›
›
›

500 Câu trắc nghiệm Toán 10 - Bài 1: Cung góc công thức lượng giác (Có đáp án và lời giải)

docx 59 trang xuanha23 07/01/2023 3090
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "500 Câu trắc nghiệm Toán 10 - Bài 1: Cung góc công thức lượng giác (Có đáp án và lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docx500_cau_trac_nghiem_toan_10_bai_1_cung_goc_cong_thuc_luong_g.docx

Nội dung text: 500 Câu trắc nghiệm Toán 10 - Bài 1: Cung góc công thức lượng giác (Có đáp án và lời giải)

  1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 5 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều + chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước A chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương. - Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B. Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm þ đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB. 2. Góc lượng giác þ Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD. Một D điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng þ giác CD. nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, O M tia cuối là OD. C Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD). 3. Đường tròn lượng giác B(0;1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định + hướng tâm O bán kính R = 1 . Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A'(- 1;0) O A(0;1) A(1;0), A'(- 1;0), B(0;1), B '(0;- 1). Ta lấy A(1;0) làm điểm gốc của đường tròn đó. B '(0;- 1) Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A ). II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Độ và radian a) Đơn vị radian Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad. b) Quan hệ giữa độ và radian
  2. 0 0 p æ180ö 1 = rad và 1rad = ç ÷ . 180 èç p ø÷ c) Độ dài của một cung tròn Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là p rad và có độ dài là pR. Vậy cung có số đo a rad của đường tròn bán kính R có độ dài l = Ra. 2. Số đo của một cung lượng giác þ Số đo của một cung lượng giác AM (A ¹ M ) là một số thực âm hay dương. þ þ Kí hiệu số đo của cung AM là sđ.AM Ghi nhớ Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2p. Ta viết þ sđ AM = a + k2p, k Î ¢. trong đó a là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu làA , điểm cuối làM . 3. Số đo của một góc lượng giác Ð Số đo của góc lượng giác (OA, OC ) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng. Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại. 4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Chọn điểm gốc A(1;0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo a trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm Ð cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ AM = a. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. LÝ THUYẾT Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường tròn định hướng?'' A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng. B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng. C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng. D. Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng. Câu 2. Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là: A. Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ. B. Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.
  3. C. Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể là ngược chiều quay kim đồng hồ. D. Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim đồng hồ. þ Câu 3. Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác AB xác định: A. Một góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . B. Hai góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . C. Bốn góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . D. Vô số góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' góc lượng giác?'' A. Trên đường tròn tâm O bán kính R = 1 , góc hình học AOB là góc lượng giác. B. Trên đường tròn tâm O bán kính R = 1 , góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là góc lượng giác. C. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB là góc lượng giác. D. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là góc lượng giác. Câu 5. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường tròn lượng giác?'' A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác. B. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1 là một đường tròn lượng giác. C. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1 , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác. D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1 , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác. Vấn đề 2. ĐỔI TỪ ĐỘ SANG RADIAN VÀ NGƯỢC LẠI Câu 6. Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là? A. Cung có độ dài bằng 1.B. Cung tương ứng với góc ở tâm . 600 C. Cung có độ dài bằng đường kính.D. Cung có độ dài bằng nửa đường kính. Câu 7. Khẳng định nào sau đây là đúng? 0 0 0 0 æ180ö A. B.p rad = 1 . p raC.d D. = 60 . p rad = 180 . p rad = ç ÷ . èç p ø÷ Câu 8. Khẳng định nào sau đây là đúng? 0 0 0 0 æ180ö A. B.1 rad = 1 . 1 raC.d D.= 60 . 1 rad = 180 . 1 rad = ç ÷ . èç p ø÷ Câu 9. Nếu một cung tròn có số đo là a0 thì số đo radian của nó là: 180p ap p A. B.1 8 0pa. C. . D. . . a 180 180a Câu 10. Nếu một cung tròn có số đo là 3a0 thì số đo radian của nó là: ap ap 180 60 A. B. . C D. . . 60 180 ap ap Câu 11. Đổi số đo của góc 700 sang đơn vị radian. 70 7 7p 7 A. . B. . C. D. . . p 18 18 18p
  4. Câu 12. Đổi số đo của góc 1080 sang đơn vị radian. 3p p 3p p A. . B. . C. D. . . 5 10 2 4 Câu 13. Đổi số đo của góc4 5032' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần nghìn. A. 0,7947. B. 0 ,7948. C. D.0, 795. 0,794. Câu 14. Đổi số đo của góc 40025' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm. A. 0,705. B. 0 ,70. C. 0,7054D 0,71. Câu 15. Đổi số đo của góc - 1250 45¢ sang đơn vị radian. 503p 503p 251p 251p A. - .B. C D. . - . 720 720 360 360 p Câu 16. Đổi số đo của góc rad sang đơn vị độ, phút, giây. 12 A. 1 50. B. 100. C. 60. D. 50. 3p Câu 17. Đổi số đo của góc - rad sang đơn vị độ, phút, giây. 16 A. 3 30 45'. B. - 2C.90 3 0'. D. - 330 45'. - 32055. Câu 18. Đổi số đo của góc - 5 rad sang đơn vị độ, phút, giây. A. - 2B.86 0 44 '28C.'' . - 28602D.8' 44 ''. - 2860. 286028' 44 ''. 3 Câu 19. Đổi số đo của góc rad sang đơn vị độ, phút, giây. 4 A. 4 2097B.¢1 8 ¢¢. 4C.20 5 8¢. D. 42097¢. 42058¢18¢¢. Câu 20. Đổi số đo của góc - 2 rad sang đơn vị độ, phút, giây. A. - 1B.14 0 59¢15¢¢. C. - 114D.03 5¢. - 114035¢29¢¢. - 114059¢. Vấn đề 3. ĐỘ DÀI CUNG TRÒN Câu 21. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Số đo của cung tròn tỉ lệ với độ dài cung đó. B. Độ dài của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó. C. Số đo của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó. D. Độ dài của cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo của cung đó. p Câu 22. Tính độ dài l của cung trên đường tròn có bán kính bằng 20cm và số đo . 16 A. B.l = 3,93cm. l =C.2 ,D.94 cm. l = 3,39cm. l = 1,49cm. Câu 23. Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 1,5 và bán kính bằng 20 cm . A. 30cm .B. . 40cm C. .D. 20cm . 60cm Câu 24. Một đường tròn có đường kính bằng 20 cm . Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 350 (lấy 2 chữ số thập phân). A. 6,01cm .B. . 6,11cm C. .D.6 ,21cm . 6,31cm
  5. 40 Câu 25. Tính số đo cung có độ dài của cung bằng cm trên đường tròn có bán kính 20 cm . 3 A. 1,5 rad .B. . 0,67 rad C. .D. 8 .00 880 Câu 26. Một cung tròn có độ dài bằng 2 lần bán kính. Số đor adian của cung tròn đó là A. 1 .B. . 2 C. .D. . 3 4 1 Câu 27. Trên đường tròn bán kính R , cung tròn có độ dài bằng độ dài nửa đường tròn thì 6 có số đo (tính bằng radian) là: A. B.p / 2 p /C.3 p /D.4 . p / 6 Câu 28. Một cung có độ dài 10cm , có số đo bằng radian là 2,5 thì đường tròn của cung đó có bán kính là: A. 2,5cm .B. . 3,5cm C. .D. 4cm . 4,5cm Câu 29. Bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 5 giây. Hỏi trong 2 giây, bánh xe quay được 1 góc bao nhiêu độ. 8 5 3 5 A. B. p . pC D. p. p. 5 8 5 3 Câu 30. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là: A. 300. B. 400. C. 500. D. 600. Vấn đề 5. GÓC LƯỢNG GIÁC Câu 31. Cho góc lượng giác (Ox,Oy)= 22030'+ k3600. Với giá trị k bằng bao nhiêu thì góc (Ox,Oy)= 1822030' ? A. k Î Æ. B. k = 3. C. k = –5D k = 5. p Câu 32. Cho góc lượng giác a = + k2p . Tìm k để 10p < a < 11p. 2 A. k = 4. B. k = 5. C. k = 6. D. k = 7. Câu 33. Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ OG chỉ số 9 và kim phút OP chỉ số 12 . Số đo của góc lượng giác (OG,OP) là p A. + k2p, k Î ¢ .B. - 2700 + k3600 , k Î ¢. 2 9p C. 2700 + k3600 , k Î ¢ .D. . + k2p, k Î ¢ 10 Câu 34. Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 450 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Ox , số đo cung lượng giác AN bằng A. - 450 .B. . 3150 C. 450 hoặc 3150 .D. . - 450 + k3600 ,k Î Z Câu 35. Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 600 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là:
  6. A. 120o . B. - 2400 . C. - 1200 hoặc 2400 . D. 1200 + k3600 , k Î Z . Câu 36. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 750 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O , số đo cung lượng giác AN bằng: A. 2550 . B. - 1050 . C. -hoặc105 0 .D.2 550 . - 1050 + k3600 , k Î Z 5p p 25p Câu 37. Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): a = - , b = , g = , 6 3 3 19p d = . Các cung nào có điểm cuối trùng nhau: 6 A. a và b ; g và d . B. b và g ; a và d . C. a, b, g . D. b, g, d . Câu 38. Các cặp góc lượng giác sau ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối. Hãy nêu kết quả SAI trong các kết quả sau đây: p 35p p 152p A. và - .B. và . 3 3 10 5 p 155p p 281p C. - và .D. và . 3 3 7 7 Câu 39. Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành tam giác đều ? k2p kp kp A. .B. kp .C. .D. . 3 2 3 Câu 40. Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành hình vuông kp k2p kp A. .B. . kp C. .D. . 2 3 3 BAØI GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT CUNG 2. I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG a 1. Định nghĩa þ þ þ Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM = a (còn viết AM = a ) · Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của a và kí hiệu là sin a. sin a = OK. · Hoành độ x = OH của điểm M gọi là côsin của a và kí hiệu là cosa. cosa = OH. y B sin a M · Nếu cosa ¹ 0, tỉ số gọi là tang của a và kí hiệu là K cosa a A' A x H O B'
  7. tan a (người ta còn dùng kí hiệu tg a ) sin a tan a = . cosa cosa · Nếu sin a ¹ 0, tỉ số gọi là côtang của a và kí hiệu là cot a (người ta còn dùng kí sin a cosa hiệu cotg a ) cot a = . sin a Các giá trị sin a, cosa, tan a, cot a được gọi là các giá trị lượng giác của cung a. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin 2. Hệ quả 1) sin a và cosa xác định với mọi a Î ¡ . Hơn nữa, ta có sin(a + k2p)= sin a, " k Î ¢; cos(a + k2p)= cosa, " k Î ¢. 2) Vì - 1£ OK £ 1; - 1£ OH £ 1 nên ta có - 1£ sin a £ 1 - 1£ cosa £ 1. 3) Với mọi m Î ¡ mà - 1£ m £ 1 đều tồn tại a và b sao cho sin a = m và cos b = m. p 4) tan a xác định với mọi a ¹ + kp (k Î ¢ ). 2 5) cot a xác định với mọi a ¹ kp (k Î ¢ ). þ 6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc a phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cungA M = a trên đường tròn lượng giác. Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác cosa + - - + sin a + + - - tan a + - + - cot a + - + - 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt p p p p a 0 6 4 3 2 1 2 3 sin a 0 1 2 2 2 3 2 1 cosa 1 0 2 2 2
  8. 1 tan a 0 1 3 Không xác định 3 1 cot a Không xác định 3 1 0 3 II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG 1. Ý nghĩa hình học của tan a Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A . Gọi T là giao điểm của OM với trục t ' At. uuur tan a được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t 'At. Trục t 'At được gọi là trục tang. y t M a A x O T t' 2. Ý nghĩa hình học của cot a Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B . Gọi S là giao điểm của OM với trục s 'Bs uur cot a được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s 'Bs Trục s 'Bs được gọi là trục côtang. y s' B S s M a x O III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1. Công thức lượng giác cơ bản Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau sin2 a + cos2 a = 1 1 p 1+ tan2 a = , a ¹ + kp, k Î ¢ cos2 a 2 1 1+ cot2 a = , a ¹ kp, k Î ¢ sin2 a
  9. kp tan a.cot a = 1, a ¹ , k Î ¢ 2 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1) Cung đối nhau: a và - a cos(- a)= cosa sin(- a)= - sina tan(- a)= - tana cot(- a)= - cot a 2) Cung bù nhau: a và p - a sin(p - a)= sina cos(p - a)= - cosa tan(p - a)= - tana cot(p - a)= - cot a 3) Cung hơn kém p : a và (a + p) sin(a + p)= - sina cos(a + p)= - cosa tan(a + p)= tana cot(a + p)= cota æp ö 4) Cung phụ nhau: a và ç - a÷ èç2 ø÷ æp ö sinç - a÷= cosa èç2 ø÷ æp ö cosç - a÷= sina èç2 ø÷ æp ö tanç - a÷= cota èç2 ø÷ æp ö cotç - a÷= tana èç2 ø÷ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Cho a thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. A. B.si n a > 0. cosC.a D.< 0. tan a < 0. cot a < 0. Câu 2. Cho a thuộc góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.
  10. A. sin a > 0; cosa > 0. B. sin a 0; cosa 0. Câu 3. Cho a thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai ? A. B.si n a > 0. cosC.a D. 0. cot a > 0. Câu 4. Cho a thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. B.si n a > 0. cosC.a D.> 0. tan a > 0. cot a > 0. Câu 5. Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếus in a, cosa cùng dấu? A. Thứ II. B. Thứ IV. C. Thứ hoặc II D. ThứIV . hoặc I III. Câu 6. Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu sin a, tana trái dấu? A. Thứ I. B. Thứ hoặc II C. ThứI V. hoặc D.II Thứ I hoặcII. I IV. Câu 7. Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu cosa = 1- sin2 a . A. Thứ II. B. Thứ hoặc I C. ThứI I. hoặc D.I IThứ hoặcIII. I IV. Câu 8. Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu sin2 a = sin a. A. Thứ III. B. Thứ hoặc I C. ThứIII . hoặc D.I Thứ II .hoặc III IV. 5p Câu 9. Cho 2p 0; cot a > 0. B. tan a 0; cot a 0. p Câu 10. Cho 0 0. B. cotça + ÷³ 0. C. D.ta n(a + p) 0. èç 2ø÷ èç 2ø÷ p Câu 12. Cho 0. èç 2 ÷ø èç 2 ø÷ æ3p ö æ3p ö C. D.ta nç - a÷£ 0. tanç - a÷³ 0. èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ p æ p ö Câu 14. Cho < a < p . Xác định dấu của biểu thức M = cosç- + a÷.tan(p - a). 2 èç 2 ø÷
  11. A. B.M ³ 0. M >C. 0D M £ 0. M C. 0D M £ 0. M < 0. Vấn đề 2. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 47p Câu 16. Tính giá trị của sin . 6 47p 3 47p 1 47p 2 47p 1 A. sin = . B. sin = . C. sin = . D. sin = - . 6 2 6 2 6 2 6 2 89p Câu 17. Tính giá trị của cot . 6 89p 89p 89p 3 89p 3 A. cot = 3. B. cot = - 3. C. cot = . D. cot = - . 6 6 6 3 6 3 ép ù Câu 18. Tính giá trị của cos ê + (2k + 1)pú. ëê4 ûú ép ù 3 ép ù 2 A. cos ê + (2k + 1)pú= - . B. cos ê + (2k + 1)pú= - . ëê4 ûú 2 ëê4 ûú 2 ép ù 1 ép ù 3 C. cos ê + (2k + 1)pú= - . D. cos ê + (2k + 1)pú= . ëê4 ûú 2 ëê4 ûú 2 ép ù Câu 19. Tính giá trị của cos ê + (2k + 1)pú. ëê3 ûú ép ù 3 ép ù 1 A. cos ê + (2k + 1)pú= - . B. cos ê + (2k + 1)pú= . ëê3 ûú 2 ëê3 ûú 2 ép ù 1 ép ù 3 C. cos ê + (2k + 1)pú= - . D. cos ê + (2k + 1)pú= . ëê3 ûú 2 ëê3 ûú 2 (cot 440 + tan 2260 )cos 4060 Câu 20. Tính giá trị biểu thức P = - cot 720 cot180. cos3160 1 1 A. P = –1. B. P = 1. C. P = - . D. P = . 2 2 æ 14pö 1 2 3p Câu 21. Tính giá trị biểu thức P = sinç- ÷+ - tan . èç ø÷ 29p 3 sin2 4 4 3 3 3 3 A. P = 1+ . B. P = 1- C. . D. P = 2 + . P = 3- . 2 2 2 2 p 3p 5p 7p Câu 22. Tính giá trị biểu thức P = cos2 + cos2 + cos2 + cos2 . 8 8 8 8 A. P = - 1. B. P = 0. C. P = 1. D. P = 2. Câu 23. Tính giá trị biểu thức P = sin2 10O + sin2 20O + sin2 30O + + sin2 80O.
  12. A. P = 0. B. P = 2. C. P = 4.D. P = 8. Câu 24. Tính giá trị biểu thức P = tan10°.tan 20°.tan 30° tan 80°. A. P = 0. B. P = 1. C. P = 4.D. P = 8. Câu 25. Tính giá trị biểu thức P = tan10 tan 20 tan 30 tan 890. A. P = 0. B. P = 1. C. P = 2.D. P = 3. Vấn đề 3. TÍNH ĐÚNG SAI Câu 26. Với góc a bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng? A. B.si n a + cosa = 1. sin2 a + cos2 a = 1. C. D.sin 3 a + cos3 a = 1. sin4 a + cos4 a = 1. Câu 27. Với góc a bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng? A. B.si n 2a 2 + cos2 2a = 1. sin(a 2 )+ cos(a 2 )= 1. C. D.sin 2 a + cos2 (180°- a)= 1. sin2 a - cos2 (180°- a)= 1. Câu 28. Mệnh đề nào sau đây là sai? sin a A. B.- 1£ sin a £ 1; - 1£ cosa £ 1. tan a = (cosa ¹ 0). cosa cosa C. D.co t a = (sin a ¹ 0). sin2 (2018a)+ cos2 (2018a)= 2018. sin a Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là sai? 1 1 A. B.1+ tan2 a = . 1+ cot2 a = . sin2 a cos2 a C. D.ta n a + cot a = 2. tan a.cot a = 1. Câu 30. Để tan x có nghĩa khi p p A. x = ± B x = C.0. D. x ¹ + kp. x ¹ kp. 2 2 Câu 32. Điều kiện trong đẳng thức tan a.cot a = 1 là p p A. a ¹ k , k Î ¢. B. a ¹ + kp, k Î ¢. 2 2 p C. a ¹ kp, k Î ¢. D. a ¹ + k2p, k Î ¢. 2 æ pö æ pö Câu 33. Điều kiện để biểu thức P = tança + ÷+ cotça - ÷ xác định là èç 3ø÷ èç 6÷ø p 2p A. a ¹ + k2p, k Î ¢. B. a ¹ + kp, k Î ¢. 6 3 p p C. a ¹ + kp, k Î ¢. D. a ¹ - + k2p, k Î ¢. 6 3 Câu 34. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. sin 600 cot 2400.
  13. Câu 35. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. tan 45° > tan 46°. B. cos142° > cos143°. C. sin 90°13¢ cot126°. Vấn đề 4. CÁC CUNG LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Câu 36. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: æp ö A. cosç - a÷= sin a. B. sin(p + a)= sin a. èç2 ø÷ æp ö C. cosç + a÷= sin a. D. tan(p + 2a)= cot(2a). èç2 ø÷ æ9p ö Câu 37. Với mọi số thực a , ta có sinç + a÷ bằng èç 2 ø÷ A. - sin a. B. cosa. C. D. sin a. - cosa. 1 æ 3pö Câu 38. Cho cosa = . Khi đó sinça - ÷ bằng 3 èç 2 ø÷ 2 1 1 2 A. - . B. - . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 39. Với mọi a Î ¡ thì tan(2017p + a) bằng A. - tan a. B. cot a. C. tan a. D. - cot a. æ pö Câu 40. Đơn giản biểu thức A = cosça - ÷+ sin(a - p) , ta được èç 2ø÷ A. A = cosa + sin a. B. A = 2 sin a. C. A = sin a – cosa. D. A = 0. æp ö æp ö Câu 41. Rút gọn biểu thức S = cosç - x÷sin(p - x)- sinç - x÷cos(p - x) ta được èç2 ø÷ èç2 ø÷ A. S = 0. B. S = sin2 x - cos2 x. C. S = 2 sin x cos x. D. S = 1. æp ö æp ö Câu 42. Cho P = sin(p + a).cos(p - a) và Q = sinç - a÷.cosç + a÷. Mệnh đề nào dưới đây èç2 ø÷ èç2 ø÷ là đúng ? A. P + Q = 0. B. P + Q = - 1. C. P + Q = 1. D. P + Q = 2. 2 2 é æp ö ù é æ3p ö ù Câu 43. Biểu thức lượng giác êsinç - ÷+ sin 10p + ú + êcosç - ÷+ cos 8p - ú có giá ç x÷ ( x) ç x÷ ( x) ëê è2 ø ûú ëê è 2 ø ûú trị bằng ? 1 3 A. B.1. C. D. 2. . . 2 4 2 é 17p æ7p öù é 13p ù2 Câu 44. Giá trị biểu thức = êtan + tanç - ÷ú + êcot + cot 7p - ú bằng P ç x÷ ( x) ëê 4 è 2 øûú ëê 4 ûú
  14. 1 1 2 2 A. B. . C. D . . sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x æ pö 13p æ pö Câu 45. Biết rằng sinçx - ÷+ sin = sinçx + ÷ thì giá trị đúng của cos x là èç 2ø÷ 2 èç 2ø÷ 1 1 A. 1. B. - 1. C. . D. - . 2 2 æ pö Câu 46. Nếu cot1,25.tan(4p + 1,25)- sinçx + ÷.cos(6p - x)= 0 thì tan x bằng èç 2ø÷ A. 1. B. - 1. C. D. Một giá trị0. khác. Câu 47. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng: A. B.si n(A + C )= - sin B. cos(A + C )= - cos B. C. D.ta n(A + C )= tan B. cot(A + C )= cot B. Câu 48. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó A. B.si nC = - sin(A + B). cosC = cos(A + B). C. D.ta nC = tan(A + B). cotC = - cot(A + B). Câu 49. Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là sai ? A + C B A + C B A. sin = cos . B. cos = sin . 2 2 2 2 C. sin(A + B)= sinC. D. cos(A + B)= cosC. Câu 50. A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy tìm hệ thức sai: 3A + B + C A. B.si n A = - sin(2A + B + C ). sin A = - cos . 2 A + B + 3C C. D.co sC = sin . sinC = sin(A + B + 2C ). 2 Vấn đề 5. TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 12 p Câu 51. Cho góc a thỏa mãn sin a = và < a < p . Tính cosa. 13 2 1 5 5 1 A. c osaB.= . C. cosa =D. . cosa = - . cosa = - . 13 13 13 13 5 3p Câu 52. Cho góc a thỏa mãn cosa = - và p < a < . Tính tan a. 3 2 3 2 4 2 A. tan a = - . B. t an a = C. . D. tan a = - . tan a = - . 5 5 5 5 4 2017p 2019p Câu 53. Cho góc a thỏa mãn tan a = - và < a < . Tính sin a. 3 2 2 3 3 4 4 A. sin a = - . B. sin a = . C. sin a = - . D. sin a = . 5 5 5 5
  15. 12 p Câu 54. Cho góc a thỏa mãn cosa = - và < a < p. Tính tan a. 13 2 12 5 5 12 A. tan a = - . B. t an a = C. . D. tan a = - . tan a = . 5 12 12 5 Câu 55. Cho góc a thỏa mãn tan a = 2 và 180o < a < 270o. Tính P = cosa + sin a. 3 5 3 5 5 - 1 A. P = - . B. P = 1- 5. C. P = . D. P = . 5 2 2 3 Câu 56. Cho góc a thỏa sin a = và 90O < a < 180O. Khẳng định nào sau đây đúng? 5 4 4 5 4 A. cot a = - . B. cosa = . C.tan a = . D. cosa = - . 5 5 4 5 3 Câu 57. Cho góc a thỏa cota = và 0O < a < 90O. Khẳng định nào sau đây đúng? 4 4 4 4 4 A. cosa = - . B. cosa = . C.sin a = . D. sina = - . 5 5 5 5 3 p tan a Câu 58. Cho góc a thỏa mãn sin a = và < a < p . Tính P = . 5 2 1+ tan2 a 3 12 12 A. P = - 3. B. P = . C. P D.= . P = - . 7 25 25 1 2 tan a + 3cot a + 1 Câu 59. Cho góc a thỏa sin a = và 900 < a < 1800 . Tính P = . 3 tan a + cot a 19 + 2 2 19- 2 2 26- 2 2 26 + 2 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 9 9 9 9 1 p æ7p ö Câu 60. Cho góc a thỏa mãn sin(p + a)= - và < a < p . Tính P = tanç - a÷ . 3 2 èç 2 ÷ø 2 2 A. P = 2 2. B. P = - 2 2. C. P =D. . P = - . 4 4 3 p Câu 61. Cho góc a thỏa mãn cosa = và - < a < 0 . Tính P= 5+ 3tan a + 6- 4 cot a. 5 2 A. P = 4. B. P = - 4. C. P = 6. D. P = - 6. 3 p p Câu 62. Cho góc a thỏa mãn cosa = và < a < . Tính P = tan2 a - 2 tan a + 1 . 5 4 2 1 1 7 7 A. P = - . B. P = . C. D.P = . P = - . 3 3 3 3 p æ pö æ pö Câu 63. Cho góc a thỏa mãn < a < 2p và tança+ ÷= 1 . Tính P= cosça - ÷+ sin a . 2 èç 4ø÷ èç 6ø÷ 3 6 + 3 2 3 6 - 3 2 A. P = . B. P = C. . D.P = - . P = . 2 4 2 4 p æ pö Câu 64. Cho góc a thỏa mãn < a < 2p và cotça + ÷= - 3 . Tính giá trị của biểu thức 2 èç 3ø÷
  16. æ pö P = sinça + ÷+ cosa . èç 6ø÷ 3 3 A. P = . B. P = 1. C. P D.= - 1. P = - . 2 2 4 p sin2 a - cosa Câu 65. Cho góc a thỏa mãn tan a = - và 0. Tính P = sin3 a + cos3 a. 25 91 49 7 1 A. P = × B. P = × C. P = × D. P = × 125 25 5 9 p 5 Câu 73. Cho góc a thỏa mãn 0 < a < và sin a + cosa = . Tính P = sin a - cosa. 4 2 3 1 1 3 A. P = . B. P = × C. P = - × D. P = - . 2 2 2 2
  17. Câu 74. Cho góc a thỏa mãn sin a + cosa = m. . Tính P = sin a - cosa . A. B.P = 2- m. P =C.2 D.- m2 . P = m2 - 2. P = 2- m2 . Câu 75. Cho góc a thỏa mãn tan a + cot a = 2. Tính P = tan2 a + cot2 a. A. B.P = 1. P =C.2 D P = 3. P = 4. Câu 76. Cho góc a thỏa mãn tan a + cot a = 5. Tính P = tan3 a + cot3 a. A. B.P = 100. P =C.1 D.10 . P = 112. P = 115. 2 Câu 77. Cho góc a thỏa mãn sin a + cosa = . Tính P = tan2 a + cot2 a. 2 A. B.P = 12. P =C.1 D.4. P = 16. P = 18. p Câu 78. Cho góc a thỏa mãn < a < p và tan a - cot a = 1 . Tính P = tan a + cot a. 2 A. B.P = 1. P =C.- D.1 . P = - 5. P = 5. Câu 79. Cho góc a thỏa mãn 3cosa + 2 sin a = 2 và sin a < 0 . Tính sin a. 5 7 9 12 A. B.si n a = - . sinC.a =D. - . sin a = - . sin a = - . 13 13 13 13 3p Câu 80. Cho góc a thỏa mãn p<a< và sin a - 2 cosa = 1 . Tính P = 2 tan a - cot a. 2 1 1 1 1 A. B.P = . P =C. D P = . P = . 2 4 6 8 Vấn đề 6. RÚT GỌN BIỂU THỨC 2 2 Câu 81. Rút gọn biểu thức M = (sin x + cos x) + (sin x - cos x) . A. B.M = 1. M C.= D.2. M = 4. M = 4 sin x.cos x. Câu 82. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3 5 3 A. s in4 x + coB.s4 x = + cos 4x. sin4 x + cos4 x = + cos 4x. 4 4 8 8 3 1 1 1 C. s in4 x + coD.s4 x = + cos 4x. sin4 x + cos4 x = + cos 4x. 4 4 2 2 Câu 83. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. sin4 x - cos4 x = 1- 2 cos2 x. B. sin4 x - cos4 x = 1- 2 sin2 x cos2 x. C. sin4 x - cos4 x = 1- 2 sin2 x. D. sin4 x - cos4 x = 2 cos2 x - 1. Câu 84. Rút gọn biểu thức M = sin6 x + cos6 x. A. B.M = 1+ 3sin2 x cos2 x. M = 1- 3sin2 x. 3 3 C. D.M = 1- sin2 2x. M = 1- sin2 2x. 2 4 2 Câu 85. Rút gọn biểu thức M = 2(sin4 x + cos4 x + cos2 x sin2 x) - (sin8 x + cos8 x). A. B.M = 1. M C.= D.- 1 . M = 2. M = - 2. Câu 86. Rút gọn biểu thức M = tan2 x - sin2 x.
  18. A. B.M = tan2 x. M C.= D.sin 2 x. M = tan2 x.sin2 x . M = 1. Câu 87. Rút gọn biểu thức M = cot2 x - cos2 x. A. B.M = cot2 x. M C.= D.co s2 x. M = 1. M = cot2 x.cos2 x. Câu 88. Rút gọn biểu thức M = (1– sin2 x)cot2 x + (1– cot2 x). A. M = sin2 x. B. M = cos2 x. C. M = – sin2 x. D. M = – cos2 x. Câu 89. Rút gọn biểu thức M = sin2 a tan2 a + 4 sin2 a - tan2 a + 3cos2 a. A. M = 1+ sin2 a. B. M = sin a. C. M = 2 sin a. D. M = 3. Câu 90. Rút gọn biểu thức M = (sin4 x + cos4 x - 1)(tan2 x + cot2 x + 2). A. M = - 4. B. M = - 2. C. M = 2. D. M = 4. Câu 91. Đơn giản biểu thức P = sin4 a + sin2 a cos2 a . A. P = sin a . B. P = s in a. C. P = c D.os a. P = cosa . 1+ sin2 a Câu 92. Đơn giản biểu thức P = . 1- sin2 a A. B.P = 1+ 2 tan2 a. P = 1- 2 tan2 a. C. D.P = - 1+ 2 tan2 a. P = - 1- 2 tan2 a. 1- cosa 1 Câu 93. Đơn giản biểu thức P = - . sin2 a 1+ cosa 2 cosa 2 2 A. B.P = - . P =C. . P =D. . P = 0. sin2 a sin2 a 1+ cosa 1- sin2 a cos2 a Câu 94. Đơn giản biểu thức P = - cos2 a. cos2 a A. B.P = tan2 a. P =C.1 D P = - cos2 a. P = cot2 a. 2 cos2 x - 1 Câu 95. Đơn giản biểu thức P = . sin x + cos x A. P = cos x + sin x. B. P = cos x - sin x. C. P = cos 2x - sin 2x. D. P = cos 2x + sin 2x. (sin a + cosa)2 - 1 Câu 96. Đơn giản biểu thức P = . cot a - sin a cosa sin a 2 A. P = 2 tan2 a. B. P = . C. D.P = 2 cot2 a. P = . cos3 a cos2 a æsin a + tan a ö2 Câu 97. Đơn giản biểu thức P = ç ÷ + 1. èç cosa + 1 ø÷ 1 1 A. P = 2. B. P = 1+C.t a n a. D. P = . P = . cos2 a sin2 a æ 2 ö ç1+ cos a ÷ Câu 98. Đơn giản biểu thức P = tan a ç - sin a÷. èç sin a ø÷
  19. A. P = 2. B. P =C. 2Dc. osa. P = 2 tan a. P = 2 sin a. cot2 x - cos2 x sin xcosx Câu 99. Đơn giản biểu thức P = + . cot2 x cot x 1 1 A. P = 1. B. P = - 1. C. P = . D. P = - . 2 2 Câu 100. Hệ thức nào sau đây là sai? 2 2 sin a + 1 1+ cos a 2 A. + + 1 = (tan a + cot a) . 2(1- sin2 a) 2(1- cos2a) 1- 4 sin2 x.cos2 x 1+ tan4 x - 2 tan2 x B. = . 4 sin2 x.cos2 x 4 tan2 x sin x + tan x C. = 1+ sin x + cot x. tan x cos x 1 D. tan x + = . 1+ sin x cos x BAØI COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC 3. I – CÔNG THỨC CỘNG cos(a - b)= cos a cosb + sin a sin b cos(a + b)= cos a cosb - sin a sin b sin(a - b)= sin a cosb - cos a sin b sin(a + b)= sin a cosb + cos a sin b tan a - tan b tan(a - b)= 1+ tan a tan b tan a + tan b tan(a + b)= . 1- tan a tan b II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1- 2 sin2 a 2 tan a tan 2a = . 1- tan2 a III – CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH 1. Công thức biến đổi tích thành tổng
  20. 1 cos a cosb = écos(a - b)+ cos(a + b)ù 2 ë û 1 sin a sin b = écos(a - b)- cos(a + b)ù 2 ë û 1 sin a cosb = ésin(a - b)+ sin(a + b)ù. 2 ë û 2. Công thức biến đổi tổng thành tích u + v u - v cosu + cosv = 2 cos cos 2 2 u + v u - v cosu - cosv = - 2 sin sin 2 2 u + v u - v sin u + sin v = 2 sin cos 2 2 u + v u - v sin u - sin v = 2 cos sin . 2 2 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Rút gọn biểu thức M = cos4 15o - sin4 15o. 3 1 A. B.M = 1. M C.= D. . M = . M = 0. 2 4 Câu 2. Tính giá trị của biểu thức M = cos4 150 - sin4 150 + cos2 150 - sin2 150. 1 1 A. B.M = 3. M C.= D M = . M = 0. 2 4 Câu 3. Tính giá trị của biểu thức M = cos6 15o - sin6 15o. 1 1 15 3 A. B.M = 1. M C.= D M = . M = . 2 4 32 p p p p Câu 4. Giá trị của biểu thức cos cos + sin sin là 30 5 30 5 3 3 3 1 A. . B. - . C. . D. . 2 2 4 2 5p p p 5p sin cos - sin cos Câu 5. Giá trị của biểu thức P = 18 9 9 18 là p p p p cos cos - sin sin 4 12 4 12 1 2 3 A. 1 . B. . C. . D. . 2 2 2 tan 2250 - cot 810.cot 690 Câu 6. Giá trị đúng của biểu thức bằng cot 2610 + tan 2010 1 1 A. B. . - C. .D. 3. - 3. 3 3
  21. p 5p 7p 11p Câu 7. Giá trị của biểu thức M = sin sin sin sin bằng 24 24 24 24 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 16 p p p p p Câu 8. Giá trị của biểu thức A= sin .cos .cos .cos .cos là 48 48 24 12 6 1 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 32 8 16 32 Câu 9. Tính giá trị của biểu thức M = cos100 cos 200 cos 400 cos800. 1 1 A. M = cos100 .B. . M = cos100 16 2 1 1 C. .D.M = cos100 . M = cos100 4 8 2p 4p 6p Câu 10. Tính giá trị của biểu thức M = cos + cos + cos . 7 7 7 1 A. . M = 0 B. .C. M .D.= - . M = 1 M = 2 2 Vấn đề 2. TÍNH ĐÚNG SAI Câu 11. Công thức nào sau đây sai? A. cos(a - b)= sin a sin b + cos a cosb. B. cos(a + b)= sin a sin b - cos a cosb. C. sin(a - b)= sin a cosb - cos a sin b. D. sin(a + b)= sin a cosb + cos a sin b. Câu 12. Khẳng định nào sau đây đúng? A. B.si n(2018a)= 2018sin a.cos a. sin(2018a)= 2018sin(1009a).cos(1009a). C. D.sin (2018a)= 2 sin a cos a. sin(2018a)= 2 sin(1009a).cos(1009a). Câu 13. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? A. B.co s 6a = cos2 3a - sin2 3a. cos 6a = 1- 2 sin2 3a. C. D.co s 6a = 1- 6 sin2 a. cos 6a = 2 cos2 3a - 1. Câu 14. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? 1- cos 2x 1+ cos 2x A. B.si n2 x = . cos2 x = . 2 2 x x C. D.sin x = 2 sin cos . cos3x = cos3 x - sin3 x. 2 2 Câu 15. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? æ pö æ pö A. sin a + cos a = 2 sinça - ÷. B. sin a + cos a = 2 sinça + ÷. èç 4ø÷ èç 4ø÷ æ pö æ pö C. sin a + cos a = - 2 sinça - ÷. D. sin a + cos a = - 2 sinça + ÷. èç 4ø÷ èç 4ø÷ Câu 16. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?
  22. æ pö æ pö 1) cos x - sin x = 2 sinçx + ÷. 2) cos x - sin x = 2 cosçx + ÷. èç 4÷ø èç 4ø÷ æ pö æp ö 3) cos x - sin x = 2 sinçx - ÷. 4) cos x - sin x = 2 sinç - x÷. èç 4ø÷ èç4 ø÷ A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 17. Công thức nào sau đây đúng? A. cos3a = 3cos a - 4 cos3 a. B. cos3a = 4 cos3 a - 3cos a. C. cos3a = 3cos3 a - 4 cos a. D. cos3a = 4 cos a - 3cos3 a. Câu 18. Công thức nào sau đây đúng? A. sin 3a = 3sin a - 4 sin3 a. B. sin 3a = 4 sin3 a - 3sin a. C. sin 3a = 3sin3 a - 4 sin a. D. sin 3a = 4 sin a - 3sin3 a. Câu 19. Nếu cos(a + b)= 0 thì khẳng định nào sau đây đúng? A. sin(a + 2b) = sin a . B. sin(a + 2b) = sin b . C. sin(a + 2b) = cos a . D. sin(a + 2b) = cosb . Câu 20. Nếu sin(a + b)= 0 thì khẳng định nào sau đây đúng? A. cos(a + 2b) = sin a . B. cos(a + 2b) = sin b . C. cos(a + 2b) = cos a . D. cos(a + 2b) = cosb . Vấn đề 3. VẬN DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 21. Rút gọn M = sin(x - y)cos y + cos(x - y)sin y. A. M = cos x. B. M = sin x. C. M = sin x cos 2y. D. M = cos x cos 2y. Câu 22. Rút gọn M = cos(a + b)cos(a - b)- sin(a + b)sin(a - b). A. B.M = 1- 2 cos2 a. M = 1- 2 sin2 a. C. M = cos 4a. D. M = sin 4a. Câu 23. Rút gọn M = cos(a + b)cos(a - b)+ sin(a + b)sin(a - b). A. B.M = 1- 2 sin2 b. M = 1+ 2 sin2 b. C. D.M = cos 4b. M = sin 4b. Câu 24. Giá trị nào sau đây của x thỏa mãn sin 2x.sin 3x = cos 2x.cos3x ? A. 18°. B. 30°. C. 36°. D. 45°. Câu 25. Đẳng thức nào sau đây đúng: sin(b - a) 1 A. cot a + cot b = . B. cos2 a = (1+ cos 2a). sin a.sin b 2 1 sin(a + b) C. sin(a + b)= sin 2(a + b). D. tan(a + b)= . 2 cos a.cosb Câu 26. Chọn công thức đúng trong các công thức sau: 1 A. sin a.sin b = - écos(a + b)- cos(a - b)ù. 2 ë û
  23. a + b a - b B. sin a - sin b = 2 sin .cos . 2 2 2 tan a C. tan 2a = . 1- tan a D. cos 2a = sin2 a - cos2 a. æ pö æ pö Câu 27. Rút gọn M = cosçx + ÷- cosçx - ÷. èç 4ø÷ èç 4ø÷ A. M = 2 sin x. B. M =C.- 2 sinD.x . M = 2 cos x. M = - 2 cos x. 4 5 Câu 28. Tam giác ABC có cos A = và cos B = . Khi đó cosC bằng 5 13 56 56 16 33 A. . B. - . C. . D. . 65 65 65 65 1 1 1 Câu 29. Cho A, B, C là ba góc nhọn thỏa mãn tan A = , tan B = , tanC = . Tổng A + B + C 2 5 8 bằng p p p p A. . B. . C. . D. . 6 5 4 3 Câu 30. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC . Khi đó P = sin A + sin B + sinC tương đương với: A B C A B C A. B.P = 4 cos cos cos . P = 4 sin sin sin . 2 2 2 2 2 2 A B C A B C C. D.P = 2 cos cos cos . P = 2 cos cos cos . 2 2 2 2 2 2 Câu 31. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC . Khi đó P = sin 2A + sin 2B + sin 2C tương đương với: A. B.P = 4 cos A.cos B.cosC. P = 4 sin A.sin B.sinC. C. D.P = - 4 cos A.cos B.cosC. P = - 4 sin A.sin B.sinC. Câu 32. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC (không phải tam giác vuông). Khi đó P = tan A + tan B + tanC tương đương với : A B C A B C A. P = tan .tan .tan . B. P = - tan .tan .tan . 2 2 2 2 2 2 C. D.P = - tan A.tan B.tanC. P = tan A.tan B.tanC. Câu 33. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC . A B B C C A Khi đó P = tan .tan + tan .tan + tan .tan tương đương với: 2 2 2 2 2 2 A. P = 1. B. P = - 1. 2 æ A B C ö C. P = çtan .tan .tan ÷ . D. Đáp án khác. èç 2 2 2 ø÷
  24. sin B Câu 34. Trong DABC , nếu = 2 cos A thì DABC là tam giác có tính chất nào sau đây? sinC A. Cân taïi B. B. Cân taïi A. C. Cân taïi C. D. Vuông taïi B. tan A sin2 A Câu 35. Trong DABC , nếu = thì DABC là tam giác gì? tanC sin2 C A. Tam giác vuông. B. Tam giác cân. C. Tam giác đều. D. Tam giác vuông hoặc cân. Vấn đề 4. TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC p 4 Câu 36. Cho góc a thỏa mãn < a < p và sin a = . Tính P = sin 2(a + p). 2 5 24 24 12 12 A. P = - B. . P = . C. P = - . D. P = . 25 25 25 25 p 2 1+ sin 2a + cos 2a Câu 37. Cho góc a thỏa mãn 0 < a < và sin a = . Tính P = . 2 3 sin a + cosa 2 5 3 3 2 5 A. P = -B. . P = . C. P = - D P = . 3 2 2 3 3 3p æ pö Câu 38. Biết sin(p - a)= - và p < a < . Tính P = sinça + ÷. 5 2 èç 6ø÷ 3 3 - 4 - 3 3 4 - 3 3 A. P = - B P = . C. P = D. . P = . 5 5 10 10 3 æ pö æ pö Câu 39. Cho góc a thỏa mãn sin a = . Tính P = sinça + ÷sinça - ÷. 5 èç 6ø÷ èç 6ø÷ 11 11 7 10 A. P = B P = - . C. P = . D. P = . 100 100 25 11 4 Câu 40. Cho góc a thỏa mãn sin a = . Tính P = cos 4a. 5 527 527 524 524 A. P = B P = - C P = . D. P = - . 625 625 625 625 4 3p Câu 41. Cho góc a thỏa mãn sin 2a = - và < a < p . Tính P = sin a - cosa . 5 4 3 3 5 5 A. P = B P = - . C. P = . D. P = - . 5 5 3 3 2 Câu 42. Cho góc a thỏa mãn sin 2a = . Tính P = sin4 a + cos4 a . 3 17 7 9 A. P = 1. B. P = . C. P = . D. P = . 81 9 7 5 3p Câu 43. Cho góc a thỏa mãn cosa = và < a < 2p . Tính P = tan 2a . 13 2
  25. 120 119 120 119 A. P = - B. . P = - C P = . D. P = . 119 120 119 120 2 Câu 44. Cho góc a thỏa mãn cos 2a = - . Tính P = (1+ 3sin2 a)(1- 4 cos2 a) . 3 21 A. P = 12. B. P = . C. P = 6. D. P = 21. 2 3 3p æp ö Câu 45. Cho góc a thỏa mãn cosa = và < a < 2p . Tính P = cosç - a÷. 4 2 èç3 ø÷ 3+ 21 3- 21 3 3 + 7 3 3 - 7 A. P =B. . P = C. . P = D. . P = . 8 8 8 8 4 3p æ pö Câu 46. Cho góc a thỏa mãn cosa = - và p < a < . Tính P = tança - ÷ . 5 2 èç 4ø÷ 1 1 A. P = - B P = . C. P = - 7. D. P = 7. 7 7 4 p p æ pö Câu 47. Cho góc a thỏa mãn cos 2a = - và < a < . Tính P = cosç2a - ÷ . 5 4 2 èç 4ø÷ 2 2 1 1 A. P = B P = - . C. P = - . D. P = . 10 10 5 5 4 3p a 3a Câu 48. Cho góc a thỏa mãn cosa = - và p < a < . Tính P = sin .cos . 5 2 2 2 39 49 49 39 A. P = - B. . P = . C. P = - . D. P = . 50 50 50 50 æ5p ö æ pö Câu 49. Cho góc a thỏa mãn cotç - a÷= 2 . Tính P = tança + ÷ . èç 2 ø÷ èç 4ø÷ 1 1 A. P = . B. P = - . C. P = 3. D. P = 4. 2 2 Câu 50. Cho góc a thỏa mãn cot a = 15. Tính P = sin 2a. 11 13 15 17 A. P = B P = . C. P = . D. P = . 113 113 113 113 p a a Câu 51. Cho góc a thỏa mãn cot a = - 3 2 và < a < p. Tính P = tan + cot . 2 2 2 A. P = 2 B.1 9. P = - 2 1 C.9 . P = 19. D. P = - 19. 4 æ3p ù a a Câu 52. Cho góc a thỏa mãn tan a = - và a Î ç ;2pú . Tính P = sin + cos . 3 èç 2 ûú 2 2 5 5 A. P = 5. B. P = - 5. C. P = - . D. P = . 5 5 sin 2a Câu 53. Cho góc a thỏa mãn tan a = - 2 . Tính P = . cos 4a + 1
  26. 10 9 10 9 A. P = . B. P = . C. P = - . D. P = - . 9 10 9 10 1 Câu 54. Cho góc a thỏa mãn tan a + cot a < 0 và sin a = . Tính P = sin 2a . 5 4 6 4 6 2 6 2 6 A. P = B. . P = - C P = . D. P = - . 25 25 25 25 p Câu 55. Cho góc a thỏa mãn < a < p và sin a + 2 cosa = - 1 . Tính P = sin 2a . 2 24 2 6 24 2 6 A. P = .B. P = . C. P = - . D. P = - . 25 5 25 5 5 3 p p Câu 56. Biết sin a = ; cosb = ; < a < p; 0 < b < . Hãy tính sin(a + b). 13 5 2 2 56 63 33 A. . B. . C. D. 0. - . 65 65 65 5 æp ö 3 æ pö Câu 57. Nếu biết rằng sin a = ç < a < p÷, cos b = ç0 < b < ÷ thì giá trị đúng của biểu 13 èç2 ø÷ 5 èç 2ø÷ thức cos(a - b) là 16 16 18 18 A. B. C D. - . . - . 65 65 65 65 1 1 Câu 58. Cho hai góc nhọn a ; b và biết rằng cos a = ; cosb = . Tính giá trị của biểu thức 3 4 P = cos(a + b).cos(a - b). 113 115 117 119 A. - . B. - . C. - . D. - . 144 144 144 144 1 1 Câu 59. Nếu a, b là hai góc nhọn và sin a = ; sin b = thì cos 2(a + b) có giá trị bằng 3 2 7- 2 6 7 + 2 6 7 + 4 6 7- 4 6 A. B. . C. D. . . . 18 18 18 18 p 1 3 Câu 60. Cho 0 < a, b < và thỏa mãn tan a = , tan b = . Góc a + b có giá trị bằng 2 7 4 p p p p A. . B. . C. . D. . 3 4 6 2 3 1 Câu 61. Cho x, y là các góc nhọn và dương thỏa mãn cot x = , cot y = . Tổng x + y bằng 4 7 p 3p p A. . B. . C. . D. p. 4 4 3 Câu 62. Nếu a, b, g là ba góc nhọn thỏa mãn tan(a + b).sin g = cos g thì p p p 3p A. B.a + b + g = . a +C.b D.+ g = . a + b + g = . a + b + g = . 4 3 2 4
  27. 1 1 Câu 63. Biết rằng tan a = (0 < a < 900 ) và tan b = - (900 < b < 1800 ) thì biểu thức 2 3 cos(2a - b) có giá trị bằng 10 10 5 5 A. B.- . C D. - . . 10 10 5 5 1 Câu 64. Nếu sin a - cos a = (1350 < a < 1800 ) thì giá trị của biểu thức tan 2a bằng 5 20 20 24 24 A. B.- . .C. D. . - . 7 7 7 7 Câu 65. Nếu tan(a + b)= 7, tan(a - b)= 4 thì giá trị đúng của tan 2a là 11 11 13 13 A. B.- . .C. D. - . . 27 27 27 27 p p Câu 66. Nếu sin a.cos(a + b)= sin b với a + b ¹ + kp, a ¹ + lp, (k,l Î ¢ ) thì 2 2 A. B.ta n(a + b)= 2 cot a. tan(a + b)= 2 cot b. C. D.ta n(a + b)= 2 tan b. tan(a + b)= 2 tan a. p Câu 67. Nếu a + b + g = và cot a + cot g = 2 cot b thì cot a.cot g bằng 2 A. B. 3C - 3. 3. D. - 3. Câu 68. Nếu tan a và tan b là hai nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 (q ¹ 1) thì tan(a + b) bằng p p 2 p 2 p A. B. . - C. D . - . q - 1 q - 1 1- q 1- q Câu 69. Nếu tan a ; tan b là hai nghiệm của phương trình x 2 - px + q = 0 (p.q ¹ 0) . Và cot a ; cot b là hai nghiệm của phương trình x 2 - rx + s = 0 thì tích P = rs bằng p 1 q A. B.pq C D. . . . q 2 pq p2 Câu 70. Nếu tan a và tan b là hai nghiệm của phương trình x 2 - px + q = 0 (q ¹ 0) thì giá trị biểu thức P = cos2 (a + b)+ p sin(a + b).cos(a + b)+ q sin2 (a + b) bằng: p A. B.p. C. D. q. 1. . q Vấn đề 5. RÚT GỌN BIỂU THỨC Câu 71. Rút gọn biểu thức M = tan x - tan y . sin(x + y) A. B.M = tan(x - y). M = . cos x.cos y
  28. sin(x - y) tan x - tan y C. D.M = . M = . cos x.cos y 1+ tan x.tan y 2 æp ö 2 æp ö Câu 72. Rút gọn biểu thức M = cos ç + a÷- cos ç - a÷. èç4 ø÷ èç4 ø÷ A. M = sin 2a. B. M = cos 2a. C. M = - cos 2a. D. M = - sin 2a. Câu 73. Chọn đẳng thức đúng. 2 æp aö 1- sin a 2 æp aö 1+ sin a A. B.co s ç + ÷= . cos ç + ÷= . èç4 2ø÷ 2 èç4 2ø÷ 2 2 æp aö 1- cos a 2 æp aö 1+ cos a C. D.co s ç + ÷= . cos ç + ÷= . èç4 2ø÷ 2 èç4 2ø÷ 2 sin(y - x) Câu 74. Gọi M = thì sin x.sin y A. B.M = tan x - tan y. M = cot x - cot y 1 1 C. D.M = cot y - cot x. M = - . sin x sin y Câu 75. Gọi M = cos x + cos 2x + cos3x thì æ1 ö A. B.M = 2 cos 2x (cos x + 1). M = 4 cos 2x.ç + cos x÷. èç2 ø÷ C. D.M = cos 2x (2 cos x - 1). M = cos 2x (2 cos x + 1). sin 3x - sin x Câu 76. Rút gọn biểu thức M = . 2 cos2 x - 1 A. tan 2x B. sin x. C. 2 tan x. D. 2sin x. 1+ cos x + cos 2x + cos3x Câu 77. Rút gọn biểu thức A = . 2cos2 x + cos x- 1 A. cos x. B. 2cos x- 1.C. D. 2cos x. cos x- 1. tan a - cot a Câu 78. Rút gọn biểu thức A = + cos 2a . tan a + cot a A. 0. B. 2cos2 x. C. 2. D. cos 2x. 1+ sin 4a - cos 4a Câu 79. Rút gọn biểu thức A = . 1+ sin 4a + cos 4a A. sin 2a .B. . cos 2a C. .D. tan 2a . cot 2a 3- 4 cos 2a + cos 4a Câu 80. Biểu thức A = có kết quả rút gọn bằng: 3+ 4 cos 2a + cos 4a A. B.- t an4 a. tanC.4 a D - cot 4 a. cot 4 a. p sin2 2a + 4 sin4 a - 4 sin2 a.cos2 a Câu 81. Khi a = thì biểu thức A = có giá trị bằng: 6 4 - sin2 2a - 4 sin2 a 1 1 1 1 A. .B. . C. .D. 3 6 9 12 .
  29. sin 2a + sin a Câu 82. Rút gọn biểu thức A = . 1+ cos 2a + cosa A. tan a. B. 2 tan a. C. tan 2a + tan a. D. tan 2a. 1- sin a - cos 2a Câu 83. Rút gọn biểu thức A = . sin 2a - cos a 5 A. 1. B. tan a. C. . D. 2 tan a. 2 x sin x + sin Câu 84. Rút gọn biểu thức A = 2 được: x 1+ cos x + cos 2 x 2 æp ö A. tan . B. cot x. C. tan ç - xD.÷. sin x. 2 èç4 ø÷ Câu 85. Rút gọn biểu thức A = sin a.cos5 a - sin5 a.cosa . 1 1 3 1 A. sin 2a. B. - sin 4a. C. D.sin 4a. sin 4a. 2 2 4 4 Vấn đề 6. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Câu 86. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P = 3sin x - 2. A. M = 1, m = - 5. B. M = 3, m = 1. C. M = 2, m = - 2. D. M = 0, m = - 2. æ pö Câu 87. Cho biểu thức P = - 2 sinçx + ÷+ 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? èç 3ø÷ A. P ³ - 4, " x Î ¡ . B. P ³ 4, " x Î ¡ . C. P ³ 0, " x Î ¡ . D. P ³ 2, " x Î ¡ . æ pö Câu 88. Biểu thức P = sinçx + ÷- sin x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? èç 3ø÷ A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 89. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P = sin2 x + 2 cos2 x. A. M = 3, m = 0. B. M = 2, m = 0. C. M = 2, m = 1. D. M = 3, m = 1. Câu 90. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 8sin2 x + 3cos 2x . Tính T = 2M - m2 . A. T = 1. B. T = 2. C. T = 112. D. T = 130. Câu 91. Cho biểu thức P = cos4 x + sin4 x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 A. P £ 2, " x Î ¡ . B. P £ 1, " x Î ¡ . C. P £ 2, " x Î ¡ . D. P £ , " x Î ¡ . 2 Câu 92. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P = sin4 x - cos4 x. A. M = 2, m = - 2. B. M = 2, m = - 2. 1 C. M = 1, m = - 1. D. M = 1, m = . 2
  30. Câu 93. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P = sin6 x + cos6 x. 1 1 1 A. M = 2, m = 0. B. M = 1, m = . C. M = 1, m = . D. M = , m = 0. 2 4 4 Câu 94. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P = 1- 2 cos3x . A. M = 3, m = - 1. B. M = 1, m = - 1. C. M = 2, m = - 2. D. M = 0, m = - 2. 2 æ pö Câu 95. Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức P = 4 sin x + 2 sinç2x + ÷. èç 4ø÷ A. M = 2. B. M = 2 - 1. C. M = 2 + 1. D. M = 2 + 2. CUNG VAØ GOÙC LÖÔÏNG GIAÙC 5 COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC BAØI CUNG VAØ GOÙC LÖÔÏNG GIAÙC 1. Câu 1. Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 2, ta chọn D. Câu 2. Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 6, ta chọn B. Câu 3. Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng cuối, ta chọn D. Câu 4. Theo SGK cơ bản trang 135, mục 2, ta chọn D. Câu 5. Theo SGK cơ bản trang 135, mục 3, ta chọn D. Câu 6. Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad. Chọn D. Câu 7. p rad tướng ứng với 1800 . Chọn C. Câu 8. Ta có ptướng rad ứng với . 1800 180.1 Suy ra 1 rad tương ứng với x 0 . Vậy x = . Chọn D. p a.p Câu 9. Áp dụng công thức a = với a tính bằng radian, a tính bằng độ. Chọn C. 180 a.p Câu 10. Áp dụng công thức a = với a tính bằng radian, a tính bằng độ. 180 3a.p ap Trong trường hợp này là 3a ¾ ¾® a = = . Chọn A. 180 60 a.p Câu 11. Cách 1. Áp dụng công thức a = với a tính bằng radian, a tính bằng độ. 180 a.p 70p 7p Ta có a = = = . Chọn C. 180 180 18 Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian. Bước 2. Bấm 70 x = q B 1 = . Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.
  31. Câu 12. Tương tự như câu trên. Chọn A. a.p Câu 13. Áp dụng công thức a = với a tính bằng radian, a tính bằng độ. 180 0 0 æ 32ö Trước tiên ta đổi 45 32' = ç45+ ÷ . èç 60÷ø æ 32ö ç45+ ÷.p èç 60ø÷ Áp dụng công thức, ta được a = = 0,7947065861. Chọn C. 180 Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian. Bước 2. Bấm 45 x 32 x = q B 1 = . Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ. a.p Câu 14. Cách 1. Áp dụng công thức a = với a tính bằng radian, a tính bằng độ. 180 0 0 æ 25ö Trước tiên ta đổi 40 25' = ç40 + ÷ . èç 60ø÷ æ 25ö ç40 + ÷.p èç 60ø÷ 97p Áp dụng công thức, ta được a = = = 0,705403906. Chọn D. 180 432 Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian. Bước 2. Bấm 40 x 25 x = q B 1 = n. Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ. Câu 15. Tương tự như câu trên. Chọn A. 0 a.p æa.180ö Câu 16. Cách 1. Từ công thức a = ¾ ¾® a = ç ÷ với a tính bằng radian, a tính bằng 180 èç p ø÷ độ. æ ö0 ç p ÷ æ ö0 ç .180÷ a.180÷ ç12 ÷ 0 Ta có a = ç ÷ = ç ÷ = 15 . Chọn A. èç p ÷ø èç p ÷ø Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây. Bước 2. Bấm (qLP12)qB2= . Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ. æ ö0 ç 3p ÷ æ ö0 ç- .180÷ æ ö0 a.180÷ ç 16 ÷ 135÷ 0 Câu 17. Ta có a = ç ÷ = ç ÷ = ç- ÷ = - 33 45'. Chọn C. èç p ø÷ èç p ø÷ èç 4 ø÷ Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây. Bước 2. Bấm (z3qLP16)qB2=nx. 0 0 æa.180ö æ- 5.180ö 0 Câu 18. Ta có a = ç ÷ = ç ÷ = - 286 28' 44 ''. Chọn B. èç p ÷ø èç p ÷ø
  32. Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây. Bước 2. Bấm z 5 qB2=x. Câu 19. Tương tự như câu trên. Chọn D. Câu 20. Tương tự như câu trên. Chọn C. Câu 21. Từ công thức l = Ra ¾ ¾® l là a tỷ lệ nhau. Chọn A. p Câu 22. Áp dụng công thức lChọn= R aA.= 20. » 3,93cm. 16 Câu 23. Ta có l = a R = 1,5.20 = 30 cm. Chọn A. ap 35p 7p Câu 24. Cung có số đo 350 thì có số đó radian là a = = = . 180 180 36 20 Bán kính đường tròn R = = 10 cm. 2 7p Suy ra l = a R = .10 » 6,11 cm. Chọn B. 36 40 l 2 Câu 25. Ta có l = a R Û a = = 3 = » 0,67 rad. Chọn B. R 20 3 l 2R Câu 26. l = a R Û a = = = 2 rad. Chọn B. R R 1 pR l p Câu 27. Ta có l = a R Û a = = 6 = . Chọn D. R R 6 l 10 Câu 28. Ta có l = Ra Û R = = = 4 . Chọn C. a 2,5 2.2 4 Câu 29. Trong 2 giây bánh xe đạp quay được = vòng tức là quay được cung có độ dài 5 5 4 8 là l = .2pR = pR . 5 5 8 pR l 8 Ta có l = Ra Û a = = 5 = p. Chọn A. R R 5 10.2pR 5p Câu 30. 72 răng có chiều dài là 2pR nên 10 răng có chiều dài l = = R 72 18 5 5 pR 180. p l 5 180a Theo công thức l = Ra Û a = = 18 = p mà a = = 18 = 500 . R R 18 p p Chọn C. 10.360 Cách khác: 72 răng tương ứng với 3600 nên 10 răng tương ứng với = 500 . 72 Câu 31. Theo đề (Ox,Oy)= 1822030' ¾ ¾® 22030'+ k.3600 = 1822030' ¾ ¾® k = 5.
  33. Chọn D. 19p 21p Câu 32. Ta có 10p < a < 11p ¾ ¾® < k2p < ¾ ¾® k = 5. Chọn B. 2 2 1 1 Câu 33. Góc lượng giác (OG,OP) chiếm đường tròn. Số đo là .2p + k2p , k Î ¢ . 4 4 Chọn A. Câu 34. Vì số đo cung AM bằng 450 nên A·OM = 450 , N là điểm đối xứng với M qua trục Ox nên A·ON = 450 . Do đó số đo cung AN bằng 45o nên số đo cung lượng giác AN có số đo là - 45o + k360o , k Î Z . Chọn D. · Câu 35. Ta có AOM = 600 , M· ON = 600 Nên A·ON = 1200 . Khi đó số đo cung AN bằng 1200 . Chọn A. Câu 36. Ta có A·OM = 750 , M· ON = 1800 Nên cung lượng giác AN có số đo bằng - 1050 + k3600 , k Î Z . Chọn D. Câu 37. Cách 1. Ta có d- a = 4p Þ hai cung a và d có điểm cuối trùng nhau. Và g - b = 8p Þ hai cung b và g có điểm cuối trùng nhau. Cách 2. Gọi A, B, C, D là điểm cuối của các cung a, b, g, d Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có B º C, A º D. Chọn B. Câu 38. Cặp góc lượng giác a và b ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối. a - b Khi đó a = b + k2p , k Î ¢ hay k = . 2p p 152p - 303 Dễ thấy, ở đáp án B vì k = 10 5 = - Ï ¢ . Chọn B. 2p 20 k2p Câu 39. Tam giác đều có góc ở đỉnh là 60o nên góc ở tâm là 120o tương ứng . 3 Chọn A. Câu 40. Hình vẽ tham khảo (hình vẽ bên). Hình vuông CDEF có góc D·CE là 45o kp nên góc ở tâm là 90o tương ứng . 2 Chọn A.
  34. BAØI GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT CUNG 2. ïì sin a > 0 ï ï cosa > 0 Câu 1. a thuộc góc phần tư thứ nhất ® íï ¾ ¾® Chọn A. ï tan a > 0 ï îï cot a > 0 ïì sin a > 0 Câu 2. a thuộc góc phần tư thứ hai ® íï ¾ ¾® Chọn C. îï cosa 0 ï îï cot a > 0 ïì sin a 0 Câu 4. a thuộc góc phần tư thứ hai ® íï ¾ ¾® Chọn B. ï tan a 0 ¾ ¾® íï . Chọn A. îï cot a > 0 p p Câu 10. Ta có 0 0 îï 2 2 Câu 12. Ta có
  35. æp ö sin(p + a)= - sin a; cotç - a÷= sin a; cos(- a)= cosa; tan(p + a)= tan a. èç2 ø÷ ïì sin a > 0 p ï Do 0 ï ç ÷ 3p 3p p ï è 2 ø æ3p ö Câu 13. Ta có p 0. 2 2 2 ï æ3p ö èç 2 ÷ø ï cosç - a÷> 0 ï ç ÷ îï è 2 ø Chọn B. ïì p p p æ p ö ï 0 ï 2 2 2 èç 2 ø÷ Câu 14. Ta có íï ï p p ï 0 îï 2 2 ¾ ¾® M > 0. Chọn B. ïì 3p 3p p p æp ö ï p 0 îï 2 2 ¾ ¾® M < 0 . Chọn D. 47p æ pö æ pö p 1 Câu 16. Ta có sin = sinç8p - ÷= sinç- ÷= - sin = - . Chọn D. 6 èç 6ø÷ èç 6÷ø 6 2 89p æ5p ö 5p Câu 17. Cách 1. Ta có cot = cotç + 14p÷= cot = - 3. 6 èç 6 ø÷ 6 Cách 2. Hướng dẫn bấm máy tính. 1 Bấm lên màn hình và bấm dấu =. Màn hình hiện ra kết quả. æ89pö tanç ÷ èç 6 ÷ø é ù æ ö p ç5p ÷ 5p Câu 18. Ta có cos ê + (2k + 1)pú= cosç + 2kp÷= cos ëê4 ûú èç 4 ø 4 æ pö p 2 = cosçp + ÷= - cos = - . Chọn B. èç 4ø÷ 4 2 é ù æ ö æ ö p çp ÷ çp ÷ p 1 Câu 19. Ta có cos ê + (2k + 1)pú= cosç + p + k2p÷= cosç + p÷= - cos = - . ëê3 ûú èç3 ø èç3 ø 3 2 Chọn C. Câu 20. Sử dụng mối quan hệ của các cung có liên quan đặc biệt, ta có 0 0 0 (cot 44 + tan 46 )cos 46 2 tan 460 cos 460 P = - 1 = - 1 = 2- 1 = 1. Chọn B. cos 440 sin 460
  36. æ 2pö 1 æ pö Câu 21. Ta có = sinç- 4p - ÷+ - tan2 çp - ÷ P ç ÷ ç ÷ è 3 ø 2 æ pö è 4ø sin ç6p + p + ÷ èç 4÷ø æ 2pö 1 æ pö 3 1 2 3 = sinç- ÷+ - tan2 ç- ÷= - + - (- 1) = 1- . Chọn B. ç ÷ æ ö ç ÷ 2 è 3 ø 2 p÷ è 4ø 2 æ ö 2 sin çp + ÷ ç 2 ÷ èç 4ø÷ ç- ÷ èç 2 ø÷ ïì p 7p p 7p 2 p 2 7p ï + = p ¾ ¾® cos = - cos ¾ ¾® cos = cos ï 8 8 8 8 8 8 Câu 22. Ta có íï ï 3p 5p 3p 5p 3p 5p ï + = p ¾ ¾® cos = - cos ¾ ¾® cos2 = cos2 îï 8 8 8 8 8 8 æ 2 p 2 3pö ¾ ¾® P = 2çcos + cos ÷. èç 8 8 ø÷ p 3p p p 3p p 3p Vì + = ¾ ¾® cos = sin ¾ ¾® cos2 = sin2 . 8 8 2 8 8 8 8 æ 2 3p 2 3pö Do đó Chọn¾ ¾® PD. = 2çsin + cos ÷= 2.1 = 2. èç 8 8 ø÷ Câu 23. Do 10O + 80O = 20O + 70O = 30O + 60O = 40O + 50O = 90O nên các cung lượng giác tương ứng đôi một phụ nhau. Áp dụng công thức sin(90O - x)= cosx , ta được P = (sin2 10O + cos2 10O )+ (sin2 20O + cos2 20O ) + (sin2 30O + cos2 30O )+ (sin2 40O + cos2 40O ) = 1+ 1+ 1+ 1 = 4. Chọn C. Câu 24. Áp dụng công thức tan x.tan(90°- x)= tan x.cot x = 1. Do đó P = 1. Chọn B. Câu 25. Áp dụng công thức tan x.tan(90°- x)= tan x.cot x = 1. Do đó P = 1. Chọn B. Câu 26. Chọn B. Câu 27. Ta có cos(180°- a)= - cosa ¾ ¾® cos2 (180°- a)= cos2 a. Do đó sin2 a + cos2 (180°- a)= sin2 a + cos2 a = 1. Chọn C. Câu 28. Chọn D. Vì sin2 (2018a)+ cos2 (2018a)= 1. Câu 29. Chọn C. Câu 30. Chọn C. æ p ö p p Câu 31. cotçx - ÷ có nghĩa khi x - ¹ kp ¬ ¾® x ¹ + kp. Chọn D. èç 2018ø÷ 2018 2018 sin a cosa Câu 32. Ta có tan a.cot a = 1 Û . = 1 . cosa sin a
  37. ïì p ïì cosa ¹ 0 ï a ¹ + kp p Đẳng thức xác định khi íï Û í 2 Û a ¹ k , (k Î ¢ ). Chọn A. îï sin a ¹ 0 ï 2 îï a ¹ kp ïì p p ï a + ¹ + kp ï 3 2 p Câu 33. Biểu thức xác định khi íï Û a ¹ + kp (k Î ¢ ). Chọn C. ï p 6 ï a - ¹ kp îï 6 Câu 34. Dùng MTCT kiểm tra từng đáp án. Chọn C. Câu 35. Chọn B. Trong khoảng giá trị từ 90° đến 180° , khi giá trị góc tăng thì giá trị cos của góc tương ứng giảm. Câu 36. Chọn A. æ9p ö æ p ö æp ö Câu 37. Ta có sinç + a÷= sinç4p + + a÷= sinç + a÷= cosa. Chọn B. èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ æ 3pö æ p ö æ pö 1 Câu 38. Ta có sinça - ÷= sinça + - 2p÷= sinça + ÷= cosa = . Chọn C. èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2÷ø 3 Câu 39. Ta có tan(2017p + a)= tan a. Chọn C. æ pö æp ö Câu 40. Ta có A = cosça - ÷+ sin(a - p)= cosç - a÷- sin(p - a)= sin a - sin a = 0. èç 2ø÷ èç2 ø÷ Chọn D. æp ö æp ö Câu 41. Ta có S = cosç - x÷.sin(p - x)- sinç - x÷.cos(p - x) èç2 ø÷ èç2 ø÷ = sin x.sin x - cos x.(- cos x)= sin2 x + cos2 x = 1. Chọn D. Câu 42. Ta có P = sin(p + a).cos(p - a)= - sin a.(- cosa)= sin a.cosa. æp ö æp ö Và Q = sinç - a÷.cosç + a÷= cosa.(- sin a)= - sin a.cosa. èç2 ÷ø èç2 ÷ø Khi đó P + Q = sin a.cosa - sin a.cosa = 0. Chọn A. æp ö Câu 43. Ta có sinç - x÷= cos x; sin(10p + x)= sin x. èç2 ø÷ æ3p ö æ p ö æp ö Và cosç - x÷= cosç2p - - x÷= cosç + x÷= - sin x; cos(8p - x)= cos x. èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç2 ÷ø 2 2 é æp ö ù é æ3p ö ù Khi đó êsinç - ÷+ sin 10p + ú + êcosç - ÷+ cos 8p - ú ç x÷ ( x) ç x÷ ( x) ëê è2 ø ûú ëê è 2 ø ûú 2 2 = (cos x + sin x) + (cos x - sin x) = cos2 x + 2.sin x.cos x + sin2 x + cos2 x - 2.sin x.cos x + sin2 x = 2. Chọn B. 17p æp ö p æ7p ö Câu 44. Ta có tan = tanç + 4p÷= tan = 1 và tanç - x÷= cot x. 4 èç4 ø÷ 4 èç 2 ø÷ 13p æp ö p Và cot = cotç + 3p÷= cot = 1; cot(7p - x)= - cot x. 4 èç4 ø÷ 4
  38. 2 2 2 Suy ra P = (1+ cot x) + (1- cot x) = 2 + 2 cot2 x = . Chọn C. sin2 x æ pö æp ö æ pö Câu 45. Ta có sinçx - ÷= - sinç - x÷= - cos x và sinçx + ÷= cos x. èç 2ø÷ èç2 ø÷ èç 2ø÷ 13p æp ö p Kết hợp với giá trị sin = sinç + 6p÷= sin = 1. 2 èç2 ø÷ 2 æ pö 13p æ pö 1 Suy ra sinçx - ÷+ sin = sinçx + ÷Û - cos x + 1 = cos x Û cos x = . Chọn C. èç 2ø÷ 2 èç 2ø÷ 2 Câu 46. Ta có tan(4p + 1,25)= tan1,25 suy ra cot1,25.tan1,25 = 1 æ pö Và sinçx + ÷= cos x; cos(6p - x)= cos(x - 6p)= cos x. èç 2ø÷ æ pö 2 Khi đó cot1,25.tan(4p + 1,25)- sinçx + ÷.cos(6p - x)= 1- cos x = 0 Û sin x = 0. èç 2ø÷ sin x Mặt khác tan x = ¾ ¾® tan x = 0. Chọn C. cos x Câu 47. Vì A, B, C là ba góc của một tam giác suy ra A + C = p - B. Khi đó sin(A + C )= sin(p - B)= sin B; cos(A + C )= cos(p - B)= - cos B. tan(A + C )= tan(p - B)= - tan B; cot(A + C )= cot(p - B)= - cot B. Chọn B. Câu 48. Vì A, B, C là các góc của tam giác ABC nên C = 180o - (A + B). Do đó C và A + B là 2 góc bù nhau Þ sinC = sin(A + B); cosC = - cos(A + B). Và tanC = - tan(A + B); cotC = cot(A + B). Câu 49. Ta có A + B + C = p Û A + B = p - C Do đó cos(A + B)= cos(p - C )= - cosC. Chọn D. Câu 50. làA, baB, gócC của một tam giác Þ A + B + C = 1800 Û A + B = 1800 - C. Ta có sin(A + B + 2C )= sin(1800 - C + 2C )= sin(1800 + C )= - sinC. Chọn D. ïì 2 5 ï cosa = ± 1- sin a = ± ï 13 5 Câu 51. Ta có íï ¾ ¾® cosa = - . Chọn D. ï p 13 ï < a < p îï 2 ïì 2 2 ï sin a = ± 1- cos a = ± ï 3 2 sin a 2 Câu 52. Ta có íï ¾ ¾® sin a = - ¾ ¾® tan a = = . ï 3p 3 cosa 5 ï p < a < îï 2 Chọn B.
  39. ì ïì æ ö2 ï 2 1 ï ç 4÷ 1 ï 1+ tan a = 2 ï 1+ ç- ÷ = ï cos a ï èç 3ø÷ cos2 a Câu 53. Ta có íï ¬ ¾® í ï 2017p 2019p ï ï < a < ï p 3p ï ï + 504.2p < a < + 504.2p îï 2 2 îï 2 2 3 sin a 4 sin a 4 ¾ ¾® cosa = - . Mà tan a = ¬ ¾® - = ¾ ¾® sin a = . Chọn D. 3 5 cosa 3 - 5 5 ïì 2 5 ï sin a = ± 1- cos a = ± ï 13 5 sin a 5 Câu 54. Ta có íï ¾ ¾® sin a = ¾ ¾® tan a = = - . ï p 13 cosa 12 ï < a < p. îï 2 Chọn C. ì ï 2 1 1 1 ï cos a = 2 = ® cosa = ± 1 Câu 55. Ta có íï 1+ tan a 5 5 ¾ ¾® cosa = - ï ï o o 5 îï 180 < a < 270 2 3 3 5 ¾ ¾® sin a = tan a.cosa = - . Do đó, sin a + cosa = - = - . Chọn A. 5 5 5 ïì 2 4 ï cosa = ± 1- sin a = ± 4 Câu 56. Ta có í 5 ¾ ¾® cosa = - . Chọn D. ï 5 îï 90° < a < 180° ïì æ ö2 ï 1 2 ç3÷ 25 ï 2 = 1+ cot a = 1+ ç ÷ = 4 Câu 57. Ta có í sin a èç4ø÷ 16 ¾ ¾® sin a = . Chọn C. ï 5 îï 0° < a < 90° ïì 2 4 ï cosa = ± 1- sin a = ± ï 5 4 3 Câu 58. Ta có íï ¾ ¾® cosa = - ¾ ¾® tan a = - . ï p 5 4 ï < a < p îï 2 3 12 Thay tan a = - vào P , ta được P = - . Chọn D. 4 25 ïì ïì ï 2 2 2 ï 2 ï cosa = ± 1- sin a = ± 2 2 ï tan a = - Câu 59. Ta có í 3 ¾ ¾® cosa = - ¾ ¾® í 4 . ï ï ï 0 0 3 ï îï 90 < a < 180 îï cot a = - 2 2 ïì 2 ï tan a = - 26- 2 2 Thay íï 4 vào P , ta được P = . Chọn C. ï 9 îï cot a = - 2 2 æ7p ö æ p ö æp ö cosa Câu 60. Ta có P = tanç - a÷= tanç3p + - a÷= tanç - a÷= cot a = . èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ sin a 1 1 1 Theo giả thiết: sin(p + a)= - Û - sin a = - Û sin a = . 3 3 3
  40. ïì 2 2 ï cosa = ± 1- sin2 a = ± ï 2 2 Ta có íï 3 ¾ ¾® cosa = - ¾ ¾® P = - 2 2. Chọn B. ï p 3 ï 1 ¾ ¾® P = tan a - 1. 4 2 ïì 2 4 ï sin a = ± 1- cos a = ± ï 5 4 4 1 Theo giả thiết: íï ¾ ¾® sin a = ¾ ¾® tan a = ¾ ¾® P = . ï p p 5 3 3 ï < a < îï 4 2 Chọn B. ïì p 3p p 9p ï < a < 2p ¬ ¾® < a + < ï 2 4 4 4 p 5p Câu 63. Ta có íï ¾ ¾® a + = ¾ ¾® a = p. ï æ pö 4 4 ï tança + ÷= 1 ï ç ÷ îï è 4ø 3 Thay a = p vào P , ta được P = - . Chọn C. 2 ïì p 5p p 7p ï < a < 2p ¬ ¾® < a + < ï 2 6 3 3 p 11p 3p Câu 64. Ta có íï ¾ ¾® a + = ¾ ¾® a = . ï æ pö 3 6 2 ï cotça + ÷= - 3 ï ç ÷ îï è 3ø 3p 3 Thay a = vào P , ta được P = - . Chọn D. 2 2 ì ï 2 1 9 3 ï cos a = 2 = ® cosa = ± ï 1+ tan a 25 5 3 Câu 65. Ta có íï ¾ ¾® cosa = - ï p 5 ï < a < p îï 2 4 ¾ ¾® sin a = tan a.cosa = . 5 4 3 31 Thay sin a = và cosa = - vào P , ta được P = . Chọn B. 5 5 11
  41. 3tan a - 2 3.2- 2 4 Câu 66. Chia cả tử và mẫu của P cho cosa ta được P = = = . 5+ 7 tan a 5+ 7.2 19 Chọn D. 1 3+ 4. 3+ 4 cot a Câu 67. Chia cả tử và mẫu của P cho sin a ta được P = = 3 = 13 . - a 1 2 5cot 2- 5. 3 Chọn D. Câu 68. Chia cả tử và mẫu của P cho cos2 a ta được 2 tan2 a + 3tan a + 4 2.22 + 3.2 + 4 9 P = = = . Chọn A. 5tan2 a + 6 5.22 + 6 13 Câu 69. Chia cả tử và mẫu của P cho cos2 a ta được æ ö2 ç1÷ 1 2 2.ç ÷ + 3. - 4 2 tan a + 3tan a - 4 èç2÷ø 2 8 P = = = - . Chọn D. 5- tan2 a æ1ö2 19 5- ç ÷ èç2ø÷ Câu 70. Ta có P = (sin2 a - cos2 a).(sin2 a + cos2 a)= sin2 a - cos2 a. (*) P sin2 a Chia hai vế của (*) cho cos2 a ta được = - 1 cos2 a cos2 a tan2 a - 1 52 - 1 12 Û P (1+ tan2 a)= tan2 a - 1 Û P = = = . Chọn D. 1+ tan2 a 1+ 52 13 2 25 25 Câu 71. Từ giả thiết, ta có (sin a + cosa) = Û 1+ 2 sin a.cosa = 16 16 9 ¾ ¾® P = sin a.cosa = . Chọn B. 32 3 Câu 72. Áp dụng a3 + b3 = (a + b) - 3ab(a + b) , ta có 3 P = sin3 a + cos3 a = (sin a + cosa) - 3sin a cosa (sin a + cosa). 2 24 49 Ta có (sin a + cosa) = sin2 a + 2 sin a cosa + cos2 a = 1+ = . 25 25 7 Vì sin a + cosa > 0 nên ta chọn sin a + cosa = . 5 ïì 7 ï sin a + cosa = 3 ï 5 æ7ö 12 7 91 Thay í vào P , ta được P = ç ÷ - 3. . = . Chọn A. ï 12 èç5ø÷ 25 5 125 ï sin a cosa = îï 25 Câu 73. Ta có (sin a - cosa)2 + (sin a + cosa)2 = 2(sin2 a + cos2 a)= 2 . 2 2 5 3 Suy ra (sin a - cosa) = 2- (sin a + cosa) = 2- = . 4 4
  42. p 3 Do 0 < a < suy ra sin a < cosa nên sin a - cosa < 0 . Vậy P = - . Chọn D. 4 2 Câu 74. Ta có (sin a - cosa)2 + (sin a + cosa)2 = 2(sin2 a + cos2 a)= 2 . 2 2 Suy ra (sin a - cosa) = 2- (sin a + cosa) = 2- m2 ¾ ¾® P = sin a - cosa = 2- m2 . Chọn D. 2 Câu 75. Ta có P = tan2 a + cot2 a = (tan a + cot a) - 2 tan a.cot a = 22 - 2.1 = 2. Chọn B. 3 Câu 76. Ta có P = tan3 a + cot3 a = (tan a + cot a) - 3tan a cot a (tan a + cot a) = 53 - 3.5 = 110 . Chọn B. 2 2 1 1 Câu 77. Ta có sin a + cosa = ® (sin a + cosa) = Û sin a cosa = - . 2 2 4 sin2 a cos2 a sin4 a + cos4 a Khi đó P = + = cos2 a sin2 a sin2 a.cos2 a 2 (sin2a + cos2a) - 2 sin2 a.cos2 a 1- 2(sin a cosa)2 = = = 14. Chọn B. sin2 a.cos2 a (sin a cosa)2 Câu 78. Ta có 1 1± 5 tan a - cot a = 1 Û tan a - = 1 Û tan2 a - tan a - 1 = 0 Û tan a = . tan a 2 p 1- 5 1 2 Do < a < p suy ra tan a < 0 nên tan a = ¾ ¾® cot a = = . 2 2 tan a 1- 5 1- 5 2 1- 5 2 Thay tan a = và cot a = vào P , ta được P = + = - 5. 2 1- 5 2 1- 5 Chọn C. Câu 79. Ta có 3cosa + 2 sin a = 2 Û (3cosa + 2 sin a)2 = 4 Û 9 cos2 a + 12 cosa.sin a + 4 sin2 a = 4 Û 5cos2 a + 12 cosa.sin a = 0 écosa = 0 Û cosa 5cosa + 12 sin a = 0 Û ê . ( ) ê ë5cosa + 12 sin a = 0 · cosa = 0 Þ sin a = 1 : loại (vì sin a < 0 ). ïì 5 ï sin a = - ïì 5cosa + 12 sin a = 0 ï 13 · 5cosa + 12 sin a = 0 , ta có hệ phương trình íï Û íï . ï 3cosa + 2 sin a = 2 ï 12 îï ï cosa = îï 13 Chọn A. 3p ïì sin a < 0 Câu 80. Với p < a < suy ra íï . 2 îï cosa < 0 ïì sin a - 2 cosa = 1 ï Þ + a 2 + 2 a = Ta có í 2 2 (1 2 cos ) cos 1 îï sin a + cos a = 1
  43. écosa = 0 loaïi ê ( ) 2 Û 5cos a + 4 cosa = 0 Û ê 4 . êcosa = - ëê 5 3 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = 1 , suy ra sin a = - (do sin a < 0 ) 5 sin a 3 cosa 4 ¾ ¾® tan a = = và cot a = = . cosa 4 sin a 3 3 4 1 Thay tan a = và cot a = vào P , ta được P = . Chọn C. 4 3 6 ì 2 2 2 ï (sin x + cos x) = sin x + cos x + 2 sin x.cos x = 1+ 2 sin x.cos x Câu 81. Ta có íï ï 2 2 2 îï (sin x - cos x) = sin x + cos x - 2 sin x.cos x = 1- 2 sin x.cos x Suy ra M = 2. Chọn B. 2 2 Câu 82. Ta có sin4 x + cos4 x = (sin2 x) + 2.sin2 x.cos2 x + (cos2 x) - 2.sin2 x.cos2 x 2 1 2 1 1 1- cos 4x 3 1 = (sin2 x + cos2 x) - (2.sin x.cos x) = 1- sin2 2x = 1- . = + cos 4x. 2 2 2 2 4 4 Chọn C. 2 2 Câu 83. Ta có sin4 x - cos4 x = (sin2 x) - (cos2 x) = (sin2 x - cos2 x)(sin2 x + cos2 x) = sin2 x - cos2 x = (1- cos2 x)- cos2 x = 1- 2 cos2 x. Chọn A. 3 3 Câu 84. Ta có M = sin6 x + cos6 x = (sin2 x) + (cos2 x) 3 3 = (sin2 x + cos2 x) - 3sin2 x cos2 x (sin2 x + cos2 x)= 1- 3sin2 x cos2 x = 1- sin2 2x. 4 Chọn D. Câu 85. Ta có 2 sin4 x + cos4 x + cos2 x sin2 x = (sin2 x + cos2 x) - cos2 x sin2 x = 1- cos2 x sin2 x. 2 Suy ra M = 2(1- sin2 x cos2 x) - (sin8 x + cos8 x) = 2(1- 2 sin2 xcos2 x + sin4 xcos4 x)- (sin8 x + cos8 x) = 2- 4 sin2 xcos2 x + 2 sin4 xcos4 x - (sin8 x + cos8 x) 2 2 = 2- 4 sin2 xcos2 x - (sin4 x - cos4 x) = 2- 4 sin2 x.cos2 x - (sin2 x - cos2 x) = 2- 2 sin2 x.cos2 x - sin4 x - cos4 x 2 = 2- (sin2 x + cos2 x) = 2- 1 = 1. Chọn A. 2 2 2 sin x 2 2 æ 1 ö 2 2 Câu 86. Ta có M = tan x - sin x = - sin x = sin x ç - 1÷= sin x.tan x. cos2 x èçcos2 x ø÷ Chọn C. 2 2 2 cos x 2 2 æ 1 ö 2 2 Câu 87. Ta có M = cot x - cos x = - cos x = cos x ç - 1÷= cos x.cot x. sin2 x èçsin2 x ø÷
  44. Chọn D. Câu 88. Ta biến đổi: M = (cot2 x - cos2 x)+ (1- cot2 x)= 1- cos2 x = sin2 x. Chọn A. Câu 89. Ta có M = tan2 a (sin2 a - 1)+ 4 sin2 a + 3cos2 a = tan2 a (- cos2 a)+ 4 sin2 a + 3cos2 a = - sin2 a + 4 sin2 a + 3cos2 a = 3(sin2 a + cos2 a)= 3. Chọn D. æsin2 x cos2 x ö 2 2 ç ÷ Câu 90. Ta có M = (1- 2 sin x.cos x - 1)ç 2 + 2 + 2÷ èçcos x sin x ø÷ 4 4 2 2 æsin x + cos x + 2 sin x.cos x ö 2 2 2 ç ÷ 2 2 = (- 2 sin x.cos x)ç 2 2 ÷= (- 2).(sin x + cos x) = - 2. èç sin x cos x ø÷ Chọn D. Câu 91. Ta có P = sin4 a + sin2 a cos2 a = sin2 a (sin2 a + cos2 a) = sin2 a = sin a . Chọn A. 1+ sin2 a 1+ sin2 a 1 Câu 92. Ta có P = = = + tan2 a = 1+ 2 tan2 a. Chọn A. 1- sin2 a cos2a cos2a 1- cosa 1 1- cosa 1 Câu 93. Ta có P = - = - . sin2 a 1+ cosa 1- cos2 a 1+ cosa 1- cosa 1 1 1 = - = - = 0. Chọn D. (1- cosa)(1+ cosa) 1+ cosa 1+ cosa 1+ cosa 2 2 2 1- sin2 a cos2 a - cos4 a 1- cos a (sin a + cos a) Câu 94. Ta có P = = cos2 a cos2 a 1- cos2 a sin2 a = = = tan2 a. Chọn A. cos2 a cos2 a 2 2 2 2 cos x - (sin x + cos x) cos2 x - sin2 x Câu 95. Ta có P = = = cos x - sin x. Chọn B. sin x + cos x sin x + cos x 2 (sin a + cosa) - 1 sin2 a + 2 sin a.cosa + cos2 a - 1 Câu 96. Ta có P = = . cot a - sin a cosa æ 1 ö cosa.ç - sin a÷ èçsin a ø÷ 1+ 2 sin a.cosa - 1 2 sin a.cosa 2 sin2 a = = = = 2 tan2 a. Chọn A. 1- sin2 a cos3 a cos2 a cosa. sin a sin a æ 1 ö æcosa + 1ö sin a ç1+ ÷ sin a ç ÷ sin a + tan a èç cosa ø÷ èç cosa ø÷ sin a Câu 97. Ta có = = = = tan a. . cosa + 1 cosa + 1 cosa + 1 cosa 1 Suy ra P = tan2 a + 1 = . Chọn C. cos2 a
  45. æ 2 ö æ 2 ö ç1+ cos a ÷ sin a ç 1 cos a ÷ Câu 98. Ta có P = tan a ç - sin a÷= ç + - sin a÷. èç sin a ø÷ cosa èçsin a sin a ø÷ 2 2 1 sin2 a 1+ cos2 a - sin2 a (1- sin a)+ cos a 2 cos2 a = + cosa - = = = = 2 cosa. cosa cosa cosa cosa cosa Chọn B. cot2 x - cos2 x cos2 x sin2 x Câu 99. Ta có = 1- = 1- cos2 x. = 1- sin2 x. cot2 x cot2 x cos2 x sin x.cosx sin x Và = sin x.cos x. = sin2 x . cot x cos x Suy ra P = 1- sin2 x + sin2 x = 1. Chọn A. sin x + tan x sin x cos x Câu 100. Ta có = + 1 = sin x. + 1 = 1+ cos x ¹ 1+ sin x + cot x. tan x tan x sin x Chọn C. BAØI COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC 3. 2 2 Câu 1. Ta có M = cos4 15o - sin4 15o = (cos2 15o ) - (sin2 15o ) = (cos2 15o - sin2 15o )(cos2 15o + sin2 15o ) 3 = cos2 15o - sin2 15o = cos(2.15o )= cos30o = . Chọn B. 2 Câu 2. Áp dụng công thức nhân đôi cos2 a - sin2 a = cos 2a . Ta có M = (cos4 15o - sin4 15o )+ (cos2 15o - sin2 15o ) . = (cos2 15o - sin2 15o )(cos2 15o + sin2 15o )+ (cos2 15o - sin2 15o ). = (cos2 15o - sin2 15o )+ (cos2 15o - sin2 15o )= cos30o + cos30o = 3. Chọn A. Câu 3. Ta có cos6 a - sin6 a = (cos2 a - sin2 a)(cos4 a + cos2 a.sin2 a + sin4 a) é 2 2 2 2 2 ù = cos 2a.ê(cos a + sin a) - cos a.sin aú ë û æ 1 2 ö = cos 2a.ç1- sin 2a÷. èç 4 ø÷ o æ 1 2 o ö 3 æ 1 1ö 15 3 Vậy M = cos30 .ç1- sin 30 ÷= .ç1- . ÷= . Chọn D. èç 4 ø÷ 2 èç 4 4ø÷ 32 p p p p æp pö æ pö 3 Câu 4. Ta có cos cos + sin sin = cosç - ÷= cosç- ÷= . Chọn A. 30 5 30 5 èç30 5ø÷ èç 6ø÷ 2
  46. ì ï sin a.cosb - cos a.sin b = sin(a - b) Câu 5. Áp dụng công thức í . ï îï cos a.cosb - sin a.sin b = cos(a + b) 5p p p 5p æ5p pö p 1 Khi đó sin cos - sin cos = sinç - ÷= sin = . 18 9 9 18 èç18 9ø÷ 6 2 p p p p æp p ö p 1 1 1 Và cos cos - sin sin = cosç + ÷= cos = . Vậy P = : = 1. Chọn A. 4 12 4 12 èç4 12ø÷ 3 2 2 2 0 0 0 0 tan 2250 - cot 810.cot 690 tan(180 + 45 )- tan 9 .cot 69 Câu 6. Ta có = . cot 2610 + tan 2010 cot(1800 + 810 )+ tan(1800 + 210 ) 1- tan 90.tan 210 1 1 = = = = 3. Chọn C. tan 90 + tan 210 tan(90 + 210 ) tan 300 7p 5p 11p p Câu 7. Ta có sin = cos và sin = cos . 24 24 24 24 p 5p 5p p 1 æ p p ö æ 5p 5pö Do đó M = sin sin cos cos = .ç2.sin .cos ÷.ç2.sin .cos ÷ 24 24 24 24 4 èç 24 24÷ø èç 24 24÷ø 1 p 5p 1 1 æ 6p pö 1 æ 1ö 1 = .sin .sin = . çcos + cos ÷= .ç0 + ÷= . Chọn D. 4 12 12 4 2 èç 12 3ø÷ 8 èç 2ø÷ 16 Câu 8. Áp dụng công thức sin 2a = 2.sin a.cos a, ta có p p p p p 1 p p p p A = sin .cos .cos .cos .cos = .sin .cos .cos .cos 48 48 24 12 6 2 24 24 12 6 1 p p p 1 p p 1 p 3 = .sin .cos .cos = .sin .cos = .sin = . Chọn D. 4 12 12 6 8 6 6 16 3 32 Câu 9. Vì sin100 ¹ 0 nên suy ra 16 sin100 cos100 cos 200 cos 400 cos800 8sin 200 cos 200 cos 400 cos800 M = = 16 sin100 16 sin100 4 sin 400 cos 400 cos800 2 sin 800 cos800 sin1600 Þ M = = = . 16 sin100 16 sin100 16 sin100 sin 200 2 sin100 cos100 1 Þ M = = = cos100 . Chọn D. 16 sin100 16 sin100 8 a + b a - b Câu 10. Áp dụng công thức sin a - sin b = 2.cos .sin . 2 2 p 2p p 4p p 6p p Ta có 2 sin .M = 2.cos .sin + 2.cos .sin + 2.cos .sin 7 7 7 7 7 7 7 3p p 5p 3p 7p 5p p p = sin - sin + sin - sin + sin - sin = - sin + sin p = - sin . 7 7 7 7 7 7 7 7 1 Vậy giá trị biểu thức M = - . Chọn B. 2 Câu 11. Chọn B. Ta có cos(a + b)= cos a cosb - sin a sin b . Câu 12. Áp dụng công thức sin 2a = 2 sin a.cosa ta được
  47. sin(2018a)= 2 sin(1009a).cos(1009a). Chọn D. Câu 13. Áp dụng công thức cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1- 2 sin2 a , ta được cos 6a = cos2 3a - sin2 3a = 2 cos2 3a - 1 = 1- 2 sin2 3a . Chọn C. Câu 14. Chọn D. Ta có cos3x = 4 cos3 x - 3cos x . Câu 15. Chọn B. æ pö ép æp öù æp ö Câu 16. Ta có cos - sin = 2 cosç + ÷= 2 cos ê - ç - ÷ú= 2 sinç - ÷ . x x çx ÷ ç x÷ ç x÷ è 4ø ëê2 è4 øûú è4 ø Chọn B. Câu 17. Chọn B. Câu 18. Chọn A. p p Câu 19. Ta có cos(a + b)= 0 Û a + b = + kp ¾ ¾® a = - b + + kp . 2 2 æ p ö ¾ ¾® sin(a + 2b) = sinç- b + 2b + + kp÷= cos(b + kp) = cosb . Chọn D. èç 2 ø÷ Câu 20. Ta có sin(a + b)= 0 Û a + b = kp ¾ ¾® a = - b + kp . ¾ ¾® cos(a + 2b) = cos(- b + 2b + kp) = cos(b + kp) = cosb . Chọn D. Câu 21. Áp dụng công thức sin(a + b)= sin a cosb + sin b cos a , ta được é ù M = sin(x - y)cos y + cos(x - y)sin y = sin ë(x - y)+ yû= sin x. Chọn A. Câu 22. Áp dụng công thức cos x cos y - sin x sin y = cos(x + y) , ta được M = cos(a + b)cos(a - b)- sin(a + b)sin(a - b)= cos(a + b + a - b)= cos 2a = 1- 2 sin2 a. Chọn B. Câu 23. Áp dụng công thức cos x cos y + sin x sin y = cos(x - y) , ta được M = cos(a + b)cos(a - b)+ sin(a + b)sin(a - b) = cos(a + b - (a - b))= cos 2b = 1- 2 sin2 b. Chọn A. Câu 24. Áp dụng công thức cos a.cosb - sin a.sin b = cos(a + b) , ta được sin 2x.sin 3x = cos 2x.cos3x Û cos 2x.cos3x - sin 2x.sin 3x = 0 p p p Û cos5x = 0 Û 5x = + kp Û x = + k . Chọn A. 2 10 5 Câu 25. Xét các đáp án: cos a cosb cos a.sin b + sin a.cosb sin(a + b)  Đáp án A. Ta có cot a + cot b = + = = . sin a sin b sin a.sin b sin a.sin b 1  Đáp án B. Ta có cos 2a = 2 cos2 a - 1 Û cos2 a = (1+ cos 2a) . Chọn B. 2 Câu 26. Chọn B. a + b a - b Câu 27. Áp dụng công thức cos a - cosb = - 2 sin .sin , ta được 2 2 æ p p ö æ p p ö çx + + x - ÷ çx + - x + ÷ æ p÷ö æ p÷ö ç 4 4 ÷ ç 4 4 ÷ M = cosçx + ÷- cosçx - ÷= - 2 sinç ÷.sinç ÷ èç 4ø÷ çè 4ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷
  48. p = - 2 sin x.sin = - 2 sin x. Chọn B. 4 ïì 4 ïì 3 ï cos A = ï sin A = ï 5 ï 5 Câu 28. Ta có íï Þ íï . Mà A + B + C = 180° , do đó ï 5 ï 12 ï cos B = ï sin B = îï 13 îï 13 é ù cosC = cos ë180°- (A + B)û= - cos(A + B) æ4 5 3 12ö 16 = - (cos A.cos B - sin A.sin B)= - ç . - . ÷= . èç5 13 5 13÷ø 65 Chọn C. 1 1 + tan A + tan B 7 Câu 29. Ta có tan(A + B)= = 2 5 = - 1 1 1 tan A.tan B 1- . 9 2 5 7 1 + tan(A + B)+ tanC p ¾ ¾® tan(A + B + C )= = 9 8 = 1 ¾ ¾® A + B + C = . Chọn C. - + 7 1 1 tan(A B).tanC 1- . 4 9 8 ïì A + B p C ïì A + B C ï = - ï sin = cos ï 2 2 2 ï 2 2 Câu 30. Do íï ¾ ¾® íï . ï C p A + B ï C A + B ï = - ï sin = cos îï 2 2 2 îï 2 2 Áp dụng, ta được A + B A- B C C P = (sin A + sin B)+ sinC = 2 sin cos + 2 sin cos 2 2 2 2 C A- B A + B C = 2 cos cos + 2 cos cos 2 2 2 2 C æ A- B A + B ö C A B = 2 cos çcos + cos ÷= 4 cos cos cos . Chọn A. 2 èç 2 2 ø÷ 2 2 2 Câu 31. Do A + B = p - C ¾ ¾® sin(A + B)= sinC. Áp dụng, ta được P = (sin 2A + sin 2B)+ sin 2C = 2 sin(A + B).cos(A- B)+ 2 sinC.cosC é ù = 2 sinC.cos(A- B)+ 2 sinC.cosC = 2 sinC ëcos(A- B)+ cosC û. A- B + C A- B - C = 4 sinC.cos .cos 2 2 (A + B + C )- 2B (- A- B - C )+ 2A = 4 sinC.cos .cos 2 2 æp ö æ p ö = 4 sinC.cosç - B÷.cosç- + A÷= 4 sinC.sin B.sin A = 4 sin A.sin B.sinC. Chọn B. èç2 ø÷ èç 2 ø÷
  49. sin(A + B) sinC Câu 32. Ta có P = tan A + tan B + tanC = (tan A + tan B)+ tanC = + . cos A.cos B cosC ì ï sin(A + B)= sinC Mà A + B = p - C ¾ ¾® í . Khi đó, ta được ï îï - cos(A + B)= cosC æ ö sinC sinC æcosC + cos A.cos B ÷ö ç- cos(A + B)+ cos A.cos B ÷ P = + = sinC ç ÷= sinC.ç ÷ cos A.cos B cosC èç cos A.cos B.cosC ø÷ ç cos A.cos B.cosC ÷ è ø - cos A.cos B + sin A.sin B + cos A.cos B sin A.sin B.sinC = sinC. = = tan A.tan B.tanC cos A.cos B.cosC cos A.cos B.cosC Chọn D. C + B p A Câu 33. Do A + B + C = p ¾ ¾® = - 2 2 2 C B tan + tan æC + Bö æp Aö 2 2 A 1 ¾ ¾® tanç ÷= tanç - ÷¾ ¾® = cot = èç ø÷ èç ø÷ C B A 2 2 2 1- tan tan 2 tan 2 2 2 A æ C B ö C B ¾ ¾® tan çtan + tan ÷+ tan .tan = 1 2 èç 2 2 ø÷ 2 2 A B B C C A ¾ ¾® tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1 . Chọn A. 2 2 2 2 2 2 sin B Câu 34. Ta có = 2 cos A ¾ ¾® sin B = 2 sinC.cos A. = sin(C + A)+ sin(C - A) sinC Mặt khác A + B + C = p ¾ ¾® B = p - (A + C )¾ ¾® sin B = sin(A + C ) . Do đó, ta được sin(C - A)= 0 ¾ ¾® A = C . Chọn A. tan A sin2 A sin AcosC sin2 A Câu 35. Ta có = ¬ ¾® = ¬ ¾® sin 2C = sin 2A tanC sin2 C cos AsinC sin2 C é C = A é 2C = 2A ê ¾ ¾® ê ¾ ¾® ê . Chọn D. ê p ë2C = p - 2A êA + C = ëê 2 Câu 36. Ta có P = sin 2(a + p)= sin(2a + 2p)= sin 2a = 2 sin a cosa . 3 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = 1 , suy ra cosa = ± 1- sin2 a = ± . 5 p 3 Do < a < p nên ta chọn cosa = - . 2 5 4 3 4 æ 3ö 24 Thay sin a = và cosa = - vào P , ta được P = 2. .ç- ÷= - . Chọn A. 5 5 5 èç 5ø÷ 25 2 sin a cosa + 2 cos2 a 2 cosa (sin a + cosa) Câu 37. Ta có P = = = 2 cosa . sin a + cosa sin a + cosa
  50. 5 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = 1 , suy ra cosa = ± 1- sin2 a = ± . 3 p 5 2 5 Do 0 0 Câu 41. Vì 0 . 4 îï cosa 0 nên sin a - cosa = . Vậy P = . Chọn A. 5 5 2 Câu 42. Áp dụng a4 + b 4 = (a2 + b2 ) - 2a2b2 . 2 1 7 Ta có P = sin4 a + cos4 a = (sin2 a + cos2 a) - 2 sin2 a.cos2 a = 1- sin2 2a = . 2 9 Chọn C. sin 2a 2 sin a.cosa Câu 43. Ta có P = tan 2a = = . cos 2a 2 cos2 a - 1 12 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = 1 , suy ra sin a = ± 1- cos2 a = ± . 13
  51. 3p 12 Do < a < 2p nên ta chọn sin a = - . 2 13 12 5 120 Thay sin a = - và cosa = vào P , ta được P = . Chọn C. 13 13 119 æ 1- cos 2a öæ 1+ cos 2a ö æ5 3 ö Câu 44. Ta có P = ç1+ 3. ÷ç1- 4. ÷= ç - cos 2a÷(- 1- 2 cos 2a). èç 2 ø÷èç 2 ø÷ èç2 2 ø÷ 2 æ5 öæ 4ö 7 Thay cos 2a = - vào P , ta được P = ç + 1÷ç- 1+ ÷= . Chọn D. 3 èç2 ø÷èç 3ø÷ 6 æp ö p p 1 3 Câu 45. Ta có P = cosç - a÷= cos cosa + sin sin a = cosa + sin a . èç3 ø÷ 3 3 2 2 7 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = 1 , suy ra sin a = ± 1- cos2 a = ± . 4 3p 7 Do < a < 2p nên ta chọn sin a = - . 2 4 æ ö 7 3 1 3 3 ç 7 ÷ 3- 21 Thay sin a = - và cosa = vào P , ta được P = . + .ç- ÷= . 4 4 2 4 2 èç 4 ø÷ 8 Chọn B. æ pö tan a - 1 Câu 46. Ta có P = tança - ÷= . èç 4ø÷ 1+ tan a 3 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = 1 , suy ra sin a = ± 1- cos2 a = ± . 5 3p 3 sin a 3 Do p < a < nên ta chọn sin a = - . Suy ra tan a = = . 2 5 cosa 4 3 1 Thay tan a = vào P , ta được P = - . Chọn A. 4 7 æ pö 2 Câu 47. Ta có P = cosç2a - ÷= (cos 2a + sin 2a) . èç 4ø÷ 2 3 Từ hệ thức sin2 2a + cos2 2a = 1 , suy ra sin 2a = ± 1- cos2 2a = ± . 5 p p p 3 Do < a < Û < 2a < p nên ta chọn sin 2a = . 4 2 2 5 3 4 2 Thay sin 2a = và cos 2a = - vào P , ta được P = - . Chọn B. 5 5 10 a 3a 1 1 Câu 48. Ta có P = sin .cos = (sin 2a - sin a)= sin a (2 cosa - 1) . 2 2 2 2 3 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = 1 , suy ra sin a = ± 1- cos2 a = ± . 5 3p 3 Do p < a < nên ta chọn sin a = - . 2 5
  52. 3 4 39 Thay sin a = - và cosa = - vào P , ta được P = . Chọn D. 5 5 50 p tan a + tan æ pö 4 tan a + 1 Câu 49. Ta có P = tança + ÷= = . èç ø÷ p - a 4 1- tan a.tan 1 tan 4 æ5p ö æ p ö æp ö Từ giả thiết cotç - a÷= 2 Û cotç2p + - a÷= 2 Û cotç - a÷= 2 Û tan a = 2 . èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ Thay tan a = 2 vào P , ta được P = - 3. Chọn C. cosa Câu 50. Ta có cot a = 15 Û = 15 Û cosa = 15sin a. sin a 30 30 30 15 Suy ra P = sin 2a = 2 sin a.cosa = 30 sin2 a = = = = . 1 1+ cot2 a 1+ 152 113 sin2 a Chọn C. a a a a sin cos sin2 + cos2 a a 2 Câu 51. Ta có P = tan + cot = 2 + 2 = 2 2 = . a a a a a 2 2 cos sin sin cos sin 2 2 2 2 1 1 Từ hệ thức 1+ cot2 a = ¾ ¾® sin a = ± . sin2 a 19 p 1 Do 0 nên ta chọn sin a = ¾ ¾® P = 2 19. Chọn A. 2 19 2 æ3p ù a æ3p ù Câu 52. Ta có P = 1+ sin a. Với a Î ç ;2púÞ Î ç ;pú . èç 2 ûú 2 èç 4 ûú ïì a 2 ï 0 £ sin < ï 2 2 a a Khi đó í , suy ra P = sin + cos < 0 . ï a 2 2 2 ï - 1£ cos < - îï 2 2 1 16 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = 1 , suy ra sin2 a = 1- cos2 a = 1- = . 1+ tan2 a 25 æ3p ù 4 Vì a Î ç ;2pú nên ta chọn sin a = - . èç 2 ûú 5 4 1 5 Thay sin a = - vào P 2 , ta được P 2 = . Suy ra P = - . Chọn C. 5 5 5 sin 2a sin 2a Câu 53. Ta có P = = . cos 4a + 1 2 cos2 2a 2t 1- t 2 Nhắc lại công thức: Nếu đặt t = tan a thì sin 2a = và cos 2a = . 1+ t 2 1+ t 2
  53. 2 tan a 4 1- tan2 a 3 Do đó sin 2a = = - , cos 2a = = - . 1+ tan2 a 5 1+ tan2 a 5 4 3 10 Thay sin 2a = - và cos 2a = - vào P , ta được P = - . Chọn C. 5 5 9 Câu 54. Ta có A = sin 2a = 2 sin a cosa . 1 Từ hệ thức cot2 a + 1 = = 25 Û cot2 a = 24 Þ cot a = ± 2 6 . sin2 a Vì tan a , cot a cùng dấu và tan a + cot a 0 Câu 55. Với 0 ). 5 3 æ 4ö 24 Vậy P = sin 2a = 2 sin a.cosa = 2. .ç- ÷= - . Chọn C. 5 èç 5ø÷ 25 2 2 2 æ5 ö 144 æp ö 12 Câu 56. Ta có cos a = 1- sin a = 1- ç ÷ = mà a Î ç ;p÷Þ cos a = - . èç13ø÷ 169 èç2 ø÷ 13 2 2 2 æ3ö 16 æ pö 4 Tương tự, ta có sin b = 1- cos b = 1- ç ÷ = mà b Î ç0; ÷Þ sin b = . èç5÷ø 25 èç 2ø÷ 5 5 3 12 4 33 Khi đó sin(a + b)= sin a.cosb + sin b.cos a = . - . = - . Chọn C. 13 5 13 5 65 5 p 25 12 Câu 57. Ta có sin a = với < a < p suy ra cosa = - 1- = - . 13 2 169 13 3 p 9 4 Tương tự, có cos b = với 0 < b < suy ra sin b = 1- = . 5 2 25 5 12 3 5 4 16 Vậy cos(a - b)= cosa.cos b + sin a.sin b = - . + . = - . Chọn B. 13 5 13 5 65 Câu 58. Ta có P = cos(a + b).cos(a - b)= (cos a.cosb + sin a.sin b)(cos a.cosb - sin a.sin b)
  54. 2 2 = (cos a.cosb) - (sin a.sin b) = cos2 a.cos2 b - (1- cos2 a).(1- cos2 b). 1 1 æ 1ö æ 1 ö 119 = . - ç1- ÷.ç1- ÷= - . Chọn D. 9 16 èç 9ø÷èç 16ø÷ 144 ì 2 ï æ1ö 2 2 ï cos a = 1- sin2 a = 1- ç ÷ = ï ç ÷ æ pö ï è3ø 3 Câu 59. Vì a, b Î ç0; ÷ nên suy ra í . èç ø÷ ï 2 2 ï æ1ö 3 ï cos = 1- sin2 = 1- ç ÷ = ï b b ç ÷ îï è2ø 2 2 2 3 1 1 - 1+ 2 6 Khi đó cos(a + b)= cos a.cosb - sin a.sin b = . - . = . 3 2 3 2 6 2 æ- + ö - 2 ç 1 2 6 ÷ 7 4 6 Vậy cos 2(a + b)= 2 cos (a + b)- 1 = 2.ç ÷ - 1 = . Chọn D. èç 6 ø÷ 18 1 3 + tan a + tan b p Câu 60. Ta có tan(a + b)= = 7 4 = 1 suy ra a + b = . Chọn B. - a b 1 3 1 tan .tan 1- . 4 7 4 3 1 . - 1 cot x.cot y - 1 Câu 61. Ta có cot(x + y)= = 4 7 = - 1. 3 1 cot x + cot y + 4 7 p 3p Mặt khác 0 < x, y < suy ra 0 < x + y < p. Do đó x + y = . Chọn B. 2 4 Câu 62. Ta có tan(a + b).sin g = cos g Þ sin(a + b).sin g = cos(a + b).cos g. Þ cos(a + b).cos g - sin(a + b).sin g = 0 Þ cos(a + b + g)= 0. p Vậy tổng ba góc a + b + g = (vì a, b, g là ba góc nhọn). Chọn C. 2 æ ö2 ç1÷ 2 1- ç ÷ 1- tan a èç2ø÷ 3 4 Câu 63. Ta có cos 2a = = = suy ra sin 2a = 1- cos2 2a = . 1+ tan2 a æ1ö2 5 5 1+ ç ÷ èç2ø÷ 2 1 1 3 0 0 Lại có 1+ tan b = 2 Þ cosb = - = - vì 90 < b < 180 cos b 1+ tan2 b 10 æ ö æ ö ç 1÷ç 3 ÷ 1 Mặt khác sin b = tan b.cosb = ç- ÷.ç- ÷= èç 3ø÷èç 10 ø÷ 10 æ ö 3 ç 3 ÷ 4 1 1 Khi đó cos(2a - b)= cos 2a.cosb + sin 2a.sin b = .ç- ÷+ . = - . Chọn A. 5 èç 10 ø÷ 5 10 10 1 2 1 1 24 Câu 64. Ta có sin a - cos a = Þ (sin a - cos a) = Û 1- sin 2a = Û sin 2a = . 5 25 25 25
  55. 2 2 æ24ö 7 0 0 Khi đó cos 2a = 1- sin 2a = 1- ç ÷ = vì 270 < 2a < 360 . èç25ø÷ 25 sin 2a 24 Vậy giá trị của biểu thức tan 2a = = . Chọn C. cos 2a 7 tan(a + b)+ tan(a - b) 7 + 4 11 Câu 65. Ta có tan 2a = tan é(a + b)+ (a - b)ù= = = - . ë û 1+ tan(a + b).tan(a - b) 1- 7.4 27 Chọn A. é ù Câu 66. Ta có sin a.cos(a + b)= sin b = sin ë(a + b)- aû. Û sin a.cos(a + b)= sin(a + b).cosa - cos(a + b).sin a. sin(a + b) sin a Û 2 sin a.cos(a + b)= sin(a + b).cosa Þ = 2. = 2 tan a. Chọn D. cos(a + b) cosa p p Câu 67. Từ giả thiết, ta có a + b + g = Þ b = - (a + g). 2 2 ép ù tan a + tan g Suy ra cot a + cot g = 2 cot b = 2.cot ê - (a + g)ú= 2.tan(a + g)= 2. ëê2 ûú 1- tan a.tan g 1 1 + tan a + tan g cot a cot g cot a + cot g Mặt khác = = nên suy ra - a g 1 1 a g - 1 tan .tan 1- . cot .cot 1 cot a cot g cot a + cot g cot a + cot g = 2. Û cot a.cot g - 1 = 2 Û cot a.cot g = 3. Chọn C. cot a.cot g - 1 Câu 68. Vì tan a, tan b là hai nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 nên theo định lí Viet, ïì tan a + tan b = - p tan a + tan b p ta cóíï . Khi đó tan(a + b)= = . Chọn A. îï tan a.tan b = q 1- tan a tan b q - 1 ïì tan a + tan b = p ïì cot a + cot b = r Câu 69. Theo định lí Viet, ta có íï và íï . îï tan a.tan b = q îï cot a.cot b = s æ 1 1 ö 1 1 Khi đó P = r.s = (cot a + cot b).cot a.cot b = ç + ÷. . èçtan a tan b ø÷ tan a tan b tan a + tan b p p = = . Vậy P = r.s = . Chọn B. (tan a.tan b)2 q 2 q 2 Câu 70. Vì tan a, tan b là hai nghiệm của phương trình x 2 - px + q = 0 nên theo định lí Viet, ïì tan a + tan b = p tan a + tan b p ta có íï ¾ ¾® tan(a + b)= = . îï tan a.tan b = q 1- tan a.tan b 1- q 2 é 2 ù Khi đó P = cos (a + b).ëê1+ p.tan(a + b)+ q.tan (a + b)ûú.
  56. 2 p æ p ö 1+ p. + q.ç ÷ 1+ p.tan(a + b)+ q.tan2 (a + b) 1- q èç1- q ø÷ = 2 = 2 1+ tan (a + b) æ p ö 1+ ç ÷ èç1- q ø÷ 2 2 (1- q) + p2 (1- q)+ q.p2 (1- q) + p2 - p2 .q + q.p2 = 2 = 2 = 1. Chọn C. (1- q) + p2 (1- q) + p2 sin x sin y sin x cos y - cos x sin y sin(x - y) Câu 71. Ta có M = tan x - tan y = - = = . cos x cos y cos x cos y cos x cos y Chọn C. æp ö æp ö æp ö æp ö Câu 72. Vì hai góc ç - a÷ và ç + a÷ phụ nhau nên cosç - a÷= sinç + a÷. èç4 ø÷ èç4 ø÷ èç4 ÷ø èç4 ø÷ 2 æp ö 2 æp ö 2 æp ö 2 æp ö Suy ra M = cos ç + a÷- cos ç - a÷= cos ç + a÷- sin ç + a÷ èç4 ÷ø èç4 ÷ø èç4 ÷ø èç4 ø÷ æp ö = cosç + 2a÷= - sin 2a. Chọn D. èç2 ø÷ æp ö + ç + ÷ 1 cosç a÷ 2 æp aö è2 ø 1+ sin(- a) 1- sin a Câu 73. cos ç + ÷= = = . Chọn A. èç4 2ø÷ 2 2 2 Câu 74. Ta có sin y.cos x - cos y.sin x sin y.cos x cos y.sin x cos x cos y M = = - = - = cot x - cot y . sin x.sin y sin x.sin y sin x.sin y sin x sin y Chọn B. Câu 75. Ta có: M = cos x + cos 2x + cos3x = (cos x + cos3x)+ cos 2x = 2 cos 2x.cos x + cos 2x = cos 2x (2 cos x + 1). Chọn D. sin 3x - sin x 2 cos 2x sin x Câu 76. Ta có:= = 2 sin x . Chọn D. 2 cos2 x - 1 cos 2x (1+ cos 2x)+ (cos x + cos3x) 2cos2 x + 2cos 2x cos x Câu 77. Ta có: A = = (2cos2 x- 1)+ cos x cos x + cos 2x 2cos x(cos x + cos 2x) = = 2cos x. Chọn C. cos x + cos 2x Câu 78. Ta có sin a cosa sin2 a - cos2 a - sin2 a - cos2 a cosa sin a = sin a.cosa = = sin2 a - cos2 a = - cos 2a . sin a cosa 2 2 2 2 + sin a + cos a sin a + cos a cosa sin a sin a.cosa Do đó A = - cos 2a + cos 2a = 0. Chọn A. Câu 79. Ta có
  57. (1- cos 4a)+ sin 4a 2sin2 2a + 2sin 2a cos 2a 2sin 2a(sin 2a + cos 2a) A = = = = tan 2a . (1+ cos 4a)+ sin 4a 2cos2 2a + 2sin 2a cos 2a 2cos 2a(sin 2a + cos 2a) Chọn C. 2 Câu 80. Ta có cos 2a = 1- 2sin2 a;cos 4a = 2cos2 2a - 1= 2(1- 2sin2 a) - 1 . Do đó: 2 3- 4 1- 2 sin2 a + 2 1- 2 sin2 a - 1 2 2 4 ( ) ( ) 8sin a - 8sin a + 8sin a 4 A = 2 = 2 2 4 = tan a . 3+ 4(2 cos2 a - 1)+ 2(2 cos2 a - 1) - 1 8cos a - 8cos a + 8cos a Chọn B. Câu 81. Ta có sin2 2a + 4 sin4 a - 4 sin2 a.cos2 a 4 sin4 a A = = 4 - sin2 2a - 4 sin2 a 4(1- sin2 a)- 4 sin2 a.cos2 a sin4 a sin4 a = = = tan4 a. cos2 a(1- sin2 a) cos4 a æ ö æ ö4 p 4 çp÷ ç 1 ÷ 1 Do đó giá trị của biểu thức A tại a = là tan ç ÷= ç ÷ = . Chọn C. 6 èç6÷ø èç 3ø÷ 9 sin 2a + sin a sin a (2cosa + 1) sin a (2cosa + 1) Câu 82. Ta có A = = = = tan a 1+ cos2a + cosa 2cos2a + cosa cosa (2cosa + 1) Chọn A. 1- sin a + 2 sin2 a - 1 sin a(2 sin a - 1) sin a Câu 83. Ta có A = = = = tan a. Chọn B. 2 sin a.cos a - cos a cos a(2 sin a - 1) cos a æ xö x x Câu 84. Ta có sin x = sinç2. ÷= 2sin cos , èç 2ø÷ 2 2 æ xö 2 x 1+ cos x = 1+ cosç2. ÷= 2cos èç 2ø÷ 2 x x x x æ x ö 2 sin cos + sin sin ç2 cos + 1÷ 2 èç 2 ø÷ x Do đó A = 2 2 2 = = tan . Chọn A. 2 x x x æ x ö 2 2 cos + cos cos ç2 cos + 1÷ 2 2 2 èç 2 ø÷ Câu 85. Ta có sin a.cos5 a - sin5 a.cosa = sin a.cosa (cos4 a - sin4 a) 1 = sin 2a (cos2 a - sin2 a)(cos2 a + sin2 a) 2 1 1 1 = sin 2a (cos2 a - sin2 a)= sin 2a cos 2a = sin 4a. Chọn D. 2 2 4 Câu 86. Ta có - 1£ sin x £ 1 ¾ ¾® - 3 £ 3sin x £ 3 ¾ ¾® - 5 £ 3sin x - 2 £ 1 ïì M = 1 ¾ ¾® - 5 £ P £ 1 ¾ ¾® íï . Chọn A. îï m = - 5 æ pö æ pö Câu 87. Ta có - 1£ sinçx + ÷£ 1 ¾ ¾® 2 ³ - 2 sinçx + ÷³ - 2 èç 3ø÷ èç 3ø÷
  58. æ pö ¾ ¾® 4 ³ - 2 sinçx + ÷+ 2 ³ 0 ¾ ¾® 4 ³ P ³ 0. Chọn C. èç 3ø÷ a + b a - b Câu 88. Áp dụng công thức sin a - sin b = 2 cos sin , ta có 2 2 æ pö æ pö p æ pö sinçx + ÷- sin x = 2 cosçx + ÷sin = cosçx + ÷. èç 3ø÷ èç 6÷ø 6 èç 6ø÷ æ pö PÎ ¢ Ta có - 1£ cosçx + ÷£ 1 ¾ ¾® - 1£ P £ 1 ¾ ¾¾® P Î {- 1;0;1}. Chọn C. èç 6ø÷ Câu 89. Ta có P = sin2 x + 2 cos2 x = (sin2 x + cos2 x)+ cos2 x = 1+ cos2 x ïì M = 2 Do - 1£ cos x £ 1 ¾ ¾® 0 £ cos2 x £ 1 ¾ ¾® 1£ 1+ cos2 x £ 2 ¾ ¾® íï . Chọn C. îï m = 1 Câu 90. Ta có P = 8sin2 x + 3cos 2x = 8sin2 x + 3(1- 2 sin2 x)= 2 sin2 x + 3. Mà - 1£ sin x £ 1 ¾ ¾® 0 £ sin2 x £ 1 ¾ ¾® 3 £ 2 sin2 x + 3 £ 5 ïì M = 5 ¾ ¾® 3 £ P £ 5 ¾ ¾® íï ¾ ¾® T = 2M - m2 = 1. Chọn A. îï m = 3 2 1 Câu 91. Ta có P = cos4 x + sin4 x = (sin2 x + cos2 x) - 2 sin2 x cos2 x = 1- sin2 2x 2 1 1- cos 4x 3 1 = 1- . = + cos 4x. 2 2 4 4 1 3 1 1 Mà - 1£ cos 4x £ 1 ¾ ¾® £ + cos 4x £ 1 ¾ ¾® £ P £ 1. Chọn B. 2 4 4 2 Câu 92. Ta có P = sin4 x - cos4 x = (sin2 x + cos2 x)(sin2 x - cos2 x)= - cos 2x. ïì M = 1 Mà - 1£ cos 2x £ 1 ¾ ¾® - 1³ - cos 2x ³ 1 ¾ ¾® - 1£ P £ 1 ¾ ¾® íï . Chọn C. îï m = - 1 2 Câu 93. Ta có P = sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x) - 3sin2 x cos2 x (sin2 x + cos2 x) 3 3 1- cos 4x 5 3 = 1- 3sin2 x cos2 x = 1- sin2 2x = 1- . = + cos 4x. 4 4 2 8 8 ïì M = 1 1 5 3 1 ï Mà - 1£ cos 4x £ 1 ¾ ¾® £ + cos 4x £ 1 ¾ ¾® £ P £ 1 ¾ ¾® í 1 . Chọn C. 4 8 8 4 ï m = îï 4 Câu 94. Ta có - 1£ cos3x £ 1 ¾ ¾® 0 £ cos3x £ 1 ¾ ¾® 0 ³ - 2 cos3x ³ - 2 ïì M = 1 ¾ ¾® 1³ 1- 2 cos3x ³ - 1 ¾ ¾® 1³ P ³ - 1 ¾ ¾® íï . Chọn B. îï m = - 1 2 æ pö æ1- cos 2x ö Câu 95. Ta có P = 4 sin x + 2 sinç2x + ÷= 4ç ÷+ sin 2x + cos 2x èç 4ø÷ èç 2 ø÷
  59. æ pö = sin 2x - cos 2x + 2 = 2 sinç2x - ÷+ 2. èç 4ø÷ æ pö æ pö Mà - 1£ sinç2x - ÷£ 1 ¾ ¾® - 2 + 2 £ 2 sinç2x - ÷+ 2 £ 2 + 2 . èç 4ø÷ èç 4÷ø Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 + 2. Chọn D.