57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án)

Nội dung text: 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án)

1. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Sơ lược lời giải Điểm 5  5x    EA EC  EM xEN 5  5x  Do đó: EP 2 9 EA EC . 1 x 1 x 2 1 x 9 1 x 5 5x 27 Do P, A, C thẳng hàng nên 1 x . 2 1 x 9 1 x 8 PM 27 Vậy . 0,5 MN 35      EN yEM Giả sử QN yQM .Ta có EQ , 1 y     5 5y  EB ED EN yEM 3 6 EQ 0,25 1 y 1 y 5  5y  EB ED 3 1 y 6 1 y 5 5y Do Q, B, D thẳng hàng nên 1 y 4 . 3 1 y 6 1 y QM 1 Vậy . MN 5 PQ MP MQ 27 1 4 Suy ra . MN MN MN 35 5 7 2. Bác Nam có một mảnh đất hình tứ giác ABCD (như hình vẽ) với AB = 8,2m; BC = 14,5 m; CD = 9,7m; AD = 16,4m. Để tính diện tích mảnh đất, cháu của bác Nam lấy hai điểm M, N nằm trên hai cạnh AB, AD sao cho AM = 1m; AN = 1m, sau đó bác Nam dùng thước dây đo được MN = 1,6m. Em hãy tính diện tích mảnh đất (đơn vị m2 và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). M A 1m B 8,2m 2,0 1m 1,6m N 14,5m 16,4m 9,7m C D Xét tam giác AMN 0,5 AM 2 AN 2 MN 2 1 1 (1,6)2 7 ta có: cos M· AN 2AM.AN 2.1.1 25 DeThi.edu.vn
2. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Sơ lược lời giải Điểm 2 0,5 · 7 24 sin MAN 1 25 25 Xét tam giác ABD ta có: 2 2 2 · 2 2 7 257193 0,5 BD AD AB 2AB.AD.cos BAD (8,2) (16,4) 2.8,2.16,4. 25 625 BD 20,3m . Dùng công thức Hê – rông, ta tính được diện tích các tam giác 0,5 2 2 SABD 64,51m ; SBCD 65m 2 Vậy tổng diện tích khu đất là SABCD SABC SBCD 130m Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là điểm thuộc đoạn 2,0 thẳng AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1;2), N(2; -1). D I C 0,5 N A M B +) Ta có MN 10 . Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD, vậy a 0. Câu VI 0,5 a 3AC 3a 2 (2,0 điểm) Ta có AM và AN nên 2 4 2 5a2 MN 2 AM 2 AN 2 2AM.AN.cosM· AN . 8 5a2 Do đó: 10 a 4. 8 +) Gọi I x; y là trung điểm của CD. 0,25 BD Ta có IM AD 4 và IN 2 nên ta có hệ phương trình: 4 2 2 x 1, y 2 x 1 y 2 16 17 6 . x 2 2 y 1 2 2 x ; y 5 5  +) Với x 1, y 2 có I 1; 2 và IM 0;4 . 0,25  Đường thẳng CD đi qua I và có véc tơ pháp tuyến IM nên có phương DeThi.edu.vn
3. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Sơ lược lời giải Điểm trình là y 2 0 . 17 6 17 6  12 16 +) Với x ; y có I ; và IM ; . 5 5 5 5 5 5  Đường thẳng CD đi qua I và có véc tơ pháp tuyến IM nên có phương trình là 3x 4y 15 0 . DeThi.edu.vn
4. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XVIII-HÒA BÌNH 2024 LẦN THỨ XVIII, NĂM 2024 ĐỀ THI MÔN: TOÁN, KHỐI 10 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm). Cho P (x) là một đa thức bậc 4 với hệ số thực. a) Chứng minh rằng tồn tại bộ số thực (a, b, c, d, e) thoả mãn P(x) ax(x 1)(x 2)(x 3) bx(x 1)(x 2) cx(x 1) dx e,x ¡ . b) Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c, d, e sao cho P(x) nhận giá trị là số nguyên với mọi số nguyên x. Bài 2 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc tia đối của tia CA (M ≠ C). Lấy D đối xứng với B qua M, AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Đường tròn (ACD) cắt AB tại điểm thứ hai là F. a) Gọi I là giao điểm khác A của (AEF) và (ABD). Chứng minh rằng AI // BD. b) Gọi S là giao điểm khác A của (AEF) và AC đường trung trực của SI cắt BD tại J Chứng minh rằng J, E, F thẳng hàng. Bài 3 (4,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 5abc. 1 1 1 Chứng minh rằng a b c 10. a b c Bài 4 (4,0 điểm). Trong một chiếc hộp chứa 2024 viên bi có cùng kích thước, trên mỗi viên bi được ghi một số nguyên dương từ 1 đến 2024 hai số ghi trên hai viên bất kì là khác nhau. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, ghi lại số trên viên bi lên bảng rồi trả lại viên bi vừa lấy vào hộp. Tiếp theo hai bạn Hùng và Vương lần lượt thực hiện như bạn An. a) Tính xác suất để 3 số ghi được trên bảng giống nhau. 1 b) Chứng minh rằng xác suất để tổng 3 số ghi được trên bảng là số chính phương bé hơn . 46 Bài 5 (4,0 điểm). Một bộ số (x; y; z), với x, y, z nguyên dương, được gọi là “bộ ba tốt của n” nếu n = x2 + y2 – 5z2. a) Cho (x; y; z) là một bộ ba tốt của 0. Chứng minh 4z2 – x2y2 chia hết cho 36. b) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì luôn tồn tại bộ ba tốt của n. ----------HẾT---------- DeThi.edu.vn
5. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài Hướng dẫn Điểm Bài 1 (4,0 điểm). Cho P (x) là một đa thức bậc 4 với hệ số thực. a) Chứng minh rằng tồn tại bộ số thực (a, b, c, d, e) thoả mãn 1 P(x) ax(x 1)(x 2)(x 3) bx(x 1)(x 2) cx(x 1) dx e,x ¡ . b) Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c, d, e sao cho P(x) nhận giá trị là số nguyên với mọi số nguyên x. Ta có P(0) e,P(1) d e,P(2) 2c 2d e,P(3) 6b 6c 3d e, 0.5 P(4) 24a 24b 12c 4d e. Suy ra a,b,c,d,e được xác định như sau: P(2) 2P(1) P(0) e P(0),d P(1) P(0),c , 2 P(3) 3P(2) 3P(1) P(0) 0.5 1a b 6 P(4) 4P(3) 6P(2) 4P(1) P(0) và a . 24 Với a,b,c,d,e xác định như trên thì hai đa thức bậc không quá bốn P(x) và Q x ax(x 1)(x 2)(x 3) bx(x 1)(x 2) cx(x 1) dx e bằng nhau tại 5 0.5 giá trị x 0;1;2;3;4 nên P x Q x ,x ¡ . Điều kiện cần: Nếu P(x) luôn là số nguyên mọi số nguyên x thì P(0),P(1),P(2),P(3),P(4) là 1.0 các số nguyên. Khi đó e,d,2c,6b,24a là các số nguyên. 1b Điều kiện đủ: Giả sử e,d,2c,6b,24a là các số nguyên. Với x là số nguyên bất kỳ, ta có x(x 1)(x 2)(x 3) x(x 1)(x 2) x(x 1) 1.5 P(x) 24a 6b 2c dx e ¢ . 24 6 2 Do tích của k số nguyên liên tiếp thì chia hết cho k ! trong đó k 2,3,4. Bài 2 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc tia đối của tia CA (M ≠ C). Lấy D đối xứng với B qua M, AD cắt (O) tại điểm thứ hai là 2 E. Đường tròn (ACD) cắt AB tại điểm thứ hai là F. a) Gọi I là giao điểm khác A của (AEF) và (ABD). Chứng minh rằng AI // BD. b) Gọi S là giao điểm khác A của (AEF) và AC đường trung trực của SI cắt BD tại J Chứng minh rằng J, E, F thẳng hàng. DeThi.edu.vn
6. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn F L A E I C B K P M Q D Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của (O), (ACD) với BD và K, L lần lượt là tâm của (ABD), (AEF ). Ta có MB.MP = MA.MC = MD.MQ. 1.0 Vì MB = MD (gt) nên MP = MQ. Dẫn đến BQ = DP. 2a Từ đó suy ra DA.DE = DB.DP = BD.BQ = BA.BF. Do đó P = P Þ LB = LD. Kết hợp với KB = KD suy ra KL ^ BD (1). B/ (AEF ) D/ (AEF ) 1.0 Vì { A; I } = (AEF ) Ç(ABD) nên KL ^ AI (2). Từ (1) và (2) suy ra AI / / BD. F L S A E I C B J M D Vì AI / / BD và M là trung điểm BD nên A(IMBD) = - 1. 1.0 Chiếu lên (AEF ) ta thu được IESF là tứ giác điều hòa (3). · 1 · 1 ¼ · · Ta có SLJ = SLI = s®SAI = IAM = SMJ (do AI / / BD). 2b 2 2 · · 0 Suy ra tứ giác SLMJ nội tiếp. Dẫn đến LSJ = LMD = 90 . 1.0 Suy ra JS, JI là các tiếp tuyến của (AEF ) (4). Từ (3) và (4) suy ra J, E, F thẳng hàng. 3 Bài 3 (4,0 điểm). DeThi.edu.vn
7. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 5abc. 1 1 1 Chứng minh rằng a b c 10. a b c Không mất tính tổng quát, giả sử a b c. Từ giả thiết a3 b3 c3 5abc suy ra 1.0 a2 b2 c2 1 a2 b2 c2 1 c2 ab c2 5 .2 ab 2 . bc ca ab c b a ab c ab c ab c 2 Đặt t = , t ³ 1, suy ra 5 ³ + t 2 Û t 3 - 5t + 2 £ 0 Û (t - 2)(t 2 + 2t - 1) £ 0. ab t 1.0 Suy ra t £ 2 hay c £ 2 ab £ a + b. Khi đó ta có (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ³ 0 ab(a b) bc(b c) ca(c a) 2abc a3 b3 c3 0 3 ab(a b) bc(b c) ca(c a) a3 b3 c3 2abc ab(a b) bc(b c) ca(c a) 7abc (a b c)(ab bc ca) 10abc 1 1 1 a b c 10. 2.0 a b c a3 b3 c3 5abc c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b a b . 2 c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a; b; c) = (t; t; 2t) với t > 0 hoặc các hoán vị. Bài 4 (4,0 điểm). Trong một chiếc hộp chứa 2024 viên bi có cùng kích thước, trên mỗi viên bi được ghi một số nguyên dương từ 1 đến 2024 hai số ghi trên hai viên bất kì là khác nhau. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, ghi lại số trên viên bi lên bảng rồi trả lại viên bi vừa lấy vào hộp. Tiếp theo hai bạn Hùng và Vương lần lượt thực 4 hiện như bạn An. a) Tính xác suất để 3 số ghi được trên bảng giống nhau. b) Chứng minh rằng xác suất để tổng 3 số ghi được trên bảng là số chính phương bé hơn 1 . 46 DeThi.edu.vn
8. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Ký hiệu X = {1, 2, K , 2024}. Ta có không gian mẫu W= X 3 và W = 20243. 0.5 Gọi A là biến cố “ 3 số ghi được trên bảng giống nhau”. Ta có A = (x,y,z) Î W| x = y = z . 4a { } Suy ra A = 2024. 1.0 1 Do đó P(A) = . 20242 Gọi B là biến cố “tổng 3 số ghi được trên bảng là số chính phương”. Ta có B = {(x,y,z) Î W| $k Î ¥ : x + y + z = k2}. Với mỗi bộ (x, y) Î X 2, kí hiệu f (x,y) là số cách chọn z Î X sao cho x + y + z là số chính phương. Ta có ïì é ù ï ê x + y + 2024ú- x + y + 1 + 1, khi x + y + 1 Î ¢ 0.5 f (x,y) = íï ë û ï é ù é ù ï ê x + y + 2024ú- ê x + y + 1ú, khi x + y + 1 Ï ¢, îï ë û ë û é ù a. ở đây kí hiệu ëêaûú là số nguyên lớn nhất không vượt quá (Công thức trên đơn giản chỉ là đếm số các số chính phương từ x + y + 1 đến x + y + 2024) . f (x,y) £ x + y + 2024 - x + y + 1 + 1, " x,y Î X . 1.0 4b 2023 Do x + y ³ 2 nên x + y + 2024 - x + y + 1 = x + y + 2024 + x + y + 1 2023 £ = 2026 - 3 < 44. 2026 + 3 Vậy f (x,y) < 44 + 1 = 45. Do f (x,y) là số nguyên nên ta có f (x,y) £ 44, " x,y Î X . 1.0 Từ đây ta thu được B = å f (x,y) £ 20242.44. (x,y)Î X 2 Chú ý rằng bất đẳng thức trên không thể trở thành đẳng thức vì f (x,y) không thể đồng thời bằng 44. Do đó ta có 44 1 P(B) < = . 2024 46 Bài 5 (4,0 điểm). Một bộ số (x; y; z), với x, y, z nguyên dương, được gọi là “bộ ba tốt 5 của n” nếu n = x2 + y2 – 5z2. DeThi.edu.vn
9. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn a) Cho (x; y; z) là một bộ ba tốt của 0. Chứng minh 4z2 – x2y2 chia hết cho 36. b) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì luôn tồn tại bộ ba tốt của n. Do (x;y;z) là “bộ ba tốt của 0” nên x2 y2 5z2. Nếu x,y đều lẻ thì x2 y2 chia 4 dư 2. Suy ra z2 chia 4 dư 2, vô lý. Suy ra 0.5 4z4 x2y2 4. Dễ thấy, một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. 0.5 Nếu z2 3 thì x2 y2 3. Suy ra x2 3, y2 3. Khi đó 4z4 x2y2 9. 5a Nếu z2 1 (mod 3) thì x2 y2 2 (mod 3). Suy ra x2 y2 1 (mod 3). 2 2 2 2 2 2 0.5 Khi đó (x 1)(y 1) 0 (mod9), hay x y  x y 1(mod9). Suy ra 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4z x y  4z (x y 1)  4z 5z 1  (z 1)(4z 1)  0 (mod9). 1.0 Suy ra 4z4 x2y2 36 do (9;4) 1. Ta có 0 12 22 5.12;1 102 92 5.62;2 12 92 5.42;4 202 32 5.92 0.5 5b và 2n 1 (2n)2 (n 1)2 5n 2;2n (2n 1)2 (n 2)2 5(n 1)2 suy ra đpcm. 1.0 DeThi.edu.vn
10. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT PHAN HUY CHÚ – Môn: Toán – Khối 10 QUỐC OAI Năm học: 2024-2025 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (4,0 điểm) a. Cho hai tập hợp A = (-5;3) và B = [2; +∞]. Tìm A  B . b. Cho hai tập hợp A = [7; m2 – m], B = (9;12] với A là tập hợp khác rỗng. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 0;2024 để B  A . Câu 2. (4,0 điểm) a. Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x + 3. b. Tìm tất cả các tham số m để phương trình sau có nghiệm thực 4 x x 3m 4x x2 Câu 3. (3,0 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất. Câu 4. (3,0 điểm) Sin B sin C Cho tam giác ABC thỏa mãn: AB.AC = 12 và cos B cos C = sin A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm diện tích tam giác BMG. Câu 5. (4,0 điểm) a. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy các điểm G và H sao cho DG = GH = HB. Gọi M là giao điểm của AH và BC; N là giao điểm của AG và DC. Chứng minh:    2AM 2AN 3AC b. Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O. Gọi điểm H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO. Gọi điểm I, J lần lượt là trung điểm của cạnh AD và BC. Chứng minh rằng HK  JI . Câu 6. (2,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 9 và x + y – z = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ x z 1 nhất của biểu thức P = y 4 . ----------HẾT---------- DeThi.edu.vn