50 Đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8

Nội dung text: 50 Đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8

1. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 đề 1 Câu 1: b2 c2 a2 a2 (b c)2 Cho x = ; y = ; Tính giá trị P = x + y + xy 2bc (b c)2 a2 Câu 2: 1 1 1 1 Giải phương trình: a, = + + (x là ẩn số) a b x a b x (b c)(1 a)2 (c a)(1 b)2 (a b)(1 c)2 b, + + = 0 x a2 x b2 x c2 (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Câu 3: Xác định các số a, b biết: ; (3x 1) a b = + (x 1)3 (x 1)3 (x 1)2 Câu 4:Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Câu 5:; Cho ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C Đề 2 Câu 1: a b c b c a c a b Cho a,b,c thoả mãn: = = c a b b c a Tính giá trị M = (1 + )(1 + )(1 + ) a b c Câu 2: Xác định a, b để f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 Chia hết cho y(x) = x2 – x + b Câu 3: Giải PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680. b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0 Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của nó. Câu 5: Cho ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho: AD = EC = DE = CB. a, Nếu AB > 2BC. Tính góc àA của VABC 1
2. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 b, Nếu AB 0, CMR: a b c 1 < + + < 2 a b b c c a b, Cho x,y 0 CMR: x2 y2 x y + + y2 x2 y x Câu 5: Cho VABC đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a a, Tính số đo các góc VACM b, CMR: AM  AB c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR VMNP đều. đề 4 Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a8 + a4 +1 b, a10 + a5 +1 Câu 2: a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 A = + + b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 2
3. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 2 x 3 b, Cho biểu thức: M = x2 2x 15 + Rút gọn M + Tìm x Z để M đạt giá trị nguyên. Câu 3: a, Cho abc = 1 và a3 > 36, a2 CMR: + b2 + c2 > ab + bc + ca 3 b, CMR: a2 + b2 +1 ab + a + b Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1 b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) Câu 5: a, Tìm x,y,x Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0 b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3 Câu 6: Cho VABC . H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D. a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành. b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc àA và Dà của tứ giác ABDC. Đề 5 Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Câu 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2003 + y2003 + z2003 x2 y2 z2 x2 y2 z2 Biết x,y,z thoả mãn: = + + a2 b2 c2 a2 b2 c2 Câu 3: 1 1 4 a, Cho a,b > 0, CMR: + a b a b b, Cho a,b,c,d > 0 a d d b b c c a CMR: + + + 0 d b b c c a a d Câu 4: 3
4. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 x2 xy y2 a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0 x2 xy y2 x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0 (x 1995)2 Câu 5: a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Câu 6: Cho VABC M là một điểm miền trong của VABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B là hình bình hành. b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ Đề 6 Câu 1: a 13 169 27 Cho = và = x y x z (x z)2 (z y)(2x y z) 2a3 12a2 17a 2 Tính giá trị của biểu thức A = a 2 Câu 2: Cho x2 – x = 3, Tính giá trị của biểu thức M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 Câu 3: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3) 1 1 b, Cho x,y > 0 và x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N = + x y Câu 4: a, Cho 0 a, b, c 1 CMR: a2 + b2 + c2 1+ a2b + b2c + c2a b, Cho 0 <a0 <a1 < < a1997 a a a CMR: 0 1 1997 < 3 a2 a5 a8 a1997 Câu 5: a,Tìm a để PT 4 3x = 5 – a có nghiệm Z+ b, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x y z 3 + + = 2x y z 2y x z 2z x y 4 Câu 6: 4
5. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc Mã AB cắt BC tại P, kẻ phân giác góc Mã AD cắt CD tại Q CMR PQ  AM đề 7 Câu 1: Cho a, b, c khác nhau thoả mãn: b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 + + = 1 2bc 2ac 2ab Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1. Câu 2: Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất A = + + x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 Câu 3: Cho M = a5 – 5a3 +4a với a Z a, Phân tích M thành nhân tử. b, CMR: MM 120  a Z Câu 4: Cho N 1, n N n(n 1) a, CMR: 1+ 2+ 3+ +n = 2 n(n 1)(2n 1) b, CMR: 12 +22 + 32 + +n2 = 6 Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của PT: x2 = y(y+1)(y+2)(y+3) Câu 6: x2 2x 2 x2 4x 5 Giải BPT: > - 1 x 1 x 2 Câu 7: Cho 0 a, b, c 2 và a+b+c = 3 CMR: a2 + b2 + c2 5 Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD một góc 150 cắt AD tại E CMR: VBCE cân. đề 8 5
6. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Câu 1: n3 2n2 1 Cho A = n3 2n2 2n 1 a, Rút gọn A b, Nếu n Z thì A là phân số tối giản. Câu 2: Cho x, y > 0 và x+y = 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 - )(1 - ) x2 y2 Câu 3: a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác CMR: a2 + b2 + c2 3x(x+2) + 5 Câu 7: Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong nhóm 94. Câu 8: Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN CMR: AK = BC đề 9 Câu 1: a b c a2 b2 c2 Cho M = + + ; N = + + b c a c a b b c a c a b a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0 b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không? Câu 2: Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2 6
7. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 a2 b2 c2 CMR: + + 1 b c a c a b Câu 3: Cho x, y, z 0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998 Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z Câu 4: a, Tìm các số nguyên x để x2 – 2x -14 là số chính phương. ab b, Tìm các số ab sao cho là số nguyên tố a b Câu 5: Cho a, b, c, d là các sô nguyên dương a b c d CMR: A = + + + không phải là số nguyên. a b c a b d b c d a c d Câu 6: Cho VABC cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP CMR: BC  PC Câu 7: 1 y2 Cho x, y thoả mãn: 2x2 + + = 4 (x 0) x2 4 Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất đề 10 Câu 1: Cho a, b, c > 0 và a3 b3 c3 P = + + a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 b3 c3 a3 Q = + + a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 a, CMR: P = Q a b c b, CMR: P 3 Câu 2: Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1 CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) 0 Câu 3: CMR  x, y Z thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương. 7
8. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Câu 4: a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m2 + n2 = m + n + 8 b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) Câu 5: 4x 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 1 Câu 6: b2 c2 a2 a2 (b c)2 Cho x = ; y = 2ab (b c)2 a2 x y Tính giá trị: M = 1 xy Câu 7: Giải BPT: 1 x a x (x là ẩn số) Câu 8: Cho VABC , trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE. Tính PQ theo BC Đề 11 Câu 1: a b b c c a Cho x = ; y = ; z = a b b c c a CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z) x4 1 Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A = (x2 1)2 Câu 3: a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1 CMR: b+c 16abc b, Cho 0 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 Câu 4: Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – 1 Câu 5: a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x2 + y2 + z2 = xyz b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương. Câu 6: Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó. Câu 7: Cho hình thang ABCD (BC AD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F là trung điểm của AD, BC CMR: E, O, F thẳng hàng. 8
9. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 đề 12 Câu 1: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+3 dư 1 f(x) chia cho x-4 dư 8 f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương là 3x và dư Câu 2: a, Phân tích thành nhân tử: A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000 x2 yz y2 zx z2 xy b, Cho: a b c a2 bc b2 ca c2 ab CMR: x y z 1 1 1 1 Câu 4: CMR: + + + 0 và 9b(b-a) = 4a2 a b Tính M = a b Câu 2: a, Cho a, b, c > o a2 b2 c2 a b c CMR: + + b c c a a b 2 b, Cho ab 1 9
10. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 1 1 2 CMR: + a2 1 b2 1 ab 1 Câu 3: Tìm x, y, z biết: 1 2 3 x+2y+3z = 56 và = = x 1 y 2 z 3 Câu 4: 2x 1 a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M = x2 2 2 b, Tìm giá trị nhỏ nhất A = 6x 5 9x2 Câu 5: Giải BPT: mx2 – 4 > 4x + m2 – 4m Câu 6: a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn: x(x+1) = k(k+2) k là số nguyên dương cho trước. b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4. Câu 7: Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ VBCF đều, về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ VABE đều. CMR: D, E, F thẳng hàng. Đề 14 Câu 1: x x y y2 1 x Cho A = ( ) : ( ) : y2 xy x2 xy x3 xy2 x y y a, Tìm TXĐ của A b, Tìm x, y để A > 1 và y 0 a b c 3 CMR: b c a c a b 2 Câu 4: CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 không là số chính phương với n N và n >1 1 Câu 5: Cho f(x) = x2 + nx + b thoả mãn f (x) ; x 1 2 Xác định f(x) Câu 6: Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1 x y Tìm giá trị lớn nhất A = x4 y2 x2 y4 Câu 7: 10
11. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên MN kẻ đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F. CMR: OE = OF đề 15 Câu 1: 1 1 1 Cho xyz = 1 và x+y+z = = 0 x y z x6 y6 z6 Tính giá trị M = x3 y3 z3 a 1 x1 1 x2 1 Câu 2: Cho a ≠ 0 ; 1 và x1 ; x2 ; x3 a 2 x1 1 x2 1 Tìm a nếu x1997 = 3 Câu 3: m(x 2) 3(m 1) Tìm m để phương trình có nghiệm âm: 1 x 1 Câu 4: Với n N và n >1 1 1 1 1 CMR: 1 2 n 1 n 2 2n Câu 5: Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1 Tìm giá trị M biết: xy = 1 và x y đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 6: Tìm x, y N biết: 2x + 1 = y2 Câu 7: Cho VABC (AB < AC). AD, AM là đường phân giác, đường trung tuyến của VABC . Đường thẳng qua D và vuông góc với AD cắt AC tại E So sánh SVADM và SVCEM Đề 16 Câu 1: Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 x y z CMR: với abc ≠ 0 a b c Câu 2: x y z Cho abc ≠ 0 và a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c CMR: x 2y z 2x y z 4x 4y z Câu 3: Cho a, b, c là 3 số dương và nhỏ hơn 1 11
12. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 1 CMR: Trong 3 số: (1-a)b; (1-b)c; và (1-c)a không đồng thời lớn hơn 4 Câu 4: Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + 4 = 0 và xy > 0 1 1 Tìm giá trị lớn nhất A = x y Câu 5: a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 không có nghiệm nguyên. b, Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Câu 6: Cho n N và n >1 1 1 1 CMR: 1 + 2 22 32 n2 Câu 7: Cho VABC về phía ngoài VABC vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A. 1 CMR: Trung tuyến AI của VABC vuông góc với EF và AI = EF 2 Câu 8: 21n 4 CMR: là phân số tối giản (với n N). 14n 3 đề 17 Câu 1: Phân tích ra thừa số: a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 b, x3 + 6x2 + 11x + 6 1 Câu 2: Cho x > 0 và x2 + = 7 x2 1 Tính giá trị của M = x5 + x5 Câu 3: Cho x, y thoả mãn 5x2 + 8xy + 5y2 = 72 Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2 Câu 4: a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c 1 1 1 1 CMR: 9 a2 2bc b2 2ac c2 2ab b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1. 4 CMR: 0 a, b, c 3 Câu 5: Tính tổng S = 1+2x+3x2+4x3+ + nxn-1 (x≠1) Câu 6: Tìm nghiệm nguyên của PT: xy xz yz = 3 z y x 12
13. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Câu 7: Cho VABC biết đường cao AH và trung tuyến AM chia góc BãAC thành 3 phần bằng nhau. Xác định các góc của VABC Đề 18 (60) Câu 1: a2 bc b2 ac c2 ab Rút gọn: M = (a b)(a c) (b a)(b c) (a c)(a b) Câu 2: b2 c2 a2 (a b c)(a c b) Cho: x = ; y 2bc (a b c)(b c a) Tính giá trị P = (x+y+xy+1)3 Câu 3: Cho 0 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 Câu 4: Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4 CMR: Nếu x = m; y = n Với m, n N thì P.Q là số chẵn. Câu 5: a, CMR PT: 2x2 – 4y2 = 10 không có nghiệm nguyên. b, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n > 1 sao cho: A = 12 + 22 + +n2 là một số chính phương. Câu 6: Cho VABC vuông cân ở A, qua A vẽ đường thẳng d sao cho B, C thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ là d, vẽ BH, CK cùng vuông góc với d (H, K là chân đường vuông góc). a, CMR: AH = CK b, Gọi M là trung điểm BC. Xác định dạng VMHK đề 19 Câu 1: Cho a, b, c ≠ 0; a2 + 2bc ≠ 0; b2 + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ 0 và a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 a2 b2 c2 CMR: S = 1 a2 2bc b2 2ac c2 2ab bc ca ab M = 1 a2 2bc b2 2ac c2 2ab Câu 2: a, Cho a, b, c > 0 13
14. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 a b b c a c 1 1 1 CMR: a2 b2 b2 c2 a2 c2 a b c b, Cho 0 a, b, c 1 1 1 1 1 CMR: a+b+c+ + abc abc a b c Câu 3: a, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x 1 2x 5 3x 8 x2 xy y2 b, Tìm giá trị lớn nhất: M = (x,y > 0) x2 xy y2 Câu 4: 1 1 1 a,Tìm nghiệm Z+ của: 2 x y z b, Tìm nghiệm Z của: x4 + x2 + 4 = y2 – y Câu 5: Cho VABC , đặt trên các đoạn kéo dài của AB, AC các đoạn BD = CE. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của DE. CMR: MN // đường phân giác trong của góc àA của VABC Câu 6: Tìm các số nguyên dương n và số nguyên tố P sao cho n(n 1) P = 1 2 đề 20 Câu 1: x y z a, Cho a+b+c = 1; a2 + b2 + c2 = 1 và ; abc ≠ 0 a b c CMR: xy + yz + xz = 0 b, Cho x, y, z > 0 và 2x2 + 3y2 – 2z2 = 0 CMR: z là số lớn nhất. Câu 2: a, Cho a, b, c ≠ 0 a2 b2 c2 a b c CMR: b2 c2 a2 b c a b, Cho n N, n > 1 1 1 1 1 CMR: 5 13 n2 (n 1)2 2 Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất với a, b, c > 0 a b c a b c a b c a, P = b c c a a b c b a 14
15. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 a b c d b, Q = b c d a c d a b d a b c Câu 5: Tìm các số chính phương sao cho chia nó cho 39 được thương số nguyên tố và dư 1 Câu 6: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Gọi F, G là trung điểm của AC, BD. 1 a, CMR: SVEFG = S 4 ABCD b, Gọi M là giao điểm của AD, BC. Chứng minh FG đi qua trung điểm ME. Đề 21 Câu 1: Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = abc CMR: a(b2-1)( c2-1) + b(a2-1)( c2-1) + c(a2-1)( b2-1) = 4abc Câu 2: Cho n là số nguyên tố CMR: A = n4 – 14n3 +71n2 – 154n + 120 chia hết cho 24. Câu 3: Tìm nghiệm nguyên của PT: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) Câu 4: Tìm a, b để M = x4 - 6x3 +ax2 +bx + 1 là bình phương của một đa thức khác. Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của PT: P = x2+y2 và biết x2+y2+xy = 4 Câu 6: a, Cho a, b, c > 0 CMR: có ít nhất một BĐT sai là đúng. a+b c+d (a+b)cd )( c+d)ab (a+b)( c+d) ab+cd b, Tìm các số a, b, c thoả mãn đồng thời các BĐT: a b c ; b a c ; c a b Câu 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC), AD > BC. Các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên AD lấy điểm M sao cho AM có độ dài bằng độ dài trung bình của hình thang ABCD. CMR: VMAC cân tại M đề 22 Câu 1: Cho x3 + x = 1. x4 2x3 x2 3x 5 Tính A = x5 x2 x 2 Câu 2: Giải BPT: x2 1 x2 4 3 Câu 3: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn: x = 1 - 1 2y 15
16. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 y = 1 - 1 2z z = 1 - 1 2x Tìm số lớn nhất trong ba số x, y, z. Câu 4: Cho x, y thoả mãn: x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x3+y3+xy Câu 5: 1 1 1 5 CMR: 12 22 n2 3 Câu 6: Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau: x+y+z+t = xyzt Câu 7: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho: Mã AB = Mã BA = 150 CMR: VMCA đều Đề 23 Câu 1: a, Cho a2 + b2 + c2 = ab bc ca . CMR: a = b = c a b b, Cho (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2. CMR: với x, y ≠ 0 x y c, Rút gọn: A = (x2-x+1)(x4-x2+1)(x8-x4+1)(x16-x8+1)(x32-x16+1) Câu 2: a, Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1 b, Tìm các số a, b, c sao cho: ax3+bx2+c chia hết cho x+2 và chia cho x2-1 thi dư x+5. c, Nếu n là tổng 2 số chính phương thì n2 cũng là tổng 2 số chính phương. Câu 3: a, Cho A = 11 1 (n chữ số 1), b = 100 05 (n-1 chữ số 0) CMR: ab + 1 là số chính phương. b, Tìm nghiệm tự nhiên của PT: x+y+1 = xyz Câu 4: x y a, Cho x, y N Tìm giá trị lớn nhất của A = x y 8 (x y) x y b, Cho x, y, z > 0 x+y+z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất B = xyz Câu 5: 7 1 1 1 1 1 5 a, MCR: 1 12 2 3 4 99 100 6 16
17. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 1 1 1 1 n b, MCR: 1 (n N;n 0) 2 3 4 2n 1 2 Câu 6: 1 Cho VABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 2AB, D là điểm trên AC sao cho góc ãABD = ãABC , 3 1 E là điểm trên AB sao cho góc ãACE = ãACB . F là giao điểm của BD và CE, K và H là điểm đối 3 xứng của F qua BC, CA. CMR: H, D, K thẳng hàng. đề 24 Câu 1: x2 25 y 2 Cho M = ( ) : ( ) x3 10x2 25 y2 y 2 Tính giá trị M biết: x2+9y2-4xy = 2xy- x 3 Câu 2: a, Cho a+b = ab. Tính (a3+b3-a3b3)3 + 27a6b6. 2a b b, Cho a, b thoả mãn: 2 a b a b 3a b Tìm các giá trị có thể của N = a 5b Câu 3: a, Tìm số tự nhiên n để n4+4 là số nguyên tố. b, Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của số tự nhiên. Câu 4: a, Cho a 1; a c 1999; b 1 1999 CMR: ab c 3998 b, Chứng tỏ có ít nhất một bất đẳng thức sau là sai: a(a+b) b2+1 c, Chứng tỏ có ít nhất 1 BĐT sau là đúng a3b5(c-a)7(c-b)9 0; bc5(c-b)9(a-c)13 0; c9a7(b-c)5(b-a)3 0 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = (x+5)4 + (x+1)4 Câu 6: Cho VABC có 3 góc nhọn, đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D,E,F là trung điểm của BC, CA, AB, Gọi P, Q, R là trung điểm của IA, IB, IC. a, CM: PQRE, PEDQ là hình chữ nhật. b, CM: PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng. c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cùng cách đều một điểm. 17
18. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 đề 25 Câu 1: Cho A = 4x2+8x+3; B = 6x2+3x a, Biến đổi S thành tích biết S = A + B b, Tìm giá trị của x để A và B lấy giá trị là số đối nhau. Câu 2: Cho 3 số x, y, z thoả mãn đồng thời x2+2y = -1 y2+2z = -1 z2+2x = -1 Tính giá trị của A = x2001 + y2002 + z2003 Câu 3: CMR PT: 2x2-4y2 = 10 không có nghiệm nguyên. Câu 4: Cho 2 đường thẳng ox và oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại O, Trên ox lấy về hai phía của O hai đoạn thẳng OA = 4cm; OB = 2cm. Gọi M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn AB. MA, MB cắt nhau với oy ở C và D. Gọi E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD. 1 a, CMR: MF + ME = (AC+BD) 2 b, Đường thẳng CF cắt ox tại P. Chứng minh P là một điểm cố định khi M di chuyển trên đường trung trực của AB. Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số, Mẫu số là tổng các chữ số của tử số. đề 26 Câu 1: x y Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x2 . Tính: x y a b c a2 c2 b2 Câu 2: Cho a, b, c thoả mãn: abc = 1 và b2 c2 a2 c b a CMR: Có ít nhất 1 phân số là bình phương của một trong 2 số còn lại. Câu 3: 7x 3 x Tìm các nghiệm nguyên thoả mãn 2 BPT: 16+5x > 3+11 và 6 4 2 2 Câu 4: (x a)2 (x b)2 (x c)2 Cho A = (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) a, A thay đổi như thế nào nếu ta hoán vị 2 trong 3 số a, b, c. b, Tìm A nếu x=a. a a c, Tìm A nếu b = ;c 3 4 18
19. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 d, Nếu a-b = b-c > 0. Tìm x nếu phân thức thứ nhất bằng phân thức thứ 3. Tìm giá trị của phân thức thứ nhất và phân thức thứ 3. Câu 5: a2 b2 c2 b2 a2 c2 Cho a b c > 0. CMR: 3a 4b c c a b Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD, Lấy P thuộc BD, trên tia CP lấy M sao cho PM = CP, Kẻ ME  AD; MF  AB a, CMR: AM // BD; EF // AC b, CMR: E,F,P thẳng hàng. Câu 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1, trên AB, AD lấy M,N sao cho Mã CN = 450. Tính chu vi VAMN đề 27 Câu 1: Cho M = x3+x2-9x-9; N = (x-2)2 – (x-4)2 M a, Rút gọn A = N b, CMR: Nếu x chẵn A tối giản. Câu 2: Tìm số có 4 chữ số abcd thỏa mãn: 665(abcd +ab +ad +cd +1) = 738(bcd +b+ d) Câu 3: CMR: (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 1 Câu 4: Cho số chính phương M gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi số của M một đơn vị thì được một số N là số chính phương. Tìm hai số M, N. Câu 5: So sánh A, B biết: A = 20+21+ +2100+9010 B = 2101+1020 Câu 6: CHo VABC , đường cao AF, BK, CL cắt nhau tại H. Từ A kẻ Ax  AB, từ C kẻ Cy  BC. Gọi P là giao của Ax và Cy. Lấy O, D, E là trung điểm của BP, BC, CA. a, CMR: VODE đồng dạng với VHAB b, Gọi G là trọng tâm của VABC CMR: O, G, H thẳng hàng. Đề 28 19
20. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Câu 1: x2 y2 z2 Rút gọn: A = , với x+y+z = 0 (x z)2 (z x)2 (x y)2 Câu 2: n7 n2 1 a, CMR: M = không tối giản n Z n8 n 1 b, CMR: Nếu các chữ số a, b, c 0 thoả mãn: ab :bc = a:c Thì: abbb :bbbc = a:c Câu 3: (14 4)(54 4)(94 4)(134 4) (214 4) a, Rút gọn: P = (34 4)(74 4) (234 4) 1 b, Cho Q = (mẫu có 99 chữ số 0). 1,00 1 Tìm giá trị của Q với 200 chữ số thập phân. Câu 4: a, Cho a, b, c 0. CMR: a4+b4+c4 abc(a+b+c). b, CMR: Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác thì: a2+b2+c2 0 1 2 1 CMR: 1 1,65 22 32 n2 Câu 3: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương. a b c d a, CMR: A = không là số nguyên. a b c a b d b c d a c d 20
21. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 b, Tìm 5 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của số này bằng tổng các lập phương của 4 số còn lại. 1 1 1 Câu 4: Cho x, y, z thoả mãn. xyz = 1; x y z x y z CMR: Có 1 trong 3 số x, y, z là lớn hơn 1. Câu 5: Cho VABC , đường thẳng d cắt AB, AC, trung tuyến AM tại E, F, N. AB AC 2AM a, CMR: AE AF MN b, Giả sử d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy K, KN cắt AB tại P, KM cắt AC tại Q. CMR: PQ // BC. Câu 6: Cho hình thang có độ dài hai đường chéo là 3,5. Độ dài đoạn thẳng nối trung điểm 2 đáy là 2. Tìm diện tích hình thang? Đề 30 Câu 1: CMR: n N;n 1 1 1 1 1 9 5 13 25 n2 (n 1)2 20 Câu 2: Cho: (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = (x+y-2z)2+(y+z-2z)2+(x+z-2y)2 CMR: x = y = z. Câu 3: a, Phân tích thành nhân tử: A = x3(x2-7)2-36x. b, CMR: AM 210 với mọi x N Câu 4: Cho: 0 a,b,c 1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: P = a+b+c-ab-bc-ca Câu 5: Cho VABC vuông tại B, trên tia đối tia BA lấy D sao cho: AD = 3AB. Đường thẳng vuông góc với CD tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại E. CMR: VBDE cân đề 31 Câu 1: Cho a+b+c = 0 a b b c c a c a b CMR: ( )( ) 9 c a b a b b c c a Câu 2: Tìm x, y, z biết: x2 y2 z2 xy+3y+2z -4 Câu 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. 21
22. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 a b b c c a CMR: 1 a b b c c a Câu 4: a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 27 Tìm a, b, c sao cho: ab+bc+ca đạt giá trị lớn nhất. b, Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của 1 số bằng tổng các lập phương của 3 số còn lại. Câu 5: Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x2 + (x+y)2 = (x+9)2 Câu 6: Cho lục giác lồi ABCDEF, các đường thẳng AB, EF cắt nhau tại P, EF và CD cắt nhau tại Q, CD và AB cắt nhau tại R. Các đường thẳng BC và DE; DE và FA; FA và BC cắt nhau tại S,T,U. AB CD EF BC DE FA CMR: Nếu thì PR QR QP US TT TU đề 32 Câu 1: a, CMR: 62k-1+1 chia hết cho 7 với K N;n 0 b, CMR: Số a = 11 1 + 44 4 + 1 là bình phương của một số tự nhiên. (Trong đó có 2k chữ số 1 và k chữ số 4). Câu 2: a, Tìm số dư của phép chia: x2002+x+1 chia cho x2-1 b, Tìm số nguyên dương x, y sao cho: 3(x3-y3) = 2001. Câu 3: a, Cho a, b, c > o. 1 1 1 9 CMR: a b b c c a 2(a b c) b, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: y = x3-6x2+21x+18 1 Với x 1 . 2 Câu 4: Cho VABC (AB = AC). Biết BãAC = 200, và AB = AC = b; BC = a CMR: a3 + b3 = 3ab2 Đề 33 Câu 1: Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và ab+bc+ca = 0 Tìm giá trị của: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001 22
23. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Câu 2: Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. CMR: Nếu : x2 – yz = a y2 – zx = b z2 – xy = c Thì ax+by+cz chia hết cho a+b+c Câu 3: a, Cho n N, CMR: A = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27. b, CMR: n5m – nm5 chia hết cho 30 với mọi m,n Z. Câu 4: 4x 3 a, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của M = x2 1 8x2 6xy b, Tìm giá trị lớn nhất của: N = x2 y2 Câu 5: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác. Xác định dạng của tam giác để: a b c A = đạt giá trị nhỏ nhất. b c a a c b a b c Câu 6: Cho hình vuông ABCD. Tứ giác MNPQ có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuông (M AB; N BC; P CD; Q DA) AC a, CMR: S (MN MP PQ QM ) ABCD 4 b, Xác định M, N, P, Q để chu vi MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất. c, Xác định M, N, P, Q để SMNPQ đạt giá trị nhỏ nhất. đề 34 Câu 1: Phân tích số 1328 thành tổng của 2 số nguyên x, y sao cho: x chia hết cho 23, y chia hết cho 29. Tính x, y khi x-y = 52. Câu 2: x5 x3 2x Cho f(x) = 30 6 15 a, Phân tích f(x) thành tích. b, Chứng tỏ f(x) nhận giá trị nguyên khác 17 với mọi x Z. Câu 3: Có bao nhiêu số abc với 1 a 6;1 b 6;1 c 6 thoả mãn abc là số chẵn. Câu 4: Cho VABC , trung tuyến AM. Gọi E, F là các điểm lần lượt thuộc AB, AC sao cho ME = MF. 23
24. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 CMR: VABC là tam giác cân tại đỉnh A trong các trường hợp: a, ME, MF là phân giác trong của VAMB;VAMC b, ME, MF là trung tuyến của VAMB;VAMC đề 35 Câu 1: a, Cho các số a, b, c là 3 số khác nhau. b a c a a b 2 2 2 CMR: (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a b, Tìm x, y, z biết: x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz. Câu 2: Giải PT: x 1 x 2 x 3 x 4 58 57 56 55 Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất. 1 1 1 A = (x, y, z > 0; xyz = 1). x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của PT: x(x2+x+1) = 4y(y+1) Câu 5: Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Lấy M AC, kẻ ME  AB, MF  BC. Tìm vị trí của M để SDEF nhỏ nhất. Câu 6: Cho VABC có àA = 500; Bà = 200. Trên phân giác BE của ãABC lấy F sao cho FãAB = 200. Gọi I là trung điểm AF, nối EI cắt AB tại K và CK cắt EB tại M. EK CMR: AI2 + EI2 = EA + (MF + ). 2 Đề 36 Câu 1: a, Cho a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tìm giá trị B = a4+b4+c4. 1 b, Cho x > 0 và x2+ = 7. x2 1 CMR: x5 + là số nguyên. x5 Câu 2: a3 b3 c3 Cho a, b, c > 0. CMR: ab bc ca b c a 24
25. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Câu 3: Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất: A = (a )2 (b )2 (c )2 a b c Câu 4: Xác định a, b sao cho f(x) = ax4+bx3+1 chia hết cho g(x) = (x-1)2. Câu 5: 1 1 1 Tìm nghiệm nguyên của PT: 1 x y z Câu 6: CHo VABC , trung tuyến AM. Qua D thuộc BC vẽ đường song song với AM cắt AB, AC tại E, F. a, CMR: Khi D di động trên BC thì DE + DF có giá trị không đổi. b, Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF tại K. CMR: K là trung tuyến của EF. Đề 37 Câu 1: Cho S = (n+1)(n+2) (n+n) CMR: Với mọi n N thì S chia hết cho 2n. 1 Câu 2: Cho f(x) = x2+nx+b thoả mãn: f (x) khi x 1 . 2 Xác định f(x). Câu 3: Cho: 2 a,b,c,d 3 2 a(c d) 3d 3 CMR: 3 b(d c) 3c 2 Câu 4: Tìm số A có 2 chữ số sao cho 4 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng, 2 mệnh đề sai: a, A chia hết cho 5 c, A + 7 là số chính phương b,A chia hết cho 23 d, A – 10 là số chính phương Câu 5: Cho tứ giác lồi ABCD. CMR: AD.BC + DC.AB AC.BD Câu 6: Cho VABC , O là điểm nằm trong tam giác ABC, đường thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh của VABC tại A1, B1, C1. OA OB OC Tìm vị trí của O để: P = đạt giá trị nhỏ nhất. OA1 OB1 OC1 Đề 38 Câu 1: 25
26. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 a b x a c x b c x 4x a, Giải PT: 1 c b a a b c b, Tìm các số a, b, c, d, e biết: 2a2+b2+c2+d2+e2 = a(b+c+d+e) Câu 2: Tìm nghiệm nguyên của PT: 1+x+x2+x3 = y3 Câu 3: a, Với điều kiện nào của x thì A tối giản, không tối giản. x3 x2 9x 9 A = (x 2)2 (x 4)2 b, CMR: Nếu a2-bc = x; b2-ac = y; c2-ab = z; Thì ax + by + cz chia hết cho x+y+z Câu 4: Cho góc vuông xEy quay quanh đỉnh E cảu hình vuông EFGH. Ex cắt FG, GH tại M, N; Ey cắt FG, GH tại P, Q a, CMR: VNEP,VMMQ vuông cân b, Gọi R là giao của PN, QM. Gọi I, K là trung điểm của NP. QM. Tứ giác EKRI là hình gì? c, CMR: F, H, K, I thẳng hàng. Câu 5: Cho VABC có diện tích là S. Trên AB lấy BB1 = AB. Trên BC lấy CC1 = BC, trên AC lấy AA1 = AC. Tìm tỷ số S và S theo S. VA1B1C1 VABC đề 39 Câu 1: a, Tìm các số a, b, c, d biết: 2 a2+b2+c2+d2-ab-bc-cd- d+ = 0. 5 b, CMR: Với mọi n N; n > 0 thì : A = n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + 1 không là số chính phương Câu 2: Tìm nghiệm nguyên của PT: x7 – x5 +x4 – x3 – x2 + x = 1992. Câu 3: Cho x, y, z, t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của: x y z t y z t x z t x y t x y z A = y z t x z t x y t x y z x y z t Câu 4: a, Cho a, b, c đôi một khác nhau. CMR: Trong các BĐT sau có ít nhất một BĐT là sai. (a+b+c)2 9ab; (a+b+c)2 9bc; (a+b+c)2 9ac. 1 1 1 1 1 1 1 b, Cho n N; n > 0. CMR: (1 ) ( ) n 1 3 2n 1 n 2 4 2n 26
27. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Câu 5: Cho VABC , từ D trên AB kẻ Dx//BC cắt AC tại E, từ C kẻ Cy//AB cắt Dx tại F. AC cắt BF tại I. a, Chứng tỏ ta có thể chọn vị trí D để BF là phân giác góc Bà b, CMR: Nếu D là trung điểm của AB thì CI = 2IE. c, Với D là điểm bất kỳ trên AB. CMR: IC2 = IE.IA. Đề 40 Câu 1: Tìm tổng Sn = 7 + 77 + + 7uu7u.u.u u.u.7x (n chữ số) Câu 2: CMR: S = 1+2+3+ +n (n N) có tận cùng là 0, 1, 3, 5, 6 hoặc 8. Câu 3: n(n 1)(2n 1) a, CMR: 12 + 22 + + n2 = 6 n(n 1)(2n 1) b, CMR: Với n N thì: là số nguyên. 6 Câu 4: CMR: Nếu n Z thì: n5 n3 7n là số nguyên tố. 5 3 15 Câu 5: Cho a, b, c > 0 a2 b2 c2 a b c CMR: b2 c2 c2 a2 a2 b2 b c c a a b Câu 6: Cho VABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Từ M vẽ góc 450, hai cạnh của góc cắt AB, AC tại E, F. a, Xác định vị trí của E, F để SVMEF đạt giá trị lớn nhất. b, SVMEF lớn nhất là bao nhiêu? đề 41 Câu 1: a, Cho a+b+c = 0. a b b c c a c a b CMR: ( )( ) 0 c a b a b b c c a b, CMR với mọi x, y Z A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương. Câu 2: Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 < xy + 3y -3 4x 3 Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y = x2 1 Câu 4: Tìm x, y Z+ : x2 + (x+y)2 = (x+9)2 Câu 5: CMR: A = 10n + 18n -1 chia hết cho 27 (n N) 27
28. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Câu 6: Cho VABC , trên BC, CA, AB lấy M, N, P sao cho: BM CN AP k;(0 k 1) và kẻ các đoạn AM, BN, CP. MC NA PM Tìm diện tích tam giác tạo bởi các đoạn AM, BN, CP. Biết SVABC S Câu 7: Tìm số nguyên x, y : 2 x 3 y 5 Đề 42 1 1 1 Câu 1: Cho 3 số x, y, z: xyz = 1; và x y z x y z CMR: Có đúng 1 trong 3 số lớn hơn 1. Câu 2: Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn đồng thời: x+y 25 y 2x+18 y x2+4x 2 3 Câu 3: Giải PT: x 3 x 4 1 Câu 4: Cho 3 số a, b, c thoả mãn: a4+b4+c4 < 2(a2b2+ b2c2+ a2c2) Chứng minh rằng: Tồn tại tam giác mà có độ dài 3 cạnh là a, b, c. Câu 5: Cho 2 đường thẳng ox, và oy vuông góc với nhau, cắt nhau tại O. Trên Ox lấy về 2 phía của điểm O hai đoạn OA = 4cm; OB = 2cm. Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của AB. MA, MB cắt Oy ở C, và D. Gọi E là trung điểm CA; F là trung điểm của DB. a, CMR: VMA,VBFO,VOEA đồng dạng và tìm tỷ số đồng dạng. b, CMR: OEFM là hình bình hành. c, Đường thẳng EF cắt Ox tại P. CMR: P là điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng trung trực AB. d, Cho MH = 3cm, tứ giác OFME là hình gì? Đề 43 (85) Câu 1: a b c Cho a, b, c là ba số phân biệt thoả mãn: 0 b c c a a b a b c CMR: 0 (b c)2 (c a)2 (a b)2 x y z Câu 2: Cho a, b, c 0 và a b c x y z 0 a b c CMR: xa2 + yb2 + zc2 = 0. 28
29. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 Câu 3: Giải PT: a, (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680. x2 2x 7 b, x2 2x 4 x2 2x 3 1 1 1 Câu 4: Cho a, b, c thoả mãn: 2 1 a 1 b 1 c 1 CMR: abc . 8 Câu 5: Cho a, y, z 0 và x, y , z Z thoả mãn: a+by 36 và 2x+3z 72. CMR: Nếu b 3 thì x+y+z nhận giá trị lớn nhất là 36. Câu 6: Cho hình vuông OCID có cạnh là a. AB là đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt tia OC, OD tại A, và B. a, CMR: CA.DB có giá trị không đổi (theo a). CA OA2 b, DB OB2 8a2 c, Xác định vị trí A, B sao cho DB = 4CA. d, Cho S . Tính CA + DB theo a. VAOB 3 Đề 44 Câu 1: Cho a > b > 0. So sánh A, B: 1 a a2 an 1 1 b b2 bn 1 A = ; B 1 a a2 an 1 b b2 bn Câu 2: a, Cho x+y+z = 0 CMR: 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2) b, Cho a, b, c 0. x2 y2 z2 x2 y2 z2 Tính giá trị M = x2003+y2003+z2003. Biết z, y, z: a2 b2 c2 a2 b2 c2 Câu 3: a, Cho a, y, z 0 CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) 0 b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; và abc > 0. CMR: Cả 3 số đều dương. Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x100 – 10x10 +10. Câu 5: Với giá trị nào của A thì PT: 2x a 1 x 3 có nghiệm duy nhất. Câu 6: Cho VABC đường thẳng d//BC cắt AB, AC tại D, E. 29
30. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 1 a, CMR: Với mọi điểm F trên BC luôn có S không lớn hơn S VDEF 4 VABC b, Xác định vị trí D, E để SVDEF lớn nhất. Đề 45 1 1 1 1 Câu 1: a, Cho a b c abc 1 1 1 1 CMR: (với n là số nguyên dương lẻ; a, b, c 0) an bn cn an bn cn b, Cho abcd = 1. Tính giá trị: 1 1 1 1 M = abc ab a 1 bcd bc b 1 acb cd c 1 abd ad d 1 Câu 2: Cho a, b > 0. ab a2 b2 Tìm giá trị nhỏ nhất: P = a2 b2 ab Câu 3: a, Cho a, b Q và a, b không đồng thời bằng không. a2 b2 c2 CMR: 1 a2 1 b2 1 c2 1 b, Cho a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1 1 CMR: ab bc ca 1 2 Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của PT: a, xy – 2 = x + y b, 3xy + x – y = 1 Câu 5: Giải PT: x4+3x3+4x2+3x+1 = 0 Đề 47 Câu 1: Cho a, b, c 0 ; a3+b3+c3 = 3abc a b c Tính giá trị biểu thức: P = (1 )(1 )(1 ) b c a Câu 2: 3x2 6x 10 a, Tìm giá trị lớn nhất của M = x2 2x 3 b, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2+26y2-10xy+14x-76y +59. Câu 3: Cho a+b+c+d = 1 1 CMR: (a+c)(b+d) + 2ac +2bd 2 b, Cho 3 số dương a, b, c đều nhỏ hơn 1. CMR: có ít nhất 1 mệnh đề sau là sai: 30
31. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 1 1 1 a(1-b) > ; b(1-c) > ; c(1-a) > 4 4 4 Câu 4: a, Tìm x, y Z : x2 + (x+1) = y4 + (y+1)4 b, Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) CMR: 4N+1 là số chính phương với mọi n Z+ c, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x2 – (x+y)2 = -(x+y)2 Câu 5: Xác định a, b, c để: f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x-3)3. Câu 6: Cho O là trực tâm của VABC (có 3 góc nhọn). Trên OB, OC lấy B1, C1 sao cho: ã ã 0 AB1C = AC1B 90 . CMR: AB1 = AC1 Đề 49 (92) Câu 1: a, CMR: Nếu (y-z)2+(z-x)2+(x-y)2 = (y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(y+x-2z)2 thì x = y = z. b, Cho x2-y = a; y2-z = b; z2-x = c. Tính P = x3(z-y2)+ y3(x-z2)+ z3(y-x2)+xyz(xyz-1) Câu 2: 4x4 16x3 56x2 80x 356 Tìm x để: P = đạt giá trị nhỏ nhất. x2 2x 5 1 1 1 1 Câu 3: CMR: 1 với n N ; n > 0. n n 1 n2 1 n2 Câu 4: Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 2(x+y+z) + y = 3xyz. Câu 5: Cho VABC , trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm VABC , một cát tuyến quay quanh G cắt AB, AC AB AC tại M, N. CMR: 3 AM CM Câu 6: Cho VABC , một hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao cho: M AB; N AC; P BC, Q BC. Tìm tập hợp tâm O của hình chữ nhật MNPQ Đề 50 Câu 1: a, Cho x+y=a; x2+y2=b; x3+y3= c. 31
32. 50 đề bồi dưỡng Toán 8 CMR: a3-3ab+2c = 0. b, Xác định a, b, c, d để đẳng thức sau đúng với mọi x. 3 x 2x a b cx d x4 1 x 1 x 1 x2 1 Câu 2: x a x b x c 1 1 1 Cho a, b, c 0 . Giải PT: 2( ) bc ac ab a b c Câu 3: a, Cho a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác. a b c CMR: 2 b c c a a b 1 1 1 3 b, Cho a, b, c là số tự nhiên không nhỏ hơn 1. CMR: 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc Câu 4: Cho x, y, z thoả mãn: xy+yz+zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất: M = x4+y4+z4 Câu 5:Tìm nghiệm nguyên của PT: 5x – 3y = 2xy – 11 Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Giao điểm của AC, BD là O, đường thẳng qua O và song song AB cắt AD, BC tại M, N. 1 1 2 a, CMR: AB CD MN 2 2 b, Cho SVAOB a ;SVCOD b ; Tính SABCD c, Tìm điểm K trên BD sao cho đường thẳng qua K và song song AB bị hai cạnh bên và 2 đường chéo chia thành 3 đoạn bằng nhau. 32