60 cách giải cho bài hình học đơn giản và hay Lớp 9

Nội dung text: 60 cách giải cho bài hình học đơn giản và hay Lớp 9

1. 60 cách giải cho bài hình học đơn giản và hay lớp 9 Đề bài: Điểm C thuộc đường tròn (O; R) đường kinh AB sao cho AC => ACK ~ DCO (c – g – c) => . Lại có AC _|_ CD nên dễ suy ra OD _|_ AK Cách 2 ABD ~ BKO (g – g) => => AOD ~ BKA (c – g – c) => . Lại có AB _|_ BK nên dễ suy ra OD _|_ AK Cách 3 OD cắt BK tại M. Dễ chứng minh tứ giác ADBM là hình bình hành => AM // BD Dễ thấy OK _|_ BD => OK _|_ AM. Từ đó O là trực tâm tam giác AMK => OD _|_ AK Cách 4 OK cắt AD tại N. Dễ chứng minh tứ giác AKBN là hình bình hành => AK // BN Dễ thấy OK _|_ BD và O là trực tâm tam giác BND => OD _|_ BN => OD _|_ AK Cách 5
2. Kẻ KE _|_ OD tại E. Dễ thấy (K, C, E, O, B) => => (A, D, C, E) => AE _|_ OD => A, E, K thẳng hàng hay OD _|_ AK Cách 6 Kẻ AF _|_ OD tại F, tiếp tuyến tại B của (O) cắt AF tại L. Ta có: (A, D, C, F) => => (C, F, O, B). Dễ thấy (B, O, F, L) => (C, F, L, O, B) => CL _|_ CO => LC là tiếp tuyến của (O) => L trùng với K => AK _|_ OD Cách 7 Gọi J là điểm đối xứng B qua D. Dễ thấy OD // AJ. ABD ~ BKO (g – g) => => DAJ ~ OAK (c – g – c) => => => AJ _|_ AK => OD _|_ AK Cách 8 AK cắt (O) tại S, OK cắt BC tại I. Dễ thấy (K, S, I, B) => => (A, O, I, S) mà dễ thấy (A, O, I, D) => (O, A, D, I, S) => DS _|_ OS => AK _|_ OD Cách 9 Dễ thấy (B, O, C, K). Đường tròn qua 4 điểm B, O, C, K cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại điểm thứ 2 là I khác C. => => 3 điểm D, I, O thẳng hàng. Dễ thấy AI _|_ OD và KI _|_ OD => 3 điểm A, I, K thẳng hảng hay OD _|_ AK Cách 10 Đường thẳng qua O vuông góc với OD cắt BK tại T. AOD ~ BTO (g – g) => AD.BT = OA.OB = R2 ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB = 2R2 Từ đó suy ra BK = 2BT => TB = TK => AK // OT => AK _|_ OD. Cách 11 OK cắt BC tại I. Dễ thấy (A, D, O, I). Đường tròn qua 4 điểm A, D, O, I cắt AK tại M khác A. Dễ thấy => (K, M, I, B) => => M thuộc (O) . Dễ thấy MD là tiếp tuyến của (O) => OD _|_ AK Cách 12 Kẻ AH _|_ OD tại H. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AH tại L. Dễ thấy (A, H, C, D) và (O, H, C, L) => => (L. C, O, B) => LB _|_ OB => L trùng với K => AK _|_ OD
3. Cách 13 Kẻ AH _|_ OD tại H. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AH tại L. Dễ thấy OB2 = OA2 = OH.OD => OBH ~ ODB (c – g – c) => . Dễ thấy (O, H, B, L) => => . Lại có AL _|_ OD => OL _|_ BC => L trùng với K => AK _|_ OD Cách 14 OK cắt BC tại I. OA2 = OB2 = OI.OK => OIK ~ OAK (c – g – c) và (A, D, I, O) => => OD _|_ AK Cách 15 OK cắt BC tại I, AK cắt BC tại G. Kẻ GH _|_ KB tại H OA2 = OB2 = OI.OK => OIK ~ OAK (c – g – c) và dễ thấy (A, D, I, O) và (K, G, I, H) => => 3 điểm A, I, H thẳng hàng => => OD _|_ AK Cách 16 BC cắt OK và AK lần lượt tại I và G, AI cắt BK tại H, E là điểm đối xứng I qua O Dễ thấy AE // BC và AI // BE => => HG // AB. Dễ thấy (A, O, I, D) và (C, I, H, K) => => OD _|_ AK Cách 17 Kẻ DH _|_ AK tại H, DH cắt AB tại L. Dễ thấy (A, D, C, H) => => (K, C, H, B). Dễ thấy => (C, L, O, B) => (O, B, K C, L) => KC _|_ LC => L trùng với O => AD _|_ OK B/ Các cách chứng minh ở mức độ trung bình Cách 18 Kẻ AH _|_ OD tại H, OK cắt BC tại I. Dễ chứng minh: OK.OI = OB2 = OA2 = OH.OD => OHK ~ OID (c – g – c) => => HK _|_ OD => 3 điểm O, H, K thẳng hàng => OD _|_ AK Cách 19 OK cắt BC tại I, AK cắt BC tại G. Dễ thấy CDA ~ ICK (g – g) và AC // OK Dễ chứng minh: => => IC2 = ID.IG mà IC2 = IO.IK => ID.IG = IO.IK => IKG ~ IDO (c – g – c) => . Đến đây dễ chứng minh OD _|_ AK
4. Cách 20 Kẻ OT _|_ AK tại T. ATO ~ ABK (g – g) và ABD ~ BKO (g – g) Từ đó suy ra AT.AK = AO.AB = OB.AB = AD.BK => TAD ~ BKA (c – g – c) => DT _|_ AK => 3 điểm D, T, O thẳng hàng => OD _|_ AK Cách 21 AK cắt BC và (O) lần lượt tại G và M, BM cắt OK tại N. Đường thẳng qua D song song với AB cắt BM tại S. Dễ thấy N là trực tâm của tam giác BGK => GN _|_ BK => GN // AB // DS. Dễ chứng minh: => DS = OA => ADSO là hình bình hành => BODS là hình bình hành => OD // BS => OD _|_ AK Cách 22 Đưởng thẳng qua O vuông góc với OD cắt AD tại M. Dễ thấy AD.AM = OA2 = R2 ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB = 2R2 Từ đó suy ra BK = 2AM => 2 => AMO ~ BKA (c – g – c) => => AK // OM => AK _|_ OD Cách 23 Đưởng thẳng qua A vuông góc với AK cắt BK tại M. Dễ thấy BK.BM = AB2 = 4R2 ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB = 2R2 Từ đó suy ra BM = 2AD => 2 => BAM ~ AOD (c – g – c) => => AM // OD => AK _|_ OD Cách 24 Đưởng thẳng qua D vuông góc với BD cắt AB tại S. Đưởng thẳng qua D vuông góc với OD cắt AB tại E. Dễ thấy AE.AB = 2AE.OA = 2AD2 = 2AS.AB => AE = 2AS => SE = SA BOK ~ ASD (g – g) => => ESD ~ AOK (c – g – c) => => DE // AK => OD _|_ AK Cách 25 Đưởng thẳng qua K vuông góc với AK cắt AB tại I. Đưởng thẳng qua K vuông góc với OK cắt AB tại E. Dễ thấy BE.AB = 2BE.OB = 2BK2 = 2AB.BI => BE = 2BI ABD ~ BEK (g – g) => => AOD ~ BIK (c – g – c) => => OD // IK => OD _|_ AK
5. Cách 26 AK cắt (O) tại M. Đưởng thẳng qua O song song với AD cắt BD và BM lần lượt tại P và Q. OPB ~ BOK (g – g) => và OQB ~ BAK (g – g) => Nhân vế theo vế => = 2 => OQ = 2OP. Dễ thấy AD = 2OP => OQ = AD => ADOQ là hình bình hành => BODQ là hình bình hành => OD // BQ => OD _|_ AK Cách 27 Kẻ AH _|_ BC tại H, AK cắt CH tại I, E là trung điểm của cạnh HB, AC cắt BK tại J Dễ thấy KB = KJ và =.> IH = IC Dễ thấy IE // BC => IE _|_ AC => I là trực tâm của tam giác ACE => AK _|_ EC Dễ thấy => OD // EC => OD _|_ AK Cách 28 AC cắt OD và BK lần lượt tại N và E. Đường thẳng qua D song song với AB cắt EC tại I. Đường thẳng qua A vuông góc với OD cắt BC tại M. Dễ thấy EB = 2KB và N là trực tâm của tam giác AMD => MN _|_ AD => MN // AB. Lần lượt chứng minh: => MDA ~ MBK (c – g – c) => => 3 điểm A, M, K thẳng hàng => AK _|_ OD Cách 29 Đường thẳng qua A vuông góc với AK cắt đường thẳng qua D vuông góc với AD tại điểm E Dễ thấy . ADE ~ ABK (g – g) và ABD ~ BKO (g – g) => => AB = 2DE => DE = OA => AEDO lả hình bình hành => OD // AE => OD _|_ AK Cách 30 Kẻ BM _|_ OD tại M. Đường thẳng qua K vuông góc với BK cắt BM tại S Dễ thấy . AOD ~ KBS (g – g) và ADB ~ BOK (g – g) => => KS = 2OB => KS = AB => AKBS lả hình bình hành => AK // BS => OD _|_ AK Cách 31
6. AK cắt (O) tại M, BM cắt AD tại E. ABD ~ BKO (g – g) => ABE ~ BKA (g – g) => . Nhân vế theo vế: = 2 => AE = 2AD => DA = DE => OD // BE => OD _|_ BK Cách 32 Bài toán phụ: Cho tứ giác ABCD lồi. Nếu AB2 – BC2 = AD2 – CD2 thì AC _|_ BD. (Bạn đọc tự chứng minh) Quay trở lại bài toán. Dễ thấy ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB = 2R2 Dễ thấy: DK2 = (BK – AD)2 + AB2 Ta có: OK2 – OA2 = OK2 – OB2 = BK2 DK2 – AD2 = (BK – AD)2 + AB2 – AD2 = BK2 – 2BK.AD + 4R2 = BK2 So sánh cho OK2 – OA2 = DK2 – AD2 => AK _|_ OD (theo bài toán phụ) Cách 33 Gọi M là trung điểm của cạnh AK => BK = 2OM ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB = 2OA2 => AD.OM = OA2 => AOD ~ OMA (c – g – c) => => OD _|_ AK Cách 34 Dựng hình bình hành ADOM và hình chữ nhật BOMH => MH = OB = R; AM = OD ; BH = OM = AD. ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB = 2R2 MK2 = MH2 + HK2 = R2 + (BK + AD)2 = R2 + BK2 + AD2 + 2BK.AD = (OA2 + AD2) + (BK2 + AK2) = OD2 + AK2 = AM2 + AK2 => AM _|_ AK => OD _|_ AK Cách 35 Đường thẳng qua A vuông góc với AK cắt đường thẳng qua O vuông góc với OB tại điểm M. BAK ~ OMA (g – g) và ABD ~ BKO (g – g) => => AD = OM => ADOM là hình bình hành => AM // OD => OD _|_ AK Cách 36 Đường thẳng qua O vuông góc với OD cắt đường thẳng qua K vuông góc với BK tại điểm M. Kẻ MH _|_ AB tại H. Dễ thấy BK = MH ; BH = MK AOD ~ HMO (g – g) và ABD ~ BKO (g – g)
7. => => OH = 2OB => OA = OB = BH = MK => AOMK là hình bình hành => AK // OM => OD _|_ AK Cách 37 AK cắt (O) tại E. Đường thẳng qua O song song với với BD cắt BE tại M. Dễ thấy (K, E, O, M) => OMK ~ BAK (g – g) và ABD ~ BKO (g – g) => => OM = BD => DOMB là hình bình hành => OD // BM => OD _|_ AK Cách 38 Đường thẳng qua O vuông góc với OD cắt AC tại M, E là điểm đối xứng A qua D. Dễ thấy và AMO ~ DBE (g – g) và ABD ~ BKO (g – g) => => AM = OK => OKAM là hình bình hành => AK // OM => OD _|_ AK Cách 39 AC cắt BK tại E, M thuộc cạnh OB sao cho OD // MC, I thuộc cạnh EK sao cho AK // IC. Dễ thấy KE = KC. Ta có: => OMC ~ KCI (c – g – c) => => => CM _|_ CI => OD _|_ CI => OD _|_ AK Cách 40 Đường thẳng qua C vuông góc với AK cắt OB tại M, OK cắt BC tại I OA2 = OB2 = OI.OK => OIK ~ OAK (c – g – c) => => (A, C, I, M) => IM _|_ AB. Lại có: => OD // MC => OD _|_ AK Cách 41 Kẻ CH _|_ AB tại H, IM _|_ AD tại M, OK cắt BC tại I, CH cắt IM tại E, AC cắt BK tại L , AK cắt CH tại V. Dễ thấy KB = KL và AH = EH = EC => AMCE là hình bình hành => MC // AE. Ta có: => VH = VL => V trùng với E => 3 điểm A, E, K thẳng hàng => MC // AK. Dễ thấy (A, M, C, I) và (A, D, I, O)
8. => => MC _|_ OD => AK _|_ OD Cách 42 AC cắt BK tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với OD cắt AB tại E AOD ~ BME (g – g) => AD.BM = OA.BE = R.BE ABD ~ BMA (g – g) => AD.BM = AB2 = 4R2 => BE = 4R => AB = AE => AK // ME => OD _|_ AK Cách 43 E là điểm đối xứng O qua A. Đường thẳng qua E vuông góc với BE cắt đường thẳng qua A vuông góc với AK tại điểm M. EAM ~ BKA (g – g) và ABD ~ BKO (g – g) => => EM = AD => ADME là hình bình hành => AODM là hình bình hành => AM // OD => OD _|_ AK Cách 44 E là điểm đối xứng O qua A. M và I lần lượt là trung điểm của các cạnh AE và DE Dễ thấy AD = 2IM, AI // OD và ABD ~ BKO (g – g) => => MAI ~ BKA (c – g – c) => => AI // AK => OD _|_ AK Cách 45 E là điểm đối xứng O qua A. Kẻ BH _|_ OD tại H. Đường thẳng qua E vuông góc với AE HB tại M. Dễ thấy EMB ~ AOD (g – g) và ABD ~ BKO (g – g) => => EM = BK => EMKB là hình bình hành => AKMB là hình bình hành => AM // BM => OD _|_ AK Cách 46 E là điểm đối xứng O qua A, F là điểm đối xứng D qua A, EF cắt BK tại M Dễ thấy OD // ME và = 3 => BM = 3AF = 3AD ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB => BM.BK = 3AD.BK = 3OB.AB = AB.EB => BEM ~ BKA (c – g – c) => => AK _|_ ME => AK _|_ OD Cách 47 E là điểm đối xứng A qua B, F là điểm đối xứng K qua B, EF cắt AD tại M
9. Dễ thấy AK // ME và AM = 2BF = 2KB ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB => AM.AD = 2AD.BK = 2OB.AB = OA.AE => AOD ~ AEM (c – g – c) => => OD _|_ ME => AK _|_ OD C/ Các cách chứng minh ở mức độ khó Cách 48 OK cắt BC tại I, AK cắt BC tại G, P thuộc cạnh OA sao cho OG // CP, Q thuộc cạnh BK sao cho CQ // DK. Ta có: => => => => (1). Lại có: (2) ACD ~ KIB (g – g) => (3) Từ (1), (2), (3) => => OPC ~ KQC (c – g – c) => => => CP _|_ CQ => CP _|_ DK => OG _|_ DK => G là trực tâm của tam giác ODK => AK _|_ OD Cách 49 BC cắt AK tại G. Đường thẳng qua G song song với AB cắt AC và AD lần lượt tại P và Q, OK cắt BC tại I. Dễ thấy ACD ~ KIB và AC // OK => => Dễ thấy => GQ = 2GP => PG = PQ Cho OD cắt GQ tại V thì => VG = VQ => P trùng với V => 3 điểm D, P, O thẳng hàng. Dễ thấy P là trực tâm tam giác AGD => DP _|_ AK => OD _|_ AK Cách 50 Đường thẳng qua D vuông góc với OD cắt AB tại E, BC cắt AK và OK lần lượt tại G và I. Dễ thấy ACD ~ KIB (g – g) ; DOE ~ AOD (g – g). Lần lượt chứng minh
10. => DE // AK => AK _|_ OD Cách 51 OD cắt AK và BC lần lượt tại I và M, OK cắt BC tại S Dễ thấy AD = BM và CD ~ KSB (g – g). Lần lượt chứng minh: => => => => => AD2 = DI.DO => AID ~ OAD (c – g – c) => => OD _|_ AK Cách 52 OD cắt AC tại N. Đường thẳng qua A vuông góc với OD cắt BD tại M, OK cắt BC tại S Dễ thấy N là trực tâm tam giác AMD => MN _|_ AD => MN // AB ; ACD ~ KSB (g – g) Áp dụng Menelaus cho tam giác DOB: 1 => Lần lượt chứng minh: => ADM ~ KBM (c – g – c) => => 3 điểm A, M, K thẳng hàng => OD _|_ AK Cách 53 AC cắt OD và BK lần lượt tại I và Q, M là trung điểm của cạnh AC, OM cắt AD tại N, MD cắt OA tại E, IE cắt OM tại P. Dễ thấy NA = ND ; KB = KQ ABD ~ CAD (g – g) => => AOD ~ CMD (c – g – c) => => (I, M, E, O) => => P là trực tâm tam giác AIO => AP _|_ OD. Dễ thấy => PE = PI. Cho AK căt IE tại V. Dễ thấy => VE = VI. => V trùng với P => 3 điểm A, P, K thẳng hàng => AK _|_ OD Cách 54
11. OD cắt AC tại N, BC cắt AK và OK lần lượt tại M và I AC // OK và ACD ~ KIC (g – g) => => => => Áp dụng Menelaus cho tam giác ACB: 1 => => => MN // AB => MN _|_ AD => N là trực tâm AMD => OD _|_ AK Cách 55 Đường thẳng qua C song song với AK cắt AB tại M. Kẻ CH _|_ AB tại H, E là trung điểm của cạnh HB. CHM ~ KBA (g – g) và CHA ~ KBO (g – g) => => HM = 2AH. Dễ chứng minh: 2HC2 = 2HA.HB = HM.HB = 2HM.HE => HC2 = HM.HE => HCM ~ HEC (c – g – c) => => CM _|_ CE Dễ thấy => OD // EC => OD _|_ MC => OD _|_ AK Cách 56 OD cắt BK tại E, AK cắt OD tại M và cắt (O) tại N. Dễ thấy AD = BE ; ACD ~ KIC (g – g) và ABD ~ BKO (g – g). Lần lượt chứng minh: => = 2 + = 2 + = 2 + 1 + = 1 + So sánh cho => AN = 2AM => MA = MN => OD _|_ AK Cách 57 Đường thẳng qua D vuông góc với OD cắt BK tại E, OK cắt BD tại I. Dễ thấy (B, O, D, E) => IOD ~ BOE (g – g) ; IOC ~ OBK (g – g) ; IOB ~ CDA (g – g) => => => =>
12. => AD = EK => ADEK là hình bình hành => DE // AK => AK _|_ OD Cách 58 Đường thẳng qua K vuông góc với AK cắt BD tại E, đường thẳng qua K vuông góc với OK cắt AD tại S. Gọi M là trung điểm của cạnh EK. Dễ thấy tứ giác BDSK là hình bình hành => BD = SK ; SD = BK ; SKE ~ OKA (g – g) và ABD ~ BKO (g – g) => => SE = AD => DE = SD + SE = BK + AD. Dễ thấy AE // OM và AE + BK = 2OM => 2OM = AD + BK + DE = 2AD + 2BK => OM = AD + BK => DE = OM => MEDO là hình bình hành => OD // EK => OD _|_ AK Cách 59 Bài toán phụ: Cho tứ giác ABCD lồi. Nếu SABCD = thì AC _|_ BD. Kí hiệu S là diện tích (Bạn đọc tự chứng minh) Quay trở lại bài toán. Dễ thấy ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB = 2R2 Chứng minh: OD2.AK2 = (AD2 + R2)(BK2 + 4R2) = AD2.BK2 + 4R4 + R2.(BK2 + 4AD2) = 8R4 + R2.(BK2 + 4AD2) = R2.(8R2 + BK2 + 4AD2) = R2.(BK2 + 2.2AD.BK + 4AD2) = R2. (BK + 2AD)2 => OD.AK = R.(BK + 2AD). Dễ thấy = => OD _|_ AK (theo bài toán phụ) Cách 60 AK cắt BC tại M, OK cắt BC tại I. ACD ~ KIB (g – g) và AC // OK => => => DI.DM = CD.BD = AC2 => ACD ~ KIB (c – g – c) và (A, D, O, I) => => OD _|_ AK