b + c = 4 . a a b b c c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + . a+ 3 b b + 3 c c + 3 a Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  12. 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HƢNG YÊN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 8 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1. (2 điểm) x x- 1 x x + 1 2(x+ 1) x 1. Cho hai biểu thức A = - + và B= x + 1 + với x- x x + x x x- 1 x> 0, x ¹ 1. a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm x để AB= . 2. Cho a, b l| hai số thực thỏa mãn 0< a < 1, 0 < b < 1, a ¹ b và a- b = 1 - b2 - 1 - a 2 Tìm gi{ trị của biểu thức Q= a2 + b 2 + 2019. Câu 2. (2 điểm) -1 3 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đƣờng thẳng (d) : y= x + và Parabol 2020 2020 (P) : y= 2x2 . Biết đƣờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm B và C. Tìm tọa độ điểm A trên trục ho|nh để AB- AC lớn nhất. 2. Tìm tất cả c{c nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình xy2- (y - 45) 2 + 2xy + x - 220y + 2024 = 0. Câu 3. (2 điểm) 1. Giải phƣơng trình 5x+ 11 - 6 - x + 5x2 - 14x - 60 = 0 . ïì4x2 y- xy 2 = 5 2. Giải hệ phƣơng trình . í 3 3 îï64x- y = 61 Câu 4. (3 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Lấy M l| điểm bất kì trên cạnh AB (,)MAMB¹ ¹ , qua A kẻ đƣờng thẳng vuông góc với CM tại H, DH cắt AC tại K. 1. Chứng minh rằng MK song song với BD. ON 2 2. Gọi N l| trung điểm của BC, trên tia đối của tia NO lấy điểm E sao cho = , DE OE 2 FO cắt OC tại F. Tính . FC 3. Gọi P l| giao điểm của MC và BD, Q l| giao điểm của MD và AC. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của diện tích tứ gi{c CPQD khi M thay đổi trên cạnh AB. 9 Câu 6. (1điểm). Với x, y l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện (2+ x)(y - 1) = . Tìm gi{ trị nhỏ 4 nhất của biểu thức A= x4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 2 + y 4 - 8y 3 + 24y 2 - 32y + 17 . Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  13. 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 9 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Bài 1 (2,0 điểm ): ì 2 2 2 2 ï()x+ xy + y x + y = 185 (1) Giải hệ phƣơng trình : í 2- + 2 2 + 2 = îï()x xy y x y 65 (2) Bài 2. (2,0 điểm) 4 a) Chứng minh rằng số M=() n + 1 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phƣơng kh{c 1 với mọi số n nguyên dƣơng. b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phƣơng trình x2- n 2 x + n + 1 = 0 (ẩn số x ) có các nghiệm là số nguyên. 1 Bài 3 (2.0 điểm ): Cho các số dƣơng thỏa : xyz = 2 yzxz xy Chứng minh : + + ³xy + yz + xz x2() y+ z y 2() x + z z 2 (x + y Bài 4 (3,0 điểm ): Cho tam giác cân tại ()< ° nội tiếp đƣờng tròn () .Gọi là một điểm trên cung không chứa ( khác ).Hai dây cung và kéo dài tại .Đƣờng thẳng qua song song với cắt tại .Vẽ tiếp tuyến với đƣờng tròn () ( là tiếp điểm ) a)Chứng minh : = b)Từ trung điểm của vẽ ^ Î .Gọi l| trung điểm của .Chứng minh : ^ Bài 5 (1,0 điểm ): Trong một buổi tổ chức lễ tuyên dƣơng c{c học sinh có thành tích học tập xuất sắc của một huyện, ngoại trừ bạn An , hai ngƣơi bất kì đều bắt bắt tay nhau .An chỉ bắt tay với những ngƣời mình quen .Biết rằng một cặp ( hai ngƣời ) chỉ bắt tay không quá 1 lần và có tổng cộng 420 bắt tay.Hỏi bạn An có bao nhiêu ngƣời quen trong buổi lễ tuyên dƣơng đó ? Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  14. 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 10 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,0 điểm) æx+ 3 x + 2 x + 2 ö æ x - 2 ö Cho biểu thức: A=ç + + ÷ : - 1 ç ÷ ç ÷ èx23- - xx5x6 - + ø è x - x2 - ø a) Rút gọn biểu thức A. 1 b) Tìm x để P= 2.A - đạt gi{ trị lớn nhất. x Câu 2. (3,0 điểm) a) Giải PT: x2 + 6x + 8 = 3 x + 2 . ìx2+ y 2 + 2x + 2y = (x + 2)(y + 2) ï 2 2 b) Giải hệ PT: íæx ö æy ö ïç ÷ +ç ÷ = 1 îèy+ 2 ø è x + 2 ø Câu 3. (1,5 điểm) Cho tam gi{c ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi M, N lần lƣợt l| trung điểm của AC, AD. Đƣờng thẳng qua B v| song song với AD cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ gi{c NAEB l| hình chữ nhật. b) Chứng minh góc ACE = DCN. Câu 4. (1,5 điểm) a b c 1 a) Tồn tại hay không 3 số a, b, c thỏa mãn = = = b2 ca c 2 ab a 2 bc 2019 x2+ y 2 85 b) Tìm tất cả c{c cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn = x+ y 13 Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai đƣờng tròn (O) v| (O') cắt nhau tại M, N. Kẻ d}y MA của đƣờng tròn (O) tiếp xúc với (O') v| d}y MB của đƣờng tròn (O') tiếp xúc với (O). Đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c MAB cắt đƣờng thẳng MN tại P (P kh{c M). CMR: PN = MN. Câu 6. (1,0 điểm) Cho c{c số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. CMR: ab2+ 1bc + 2 + 1ca + 2 + 1 ³ 2. Dấu "=" xảy ra khi n|o? Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  15. 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 11 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Bài 1(2,0 điểm) æ ö + a.Cho các biểu thức: =ç - + ÷ (với ³ ) è+ - + + ø - + Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để ³ b. Cho phƣơng trình x2 + 4x – m = 0 (1) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phƣơng æ ö trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn ç+ ÷() + = + è ø Bài 2. (2,0 điểm). a. Giải phƣơng trình 2x2 + 3x – 2 = (2x - 1) + - ïì + = b. Giải hệ phƣơng trình í îï + = + Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đƣờng tròn (O) ( AB < AC). Kẻ đƣờng cao AH ( H ÎBC) của tam giác ABC và kẻ đƣờng kính AD của đƣờng tròn (O). a. Gọi M l| trung điểm của đoạn thẳng DH. Chứng minh OM l| đƣờng trung trực của đoạn thẳng BC. b. Gọi S, T l| c{c giao điểm của đƣờng tròn (O) với đƣờng tròn tâm A bán kính AH; F là giao điểm của ST và BC. Từ A kẻ đƣờng thẳng vuông góc với DH tại E. Chứng minh = v| 3 điểm F, E, A thẳng hàng. c. Chứng minh đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BCM tiếp xúc với đƣờng tròn tâm A bán kính AH. Bài 4 (1,0 điểm)Cho x, y, z là 3 số thực dƣơng thỏa mãn ()()- + - = . Tìm giá trị + + nhỏ nhất của biểu thức = + + + + + Bài 5: (2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên tố p, q thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) + chia hết cho + ii) + chia hết cho - b) Viết lên bảng 2019 số: . Từ các số đã viết xo{ đi 2 số bất kì x, y rồi viết lên bảng số ( các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác + + trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu? Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  16. 15 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NINH NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 12 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1. (1,5 điểm) - - + - - Cho biểu thức = + - (với ³ ). + + + + a) Rút gọn biểu thức ; b) Tìm giá trị lớn nhất của . Câu 2. (2,5 điểm) 1. Giải phƣơng trình: + + - -()() + - = . ïì =()() - + 2. Giải hệ phƣơng trình: í . îï =()() + - Câu 3. (1,0 điểm) ïì = + Tìm các số nguyên không âm thỏa mãn: í . îï + = + Câu 4. (3,5 điểm) Cho đƣờng tròn , đƣờng kính , điểm nằm trên đoạn ( khác và ). Từ kẻ đƣờng thẳng vuông góc với cắt () tại hai điểm và . Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của trên . Đƣờng thẳng cắt () tại điểm thứ hai . a) Chứng minh tứ giác nội tiếp; b) Tiếp tuyến tại của () cắt đƣờng thẳng tại . Gọi () l| đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác (điểm l| t}m đƣờng tròn). Chứng minh đƣờng thẳng là tiếp tuyến của (); c) Gọi l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác . Biết = , tính diện tích tam giác theo . Câu 5. (1,5 điểm) 1. Cho các số thực thỏa mãn: £ , £ , £ và + + = . Chứng minh: + + £ . 2. Cho trƣớc p là số nguyên tố. Trên mặt phẳng tọa độ , lấy hai điểm () và () thuộc trục . Có bao nhiêu tứ giác nội tiếp sao cho các điểm thuộc trục v| đều có tung độ là các số nguyên dƣơng. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  17. 16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 13 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm). æx+ 2 2 x + 8 ö x2 - x x + x - 1 a) Cho biểu thức A =ç - ÷ × với ³ . ç ÷ x 0 èx- x + 1 x x + 1 ø x + 3 Rút gọn biểu thức A và tìm x để = . b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n, số M= 9.34n - 8.2 4n + 2019 chia hết cho 20. Câu 2 (1,0 điểm). Cho parabol (P) : y= - x2 v| đƣờng thẳng (d) : y= x + m - 2. Tìm tất cả c{c gi{ trị của tham số m để cắt tại hai điểm ph}n biệt lần lƣợt có ho|nh độ thỏa mãn 2 2 x1+ x 2 . Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam gi{c nhọn ABC < nội tiếp đƣờng tròn v| có trực t}m H. Ba điểm D, E, F lần lƣợt l| ch}n c{c đƣờng cao vẽ từ A, B, C của tam gi{c ABC. Gọi I l| trung điểm của cạnh BC, P l| giao điểm của EF v| BC. Đƣờng thẳng DF cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c HEF tại điểm thứ hai l| K. a) Chứng minh = v| KE song song với BC. b) Đƣờng thẳng PH cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c HEF tại điểm thứ hai l| Q. Chứng minh tứ gi{c BIQF nội tiếp đƣờng tròn. Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dƣơng thỏa mãn = . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của 2 2 2 ()1a+ + b51b2 +() + + c51c 2 +() + + a5 2 + biểu thức: P = + + × ab+ a + 4 bc + b + 4 ca + c + 4 Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  18. 17 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 14 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm). Cho parabol () = v| đƣờng thẳng đi qua điểm () có hệ số góc . a) Chứng minh rằng đƣờng thẳng luôn cắt () tại hai điểm ph}n biệt với mọi gi{ trị . b) Chứng minh D l| tam gi{c vuông với mọi gi{ trị k (O l| gốc tọa độ). Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phƣơng trình . b) Giải hệ phƣơng trình . Câu 3 (1,0 điểm) Cho l| c{c số dƣơng thỏa mãn + + = . Chứng minh rằng: + + + + + + + + ³ Câu 4 (3,5 điểm). Cho hình chữ nhật có = = > . Đƣờng thẳng vuông góc với tại cắt c{c đƣờng thẳng và lần lƣợt tại và a) Chứng minh tứ gi{c nội tiếp. b) Gọi l| giao điểm của c{c đƣờng thẳng và . Tính độ d|i đoạn thẳng theo c) l| điểm thay đổi trên cạnh (M khác A, M khác B), đƣờng thẳng CM cắt đƣờng thẳng AD tại N. Gọi l| diện tích của tam gi{c CME và l| diện tích của tam giác AMN. X{c định vị trí của M sao cho = Câu 5 (1,5 điểm). Cho l| số nguyên tố. Chứng minh rằng phƣơng trình + + = không có nghiệm hữu tỉ. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  19. 18 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 15 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm) 1 1 a) Cho số thực thỏa mãn x+ = 3. Tính gi{ trị biểu thức P= x3 + . x x3 1 1 b) Giải phƣơng trình + = 1. x+ 1 x - 1 Câu 2 (2,0 điểm) a) Cho l| c{c số thực dƣơng, chứng minh rằng + ³ + b) Có 15 bạn học sinh nam v| 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một b|n tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một học sinh m| 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều l| nữ. Câu 3 (2,0 điểm) Với mỗi số thực kí hiệu ëéx ûù l| số nguyên lớn nhất không vƣợt qu{ é ù é3 ù Ví dụ 2= 1;ê - ú = - 2 ë û ë2 û a) Chứng minh rằng x- 1 <ëé x ûù £ x < ëé x ûù + 1 = ëé x + 1 ûù với mọi Î £ é ù b) Có bao nhiêu số nguyên dƣơng n 840 thỏa mãn ën û l| ƣớc của Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác vuông tại đƣờng cao ()Î Gọi ()w là đƣờng tròn t}m bán kính Gọi l| một điểm bất kì trên đoạn thẳng ( khác và ). cắt ()w tại hai điểm ( nằm giữa và ). Gọi l| trung điểm a) Chứng minh rằng l| tứ gi{c nội tiếp. b) Chứng minh rằng = = c) Chứng minh rằng đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c tiếp xúc với ()w tại n2019 1 Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dƣơng sao cho < 2n 2020 Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  20. 19 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN CẦN THƠ NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 16 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 02 trang) x- 4(x - 1) + x + 4(x - 1) æ1 ö Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A= .ç 1 - ÷ , trong đó x2 4(x 1) èx- 1 ø x> 1,x ¹ 2. a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên. Câu 2. (1,0 điểm) Anh Bình vừa tốt nghiệp loại xuất sắc nên đƣợc nhiều công ty mời về làm việc, trong đó có hai công ty A v| B. Để thu hút ngƣời tài, cả hai công ty đƣa ra hình thức trả lƣơng trong thời gian thử việc nhƣ sau: Công ty A: Anh Bình đƣợc nhận 1400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi tháng sẽ đƣợc trả lƣơng 1700USD. Công ty B: Anh Bình đƣợc nhận 2400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi tháng sẽ đƣợc trả lƣơng 1500USD. Em hãy tƣ vấn giúp anh Bình lựa chọn công ty để thử việc sao cho tổng số tiền nhận đƣợc là nhiều nhất. Biết thời gian thử việc của cả hai công ty đều từ 3 th{ng đến 8 tháng. 2 4 Câu 3. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đƣờng thẳng (d1 ) : y= m x - m + 2 m2 và (d ) : y= x + 2 (m là tham số thực khác 0). Tìm tất cả giá trị của tham số m để ()d 2 m2 +1 1 15 và ()d cắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích của hình thang ABHK bằng . 2 2 Biết B(- 1;2) v| hai điểm H, K lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của B và A lên trục hoành. Câu 4. (3,0 điểm) a) Giải phƣơng trình 2x2+ 3x + 2 + 4x 2 + 6x + 21 = 11. ïìx2+ y 2 + xy = 1 b) Giải hệ phƣơng trình . í 2 2 îïx+ y - xy = 2y - x c) Tìm tất cả cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2020(x2+ y 2 ) - 2019(2xy + 1) = 5 ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  21. 20 Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân có AB < AC, trực t}m H v| đƣờng trung tuyến AM. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên AM, D l| điểm đối xứng của A qua M v| L l| điểm đối xứng của K qua BC. a) Chứng minh các tứ giác BCKH và ABLC nội tiếp. b) Chứng minh LAB= MAC . c) Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AL, X l| giao điểm của AL và BC. Chứng minh đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c IXM v| đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BHC tiếp xúc với nhau. Câu 6. (1,0 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực bất kỳ và x, y, z là các số thực dƣơng. Chứng minh: a2 b 2 c 2 (a+ b + c)2 + + ³ x y z x+ y + z a3+ 8 b 3 + 8 c 3 + 8 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + , với a, a3 (b+ c) b 3 (c + a) c 3 (a + b) b, c là các số thực dƣơng thỏa mãn abc = 1. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  22. 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Đề số 17 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1: (1,5 điểm) 3x+ 9x - 3 x + 1 x - 2 a) Rút gọn biểu thức P.= - - Tìm x để = x+ x - 2 x + 2 x - 1 b) Cho x, y l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện (x+ x2 + 1)( y + y 2 + 1) = 2. Tính gi{ trị của biểu thức Q= x y2 + 1 + y x 2 + 1. Câu 2: (2,0 điểm) 1 a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y= x2 và đƣờng thẳng 2 1 (d): y= x + 3. Gọi A(x ;y ),B(x ;y ) (với x< x ) là các giao điểm của (P) v| (d), 2 AABB AB C(xCC ; y ) l| điểm thuộc (P) sao cho xACB< x < x . Tìm gi{ trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC. ïìx3 (x- y) + x 2 y 2 = 1 b) Giải hệ phƣơng trình . í 2 îïx (xy+ 3) - 3xy = 3 Câu 3: (1,5 điểm) a) Giải phƣơng trình x332x3+ + - + x1 - + 2x3 - = 22. b) Cho phƣơng trình (ẩn x) x2 + (m - 1)x + m - 6 = 0. Tìm tất cả c{c gi{ trị của m để 2 2 phƣơng trình có hai nghiệm sao cho biểu thức A= (x1 - 4)(x 2 - 4) có gi{ trị lớn nhất. Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam gi{c nhọn ABC có < v| trực t}m l| T. Gọi H l| ch}n đƣờng cao kẻ từ A của tam gi{c ABC v| D l| điểm đối xứng với T qua đƣờng thẳng BC; I v| K lần lƣợt l| hình chiếu vuông góc của D trên AB v| AC; E v| F lần lƣợt l| trung điểm của AC v| IH. a) Chứng minh ABDC l| tứ gi{c nội tiếp v| hai tam gi{c ACD v| IHD đồng dạng. b) Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng h|ng v| DEF l| tam gi{c vuông. c) Chứng minh = + Câu 5: (2,0 điểm) a) Cho ba số dƣơng x, y, z thỏa mãn = Chứng minh x2y 4z 1 + + £ . 2x2+ y 2 + 5 6y 2 + z 2 + 6 3z 2 + 4x 2 + 16 2 22020 b) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho là số nguyên ? 3x+ 1 Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  23. 22 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐĂK NÔNG NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 18 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) æ1 3a+ 5 ö æ ( a + 1)2 ö Câu 1: (1,0 điểm) Cho biểu thức P =ç + ÷.ç - 1 ÷ . ç ÷ ç ÷ èa -1 a a- a - a +1 ø è 4 a ø Tìm điều kiện x{c định và rút gọn biểu thức . Câu 2: (1,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình - = + . Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phƣơng trình ()()()- - - = . ïì + + = b) Giải hệ phƣơng trình í . îï + - = Câu 4: (1,0 điểm) Quãng đƣờng từ Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột dài 120 km. Một ngƣời dự định đi xe m{y từ Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột với vận tốc không đổi. Sau khi đi đƣợc 45 phút, ngƣời ấy dừng lại nghỉ 15 phút. Để đến thành phố Buôn Ma Thuột đúng thời gian đã dự định, ngƣời đó phải tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đƣờng còn lại. Tính vận tốc của ngƣời đi xe m{y theo dự định ban đầu. Câu 5: (1,0 điểm) Tìm để phƣơng trình -() + + = ( là ẩn, là tham số) có hai nghiệm thỏa mãn - = - . Câu 6: (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn () đƣờng kính . Kẻ hai đƣờng thẳng và ¢ lần lƣợt là hai tiếp tuyến tại các tiếp điểm và của đƣờng tròn () . Điểm thuộc đƣờng tròn () ( khác và ), tiếp tuyến tại của đƣờng tròn () cắt ¢ lần lƣợt tại và . Đƣờng thẳng cắt tại . a) So s{nh độ d|i c{c đoạn thẳng . b) Đƣờng thẳng cắt hai đƣờng thẳng ¢ lần lƣợt tại và . Chứng minh các điểm cùng thuộc một đƣờng tròn. c) Giả sử = tính độ d|i đoạn thẳng theo . Câu 7: (1,0 điểm) Cho hai số thực thỏa mãn £ £ £ £ . Tìm giá trị lớn nhất và æ öæ ö giá trị nhỏ nhất của biểu thức =ç + ÷ç + ÷ . è øè ø Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  24. 23 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 19 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Bài 1. (2,0 điểm) 2 2 Giải phƣơng trình 2+ - 2 - 19 = 4 + 74 ïì 2 +3 - 6 = 0 Giải hệ phƣơng trình í 2 2 4 îï9- 6 + - 3 + 9 = 0 Bài 2. (2,5 điểm) 2+ 3 - 1 2 + Cho biểu thức = + - với >0 ¹ 1. Rút gọn và tìm giá trị - + nhỏ nhất của biểu thức Cho hai số thực thỏa mãn 2+4 - 7 2 = 0 ( ¹ và ¹ - ). Tính giá trị của 2 3 2 biểu thức = + - + Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai đƣờng thẳng ()()= +2 - + 1 và ()()+ +2 = + 2 trong đó là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đƣờng thẳng nói trên thuộc một đƣờng cố định khi thay đổi. Bài 3. (1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình + +3 + 1 = + Số tự nhiên =1116 có tất cả bao nhiêu ƣớc số nguyên dƣơng ph}n biệt? Tính tích của tất cả c{c ƣớc số đó. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đƣờng tròn () có hai đƣờng kính và vuông góc với nhau. Gọi l| điểm di động trên đoạn thẳng ( khác và ). Tia cắt đƣờng tròn () tại ; cắt tại ; cắt tại Chứng minh ∥ Chứng minh D đồng dạng với D , từ đó suy ra diện tích tứ giác không đổi khi di động trên đoạn thẳng 2 æ ö Chứng minh hệ thức = ç ÷ è ø X{c định vị trí của điểm trên đoạn thẳng để là tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác . Tính theo trong trƣờng hợp đó Bài 5. (0,5 điểm)Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô ngƣời ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó thực hiện qu{ trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lƣợt theo c{c bƣớc sau: Bƣớc 1: Các ô ở dòng thứ đều đƣợc đổi dấu lần, =1 2 2019 Bƣớc 2: Các ô ở cột thứ đều đƣợc đổi dấu 3+ 1lần, =1 2 2019 Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong qu{ trình đổi dấu trên. ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  25. 24 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TÂY NINH NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 20 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1: (1,0 điểm) Giải phƣơng trình x4+ x 2 -20 = 0 ()2a 2 2() a 1 Câu 2: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức T = với a>0, a ¹ 4 . a a 2 Câu 3: (1,0 điểm) Cho hình thang cân ABCD() AB// CD có CD=2 AD = 2 AB = 8. Tính diện tích của hình thang c}n đó. ïìx2-5 xy + x - 5 y 2 = 42 Câu 4: (1,0 điểm) Giải hệ phƣơng trình . í 2 îï7xy+ 6 y + 42 = x Câu 5: (1,0 điểm) Cho hai phƣơng trình x2 +6 ax + 2 b = 0 và x2 +4 bx + 3 a = 0 với a, b l| c{c số thực. Chứng minh nếu 3a+ 2 b ³ 2 thì ít nhất một trong hai phƣơng trình đã cho có nghiệm. Câu 6: (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd sao cho abcd= k2() k Î * và ab- cd =1(c{c chữ số tự nhiên a,,, b c d có thể giống nhau). Câu 7: (1,0 điểm) Cho tam gi{c nhọn ABC có BAC = 60 và AB< AC . Đƣờng tròn t}m I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lƣợt tại D và E . Kéo dài BI, CI lần lƣợt cắt DE tại F và G , gọi M l| trung điểm BC . Chứng minh tam gi{c MFG đều. Câu 8: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đƣờng tròn ()O có tâm O . a)(1,0 điểm) Trên cung nhỏ AB của đƣờng tròn ()O lấy điểm D (khác AB, ). Gọi K l| giao điểm thứ hai của đƣờng tròn t}m A bán kính AC với đƣờng thẳng BD . Chứng minh AD l| đƣờng trung trực của CK . b)(1,0 điểm) Lấy P l| điểm bất kỳ trên đoạn OC (khác OC, ). Gọi EF, lần lƣợt l| hình chiếu vuông góc của P trên AB v| AC. Gọi Q l| điểm đối xứng của P qua đƣờng thẳng EF . Chứng minh Q thuộc đƣờng tròn ()O . Câu 9: (1,0 điểm) 3 Chứng minh ()()()x+ y + z +9 xyz ³ 4 x + y + z xy + yz + zx với x,, y z l| c{c số thực không }m. Đẳng thức xảy ra khi n|o? Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  26. 25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 21 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Bài 1 (5,0 điểm). 1.Tính gi{ trị biểu thức A = x3+ y 3 - 3() x + y , biết rằng x=3 3 + 2 2 + 3 3 - 2 2 ; y=3 17 + 12 2 + 3 17 - 12 2 1 1 1 2. Cho hai số thức khác thỏa mãn + = m n 2 Chứng minh rằng phƣơng trình ()()x2+ mx + n x 2 + nx + m = 0 luôn có nghiệm 2 ïìx+ xy + y = 1 Bài 2. (5,0 điểm) 1. Giải hệ phƣơng trình í îï x-3 y + 4x = 5 2. Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: + + + = + + Bài 3 (3,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng cho điểm m| diện tích của mọi tam gi{c với c{c đỉnh l| các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số c{c điểm đã cho có thể tìm đƣợc điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam gi{c có diện tích không lớn hơn 1. 2. Cho l| c{c số thực không }m thỏa mãn + + = . Chứng minh rằng + + + + + £ Bài 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giác vuông c}n tại . Gọi l| trung điểm của cạnh . Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn ( không trùng với ). Gọi theo thứ tự l| hình chiếu vuông góc của trên c{c cạnh và l| hình chiếu vuông góc của lên đƣờng thẳng a) Chứng minh rằng vuông góc với b) Đƣờng thẳng qua song song với cắt đƣờng trung trực của tại . Chứng minh ba điểm thẳng h|ng. 2. Cho tam gi{c nhọn nội tiếp đƣờng tròn () đƣờng cao Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng + ³ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  27. 26 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH PHƢỚC NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 22 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) x x- 32() x- 3 x + 3 Câu 1. (2,0 đ) Cho biểu thức A = - + x- 2 x - 3 x + 1 3 - x a. Rút gọn A b. Tính giá trị của A khi x= 4 - 2 3 Câu 2. (1,0 đ) Cho phƣơng trình x2 -()() m + 2 x + 3m - 3 = 0 1 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phƣơng trình 1 có hai nghiệm dƣơng ph}n biệt x1, x 2 sao cho x1, x 2 l| độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 5 Câu 3. (2,0 đ) a. Giải phƣơng trình x+ 4 - x2 = 2 + 3x 4 - x 2 ïì2x3+ 2x 2 y - xy = y 2 - x - y b. Giải hệ phƣơng trình í 3 2 îï2x- xy + x = 4 Câu 4. ( 3,0 đ). Cho đƣờng tròn OR; v| đƣờng tròn OR'; ' cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B . Trên tia đối của tiaAB lấy điểm C . Kẻ tiếp tuyến CD, CE với đƣờng tròn OR; , trong đó DE, là các tiếp điểm và E nằm trong đƣờng tròn OR'; ' . Đƣờng thẳng AD, AE cắt đƣờng tròn OR'; ' lần lƣợt tại M và N (M ,N khác A ). Tia DE cắt MN tại I . Chứng minh rằng: a. Tứ giácBEIN nội tiếp b. MIB AEB c. O' I MN Câu 5. ( 1,0 đ) a. Giải phƣơng trình nghiệm nguyên 4y2= 2 + 199 - x 2 - 2x b. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p, q sao cho p2- 2q 2 = 41 Câu 6 (1,0 đ) a. Cho x, y là các số thực dƣơng thỏa mãn xy£ 1 chứng minh rằng: 1 1 2 + £ 1+ x 1 + y 1+ xy 3 b. Cho x, y là các số thực dƣơng thỏa mãn điều kiện ()x+ y + 4xy £ 12 1 1 Tìm GTLN của P= + + 2018xy 1+ x 1 + y Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  28. 27 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC NINH NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 23 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 02 trang) Câu 1. (2,0 điểm) x4- 2x 3 + 3x 2 - 38x + 5 a) Tính gi{ trị của biểu thức A = khi x= 2 + 3 . x2 - 4x + 5 b) Cho hai h|m số y= x2 và y=() m - 1 x - 1 (với m l| tham số) có đồ thị lần lƣợt l| P và d . Tìm m để P cắt d tại hai điểm ph}n biệt A() x1 ; y 1 , B() x2 ; y 2 sao cho 3 3 3 3 y1- y 2 = 18() x 1 - x 2 . Câu 2. (2,5 điểm) 2 ïìy+ 2xy + 4 = 2x + 5y a) Giải hệ phƣơng trình í . 2 4 îï5x+ 7y - 18 = x + 4 b) Cho c{c số thực không }m x,y,z thỏa mãn x+ y + z = 3. Tìm gi{ trị lớn nhất, gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức M= x2 - 6x25 + + y 2 - 6y25 + + z 2 - 6z25 + . Câu 3. (1,5 điểm) a) Tìm tất cả c{c cặp số nguyên dƣơng x; y thỏa mãn ()xy+ x + y() x2 + y 2 + 1 = 30. b) Cho n l| số nguyên dƣơng thỏa mãn 12n2 1 l| số nguyên. Chứng minh rằng 2 12n2 1 2 l| số chính phƣơng. Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB AC . C{c đƣờng cao AD,, BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . Gọi O l| đƣờng tròn ngoại tiếp tứ gi{c DHEC , trên cung nhỏ EC của đƣờng tròn O lấy điểm I (kh{c điểm E ) sao cho IC IE . Đƣờng thẳng DI cắt đƣờng thẳng CE tại điểm N , đƣờng thẳng EF cắt đƣờng thẳng CI tại điểm M . a) Chứng minh rằng NI ND NE NC . b) Chứng minh rằng đƣờng thẳng MN vuông góc với đƣờng thẳng CH . ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  29. 28 c) Đƣờng thẳng HM cắt đƣờng tròn O tại điểm K (khác điểm H ), đƣờng thẳng KN cắt đƣờng tròn O tại điểm G (kh{c điểm K ), đƣờng thẳng MN cắt đƣờng thẳng BC tại điểm T . Chứng minh rằng ba điểm HTG,, thẳng h|ng. Câu 5. (1,0 điểm) Cho 2020 c{i kẹo v|o 1010 chiếc hộp sao cho không có hộp n|o chứa nhiều hơn 1010 c{i kẹo v| mỗi hộp chứa ít nhất 1 c{i kẹo. Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp m| tổng số kẹo trong c{c hộp đó bằng 1010 cái. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  30. 29 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH DƢƠNG NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 24 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 02 trang) Câu 1: (3 điểm) a) Giải phƣơng trình: ()+ +( () - + - +) = b) Cho parabol ()()= > v| đƣờng thẳng = - . Tìm để cắt () tại hai điểm phân biệt có ho|nh độ sao cho = + đạt + giá trị nhỏ nhất. Câu 2: (1,5 điểm) Giả sử ba số thực thỏa mãn điều kiện > , = , + + = . Chứng minh + rằng: ³ . Câu 3: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: =() + - + - + tại - = . + - b) Tìm tất cả các số nguyên cho là một số nguyên. + Câu 4: (3,5 điểm) Cho điểm thuộc nữa đƣờng tròn () đƣờng kính ()¹ ¹ < . Tia phân giác của góc cắt tại . Qua vẽ đƣờng thẳng vuông góc với cắt c{c đƣờng thẳng theo thứ tự tại . a) Chứng minh rằng: = . b) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên tiếp tuyến tại của () là hình chiếu vuông góc của trên tiếp tại của. Chứng minh rằng: thẳng hàng. c) Gọi theo thứ tự là diện tích của các từ giác và . Chứng minh rằng: < × . Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  31. 30 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 25 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 02 trang) Câu 1 (2,0 điểm) æ ö æ+ + + ö a) Rút gọn biểu thức: =ç - ÷ ç - + ÷ è+ ø è - - - + ø -( + ) b) Tính gi{ trị biểu thức = + - tại = + + Câu 2 (2,0 điểm) Cho phƣơng trình - + - = a) Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm dƣơng ph}n biệt b) Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn biểu thức + = đạt gi{ trị nhỏ nhất + + + Câu 3 (1,0 điểm) Giải phƣơng trình: - + + = + Câu 4 (3,0 điểm) Từ một điểm I nằm ngo|i đƣờng tròn t}m O kẻ hai tiếp tuyến IA v| IB đến đƣờng tròn (A, B l| c{c tiếp điểm). Tia Ix nằm giữa hai tia IA v| IB, Ix không đi qua O v| cắt đƣờng tròn (O) tại C v| E (E nằm giữa C v| I), đoạn IO cắt AB tại M. Chứng minh: a) Tứ gi{c OMEC nội tiếp b) = æ ö c) ç ÷ = è ø Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c £ 3. Chứng minh rằng + ³ + + + + Câu 6 (1,0 điểm) Trong c{c tam gi{c có cạnh đ{y bằng a, chiều cao tƣơng ứng l| h (a, h cho trƣớc, không đổi). Hãy tìm tam gi{c có b{n kính đƣờng tròn nội tiếp lớn nhất. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  32. 31 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TIỀN GIANG NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 26 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Bài 1: (3,0 điểm) 1. Cho = + + - - . Tính gi{ trị biểu thức =() + + 2. Giải phƣơng trình: + + = + ïì()- - + + - = - 3. Giải hệ phƣơng trình: í îï + = Bài 2: (3,0 điểm) 1. Cho parabol (P): = , c{c đƣờng thẳng (d1): = - . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d2), biết d2 vuông góc với d1 và d2 cắt (P) tại hai điểm ph}n biệt A, B sao cho = , với I l| trung điểm của đoạn AB. 2. Cho phƣơng trình + + - = (1), với m l| tham số. Tìm gi{ trị của m để (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn ()()- - + = 3. Cho hai số dƣơng x, y thỏa mãn ()+ +()()() + - = + + . Tìm æ ö gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức =ç + + ÷ è ø Bài 3: (1,0 điểm) Tìm tất cả c{c cặp số nguyên () thỏa mãn ()+ +()- + + + = Bài 4: (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn (O) đƣờng kính AB. Trên cùng mặt phẳng bờ AB, vẽ c{c tiếp tuyến Ax, By của (O). Trên (O), lấy điểm C (CA < CB) v| trên đoạn thẳng OA lấy điểm D (D kh{c O, A). Đƣờng thẳng vuông góc với CD tại C cắt Ax, By lần lƣợt tại E, F. AC cắt DE tại G, BC cắt DF tại H, OC cắt GH tại I. 1. Chứng minh hai tam gi{c AGE, FHC đồng dạng v| I l| trung điểm của GH. 2. Gọi J, K lần lƣợt l| trung điểm của DE, DF. Chứng minh I, J, K thẳng h|ng. 3. Gọi M l| giao điểm của JO v| DK. Chứng minh tam gi{c JOK vuông v| ba đƣờng thẳng DE, IM, KO đồng quy. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  33. 32 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 27 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Bài 1. (2 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ , cho (P) y= x2 v| đƣờng thẳng (d) y= 2mx + 2m + 3 a/ Chứng minh đƣờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b/ Gọi y1 ,y 2 lần lƣợt l| tung độ c{c giao điểm của đƣờng thẳng (d) và (P). Tìm tất cả các giá trị để y1+ y 2 £ 5. Bài 2. (2điểm) a/ Cho A= 20 + 2 1 + 2 2 + + 2 2019 và B= 22020 . Chứng minh rằng: là hai số tự nhiên liên tiếp. 2x2- 3x + 10 x 2 - 2x + 4 b/ Giải phƣơng trình: = 3 x+ 2 x + 2 Bài 3. (3 điểm) Cho hai đƣờng tròn và ¢ không cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân biệt và . Các tiếp tuyến tại của và ¢ cắt ¢ và lần lƣợt tại và . Trên đƣờng thẳng lấy sao cho l| trung điểm đoạn . a/ chứng minh hai tam giác và đồng dạng b/ Chứng minh MB2 = BD.BC c/ Chứng minh là tứ giác nội tiếp Bài 4. (2 điểm) 1 2 a/ Chứng minh rằng với mọi số thực a, b luôn có: a2+ b 2 ³() a + b và 2 1 2 ab£() a + b 4 b/ Cho là các số thực dƣơng thỏa mãn 5() x2+ y 2 + z 2 - 9x() y + z - 18yz = 0 . 2x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = y+ z Bài 5. (1 điểm) Huyện KS có 33 công ty, huyện KV có 100 công ty. Biết rằng, mỗi công ty của huyện KS hợp tác với ít nhất 97 công ty huyện KV. Chứng minh rằng có ít nhất một công ty của huyện KV hợp tác với tất cả các công ty của huyện KS. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  34. 33 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 28 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1: (1,0 điểm). Cho là ba số thực thỏa điều kiện + + = . Tính giá trị của biểu thức: = + + -()() + - . Câu 2: (2,5 điểm). Giải phƣơng trình: - - + = - . ïì ()+ - = Giải hệ phƣơng trình: í . îï ()+ - = - Câu 3: (1,5 điểm). Đƣờng tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh , , lần lƣợt tại , , . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh: là tia phân giác . Câu 4: (2,0 điểm). Cho là các số thực thuộc đoạn [] thỏa mãn điều kiện + + = . Chứng minh rằng: + + < . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: = + + - . Câu 5: (2,0 điểm). Cho tam gi{c đều . Gọi , l| hai điểm nằm trên cạnh sao cho = ° ( nằm giữa và ). Gọi l| giao điểm của hai đƣờng tròn () và (). Chứng minh rằng: Hai điểm và đối xứng với nhau qua . Đƣờng thẳng đi qua t}m đƣờng tròn (). Câu 6: (1,0 điểm). Cho là hai số nguyên. Chứng minh rằng: nếu ()+ + chia hết cho thì cũng chia hết cho . Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  35. 34 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẠC LƢU NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 29 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 02 trang) Câu 1: ( 4 điểm) a) Chứng minh rằng số có dạng A= n6 - n 4 + 2n 3 + 2n 2 không phải là số chính phƣơng, trong đó nÎ N,n > 1 . b) Rút gọn biểu thức: B=() 13 - 43() 7 + 43 - 820 + 243 + 243 . Câu 2: ( 4,0 điểm) a) Một ngƣời mang trứng ra chợ bán. Tổng số trứng b{n ra đƣợc tính nhƣ sau: Ngày thứ nhất b{n đƣợc 8 trứng và số trứng còn lại. Ngày thứ hai b{n đƣợc 16 trứng và số trứng còn lại. Ngày thứ ba b{n đƣợc 24 trứng và số trứng còn lại. Cứ nhƣ vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. Biết số trứng b{n đƣợc mỗi ng|y đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng ngƣời đó b{n đƣợc là bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ? ïì 7x+ y + 2x + y = 5 b) Giải hệ phƣơng trình: í . îï 2x+ y + x - y = 2 Câu 3: ( 4,0 điểm) a) Cho phƣơng trình 2018x2 -() m - 2019 x - 2020 = 0 ( m là tham số). Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: 2 2 x1+ 2019 - x 1 = x 1 + 2019 + x 2 . b) Giải phƣơng trình: 2() x2+ 2 = 5 x 3 + 1 . Câu 4: ( 4,0 điểm) Cho D không cân, biết D ngoại tiếp đƣờng tròn () . Gọi D, E, F lần lƣợt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với đƣờng tròn () . Gọi M l| giao điểm của đƣờng thẳng EF v| đƣờng thẳng BC, biết AD cắt đƣờng tròn () tại điểm N ()¹ , gọi K l| giao điểm của AI và EF. a) Chứng minh rằng AK.AI = AN.AD v| c{c điểm I, D, N, K cùng thuộc một đƣờng tròn. b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đƣờng tròn () . Câu 5: ( 4,0 điểm) ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  36. 35 Cho đƣờng tròn () v| hai điểm B, C cố định sao cho góc = . Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho D nhọn. Gọi E l| điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. C{c đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABE, D cắt nhau tại K ()¹ . Gọi H l| giao điểm của BE và CF. a) Chứng minh KA là phân giác trong góc và tứ giác BHCK nội tiếp. b) X{c định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác BHCK theo R. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  37. 36 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN GIA LAI NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 30 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm). a) Rút gọn biểu thức: = + + - + . + b) Tính thể tích của hình cầu, biết diện tích mặt cầu l| p Câu 2 (2,0 điểm). a) Cho Parabol () = v| đƣờng thẳng () = + - , l| tham số. Tìm để () cắt () tại hai điểm ph}n biệt. b) Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: - + - - + = . Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phƣơng trình: - + - - =()() - - . ïì()+()() + + = + b) Giải hệ phƣơng trình í îï + +()()() + + + = + Câu 4 (3,0 điểm). Cho đƣờng tròn () , l| một d}y cố định không đi qua . Gọi l| điểm di động trên tia đối của ( không trùng ). Qua kẻ hai tiếp tuyến , với đƣờng tròn () , ( l|hai tiếp điểm). Gọi l| trung điểm của . a) Chứng minh 5 điểm cùng thuộc một đƣờng tròn. b) Gọi l| giao điểm của và . Chứng minh = . c) Chứng minh đƣờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi di động. Câu 5 (1,0 điểm). Cho c{c số thực dƣơng thỏa mãn: + + = . Tính gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức + + . Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  38. 37 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẠC LƢU NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 31 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 01 trang) Bài 1. (2,0 điểm): Tính gi{ trị của biểu thức =() +() - - + Bài 2. (1,5 điểm): Cho h|m số = có đồ thị l| (P) v| h|m số = + + có đồ thị l| (d).Tìm m để (P) v| (d) tiếp xúc nhau Bài 3. (1,5 điểm): Tính số đo góc nhọn a biết a + a = Bài 4. (1,5 điểm): Biết rằng l| tích của hai số lẻ liên tiếp. Tính tổng hai số lẻ 2018ch÷ s«12018ch÷ s« đó Bài 5. (1,5 điểm): Cho tam giác ABC có - = v| AH l| đƣờng cao của tam gi{c. Chứng minh rằng = ì + = Bài 6. ( 2 ,0điểm ): Giải hệ phƣơng trình í î + = + - Bài 7. ( 1,5điểm ): Cho đƣờng tròn .Hai dây và song song với nhau sao cho t}m O nằm trong dải song song tạo với và . Biết khoảng c{ch giữa hai d}y đó bằng và = = . Tính R Bài 8. ( 1,5điểm ): Cho c{c số đều kh{c 0 v| thõa mãn c{c đều kiện + + = và + + = . Chứng minh rằng + + = Bài 9. ( 1,5điểm ): Cho tam giác c}n tại A < , đƣờng vuông góc với tại cắt đƣờng thẳng tại D.Dựng DE vuông góc với Î . Gọi H l| trung điểm .Chứng minh rằng = Bài 10. ( 2,0 điểm): Cho phƣơng trình + + + = ( l| ẩn số; l| tham số). Tìm điều kiện của a v| b để phƣơng trình đã cho có hai nghiệm ph}n biệt trong đó có ít nhất một nghiệm dƣơng Bài 11. ( 1,5 điểm ) : Cho l| ba số thực thõa điều kiện + + = .Tính gi{ trị nhỏ nhất của = + + Bài 12. ( 2,0 điểm): Cho đƣờng tròn (O) đƣờng kính . Điểm thuộc đƣờng tròn (O). Kẻ ^ Î . Gọi theo thứ tự l| t}m đƣờng tròn nội tiếp của các tam giác . Đƣờng thẳng cắt lần lƣợt tại a. Chứng minh tam gi{c vuông cân b. Chứng minh £ Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  39. 38 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 32 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (3 điểm) Rút gọn biểu thức với x 0, x Giải phƣơng trình Giải hệ phƣơng trình Câu 2( 2 điểm) Cho các số thực a,b thỏa mãn . Chứng minh phƣơng trình luôn có nghiệm. Tìm tất cả các cặp số nguyên dƣơng (m;n) thỏa mãn phƣơng trình 2m.m2 = 9n2 -12n +19. Câu 3: (1 điểm) Cho các số thực dƣơng a,b,c thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 4 (3 điểm) Cho đƣờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC với AB< AC. Gọi I là trung điểm của BC. Đƣờng thẳng AI cắt đƣờng tròn (O) tại J kh{c A. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác IBJ cắt đƣờng thẳng AB tại M kh{c B v| đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ICJ cắt đƣờng thẳng AC tại N khác C. a. Chứng minh rằng v| ba điểm M,I,N thẳng hàng. b. Chứng minh JA là tia phân giác của góc và OA vuông góc với MN. c. Tia phân giác của góc cắt MN tại E. Tia phân giác của các góc và lần lƣợt cắt BE,CE tại P,Q. Chứng minh PB.QE=PE.QC. Bài 5 (1 điểm) Trên mặt phẳng cho 17 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Giữa hai điểm bất kì trong ba điểm đã cho ta nối một đoạn thẳng v| trên đoạn thẳng đó ghi một số nguyên dƣơn (c{c số ghi trên c{c đoạn thẳng là các số nguyên dƣơng khác nhau). Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có cạnh l| c{c đoạn thẳng đã nối mà tổng các số ghi trên ba cạnh của tam gi{c đó chia hết cho 3. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  40. 39 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN KON TUM NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 33 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 01 trang) Câu 1 : (2,0 điểm) 3 5 . 3 5 1. Không dùng m{y tính cầm tay, hãy tính gi{ trị biểu thức P 10 2 2x 3 x 2 2. Rút gọn rồi tính gi{ trị của biểu thức Q tại x 2020 2 2019 x 2 Câu 2 : (2,5 điểm) 1.Cho parapol P: y x2 v| đƣờng thẳng d: y 2 x m2 1 , m l| tham số. Tìm m để yAB y 38 đƣờng thẳng d cắt parapol P tại hai điểm A xAABB;,; y B x y sao cho . xBA x 5 x2 y 2 6 0 2 2. Giải hệ phƣơng trình 2 2 ()I x y 1 3 0 x y Câu 3 : (2,5 điểm) Cho đƣờng tròn OR; có đƣờng kính AB cố định v| đƣờng kính CD thay đổi sao cho CD không vuông góc cũng không trùng với AB. Gọi d l| tiếp tuyến tại A của OR; . Các đƣờng thẳng BC và BD cắt d tƣơng ứng tại E và F 1. Chứng minh rằng CDFE l| tứ gi{c nội tiếp. 2. Gọi M l| trung điểm của EF và K l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tứ gi{c CDEF. Chứng minh rằng tứ gi{c KMBO là hình bình hành. 3. Gọi H l| trực t}m tam gi{c DEF, chứng minh H luôn chạy trên một đƣờng tròn cố định. Câu 4 : (2,0 điểm) 1. Cho số thực x thỏa mãn 1x 1. Chứng minh rằng 1x 1 x 2 x2 . 2. Cho tập hợp A gồm 41 phần tử l| c{c số nghuên kh{c nhau thỏa mãn tổng của 21 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 20 phần tử còn lại. Biết c{c số 401 v| 402 thuộc tập A. Tìm tất cả c{c phần tử của tập hợp A. Câu 5 : (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB2 a , BC a 2 . Lấy đoạn AB l|m đƣờng kính, dựng về phía ngo|i hình chữ nhật nửa đƣờng tròn. Điểm M thuộc nữa đƣờng tròn đó. C{c đƣờng thẳng MD, MC AL2 BN 2 cắt AB lần lƣợt tại N, L. Chứng minh 1 . AB2 Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  41. 40 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (Vòng 1) Đề số 34 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 01 trang) Bài 1 + a, Giải phƣơng trình + + = + + ïì + = b, Giải hệ phƣơng trình í îï + + + = Bài 2 a, Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn - + + = - b, Với x,y là các số thực thay đổi thỏa mãn 1 ≤ y ≤ 2 v| xy+2 ≥ 2y, tìm gi{ trị nhỏ nhất của + biểu thức = + Bài 3 Cho hình vuông ABCD, đƣờng tròn (O) nội tiếp hình vuông tiếp xúc với các cạnh AB, AD tại hai điểm E,F. Gọi G l| giao điểm c{c đƣờng thẳng CE và BF. a, Chứng minh rằng năm điểm A,F,O,G,E cùng nằm trên một đƣờng tròn b, Gọi giao điểm của đƣờng thẳng FB v| đƣờng tròn l| M(M≠F). CMR M l| trung điểm của đoạn thẳng BG. c, CMR trực tâm của tam giác GAF nằm trên đƣờng tròn (O) Bài 4 Cho x, y, z là các số thực dƣơng thỏa mãn xy + yz + xz =1. Chứng minh: + + ³ + + + + + + + + Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  42. 41 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (Vòng 2) Đề số 35 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 01 trang) ïì + + = ả ệ phương trình: í îï()+() + + = + + + ải phương trình: = + -() + + - ứ ằ ớ ọ ố nguyên dương é+ + ù + é + + ù + é + + ù ë()()() û ë û ë û ế ớ ố ực dương thay đổ ỏa mãn điề ệ + + + + ³ ị ỏ ấ ủ ể ứ = + + ạ , có đườ ộ ế () . Các điể ứ ự ộ ạ ế ớ đườ () ại điể ọ ần lượ ế ủ ả ử ắ ại điể ọ ế ủ ứ ằ ủ ệ ần lượ ệ ủ ứ ứ ằ = ọ là trung điể ủ ạ ứ ằng ba điể ẳ ậ ấ ả ố ế ừ - đế ứ ằ ố đôi mộ ệt đượ ọ ấ ừ ồ ạ ố ệ ổ ằ Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  43. 42 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN AN GIANG NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Đề số 36 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Bài 1. (2,0 điểm) Rút gọn √ √ Bài 2. (2,0 điểm) Phƣơng trình √ có c{c nghiệm đều√ l| nghiệm của phƣơng trình . Tìm v| giải phƣơng trình ứng với vừa tìm đƣợc. √ √ √ Bài 3. (2,0 điểm Cho h|m số có đồ thị . a) X{c định hệ số biết đồ thị đi qua điểm Vẽ đồ thị h|m số ứng với vừa tìm đƣợc. √ √ b) Với gi{ trị vừa tìm ở trên, cho biết điểm thuộc đồ thị . Hỏi điểm có thuộc đồ thị đƣợc hay không? Tìm điểm đó nếu có ( l| hai số kh{c 0). Bài 4. (1,0 điểm) Cho l| hai số thỏa mãn . Hãy tính Bài 5. (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật , hai điểm thuộc hai cạnh v| sao cho tam gi{c đều v| có cạnh . Biết đƣờng chéo đi qua trung điểm của đoạn . Đƣờng thẳng qua song song với cắt tại . a) Tính diện tích hình chữ nhật . b) Chứng minh rằng tứ gi{c nội tiếp. Bài 6. (1,0 điểm) Một chiếc bút chì có dạng hình trụ có đƣờng kính đ{y v| chiều cao bằng . Th}n bút chì đƣợc l|m bằng gỗ, phần lõi đƣợc l|m bằng than chì. Phần lõi có dạng hình trụ có chiều cao bằng chiều d|i bút v| đ{y l| hình tròn có b{n kính . Tính thể tích phần lõi v| phần gỗ của bút chì. Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  44. 43 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SƢ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Đề số 37 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) æ+ ö ç ÷ + è- ø + Câu 1. a) Cho là số thực khác và - . Rút gọn biểu thức = ¸ - . æ- ö ç ÷ + è+ ø b) Cho các số thực thoản mãn + + + = . Chứng minh rằng + = . Câu 2. Trên quãng đƣờng dài km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ đến và bạn Bình đi bộ từ đến . Sau giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại và cùng nghỉ lại phút (vận tốc của An trên quãng đƣờng không thay đổi, vận tối của Bình trên quãng đƣờng không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên qu{ng đƣờng là km/h, Bình đi tiếp đến với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đƣờng là km/h. Biết rằng An đến sớm hơn so với Bình đến là phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đƣờng là bao nhiêu? Câu 3. Cho các đa thức () = + + , () = + + với là các số thực a) Tìm tất cả các giá trị của để và là nghiệm của phƣơng trình () = . b) Giả sử phƣơng trình () = có hai nghiệm phân biệt v| phƣơng trình () = có hai nghiệm phân biệt sao cho ()()()()+ = + . Chứng minh rằng - = - . Câu 4. Cho đƣờng tròn () , bán kính , ngoại tiếp tam giác có ba góc nhọn. Gọi , , l| c{c đƣờng cao của tam giác ( thuộc , thuộc , thuộc ). Đƣờng thẳng cắt đƣờng tròn () tại và ( nằm giữa và ). Các tiếp tuyến của đƣờng tròn () tại và cắt nhau tại . a) Gọi là trực tâm của tam giác . Chứng minh rằng = . b) Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng. c) Khi tam giác l| tam gi{c đều, hãy tính theo . Câu 5. Cho các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =( - )( + ) + + - + + . Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  45. 44 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HƢNG YÊN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Đề số 38 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) æ+ ö ç ÷ + è- ø + Câu 1. a) Cho là số thực khác và - . Rút gọn biểu thức = ¸ - . æ- ö ç ÷ + è+ ø b) Cho các số thực thoản mãn + + + = . Chứng minh rằng + = . Câu 2. Trên quãng đƣờng dài km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ đến và bạn Bình đi bộ từ đến . Sau giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại và cùng nghỉ lại phút (vận tốc của An trên quãng đƣờng không thay đổi, vận tối của Bình trên quãng đƣờng không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên qu{ng đƣờng là km/h, Bình đi tiếp đến với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đƣờng là km/h. Biết rằng An đến sớm hơn so với Bình đến là phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đƣờng là bao nhiêu? Câu 3. Cho c{c đa thức () = + + , () = + + với là các số thực a) Tìm tất cả các giá trị của để và là nghiệm của phƣơng trình () = . b) Giả sử phƣơng trình () = có hai nghiệm phân biệt v| phƣơng trình () = có hai nghiệm phân biệt sao cho ()()()()+ = + . Chứng minh rằng - = - . Câu 4. Cho đƣờng tròn () , bán kính , ngoại tiếp tam giác có ba góc nhọn. Gọi , , l| c{c đƣờng cao của tam giác ( thuộc , thuộc , thuộc ). Đƣờng thẳng cắt đƣờng tròn () tại và ( nằm giữa và ). Các tiếp tuyến của đƣờng tròn () tại và cắt nhau tại . a) Gọi là trực tâm của tam giác . Chứng minh rằng = . b) Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng. c) Khi tam giác l| tam gi{c đều, hãy tính theo . Câu 5. Với là hai số thực thỏa mãn = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =() - + +() - + . Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  46. 45 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN KON TUM NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chung) Đề số 39 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1 : (2,0 điểm) 3 5 . 3 5 1. Không dùng m{y tính cầm tay, hãy tính gi{ trị biểu thức P 10 2 2x 3 x 2 2. Rút gọn rồi tính gi{ trị của biểu thức Q tại x 2020 2 2019 x 2 Câu 2 : (2,5 điểm) 1.Cho parapol P: y x2 v| đƣờng thẳng d: y 2 x m2 1, m l| tham số. Tìm m để yAB y 38 đƣờng thẳng d cắt parapol P tại hai điểm A xAABB;,; y B x y sao cho . xBA x 5 x2 y 2 6 0 2 2. Giải hệ phƣơng trình 2 2 ()I x y 1 3 0 x y Câu 3 : (2,5 điểm) Cho đƣờng tròn OR; có đƣờng kính AB cố định v| đƣờng kính CD thay đổi sao cho CD không vuông góc cũng không trùng với AB. Gọi d l| tiếp tuyến tại A của OR; . C{c đƣờng thẳng BC và BD cắt d tƣơng ứng tại E và F 1. Chứng minh rằng CDFE l| tứ gi{c nội tiếp. 2. Gọi M l| trung điểm của EF và K l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tứ gi{c CDEF. Chứng minh rằng tứ gi{c KMBO là hình bình hành. 3. Gọi H l| trực t}m tam gi{c DEF, chứng minh H luôn chạy trên một đƣờng tròn cố định. Câu 4 : (2,0 điểm) 1. Cho số thực x thỏa mãn 1x 1. Chứng minh rằng 1x 1 x 2 x2 . 2. Cho tập hợp A gồm 41 phần tử l| c{c số nghuên kh{c nhau thỏa mãn tổng của 21 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 20 phần tử còn lại. Biết c{c số 401 v| 402 thuộc tập A. Tìm tất cả c{c phần tử của tập hợp A. Câu 5 : (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB2 a , BC a 2 . Lấy đoạn AB l|m đƣờng kính, dựng về phía ngo|i hình chữ nhật nửa đƣờng tròn. Điểm M thuộc nữa đƣờng tròn đó. C{c đƣờng AL2 BN 2 thẳng MD, MC cắt AB lần lƣợt tại N, L. Chứng minh 1 . AB2 Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  47. 46 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HƢNG YÊN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chung) Đề số 40 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm). 1) Rút gọn biểu thức =() - + - . 2) Cho hai đƣờng thẳng (d): = - + và D : = - + a) Tìm m để (d) song song với D . b) Chứng minh đƣờng thẳng (d) luôn đi qua điểm - với mọi m. c) Tìm tọa độ điểm B thuộc D sao cho AB vuông góc với D . Câu 2 (2,0 điểm). 1) Giải phƣơng trình + + + = . ì()+ = + - ï 2) Giải hệ phƣơng trình í + + ï + = î + Câu 3 (2,0 điểm). Cho phƣơng trình: - + + + = (1) (m là tham số) 1) Giải phƣơng trình khi = . 2) Tìm m để phƣơng trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: + + = + . Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam gi{c ABC vuông tại A. Vẽ c{c nửa đƣờng tròn đƣờng kính AB v| AC sao cho c{c nửa đƣờng tròn n|y không có điểm n|o nằm trong tam gi{c ABC. Đƣờng thẳng d đi qua A cắt c{c nửa đƣờng tròn đƣờng kính AB v| AC theo thứ tự ở M v| N (kh{c điểm A). Gọi I l| trung điểm của đoạn thẳng BC. 1) Chứng minh tứ gi{c BMNC l| hình thang vuông. 2) Chứng minh IM = IN. 3) Giả sử đƣờng thẳng d thay đổi nhƣng vẫn thỏa mãn điều kiện đề b|i. Hãy x{c định vị trí của đƣờng thẳng d để chu vi tứ gi{c BMNC lớn nhất. Câu 5 (1,0 điểm). Cho c{c số thực không }m thỏa mãn + + £ . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức = + + . + + + HẾT ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  48. 47 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (chung) Đề số 41 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm. 1) Tìm điều kiện x{c định của biểu thức = - . - - 2) Tìm tất cả c{c gi{ trị của tham số m để đƣờng thẳng =() - + v| đƣờng thẳng = + + (với ¹ ± ) l| hai đƣờng thẳng song song. 3) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, BC = 10cm. Tính độ d|i đƣờng cao kẻ từ A xuống cạnh BC. 4) Một hình trụ có diện tích hình tròn đ{y l| p cm2, độ d|i đƣờng sinh l| 6cm. Tính thể tích hình trụ đó. æ+ - ö æ + ö Câu 2 (1,5 điểm. Cho biểu thức =ç - + ÷ ç ÷ với > ¹ . è- + ø è + ø 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm c{c gi{ trị nguyên của a để P nhận gi{ trị l| số nguyên. Câu 3 (2,5 điểm. 1) Cho phƣơng trình + - - - = (với m l| tham số). a) Giải phƣơng trình với = . b) Tìm tất cả c{c gi{ trị của tham số m để phƣơng trình có hai nghiệm ph}n biệt (giả sử < ) thỏa mãn - + = . 2) Giải phƣơng trình ()+ -() - + = - . Câu 4 (3,0 điểm. Cho hình bình hành ABCD (BD < AC). Đƣờng tròn (O) đƣờng kính AC cắt c{c tia AB, AD lần lƣợt tại H, I khác A. Trên dây HI lấy điểm K sao cho = . Tiếp tuyến tại C của đƣờng tròn (O) cắt BD tại E (D nằm giữa B, E). Chứng minh rằng: 1) DD và = . 2) K l| trung điểm của đoạn HI. 3) + < . Câu 5 (1,0 điểm. ì - + = - + + - ï 1) Giải hệ phƣơng trình í - - + ï = î + 2) Cho l| c{c số thực dƣơng thỏa mãn + + = . Chứng minh rằng + + ++ + + + + + + + £ . HẾT ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  49. 48 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN PTNK HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Đề số 42 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) ()+ -() -() + + +() + - + Bài 1 (1.0 điểm). Tìm , biết: - = . ()-() + Bài 2 (2.0 điểm). a) Giải phƣơng trình: ()+ -() - - = . ïì + + = + + b) Giải hệ phƣơng trình: í . îï ()()+ - + + = Bài 3 (2.0 điểm). Cho phƣơng trình (ẩn , tham số ): -() + - = . () a) Với các giá trị nào của số thực thì phƣơng trình () có hai nghiệm phân biệt sao cho + - = ? b) Tìm tất cả các giá trị của số thực để phƣơng trình () có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn - -() + = . Bài 4 (2.0 điểm). a) Từ ngày đến ngày , giá bán lẻ xăng RON có đúng bốn lần tăng v| một lần giảm. Các thời điểm thay đổi gi{ xăng RON trong năm (tính đến ngày đƣợc cho bởi bảng sau (gi{ xăng đƣợc tính theo đơn vị đồng, gi{ đƣợc niêm yết cho lít xăng): Ngày 1/1 2/3 2/4 17/4 2/5 17/5 Giá Từ giờ chiều , giá bán lẻ lít xăng RON tăng thêm khoảng so với giá lít xăng RON ngày . Nếu ông mua lít xăng RON ngày thì cũng với số tiền đó ông sẽ mua đƣợc bao nhiêu lít xăng RON vào ngày ? Cũng trong hai ng|y đó ( và ), ông đã mua tổng cộng lít xăng RON với tổng số tiền là đồng, hỏi ông đã mua bao nhiêu lít xăng RON vào ngày ? b) Tứ giác có chu vi , = , = và = . Tính độ dài các cạnh của tứ giác . Biết = , tính diện tích tứ giác . Bài 5 (3.0 điểm). HÌnh chữ nhật nội tiếp đƣờng tròn () có tâm , bán kính = . Tiếp tuyến của () tại cắt các tia lần lƣợt tại . a) Chứng minh rằng = và là tứ giác nội tiếp. b) Đƣờng thẳng qua , vuông góc với và cắt () , theo thứ tự tại ()¹ Chứng minh rằng là tứ giác nội tiếp và l| trung điểm của . c) Gọi l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác . Tính theo . HẾT ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  50. 49 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN PTNK HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Đề số 43 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1. (2 điểm) Cho phƣơng trình + + = () thỏa mãn c{c điều kiện: > và và (+ )( + ) > . b) Biết rằng > . Chứng minh rằng - . Chứng minh rằng + không chia hết cho - với mọi số tự nhiên sao cho . Chứng minh rằng - < < . Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác có < . Gọi lần lƣợt l| c{c đƣờng phân giác trong và ngoài góc Ð . Gọi lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của lên . Gọi lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của lên . a) Chứng minh rằng và lần lƣợt đi qua trung điểm của . b) Chứng minh rằng và cắt nhau trên . c) Trên lấy c{c điểm và sao cho Ð = Ð và Ð = Ð . thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa Chứng minh rằng = . d) C{c đƣờng thẳng và lần lƣợt cắt và tại c{c điểm và . Chứng minh rằng c{c đƣờng thẳng và cắt nhau trên đƣờng thẳng . Câu 5. (1,5 điểm) Trong một buổi gặp gỡ giao lƣu giữa các học sinh đến từ quốc gia, ngƣời ta nhận thấy rằng cứ học sinh bất kỳ thì có ít nhất học sinh đến từ cùng một quốc gia. a) Gọi là số các quốc gia có đúng học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng + < . b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là . Chứng minh rằng có thể tìm đƣợc ít nhất là học sinh đến từ cùng một quốc gia. ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  51. 50 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG TRỊ NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Đề số 44 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1. (2 điểm) ()- + - a) Cho biểu thức: = + -() ³ ¹ + - + - Tìm tất cả các giá trị của x để A ≤ 0 b) Tìm tất cả giá trị của tham số m để phƣơng trình x2 – 2(m + 1)x – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 < x2 và |x1| - |x2| = - 4. Câu 2. (2 điểm) ïì + = 1. Giải hệ phƣơng trình: í îï =()() + - - 2. Giải phƣơng trình: +() - = - - Câu 3. (2 điểm) 1) Cho số tự nhiên có 3 chữ số chứng minh rằng chia hết cho 21 khi và chỉ khi - + chia hết cho 21. 2) Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn = - Câu 4. (3 điểm) Trên đƣờng tròn (O) đƣờng kính AB lấy điểm C (C kh{c A v| B), điểm D nằm trên đƣờng thẳng AB sao cho BD = AC. Kẻ DE vuông góc với AC tại E, đƣờng phân giác góc cắt DE và (O) tại G và F (F khác A). Đƣờng thẳng CG cắt AC và (O) tại I và H (H khác C). Chứng minh: Tứ giác AGDH nội tiếp đƣờng tròn Ba điểm H, D và F thẳng hàng I l| chung điểm của AD Câu 5. (1 điểm) Cho a, b, c là các số dƣơng thỏa mãn + + + = . Chứng minh: + + £ HẾT ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  52. 51 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SƢ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Đề số 45 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) Câu 1. Cho hai số thực phân biệt và thỏa mãn điều kiện + =() - . Tính giá trị của biểu thức = + - . Câu 2. Cho c{c đa thức () = + + , () = + + , () = + + với là các số thực và > = . Giả sử phƣơng trình () = có hai nghiệm phân biệt ; phƣơng trình () = có hai nghiệm phân biệt ; phƣơng trình () = có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ()()()()+ = + , ()()()()+ = + , ()()()()+ = + . Chứng minh rằng + = + = + . Câu 3. a) Tìm tất cả các cặp số nguyên () thỏa mãn - + + - + = . b) Cho ba số nguyên dƣơng thỏa mãn + + chia hết cho . Chứng minh rằng cũng chia hết cho . Câu 4. Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đƣờng tròn () và > . Gọi lần lƣợt l| ch}n đƣờng cao của tam giác hạ từ . Gọi l| ch}n đƣờng vuông góc hạ từ lên đƣờng thẳng . a) Chứng minh rằng là bốn đỉnh của một hình thang cân. b) Chứng minh rằng đi qua trung điểm của . c) Gọi l| giao điểm thứ hai của đƣờng thẳng v| đƣờng tròn () , và lần lƣợt l| trung điểm của và . Tính số đo góc . Câu 5. Cho tập hợp thỏa mãn tính chất sau: Tồn tại tập con của sao cho mỗi tập con có đúng ba phần tử và hai tập đều có đúng một phần tử chung với mọi £ < £ . Chứng minh rằng a) Tồn tại tập hợp trong các tập hợp sao cho giao của tập hợp này có đúng một phần tử. b) Số phần tử của phải lớn hơn hoặc bằng . HẾT ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  53. 52 HƢỚNG DẪN GIẢI Đề số 1 Câu 1: a) Điều kiện: ³ ()()Û - - - + = Û() - -() - - = é - = Û ê ëê - = TH1: - = Û - = Û = (thỏa mãn điều kiện) TH2: - = Û - = Û = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phƣơng trình có hai nghiệm là = và = . ïì + + = b) Hệ phƣơng trình () Û í îï + + = Đặt = , = . Ta có: ì + + = ìï + + = Hệ phƣơng trình trở thành íÛ í î + + = îï()+ - = Þ+()()() ++-=Û+ ++-= é + = Û()() + - + + = Û ê ë + = - TH1: + = suy ra = é = Þ là nghiệm của phƣơng trình - + = Û ê ë = Þ()()() = æ ö Þ() = ç ÷ () è ø TH2: + = - suy ra = Þ là nghiệm của phƣơng trình: + + = (phƣơng trình vô nghiệm) Câu 2: a)Ta có: ()()- = Û()() + + - + + = Û + = () ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  54. 53 Lại có: ()()()()- = + + - + + = + Đặt ()()()- = Þ + = Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: = - , mà chẵn, 2019 lẻ nên lẻ, ta có điều phải chứng minh b) Ta có: + + + + Û()() + + - - + + + Û - + + ì = TH1: = Þ í Với mọi m là số tự nhiên khác 0 î = Thử lại thấy thỏa mãn TH2: > , ta có: + + £ - Û() - + + + £ (vô lí do ³ ) TH3: + + + Ta có: = + + £ + + + + + æ ö Mặt khác: = £ç + ÷ ()()+ +è + + ø Tƣơng tự thì ta cũng có: ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  55. 54 æ ö £ç + ÷ è+ + ø æ ö £ç + ÷ è+ + ø Cộng vế theo vế ta có: £ Dấu bằng xảy ra khi = = = . Hay là = = = Câu 4: a) Có (hai góc kề bù) Þ =180- = (Do cung = ) Suy ra D đồng dạng với D b) Ta có = = do l| điểm chính giữa cung và theo giả thiết = . Mặt khác là tia phân giác suy ra là trung trực đoạn thẳng hay vuông góc với tia Chứng minh tƣơng tự thì là tia phân giác của , suy ra l| đƣờng trung trực của đoạn thẳng hay vuông góc với . Từ hai điều trên ta có l| trực t}m của D c) Gọi giao điểm của với là , của với là Gọi giao điểm của với đƣờng tròn () là . Dễ thấy rằng là hình bình hành nên vuông góc với suy ra l| đƣờng kính đƣờng tròn () Þ = ° hay = ° hay thuộc đƣờng tròn đƣờng kính , suy ra năm điểm cùng thuộc một đƣờng tròn Ta có (do tứ gi{c nội tiếp) Suy ra l| tiếp tuyến đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c Câu 5: Ta tô m|u c{c đoạn thẳng có đầu mút l| 2 trong 12 điểm đã cho: -Tô đỏ c{c đoạn thẳng có độ d|i nhỏ hơn 673 -Tô xanh c{c đoạn thẳng còn lại thì mỗi tam gi{c có ít nhất một cạnh m|u đỏ. Ta sẽ chứng minh có ít nhất 2 tam gi{c có 3 cạnh đều l| m|u đỏ. ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  56. 55 +Xét 6 điểm trong 12 điểm đã cho. Từ một điểm A nối đến c{c đoạn thẳng còn lại tạo th|nh 5 đoạn thẳng, đƣợc tô tới hai m|u xanh, nên tồn tại 3 cạnh cùng m|u. Giả sử đó l| Nếu tô đỏ (nét liền, h1) thì tam gi{c phải có 1cạnh tô đỏ(h1)., chẳn hạn thì tam giác có 3 cạnh tô đỏ(h2). Nếu tô xanh (nét đứt, h3). Do mỗi tam gi{c phải có ít nhất một cạnh đỏ nên và tam giác có 3 cạnh đỏ(h1). Suy ra trong 6 điểm n|y luôn tồn tại ít nhất một tam gi{c có 3 cạnh m|u đỏ +Xét 6 điểm còn lại, chứng minh tƣơng tự Vậy trong 12 điểm luôn tồn tại ít nhất 2 tam gi{c có hai cạnh đều m|u đỏ. Suy ra tồn tại ít nhất hai tam gi{c m| chu vi mỗi tam gi{c bé hơn 2019 (Từ tr{i qua phải lần lƣợt l| h1,h2,h3,h4) Đề số 2 Câu 1: a) (1,0 điểm) æ ö Có =ç + + + - + ÷ = + -() + = + - . è ø = +() - = + =() + . Do > nên = + . Suy ra ()- = hay - = , do đó = - . b) (1,0 điểm) Từ + + = suy ra + = + + + =( + )( + ) . Tƣơng tự có + =( + )( + ) , + =( + )( + ) . Vế trái của đẳng thức cần chứng minh trở thành + + ()()+ +()() + +()() + + ()-() + +() -() + +() -() + = (+ )( + )( + ) ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  57. 56 Khai triển và làm gọn biểu thức trên tử ta đƣợc kết quả l| 0 nên có đpcm. Câu 2: a) ( 1,0 điểm) Điều kiện x{c định: ³ - . é ù Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với ()+ë - - + + û = é = - Û ê . ë - - + + = é ù Ta có - - + + = Û ()-ê + + ú = (1) ë+ + û Do + + > ," ³ - nên (1) Û x = 3. + + Tập nghiệm của phƣơng trình là {}- . b) ( 1,0 điểm) ì ï + = + () ï í ï + + = () îï + Điểu kiện x{c định: ¹ và ¹ . æ ö æ ö + Ta có + + = Û ç ÷ +ç ÷ +() - =() - è ø è ø Sử dụng hằng đẳng thức + + é ù + + - =ë()()() - + - + - û ta thu đƣợc (2) Û é ê = = - ê . ê ê + - = ë ì = ì = - Trƣờng hợp 1: = = - Û í Û í . î = - î = - Thử vào (1) thấy không thỏa mãn. ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  58. 57 + Trƣờng hợp 2: + - = Û + = Û + = () . Có (1) Û + = + Û ()+ - = + hay có - = + Û ()+ = Û = - ( do có điều kiện ¹ ). ì ì + = () + = ï ï Vậy í Û í , dẫn đến x,y là các nghiệm của phƣơng trình ï = - ï = - î îï æ+ - ö æ- + ö - - = hay phải có () là ç ÷ hoặc ç ÷ . è ø è ø æ+ - ö + Kết luận: Hệ đã cho có đúng hai nghiệm () là ç ÷, è ø æ- + ö ç ÷. è ø Câu 3: ( 3,0 điểm) Hình vẽ: a) ( 1,0 điểm) + Có AD, AE là các phân giác trong và ngoài của góc nên chúng vuông góc, suy ra ED l| đƣờng kính của () . + Lại có D l| điểm chính giữa của cung nhỏ BC của () nên có OD vuông góc với BC tại trung điểm M. Vậy D,M,O,E thẳng hàng và DE ^ BC. ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  59. 58 + Xét tứ giác EGMC có = = nên EGMC là tứ giác nội tiếp. + Suy ra = , lại có = nên = , suy ra GM // AD. b) (1,0 điểm) + AE ^ AD và MG // AD nên MG ^ FE. Lại có EG ^ AC và MF // AC nên EG ^ MF. Từ đó suy ra G l| trực t}m tam gi{c MFE, do đó FG ^ ME hay FG ^ DE. + Có FG // MC ( vì cùng vuông góc với DE), FM // GC nên FMCG là hình bình hành, suy ra FG = MC. + Từ AE là phân giác của và HG ^ AE suy ra đƣờng thẳng AE l| đƣờng trung trực của đoạn HG. Suy ra FH = FG. Vậy FH = MC. c) ( 1,0 điểm) + Từ = ( vì cùng cộng với ra ), = ( vì cùng bằng ), suy ra D D (g.g) + Có N v| K l| c{c trung điểm của hai cạnh tƣơng ứng là AB và GM nên = , suy ra tứ giác EKNH là tứ giác nội tiếp. + Lại có = = ( Do H,G đối xứng nhau qua AE) nên dẫn đến = . Có = + . Từ ()+ ³() + có ³() + hay + £ , vậy có đpcm. Câu 4: ( 1,5 điểm) a) ( 0,75 điểm) + - ()- ()()- +() + + Ta có = + = + = + . + Với n nguyên thì - + là ba số nguyên liên tiếp nên trong ba số này phải có số chia hết cho 2 và có số chia hết cho 3, suy ra ()()- + , do đó - . + Nếu thì ()- ; nếu n chia cho 5 dƣ một trong các số 1,2,3,4 thì chia cho 5 dự 1, suy ra ()- . + - + Vì () = nên suy ra ()- , theo đó = + là số nguyên. b) ( 0,75 điểm) ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  60. 59 + Giả sử tồn tại cặp số tự nhiên () thỏa mãn yêu cầu. Khi đó Î mà ïì ()+ - + - = + =é + + + ù í , suy ra ë()() û îï ()+ + + + = Nói c{ch kh{c phƣơng trình (1): + =() + có nghiệm () với Î và Î . Ta coi () là bộ nghiệm của (1) thỏa mãn điều kiện X + Y nhỏ nhất. + Từ (1) có ()+ . Nhận thấy một số chính phƣơng chia cho 7 chỉ có thể cho số dƣ l| 0.1.2.4 nên ()+ khi và chỉ khi và , dẫn tới biểu diễn = , = với Î . Khi đó (1) trở thành + =() + Lập luận tƣơng tự dẫn đến = = với Î . Câu 5: ( 1,5 điểm) a) ( 0,75 điểm) + Ta chứng minh kết quả ()- + ³ + (1). Thật vậy , (1) Û ()+ + + -() + ³ + Û ()+ - ³ . Û ()- ³ , bất đẳng thức đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b + Tƣơng tự có (2): ()- + ³ + , (3) : ()- + ³ + . + Thấy các vế của (1), (2), (3) đều không âm, nhân theo vế các bất đẳng thức này ta đƣợc (-+ )( -+ )( -+³+ )( )( + )( += ) Hay ()()()- + - + - + ³ (*). Do - + , - + , - + ³ nên từ (*) suy ra ()()()- + - + - + ³ , có đpcm. b) ( 0,75 điểm) Gọi là số bút mà học sinh thứ I ( trong 32 học sinh ) nhận đƣợc ( i = 1,2, ,32). Nhƣ vậy Î và + + + £ . Ta kí hiệu: ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  61. 60 = = + , . = + + + Với mỗi Î{} ta có : £ £ , + £ ; + £ , + £ . Xét 128 số gồm: 32 số nhóm (1) là , 32 số nhóm (2) là + + + 32 số nhóm (3) là + + + , 32 số nhóm (4) là + + + , Thấy 128 số này lấy giá trị nguyên dƣơng trong phạm vi từ 1 đến 124, theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai số n|o đó trong chúng bằng nhau. Vì > mà + = + với Î{} và ¹ ( do hai số bằng nhau thì không cùng nhóm). Vì > nên < - =() - , suy ra -Î{} . Lại có - < £ nên ()- < , suy ra - = . Vậy - = hay ++ + + + = , nghĩa l| nhóm gồm các học sinh từ học sinh thứ + đến học sinh thứ j nhận đƣợc tổng cộng 25 cây bút. Đề số 3 Câu 1: × 1/ Ta có VT = + + = + + + + + + × + + + + + + + + + + = = = + + 2/ Đặt ta đƣợc + + = Þ + + = æ ö Khi đó = + + = + + =ç + + ÷ è ø æ öæ ö Mặt khác từ hằng đẳng thức ++-=++ç ÷ç ++ ÷ = è øè ø ta có + + = Þ = × = . Vậy = ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  62. 61 Câu 2: 1/ Điều kiện x{c định "Î Từ giả thiết ta nhận thấy x > 0 ( do vế tr{i dƣơng), Chia cả hai vế cho x, ta có + + + - + = Đặt = > ta đƣợc phƣơng trình + + + - + = + - - - + - Û + + - + - + - = Û + = () () + + + - + + æ+ ö Û -ç + ÷ = Û - = è+ + + - + + ø æ+ ö Û -ç + ÷ = Û - = è+ + + - + + ø Với - = Þ = Vậy phƣơng trình có đúng một nghiệm = . 2/ Điều kiện: ¹ ¹ ì æ ì ï + + + =ç + + + = ï + + + = ï è ï Hệ đã cho ÛÛí í æ ö æ ö æ öæ ö ï + + + = ï + + = ï ç ÷ ç ÷ ïç ÷ç ÷ î è ø è ø îè øè ø ì ï + = Đặt = + = + lúc này (1) Û í îï × = Vậy u, v là 2 nghiệm của phƣơng trình - + = , Phƣơng trình n|y có hai nghiệm = = ì ì = + = ï ï ïì - + = ïé = Trƣờng hợp 1: = = cho ta hệ: íÛÛ í íê ï - + = ï+ = î ïê = îïî ïë æ ö Hay ×ç ÷ là các nghiệm của hệ đã cho. è ø ì ìì = ï + = ï ï ï ï- + = ï Trƣờng hợp 2: = = ta có hệ íÛ í Û í = ï+ - ï- + = ï = ïî ïî î ï ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  63. 62 æ ö hay ç ÷ là các nghiệm của hệ đã cho. è ø æ ö æ ö Kết luận: Hệ đã cho có 4 nghiệm là ×ç ÷ ; ç ÷ è ø è ø Câu 3: 1/ Ta có +=+++Û ++= + + ++ ì ï + =() + + + + Û í ï î + =() + + - + Ta thấy : nếu thì + + > - > nên từ (1) và (2) ta suy ra ()()+ + > + > + () Loại vì không có số nguyên y thỏa mãn. Từ đó suy ra - £ £ Þ Î - Xét = Þ + = Þ = = - Xét = Þ + = loại Xét = Þ + = Þ = = - Xét = - Þ + = Þ = = - Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm là ×- - - - - 2/ Trƣớc tiên, ta chứng minh x 3. Đặt y5 = a, a Î N*, ta có 2x2 – 1 = y15 Û 2x2 = a3 + 1 Û 2x2 = (a + 1)(a2 - a + 1) (1) Gọi ƢCLN(a + 1; a2 – a + 1) = d (d Î N*), ta có: a + 1 d, a2 – a + 1 d. Suy ra (a2 – a + 1) – (a + 1)(a – 2) = 3 dÞ d = 1 hoặc d = 3 * Nếu d = 1 thì từ (1), ta có: ì + = ïì + = í hoặc í (loại vì a Ï N*) î - + = îï - + = ì + = ì = ì = í ÛÞí í (loại vì phải có x > 1) î - + = î = î = * nếu d = 3 thì từ (1) ta có: 2x2 9. Vì ƢCLN(2; 9) = 1nên x2 9 Þ x 3 (*) Chứng minh x 5. Đặt y3 = b, b Î N*, ta có: 2x2 – 1 = b5 Û 2x2 = b5 + 1 Û 2x2 = (b + 1)(b4 – b3 + b2 – b + 1) (2) Gọi ƢCLN(b + 1; b4 – b3 + b2 – b + 1) = k (k Î N*) Ta có: b + 1 k; b4 – b3 + b2 – b + 1 k ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  64. 63 Þ (b4 – b3 + b2 – b + 1) – (b + 1)(b3 – 2b2 + 3b – 4) = 5 k Suy ra k = 1 hoặc k = 5. * Nếu k = 1 thì từ (2) có ïì + = ì + = í (loại vì b Ï N*) Hoặc: í îï - + - + = î - + - + = ì = Þ í (loại vì phải có x > 1) î = * Nếu k = 5 thì từ (2) suy ra 2x2 25. Vì ƢCLN(2; 25) = 1 nên x2 25 Þ x 5 ( ) Từ (*) và ( ) suy ra x BCNN(3; 5) hay x 15 (đpcm) Câu 4: 1/ Do các tứ giác nội tiếp nên = = () Tứ giác ABDC nội tiếp nên = = () Từ (1) và (2) suy ra D-D- đpcm A A x E O E O B M C B Q M C N P F D F D 2/ Ta có = = và = (do DD ), suy ra = Vậy E, M, F thẳng hàng. Từ hai tứ giác MECD, MBFD nội tiếp suy ra = × = × ,suy ra tứ giác BECF nội tiếp. Do đó = Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) thì = ,suy ra Ax // EF. Vậy ^ ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  65. 64 3/ theo tính chất phân giác ta có = = = suy ra = = = × = () Ta có = = = = × × = () × Từ (3) và (4) suy ra = , hay PQ // BC. Câu 5: Gọi c{c đƣờng thẳng đã cho l| ¼ l| giao điểm của đƣờng thẳng và ()= ¹ = . Xét đƣờng thẳng bất kỳ trong số 2022 đƣờng thẳng đã cho. Do không có 3 đƣờng thẳng n|o đồng quy nên c{c giao điểm ( n khác i, j) của các cặp đƣờng thẳng và không nằm trên . Do số giao điểm là hữu hạn nên tồn tại một giao điểm gần nhất, giả sử là ( nếu có nhiều giao điểm nhƣ vậy thì ta chọn 1 giao điểm n|o đó) . Ta sẽ chứng minh tam giác l| tam gi{c đẹp. Nếu tam giác này bị đƣờng thẳng n|o đó trong số 2019 đƣờng thẳng còn lại cắt thì phải cắt ít nhất một trong hai đoạn Giả sử cắt đoạn tại điểm thì gần trái giả thiết gần nhất. Suy ra, với mỗi đƣờng thẳng luôn tồn tại một tam gi{c đẹp có cạnh nằm trên . Trên mỗi đƣờng thẳng , ta chọn một cạnh của tam gi{c đẹp thì ta thu đƣợc 2022 cạnh của tam gi{c đẹp. Vậy số tam gi{c đẹp không ít hơn 2022:3 = 674. Đề số 4 Câu 1. + - 1. Xét: = = = - + + + + + + + + Áp dụng đẳng thức ở trên ta có: + + + + + + = - + - + + - = - = - = ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  66. 65 2. Từ giả thiết + = æ ö Û ç+ ÷ - = è ø æ ö Ûç + ÷ = Þ + = - < è ø Ta có: æ ö æ ö = + = ç+ ÷ - ç + ÷ è ø è ø æ ö æ ö ç+ ÷ - ç + ÷ è ø è ø - - - Vậy A = -110. Câu 2. 1. ĐKXĐ: - < < ¹ Đặt: - = ta đƣợc: ì ï + = ì+ = ì + = íÛÛ í í î+ - = î + - + - = ïî + = Giải (1): + - + - = Û + + + = Suy ra: + = hoặc + = +) Với + = Þ = - ta đƣợc: = (thỏa mãn) +) Với + = Þ = . Ta tìm đƣợc x = 1 ( thỏa mãn) Vậy nghiệm của phƣơng trình l| = = 2. Nhận thấy = , = là một nghiệm của hệ phƣơng trình. Với ¹ . Từ hệ PT, ta có: ì ï ()+ - + = í îï()+ - + = Þ()() + - + = ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  67. 66 Û ()()+ + - = é + = é = - Þ ê Þ ê ë + - = ë = - + Với = - . Từ pT (1) Þ + = Û = é = Với = - + . Từ Pt (1) Þ - + = Û ê ë = Khi = Þ = Khi = Þ = Vậy nghiệm của hệ PT là ={} Câu 3. 1. Từ - - + = Û = Û = Vì = = = - - = - - nên ta có 4 trƣờng hợp sau: ì - =ì = Trƣờng hợp 1: í í î - =î = ì- = ì = Trƣờng hợp 2: íÛ í î- = î = ì- = - ì = Trƣờng hợp 3: íÛ í î- = - î = ì- = - ì = Trƣờng hợp 4: íÛ í î- = - î = Vậy có 4 cặp thỏa mãn là: . 5 4 2 2 2 2. Ta có : x – x = x( x – 1)= x(x – 1)(x + 1)= x(x – 1) ëé- + ûù =(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2) + 5(x – 1)(x + 1)x Ta có : (x – 2)(x -1) x(x + 1)(x + 2) chia hết ch 5 và 6 mà (5,6) = 1 nên (x – 2)(x -1) x(x + 1)(x + 2) lại có (x-1)x(x+1) Chia hết cho 2 và 3 mà (2,3)=1 nên 5(x – 1)x(x+1) Do đó x5 – 1 Suy ra A = (a2020 + b2020+c2020) - (a2016 + b2016 + c2016) A = a2015(a5 – a) + b2015 (b5 – b) + c2015 (c5 – c) Vậy A Câu 4. ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  68. 67 A O E K M P C B Q N D F 1. Có = = = = ÞD∽ D CDE 2. Tứ giác BMDF nội tiếp Þ = (cùng chắn cung FB) Tứ giác CEMD nội tiếp Þ = (cùng chắn cung EC) Do DD∽ (cmt) Þ = (hai góc tƣơng ứng) Þ = M| c{c điểm B; M; C thẳng hàng Þ C{c điểm thẳng h|ng (đpcm) *) Kẻ AO cắt EF tại K; = = = = = - Þ=-=-Þ+=Þ^Þ^ 3. D∽ D Þ = và D∽ D Þ = , mà BM = CM (gt) Þ = Þ = (do = ) Þ = (do DD∽ ) Þ = Þ = Þ (sử dụng tính chất tia phân giác kết hợp với ta lét đảo) ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  69. 68 Câu 5. Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có : (a.1 + b.1 + c.1 )2 £ ( a2 +12 + 12 )(b2 + c2 + 1) = (a2 + 2) (1+ b2 + c2) (1) Do vai trò của a, b, c l| nhƣ nhau theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số a2 -1, b2-1,c2-1 luôn tồn tại 2 số cùng dấu, giả sử b2-1; c2-1 Þ - - ³ Û - - + ³ Û + + + ³ + + Û + + ³ + + Û + + + ³ + + + (2) Từ (1) và (2) , suy ra: S = = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ³ 3(a +b+c)2=3.9=27 Vậy GTNN của S = 27 khi và chỉ khi a = b = c = 1 Đề số 5 Câu 1. a) ( 1 điểm) Ta có + - = - + ; - - = - - - - + + - - Và - + = - = Þ = - Khi ³ thì = = - + ³ , dấu bằng xảy ra khi x = 18 (1). Khi + = (2) Suy ra = . b) ( 1 điểm) Từ đề bài suy ra x < 0 Suy ra 9x – 8 < 0; 7x – 6 < 0; 5x – 4 < 0; 3x – 2 < 0 Phƣơng trình đã cho trở thành - + - + - + - + + = Û -23x + 20 = 0. Kết luận pt vô nghiệm Câu 2. a) (1 điểm) ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  70. 69 Không mất tỉnh tổng quát ta có thể giả sử a > b > c > 0. Từ a + b + c = 3 thì Þ > > > . Ba phƣơng trình đã cho lần lƣợt có các biệt số D là: D = - ; D = - ; D = - Suy ra D - > ( vì a > b và a > 1) Þ phƣơng trình + + = có nghiệm. b) (1,00 điểm) cách 1 Đƣờng thẳng có phƣơng trình l| =() - + luôn đi qua điểm () của () . Hình chiếu vuông góc của C lên Oy là (), của A lên Oy là () , của æ ö æ ö ç ÷ lên Oy là ç ÷ . è ø è ø Theo định lí Thales có : = = Þ = Suy ra A’B’ = 6 Þ OB’ = 8 Þ = Þ = ± Nếu b = 4, thế vào tìm đƣợc m = 3; Nếu b = -4, thế vào tìm đƣợc m = -1. b) Cách 2 ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  71. 70 Phƣơng trình đƣờng thẳng là = - + Þ tọa độ điểm C là æ- ö ç ÷ è ø Phƣơng trình ho|nh độ giao điểm của và () : - + - = (1). Vì () thuộc () và nên (1) có 1 nghiệm = Þ ()- - + ()+ =() -() + , = từ AB = 3AC Û ()-() + = ()+ Û ()- = Û ()- = ± Û m = -1 hoặc m = 3. Kết luận Câu 3. a) (1 điểm) Giải phƣơng trình -() + + + + + + = . Điều kiện ³ - khi đó: ( )Û ( + )( + ) - ( + ) + = . é ù Û +ë() + + -() + û = Û = - hoặc ()+ + = + (2) Do 2 vế của (2) đều không âm nên (2) Û ()+ +() + = + + Û - + - = Û ()-() - + = Û x = 8 hoặc - + = ( vô nghiệm). Kết luận ì ï + + + = () b) ( 1điểm ) Giải hệ phƣơng trình í ï î + =() + + () Điều kiện: ³ - ; ¹ Þ ³ () Û + = + + + Û ()- +() + + + + = Do ³ - và ³ nên + + + + > Þ () Û = + Thay vào (1): + + + + + = ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  72. 71 Û ()+ + +() + + + + = Û ()+ + = Û ()+ + = Û + + = - + + + Û ()+ =()- + Û + = - + ( vô nghiệm ) hoặc + = + - (3) (3) Û + = + . Với điều kiện ³ - thì (3) Û + - = Û = - ( loại ) hoặc = ( thỏa). æ ö Kết luận : () = ç ÷ è ø Câu 4. Chứng minh đƣợc DO l| đƣờng cao tam giác DAB và D,P,O thẳng hàng Chứng minh đƣợc ABKC là hình thang Chứng minh đƣợc ABKC là hình thang Suy ra diện tích của chúng bằng nhau đặt bằng ()D Hai tam gi{c KCP v| KPD có cùng đƣờng ao nên = = ( với là ()D diện tích D ) ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  73. 72 Hai tam gi{c ACP v| APB có cùng đƣờng cao nên ()D = = ( với là diện tích D ()D Þ = Þ = = Þ = . Vậy diện tích tứ giác ABKC là () = + + = + + = Câu 5. Vẽ tia tiếp tuyến Bx nhƣ hình vẽ, gọi I l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE, ta có = ( cùng chắn cung CB ) = ( tứ giác ACED nội tiếp) Suy ra = Þ Bx // DE Mà BO ^ Bx và IQ ^ DE ( đƣờng nối tâm) Þ BO // IQ Tƣơng tự vẽ tiếp tuyến By của (I) ta cũng suy ra đƣợc BI // OQ suy ra BOQI là hình bình hành Suy ra OB = IQ và IB = OQ mà OB = OM và IB = IM Þ OM = IQ và IM = OQ ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  74. 73 Þ Tứ giác OIQM là hình thang nên OI // MQ Mà OI ^ BM Þ QM ^ BM Câu 6. Khi biết tổng nhƣng B nói : Tôi không biết 2 số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết. Do đó ta loại các cặp có tổng bằng 2; 3; 17; 18 là ()()()() vì nếu biết tổng này thì B phải đo{n đƣợc hai số đó ngay. Ngoài ra, dựa vào việc khẳng định C cũng không biết nên có c{c trƣờng hợp của tổng sau: TH1: 4 = 1+ 3 = 2 + 2 thì tích có thể bằng 3 = 1.3, C đo{n đƣợc ngay, Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trƣờng hợp này loại. TH2: 6 = 1 + 5 = thì tích có thể bằng 5 = 1.5, C đo{n đƣợc ngay! Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trƣờng hợp này loại. Tƣơng tự đối với c{c trƣờng hợp tổng là 7 = 2+ 5, 8 = 3+5, 9 = 4+5, 10 = 5+5, 11 = 5+6, 12 = 3+9, 13 =6+7, 14 = 7+7, 15 = 7+8, 16 = 8+8 cũng loại Do đó, sau khi B ph{t biểu thì C đo{n đƣợc tổng của 2 số là 5 ( = 1+4 = 2+3). Khi đó tích có thể là 4 = 1.4 = 2.2 hoặc 6 = 1.6 = 2.3. Vì C biết tổng bằng 5 và tích 2 số ( bằng 4 hay 6 ) nên suy ra đƣợc ngay. C nói : Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn. Nhƣ vậy C biết tích bằng 6 > 5. Sau đó B cũng biết vì hai số ban đầu có tổng bằng 5 và tích bằng 6. Vậy 2 số A chọn là 2 và 3. Đề số 6 Câu 1. 1) a) Ta có: æ+ -() + öæ() -() + ö =ç ÷ç - ÷ ç+ - + ÷ç- ÷ è()() øè ø æ öæ ö - + ()-() + =ç ÷ç - ÷ ç+ - + ÷ç- ÷ è()() øè ø æ ö =ç ÷() - - è+ ø ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  75. 74 ()+() - = = - + b) Ta có - Û í îï - < x 2 x 0 x 4 ì ³ Û í î < Vậy Î[ ) l| gi{ trị cần tìm 2) Ta có: = = = + + ()+ + +() + ()+ +() + = = = = ()+() + +() +() -() + + + Câu 2. a) Giải phương trình: - +() - - + = - (*) Û - + - +() - - + = Đặt: = - + ³ ta có phƣơng trình - +() - = . Û()()()() - + - = Û - + = é = Û ê ë = - ± TH1: =Þ -+=Û =Û= ì £ TH2: = - Û - + = - Û í î = (lo¹i). ± Vậy phƣơng trình có hai nghiệm = 4x2 4 x y 2 1 1 b) Giải hệ phương trình: . 4x2 3 xy y 2 1 2 ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  76. 75 2 Ta có 1 2x 1 y2 0 2 x 1 y 2 x 1 y 0 é = - - Û ê ë = + TH1: = - - thay v|o (2) ta đƣợc é = Þ = - + = Û ê - ê = Þ = ë TH2: = + thay v|o (2) ta đƣợc é = Þ = + = Û ê - ê = Þ = ë æ- ö Vậy hệ phƣơng trình có ba nghiệm ()()- ç ÷ . è ø Câu 3. 1) Phƣơng trình ho|nh độ giao điểm của d và P là 2x2 2 mx m 2 2 x 2 2 mx m 2 0 * 2 Ta có m2 2 m 2 m 1 3 0, m d luôn cắt P tại hai điểm ph}n biệt Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của (*). Theo định lý Viet ta có x1 x 2 m m 2 x x 1 2 2 Theo giả thiết é = - - = Û()() - + = Û ê ë = - m x2 TH1: x3 x 4 do đó ta có 1 2 3m x 1 4 m3 m m 2 . 3m2 8 m 16 0 (vô nghiệm). 4 4 2 ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  77. 76 x2 m TH2: x12 x 2 do đó ta có x1 2 m m 2 1 33 2m2 4 m 2 m 2 0 m 2 8 1 33 Vậy m l| gi{ trị cần tìm. 8 2) Ta có ++=++³()() +Þ++³()() + * Lƣu ý: Với điều kiện + + > Þ + > Þ ³ Þ ³ +()+ + + + + Tƣơng tự ta có ³ ³ + + + + + + + + Þ + + ³ = (ĐPCM) + + + + + Câu 4. 1) a) Ta có ^ ( giả thiết) Do đi qua t}m nên l| trung điểm của ÞD c}n tại Ta có = s® và = s® Do s®= s® . Suy ra = hay l| đƣờng ph}n gi{c của góc . ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  78. 77 b)Ta có = = Þ l| tứ gi{c nội tiếp Þ = Mặt kh{c = = Þ = Do đó + = + = Þ tứ gi{c nội tiếp Þ = = hay ^ 2) Từ kẻ c{c đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng , cắt đƣờng thẳng lần lƣợt tại và . + Ta có + = + = = (không đổi) Goi lần lƣợt l| hình chiếu vuông góc của trên Þ = ÞD = = D æ ö ç+ ÷ £ç ÷ = ÞDD ³ ç ÷ è ø AB AC Dấu “=” xảy ra khi v| chỉ khi MN// BC . AM AN AI 2 Vậy minSS . khi d l| đƣờng thẳng đi qua I v| song song với BC . AMN ABC AD2 Câu 5. + Đặt = Û - =() - , ()Î ¹ + ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  79. 78 Để - =() - Î ta có: ì - = í Þ = Þ = î - = Þ + + = + - + = + - = + + - + Vì + + l| số nguyên tố, + + l| số nguyên lớn hơn 1 Þ - + = Þ + + = + + Mà ³ ³ ³ Þ = = = Vậy = = = l| c{c gi{ trị cần tìm. Đề số 7 Câu 1. 1 1 1 1 Ta có: S= + + + + 1+ 3 3 + 5 5 + 7 20192- 2 + 2019 2 1 3 3 5 5 7 20192 2 2019 2 ÞS = + + + + 1 3 3 5 5 7 20192 2 2019 2 1- 3 + 3 - 5 + 5 - 7 + + 20192 - 2 - 2019 2 ÞS = -2 1 20192 1 2019 ÞS = = = 1009 2 2 Vậy S= 1009 Câu 2. a) Phƣơng trình: x2 - 2mx + m - 4 (1) Phƣơng trình (1) l| phƣơng trình bậc hai của x có: 2 D' =()() - m - 1. m - 4 = m2 - m + 4 2 æ1 ö 15 Þ D' =ç m - ÷ + > 0 với mọi m è2 ø 4 Vậy phƣơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Với mọi m phƣơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 . ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  80. 79 ìïx+ x = 2m Theo định lí Vi-ét, ta có: í 1 2 îïx1 x 2 = m - 4 Ta lại có: 2 2 3 3 x+ x x2 - x x + x 2 x1 x 2 x 1+ x 2 ()1 2() 1 1 2 2 x1+ x 2 = + Û x 1 + x 2 = Û x 1 + x 2 = x2 x 1 x 1 x 2 x1 x 2 2 2 2 æx- x x + x ö ()x1- x 2 Ûx + x1 1 2 2 - 1 = 0 Û x + x . = 0 ()1 2 ç ÷ ()1 2 èx1 x 2 ø x1 x 2 2 ()x1- x 2 Ûx1 + x 2 = 0 hoặc x1 x 2 · TH1: x1+ x 2 = 0 Û 2m = 0 Û m = 0 2 ()x1- x 2 ìïx= x ìD' = 0 · TH2: ÛÛí1 2 í (vô nghiệm vì D' > 0, " m) x x x x¹ 0 1 2îïx1 x 2 ¹ 0 î 1 2 Vậy với m= 0 thì thì phƣơng trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: 2 2 x1 x 2 x1+ x 2 = + x2 x 1 Câu 3. a) Giải phƣơng trình: 2x1- + 5x - = x22 - + - 2x2 + 11x5 - (2) ì2x- 1 ³ 0 1 Phƣơng trình x{c định Ûí Û £x £ 5 î5- x £ 0 2 Khi đó phƣơng trình (2) Û2x1 - + 5xx222x15x - = - +( - )( - ) ïì 2x- 1 = a Đặt í (a;b³ 0) Þx + 4 = a2 + b 2 Þ x - 2 = a 2 + b 2 - 6 îï 5- x = b 2 Ta có phƣơng trình: aba+=+-+2 b62ab 2 Û+()() ab -+-= ab60 Û(ab3ab2 + - )( + + ) = 0 Û ab30 + - = (do a+ b + 2 > 0, " a;b ³ 0) Û+=Û++ab3 a2 b 2 2ab9 =Û++ x422x15x( - )( -= ) 9 Û22x15x( =Û- )( ) () 5x 0 5x22x1() = 5x 0 ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  81. 80 é 5- x = 0 Û x = 5 (thoûa maõn) Û ê ëê4() 2x- 1 = 5 - x Û 9x = 9 Û x = 1 (thoûa maõn) Vậy phƣơng trình có tập nghiệm S={} 1;5 ïì2 x+ y + 2 x - y = 4 + x2 - y 2 b) Giải hệ phƣơng trình: í îï x+ y = 2 ïìa= x + y ĐKXĐ: x³ y ³ 0 . Đặt í ( a³ b ³ 0 ). Ta có: 2a+ 2b = 4 + ab îïb= x - y Û =Û(ab2a )( 2b4 ) 0 ab2 ()() 2b2 -=Û- 0 ()() a2b2 -= 0 éa- 2 = 0 Û x + y = 2 Û x + y = 4 Û ê ëêb- 2 = 0 Û x - y = 2 Û x - y = 4 ìïx+ y = 4 ìï x + y = 4 ìï x + y = 4 ìx= 4 · TH1: íÛÛÛ í í í ïîx+ y2 = îï xy2xy4 + + = îï xy0 = îy= 0 (do x³ y ³ 0 ) ïìx- y = 4 ïì x = y + 4 ïì x = y + 4 ìx= 4 · TH2: íÛÛÛ í í í ïîx+ y2 = ïî xy2xy4 + + = ïî y + xy0 = îy= 0 (do x³ y ³ 0 ) ìx= 4 Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất í îy= 0 Câu 4. ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  82. 81 1 a)Xét DABC và DADB có: BAD chung; ABC= ADB = sñBC 2 ÞDABC DADB (góc-góc) AB AD Þ = ÞAC.AD = AB2 (3) AC AB Do đƣờng tròn (O), A cố định Þ AB không đổi Þ AC.AD không đổi 2 b) DABO vuông tại B, đƣờng cao BH ÞAB = AH.AO (4) AC AO Từ (3) và (4) ÞAC.AD = AH.AO Þ = , mà OAD chung AH AD ÞDAHC DADO (cạnh-góc-cạnh) ÞAHC = ADO (5) Þ Tứ giác CHOD nội tiếp c)Tứ giác CHOD nội tiếp ÞOHD = OCD (6) DCOD cân tại O ÞOCD = ODC hay OCD= ADO (7) Từ (5); (6) và (7) ÞAHC = OHD Mà AHC+ BHC = OHD + BHD = 900 ÞBHC = BHD Þ BH là phân giác của CHD, BH cố định Þ ĐPCM Câu 4. 2 2 x4+ x 2 + x + 2 x() x+ 1 +() x + 2 a)Ta có: A = = x4+ 3x 3 + 7x 2 + 3x + 6 ()()()x4+ x 2 + 3x 3 + 3x + 6x 2 + 6 x2() x 2 + 1 +() x + 2 x2() x 2 + 1 +() x + 2 ÞA = = xx2()()() 2+ 13xx + 2 + 1 + 6x 2 + 1( x 2 + 1x )( 2 + 3x6 + ) Do A; x nguyên Þx2() x 2 + 1 +() x + 2 chia hết cho (x2+ 1 )( x 2 + 3x + 6 ) Þx2() x 2 + 1 +() x + 2 chia hết cho x2 + 1 Þx + 2 chia hết cho x2 + 1 Þ(x + 2 )( x - 2 ) chia hết cho x2 + 1 Þ-x2 4 chia hết cho x2 + 1 Þ()x2 + 1 - 5 chia hết cho x2 + 1 Þ 5 chia hết cho x2 + 1 Þx2 + 1 l| ƣớc dƣơng của 5Þx2 + 1 Î{}{}{} 1;5 Þ x 2 Î 0;4 Þ x Î 0;2 ± Thử lại: Với x= - 2 thì A nguyên ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ
  83. 82 Vậy với x= - 2 thì A nhận giá trị là một số nguyên. a2 b 2 c 2 b)Ta có: P = + + a+ 3 ab b + 3 bc c + 3 ca Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki (dạng phân thức). Ta có: 2 a2 b 2 c 2 ()a+ b + c P = + + ³ a+ 3ab b + 3bc c + 3ca a+ b + c + 3() ab + bc + ca a2 b 2 c 2 16 P = + + ³ a+ 3ab b + 3bc c + 3ca 4+ 3() ab + bc + ca (do a+ b + c = 4) Theo bất đẳng thức Cô-si. Ta có: a+ b ³ 2 ab ; b+ c ³ 2 bc ; c+ a ³ 2 ca Þ2a + 2b + 2c ³ 2ab + 2 bc + 2 ca 16 Þab + bc + ca £ a + b + c = 4 Þ P ³ = 1 4+ 3.4 ìa;b;c> 0 ï 4 Dấu ""= xảy ra Ûía + b + c = 4 Û a = b = c = ï 3 îa= b = c 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi a= b = c = 3 Đề số 8 Câu 1. a. Ta có xxxx-1 + 1 2( x + 1) ( xxx - 1)( + + 1) ( xxx + 1)( - + 1) 2( x + 1) A = - + = - + x- x x + x x x( x - 1) x ( x + 1) x 2x 2( x+ 1) 2( x + x + 1) = + = . x x x 2(x+ x + 1) Vậy A = với x>0, x ¹ 1. x b. ĐK: x>0, x ¹ 1. 2(x+ x + 1) 2 x - 1 A=Û B = Û2 x x -= 2 2 x x -Û=Û= x x 2 x 4(TMĐK). x x -1 ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ