80 Bài tập Hình học Lớp 9

44 trang thaodu 9280

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "80 Bài tập Hình học Lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

80_bai_tap_hinh_hoc_lop_9.doc

Nội dung text: 80 Bài tập Hình học Lớp 9

80 BAI TAP HINH HOC LOP 9 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.  CDH = 900 ( Vì AD là Chứng minh rằng: đường cao) 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . =>  CEH +  CDH = 1800 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường A N tròn. 1 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. E 4. H và M đối xứng nhau qua BC. P F 1 2 O 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác H DEF. - 1 ( Lời giải: B D 2 ( C 1. Xét tứ giác CEHD ta có: -  CEH = 900 ( Vì BE là đường cao) M Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE  AC => BEC = 900. CF là đường cao => CF  AB => BFC = 900. Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có:  AEH =  ADC = 900 ; Â là góc chung AE AH => AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD. AD AC * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có:  BEC =  ADC = 900 ; C là góc chung BE BC => BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta có C1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C2 = A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C1 =  C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB  HM => CHM cân tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn => C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C 1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E 1 = E2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 1
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.  CEH = 900 ( Vì BE là đường 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . cao) 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. A 1 3. Chứng minh ED = BC. 2 1 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn O (O). 1 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 2 E Cm. H 3 Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: B 1 D C  CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE  AC => BEA = 900. AD là đường cao => AD  BC => BDA = 900. Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 900 . 1 Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC. 2 4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E1 = A1 (1). 1 Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => E3 = B1 (2) 2 Mà B1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E 1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 0 0 Mà E1 + E2 = BEA = 90 => E2 + E3 = 90 = OED => DE  OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 2
1. Chứng minh AC + BD = CD. Lời giải: 2. Chứng minh COD = 900. y 2 x D AB / 3.Chứng minh AC. BD = . I 4 M 4.Chứng minh OC // BM / C 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn N đường kính CD. 5.Chứng minh MN  AB. A O B 6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. 1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 900. 3. Theo trên COD = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM  CD ( OM là tiếp tuyến ). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM 2 = CM. DM, AB2 Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4 4. Theo trên COD = 900 nên OC  OD .(1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM  OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD). 5. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính. Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB IO // AC , mà AC  AB => IO  AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD CN AC CN CM 6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra BN BD BN DM => MN // BD mà BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 3
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. C2 + I1 = 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 900 (2) ( vì IHC = 3. Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, 900 ). BC = 24 Cm. A Lời giải: (HD) 1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B I 0 1 Do đó BI  BK hayIBK = 90 . 1 0 B 2 C Tương tự ta cũng có ICK = 90 như vậy B và C cùng H nằm trên đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm o trên một đường tròn. K 2. Ta có C1 = C2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH. I1 =  ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) 0 Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 90 hay AC  OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 122 = 16 ( cm) CH 2 122 CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2 HC 2 92 122 225 = 15 (cm) Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Vì K là trung điểm 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên NP nên OK  NP ( một đường tròn . quan hệ đường kính 2 2 d 3. Chứng minh OI.OM = R ; OI. IM = IA . A 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. P K D 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. N H 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường O M thẳng d I Lời giải: C 1. (HS tự làm). B Và dây cung) => OKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R 4
=> OM là trung trực của AB => OM  AB tại I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2. 4. Ta có OB  MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi. 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH  AB; cũng theo trên OM  AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. 1. Chứng minh tam giác BEC cân. E D 2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH). A I 4. Chứng minh BE = BH + DE. 1 Lời giải: (HD) 2 B H C 1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2). Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của BEC => BEC là tam giác cân. => B1 = B2 2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, B 1 = B 2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH và BE  AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I. 4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 4. Biết AN cắt OP tại 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một K, PM cắt ON tại I; đường tròn. PN và OM kéo dài cắt 2. Chứng minh BM // OP. nhau tại J. Chứng 3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại minh I, J, K thẳng N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. hàng. Lời giải: 5
1. (HS tự làm). X N J 2.Ta có  ABM nội tiếp chắn cung AM;  AOM là P 1 góc ở tâm I AOM M chắn cung AM =>  ABM = (1) OP là tia phân 2 K giác  AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) =>  AOP 2 AOM 1 1 = (2) A ( ( B 2 O Từ (1) và (2) =>  ABM =  AOP (3) Mà  ABM và  AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4) 3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : PAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau). 4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON  AB => ON  PJ Ta cũng có PM  OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ. (6) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có PAO = AON = ONP = 900 => K là trung điểm của PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật). (6) AONP là hình chữ nhật => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác APM => APO = MPO (8). Từ (7) và (8) => IPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK  PO. (9) Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng. Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. AEB = 900 ( nội 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. tiếp chắn nửa 3) Chứng minh BAF là tam giác cân. đường tròn ) 4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. => KEF = 900 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một (vì là hai góc kề bù). đường tròn. => KMF + Lời giải: KEF = 1800 . Mà 0 1. Ta có : AMB = 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) KMF và KEF là hai => KMF = 900 (vì là hai góc kề bù). 6
góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp. X I F M H E K 1 2 2 1 A O B 2. Ta có IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB vuông tại A có AM  IB ( theo trên). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí do ) => ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE  AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2). Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B . 4. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3) Từ BE  AF => AF  HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6). Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường). 5. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân. AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7) Tam giác ABI vuông tại A có ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chứng minh  ABD =  DFB. 3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. 7
=> AFB + BAF = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (2) Lời giải: Từ (1) và (2) => 1. C thuộc nửa đường tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn ABD = DFB ( cùng nửa đường tròn ) => BC  AE. phụ với BAD) ABE = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông tại B X E có BC là đường cao => AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao ), mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi. 0 C 2. ADB có ADB = 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ). D F => ABD + BAD = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800)(1) ABF có ABF = 900 ( BF là tiếp tuyến ). A O B 3. Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( Vì là hai góc kề bù) => ECD = ABD ( cùng bù với ACD). Theo trên ABD = DFB => ECD = DFB. Mà EFD + DFB = 180 0 ( Vì là hai góc kề bù) nên suy ra ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD và EFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM SPA = 90 ; AMB = 90 ( nội 3 A H O tiếp chắn nửa đường tròn ) => AMS = 900 . Như vậy P và 0 M cùng nhìn AS dưới một góc bằng 90 nên cùng nằm trên M' 1 đường tròn đường kính AS. S' Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn. 2. Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn nên M’ cũng nằm trên đường tròn => hai cung AM và AM’ có số đo bằng nhau => AMM’ = AM’M ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1) Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’  AB tại H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc với AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (vì so le trong) (2). => Từ (1) và (2) => AS’S = ASS’. 8
Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đ/ tròn => ASP=AMP (nội tiếp cùng chắn AP ) => AS’P = AMP => tam giác PMS’ cân tại P. 3. Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS’ vuông tại M => B1 = S’1 (cùng phụ với S). (3) Tam giác PMS’ cân tại P => S’1 = M1 (4) Tam giác OBM cân tại O ( vì có OM = OB =R) => B1 = M3 (5). Từ (3), (4) và (5) => M 1 = M 3 => M 1 + M 2 = M 3 + M 2 mà M 3 + M 2 = 0 0 AMB = 90 nên suy ra M1 + M2 = PMO = 90 => PM  OM tại M => PM là tiếp tuyến của đường tròn tại M Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh : 1. Tam giác DEF có ba góc nhọn. BD BM 2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4. CB CF => BDFC là hình thang cân do đó Lời giải: BDFC nội tiếp 1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AD = AF => tam được một đường giác ADF cân tại A => ADF = AFD sđ cung DF DEF => AB AC D F DF // BC. O 3. DF // BC => BDFC là hình thang lại có  B = C (vì tam I giác ABC cân) B M E C 4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có  DBM = BCF ( hai góc đáy của tam giác cân). BDM = BFD (nội tiếp cùng chắn cung DI);  CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF . BD BM => BDM  CBF => CB CF Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh : 4. Khi M di chuyển 1. Tứ giác OMNP nội tiếp. trên đoạn thẳng 2. Tứ giác CMPO là hình bình hành. AB thì P chạy 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 9
trên đoạn thẳng cố định nào. C Lời giải: 1. Ta có OMP = 900 ( vì PM  AB ); ONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ). M O Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 900 => M A B và N cùng nằm trên đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp. N 2. Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM =  ONM (nội tiếp chắn cung OM) A' P D B' Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM. Xét hai tam giác OMC và MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM lại có MO là cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo giả thiết Ta có CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành. 3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MOC =DNC = 90 0 lại có C là góc chung => OMC  NDC CM CO => => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi CD CN => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4. ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đường thẳng cố định vuông góc với CD tại D. Vì M chỉ chạy trên đoạn thẳng AB nên P chỉ chạy trên doạn thẳng A’ B’ song song và bằng AB. Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. 1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật. 2. BEFC là tứ giác nội tiếp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn . Lời giải: A 1. Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) E I 0 1 => AEH = 90 (vì là hai góc kề bù). (1) 2 1( F 0 CFH = 90 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) 1 )1 2 0 => AFH = 90 (vì là hai góc kề bù).(2) B O1 H O2 C EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông tại A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông). 10
2. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) . Theo giả thiết AH BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1) và (O2) => B1 = H1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mà AFE + EFC = 1800 (vì là hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC và EFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp. 3. Xét hai tam giác AEF và ACB ta có A = 900 là góc chung; AFE = ABC ( theo Chứng minh trên) AE AF => AEF  ACB => => AE. AB = AF. AC. AC AB * HD cách 2: Tam giác AHB vuông tại H có HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông tại H có HF  AC => AH2 = AF.AC ( ) Từ (*) và ( ) => AE. AB = AF. AC 4. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân tại I => E1 = H1 . O1EH cân tại O1 (vì có O1E vàO1H cùng là bán kính) => E2 = H2. 0 => E1 + E2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHB = 90 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF . Chứng minh tương tự ta cũng có O2F  EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn . Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K). 1. Ta có: BNC= 900( nội tiếp 1.Chứng minh EC = MN. chắn nửa đường tròn tâm K) 2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa E đ/tròn (I), (K). N 3 1 3.Tính MN. H 2 1 4.Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa M đường tròn 1 2 1 Lời giải: A I C O K B => ENC = 900 (vì là hai góc kề bù). (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật ) 11
2. Theo giả thiết EC AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (I) và (K) => B1 = C1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN). Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân tại K => B1 = N1 (5) 0 Từ (4) và (5) => N1 = N3 mà N1 + N2 = CNB = 90 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN  KN tại N => MN là tiếp tuyến của (K) tại N. Chứng minh tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (I) tại M, Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K). 3. Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => AEB vuông tại A có EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm 2 2 2 2 2 2 Ta có S(o) = .OA = 25 = 625 ; S(I) = . IA = .5 = 25 ; S(k) = .KB = . 20 = 400 . 1 Ta có diện tích phần hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn là S = ( S(o) - S(I) - 2 S(k)) 1 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = .200 = 100 314 (cm2) 2 2 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. 1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp . 2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. 5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Lời giải: C C 2 1 1 2 3 O O D 3 E 2 S 1 1 E 2 S M D 2 M 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 F A F A B B H×nh a H×nh b 12
1. Ta có CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => CDB = 900 như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. ABCD là tứ giác nội tiếp => D1= C3( nội tiếp cùng chắn cung AB). ¼ ¼ D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng nhau) => CA là tia phân giác của góc SCB. 3. Xét CMB Ta có BACM; CD  BM; ME  BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy. ¼ ¼ 4. Theo trên Ta có SM EM => D1= D2 => DM là tia phân giác của góc ADE.(1) 5. Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => MEB = 900. Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => A2 = B2 . Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A1= B2( nội tiếp cùng chắn cung CD) => A1= A2 => AM là tia phân giác của góc DAE (2) Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu 2 : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS => C»E C»S S¼M E¼M => SCM = ECM => CA là tia phân giác của góc SCB. Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh : DEC + DAC = 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 1800 mà đây là hai góc 2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp . đối nên ADEC là tứ 3. AC // FG. giác nội tiếp . 4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy. B Lời giải: 1. Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa O E đường tròn ) 1 => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC là góc chung => DEB F 1 G D  CAB . 1 2. Theo trên DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); S A C BAC = 900 ( vì ABC vuông tại A) hay DAC = 900 => * BAC = 90 0 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay BFC = 900 như vậy F và A cùng nhìn BC dưới một góc 13
bằng 900 nên A và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp. 3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà đây là hai góc so le trong nên suy ra AC // FG. 4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S. Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC. 1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH. 3. Chứng minh OH  PQ. Lời giải: Tam giác ACM có MQ là đường 1. Ta có MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC 1 cao => SACM = AC.MQ (gt) 2 0 => AQM = 90 như vậy P và Q cùng nhìn BC dưới A một góc bằng 900 nên P và Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp. * Vì AM là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung điểm của AM. O P 1 2. Tam giác ABC có AH là đường cao => SABC = 2 1 BC.AH. 2 Q Tam giác ABM có MP là đường cao => SABM = B H M C 1 AB.MP 2 1 1 1 Ta có SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ 2 2 2 = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH. 3. Tam giác ABC có AH là đường cao nên cũng là đường phân giác => HAP = HAQ => H»P H¼Q ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc ở tâm) => OH là tia phân giác góc POQ. Mà tam giác POQ cân tại O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đường cao => OH  PQ Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. 1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp . 2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. 14
3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp . Lời giải: KCM cân tại K ( vì KC 1. Ta có : ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) và KM là bán kính) => 0 => MCI = 90 (vì là hai góc kề bù). M1 = C1 . ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) M 0 1 => MDI = 90 (vì là hai góc kề bù). _ 0 => MCI + MDI = 180 mà đây là hai góc đối của tứ giác C 1 K 2 4 3 _ MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp. D 2. Theo trên Ta có BC  MA; AD  MB nên BC và I AD là hai đường cao của tam giác MAB mà BC và AD cắt 1 A B nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác MAB. Theo giả thiết O H thì MH  AB nên MH cũng là đường cao của tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. OAC cân tại O ( vì OA và OC là bán kính) => A1 = C4 0 0 Mà A1 + M1 = 90 ( do tam giác AHM vuông tại H) => C1 + C4 = 90 => C3 + 0 0 C2 = 90 ( vì góc ACM là góc bẹt) hay OCK = 90 . Xét tứ giác KCOH Ta có OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mà OHK và OCK là hai góc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp. Bài 19. Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD. 1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . D 2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. 3. Chứng minh BI // AD. I 1 4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 3 2 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’). A 1 1 / M / O 2 B C Lời giải: O' 1. BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => 0 BID = 90 (vì là hai góc kề bù); DE  AB tại M => 1 0 BMD = 90 E => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp. 2. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE  AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đường kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường . 3. ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD  DC; theo trên BI  DC => BI // AD. (1) 15
4. Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2). Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đường thẳng song song với AD mà thôi.) 5. I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông tại I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm của DE) =>MI = ME => MIE cân tại M => I1 = E1 ; O’IC cân tại O’ ( vì O’C và O’I cùng là bán kính ) => I3 = C1 mà C1 = E1 ( Cùng phụ với góc 0 EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . Mà I3 + I2 = BIC = 90 => I1 0 + I2 = 90 = MIO’ hay MI  O’I tại I => MI là tiếp tuyến của (O’). Bài 20. Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác MDGC nội tiếp . => CGD = 900 (vì là hai góc kề bù) 2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn D 3. Tứ giác ADBE là hình thoi. 1 G 4. B, E, F thẳng hàng M C A B 5. DF, EG, AB đồng quy. O O' 1 2 6. MF = 1/2 DE. 1 3 7. MF là tiếp tuyến của (O’). 1 F Lời giải: E 1. BGC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Theo giả thiết DE  AB tại M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp 2. BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE  AB tại M) như vậy F và M cùng nhìn BD dưới một góc bằng 900 nên F và M cùng nằm trên đường tròn đường kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn . 3. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE  AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đường kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường . 4. ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD  DF ; theo trên tứ giác ADBE là hình thoi => BE // AD mà AD  DF nên suy ra BE  DF . Theo trên BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BF  DF mà qua B chỉ có một đường thẳng vuông góc với DF do đo B, E, F thẳng hàng. 5. Theo trên DF  BE; BM  DE mà DF và BM cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác BDE => EC cũng là đường cao => ECBD; theo trên CGBD => E,C,G thẳng hàng. Vậy DF, EG, AB đồng quy 6. Theo trên DF  BE => DEF vuông tại F có FM là trung tuyến (vì M là trung điểm của DE) suy ra 16
MF = 1/2 DE ( vì trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). 7. (HD) theo trên MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF cân tại M => D1 = F1 O’BF cân tại O’ ( vì O’B và O’F cùng là bán kính ) => F3 = B1 mà B1 = D1 (Cùng 0 phụ với DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 . Mà F3 + F2 = BFC = 90 0 => F1 + F2 = 90 = MFO’ hay MF  O’F tại F => MF là tiếp tuyến của (O’). Bài 21. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. 1. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại => P1 = Q1 mà đây là A. hai góc đồng vị nên suy ra 2. Chứng minh IP // OQ. IP // OQ. 3. Chứng minh rằng AP = PQ. Q 4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất. 1 P Lời giải: 1 1. Ta có OI = OA – IA mà OA và IA lần lượt là các bán kính của 1 A B đ/ tròn (O) và đường tròn (I) . Vậy đ/ tròn (O) và đường tròn (I) I O H tiếp xúc nhau tại A . 2. OAQ cân tại O ( vì OA và OQ cùng là bán kính ) => A1 = Q1 IAP cân tại I ( vì IA và IP cùng là bán kính ) => A1 = P1 3. APO = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => OP  AQ => OP là đường cao của OAQ mà OAQ cân tại O nên OP là đường trung tuyến => AP = PQ. 1 4. (HD) Kẻ QH  AB ta có SAQB = AB.QH. mà AB là đường kính không đổi nên SAQB 2 lớn nhất khi QH lớn nhất. QH lớn nhất khi Q trùng với trung điểm của cung AB. Để Q trùng với trung điểm của cung AB thì P phải là trung điểm của cung AO. Thật vậy P là trung điểm của cung AO => PI  AO mà theo trên PI // QO => QO  AB tại O => Q là trung điểm của cung AB và khi đó H trung với O; OQ lớn nhất nên QH lớn nhất. Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp . 2. BHCD là tứ giác nội tiếp 2. Tính góc CHK. => BDC + BHC = 1800. 3. Chứng minh KC. KD = KH.KB (1) 4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên BHK là góc bẹt nên đường nào? KHC + BHC = 1800 (2). Lời giải: 1. Theo giả thiết ABCD là hình vuông nên BCD = 900; BH  DE tại H nên BHD = 900 => như vậy H và C cùng nhìn BD dưới một góc bằng 900 nên H và C cùng nằm trên đường tròn đường kính BD => BHCD là tứ giác nội tiếp. 17
A B 1 H O E 1 2 ) 1 D C K Từ (1) và (2) => CHK = BDC mà BDC = 450 (vì ABCD là hình vuông) => CHK = 450 . 3. Xét KHC và KDB ta có CHK = BDC = 450 ; K là góc chung KC KH => KHC  KDB => => KC. KD = KH.KB. KB KD 4. (HD) Ta luôn có BHD = 900 và BD cố định nên khi E chuyển động trên cạnh BC cố định thì H chuyển động trên cung BC (E  B thì H  B; E  C thì H  C). Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE. 1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng. 1. Theo giả thiết ABHK 2. Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam là hình vuông => BAH = 450 giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác E vuông cân. M 0 3. Cho biết ABC > 45 ; gọi M là giao điểm của D K BF và ED, Chứng minh 5 điểm B, K, E, M, C F cùng nằm trên một đường tròn. A 4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn H ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải: B O C Tứ giác AEDC là hình vuông => CAD = 450; tam giác ABC vuông ở A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba điểm H, A, D thẳng hàng. 2. Ta có BFC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên tam giác BFC vuông tại F. (1). FBC = FAC ( nội tiếp cùng chắn cung FC) mà theo trên CAD = 450 hay FAC = 450 (2). Từ (1) và (2) suy ra FBC là tam giác vuông cân tại F. 3. Theo trên BFC = 900 => CFM = 900 ( vì là hai góc kề bù); CDM = 900 (t/c hình vuông). => CFM + CDM = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp một đường tròn suy ra CDF = CMF , mà CDF = 450 (vì AEDC là hình vuông) => CMF = 450 hay CMB = 450. 1
Ta cũng có CEB = 450 (vì AEDC là hình vuông); BKC = 450 (vì ABHK là hình vuông). Như vậy K, E, M cùng nhìn BC dưới một góc bằng 450 nên cùng nằm trên cung chứa góc 450 dựng trên BC => 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn. 4. CBM có B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC  BC tại C => MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E. 1. Chứng minh AE = EB. => AEB là tam giác vuông 2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đườngcân tại E => EA = EB. trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH. A 3.Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ D 1 F 2 BDE. O Lời giải: / _H K _ 1 1. AEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 1 / I => AEB = 900 ( vì là hai góc kề bù); Theo giả thiết ABE = B E C 450 2. Gọi K là trung điểm của HE (1) ; I là trung điểm của HB => IK là đường trung bình của tam giác HBE => IK // BE mà AEC = 900 nên BE  HE tại E => IK  HE tại K (2). Từ (1) và (2) => IK là trung trực của HE . Vậy trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH. 3. theo trên I thuộc trung trực của HE => IE = IH mà I là trung điểm của BH => IE = IB.  ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BDH = 90 0 (kề bù ADC) => tam giác BDH vuông tại D có DI là trung tuyến (do I là trung điểm của BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE bán kính ID. Ta có ODC cân tại O (vì OD và OC là bán kính ) => D1 = C1. (3) IBD cân tại I (vì ID và IB là bán kính ) => D2 = B1 . (4) Theo trên ta có CD và AE là hai đường cao của tam giác ABC => H là trực tâm của tam giác ABC => BH cũng là đường cao của tam giác ABC => BH  AC tại F => AEB có AFB = 900 . 0 Theo trên ADC có ADC = 90 => B1 = C1 ( cùng phụ BAC) (5). 0 0 Từ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mà D2 +IDH =BDC = 90 => D1 +IDH = 90 = IDO => OD  ID tại D => OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Bài 25. Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q. 1. Chứng minh tam giác ABC cân. 2. Các tứ giác BIMK, CIMHLời giải: nội tiếp . 3. Chứng minh MI2 = MH.MK. 4. Chứng minh PQ  MI. 19
1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC => ABC Từ (1) và (2) => MKI MI MK cân tại A. MIH => => 2. Theo giả thiết MI  BC => MIB = 900; MK  AB => MKB = MH MI 900. MI2 = MH.MK => MIB + MKB = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK A nội tiếp * ( Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp tương tự tứ giác BIMK ) H K 3. Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => KMI + KBI = 1800; tứ giác M 1 0 1 CHMI nội tiếp => HMI + HCI = 180 . mà KBI = HCI ( vì tam P Q 1 1 2 giác ABC cân tại A) => KMI = HMI (1). B 2 1 C I Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => B1 = I1 ( nội tiếp cùng chắn O cung KM); tứ giác CHMI nội tiếp => H1 = C1 ( nội tiếp cùng chắn ¼ cung IM). Mà B1 = C1 ( = 1/2 sđ BM ) => I1 = H1 (2). 4. Theo trên ta có I1 = C1; cũng chứng minh tương tự ta có I2 = B2 mà C1 + 0 0 0 B2 + BMC = 180 => I1 + I2 + BMC = 180 hay PIQ + PMQ = 180 mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => Q1 = I1 mà I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị bằng nhau) . Theo giả thiết MI BC nên suy ra IM  PQ. Bài 26. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD  AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh : KC AC J 1. 2. AM là tia phân giác của CMD. 3. Tứ giác C / KB AB M K OHCI nội tiếp I _ 4. Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến A B của đường tròn tại M. H O Lời giải: 1. Theo giả thiết M là trung điểm của B»C => M»B M¼C => CAM = BAM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) =>   D KC AC AK là tia phân giác của góc CAB => ( t/c tia phân giác của KB AB tam giác ) 2. (HD) Theo giả thiết CD  AB => A là trung điểm của C»D => CMA = DMA => MA là tia phân giác của góc CMD. 3. (HD) Theo giả thiết M là trung điểm của B»C => OM  BC tại I => OIC = 900 ; CD  AB tại H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác OHCI nội tiếp 4. Kẻ MJ  AC ta có MJ // BC ( vì cùng vuông góc với AC). Theo trên OM  BC => OM  MJ tại J suy ra MJ là tiếp tuyến của đường tròn tại M. 20
Bài 27 Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chứng minh : 1. Tứ giác ABOC nội tiếp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Lời giải: B I I B H M M H O O A A K C C K 1.(HS tự giải) 2. Tứ giác ABOC nội tiếp => BAO =  BCO (nội tiếp cùng chắn cung BO). 3. Theo giả thiết MH  BC => MHC = 900; MK  CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiếp => HCM = HKM (nội tiếp cùng chắn cung HM). Chứng minh tương tự ta có tứ giác MHBI nội tiếp => MHI = MBI (nội tiếp cùng chắn cung IM). Mà HCM = MBI ( = 1/2 sđ B¼M ) => HKM = MHI (1). Chứng minh tương tự ta cũng có KHM = HIM (2). Từ (1) và (2) => HIM  KHM. MI MH 4. Theo trên HIM  KHM => => MI.MK = MH2 MH MK Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC. 1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành. A 2. E, F nằm trên đường tròn (O). 3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân. = B' O 4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm C' H G của tam giác ABC. = / Lời giải: B / / C A' I / 1. Theo giả thiết F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC => I là trung điểm BC và HE => BHCF là hình bình hành vì có hai E F đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường . 2. (HD) Tứ giác AB’HC’ nội tiếp => BAC + B’HC’ = 1800 mà BHC = B’HC’ (đối đỉnh) => BAC + BHC = 1800. Theo trên BHCF là hình bình hành => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 => Tứ giác ABFC nội tiếp => F thuộc (O). 21
* H và E đối xứng nhau qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC =>  BEC + BAC = 1800 => ABEC nội tiếp => E thuộc (O) . 3. Ta có H và E đối xứng nhau qua BC => BC  HE (1) và IH = IE mà I là trung điểm của của HF => EI = 1/2 HE => tam giác HEF vuông tại E hay FE  HE (2) Từ (1) và (2) => EF // BC => BEFC là hình thang. (3) Theo trên E (O) => CBE = CAE ( nội tiếp cùng chắn cung CE) (4). Theo trên F (O) và FEA =90 0 => AF là đường kính của (O) => ACF = 90 0 => BCF = CAE ( vì cùng phụ ACB) (5). Từ (4) và (5) => BCF = CBE (6). Từ (3) và (6) => tứ giác BEFC là hình thang cân. 4. Theo trên AF là đường kính của (O) => O là trung điểm của AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm của HF => OI là đường trung bình của tam giác AHF => OI = 1/ 2 AH. Theo giả thiết I là trung điểm của BC => OI  BC ( Quan hệ đường kính và dây cung) => OIG = HAG (vì so le trong); lại có OGI =  HGA (đối đỉnh) => OGI  GI OI 1 HGA => mà OI = AH GA HA 2 GI 1 => mà AI là trung tuyến của ∆ ABC (do I là trung điểm của BC) => G là trọng GA 2 tâm của ∆ ABC. Bài 29 BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. 1. Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.là trung điểm của HK => OK 2. Gọi A’ là trung điểm của BC, Chứng minh AH = 2OA’. là đường trung bình của 3. Gọi A1 là trung điểm của EF, Chứng minh R.AA1 = AA’. AHK => AH = 2OA’ OA’. A 4. Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vị trí của A để = E tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất. A1 O F H Lời giải: (HD) = / 1. Tứ giác BFEC nội tiếp => AEF = ACB (cùng bù BFE) B / / D A' / C AEF = ABC (cùng bù CEF) => AEF  ABC. 2. Vẽ đường kính AK => KB // CH ( cùng vuông góc AB); KC K // BH (cùng vuông góc AC) => BHKC là hình bình hành => A’ 3. Áp dụng tính chất : nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa hia trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng. ta có : 22
R AA' AEF  ABC => (1) trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC; R ' AA1 R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF; AA’ là trung tuyến của ABC; AA1 là trung tuyến của AEF. Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đây cũng là đường tròn ngoại tiếp AEF AH 2A'O Từ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 2 2 Vậy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 4. Gọi B’, C’lần lượt là trung điểm của AC, AB, ta có OB’AC ; OC’AB (bán kính đi qua trung điểm của một dây không qua tâm) => OA’, OB’, OC’ lần lượt là các đường cao của các tam giác OBC, OCA, OAB. 1 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB ) 2 2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3) AA AA Theo (2) => OA’ = R . 1 mà 1 là tỉ số giữa 2 trung tuyến của hai tam giác đồng AA' AA' AA EF FD ED dạng AEF và ABC nên 1 = . Tương tự ta có : OB’ = R . ; OC’ = R . AA' BC AC AB Thay vào (3) ta được EF FD ED 2SABC = R (.BC .AC .AB )  2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mà R không đổi nên (EF + FD + DE) đạt gí trị lớn nhất khi SABC. 1 Ta có SABC = AD.BC do BC không đổi nên SABC lớn nhất khi AD lớn nhất, mà AD 2 lớn nhất khi A là điểm chính giỡa của cung lớn BC. Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ đường cao AH và bán kính OA. 1. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH. A 2. Giả sử B > C. Chứng minh OAH = B - C. D 3. Cho BAC = 600 và OAH = 200. Tính: a)B và C của tam giác ABC. b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ O BC theo R Lời giải: (HD) B H C 1. AM là phân giác của BAC => BAM = CAM => ¼ ¼ BM CM => M là trung điểm của cung BC => OM  BC; Theo M giả thiết AH  BC => OM // AH => HAM = OMA ( so le). Mà OMA = OAM ( vì tam giác OAM cân tại O do có OM = OA = R) => HAM = OAM => AM là tia phân giác của góc OAH. 23
2. Vẽ dây BD  OA => »AB »AD => ABD = ACB. Ta có OAH =  DBC ( góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn) => OAH = ABC - ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C. 3. a) Theo giả thiết BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trên B C = OAH => B - C = 200 . B C 1200 B 700 => 0 0 B C 20 C 50 .R2.1202 1 R .R2 R2. 3 R2.(4 3 3) b) Svp = SqBOC - SVBOC = R. 3. = 3600 2 2 3 4 12 Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết BAC = 600. 1. Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R. 2. CD là đường kính => 2. Vẽ đường kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba DBC = 900 hay DB  BC; đường cao của tam giác ABC Chứng minh BD // AH và AD //theo giả thiết AH là BH. A 3. Tính AH theo R. D Lời giải: 1. Theo giả thiết BAC = 600 => sđ B»C =1200 ( t/c góc nội tiếp ) H O => BOC = 1200 ( t/c góc ở tâm) . » 0 * Theo trên sđ BC =120 => BC là cạnh của một tam giác đều nội B M C tiếp (O; R) => BC = R3 . đường cao => AH  BC => BD // AH. Chứng minh tương tự ta cũng được AD // BH. 3. Theo trên DBC = 900 => DBC vuông tại B có BC = R3 ; CD = 2R. => BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R3 )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R. Theo trên BD // AH; AD // BH => BDAH là hình bình hành => AH = BD => AH = R. Bài 32 Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB. 1. Chứng minh khi MN di động , trung điểm I của MN luôn N nằm trên một đường tròn cố định. K D 2. Từ A kẻ Ax  MN, tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác C I CMBN là hình bình hành. H A B 3. Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN. O 4. Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào. M 5. Cho AM. AN = 3R2 , AN = R3 . Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN. Lời giải: (HD) 1. I là trung điểm của MN => OI  MN tại I ( quan hệ đường kính và dây cung) = > OIH = 900 . OH cố địmh nên khi MN di động thì I cũng di động nhưng luôn nhìn OH cố định dưới một góc 900 do đó I di động trên đường tròn đường kính OH. Vậy khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn cố định. 24
2. Theo giả thiết Ax  MN; theo trên OI  MN tại I => OI // Ax hay OI // AC mà O là trung điểm của AB => I là trung điểm của BC, lại có I là trung điểm của MN (gt) => CMBN là hình bình hành ( Vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ). 3. CMBN là hình bình hành => MC // BN mà BN  AN ( vì ANB = 900 do là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MC  AN; theo trên AC  MN => C là trực tâm của tam giác AMN. 4. Ta có H là trung điểm của OB; I là trung điểm của BC => IH là đường tung bình của OBC => IH // OC Theo giả thiết Ax  MN hay IH  Ax => OC  Ax tại C => OCA = 900 => C thuộc đường tròn đường kính OA cố định. Vậy khi MN quay quanh H thì C di động trên đường tròn đường kính OA cố định. 5. Ta có AM. AN = 3R2 , AN = R3 . => AM =AN = R3 => AMN cân tại A. (1) Xét ABN vuông tại N ta có AB = 2R; AN = R3 => BN = R => ABN = 600 . ABN = AMN (nội tiếp cùng chắn cung AN) => AMN = 600 (2). 3R2 3 Từ (1) và (2) => AMN là tam giác đều => S AMN = . 4 2 2 2 3R 3 R (4 3 3 => S = S(O) - S AMN = R - = 4 4 Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M. MC MI 1. Chứng minh OM  BC. => MCI  MAC => 2. Chứng minh MC2 = MI.MA. MA MC 3. Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc => MC2 = MI.MA. ( B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. 1 P Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc N một đường tròn . A 2 Lời giải: Q 1 1. AM là phân giác của BAC => BAM = 1 O CAM K ¼ ¼ 1 2 => BM CM => M là trung điểm của cung BC => 2 1 ( B I C OM  BC 2. Xét MCI và MAC có MCI =MAC (hai góc M nội tiếp chắn hai cung bằng nhau); M là góc chung 0 0 3. (HD) MAN = 90 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => P1 = 90 – K1 mà K1 là A B góc ngoài của tam giác AKB nên K1 = A1 + B1 = (t/c phân giác của một 2 2 0 A B góc ) => P1 = 90 – ( ).(1) 2 2 25
C 1 0 0 CQ là tia phân giác của góc ACB => C1 = = (180 - A - B) = 90 – 2 2 A B ( ). (2). 2 2 Từ (1) và (2) => P1 = C1 hay QPB = QCB mà P và C nằm cùng về một nửa mặt A B phẳng bờ BQ nên cùng nằm trên cung chứa góc 900 – ( ) dựng trên BQ. 2 2 Vậy bốn điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đường tròn . Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiều cao AH = 4 Cm, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AA’. 1. Tính bán kính của đường tròn (O). A 2. Kẻ đường kính CC’, tứ giác CAC’A’ là hình gì? Tại sao? 1 2 3. Kẻ AK  CC’ tứ giác AKHC là hình gì? Tại sao? C' 4. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác K 1 O ABC. 1 2 B 1 C Lời giải: H 1. (HD) Vì ABC cân tại A nên đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH xuất phát từ đỉnh A trùng nhau, tức là AA’đi qua H. => ACA’ vuông tại C có đường A' BC 6 cao CH = = 3cm; AH = 4cm => CH2 = AH.A’H 2 2 CH 2 32 9 => A’H = 2,5 => AA’ AH 4 4 => AA’ = AH + HA’ = 4 + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) . 2. Vì AA’ và CC’ là hai đường kính nên cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường => ACA’C’ là hình bình hành. Lại có ACA’ = 90 0 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên suy ra tứ giác ACA’C’ là hình chữ nhật. 3. Theo giả thiết AH  BC; AK  CC’ => K và H cùng nhìn AC dưới một góc bằng 90 0 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính AC hay tứ giác ACHK nội tiếp (1) => C 2 = H1 (nội tiếp cung chắn cung AK) ; AOC cân tại O ( vì OA=OC=R) => C 2 = A2 => A2 = H1 => HK // AC ( vì có hai góc so le trong bằng nhau) => tứ giác ACHK là hình thang (2).Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ACHK là hình thang cân. Bài 35 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. 1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . 1. Theo giả thiết MN AB tại I 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.=> EIB = 900;  ACB nội 3. Chứng minh AM2 = AE.AC. tiếp chắn nửa đường tròn 4. Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 . nên ACB = 900 hay ECB 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm= 900 đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. => EIB + ECB = 1800 mà Lời giải: đây là hai góc đối của tứ giác 26
IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp . M O 1 C E A I O B N 2. Theo giả thiết MN AB => A là trung điểm của cung MN => AMN = ACM ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay AME = ACM. Lại thấy CAM là góc chung của hai tam giác AME và AMC do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. AM AE 3. Theo trên AME  ACM => => AM2 = AE.AC AC AM 4. AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ); MN AB tại I => AMB vuông tại M có MI là đường cao => MI2 = AI.BI ( hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) . Áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIM vuông tại I ta có AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI . 5. Theo trên AMN = ACM => AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ECM; 0 Nối MB ta có AMB = 90 , do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp ECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM => NO1 BM. Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O 1 là tâm đường tròn ngoại tiếp ECM có bán kính là O1M. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn tâm O 1 bán kính O1M với đường tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM. Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh : 1. Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật. Từ (1) và (2) => HNP  HCB 2. Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp . 3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng. A 4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng. E Lời giải: 1. & 2. (HS tự làm) F H 3. Theo chứng minh trên DNHP nội tiếp => N = D (nội tiếp P Q 2 4 1 1 cùng chắn cung HP); HDC có HDC = 900 (do AH là đường N 2 M 1 0 cao) HDP có HPD = 90 (do DP  HC) => C1= D4 (cùng 3 4 1 1 1 phụ với DHC)=>C1=N2 (1) chứng minh tương tự ta có B D C B1=P1 (2) 4. Theo chứng minh trên DNMB nội tiếp => N1 = D1 (nội tiếp cùng chắn cung BM).(3) DM // CF ( cùng vuông góc với AB) => C1= D1 ( hai góc đồng vị).(4) Theo chứng minh trên C1 = N2 (5) 27
Từ (3), (4), (5) => N1 = N2 mà B, N, H thẳng hàng => M, N, P thẳng hàng. (6) Chứng minh tương tự ta cung có N, P, Q thẳng hàng . (7) Từ (6), (7) => Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng Bài 37 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O), C (O’) . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. 1. Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp . B I 2. Chứng minh  BAC = 900 . C 3. Tính số đo góc OIO’. 9 4 4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm. O A O' Lời giải: 1. ( HS tự làm) 2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IB = IA , IA = IC ABC có AI = 1 BC => ABC vuông tại A hay 2 BAC =900 3. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO là tia phân giác BIA; I0’là tia phân giác CIA . mà hai góc BIA và CIA là hai góc kề bù => I0  I0’=> 0I0’= 900 4. Theo trên ta có 0I0’ vuông tại I có IA là đường cao (do AI là tiếp tuyến chung nên AI OO’) => IA2 = A0.A0’ = 9. 4 = 36 => IA = 6 => BC = 2. IA = 2. 6 = 12(cm) Bài 38 Cho hai đường tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B (O), C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh : 1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp . B M 1 C 2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. 2 3 4 3. ME.MO = MF.MO’. E F 4. OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. O A O' 5. BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’. Lời giải: 1. ( HS tự làm) 2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MA = MB => MAB cân tại M. Lại có ME là tia phân giác => ME  AB (1). Chứng minh tương tự ta cũng có MF  AC (2). 28
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có MO và MO’ là tia phân giác của hai góc kề bù BMA và CMA => MO  MO’ (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác MEAF là hình chữ nhật 3. Theo giả thiết AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn => MA  OO’=> MAO vuông tại A có AE  MO ( theo trên ME  AB) MA2 = ME. MO (4) Tương tự ta có tam giác vuông MAO’ có AFMO’ MA2 = MF.MO’ (5) Từ (4) và (5) ME.MO = MF. MO’ 4. Đường tròn đường kính BC có tâm là M vì theo trên MB = MC = MA, đường tròn này đi qua Avà co MA là bán kính . Theo trên OO’  MA tại A OO’ là tiếp tuyến tại A của đường tròn đường kính BC. 5. (HD) Gọi I là trung điểm của OO’ ta có IM là đường trung bình của hình thang BCO’O => IMBC tại M (*) .Ta cung chứng minh được OMO’ vuông nên M thuộc đường tròn đường kính OO’ => IM là bán kính đường tròn đường kính OO’ ( ) Từ (*) và ( ) => BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ Bài 39 Cho đường tròn (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 1. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K). 2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?. => AFH = 900 (vì là hai 3. Chứng minh AE. AB = AF. AC. góc kề bù).(2) 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn A (I) và (K). F 5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất. G E 1 2 Lời giải: 1 B 2 C 1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiếp xúc (O) I H O K OK = OC – KC => (K) tiếp xúc (O) IK = IH + KH => (I) tiếp xúc (K) 2. Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) D => AEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) BAC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn hay EAF = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông). 3. Theo giả thiết ADBC tại H nên AHB vuông tại H có HE  AB ( BEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông tại H có HF  AC (theo trên CFH = 900 ) => AH2 = AF.AC ( ) Từ (*) và ( ) => AE. AB = AF. AC ( = AH2) 4. Theo chứng minh trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật, gọi G là giao điểm của hai đường chéo AH và EF ta có GF = GH (tính chất đường chéo hình chữ nhật) => GFH cân tại G => F1 = H1 . 29
KFH cân tại K (vì có KF và KH cùng là bán kính) => F2 = H2. 0 0 => F1 + F2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHC = 90 => F1 + F2 = KFE = 90 => KF EF . Chứng minh tương tự ta cũng có IE  EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). e) Theo chứng minh trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật => EF = AH OA (OA là bán kính đường tròn (O) có độ dài không đổi) nên EF = OA AH = OA H trùng với O. Vậy khi H trùng với O túc là dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất. Bài 40 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N. y 1. Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác x N APB. / 2. Chứng minh AM. BN = R2. P / S R M 3. Tính tỉ số MON khi AM = . S APB 2 4. Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra. A O B Lời giải: 1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OM là tia phân giác của góc AOP ; ON là tia phân giác của góc BOP, mà AOP và BOP là hai góc kề bù => MON = 900. hay tam giác MON vuông tại O. APB = 900((nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay tam giác APB vuông tại P. Theo tính chất tiếp tuyến ta có NB  OB => OBN = 900; NP  OP => OPN = 900 =>OBN+OPN =1800 mà OBN và OPN là hai góc đối => tứ giác OBNP nội tiếp =>OBP = PNO Xét hai tam giác vuông APB và MON có APB =  MON = 900; OBP = PNO => APB  MON 2. Theo trên MON vuông tại O có OP  MN ( OP là tiếp tuyến ). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OP2 = PM. PM Mà OP = R; AM = PM; BN = NP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) => AM. BN = R2 3. Theo trên OP2 = PM. PM hay PM. PM = R2 mà PM = AM = R => PM = R => PN = R2: 2 2 R = 2R 2 R 5R MN 5R 5 => MN = MP + NP = + 2R = Theo trên APB  MON => = : 2R = 2 2 AB 2 4 = k (k là tỉ số đồng dạng).Vì tỉ số diện tich giữa hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên ta có: 2 S MON 2 S MON 5 25 = k => = S APB S APB 4 16 30
Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho  DOE = 600 . 1)Chứng minh tích BD. CE không đổi. A 2)Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE K E 3)Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh D rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE. Lời giải: H 0 1. Tam giác ABC đều => ABC =  ACB = 60 B C O (1);  DOE = 600 (gt) =>DOB + EOC = 1200 (2). DBO có DOB = 600 => BDO + BOD = 1200 (3) . Từ (2) và (3) => BDO =  COE (4) BD BO Từ (2) và (4) => BOD  CEO => => BD.CE CO CE = BO.CO mà OB = OC = R không đổi => BD.CE = R2 không đổi. BD OD BD OD BD BO 2. Theo trên BOD  CEO => mà CO = BO => (5) CO OE BO OE OD OE Lại có DBO = DOE = 600 (6). Từ (5) và (6) => DBO  DOE => BDO = ODE => DO là tia phân giác  BDE. 3. Theo trên DO là tia phân giác  BDE => O cách đều DB và DE => O là tâm đường tròn tiếp xúc với DB và DE. Vậy đường tròn tâm O tiếp xúc với AB luôn tiếp xúc với DE Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lượt cắt AC, AB ở D và E. Chứng minh : 1. BD2 = AD.CD. A 2. Tứ giác BCDE nội tiếp . 3. BC song song với DE. O Lời giải: 1. Xét hai tam giác BCD và ABD ta có CBD = BAD B C ( Vì là góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với một dây cùng chắn một cung), lại có D chung => BCD  BD CD ABD => => BD2 = AD.CD. E D AD BD 2. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A => ABC = ACB => EBC = DCB mà CBD = BCD (góc giữa tiếp tuyến với một dây cùng chắn một cung) => EBD = DCE => B và C nhìn DE dưới cùng 31
một góc do đó B và C cùng nằm trên cung tròn dựng trên DE => Tứ giác BCDE nội tiếp 3. Tứ giác BCDE nội tiếp => BCE = BDE ( nội tiếp cùng chắn cung BE) mà BCE = CBD (theo trên ) => CBD = BDE mà đây là hai góc so le trong nên suy ra BC // DE. Bài 43 Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. 1. Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp . N 2. Chứng minh NE  AB. F _ 3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến / M / C của (O). _ 4. Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). E B Lời giải: 1. (HS tự làm) A O H 2. (HD) Dễ thấy E là trực tâm của tam giác NAB => NE  AB. 3.Theo giả thiết A và N đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm của AN; F và E xứng nhau qua M nên M là trung điểm của EF => AENF là hình bình hành => FA // NE mà NE  AB => FA  AB tại A => FA là tiếp tuyến của (O) tại A. 4. Theo trên tứ giác AENF là hình bình hành => FN // AE hay FN // AC mà AC  BN => FN  BN tại N BAN có BM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ( do M là trung điểm của AN) nên BAN cân tại B => BA = BN => BN là bán kính của đường tròn (B; BA) => FN là tiếp tuyến tại N của (B; BA). Bài 44 AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R ( B, C là tiếp điểm ). Vẽ CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D. 1. Chứng minh CO = CD. B 2. Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi. H I 3. Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng E O minh I là trung điểm của OH. A D M 4. Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba K điểm O, M, K thẳng hàng. C Lời giải: 1. Theo giả thiết AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O => OA là tia phân giác của BOC => BOA = COA (1) OB  AB ( AB là tiếp tuyến ); CH  AB (gt) => OB // CH => BOA = CDO (2) Từ (1) và (2) => COD cân tại C => CO = CD.(3) 2. theo trên ta có CO = CD mà CO = BO (= R) => CD = BO (4) lại có OB // CH hay OB // CD (5) 32
Từ (4) và (5) => BOCD là hình bình hành (6) . Từ (6) và (3) => BOCD là hình thoi. 3. M là trung điểm của CE => OM  CE ( quan hệ đường kính và dây cung) => OMH = 900. theo trên ta cũng có OBH =900; BHM =900 => tứ giác OBHM là hình chữ nhật => I là trung điểm của OH. 4. M là trung điểm của CE; KE và KC là hai tiếp tuyến => O, M, K thẳng hàng. Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F. 1. Chứng minh BC // AE. A E 1 2 2. Chứng minh ABCE là hình bình hành. _ 2 3. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI. K O 1 D F _ I _ So sánh BAC và BGO. _ 1 B Lời giải: 1. (HS tự làm) H C G 2).Xét hai tam giác ADE và CDB ta có EAD = BCD (vì so le trong ) AD = CD (gt); ADE = CDB (đối đỉnh) => ADE = CDB => AE = CB (1) Theo trên AE // CB (2) .Từ (1) và (2) => AECB là hình bình hành. . 3) I là trung điểm của CF => OI  CF (quan hệ đường kính và dây cung). Theo trên AECB là hình bình hành => AB // EC => OI  AB tại K, => BKG vuông tại K. Ta cung có BHA vuông tại H 1 => BGK = BAH ( cung phụ với ABH) mà BAH = BAC (do ABC cân nên 2 AH là phân giác) => BAC = 2BGO. Bài 46: Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B là tiếp điểm). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (C A). Đoạn PC cắt đường tròn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E. a. Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD. b. Chứng minh AE là trung tuyến của ∆PAB. B HD: a) ∆EAB ~ ∆EBD (g.g) vì: B·EA chung E · · EAB = EBD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến ) O EB ED P EB2 = EA.ED (1) D EA EB C * E·PD = P·CA (s.l.t) ; E·AP = P·CA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến ) A E·PD = E·AP ; P·EA chung ∆EPD ~ ∆EAP (g.g) EP ED EP2 = EA.ED (2)Từ 1 & 2 EB2 = EP2 EB = EP AE là trung EA EP tuyến ∆ PAB. Bài 47: Cho ∆ABC vuông ở A. Lấy trên cạnh AC một điểm D. Dựng CE vuông góc BD. a. Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD. b. Chứng minh tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp. c. Chứng minh FD vuông góc BC, trong đó F là giao điểm của BA và CE. 33
d. Cho A·BC = 600; BC = 2a; AD = a. Tính AC; đường cao AH của ∆ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. C HD: a) ∆ABD ~ ∆ECD (g.g) 0 E b) tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp (Quĩ tích cung chứa góc 90 ) K c) Chứng minh D là trực tâm ∆ CBF. D 2a 3 d) AC = BC.sinA·BC = 2a.sin600 = 2a . = a 3 2 a H 1 600 AB = BC.cosA·BC = 2a.cos600 = 2a. = a 2 F A B 3 AH = AB.sinA·BC = a.sin600 = a ; ∆ FKB vuông tại K , có A·BC = 60 0 B·FK = 2 300 AD = FD.sinB·FK AD = FD.sin300 a = FD.0,5 FD = a : 0,5 = 2a. Bài 48: Cho ∆ABC vuông ( A·BC = 900; BC > BA) nội tiếp trong đường tròn đưòng kính AC. Kẻ dây cung BD vuông góc AC. H là giao điểm AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường tròn đường kính EC cắt BC tại I (I B C). CI CE a. Chứng minh CB CA b. Chứng minh D; E; I thẳng hàng. I c. Chứng minh HI là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC. H HD; a) AB // EI (cùng  BC) A C CI CE O E O’ (đ/lí Ta-lét) CB CA b) chứng minh ABED là hình thoi DE // AB mà EI //AB D, E, I cùng nằm trên đường thẳng đi qua E // AB D, E, I thẳng hàng. D · · c) EIO' = IEO' ( vì ∆ EO’I cân ; O’I = O’E = R(O’)) I·EO' = H· ED (đ/đ) ; ∆BID vuông ; IH là trung tuyến ∆HID cân H· IE = H· DI Mà H· DI + H· ED = 900 đpcm. Bài 49: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH (d) (H d). M là một điểm thay đổi trên (d) (M H). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dây cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K. a. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn. b. Chứng minh IH.IO = IQ.IP P c. Giả sử P·MQ = 600. Tính tỉ số diện tích 2 tam giác: ∆MPQvà ∆OPQ. HD: a) 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn K O (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 900) M IO IQ I b) ∆ OIP ~ ∆ QIH (g.g) IH.IO = IQ.IP IP IH Q 34
PQ PQ 3 c) ∆v MKQ có : MK = KQ.tgM· QK = KQ.tg600 = 3 . 2 2 H 3 PQ 3 PQ 3 ∆v OKQ có: OK = KQ.tgO·QK = KQ.tg300 = KQ. . 3 2 3 6 S PQ 3 PQ 3 MPQ = : = 3 SOPQ 2 6 Bài 50: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (E A). Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D. a. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn. DM CM b. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy ra . DE CE D c. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD. 1 d. Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO. M e. Đặt A·OC = α. Tính theo R và α các đoạn AC và BD. C Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc giá trị của R, N không phụ thuộc vào α. 2 3 1 4 HD:a) ACMO nội tiếp (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 900) A O B b) AC // BD (cùng  EB) ∆EAC ~ ∆EBD E CE AC CE CM (1)mà AC = CM ; BD = MD (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) DE BD DE DM DM CM (2) DE CE NC AC NC CM c) AC // BD (cmt) ∆NAC ~ ∆NBD (3) .Từ 1; 2; 3 MN // BD NB BD NB DM ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 0 ¶ ¶ 0 ¶ ¶ 0 d) O1 = O2 ; O3 = O4 mà O1 + O2 + O3 + O4 = 180 O2 + O3 = 90 ; O4 + D1 = 90 ( ) OB R ¶D = ¶O = ¶O = α . Vậy: DB = = ; Lại có: AC = OA.tgα = R.tgα AC.DB = 1 2 1 tg tg R.tgα. R tg AC.DB = R2 (Đpcm) Bài 51: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AA1; BB1; CC1. a. Chứng minh tứ giác HA1BC1 nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn ấy. · b. Chứng minh A1A là phân giác của B1A1C1 . c. Gọi J là trung điểm của AC. Chứng minh IJ là trung trực của A1AC1. MH 1 d. Trên đoạn HC lấy 1 điểm M sao cho . MC 3 B1 35
So sánh diện tích của 2 tam giác: ∆HAC và ∆HJM. 0 C1 HD: a) HA1BC1 nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 90 ) J Tâm I là trung điểm BH. H b) C/m: ·HA C = ·HBC ; ·HA B = ·HCB ; 1 1 1 1 1 1 M ·HBC = ·HCB ·HA C = ·HA B đpcm. K 1 1 1 1 1 1 I 12 c) IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2 ỊJ là trung trực của A1C1. B A1 C 1 1 d) S HJM = HM.JK ; SHAC = HC.AC1 2 2 HC.AC1 MH 1 HC HM+MC MC AC1 SHAC : S HJM = mà 1 1 3 4 ; 2 (JK// HM.JK MC 3 HM HM HM JK AC1 SHAC : S HJM = 8 Bài 52: Cho điểm C cố định trên một đường thẳng xy. Dựng nửa đường thẳng Cz vuông góc với xy và lấy trên đó 2 điểm cố định A, B (A ở giữa C và B). M là một điểm di động trên xy. Đường vuông góc với AM tại A và với BM tại B cắt nhau tại P. a. Chứng minh tứ giác MABP nội tiếp được và tâm O của đường tròn này nằm trên một đường thẳng cố định đi qua điểm giữa L của AB. b. Kẻ PI  Cz. Chứng minh I là một điểm cố định. c. BM và AP cắt nhau ở H; BP và AM cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KH  PM. d. Cho N là trung điểm của KH. Chứng minh các điểm N; L; O thẳng hàng. HD: a) MABP nội tiếp đ/tròn đ/k MP.(quĩ tích cung chứa góc 900 )z P OA = OB = R(O) O thuộc đường trung trực AB đi qua L I là trung điểm AB b) IP // CM ( Cz) MPIC là hình thang. IL = LC không đổiB H vì A,B,C cố định. I cố định. c) PA  KM ; PK  MB H là trực tâm ∆ PKM N O L KH  PM K d) AHBK nội tiếp đ/tròn đ/k KH (quĩ tích cung chứa góc ) N là tâm đ/tròn ngoại tiếp NE = NA = R(N) A N thuộc đường trung trực AB O,L,N thẳng hàng. x C M y Bài 53: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM. a. So sánh hai tam giác: ∆AKN và ∆BKM. b. Chứng minh: ∆KMN vuông cân. c. Tứ giác ANKP là hình gì? Vì sao? HD: a) ∆ AKN = ∆ BKM(c.g.c) U K 36
b) HS tự c/m. ∆ KMN vuông cân. c) ∆ KMN vuông KN KM mà KM // BP KN  BP P A· PB = 900 (góc nội tiếp ) AP  BP M KN // AP ( BP) · · 0 KM // BP KMN PAT 45 T = P¼KM // N Mà P·AM P·KU 450 2 A O B P·KN 450 ; K·NM 450 PK // AN . Vậy ANPK là hình bình hành. Bài 54: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. M là một điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC. Nối MB, cắt CD ở N. a. Chứng minh: tia MD là phân giác của góc AMB. b. Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA. Chứng minh: BM.BN không đổi. c. Chứng minh: tứ giác ONMA nội tiếp. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ONMA, I di động như thế nào? C HD: a) A·MD D·MB 450 (chắn cung ¼ đ/tròn) MD là tia phân giác A·MB M F b) ∆ OMB cân vì OM = OB = R(O) N ∆ NAB cân có NO vừa là đ/cao vừa là đường trung tuyến. I ∆ OMB ~ ∆ NAB A B BM BO E O BM.BN = BO.BA = 2R2 không đổi. BA BN c) ONMA nội tiếp đ/tròn đ/k AN. Gọi I là tâm đ/tròn ngoại tiếp I cách đều A và O cố định I thuộc đường trung trực OA Gọi E và F là trung điểm của AO; AC D Vì M chạy trên cung nhỏ AC nên tập hợp I là đoạn EF Bài 55: Cho ∆ABC cân (AB = AC) nội tiếp một đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tia BD cắt tiếp tuyến tại A với đường tròn (O) tại điểm E; EC cắt (O) tại F. a. Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. b. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao? c. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC; OI. So sánh B·GO với B·AC . d. Cho biết DF // BC. Tính cosA·BC . A E HD:a) Gọi H là trung điểm BC AH BC (∆ ABC cân tại A) lập luận chỉ ra AH AE BC // AE. (1) b) ∆ ADE = ∆ CDB (g.c.g) AE = BC (2) N M D Từ 1 và 2 ABCE là hình bình hành. F O _ c) Theo c.m.t AB // CF GO AB. I 1 _ B·GO = 900 – A·BC = B·AH = B·AC 2 B H C G 37
d) Tia FD cắt AB taijM, cắt (O) tại N.; DF // BC và AH là trục đối xứng cuarBC và đ/tròn (O) nên F, D thứ tự đối xứng với N, M qua AH. 1 1 FD = MN = MD = BC = ND = BH ; ∆ NDA ~ ∆ CDF (g.g) DF.DN = DA.DC 2 2 1 2 BH 2 2BH2 = AC2 BH = AC cos A·BC = = . 4 4 AB 4 Bài 56: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO; AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C; D và cắt (O’) lần lượt tại E;E F. a. Chứng minh: C; B; F thẳng hàng. b. Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp được. D c. Chứng minh: A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE. A d. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). · 0 · HD: a) CBA = 90 = FBA (góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn) O O’ C·BA + F·BA = 1800 C, B, F thẳng hàng. b) C·DF = 900 = C· EF CDEF nội tiếp (quĩ tích ) F C B c) CDEF nội tiếp A·DE = E·CB (cùng chắn cung EF) Xét (O) có: A·DB = E·CB (cùng chắn cung AB) A·DE = A·DB DA là tia phân giác B·DE . Tương tự EA là tia phân giác D· EB Vậy A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE d) ODEO’ nội tiếp. Thực vậy : D·OA = 2D·CA ; E·O'A = 2E·FA mà D·CA = E·FA (góc nội tiếp chắn cung DE) D·OA = E·O'A ; mặt khác: D·AO = E·AO' (đ/đ) O·DO ' = O·'EO ODEO’ nội tiếp. Nếu DE tiếp xúc với (O) và (O’) thì ODEO’ là hình chữ nhật AO = AO’ = AB. Đảo lại : AO = AO’ = AB cũng kết luận được DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) Kết luận : Điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) là : AO = AO’ = AB. Bài 57: Cho đường tròn (O; R) có 2 đường kính cố định AB  CD. a) Chứng minh: ACBD là hình vuông. b). Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (E B; E C). Trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. Chứng tỏ: ED là tia phân giác của A· EB và ED // MB. c). Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R. HD: a) AB  CD. ; OA = OB = OC = OD = R(O) C ACBD là hình vuông. M E 1 1 // b) A· ED = A·OD = 450 ; D· EB = D·OB = 450 2 2 = · · · AED = DEB ED là tia phân giác của AEB . A B A· ED = 450 ; E·MB = 450 (∆ EMB vuông cân tại E) O A· ED = E·MB (2 góc đồng vị) ED // MB. c) ∆ EMB vuông cân tại E và CE  DE ; ED // BM 38 D
CE  BM CE là đường trung trực BM. d) Vì CE là đường trung trực BM nên CM = CB = R 2 Vậy M chạy trên đường tròn (C ; R’ = R2 ) Bài 58: Cho ∆ABC đều, đường cao AH. Qua A vẽ một đường thẳng về phía ngoài của tam giác, tạo với cạnh AC một góc 40 0. Đường thẳng này cắt cạnh BC kéo dài ở D. Đường tròn tâm O đường kính CD cắt AD ở E. Đường thẳng vuông góc với CD tại O cắt AD ở M. a. Chứng minh: AHCE nội tiếp được. Xác định tâm I của đường tròn đó. b. Chứng minh: CA = CM. c. Đường thẳng HE cắt đường tròn tâm O ở K, đường thẳng HI cắt đường tròn tâm I ở N và cắt đường thẳng DK ở P. Chứng minh: Tứ giác NPKE nội tiếp. Bài 59: BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong ∆ABC. Các đường cao AD; BE; CF đồng quy tại H. a. Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC. b. Gọi A’ là trung điểm BC. Chứng minh: AH = 2.A’O. c. Gọi A1 là trung điểm EF. Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’. d. Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC. Suy ra vị trí điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN. Bài 60: Cho đường tròn tâm (O; R) có AB là đường kính cố định còn CD là đường kính thay đổi. Gọi (∆) là tiếp tuyến với đường tròn tại B và AD, AC lần lượt cắt (∆) tại Q và P. a. Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp được. b. Chứng minh: Trung tuyến AI của ∆AQP vuông góc với DC. c. Tìm tập hợp các tâm E của đường tròn ngoại tiếp ∆CPD. Bài 61: Cho ∆ABC cân (AB = AC; Aµ< 900), một cung tròn BC nằm bên trong ∆ABC tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi Q là giao điểm của MB, IK. a. Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được. b. Chứng minh: tia đối của tia MI là phân giác H·MK . c. Chứng minh: Tứ giác MPIQ nội tiếp được PQ // BC. Bài 62: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, C là trung điểm của cung AB; N là trung điểm của BC. Đường thẳng AN cắt nửa đường tròn (O) tại M. Hạ CI AMC (I AM). a. Chứng minh: Tứ giác CIOA nội tiếp được trong 1 đường tròn. b. Chứng minh: Tứ giác BMCI là hình bình hành. M · · = c. Chứng minh: MOI CAI . 1 d. Chứng minh: MA = 3.MB. N 2 I = HD: a) C·OA 900 ( ) ; C· IA 900 ( ) 39
Tứ giác CIOA nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900) O B b) MB // CI ( BM). (1) A ¶ ¶ · · ∆ CIN = ∆ BMN (g.c.g) N1 N2 (đ/đ) ; NC = NB ; NCI NBM (slt) CI = BM (2). Từ 1 và 2 BMCI là hình bình hành. 1 c) ∆ CIM vuông cân (C· IA 900 ;C·MI C·OA 450 ) MI = CI ; ∆ IOM = ∆ IOC vì OI 2 chung ; · · · · · · IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O) MOI IOC mà: IOC CAI MOI CAI R 2 AC d) ∆ ACN vuông có : AC = R2 ; NC = (với R = AO) 2 2 R 2 5 R 10 NC2 R 10 MI Từ đó : AN = AC2 +CN2 2R 2 + R ; NI = MN = 2 2 2 NA 10 2 R 2 R 2 2R R 10 R 10 R 10 MB = NC2 MN2 AM = AN + MN = + = 2 10 10 5 2 10 3R 10 5 AM = 3 BM. Bài 63: Cho ∆ABC có Aµ=600 nội tiếp trong đường tròn (O), đường cao AH cắt đường tròn ở D, đường cao BK cắt AH ở E. a. Chứng minh: B·KH B·CD . b. Tính B·EC . c. Biết cạnh BC cố định, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hỏi tâm I của đườngtròn nội tiếp ∆ABC chuyển động trên đường nào? Nêu cách dựng đường đó (chỉ nêu cách dựng) và cách xác định rõ nó (giới hạn đường đó). d. Chứng minh: ∆IOE cân ở I. A HD: a) ABHK nội tiếp B·KH B·AH ; B·CD B·AH ( cùng chắn cung BD) B·CD B·KH b) CE cắt AB ở F. ; K AFEK nội tiếp F·EK 1800 ¶A 1800 600 1200 B·EC = 1200 ¶ ¶ 0 0 B C 0 120 0 F E I c) B· IC 180 180 120 2 2 Vậy I chuyển động trên cung chứa góc 1200 dựng trên đoạn BC, cung C này nằm trong đường tròn tâm (O). B H D»S IºO d) Trong đ/tròn (O) có D· AS = sđ ; trong đ/tròn (S) có I·SO = sđ D 2 2 S D»S IºO vì D· AS = I·SO (so le trong) nên: = mà D»S = IºE IºO = IºE đpcm. 2 2 40
Bài 64: Cho hình vuông ABCD, phía trong hình vuông dựng cung một phần tư đường tròn tâm B, bán kính AB và nửa đường tròn đường kính AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trên cung AC, vẽ PK  AD và PH  AB. Nối PA, cắt nửa đường tròn đường kính AB tại I và PB cắt nửa đường Ctròn này tại M. Chứng minh rằng: D a. I là trung điểm của AP. b. Các đường PH, BI và AM đồng quy. c. PM = PK = AH. d. Tứ giác APMH là hình thang cân. P · 0 K HD: a) ∆ ABP cân tại B. (AB = PB = R(B)) màAIB 90 (góc nội tiếp ) BI AP BI là đường cao cũng là đường trung tuyến M I là trung điểm của AP b) HS tự c/m. I c) ∆ ABP cân tại B AM = PH ; AP chung ∆vAHP = ∆v PMA AH = PM ; AHPK là hình chữ nhật AH = KP PM = PK = AH d) PMAH nằm trên đ/tròn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t) A H B P»M = A»H PA // MH Vậy APMH là hình thang cân. Bài 65: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M là điểm thay đổi trên Bx;. AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN. a. Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp được trong 1 đường tròn. b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB. c. Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN. 0 H O HD: a) BOIM nội tiếp được vì O· IM O·BM 90 A B b) I·NB O·BM 900 ; N· IB B·OM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM) ∆ IBN ~ ∆OMB. I 1 c) SAIO = AO.IH; SAIO lớn nhất IH lớn nhất vì AO = R(O) 2 N M Khi M chạy trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đ/k AO. Do đó SAIO lớn nhất Khi IH là bán kính, khi đó ∆ AIH vuông cân, tức H· AI 450 Vây khi M cách B một đoạn BM = AB = 2R(O) thì SAIO lớn nhất . Bài 66: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). Gọi AI là một đường kính cố định và D là điểm di động trên cung nhỏ AC (D A và D C). A a. Tính cạnh của ∆ABC theo R và chứng tỏ AI là tia phân giác củaB· AC . b. Trên tia DB lấy đoạn DE = DC. Chứng tỏ ∆CDE đều và DI  CE. D c. Suy ra E di động trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và giới hạn. d. Tính theo R diện tích ∆ADI lúc D là điểm chính giữa cung nhỏ AC. = HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). HS tự c/m : E O = AB = AC = BC = R 3 Trong đ/tròn (O; R) có: AB = AC Tâm O cách đều 2 cạnh AB và AC B C 41
AO hay AI là tia phân giác của B·AC . b) Ta có : DE = DC (gt) ∆ DEC cân ; B·D =C B·A =C 60 0 (cùng chắn B»C ) I ∆CDE đều. I là điểm giữa B»C IºB = IºC B· DI = I·DC DI là tia phân giácB·DC ∆CDE đều có DI là tia phân giác nên cũng là đường cao DI  CE c) ∆CDE đều có DI là đường cao cũng là đường trung trực của CE IE = IC mà I và C cố định IC không đổi E di động trên 1 đ/tròn cố định tâm I, bán kính = IC. Giới hạn : I A»C (cung nhỏ ) D → C thì E → C ; D → A thì E → B E đi động trên B»C nhỏ của đ/t (I; R = IC) chứa trong ∆ ABC đều. Bài 67: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên AD và DC, người ta lấy các điểm E và F sao cho : AE = DF =a . 3 a. So sánh ∆ABE và ∆DAF. Tính các cạnh và diện tích của chúng. b. Chứng minh AF  BE. c. Tính tỉ số diện tích ∆AIE và ∆BIA; diện tích ∆AIE và ∆BIA và diện tích các tứ giác IEDF và IBCF. Bài 68: Cho ∆ABC có các góc đều nhọn; Aµ= 450. Vẽ các đường cao BD và CE. Gọi H là giao điểm của BD, CE. a. Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp được trong 1 đường tròn.; b. Chứng minh: HD = DC. c. Tính tỷ số: DE d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh: BC OA DE Bài 69: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh: a. Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn. b. Khi điểm D di động trên đường tròn thì (B·MD +B·CD ) không đổi. c. DB.DC = DN.AC Bài 70: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. Chứng minh: a. BC // DE. b. Các tứ giác CODE, APQC nội tiếp được. c. Tứ giác BCQP là hình gì? 42
Bài 71: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B; các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh: a. ∆ABD ~ ∆CBA. b. B·QD = A· PB c. Tứ giác APBQ nội tiếp. Bài 72: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. a. Chứng minh: AEMO là tứ giác nội tiếp được. b. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao? c. Kẻ MH AB (H AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH. d.Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆EOF. Chứng 1 r 1 minh: . 3 R 2 Bài 73: Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AKD sao cho BD//AC. Nối BK cắt AC ở I. a. Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC. b. Chứng minh: IC2 = IK.IB. c. Cho B·AC = 600. Chứng minh: Cát tuyến AKD đi qua O. Bài 74: Cho ∆ABC cân ở A, góc A nhọn. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm BC. Hai đ/thẳng AM và EN cắt nhau ở F. a. Tìm những tứ giác có thể nội tiếp đường tròn. Giải thích vì sao? Xác định tâm các đường tròn đó. b. Chứng minh: EB là tia phân giác của AEF . c. Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp VAFN . Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O). K là giao điểm của CF và ED. a. Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn. b. ∆BKC là tam giác gì? Vì sao? c. Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đường tròn (O). Bài 76: Cho ∆ABC vuông tại C, có BC = 1 AB. Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B và C). 2 Từ B kẻ đường thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lượt là I, K. 43
a. Tính độ lớn góc C· IK . b. Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE – AC.CK. c. Gọi H là giao điểm của đường tròn đường kính AK với cạnh AB. Chứng minh: H, E, K thẳng hàng. d. Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC. Bài 77: Cho ∆ABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. a. Chứng minh: CDEF nội tiếp được. b. Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của C·KD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của C·BF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì? Tại sao? c. Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, 2 2 2 ADC. Chứng minh: r = r1 + r2 . Bài 78: Cho đường tròn (O;R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC; AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M. a. Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì? b. Chứng minh: Tứ giác FCBM nội tiếp. Tìm tâm đường tròn đó. c. Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy. Bài 79: Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường kính AA’. a. Chứng minh: HE AC. b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC. c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định. Bài 80: Cho ∆ ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K tương ứng là tâm các đường tròn nội tiếp ∆ ABH và ∆ ACH . 1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK. 2) Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh AM = AN. c) Chứng minh S’ ≤ 1 S , trong đó S, S’ lần lượt là diện tích ∆ ABC và ∆ AMN. 2 44