›
›
›

5 Chuyên đề luyện thi môn Toán Lớp 10 - Nhóm Toán THCS

docx 213 trang thaodu 8290
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "5 Chuyên đề luyện thi môn Toán Lớp 10 - Nhóm Toán THCS", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docx5_chuyen_de_luyen_thi_mon_toan_lop_10_nhom_toan_thcs.docx

Nội dung text: 5 Chuyên đề luyện thi môn Toán Lớp 10 - Nhóm Toán THCS

  1. 1/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10 CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TOÁN PHỤ A. LÝ THUYẾT 1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC 2 A neu A 0 1. A A A neu A < 0 2. AB A B (Với A 0; B 0 ) A A 3. (Với A 0; B 0 ) B B 4. A2 B A B (Với B 0 ) 5. A B A2 B (Với A 0; B 0 ) 6. A B A2 B (Với A 0; B 0 ) A 1 7. AB (Với A 0; B 0 ) B B A A B 8. (Với B 0 ) B B C C A B 2 9 (Với A 0;A B ) A B A B2 C C A B 10 (Với A 0; B 0;A B ) A B A B 3 11 3 A 3 A3 A 2. XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC BIỂU THỨC - ĐKXĐ: VÍ DỤ 1. A ĐKXĐ: A 0 Ví dụ: x 2018 ĐKXĐ: x 2018 Nhóm Toán THCS:
  2. 2/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê A x 2 2. ĐKXĐ: B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 A x 2 3. ĐKXĐ: B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 A x x 0 4. ĐKXĐ: A 0; B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 x 3  A 0  x 1 0   A  B 0 x 1  x 2 0 x 2 5. ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ:  B  A 0 x 2  x 1 0 x 1    B 0  x 2 0 Cho a > 0 ta có:   2 x a 6. 2 x a Ví dụ: x 1  x a  x a x a Cho a > 0 ta có: 7. x2 4 2 x 2 x2 a a x a Ví dụ: Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Dạng tổng quát 1: A(x) k A(x) k (k 0) với k là hằng số 2. Dạng tổng quát 2: A(x) B(x) A(x) B(x) 3. Dạng tổng quát 3: A(x) B(x) A(x) 0 A(x) B(x) Trường hợp 1 Nếu thì phương trình trở thành A(x) 0 A(x) B(x) Trường hợp 2 Nếu thì phương trình trở thành Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Nhóm Toán THCS:
  3. 3/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Dạng tổng quát 1: f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) 1. Đặc biệt với hằng số k 0 thì f (x) k k f (x) k Dạng tổng quát 2:  f (x) g(x) f (x) g(x)   f (x) g(x) 2.  f (x) k Đặc biệt với hằng số k 0 thì f (x) k   f (x) k 3. Dạng tổng quát 3: f (x) g(x) f (x) 2 g(x) 2 Trường hợp 1 f (x) g(x) f (x) 2 g(x) 2 Trường hợp 2 Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô – Si cho hai số a, b không âm ta có: a b 2 ab Dấu “ = ” xảy ra a b 1 Ví dụ: chox 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x x Hướng dẫn 1 1 Vì x 1 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có A x 2 x. 2 x x 1 Dấu “ = ” xảy ra x x 1 x Vậy Amin 2 x 1 1 Ví dụ: chox 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B x x Hướng dẫn 1 1 Cách giải sai: Vì x 2 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có B x 2 x. 2 x x Nhóm Toán THCS:
  4. 4/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 Dấu “ = ” xảy ra x x 1 (không thỏa mãn vì x 2 ) x Vậy Bmin 2 x 1 Gợi ý cách giải đúng: 1 1 nx Dự đoán Bmin đạt được tại mức x 2 ta có B nx x nx . Dấu “ = ” xảy ra x x x 2 3x x 1 Do đó ta có B Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có 4 4 x 4 1 x 1 1 2 . 2. 1 x x 4 x 2 x 1 Dấu “ = ” xảy ra x 2 (vì x 2 ) 4 x 5 Vậy B x 2 min 2 1 Ví dụ: chox 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C x x Hướng dẫn 1 8x x 1 10 Tương tự: Vì x 3 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có C x x 9 9 x 3 Dấu “ = ” xảy ra x 3 x 12 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D với x 0 x 2 Hướng dẫn 16 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có D x 2 4 4 x 2 Dấu “ = ” xảy ra x 4 Nhóm Toán THCS:
  5. 5/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3. CÁC BƯỚC RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn x 2 x 2 x 1 Ví dụ: Rút gọn biểu thức A . x 1 x 2 x 1 x 1 x Hướng dẫn x 0 Điều kiện: x 1 x 2 x 2 x 1 A . x 1 x 2 x 1 x 1 x   x 2 x 2 x 1 x x A  .  2  x 1 x 1 x 1 x     x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 A  .  2 2  x 1 x 1 x 1 x 1 x   2 x x 1 A 2 . x 1 x 1 x 2 A x 1 Nhóm Toán THCS:
  6. 6/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các bài toán rút gọn, tính giá trị của biểu thức chứa số Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức. a) A 6 2 5 b) B 4 12 c) C 19 8 3 d) D 5 2 6 Hướng dẫn 2 a) A 6 2 5 5 1 5 1 5 1 2 b) B 4 12 4 2 3 3 1 3 1 2 c) C 19 8 3 4 3 4 3 4 3 2 d) D 5 2 6 3 2 3 2 3 2 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức. a) A 4 2 3 b) B 8 2 15 c) C 9 4 5 d) D 7 13 7 13 Hướng dẫn 2 a) A 4 2 3 3 1 3 1 2 b) B 8 2 15 15 1 15 1 2 c) C 9 4 5 2 5 5 2 1 D 7 13 7 13 14 2 13 14 2 13 2 d) 1  2 2   13 1 13 1  2 2   Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức. Nhóm Toán THCS:
  7. 7/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 4 1 6 2 5 5 2 6 B a) A b) 5 1 3 2 5 2 6 2 6 5 1 1 1 1 c) C 1 2 2 3 3 4 99 100 d) D 3 5 2 7 3 5 2 7 Hướng dẫn 6 2 5 5 2 6 5 1 3 2 a) A 2 5 1 3 2 5 1 3 2 3 4 1 3 5 2 4 6 2 B 6 5 b) 5 2 6 2 6 5 3 4 5 2 6 2 6 5 2 6 1 1 1 1 C c) 1 2 2 3 3 4 99 100 2 1 3 2 4 3 100 99 9 5 2 7 5 2 7 D 3 5 2 7 3 5 2 7 2 2 2 d) 3 5 2 7 3 5 2 7 5 2 7 3 5 2 7 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức. a) A 3 2 2 6 4 2 b) B 9 4 5 9 4 5 3 3 5 2 10 c) C 14 6 5 21 d) D 6 2 5 Hướng dẫn a) A 3 2 2 6 4 2 2 1 2 2 2 2 3 b) B 9 4 5 9 4 5 5 2 5 2 2 2 c) C 14 6 5 21 7 3 . 10 2 21 7 3 . 7 3 4 Nhóm Toán THCS:
  8. 8/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 3 5 2 10 5 1 3 2 3 2 5 1 d) D 2 6 2 5 5 1 4 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức. a) A 4 2 3 4 2 3 c)C 3 5 2 7 3 5 2 7 D 3 2 5 3 2 5 b) B 5 3 29 12 5 d) Hướng dẫn a) A 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 2 3 b) B 5 3 29 12 5 5 6 2 5 5 5 1 1 14 C 3 5 2 7 3 5 2 7 2 2 2 c) 3 5 2 7 3 5 2 7 5 2 7 3 5 2 7 4 d) D 3 2 5 3 2 5 1 2 2 3 2 5 3 2 5 2 5 3 2 5 Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức. a) A 7 4 3 7 4 3 b) B 5 13 4 3 3 13 4 3 c) C 3 20 14 2 3 20 14 2 d) D 3 9 4 5 3 9 4 5 Hướng dẫn a) A 7 4 3 7 4 3 2 3 2 3 2 3 b) B 5 13 4 3 3 13 4 3 5 2 3 1 3 2 3 1 5 2 3 1 3 2 3 1 2 3 c) C 3 20 14 2 3 20 14 2 40 4 2 2 3 20 14 2 3 20 14 2 20 14 2 3 20 14 2 Nhóm Toán THCS:
  9. 9/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 18 d) D 3 9 4 5 3 9 4 5 3 2 2 3 9 4 5 3 9 4 5 9 4 5 3 9 4 5 Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức. a) A 11 6 2 11 6 2 b) B 41 12 5 41 12 5 c)C 3 2 2 6 4 2 d) D 5 3 29 12 5 Hướng dẫn a) A 11 6 2 11 6 2 3 2 3 2 6 b) B 41 12 5 41 12 5 6 5 6 5 2 5 c) C 3 2 2 6 4 2 2 1 2 2 2 2 3 d) D 5 3 29 12 5 5 3 2 5 3 5 5 1 1 Các bài toán rút gọn chứa ẩn và bài toán phụ Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC A KHI x x0. Phương pháp: Rút gọn giá trị của biến (nếu cần) sau đó thay vào biểu thức đã cho rồi thay vào biểu thức đã cho rồi tính kết quả. Ví dụ: Cho biểu thức A 2x x 4 a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A khi x 3. Hướng dẫn 2x x 4 khi x 4 3x 4 khi x 4 a) Ta có A 2x x 4 2x x 4 khi x < 4 x 4 khi x < 4 b) Khi x 3 ta có: A 3 4 7. x 1 2 x 2 5 x Ví dụ: Cho biểu thức A x 2 x 2 4 x Nhóm Toán THCS:
  10. 10/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Rút gọn biểu thức A. 2 b) Tính giá trị của A khi x . 2 3 Hướng dẫn x 1 2 x 2 5 x 2x x 1 x 2 2 x x 2 2 5 x 2x a) A x 2 x 2 4 x 2 x 2 x x 4 x 4 2 x với ĐKXĐ: x 0; x 2. 2 x 2 x 2 x 2 2 b) Ta có: x 2 2 3 3 1 x 3 1 2 3 2 2 3 1 1 3 3 2 3 Khi x . Ta có: A . 2 3 2 3 1 3 3 3 x 2 x 2 4x Ví dụ: Cho biểu thức A : 2 x 1 x 2 x 1 x 1 a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết x 5 4. Hướng dẫn 2 x 2 x 2 4x x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 A : . a) 2 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 4x 2 2 x x 1 x 1 2 . với ĐKXĐ: x 0; x 1. x 1 x 1 4x 2 x 3 1 2 b) Khi x 5 4 x 5 4 x 9 x 3 . Ta có A 6 3 2 xy x y 2 x A . Ví dụ: Cho biểu thức x y 2 x 2 y x y Nhóm Toán THCS:
  11. 11/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Rút gọn A. x 4 b) Tính giá trị của A biết . y 9 Hướng dẫn 2 xy x y 2 x 4 xy x 2 xy y 2 x a) A . . x y 2 x 2 y x y 2 x y x y x y 2 x y 2 x x . 2 x y x y x y x y 1 x y y b) Ta có 1 A x x x 4 y 3 1 3 5 2 Khi . Ta có 1 A y 9 x 2 A 2 2 5 x2 2x 2x2 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức A 2 3 2 . 1 2 . 2x 8 x 2x 4x 8 x x a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết x 4 2 3. Hướng dẫn 2 2 x 2x x 2 4x x2 x 2 x3 4x x 1 x 2 x 1 a) A . 2 . 2 2 x 2 x 2x 2 x 4 x 2 2 x 4 x 2 với ĐKXĐ: x 0; x 2. 3 1 1 3 3 b) Khi x 4 2 3 3 1 . Ta có A 2 3 2 5 x x 1 1 Ví dụ: Cho biểu thức A . x 9 x 3 x 3 Nhóm Toán THCS:
  12. 12/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết x 11 6 2 . 1 1 c) Tính giá trị của A biết x . 3 1 3 1 2 2 d) Tính giá trị của A biết x 2 . 3 1 3 1 Hướng dẫn x x x 3 x 3 x 2 a) A với ĐKXĐ: x 0; x 9. x 3 x 3 x 3 2 5 2 28 2 b) Khi x 11 6 2 3 2 x 3 2 . Ta có: A . 6 2 34 1 1 3 c) Khi x 1 x 1 . Ta có: A . 3 1 3 1 4 2 2 2 3 1 3 1 d) Khi x 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 4 (Loại) 3 1 3 1 Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: • Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A = k thì ta biến đổi A−k = 0 tính kết quả, kết hợp với điều kiện để kết luận. • Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A > k (≥,≤, 0 với điều kiện của đề bài để tìm x. 2 x 1 Ví dụ: Cho biểu thức Avới xTìm 0 , x để4 . x A . 2 x 2 Hướng dẫn Nhóm Toán THCS:
  13. 13/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 2 x 1 ĐểA 2 x 4 x 2 x 6 x 36. (thỏa mãn điều kiện) 2 2 x 2 1 2 2 1 Ví dụ: Cho biểu thức A : . x 2 x 4 x 4 x 4 x 2 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 0. Hướng dẫn x 2 2 2 x 2 x x 2 x 2 2 x A : . a) 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 với ĐKXĐ: x 0, x 4. 2 x b) Để A 0 0 x 2 x 4. (không thỏa mãn điều kiện) x 2 x x x 2 x x 2 Ví dụ: Cho biểu thức P và Q với x 0; x 4. x 2 x 2 x 4 x 2 a) Rút gọn P. b) Tìm x sao cho P= 2. Hướng dẫn x x 2 x x 2 x 2 x x a) P . x 2 x 2 x 2 x b) Để P 2 2 x 4 x 16. (TMĐK) x 2 1 Ví dụ: Cho biểu thức A với x 0, x 9. Tìm x để A > 1. x 3 Hướng dẫn 1 1 x 4 Để A 1 1 1 0 0 x 3 x 3 x 3 Nhóm Toán THCS:
  14. 14/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê  x 4 0  x 16    x 3 0  x 9  9 x 16 (TMĐK)  x 16  x 4 0    x 9  x 3 0  3 x 5 3 Ví dụ: Cho biểu thức Avới Tìm x để 0 . x A . 2 x 1 2 Hướng dẫn 3 3 x 5 3 13 Cách 1: Để A 0 (luôn đúng) 2 2 x 1 2 2 2 x 1 3 13 Cách 2: Xét hiệu A 1. Hướng dẫn x 3 x 3 x 3 x 3 1 a) A : . với x 0, x 9. x x 3 x 3 x x 3 x 3 1 x 2 b) Để A 1 1 0 0 4 x 9. (TMĐK) x 3 x 3 x2 2x 2x2 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức A 2 3 2 . 1 2 . 2x 8 x 2x 4x 8 x x a) Rút gọn A. 1 b) Giải bất phương trình A . 3 Nhóm Toán THCS:
  15. 15/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Hướng dẫn 2 2 x 2x x 2 4x x2 x 2 x3 4x x 1 x 2 x 1 a) A . 2 . 2 2 x 2 x 2x 2 x 4 x 2 2 x 4 x 2 với ĐKXĐ: x 0, x 2. 1 x 3 x 3 b) Để A 0  (TMĐK) 3 6x x 0 x x x 2 x x 2 Ví dụ: Cho biểu thức P và Q với x 0; x 4. x 2 x 2 x 4 x 2 a) Rút gọn P. 1 b) Tìm M = P : Q. Tìm giá trị của x để M 2 . 4 Hướng dẫn x x 2 x x 2 x 2 x x a) P . x 2 x 2 x 2 x b) M P :Q x 2 1 1 x 1 x 2 Để M 2 0 M 0 x 2 x 4. 4 2 x 2 2 2 x 2 Kết hợp với ĐKXĐ: 0 x 4. x 1 x x 2 Ví dụ: Cho biểu thức A và B với x 0, x 1, x 4. x 2 x x 2 a) Tính giá trị biểu thức A khi x 27 10 2 18 8 2 8 B b) Rút gọn biểu thức P . A 3 c) Tìm giá trị nguyên của x để P x . 2 Hướng dẫn Nhóm Toán THCS:
  16. 16/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Khi x 5 2 4 2 8 9 x 3 . Ta có A 2 B x x 2 x 2 x x 2 b) P . A x 1 x 2 x 1 x 1 3 x x x 2 x 3 2x x 2x 4 x 3x 3 c) Để P x 0 0 2 x 1 x 1 2 2 x 1 x 1 1 3 x 3 x 3 Ví dụ: Cho biểu thức: A : x 3 x x 9 x x 3 x 3 x a) Rút gọn. b) Tìm x để A 1 Hướng dẫn: ĐK: x 0; x 9 1 3 x 3 x 3 A : x 3 x x 9 x x 3 x 3 x 1 3 x 3 x 3 A : x 3 x( x 3)( x 3) x 3 x( x 3) x 3 x 3 x 3 x 3 A : x( x 3)( x 3) x( x 3) x 3 x 3 x( x 3) A . x( x 3)( x 3) x 3 x 3 1 A x 3 Nhóm Toán THCS:
  17. 17/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 1 x 3 1 0 x 3 x 3 4 x b) Với x 0; x 9 để A 1 thì 0 x 3  4 x 0  x 16    x 3 0  x 9  9 x 16  x 16  4 x 0    x 9  x 3 0  Với x 0; x 9 để A 1 thì 9 x 16 x2 2x 2x2 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A 2 3 2 : 1 2 2x 8 x 2x 4x 8 x x a) Rút gọn. 1 b) Giải bất phương trình A 3 HDG: ĐKXĐ: x 0; x 2 x2 2x 2x2 1 2 A 2 3 2 . 1 2 2x 8 x 2x 4x 8 x x x2 2x 2x2 x2 x 2 A 2 2 . 2 2(x 4) (x 4)(x 2) x x3 2x2 2x2 4x 4x2 x2 x 2 A . 2(x2 4)(x 2) x2 x(x2 4) x2 x 2 A . 2(x2 4)(x 2) x2 (x 1)(x 2) x 1 A 2x(x 2) 2x Nhóm Toán THCS:
  18. 18/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 1 1 3x 3 2x x 3 0 0 2x 3 6x 6x 1  x 3 0  x 3 b) Với x 0; x 2 để A thì   3  x 0  x 0 x 0   x 3 0  x 3 x 3    x 0  x 0 x x x 2 x x 2 Ví dụ: Cho biểu thức: P và Q với x 0; x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 a) Rút gọn P 1 b) Biết M P :Q Tìm giá trị của x để M 2 4 HDG: a) Với x 0; x 4 ta có: x x x 2 x x x x( x 2) P x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 ( x 2)( x 2) x P x 2 x x 2 x M P :Q : b) x 2 x 2 x 2 1 1 1 M 2 (M )(M ) 0 4 2 2 x 1 x 1 0 x 2 2 x 2 2 x 1 x 1 Để Do 0 0 x 2 2 x 2 2 x 2 0 x 2 0 2( x 2) x 4 2 1 Với x 0; x 4 M thì 0 x 4 để 4 Nhóm Toán THCS:
  19. 19/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 1 x x 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A và B với x 0; x 1; x 4 x 2 x x 2 a) Tính giá trị biểu thức A khi x 27 10 2 18 8 2 8 B b) Rút gọn biểu thức P A 3 c) Tìm giá trị nguyên của x để P x 2 HDG: 2 2 x 27 10 2 18 8 2 8 5 2 3 2 8 a)Ta có: x 5 2 3 2 8 10 0 x 10(TM ) A Thay vào biểu thức ta có: 10 1 ( 10 1)( 10 2) 9 10 2 A 10 2 10 4 6 x x 2 x x 2 B b) x x 2 ( x 1)( x 2) B x x 2 x 1 x x 2 P : Có: A ( x 1)( x 2) x 2 x 1 DẠNG 3: SO SÁNH BIỂU THỨC A VỚI k HOẶC BIỂU THỨC B (k là hằng số) Phương pháp: Nếu đề bài yêu cầu so sánh biểu thức A với hằng số A hay biểu thức khác là A thì ta đi xét hiệu A và xét dấu biểu thức này rồi kết luận. 2 x x 9 x x 5 x Ví dụ: Cho biểu thức: A và B với x 0; x 9; x 25 x 3 x 9 x 25 a) Rút gọn A A b) Hãy so sánh P với 1 B Hướng dẫn: Nhóm Toán THCS:
  20. 20/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x a) A x 3 A x x 5 x x 5 b)Ta có: P : B x 3 x 25 x 3 x 5 8 Xét hiệu: P 1 1 0 với x 0; x 9; x 25 x 3 x 3 2 x 9 x 3 2 x 1 Ví dụ: Cho biểu thức: A với x 0; x 9; x 4 x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn A 1 b) Hãy so sánh với 1 A HDG: a) với x 0; x 9; x 4 2 x 9 x 3 2 x 1 2 x 9 x 9 2x 3 x 2 A x 5 x 6 x 2 3 x ( x 2)( x 3) x x 2 x 1 A ( x 2)( x 3) x 3 1 x 3 x 3 x 1 4 1 1 0 b) Xét hiệu: A x 1 x 1 x 1 1 1 1 0 1 Vậy A A 3x 9x 3 x 1 x 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A với x 0; x 1 x x 2 x 2 1 x a) Rút gọn A 1 b) Hãy so sánh A với 2 HDG: Với x 0; x 1 Nhóm Toán THCS:
  21. 21/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3x 9x 3 x 1 x 2 3x 3 x 3 x 1 x 4 A x x 2 x 2 1 x x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 A x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 1 2 x x x 1 Ví dụ: Cho biểu thức: A : với x 1 x x x x 1 x x x x 1 x 1 x 0; x 1 a) Rút gọn A b) Hãy so sánh A với 1 1 2 x x x 1 A : x 1 x x x x 1 x x x x 1 x 1 1 2 x x( x 1) 1 A : x 1 ( x 1)(x 1 ( x 1)(x 1) x 1 ( x 1)2 x 1 x 1 x 1 x 1 A : . ( x 1)(x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 A 1 1 0 x 1 3( x 1) 3 x 1 Xét hiệu A 1 x 1 6 x 1 x Ví dụ: Cho biểu thức: A 2 : 2 x 3 (2 x 3)( x 1) x 1 a) Rút gọn A 3 b) Hãy so sánh A với 2 x 1 6 x 1 x A 2 : 2 x 3 (2 x 3)( x 1) x 1 4 x 6 x 1 6 x 1 2x 3 x A : 2 x 3 ( x 1)(2 x 3) 3 x 5 ( x 1)(2 x 3) 3 x 5 A . 2 x 3 2x 3 x 1 2 x 1 Nhóm Toán THCS:
  22. 22/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 3 x 5 3 6 x 10 6 x 3 13 A 0 2 2 x 1 2 2(2 x 1) 2(2 x 1) 3 3 Xét hiệu: A 0 A 2 2 DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA ĐỂx BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dưới dạng phân thức có tử là số nguyên, lí luận chặt chẽ để rồi chỉ ra mẫu phải thuộc ước của tử và kết luận. 1 5 6 6 Ví dụ: Cho biểu thức: A : x 1 x 3 9 x x 2 a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên Hướng dẫn: a) Điều kiện: x 0; x 9 1 5 6 6 x 3 5( x 3) 6 x 2 A : . x 1 x 3 9 x x 2 ( x 3)( x 3) 6 6 x 18 x 2 x 2 A . ( x 3)( x 3) 6 x 3 x 2 x 3 5 5 b) Ta có: A 1 x 3 x 3 x 3 5 A có giá trị nguyên có giá trị nguyên x 3 U (5) x 3 { 1;1; 3;3} x 3 Ta biết rằng khi x là số nguyên thì x hoặc là số nguyên (nếu x là số chính 5 phương)hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương) Để là số nguyên thì x x 3 không thể là số vô tỉ, do đó x là số nguyên, suy ra x 3 là ước tự nhiên của 5 Ta bảng sau: x 3 1 1 5 5 x 4 2 8 2 x 16 4 64  Nhóm Toán THCS:
  23. 23/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 x 1 1 Ví dụ: Cho biểu thức: A x . x x x 1 x 1 a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. HDG: a) ĐK: x 0 1 x 1 1 ( x 1)(x x 1) x 1 x x 1 A x . . x x x 1 x 1 x ( x 1)(x x 1) x 2 A x x 2 2 b) Ta có: A 1 x x 2 A có giá trị nguyên có giá trị nguyên x U (2) x { 1;1; 2;2} x Mà x 0 nên x {1;2} Ta có: x 1 x 1 (TM ) x 2 x 4 (TM ) Vậy x 1;4 3 x x 1 1 x Ví dụ: Cho biểu thức: A . x x x x x 1 x x 1 a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị của x để A 10 c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. HDG: a) ĐK: x 0; x 1 Nhóm Toán THCS:
  24. 24/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 x x 1 1 x 3 x x 1 1 x A . . x x x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 3 x 1 x 3 x x 1 x A 1 . . x x x x 1 x x x x 1 3 A 1 x 3 3 1 1 3 x 1 10 9 3 0 x x x x b) Với x 0; x 1để A 10 thì 1 Do x 0 1 3 x 0 3 x 1 x 9 1 Vậy với x 0; x 1để A 10 0 x thì 9 3 c) A 1 x 3 A có giá trị nguyên có giá trị nguyên x U (3) x { 1;1; 3;3} x Mà x 0 nên x {1;3} Ta có: x 1 x 1 (TM ) x 3 x 9 (TM ) Vậy x 1;9 x 2 x 1 x 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A vàB : với x 0; x 4 x 2 x 4 x 2 x 4 a) Rút gọn B b) Tìm các giá trị nguyên của x để P A(B 2) có giá trị nguyên HDG: Với x 0; x 4 x 1 x 2 x x 2 x 4 2 x 2 B : . x 4 x 2 x 4 x 4 x 2 x 2 Nhóm Toán THCS:
  25. 25/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 4 P A(B 2) . 2 . x 2 x 2 x 2 x 2 b)Ta có: x 2 2 2 P . x 2 x 2 x 2 2 P có giá trị nguyên có giá trị nguyên x 2 U (2) x 2 { 1;1; 2;2} x 2 Ta biết rằng khi x là số nguyên thì x hoặc là số nguyên (nếu x là số chính 2 phương)hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương) Để là số nguyên thì x x 2 không thể là số vô tỉ, do đó x là số nguyên, suy ra x 2 là ước tự nhiên của 2 x 2 1 1 2 2 x 3 1 4 0 x 9 1 16 0 Vậy x 0;1;9;16 DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ CỦA ĐỂx BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp: Cách 1: Dựa vào điều đánh giá biểu thức để tìm ra khoảng biểu thức nằm trong, biện luận biểu thức nguyên nên ta chỉ được các giá trị nguyên thuộc khoảng đó, với mỗi gía trị của biểu thức ta sẽ tìm ra dược các nghiệm của biến tương ứng. Cách 2: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, biến đổi suy ra một vế chỉ còn chứa căn thức bậc hai, dựa vào căn thức để giải bất phương trình để tương ứng, tìm khoảng tham số nằm trong rồi giải với các tham số tương ứng để tìm ra các nghiệm của biến tương ứng. 7 Ví dụ: A với x 0 . Tìm các giá trị của x để A có giá trị nguyên. x 3 A 0 Cách 1:Với x 0 ta có 7 7 *)A x 3 3 Mà A Z A{1;2} Nhóm Toán THCS:
  26. 26/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Với A 1 x 16( thỏa mãn) 1 Với A 2 x ( thỏa mãn) 4 7 Cách 2: Đặt A n(n Z) x 3 7 7 3n A n x x 3 n 7 3n 7 Vì x 0 nên 0 0 n n 3 Mà n Z n {1;2} Với n 1 x 16( thỏa mãn) 1 Với n 2 x ( thỏa mãn) 4 1 Vậy với x 16; x thì biểu thức A có giá trị nguyên. 4 7 x 2 x 3 x 3 36 Ví dụ: Cho biểu thức: A vàB với x 0; x 9 2 x 1 x 3 x 3 x 9 a) Rút gọn B và tìm tất cả các giá trị của x để A B b) Tìm các giá trị của x để A có giá trị nguyên Hướng dẫn: x 3 x 3 36 ( x 3)2 ( x 3)2 36 12 x 36 B x 3 x 3 x 9 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) a) 12 B x 3 7 x 2 12 A B (7 x 2)( x 3) 12(2 x 1) 2 x 1 x 3 Để 7x 5 x 18 0  x 2  9 x 4  x (KTM )  7 Nhóm Toán THCS:
  27. 27/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê vậy để A B thì x 4 7 11 7 (2 x 1) (2 x 1) 7 x 2 7 b A 2 2 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 7 7 A 0 A .A nguyên A 1;2;3 2 mà nhận giá trị nguyên dương 2 3 9 A 1 x x Với 5 25 4 16 A 2 x x Với 3 9 Với A 3 x 5 x 25 9 16 A x ; ;25 Vậy để nhận giá trị nguyên dương thì 25 9 x 2 x 24 7 Ví dụ: Cho biểu thức: A vàB với x 0; x 9 x 3 x 9 x 8 a) Tính giá trị của biểu thức B khi x 36 a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị của x để P A.B có giá trị nguyên Hướng dẫn: x 8 b) A x 3 7 c) Ta có đánh giá 0 P 3 Với P 1 x 16( thỏa mãn) 1 Với P 2 x ( thỏa mãn) 4 1 x 15 x 2 x 1 Ví dụ: Cho biểu thức: A vàB : với x 0; x 25 1 x x 25 x 5 x 5 a) Rút gọn B Nhóm Toán THCS:
  28. 28/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b) Tìm các giá trị của x để P B A có giá trị nguyên. HDG: a) Với x 0; x 25 15 x 2 x 1 15 x 2 x 10 x 5 B : . x 25 x 5 x 5 ( x 5)( x 5) x 1 1 B x 1 1 1 x x 1 b) Ta có: P B A 1 x 1 1 x x 1 x 1 Có x 0 P 0 1 1 Có 0 1 1 x 1 x 1 Nên 0 P 1 mà P nguyên nên P 0 1 Vói P 0 1 0 x 1 1 x 0 (TM ) x 1 Vậy x 0 thì P B A có giá trị nguyên. 1 1 x 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A . với x 0; x 4 x 2 x 2 x a) Rút gọn A 7A b) Tìm x để có giá trị nguyên. thực 3 HDG: a)Với x 0; x 4 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 A . . x 2 x 2 x ( x 2)( x 2) x 2 A x 2 Nhóm Toán THCS:
  29. 29/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 7A 7 7 2 A . 3 3 3 b) x 2 7 x 0 A 0 Có 3 2 7 2 7 x 0 x 2 2 1 . x 2 3 x 2 3 7 7 0 A 3 3 Nên 7 7 A A 1;2 3 3 Mà nguyên nên 7 7 2 64 A 1 . 1 3 x 6 14 x 3 3 9 Có x 2 7 7 2 1 A 2 . 2 3 x 6 7 x 3 3 9 Có x 2 64 1 7 x ;  thì A có giá trị nguyên. 9 9 3 Vậy  DẠNG 6:TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT. Phương pháp: Cách 1: Thêm bớt rồi dùng định lí Cô si hoặc đánh giá dựa vào điều kiện. Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị. Chú ý: + Biểu thức A có giá trị lớn nhất là a , kí hiệu là Amax =a nếu A a với mọi giá trị của biến và tồn tại sao cho ít nhất một giá trị của biến dấu " "xảy ra. + Biểu thức A có giá trị lớn nhất là b , kí hiệu là Amin =b nếu A b với mọi giá trị của biến và tồn tại sao cho ít nhất một giá trị của biến dấu " "xảy ra. x x 26 x 19 2 x x 3 Ví dụ: Cho biểu thức: A với x 0; x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 Nhóm Toán THCS:
  30. 30/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A Hướng dẫn: x 16 a) A x 3 b) Cách 1: Thêm bớt rồi dùng Cô- si hoặc đánh giá dựa vào ĐKXĐ. x 16 x 9 25 25 A x 3 x 3 x 3 x 3 25 25 x 3 6 2 ( x 3). 6 x 3 x 3 2.5 6 4 25 x 3 x 4 x 3 Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi A 4 Amin 4khix 4 Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị. x 16 2 A x A x 16 3A 0 x 3 A 4 Để phương trình có nghiệm thì  0  min A 4 A 16 A Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi x 2 x 4 (thỏa mãn) 2 x 1 x Ví dụ: Cho biểu thức: A : x x x x 1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của A Hướng dẫn: a) ĐK: x 0 Nhóm Toán THCS:
  31. 31/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 1 x x x 1 x A : : x x x x 1 x( x 1) x( x 1) x x( x 1) x A . x( x 1) x x 1 x x 1 x 1 b) Ta có: A 1 x x 1 1 x x 1 1 Xét biểu thức ở mẫu: 1 x 2 x. 1 3 (áp dụng Cô - si) x x 1 1 1 Ta có: A Do đó maxA= khi x x 1 3 3 x x x 6 x x 36 x Ví dụ: Cho biểu thức: A . x 36 x 6 x 2( x 3)(x 2 x 3) a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của A Hướng dẫn: 6 a) A với ĐK x 0; x 9; x 36 x 2 x 3 6 6 6 2 A 3 x 1 0 max A 3khix 1 b) 2 vì x 2 x 3 ( x 1) 2 2 2 x 3 3 x 2 15 x 11 Ví dụ: Cho biểu thức: A với x 0; x 1 x 3 x 1 x 2 x 3 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A Hướng dẫn: 5 x 2 A x 0; x 1 a) x 3 với ĐK: Nhóm Toán THCS:
  32. 32/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 5 x 2 5 x 15 17 17 17 A 5 5 x 3 x 3 x 3 3 2 A ( x 0) b) 3 2 min A khix 0 3 MÌNH sửa đề bài biểu thức B đẻ đc kết quả như bài toán yêu cầu. x x 4 3x x 2 x 1 x 1 Ví dụ: Cho biểu thức: A và B với x 0; x 4 x 2 x 2 x x 2 x x 1 a) Chứng minh: B x 2 b) Tính giá trị của A khi x x 1 (2 5 1) x 3x 2 x 4 3 A c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P B HDG: Với x 0; x 4 3x x 2 x 1 x 1 3x x 2 x 1 x 1 B x 2 x x 2 x x x 2 x x 2 3x x 2 ( x 1)( x 2) x( x 1) B x( x 2) 3x x 2 x x 2 x x x x x 1 B x( x 2) x( x 2) x 2 x x 1 (2 5 1) x 3x 2 x 4 3 3x 2 x 4 3 x x 1 2 5x x 0 2x 2 x 4 2 5x 2 0 x 4 2 x 4 1 x 2 5x 5 0 b) Ta có: 2 2 x 4 1 x 5 0  x 4 1 0 x 4 1   x 5  x 5 0 x 5 Nhóm Toán THCS:
  33. 33/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 5 A Thay vào biểu thức ta có: 5 5 4 9 5 (9 5)( 5 2) A 9 5 18 5 2 5 5 2 5 2 5 4 A 23 11 5 A x x 4 x 1 x x 4 4 P : x B x 2 x 2 x 1 x 1 4 c) P x 1 1 x 1 4 Có: x 0 x 1; là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 1 4 4 x 1 2 x 1 . x 1 x 1 4 x 1 1 2.2 1 x 1 4 x 1 1 3 x 1 4 Vậymin P 3 Dấu " "xảy ra khi x 1 x 1 2 x 1 x 1 DẠNG 7: CHỨNG MINH BIỂU THỨC LUÔN LUÔN ÂM HOẶC LUÔN LUÔN DƯƠNG VỚI MỌI GIÁ TRỊ CỦA ẨN. Phương pháp: 2 A A 1 k k + Để chứng minh biểu thức A 0 ta chỉ ra với ( là hằng số dương) 2 + A 0 A A 1 k k Để chứng minh biểu thức ta chỉ ra với ( là hằng số dương) 1 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A . với x 0; x 4 x 1 x x 1 x a) Rút gọn A b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn âm với mọi giá trị của x làm A xác định. Hướng dẫn: a) Điều kiện x 0 Nhóm Toán THCS:
  34. 34/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x x 1 (x 2) 2 A : ( x 1)(x x 1) x ( x 1) x x A . . ( x 1)(x x 1) 2 2(x x 1) 1 3 b) Ta có: x > 0 nên x 0; x x 1 ( x )2 0 2 4 Do đó A 0. 1 1 x x x Ví dụ: Cho biểu thức A . x 1 x x 1 x x 1 a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn âm với mọi giá trị của x làm A xác định. Hướng dẫn a) Điều kiện x 1. Khi đó ta có A x 2 x 1. b) Ta có: A x 2 x 1 ( x 1 1)2 0. Vậy A không âm với mọi x 1. Dạng 8: CHỨNG MINH BIỂU THỨC THỎA MÃN VỚI ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. x 2 x 1 7 x 9 Ví dụ: Cho biểu thức: A và B ( Với x 0, x 9 ). x x 3 x 9 a) Rút gọn biểu thức B. 1 1 b) Tính giá trị của A khi x . 2 1 2 1 A c) Cho biểu thức P . Hãy tìm các giá trị của m để x thỏa mãn P = m B Nhóm Toán THCS:
  35. 35/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Hướng dẫn x 2 a) B . x 3 1 1 2 1 2 1 2 2 b)x 2 Thay vào A . 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A x 3 c)P Với điều kiện x 0, x 4, x 9. B x P m (m 1) x 3 (1) Nếu m = 1 thì phương trình (1) vô ghiệm. 3 Nếu m 1 thì từ (1) x . m 1 Do x 0, x 4, x 9 x 0, x 2, x 3. 3 0 m 1 m 1 3 5 Để có x thỏa mãn P = m 2 m m 1 2 3 m 2 3 m 1 5 Vậy m 1,m ,m 2 ( Thỏa mãn yêu cầu bài toán) 2 x 2 x 1 7 x 9 Ví dụ: Cho biểu thức: A và B ( Với x 0, x 9 ). x x 3 x 9 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 4 2 3. A c) Tìm x để biểu thưc 1. B A d) Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn m. B x2 x 2x x 2(x 1) Ví dụ: Cho biểu thức: A . x x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A. Nhóm Toán THCS:
  36. 36/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 2 x c) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị là số nguyên. A x 3 3 x 2 x 3 2 x Ví dụ: Cho biểu thức: A ( ) : ( ) x 2 2 x x 4 x 2 2 x x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 9 4 5 . c) Tìm x sao cho A.(x 1) 3 x. 7 x 3 2 x x 1 x 7 Ví dụ: Cho biểu thức: A và B (DK XD : x 0, x 9). 9 x x 3 x 3 3 x 3 x a) Chứng minh rằng A . x 3 b) So sánh A với 3. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B. x 2 x x 1 1 2x 2 x Ví dụ: Cho biểu thức A ( Với x 0, x 1) x x 1 x x x x x2 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên. Hướng dẫn x 2 a) A . x x 1 b) Cách 1: Với x 0, x 1 x x 1 x 1 1. x 2 x 2 1 Vậy 0 A 1 2. x x 1 x 1 x 1 x 2 Vì A nguyên nên A = 1 1 x 1( Không thỏa mãn). x x 1 Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên. Cách 2: Dùng miền giá trị x 2 A Ax+(A-1) x A 2 0 x x 1 Trường hợp 1: A 0 x 2 x  Nhóm Toán THCS:
  37. 37/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 Trường hợp 2: A 0 (A 1)2 4A(A 2) 3A2 6A 1 0 A2 2A 0 3 4 4 A2 2A 1 (A 1)2 A 1;2doA Z, A 0 3 3 Với A = 1 => x = 1 ( loại) x 2 Với A = 2 2 x 0 ( loại). x x 1 x 1 1 x x x Ví dụ: Cho biểu thức A và B ( ). ( Với x 0, x 1). x 1 x 1 x 1 2 x 1 a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của A khi x 5 2 6 . c) Với x N và x 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B. C. LUYỆN TẬP BÀI TẬP GỒM NHIỀU Ý HỎI Bài I: Cho biểu thức: x 1 2 2 x x 2 2 A ( ) : ( ) với x 0, x 1 x 1 x x x x 1 x x 2 x 1 x 1 1. Chứng minh: A . x 1 2. Tính giá trị của A khi: a) x 6 4 2 1 b) x ( 9 80 9 80 ). 4 c) x 3 10 6 3 3 10 6 3. 1 1 1 d) x . 1 3 3 5 79 81 e) x là nghiệm của phương trình 2x2 3x 5 x 1. f) x là nghiệm của phương trình 2x 6 3x 1. g) x là giá trị của biểu thức M x(1 x) đạt giá trị lớn nhất. 3. Tìm x để: 1 a) A ; b) A A ; c) A2 A 0. 6 Nhóm Toán THCS:
  38. 38/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 4. So sánh: x 3 a) A với 1 b) A với biểu thức N . 2 x 2 5. Tìm x nguyên dương để biểu thức nhận giá trị nguyên . A 6. Tìm x thực để A nhận giá trị nguyên. 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a)P A(x x 2). A b)Q ;0 x 4. x 3 x 2 x c)R ; x 1. A 8. Tìm giá trị lớn nhật của biểu thức: a) B = 2 - A; A b)C với x > 1. x 7 9. Tìm x thỏa mãn A( x 1) (2 6 1) x 2x 2 x 5 1. Bài II. Cho biểu thức: 2x 1 x 1 x x 2 2 x B ( ).( x) với x 0, x 1 x x 1 x x 1 1 x x x 3 x 2 1. Chứng minh: B . x 2. Tính giá trị của B khi: a) x 7 48 b) x 11 6 2 11 6 2 ). c) x 3 5 2 7 3 5 2 7. 1 1 1 d) x . 1 4 4 7 97 100 e) x là nghiệm của phương trình x2 x 2 x. f) x là nghiệm của phương trình x 1 2x 5 g) x là giá trị của biểu thức P x 4 x 6 đạt giá trị nhỏ nhất. 3. Tìm x để: 3 x 4 a) B = 0; b) B 0. x Nhóm Toán THCS:
  39. 39/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 4. So sánh: x 3x a) B với -2 b) B với biểu thức C . x 5. Tìm x để B nhận giá trị nguyên . 6. Xét dấu biểu thức T B( x 1) . 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) B. b) D B x. B c) E . x 8. Tìm giá trị lớn nhật của biểu thức: a) G = -3 - B; b)Q 1 B x. 9. Tìm x thỏa mãn B x (2 3 3) x 3x 4 x 1 10 Bài III. Cho biểu thức: x 2 x 2x x 1 2 x 2 C ( ) : ( ) với x 0, x 4, x 9 x 4 x 4 4 x x 2 x x x x 1. Chứng minh: C . x 3 2. Tính giá trị của C khi: a) x 6 2 8 b) x 11 3 8 11 3 8 ). c) x 3 14 2 20 3 14 2 20 1. 1 1 1 d) x . 1 5 5 9 77 81 e) x là nghiệm của phương trình x2 x x 1. f) x là nghiệm của phương trình x 3 3 g) x là giá trị của biểu thức M x 3 x 5 đạt giá trị lớn nhất. 3. Tìm x để: a)C 2 0; b) C C; 4. So sánh C với biểu thức D x khi x > 9. Nhóm Toán THCS:
  40. 40/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 2C 5. Tìm x để biểu thức E nhận giá trị nguyên . x 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C a) Biểu thức C với x > 9. b) I với 0 x 9, x 4. x x C 7. Tìm giá trị lớn nhật của biểu thức: N . x 1 C 8. Tìm x thỏa mãn (2 2 C) x 3C 3x 2 x 1 2 D. MỘT SỐ CÂU VỀ RÚT GỌN VÀ CÂU HỎI PHỤ TRONG ĐỀ TUYỂN SINH HÀ NỘI Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 – 2013) x 4 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36 x 2 x 4 x 16 2) Rút gọn biểu thức B : (với x 0;x 16 ) x 4 x 4 x 2 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B A –1 là số nguyên. Giải: 36 4 10 5 1) Với x = 36, ta có : A = 36 2 8 4 2) Với x 0;x 16 ta có : x( x 4) 4( x 4) x 2 (x 16)( x 2) x 2 B = = x 16 x 16 x 16 (x 16)(x 16) x 16 x 2 x 4 x 2 2 2 B A 1 . 1 . 3) Ta có: . x 16 x 2 x 16 x 2 x 16 Để B(A 1) nguyên, x nguyên thì x 16 là ước của 2, mà Ư(2) = 1; 2 Ta có bảng giá trị tương ứng: Nhóm Toán THCS:
  41. 41/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 16 1 1 2 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để B(A 1) nguyên thì x 14; 15; 17; 18 . Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 – 2014) 2 x x 1 2 x 1 Với x > 0, cho hai biểu thức A và B . x x x x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. 2) Rút gọn biểu thức B. A 3 3) Tìm x để . B 2 Giải: 2 64 2 8 5 1) Với x = 64 ta có A 64 8 4 ( x 1).(x x) (2 x 1). x x x 2x 1 x 2 2) B = 1 x.(x x) x x x x +1 x 1 3) Với x > 0 ta có : A 3 2 x 2 x 3 x 1 3 : B 2 x x 1 2 x 2 2 x 2 3 x x 2 0 x 4.( Do x 0) Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 – 2015) x 1 1) Tính giá trị biểu thức : A khi x = 9. x 1 x 2 1 x 1 2) Cho biểu thức P . với x > 0; x 1 . x 2 x x 2 x 1 x 1 a) Chứng minh P . x b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x 5 . Nhóm Toán THCS:
  42. 42/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Giải: 3 1 4 1) Với x = 9 thì x 9 3 A 2 3 1 2 x 1 2) a) Chứng minh P . x x 2 x x 1 x x 2 x 1 ( x 1)( x 2) x 1 x 1 P . . . x( x 2) x( x 2) x 1 x( x 2) x 1 x( x 2) x 1 x 2 x 1 3) - Để 2P = 2 x 5 nên 2 x 5 x - Đưa về được phương trình 2x 3 x 2 0  x 2(L)  1 - Tính được 1 x thỏa mãn điều kiện x > 0; x 1  x 4  2 1 - Vậy với x = thì 2P = 2 x 5 4 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 – 2016) x 3 x 1 5 x 2 Cho hai biểu thức A và B với x 0;x 4. x 2 x 2 x 4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9. 2) Rút gọn biểu thức B. A 3) Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt GTNN. B Giải: 9 3 1) Thay x 9 TMDK vào biểu thức A ta có: A 12 3 2 Nhóm Toán THCS:
  43. 43/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 2) x 1 5 x 2 x 1 5 x 2 x 1 x 2 5 x 2 x 2 x x B x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 A x 3 3 3) P x B x x 3 Theo BĐT Cosi, ta có: x 2 3 x 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x x 3 TM x Vậy GTNN của P là 2 3 , đạt được khi x 3. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 – 2017) 7 x 2 x 24 Cho hai biểu thức A và B với x 0;x 9. x 8 x 3 x 9 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25. x 8 2) Chứng minh B . x 3 3) Tìm x để biểu thức P A.B có giá trị là số nguyên. Giải: 7 7 1) Thay x 25 TMDK vào biểu thức A ta có: A 5 8 13 2) x 2 x 24 x 2 x 24 x 3 x 2 x 24 x 5 x 24 B x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 8 x 8 x 3 x 3 x 3 7 3) P A.B x 3 +) Ta có: x 0 nên P 0. Nhóm Toán THCS:
  44. 44/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 7 7 +) x 0 x 3 3 x 3 3 7 Nên 0 P . Để P P 1;2 3  TH1: P 1 x 16 TM 1 TH2: P 2 x TM 4 1  Vậy để biểu thức P A.B có giá trị là số nguyên thì x ;16 . 4  Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 – 2018) x 2 3 20 2 x Cho hai biểu thức A và B với x 0;x 25. x 5 x 5 x 25 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9. 1 2) Chứng minh B . x 5 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A B x 4 . Giải: 3 2 5 1) Thay x 9 TMDK vào biểu thức A ta có: A 3 5 2 2) 3 20 2 x 3 20 2 x 3 x 15 20 2 x x 5 1 B x 5 x 25 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 3) A B x 4 x 2 1 x 4 x 5 x 5 x 2 x 4 1 TH1: Nếu x 4, x 25 thì (1) trở thành: Nhóm Toán THCS:
  45. 45/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê  x 3 x 9 TM x 2 x 4 x x 6 0 x 2 x 3 0   x 2 KTM TH1: Nếu 0 x 4 thì (1) trở thành:  x 1 x 1 TM x 2 x 4 x x 2 0 x 2 x 1 0   x 2 KTM Vậy để A B x 4 thì x 1;9 . Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 – 2019) x 4 3 x 1 2 Cho hai biểu thức A và B với x 0;x 1. x 1 x 2 x 3 x 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9. 1 2) Chứng minh B . x 1 A x 3) Tìm tất cả các giá trị của x để 5. B 4 Giải: 3 4 7 1) Thay x 9 TMDK vào biểu thức A ta có: A . 3 1 2 2) 3 x 1 2 3 x 1 2 3 x 1 2 x 2 x 3 1 B x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 A x x 2 3) 5 x 4 5 x 4 x 4 0 x 2 0 x 2 0 vì B 4 4 2 x 2 0 x 0 x 2 x 4 TM A x Vậy để 5 thì x 4. B 4 CHỦ ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nhóm Toán THCS:
  46. 46/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê PHẦN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT 1. Hệ phương trình cơ bản ax by c Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn I a'x b' y c' Cặp số x0 ; y0 là một nghiệm của hệ (I) nếu hai phương trình của hệ có chung một nghiệm x0 ; y0 . Nếu hệ (I) không có nghiệm thì ta kết luận hệ (I) vô nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng d1 :ax by c và d2 :a'x b'y c' . Khi đó: +) Nếu d1 cắt d2 thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất. +) Nếu d1 // d2 thì hệ (I) vô nghiệm. +) Nếu d1 trùng d2 thì hệ (I) có vô số nghiệm. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Giải hệ phương trình không cơ bản Phương pháp đặt ẩn phụ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa. Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có. Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt. Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm. 3. Giải và biện luận hệ phương trình cơ bản Phương pháp Từ một phương trình rút y theo x rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình ax b. Biện luận: Nhóm Toán THCS:
  47. 47/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b +) Nếu a 0 thì x thay vào biểu thức để tìm y , khi đó hệ có duy nhất nghiệm. a +) Nếu a 0 thì ta có 0.x b Nếu b 0 thì hệ có vô số nghiệm. Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương pháp: Sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Phương pháp: Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn. Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Chú ý: Ở bước 1 ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế x 2y 1 2x 3y 5 Hướng dẫn x 2y 1 1 . Từ phương trình 1 x y 1 thế vào phương trình 2 2x 3y 5 2 Ta được 2 y 1 3y 5 y 1 x 1. x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y 1 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế x y 3 5x 3 y 2 2 2x y 7 1) 2) 3) 3x 4y 4 x 4y 10 x 6 y 2 2 x 2 3y 1 2x 3y 4 x 2y 3 4) 5) 6) 6x 9y 1 2x 4y 6 x 3y 2 5x 4y 3 3x 2y 1 x 2y 1 7) 8) 9) 7x 9y 8 2 2x 3y 0 2x 3y 4 Nhóm Toán THCS:
  48. 48/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Đáp số: 1)x 8; y 5 8 2 10 2 2 50 3 2 7 7 3 2 2 28 2)x ; y 3)x ; y 1 20 3 1 20 3 3 2 3 2 1 5) 6) 4)x 1; y HPT VN HPT VSN 6 3 5 19 3 5 3 4 2 2 4 7)x ; y 8)x ; y 9)x ; y 17 17 7 7 5 5 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số x y 2 x 2y 6 a) b) 2x y 1 2x 3y 5 Hướng dẫn a) Cộng từng vế của hai phương trình của hệ ta có: 3x 3 x 1 x 1 2x y 1 2x y 1 y 1 x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y 1 x 2y 6 2x 4y 12 7y 7 y 1 y 1 b) 2x 3y 5 2x 3y 5 2x 3y 5 2x 3y 5 x 4 x 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y 1 Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số x y 2 2x 3y 2 4x y 12 1) 2) 3) 2x y 4 x 2y 3 x y 2 x 2 3y 1 2x 3y 4 x 2y 3 4) 5) 6) 6x 9y 1 2x 4y 6 x 3y 2 5x 4y 3 3x 2y 1 x 2y 1 7) 8) 9) 7x 9y 8 2 2x 3y 0 2x 3y 4 Đáp án: 1)x 2; y 0 2)x 5; y 4 10 4 3)x ; y 3 3 1 5) 6) 4)x 1; y HPT VN HPT VSN 6 3 5 19 3 5 3 4 2 2 4 7)x ; y 8)x ; y 9)x ; y 17 17 7 7 5 5 Nhóm Toán THCS:
  49. 49/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: x y y x y 0,1 2 3 2 5 2x y 7 1) 2) 3) x 8 9 y x y x y 2 0,1 y 4 4 5 2 Đáp án: 8 12 10 3 1)x ; y 2)x ; y 3)x 3; y 1 19 19 41 41 Dạng 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CƠ BẢN Phương pháp: Đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa. Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có. Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt. Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 1 1 1 x 1 y 2 3 x 2018 2 y 2020 13 a) b) 3 2 7 3 x 2018 3 y 2020 9 x 1 y 2 Hướng dẫn a) Điều kiện: x 1; y 2. 1 1 a b 1 Đặt a; b. Khi đó hệ trên trở thành . Giải hệ phương trình cơ x 1 y 2 3a 2b 7 a 1 bản này ta được . b 2 1 1 x 0 x 1 Trở lại ẩn x; y ta có: 1 1 y 2 2 y 2 Nhóm Toán THCS:
  50. 50/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 . y 2 b) Điều kiện: x 2018. 3a 2b 13 Đặt x 2018 a; y 2020 b . Khi đó hệ trên trở thành . Giải hệ phương 5a 3b 9 a 3 trình cơ bản này ta được . b 2 x 2018 3 x 2009 Trở lại ẩn x; y ta có: . y 2020 2 y 2018 x 2009 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y 2018 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 2 x+2 2 x2 2x 4 x2 2x 0 1 1 6 x x 1 y 2 y 2 1) 2) 1 1 3 3) 5 1 3 7 3 x y 1 2 2x x 1 y 2 y 2 y 8 1 4 y 15 2 3 2x 1 1 5 y 1 x 3 2y 1 x 1 y 2 5 4) 5) 6) 2y 4 1 x 9 30 2x 1 5 3 2 y 1 x 1 y 2 x 3 2y 1 Đáp án: 5 1)x 0; y 2)x 2; y 2 3)x 1; y 2 2 4 y 15 2 x 7; y 0 x 1 y 2 5 4)x 1; y 2 5) 6) x 7; y 1 x 9 30  2 x 1 y 2 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: Nhóm Toán THCS:
  51. 51/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 1 1 3 6 5x y 1 27 x y 2 2x y x y x 1 y 3 1) 2) 3) 3 4 1 1 2x 3y 1 0 4 x y 2x y x y x 1 y 3 7 3 2x 2y 3 y 2 27 1 x 2 y x 4 2y 3 x 2 y 1 4) 5) 6) 4 1 5 2x 6y x 2 5 4 x 2 y 2 x 4 2y 3 x 2 y 1 3 3x 2 4 3x 1 2y 1 1 x 2 y 3 3 x 1 y 4 7) 8) 9) 2x 5 2 3x 1 3 2y 1 12 2 x 2 3 y 3 4 9 x 1 y 4 81 105 2x 3y 1 12 2 8 2 x 2x y 1 0 x y x y 10) x y 2 13 11) 12) 3 x2 2x 3 y 1 7 54 42 2x 3y 2 0 4 x y x y Đáp án 14 5 1)x 7; y 2)x 2; y 1 3)x ; y 6 5 4 7 1 4)x 0; y 2 5)HPT VN 6)x ; y 2 2 10 3 7)x ; y 8)x 3; y 7 9)x 2; y 5 3 2  3 2 115 x ; y 191 124 3 81 10)x ; y 11)  12)x 24; y 3 5 5  3 2 115 x ; y  3 81 4 5 5 x y 1 xy 2x 3 2 5 x 1 3 y 2 7 13) 14) 3 1 7 2 2 2 4x 8x 4 5 y 4y 4 13 x y 1 xy 2x 3 5 Nhóm Toán THCS:
  52. 52/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 9 4 1 1 1 x y 1 x y 4 y x x 2y x 2y x y 15) 16) 17) 1 4y 20 3 2 2 1 1 x y 1 x y 2 2 4 x x2 x 2y x 2y x y 7 2 2 x y xy 3 3 x y x y xy 4 2 x y 8 18) 19) 20) x y xy 2 5 x y 2xy 2 xy x y 2 Dạng 3. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương pháp: Từ một phương trình rút y theo x rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình ax b Biện luận b i. Nếu a 0 thì x thay vào biểu thức để tìm y , khi đó hệ có nghiệm duy nhất. a ii. Nếu a 0 thì ta có 0.x b Nếu b 0 thì hệ có vô số nghiệm Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm Ví dụ : Giải và biện luận hệ phương trình sau mx y 2m 2x my 5 2 mx y 2m 1) 2) 3) x my m 1 mx 2y 2m 1 4x my m 6 mx y 3m 1 mx 4y 10 m m 1 x my 3m 1 4) 5) 6) x my m 1 x my 4 2x y m 5 x my 3m x my 1 m2 2x y 3 2m 7) 8) 9) 2 2 2 mx y m 2 mx y 1 m mx y m 1 m 1 x y m 1 10) x m 1 y 2 Ví dụ : Tìm các giá trị của để hệ phương trình sau có nghiệm x; y với x; y  m 1 x my 5 2 x my m 4m Nhóm Toán THCS:
  53. 53/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Hướng dẫn m 1 x my 5 (1) 2 x my m 4m (2) Từ (2) suy ra x m2 4m my Thay vào 1 ta được m m 2 y m3 5m2 4m 5 (3) m 0 Nếu thì phương trình 3 vô nghiệm m 2 m 0 m3 5m2 4m 5 m2 4m 5 Nếu . Khi đó y . Từ đó ta được x m 2 m m 2 m 2 Trước hết, ta tìm m  để x  m2 4m 5 1 x m 2 . Để x  thì m 2 U 1 m 2 m 2 Suy ra m 2 1 m 3;m 1 1 Với m 3 y  3 Với m 1 y 5  Vậy với m 1 thì hệ phương trình có nghiệm nguyên 2;5 mx 4y 10 m Ví dụ : Cho hệ phương trình x my 2m 1 a) Xác định các giá trị nguyên của m đê hệ có nghiệm duy nhất x; y sao cho x 0; y 0 b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất x; y với x, y là các số nguyên dương. Hướng dẫn a) Để hệ có nghiệm duy nhất là m 2 8 m x 2 m Khi đó hệ có nghiệm 5 y 2 m Nhóm Toán THCS:
  54. 54/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 8 m 0 x 0 2 m Điều kiện y 0 5 0 2 m Vậy với m  m  1; 2; ;7 b)m  1;3 x my 2 Ví dụ: Cho hệ phương trình mx 2y 1 a) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất x; y sao cho x 0; y 0 b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất x; y mà x, y là các số nguyên. Hướng dẫn 1 a) Với m 0 thì hệ có nghiệm thỏa2; mãn đề bài 2 m 4 x m2 2 Với m 0 khi đó hệ có nghiệm duy nhất 2m 1 y m2 2 m 4 0 x 0 m2 2 1 Ta có 4 m . Vì m  m  3; 2; 1;0 y 0 2m 1 2 0 m2 2 Vậy với m  nên m  3; 2; 1;0 thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn b) Theo ý a. m 0 không thỏa mãn m 4 x m2 2 Với m 0 khi đó hệ có nghiệm duy nhất 2m 1 y m2 2 2 Trước hết tìm m  để x  thì m 4m 2 Nhóm Toán THCS:
  55. 55/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 2 2 2 m 4mm 2 4m 2m 2 2 2 4 m 4 4m 2 m 2 18m 2 Mà m2 2 2 m2 2 3;6;9;18 m2 1;4;7;16 Vì m  nên m  1; 2; 4 Thử trực tiếp để x  và y  thì chỉ có m 1 thỏa mãn. x 2y 3 m Ví dụ: Cho hệ phương trình 2x y 3 m 2 a) Giải hệ phương trình khi m 1 b) Tìm m đểhệ có nghiệm duy nhất x; y sao cho S x2 y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn x 2y 3 x 2 a) Khi m 1 2x y 3 y 1 x m 3 b) Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m y m 2 2 2 2 2 2 3 9 9 Ta có S x y m 3 m 2m 6m 9 2 m 2 2 2 9 3 Vậy s nhỏ nhất bằng khi m 2 2 mx y 3 Ví dụ: Cho hệ phương trình 2x my 9 a) Giải hệ phương trình khi m 1 b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất x; y sao cho biểu thức P 3x y nhận giá trị nguyên Hướng dẫn x y 3 x 4 a) Khi m 1 x y 9 y 1 3m 9 x m2 2 b) Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m 9m 6 y m2 2 33 Xét A 3x y m2 2 Nhóm Toán THCS:
  56. 56/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Để A  m2 2 U 33 mà m2 2 2;m  Suy ra m  3; 1;1;3 m 1 x y m 1 Ví dụ : Cho hệ phương trình sau x m 1 y 2 a) Giải hệ phương trình khi m 2 b) Giải và biện luận hệ phương trình c) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất x; y với x; y có giá trị nguyên. d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x y đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn 5 x 3x y 3 4 a) Khi m 2 x y 2 3 y 4 b) Với m 0 hệ vô nghiệm m2 1 x m2 Với m 0 hệ có nghiệm duy nhất m 1 y m2 m2 1 x m2 c) Với m 0 hệ có nghiệm duy nhất m 1 y m2 m2 1 Để  m 1 m2 Thử lại giá trị m thì x; y  Vậy m 1 thì hệ có nghiệm duy nhất x; y với x, y  m2 1 x m2 d) Với m 0 hệ có nghiệm duy nhất m 1 y m2 2 m2 1 m 1 7 m 4 7 Xét x y m2 m2 8 8m2 8 7 Vậy với m 4 thì x y đạt giá trị nhỏ nhất là . 8 Nhóm Toán THCS:
  57. 57/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 2y 3 Ví dụ : Cho hệ phương trình sau (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m để hệ có x my 1 nghiệm duy nhất x; y sao cho x, y là các số nguyên. C. MỘT SỐ CÂU GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐỀ THI TUYỂN SINH HÀ NỘI 2 1 2 x y Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 2013 ) 6 2 1 x y 2 1 2 x y Ví dụ: (biên soạn) 6 2 1 x y 3 x 1 2 x 2y 4 Ví dụ :( TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 2014 ) 4 x y x 2y 9 4 1 5 x y y 1 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 2015 ) 1 2 1 x y y 1 2 x y x 1 4 Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 2016 ) x y 3 x 1 5 3x 2 4 x 1 y 2 Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 2017 ) 2x 1 5 x 1 y 2 x 2 y 1 5 Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 2018 ) 4 x y 1 2 4x y 2 3 Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 2019 ) x 2 y 2 3 Nhóm Toán THCS:
  58. 58/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT Phương pháp Các bước thực hiện Bước 1: Lập hệ phương trình Chọn ẩn và đặt điều kiện, chọn đơn vị cho ẩn ( chọn ẩn là các đại lượng cần tìm) Nhóm Toán THCS:
  59. 59/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các địa lượng đã biết Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập Bước 3:Kiểm tra xem các nghiệm của phương trình có thỏa mãn điều kiện đặt ra và trả lời . B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1. TÌM CÁC CHỮ SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp: ab 10.a b a,b ;0 a 9,0 b 9 abc 100.a 10.b c a,b,c ,0 a 9,0 b,c 9 a Tỉ số của hai số a,b là b 0 b Tổng bình phương hai số x, y là x2 y2 1 1 Tổng nghịch đảo của hai số x, y là x y Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7 , nếu lấy số đã cho chia cho số viết theo thứ tự ngược lại ta được thương là 3 và dư 5 Hướng dẫn a,b  Gọi số cần tìm có dạng ab điều kiện a 1, ,9 b 1, ,9 Vì hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7 nên a b 7 (1) Vì lấy số đã cho chia cho số viết theo thứ tự ngược lại ta được thương là 3 và dư 5 nên ab 3ba 5 7a 29b 5(2) a b 7 a 9 Từ (1)(2) ta có hệ phương trình 7a 29b 5 b 2 PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT 1. Phương pháp Các bước thực hiện Nhóm Toán THCS:
  60. 60/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bước 1: Lập hệ phương trình Chọn ẩn và đặt điều kiện, chọn đơn vị cho điều kiện. (chọn ẩn là các đại lượng cần tìm). Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập. Bước 3: Kiểm tra xem các nghiệm của phương trình có thỏa mãn điều kiện đặt ra và trả lời. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1. TÌM CÁC CHỮ SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp: ab 10.a b (a,b , 0 a 9, 0 b 9) abc 100.a 10.b c (a,b,c, 0 a 9, 0 b 9) a Tỉ số của hai số a và b (b 0) là b Tổng của hai số x và y là x y Tổng bình phương của hai số x và y là x2 y2 1 1 Tổng nghịch đảo của hai số x và y là x y Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hiệu giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 7, nếu lấy số đã cho chia cho số viết theo thứ tự ngược lại ta được thương là 3 và số dư là 5. Hướng dẫn a, b *  Gọi chữ số cần tìm có dạng: ab điều kiện a 1;2; ;9 b 1;2; ;9 Vì hiệu giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 7 nên: a b 7 (1) Vì lấy số đã cho chia cho số viết theo thứ tự ngược lại ta được thương là 3 và số dư là 5 nên: ab 3ba 5 7a 29b 5 (2) a b 7 a 9 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 7a 29b 5 b 2 Vậy số cần tìm là 92. Ví dụ 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của các chữ số của số đó bằng 9 2 và viết các chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số bằng số ban đầu. 9 Hướng dẫn Nhóm Toán THCS:
  61. 61/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a, b *  Gọi chữ số cần tìm có dạng: ab điều kiện a 1;2; ;9 b 1;2; ;9 Vì tổng của các chữ số của số đó bằng 9 nên a b 9 (1) 2 Vì viết các chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số bằng số ban đầu nên: 9 2 11 88 ba ab a b 0 (2) 9 9 9 a b 9 a 8 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 11 88 a b 0 b 1 9 9 Vậy số cần tìm là 81. Dạng 2. TÍNH TUỔI Ví dụ 1: Hai năm trước đây tuổi của anh gấp đôi tuổi của em, còn tám năm trước đây, tuổi của anh gấp 5 lần tuổi của em. Hỏi hiện nay anh và em là bao nhiêu tuổi. Hướng dẫn Gọi tuổi của anh hiện nay là x và tuổi của em hiện nay là y điều kiện: x, y  x, y 8 Vì hai năm trước đây tuổi của anh gấp đôi tuổi của em nên: x 2 2(y 2) x 2y 2 (1) Vì tám năm trước đây, tuổi của anh gấp 5 lần tuổi của em nên: x 8 5.(y 8) x 5y 32 (2) x 2y 2 x 18 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: x 5y 32 y 10 Vậy tuổi của anh là 18 và tuổi của em là 10. Ví dụ 2: Bảy năm trước, tuổi của mẹ bằng 5 lần tuổi của con cộng thêm 4, năm nay tuổi của mẹ vừa bằng đúng 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi. Hướng dẫn Gọi tuổi của mẹ hiện nay là x và tuổi của con hiện nay là y , điều kiện: x, y ; x y 7 Vì bảy năm trước, tuổi của mẹ bằng 5 lần tuổi của con cộng thêm 4 nên: x 7 5(y 7) 4 x 5y 24 (1) Vì năm nay tuổi của mẹ vừa bằng đúng 3 lần tuổi con nên: x 3y (2) x 5y 24 x 36 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: x 3y y 12 Vậy tuổi của mẹ là 36 và tuổi của con là 12. Dạng 3. HÌNH HỌC Phương pháp: Định lí Py – ta – go: ABC vuông tại A AB2 AC2 BC2 Nhóm Toán THCS:
  62. 62/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Chu vi và diện tích hình chữ nhật lần lượt là: Cchu vi 2(a b), S a.b với a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng. (a b).h Diện tích hình thang: S hoặc S m.h với a, b là độ dài hai đáy, h là 2 đường cao, m là độ dài đường trung bình. Ví dụ 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 5m. Nếu giảm chiều rộng đi 4m và giảm chiều dài đi 5m thì diện tích mảnh đất giảm đi 180cm2. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó. Hướng dẫn Gọi chiều dài mảnh đất là x (mét) x 5 Gọi chiều rộng mảnh đất là y (mét) y 4 Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng là 5m nên: x y 5 (1) Vì giảm chiều rộng đi 4m và giảm chiều dài đi 5m thì diện tích mảnh đất giảm đi 180cm2 nên: (x 5)(y 4) xy 180 4x 5y 200 (2) x y 5 x 25 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 4x 5y 200 y 20 Vậy chiều dài mảnh đất là 25m và chiều rộng mảnh đất là 20m. Ví dụ 2: Một hình thanh có diện tích là 140cm2, chiều cao 8cm. Tính độ dài các đáy của hình thang, biết rằng chúng hơn kém 15cm. Hướng dẫn Gọi đáy lớn của hình thang là x và đáy nhỏ của hình thang là y , điều kiện x, y ; x y 7 (x y).8 Vì hình thanh có diện tích là 140cm2 nên: 140 8x 8y 280 (1) 2 Vì độ dài các đáy của hình thang hơn kém nhau 15cm nên: x y 15 (2) 8x 8y 280 x 25 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: x y 15 y 10 Vậy độ dài đáy lớn là 25cm và độ dài đáy nhỏ là 10cm. Dạng 4. TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ PHẦN TRĂM Phương pháp: Khối lượng công việc Năng suất. Thời gian. Năng suất Khối lượng công việc : Thời gian. Thời gian Khối lượng công việc : Năng suất. Ví dụ 1: Hai tổ sản xuất được giao làm 800 sản phẩm trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất lao động, tổ I vượt mức 10%, tổ II vượt mức 20% nên cả hai tổ làm được 910 sản phẩm . Tính số sản phẩm phải làm theo kế hoạch của mỗi tổ. Hướng dẫn Nhóm Toán THCS:
  63. 63/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê * Gọi số sản phẩm tổ I và tổ II làm theo kế hoạch lần lượt là x, y (x, y ; x, y 800) Vì hai tổ theo kế hoạch sản xuất được 800 sản phẩm nên: x y 800 (1) 10 20 Nhờ tăng năng suất lao động, tổ I vượt mức 10% là x , tổ II vượt mức 20% là x . 100 100 Cả hai tổ làm được 910 sản phẩm ta có: 10 20 10 20 x y x x y y 910 x y 910 800 110 x 2y 1100 100 100 100 100 10 5 (2) x y 800 x 500 (tháa m·n) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: x 2y 1100 y 300 (tháa m·n) Vậy số sản phẩm tổ I là 500 và tổ II là 300. Ví dụ 2: Hai trường A và B có 420 em học sinh đỗ vào lớp 10 đạt tỷ lệ 84%. Riêng trường A tỷ lệ đỗ 80%, riêng trường B tỷ lệ đỗ 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường. Hướng dẫn * Gọi số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là x, y (x, y ; x, y 800) 100 Vì hai trường A và B có 420 em học sinh đỗ vào lớp 10 đạt tỷ lệ 84% nên: x y 480. 84 (1) 80 90 Vì riêng trường A tỷ lệ đỗ 80%, riêng trường B tỷ lệ đỗ 90% nên: x y 420 100 100 (2) 100 x y 480. 84 x 300 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 80 90 y 200 x y 420 100 100 Vậy số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là 300; 200 học sinh. Ví dụ 3: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ 2 tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy. Hướng dẫn Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là: x y 900 x 400 (tháa m·n) 115 110 x y 1010 y 500 (tháa m·n) 100 100 Ví dụ 4: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức Nhóm Toán THCS:
  64. 64/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch. Hướng dẫn Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là: x y 600 x 200(tháa m·n) 18 21 x y 120 y 400(tháa m·n) 100 100 Dạng 5. TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC Phương pháp: Coi toàn bộ công việc là 1. Năng suất 1: Thời gian. Tổng các năng suất riêng = năng suất chung. Ví dụ 1: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ xong. Nếu một mình người thợ thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó người thứ hai làm một mình trong 3 2 giờ thì cả hai làm được công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao 5 nhiêu giờ xong công việc? Hướng dẫn Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (giờ; x, y 6) +) Trong 1 giờ 1 Người thứ nhất làm được (công việc) x 1 Người thứ hai làm được (công việc) y 1 Cả hai người làm được (công việc) 6 1 1 1 (1) x y 6 2 Trong 2 giờ người thứ nhất làm được (công việc) x 3 Trong 3 giờ người thứ hai làm được (công việc) y 2 Cả hai người làm được (công việc) 5 2 3 2 (2) x y 5 Nhóm Toán THCS:
  65. 65/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 1 1 x y 6 x 10(tháa m·n) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 2 3 2 y 15(tháa m·n) x y 5 Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc là 10 giờ. Người thứ nhất làm một mình xong công việc là 15 giờ. Ví dụ 2: Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 7 giờ 12 phút. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ hai làm một mình 3 trong 6 giờ thì cả hai người làm được công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình 4 thì hoàn thành công việc sau bao lâu? Hướng dẫn Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là 36 x, y (giờ; x, y ) 5 +) Trong 1 giờ 1 Người thứ nhất làm được (công việc) x 1 Người thứ hai làm được (công việc) y 1 1 Cả hai người làm được (công việc) x y 36 1 1 1 5 Đổi 7h12' h (1) 5 x y 36 36 5 5 Trong 5 giờ người thứ nhất làm được (công việc) x 6 Trong 6 giờ người thứ hai làm được (công việc) y 3 Cả hai người làm được (công việc) 4 5 6 3 (2) x y 4 1 1 5 x y 36 x 12(tháa m·n) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 5 6 3 y 18(tháa m·n) x y 4 Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc là 12 giờ. Người thứ nhất làm một mình xong công việc là 18 giờ. Nhóm Toán THCS:
  66. 66/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Ví dụ 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy. 2 Nếu mở vòi I trong 10 phút và vòi II trong 12 phút thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi 15 chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy? Hướng dẫn 4 1 1 Đổi 1h20' h và 10' h; 12' h 3 6 5 4 Gọi thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ; x, y ) 3 1 1 +) Trong 1 giờ: Vòi I chảy được (bể), vòi II chảy được (bể) x y 1 1 3 Cả hai vòi chảy được (bể) (1) x y 4 1 1 +) Trong 10 phút vòi I chảy được (bể), trong 12 phút vòi II chảy được (bể) 6x 5y 1 1 2 Cả hai vòi chảy được: (bể) (2) 6x 5y 15 1 1 3 x y 4 x 2(tháa m·n) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 2 y 4(tháa m·n) 6x 5y 15 Vậy thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là 2 giờ, vòi II chảy một mình đầy bể là 4 giờ. Ví dụ 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể sẽ đầy. Nếu chảy một mình thì vòi I chảy nhanh hơn vòi II là 2 giờ. Hỏi thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể? Hướng dẫn 35 Đổi 2h55' h 12 35 Gọi thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ; x, y ) 12 1 1 +) Trong 1 giờ: Vòi I chảy được (bể), vòi II chảy được (bể) x y 1 1 1 1 1 12 Cả hai vòi chảy được: (bể) (1) x y 35 x y 35 12 Vì nếu chảy một mình thì vòi I chảy nhanh hơn vòi II là 2 giờ nên: y x 2 (2) Nhóm Toán THCS:
  67. 67/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 5(TM) 1 1 12  7 x 5 (TM) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x y 35 x (KTM)  6 y 7 (TM) y x 2 y x 2 Vậy thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là 5 giờ, vòi II chảy một mình đầy bể là 7 giờ. Ví dụ 5: Cho ba vòi A, B, C cùng chảy vào một bể. Vòi A và vòi B chảy đầy bể trong 71 phút. Vòi A và vòi C chảy đầy bể trong 43 phút. Vòi C và vòi B chảy đầy bể trong 56 phút. a) Hỏi mỗi vòi chảy sau bao lâu thì đầy bể? Cả ba vòi cùng mở một lúc thì sau bao lâu đầy bể? b) Biết vòi C chảy 10 lít ít hơn mỗi phút so với vòi A và vòi C. Tính sức chứa của bể và sức chảy của mỗi vòi? Hướng dẫn 1 Gọi thời gian vòi A chảy một mình đầy bể là x (mỗi phút chảy đầy bể là ) x 1 Thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là y (mỗi phút chảy đầy bể là ) y 1 Thời gian vòi C chảy một mình đầy bể là z (mỗi phút chảy đầy bể là ) z 1 1 +) Trong 1 phút: Vòi A chảy được (bể), vòi B chảy được (bể) x y 1 1 1 Cả hai vòi chảy được: (bể) (1) x y 72 1 1 +) Trong 1 phút vòi A chảy được (bể), vòi C chảy được (bể) x z 1 1 1 Cả hai vòi chảy được (bể)(2) x z 63 1 1 +) Trong 1 phút vòi C chảy được (bể), vòi B chảy được (bể)(3) z y 1 1 1 x y 72 x 168(TM ) 1 1 1 Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình sau: y 126(TM ) x z 63 504 1 1 1 z (TM ) 5 z y 56 Vậy thời gian vòi A chảy một mình đầy bể là 168 phút Nhóm Toán THCS:
  68. 68/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là 126 phút 504 thời gian vòi C chảy một mình đầy bể là phút 5 5 4 3 12 Nếu ba vòi cùng mở một lúc thì mỗi phút đầy vể là: 504 504 504 Vậy ba vòi cùng chảy đầy bể sau phút 12 5 b) Gọi dung tích của bể là t phút thì mỗi phút vòi C chảy được .t lít, Vòi A và vòi B 504 3 4 chảy được .t lít. Theo đề bài ta có phương trình : 5 504 5 3 4 .t 10 .t t 2520(lit) 504 5 504 3.2520 Sức chảy của vòi A là : 15(lit / p) 504 4.2520 Sức chảy vòi B là : 20(lit / p) 504 5.2520 Sức chảy của vòi C là: 25(lit / p) 504 Ví dụ 6:Hai công nhân làm một cong việc trong 18h thì xong. Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ hai làm 12h thì chỉ hoàn thành 50 phần trăm công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đo trong bao lâu? Hướng dẫn 1 1 1 x y 18 x 36(TM ) Gợi ý hệ phương trình biếu diễn các đại lượng là: 6 12 50 y 36(TM ) x y 100 Ví dụ 7: Hai vòi nước chảy vào một bể không có nước thì sau 1h30 phút sẽ đầy bể. Nếu 1 mở vòi I chảy trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ II trong 20 phút thì được bể. 5 Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể? Hướng dẫn 1 1 2 15 x (TM ) x y 3 4 Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng 1 1 1 5 y (TM ) 4x 3y 5 2 Ví dụ 8: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ rồi người thứ hai làm tiếp 6 giờ thì hoàn thành được Nhóm Toán THCS:
  69. 69/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 75 phần trăm công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình hoàn thành trong bao lâu? Hướng dẫn 1 1 1 x y 16 x 24(TM ) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng 15 6 75 y 48(TM ) x y 100 Ví dụ 9: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau lâu hoàn thành công việc đó. Hướng dẫn 1 1 1 x y 6 x 15(TM ) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng 1 1 10 y 10(TM ) 2 1 x y x Ví dụ 10: Hai người làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người 3 thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai chỉ làm được 4 công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong thời gian bao lâu hoàn thành công việc đó? Hướng dẫn 1 1 5 x y 36 x 12(TM ) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng 5 6 3 y 18(TM ) x y 4 Vi dụ 11: Hai vòi nước cùng chảy thì sau 5h50 phút sẽ đầy bể. Nếu hai vòi chảy trong 5 giờ rồi khóa vòi thứ nhất lại thì vòi thứ hai chay trong 2 giờ nữa mới đầy bể. Tính xem nếu để mỗi vòi chả một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể? 1 1 6 x y 35 x 10(TM ) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng 1 1 2 y 14(TM ) 5. 1 x y y Dạng 6: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ THAY ĐỔI THỪA SỐ GIỮA CÁC TÍCH Ví dụ 1: Trong một ngôi trường có một số ghế băng, mỗi ghế băng quy định một số người như nhau. Nếu bớt hai ghể băng và mỗi ghế băng thêm 1 người thì thêm được Nhóm Toán THCS:
  70. 70/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 8 chỗ. Nếu thêm 3 ghế băng và mỗi ghế băng rút 1 người thì giảm 8 chỗ. Tính số ghế băng trong hội trường và số người theo quy định ngồi trong một ghế. Gọi số ghế băng trong hội trường là x (cái)(x 0) Số người quy định ngồi trên một ghế băng là y(y 0) (người) Số chỗ ngồi quy định trong hội trường là xy (chỗ) +) Nếu bớt hai ghể băng và mỗi ghế băng thêm 1 người thì thêm được 8 chỗ thì (x-2)(y + 1) = xy + 8 , x - 2y = 10 (1) + Nếu thêm 3 ghế băng và mỗi ghế băng rút 1 người thì giảm 8 chỗ (x + 3)(y-1) = xy + 8 x -3y = 5 (2) x 2y 10 x 20(TM ) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: x 3y 5 y 5(TM ) Vậy số ghế băng là 20 cái, mỗi ghế quy định ngồi 5 người. Ví dụ 2: Một ô tô đi quang đường AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp quang đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi hết quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 30 phút. Hướng dẫn Làm sai bài Dạng 7: DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp: S v.t trong đó +)S là quãng đường (m, km) +v là vẫn tốc (m/s; km/h) +t là thời gian(s, phút, h) - Nếu chuyển động trong dòng chảy thì: )Vxuoi Vrieng Vnuoc )Vnguoc Vrieng Vnuoc Ví dụ 1: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km / h rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km / h . Biết quãng đường tổng cộng dài 165km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi quãng đường. Hướng dẫn Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là x (giờ, x 0 ) Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là y (giờ,)y 0 Nhóm Toán THCS:
  71. 71/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Độ dài quãng đường AB là 50x (km) Độ dài quãng đường BC là 45y (km) Vì quãng đường tổng cộng dài 165km nên ta có phương trình: 50x 45y 165 10x 9y 33 (1) Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 1 phút nên ta có phương trình: x y (2) 2 10x 9y 33 3 x (tm) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 1 2 y x 2 y 2 (tm) 3 Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là (giờ), thời gian ô tô đi trên quãng 2 đường BC là 2 (giờ) Ví dụ 2. Quãng đường AB dài 650km . Hai ô tô khởi hành từ A đến B đi ngược chiều nhau. Nếu cùng khởi hành thì sau 10 giờ chúng gặp nhau và nếu xe đi từ B khởi hành trước xe kia 4 giờ 20 phút thì hai xe gặp nhau sau khi xe đi từ A khởi hành được 8 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. Hướng dẫn Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là x (giờ, x 0 ) Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là y (giờ,)y 0 Độ dài quãng đường AB là 50x (km) Độ dài quãng đường BC là 45y (km) Vì quãng đường tổng cộng dài 165km nên ta có phương trình: 50x 45y 165 10x 9y 33 (1) Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 1 phút nên ta có phương trình: x y (2) 2 10x 9y 33 3 x (tm) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 1 2 y x 2 y 2 (tm) Nhóm Toán THCS:
  72. 72/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là (giờ), thời gian ô tô đi trên quãng 2 đường BC là 2 (giờ) Ví dụ 3: Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 60 km , sau đó chạy ngược dòng 48 km trên khúc sông đó thì hết 6 giờ. Nếu ca nô ấy chạy xuôi dòng 40 km và ngược dòng 80 km trên khúc sông đó thì hết 7 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và dòng nước. Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/giờ, x 0 ). Gọi vận tốc riêng của dòng nước lày (km/giờ, y 0 ). Vận tốc ca nô chạy xuôi dòng là x y (km/giờ) Vận tốc ca nô chạy ngược dòng là x y (km/giờ) 60 Thời gian ca nô chạy xuôi dòng 60 km là h x y 48 Thời gian ca nô chạy ngược dòng 48 km là h x y 60 48 10 8 Ta có phương trình: 6 1 1 x y x y x y x y 40 80 Tương tự ta có phương trình: 7 2 x y x y 10 8 1 x y x y x 18 tm Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình sau: 40 80 y 2 tm 7 x y x y Vậy vận tốc riêng của ca nô là 18 km / h , vận tốc riêng của dòng nước là 2 km / h . Ví dụ 4: Một chiếc thuyền xuôi, ngược trên một khúc sông dài 40 km hết 4 giờ 30 phút. Cho thời gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyền ngược dòng4 km . Tính vận tốc của dòng nước. Ví dụ 5: Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hỏa biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m Nhóm Toán THCS:
  73. 73/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho tới khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây. Hướng dẫn Gọi vận tốc của tàu khi vào sân ga là x m / s, x 0 . Gọi chiều dài của đoàn tàu là y m, y 0 . Tàu chạy ngang văn phòng ga mất 7 giây nên y 7x (1) Khi đầu máy bắt đầu và sân ga dài 378m , cho tới khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây ta có phương trình: y 378 25x (2) y 7x x 21 tm Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình sau: y 378 25x y 147 tm Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21 m / s , chiều dài của đoàn tàu là 147 m Ví dụ 6: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên một khúc sông dài 40 km hết 4 giờ 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyền ngược ngược dòng 4 km . Tính vận tốc dòng nước. Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của thuyền lúc nước yên lặng là x (km/giờ, x 0 ). Gọi vận tốc riêng của dòng nước là y (km/giờ, y 0 ). Vận tốc thuyền chạy xuôi dòng là x y (km/giờ). Vận tốc thuyền chạy ngược dòng là x y (km/giờ). 40 Thời gian thuyền chạy xuôi dòng 40 km là h x y 40 Thời gian thuyền chạy ngược dòng 40 km là h x y 40 40 9 Ta có phương trình: 1 x y x y 2 Nhóm Toán THCS:
  74. 74/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 5 4 Tương tự ta có phương trình: 2 x y x y 40 40 9 x y x y 2 x 18 tm Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình sau: 5 4 y 2 tm x y x y Vậy vận tốc riêng của thuyền là 18 km / h , vận tốc riêng của dòng nước là 2 km / h . Vi dụ 7: Trên một đường tròn chu vi1,2m , ta lấy một điểm A cố định. Hai điểm M, N chạy trên đường tròn, cùng khởi hành từ A với vận tốc không đổi. Nếu chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây. Nếu di chuyển cùng chiều thì điểm M sẽ vượt điểm N đúng một vòng 60 giây. Tìm vận tốc mỗi điểm M, N ? Hướng dẫn Gọi vận tốc của điểm M là x m / s, x 0 . Gọi vận tốc của điểm N là y m / s, y 0 . Khi chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây Ta có phương trình: 15x 15y 1,2 (1) Khi chúng di chuyển cùng chiều thì điểm M sẽ vượt điểm N đúng một vòng sau 60 giây ta có phương trình: 60x – 60y 1,2 (2) 15x 15y 1,2 x 0,05 tm Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình sau: 60x 60y 1,2 y 0,03 tm Vậy vận tốc của điểm M là 0,05 m / s , vận tốc của điểm N là 0,03 m / s Ví dụ 8: Một chiếc xe máy và ô tô đi từ A đến B với vận tốc khác nhau. Vận tốc xe máy là 62 km/giờ, còn vận tốc ô tô là 55 km/giờ. Để hai xe đến đích cùng một lúc người ta đã cho ô tô chạy trước một thời gian. Nhưng vì một lí do đặc biệt nên khi chạy được 2 quãng đường ô tô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/giờ. Vì vậy khi còn cách B 3 124 km thì xe máy đuổi kịp ô tô. Tính quãng đường từ A đến B. Nhóm Toán THCS:
  75. 75/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Hường dẫn Gọi khoảng cách AB là x km, x 0 . Gọi thời gian dự định ô tô đi trước xe máy là y h, y 0 . x x y 62 55 x 514(tm) Ta có hệ phương trình sau: 2 x 94 x 124 x 1 (tm) 3 3 x 124 1705 y 65 27,5 27,5 94 Vậy khoảng cách AB là 514(km) , thời gian dự định ô tô đi trước xe máy là 1 (h) 1705 x x y 62 55 x 514(t / m) Ta có hệ phương trình sau: 2 x 94 x 124 y 1 (t / m) 3 3 x 124 1705 y 65 27,5 62 94 Vậy khoảng cách AB là 154(km) , thời gian dự định ô tô đi trước xe máy là 1 (h) 1705 Ví dụ 9: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120km . Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10km nên đến B trước ô tô thứ hai là 0,4 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô. Hướng dẫn Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x km / h, x 0 Gọi vận tốc của ô tô thứ hai là y km / h, y 0 x y 10 x 60(t / m) Ta có hệ phương trình sau: 120 120 0,4 y 50(t / m) x y Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60km / h , vận tốc của ô tô thứ hai là 50km / h Nhóm Toán THCS:
  76. 76/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Ví dụ 10: Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nô tăng vận tốc thêm 3km / h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ. Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3km / h thì thời gian tăng 3 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ca nô. Hướng dẫn Gọi vận tốc dự định của ca nô là x km / h, x 0 Gọi thời gian dự định của ca nô là y ( giờ, y 0 ) x 3 y 2 xy x 15(t / m) Ta có hệ phương trình sau: x 3 y 3 xy y 12(t / m) Vậy vận tốc dự định của ca nô là 15km / h Thời gian dự định của ca nô là 12giờ Ví dụ 11: Một ca nô chạy trên song trong 8 giờ xuôi dòng được 81km và ngược dòng 105km . Một lần khác, ca nô chạy trên song trong 4 giờ xuôi dòng được 54km và ngược dòng 42km . Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. ( Biết vận tốc riêng của ca nô, vận tốc dòng nước không đổi) Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x km / h, x 0 Vận tốc dòng nước là y km / h, x y 0 81 105 8 x y x y x 24(t / m) Ta có hệ phương trình sau: 54 42 y 3(t / m) 4 x y x y Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24km / h ; vận tốc dòng nước là 3km / h Ví dụ 12: Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu đi với vận tốc 45 km / h sẽ tới B chậm mất nửa giờ. Nếu đi với vận tốc 60 km / h sẽ tới B sớm 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định. Hướng dẫn: Gọi quãng đường AB là x km; x 0 Nhóm Toán THCS:
  77. 77/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Thời gian dự định đi từ A đến B là y y 0; h 1 x 45. y 2 x 225 Ta có hệ phương trình sau: tm 3 y 4,5 x 60. y 4 Vậy quãng đường AB là 225 (km). Thời gian dự định từ A đến B là 4,5 giờ. Ví dụ 13: Một ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 42 km mất 5 giờ. Một lần khác , ca nô xuôi dòng 9 km và ngược dòng 7 km thì mất 40 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. ( Biết vận tốc riêng của ca nô, vận tốc của dòng nước không đổi.) Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/h; x 0 ). Vận tốc dòng nước là y ( km/h; y x 0 ) 81 42 5 x y x y x 24 Ta có hệ phương trình sau: tm 9 7 2 y 3 x y x y 3 Vậy vận tốc dự định của ca nô là 24 km/h. Vận tốc dòng nước 3 km/h. Ví dụ 14: Một ô tô đi từ Hà Nội và dự định đến Huế lúc 20h 30 phút. Nếu đi với vận tốc 45 km / h thì đến Huế chậm hơn so với dự định là 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 60 km / h thì đến Huế sớm hơn 2 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường Hà Nội – Huế và thời gian xe xuất phát từ Hà Nội. Hướng dẫn Gọi quãng đường Hà Nội – Huế là x (km; x 0 ). Thời gian ô tô dự định đi là y ( giờ ; y 0 ). x 60. y 2 x 720 Ta có hệ phương trình sau: tm x 45. y 2 y 14 Nhóm Toán THCS:
  78. 78/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Vậy quãng đường Hà Nội – Huế là 720 (km/h). Thời gian xe xuất phát từ Hà Nội là 20h30 phút –14h = 6h30 phút. Ví dụ 15: Hai địa điểm A và B cách nhau 36 km . Cùng lúc đó một xe tải khởi hành từ A chạy về B và một xe con chạy từ B chạy về A . Sau khi gặp nhau xe tải chạy tiếp 5 giờ nữa thì đến B và xe con chạy tiếp 3h12 phút thì tới A . Tính vận tốc mỗi xe. Hướng dẫn Gọi vận tốc của xe tải x ( km/h; x 0 ). Vận tốc của xe con là y ( km/h; y 0 ) 16 5x 360 5y x 40 Ta có hệ phương trình sau: 16 tm y y 50 5 5x x y Vậy vận tốc của xe tải là 40 km/h. Vậy vận tốc của xe con là 50 km/h. Ví dụ 16. Một bè nứa trôi tự do ( với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước) và một ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng. Ca nô xuôi dòng được 144 km thì quay lại trở về bến A ngay, cả đi lẫn về 21 giờ. Trên đường ca nô trở về bến A khi còn cách bến A là 35 km thì gặp bè nứa nói trên. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/h; x 3 ). Vận tốc dòng nước là y ( km/h; y x 0 ) 144 144 21 x y x y x 14 Ta có hệ phương trình sau: tm 144 144 36 36 y 3 x y x y y Vậy vận tốc dự định của ca nô là 14 km/h. Nhóm Toán THCS:
  79. 79/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Vận tốc dòng nước 2 km/h. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là682 . A. 75 B. 85 C. 95 D. 65 Bài 2. Có hai số tự nhiên, biết rằng tổng của hai số là59 . hai lần số này bé hơn ba lần số kia là7 . Tìm hai số đó. A. 30,35 B.25,34 C. 30,34 D. 25,35 Bài 3. Cho một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số là 10 , tích của hai chữ số là 12. Tìm số đã cho. A.26 B.27 C.28 D.29 Bài 4. Một hình chữ nhật có chu vi là280 m . Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3 m thì diện tích nó tăng thêm144 m2 . Tính chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật. A.45,86 B.45,68 C.55,68 D.54,86 Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là320m . Nếu chiều dài của hình chữ nhật tăng thêm 10 m và giảm chiều rộng đi 5 m thì diện tích nó tăng thêm50 m2 . Tính diện tích của khu vườn ban đầu. A. 3000m2 B. 6000m2 C. 9000m2 D. 10000m2 Bài 6. Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là1500 m2 . Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lần lượt là. A.20;75 B.25;60 C.10;150 D.30;50 . Bài 7. Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là340m , ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là20m . Tính diện tích của sân trường. A. 3000m2 B. 4000m2 C. 6000m2 D. 7000m2 Bài 8. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm110 cm2 . Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5c mthì diện tích sẽ giảm đi 100cm2 . Tính hai cạnh góc vuông của tam giác. Nhóm Toán THCS:
  80. 80/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê A. 20cm, 25cm B.25cm, 25 cm C.20cm, 20cm D.30cm, 35cm Bài 9. Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm , diện tích bằng 6 cm2. Tính độ dài các cạnh góc vuông. A. 3cm, 4cm B. 3cm, 4cm hoặc 4cm, 3cm. C. 4cm, 5cm hoặc 5cm, 4cm D. 5cm, 4cm Bài 10. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước trong 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu để mở vòi thứ nhất chảy 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được 3 bể. Hỏi vòi một và vòi hai theo thứ tự chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể ? 4 A. 12h, 8h B.8h, 12h C.9h,15h D. 15h, 9h. Bài 11. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vòi thứ nhất chảy chảy một mình trong 10 phút và vòi thứ vòi thứ hai 2 chảy mọt mình trong 12 phút thì được thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vòi chày một 15 mình trong bao lâu sẽ đầy bể ? A. Vòi một chảy đầy bể sau2h , vòi hai chảy đầy bể sau 8h. B. Vòi một chảy đầy bể sau8h , vòi hai chảy đầy bể sau2h . C. Vòi một chảy đầy bể sau4h , vòi hai chảy đầy bể sau 2h. D. Vòi một chảy đầy bể sau 2h , vòi hai chảy đầy bể sau4h Bài 12. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể? A. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 425h , vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h. B. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h , vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 72h. C. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 524h , vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h. D. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h , vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h. .HẾT . Nhóm Toán THCS:
  81. 81/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐÁP ÁN 1 A 3 C 5 B 7 D 9 B 11 D 2 B 4 D 6 D 8 A 10 A 12 D MỘT SỐ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2011-2012) Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hang trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn.Hỏi theo kế hoạch đội xe phải chở hang hết bao nhiêu ngày? Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2012-2013) 12 Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một 15 mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2013-2014) Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B, khi đến B người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở lại A vơới ận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc của xe máy lúc đi từ A đến B? Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2014-2015) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hổi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2015-2016) Nhóm Toán THCS:
  82. 82/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Một tàu tuẩn tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng song có vận tốc dòng nước là 2km/h. tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ. Ví dụ: (THI THỬ 10: - THPT Hà Nội, năm học 2015-2016) Hai khối 8 và 9 của một trường THCS có 420 học sinh có học lực trên trung bình đạt tỉ lệ 84%. Khối 8 đạt tỉ lệ 80% là học sinh trên trung bình, khối 9 đạt 90%. Tính số học sinh của mỗi khối. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2016-2017) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720cm .2 Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2017-2018) Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2018-2019) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đát đó theo đơn vị mét. CHƯƠNG III:PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI- ĐƯỜNG THẲNG- PARABOL A.LÝ THUYẾT : 1. Hàm sô y = ax + b (a 0) * Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) + Đồng biến trên  khi a > 0 + Nghịch biến trên  khi a < 0 * Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng +) Với b = 0 thì đường thẳng đi qua các điểm ( 0 ; 0) và ( 1; a) Nhóm Toán THCS:
  83. 83/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b +) Với b ≠ 0 thì đường thẳng cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm ;0 và a ( 0 ; b) * Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0) +) Nếu a > 0: góc tạo bởi trục Ox và d là góc nhọn và a = tan . +) Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 * Nếu a 0 và đồng biến khi x 0 thì y > 0 x ≠ 0 +) y = 0 khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0. * Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành , O là điểm thấp nhất của đồ thị. * Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành , O là điểm cao nhất của đồ thị. 3. Phương trình bậc hai một ẩn : Nhóm Toán THCS:
  84. 84/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng y = ax2 + bx +c (a 0)trong đó x là ẩn số, a,b,c là các hệ số. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Xét phương trình y = ax2 + bx +c (a 0) và biểu thức Δ = b2 - 4ac -b + Δ -b Δ * Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ; x = 1 2a 2 2a - b * Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép : x = x = 1 2 2a * Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt -b'+ Δ' -b' Δ' x = ; x = 1 a 2 a - b' * Nếu ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép : x = x = 1 2 a * Nếu ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm. 4. Hệ thức VI – ÉT và ứng dụng : -b x1 + x2 = 2 a * Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx +c = 0 (a 0) thì c x .x = 1 2 a * Nếu phương trình ax2 + bx +c 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một c nghiệm là x = 1 , còn nghiệm kia là x = 1 2 a * Nếu phương trình ax2 + bx +c 0(a 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một c nghiệm là x = -1 , còn nghiệm kia là x = - 1 2 a * Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình x2 Sx + P = 0 . Điều kiện để có hai số đó là S 2 4P 0 (hay 0) Chú ý: Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai * Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 Nhóm Toán THCS:
  85. 85/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 0 * Phương trình có hai nghiệm cùng dấu c P = 0 a 0 c * Phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương P = 0 a -b S = 0 a 0 c * Phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm P = 0 a -b S = 0 a * Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ac < 0 nghiệm dương -b S = 0 a 5. Phương trình quy về phương trình bậc hai : a) Phương trình trùng phương: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng :ax4 + bx2 +c = 0 (a 0) (1) Phương pháp giải : Đặt t = x2 ( t 0) đưa về phương trình at2 + bt +c = 0 (2) b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức : Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Kiểm tra nghiệm với điều kiện rồi kết luận. c) Phương trình tích : Bước 1: Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0. Bước 2: Giải phương trình tích. Nhóm Toán THCS:
  86. 86/213 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Bước 1: Lập hệ phương trình Chọn ẩn và đặt điều kiện, chọn đơn vị cho ẩn ( chọn ẩn là các đại lượng cần tìm) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập. Bước 3: Kiểm tra xem các nghiệm của phương trình có thỏa mãn điều kiện đặt ra và trả lời. Kiến thức cần nhớ 1: S = v.t . Trong đó +) S là quãng đường ( m, km) +) v là vận tốc ( m/s , km/h) +) t là thời gian ( s, phút, h ) Nếu chuyển động trong dòng chảy thì : +) Vxuôi = Vriêng + Vdòng nước +) Vngược = Vriêng -Vdòng nước Kiến thức cần nhớ 2: Khối lượng công việc = năng suất × thời gian Năng suất = Khối lượng công việc ÷ Thời gian Thời gian = Khối lượng công việc ÷ Năng suất. Kiến thức cần nhớ 3: Coi toàn bộ công việc là 1. Năng suất = 1 ÷ Thời gian Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung Kiến thức cần nhớ 4 : ab 10a b a,b (0 a 9 ,0 b 9) Biểu diễn : abc 100a 10b c a,b,c (0 a 9 ,0 b,c 9) a Tỉ số của hai số a và b ( b ≠ 0) là b Tổng của hai số a và b là: a + b. Tổng bình phương của hai số a và b là a2 + b2 1 1 Tổng nghịch đảo của hai số a và b là : a b Nhóm Toán THCS: