39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án)

Nội dung text: 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án)

1. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Sơ lược lời giải Điểm MA2 OM 2 2OA 0,25 Suy ra 1 1 (1) OA2 OA2 OA Tương tự gọi B1,C1 là các điểm tương tự như A1 thì ta có MB2 OM 2 2OB 1 1 (2) OB2 OB2 OB 0,25 MC 2 OM 2 2OC 1 1 (3) OC 2 OC 2 OC Từ 1 , 2 , 3 ta có 0,25 2 1 1 1 OA1 OB1 OC1 T OM 2 2 2 2 3 OA OB OC OA OB OC H ABC Gọi là trực tâm của tam giác thì ta có 0,25 1 1 1 1 OA2 OB2 OC 2 OH 2 2 OM OA1 OB1 OC1 Nên T 2 2 3 OH OA OB OC OA NM S Mặt khác 1 MBC OA NA SABC OB S OC S Tương tự 1 MAC , 1 MAB OB SABC OC SABC OA OB OC Nên 1 1 1 1 OA OB OC OM 2 Do đó T 1 2 do OM OH . OH 2 Vậy MinT 2 khi M  H . 1 1 1 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 6 3a 2b c 0,25 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c P . VI a 4bc b 9ca c 36ab (2,0 1 1 1 0,25 P 4bc 9ca 36ab điểm) 1 1 1 a b c . 1 1 1 0,25 2 2 2 bc ca ab 1 2 1 3 1 6 a b c DeThi.edu.vn
2. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Sơ lược lời giải Điểm bc ca ab Đặt x 2 , y 3 , z 6 xy 6c; yz 18a; zx 12b . a b c 0,25 Theo giả thiết ta có: 1 1 1 1 1 1 6 1 3a 2b c 18a 12b 6c . 1 1 1 1 x y z xyz yz zx xy 0,25 Vậy tồn tại ba gócA, B,C của một tam giác sao cho x tan A, y tan B, z tanC . 1 1 1 P cos A cos B cosC 2 2 2 0,25 1 tan A 1 tan B 1 tan C C C A B A B cos A cos B cosC cos 2cos .cos 2cos 3 .cos 3 3 2 2 2 2 C 0,25 A B cos A cos B cosC cos 2cos 2cos 3 3 2 2 A B C A B C cos A cos B cosC cos 4cos 3 cos 3 0,25 3 4 4 cos A cos B cosC cos 2 3 3 cos A cos B cosC 2 Dấu bằng xảy ra khi yz zx xy 1 1 A B C x y z 3 x y z . 3 3 x y z 1 bc 3 2 3 bc a a 4 a 1/ 6 ca 1 3 3 ca b b 1/ 4 b 3 c 1/ 2 Khi đó ab 1 6 3 ab c c 12 DeThi.edu.vn
3. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Sơ lược lời giải Điểm 1 a 6 3 1 Giá trị lớn nhất của P là khi b 2 4 1 c 2 DeThi.edu.vn
4. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2023-2024 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 02 trang) Câu 1. (5,0 điểm) a) Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu tương ứng gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo giây. 7 P(t) 100 20sin t 3 Trong khoảng thời gian từ 0 đến 2 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 90 mmHg. b) Cho phương trình m 1 log3 x 2m 1 log3 x 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 3 x1 x2 10. Câu 2. (6,0 điểm) a) Cho đa giác đều có 4n đỉnh n ¥ *,n 2 . Gọi S là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba trong 4n đỉnh của đa giác đều đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S. Gọi A là biến cố: “Tam giác được chọn là tam giác vuông nhưng không cân”. Tìm giá trị nguyên 2 dương nhỏ nhất của n, biết rằng xác suất của biến cố A nhỏ hơn . 7 b) Cho dãy un xác định bằng hệ thức truy hồi u 2024 1 2 . Tính giới hạn của dãy số u . n 1 u n2 2n u 2023 n n 1 n Câu 3. (5,0 điểm) a) Cho khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D có đáy ABCD là hình vuông và A' A A' B A'C a . Biết góc giữa hai mặt phẳng BDD B và ABCD bằng 600 , tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a. b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 3a, SA SB SD a 6 và tam DeThi.edu.vn
5. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn giácABD đều. Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua B và vuông góc với mặt phẳng (SCD) . Gọi là góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (P) . Tìm giá trị lớn nhất của sin . Câu 4. (4,0 điểm) a) Trong một hoạt động ngoại khóa của Đoàn trường, lớp Thảo định mở một gian hàng bán trà sữa và kem que. Biết giá gốc một ly trà sữa là 15000 đồng, một que kem là 5000 đồng. Các bạn dự kiến bán trà sữa với giá 20000 đồng/1ly và kem giá 8000 đồng/1que. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế, các bạn trong lớp dự kiến tổng số ly trà sữa và số que kem bán được không vượt quá 200. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Thảo được dùng không quá 2000000 đồng. Hỏi lớp Thảo có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu? b) Gọi S là tập hợp các số nguyên dương n thỏa mãn tính chất “n có đúng 35 ước số nguyên dương”. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất của tập hợp S đã cho. ------------HẾT------------ DeThi.edu.vn
6. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm Câu 1. (5,0 điểm) a) Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu tương ứng gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo giây. 7 P(t) 100 20sin t 3 Trong khoảng thời gian từ 0 đến 2 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 90 Câu 1.a mmHg. (3 điểm) b) Cho phương trình m 1 log3 x 2m 1 log3 x 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 3 x1 x2 10. 7 7 1 P(t) 90 100 20sin t 90 sin t 3 3 2 1 12 t k 1.0 7 14 14 sin t sin k,n ¢ . 3 6 7 12 t n 1.0 14 14 1 12 1 12 1 29 +) Với t k ta có 0 k 2 k k 1;2 . 14 14 14 14 12 12 0.5 7 12 +) Tương tự với t n ta có n 0;1 . 14 14 0.5 Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 2 giây, có 4 lần huyết áp là 90 mmHg. Cho phương trình m 1 log3 x 2m 1 log3 x 0 ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Câu 1.b 3 x x 10. (2 điểm) 1 2 log x m 1 x 3 m 1 1 3 . 1 2m 0.5 log3 x 1 2m x 3 DeThi.edu.vn
7. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn x 3 m 1 Vai trò x , x như nhau nên giả sử 1 . 0.5 1 2 1 2m x2 3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khi m 1 1 2m m 2 . 0.5 2 3 x x 10 3 3 m 1 31 2m 10 3 m 9. 3 m 10 0 1 2 0.5 3 m 1 m 0 . Cho đa giác đều có 4n đỉnh n ¥ *,n 2 . Gọi S là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba trong 4n đỉnh của đa giác đều đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S. Gọi A là biến cố: “Tam giác được chọn là tam giác vuông nhưng không cân”. Tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của n, biết rằng xác suất 2 của biến cố A nhỏ hơn . 7 3 Số phần tử không gian mẫu là n  C4n . Gọi A là biến cố cần tìm xác suất. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đều đã cho. Số đường chéo đi qua O của đa giác là 2n. Mỗi tam giác vuông ứng với cạnh huyền là một đường chéo qua O và 0.5 Câu 2.a đỉnh còn lại của nó là một trong 4n - 2 đỉnh còn lại của đa giác. (3 điểm) Số cách chọn một đường chéo qua O là 2n. 0.5 Số cách chọn một đỉnh còn lại trong 4n - 2 đỉnh của đa giác là 4n - 2. Số tam giác vuông là 2n(4n - 2). 0.5 Số tam giác vuông cân là 4n. Do đó số tam giác vuông nhưng không cân là 2n(4n 2) 4n 8n n 1 . 0.5 Suy ra n(A) 8n(n 1) . n(A) 8n n 1 8n n 1 6n 6 0.5 P A . 3 2 n() C4n 4n 4n 1 4n 2 8n 6n 1 6 0.5 n 2 6n 6 2 Theo đề ta có 16n2 54n 44 0 11 . 8n2 6n 1 7 n 8 Vậy giá trị nguyên dương nhỏ nhất thỏa đề bài là n 3. Cho dãy un xác định bằng hệ thức truy hồi Câu 2.b u 2024 1 (3 điểm) 2 . Tính giới hạn của dãy số u . n 1 u n2 2n u 2023 n n 1 n DeThi.edu.vn
8. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn n2 2n 2023 1 2023 un 1 un 1 un . n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 0.5 1 2023 u 2023 u 2023 1 u 2023 u 2023 n . n 1 2 n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 0.5 Đặt vn un 2023 , v1 2024 2023 1. 0.5 1 1 n 2 n vn 1 vn 2 vn vn 1 2 2 vn , n 1. n 1 n 1 n 1 0.5 n 1 n 1 n n 2 n 1 n 3 vn .vn 1...v2 vn 1 . vn 2 . vn 3 ...v1 . n2 n 1 2 n 2 2 0.5 n 1 n 1 4047n 1 Suy ra v v u v 2023 2023 . n 2n 1 n n 2n 2n 0.5 4047n 1 4047 lim un lim . n n 2n 2 Cho khối lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình vuông và A' A A' B A'C a Biết góc giữa hai mặt phẳng BDD B và ABCD bằng 600 , tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a . 1.0 Câu 3.a Gọi O AC  BD, O A C  B D . (3 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (ABCD) . Vì A' A A' B A'C a nên HA HB HB , do đó H  O . Vì hai mặt phẳng ABCD và A B C D song song nhau nên góc giữa 1.0 hai mặt phẳng BDD B và ABCD bằng góc giữa hai mặt phẳng BDD B và A B C D . 0.5 BD  AC BD  A AO B D  A AO B D  OO . BD  A O Lại có B D  A O . Do đó góc giữa hai mặt phẳng BDD B và A B C D bằng O· O A ·A AO 600 . 0.5 DeThi.edu.vn
9. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn a 3 a a2 Tính được A O , AO , S . 2 2 ABCD 2 3 Thể tích khối lăng trụ đã cho là V A O.S a3. ABCD 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 3a, SA SB SD a 6 và tam giác ABD đều. Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua B và vuông góc với mặt phẳng (SCD) . Gọi là góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (P) . Tìm giá trị lớn nhất của sin . 0.5 Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều ABD. SA SB SD SH (ABD) . Câu 3.b B P  (SCD), P  (SCD) (2 điểm) 0.5 Gọi E là hình chiếu của B lên BE  SCD Gọi K là hình chiếu của H lên SD, SHD  (SCD) HK  SCD 3 3 BE d A; SCD d A; SCD d H; SCD HK . 2 2 0.5 AB 3a HD a 3; SH SD 2 DH 2 6a 2 3a 2 a 3 . 3 3 3a 6 Suy ra BE . 4 Gọi F là hình chiếu của D lên DF  P . Suy ra góc tạo bởi BD và P là D· BF . 0.5 FD DE sin , dấu bằng xảy ra khi F  E . BD BD 3 5 2 2 a DE BD BE 2 2 5 10 . BD BD 3a 2 2 4 DeThi.edu.vn
10. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 10 Vậy GTLN của sin bằng . 4 Trong một hoạt động ngoại khóa của Đoàn trường, lớp Thảo định mở một gian hàng bán trà sữa và kem que. Biết giá gốc một ly trà sữa là 15000 đồng, một que kem là 5000 đồng. Các bạn dự kiến bán trà sữa với giá 20000 đồng/1ly và kem giá 8000 đồng/1que. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế, các bạn trong lớp dự kiến tổng số ly trà sữa và số que kem bán được không vượt quá 200. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Thảo được dùng không quá 2000000 đồng. Hỏi lớp Thảo có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu? Gọi x, y lần lượt là số ly trà sữa và số que kem mà lớp Thảo định nhập về để bán ( x, y ¥ ) . Số tiền lợi nhuận thu được là F x; y 5x 3y (nghìn đồng). x y 200 x y 200 1.0 15000x 5000y 2000000 3x y 400 Theo đề ta có hệ . x 0 x 0 y 0 y 0 Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác OABC (kể cả biên) Câu 4.a như hình vẽ dưới đây. 1.0 (3 điểm) 0.5 Nếu bán hết số hàng nhập về thì lợi nhuận là F 5.100 3.100 800. max Lợi nhuận đạt được là 800 nghìn đồng. Ghi chú: Nếu học sinh biến đổi như sau thì vẫn cho điểm tối đa: 0.5 F x; y 5x 3y 2(x y) (3x y) 2.200 400 800. x y 200 x 100 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . 3x y 400 y 100 Kết luận Fmax 800 . Gọi S là tập hợp các số nguyên dương n thỏa mãn tính chất “ n có đúng 35 ước số nguyên dương”. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất của tập hợp S đã cho. DeThi.edu.vn