›
›
›

Bài giảng môn Toán Lớp 10 (Từ cơ bản đến nâng cao)

pdf 867 trang hangtran11 10/03/2022 7331
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Toán Lớp 10 (Từ cơ bản đến nâng cao)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_mon_toan_lop_10_tu_co_ban_den_nang_cao.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Toán Lớp 10 (Từ cơ bản đến nâng cao)

  1. LLLỚP TOÁN THẦY CƯ TP HUẾ CS 1: Trung Tâm MTC. S ố 5- Ngô Th ời Nh ậm CS 2: Trung Tâm DK Đ - 37 Lê V ăn H ưu CS 3: Trung Tâm Cao Th ắng - 11 Đống Đa ẤN PHẨM CỦA TOANTHAYCU.COM
  2. BÀI 1. MỆNH ĐỀ A. LÝ THUYẾT 1. Mệnh đề là gì? Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai. Một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng, một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai. 2. Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P . Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P . Ký hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng . Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì P : “ 3 5 ” 3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo Cho 2 mệnh đề P và Q . Mệnh đề “Nếu P thì Q ” gọi là mệnh đề kéo theo. Ký hiệu là PQ . Mệnh đề PQ chỉ sai khi P đúng Q sai, và đúng trong các trường hợp con lại. Cho mệnh đề PQ . Khi đó mệnh đề QP gọi là mệnh đề đảo của P Q . 4. Mệnh đề tương đương Cho 2 mệnh đề P và Q . Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q ” gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu PQ . Mệnh đề PQ đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo P Q và QP đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại. 5. Khái niệm mệnh đề chứa biến Ví dụ: Xét câu sau: “ n chia hết cho 3”, với n là số tự nhiên. 6. Các kí hiệu  và  a) Kí hiệu  Cho mệnh đề chứa biến Px() với x X . Khi đó khẳng định “ Với mọi x thuộc X , P()x đúng” (hay “ Px() đúng với mọi x thuộc X ”) (1) là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu với x0 bất kỳ thuộc X sao cho Px()0 là mệnh đề đúng. Mệnh đề (1) được ký hiệu là ",()" x XPx hoặc ":()" x XPx . Kí hiệu  đọc là “với mọi” b) Kí hiệu  Cho mệnh đề chứa biến Px() với x X . Khi đó khẳng định “ Tồn tại x thuộc X , Px() đúng” (2) là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu có x0 thuộc X sao cho P()x0 là mệnh đề đúng. Mệnh đề (2) được ký hiệu là ",()" x XPx hoặc ":()"x XPx . Kí hiệu  đọc là “tồn tại”. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 1 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  3. 7. Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu , Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “x X, P(x)” Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “x X, P(x)” Ví dụ: Cho x là số nguyên dương ; P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3” Ta có : P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng Px(): “ x không chia hết cho 6” Mệnh đề kéo theo P(x) Q(x) là mệmh đề đúng. “x N*, P(x)” đúng có phủ định là “x N*, P(x)”có tính sai B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết mệnh đề, mệnh đề chứa biến 1. Phương pháp Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.  Một câu khẳng định đúng được gọi là một mệnh đề đúng, một câu khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai.  Câu hỏi, câu cảm tháng hoặc câu chưa xác định được tính đúng sai thì không phải là mệnh đề. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. (1) Ở đây đẹp quá! (2) Phương trình xx2 -+=310 vô nghiệm (3) 16 không là số nguyên tố (4) Hai phương trình xx2 -+=430 và xx2 -++=31 0 có nghiệm chung. (5) Số p có lớn hơn 3 hay không? (6) Italia vô địch Worldcup 2006 (7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. Lời giải Câu (1) và (5) không là mệnh đề(vì là câu cảm thán, câu hỏi) Các câu (3), (4), (6), là những mệnh đề đúng Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 2 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  4. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề? A. Mùa thu Hà Nội đẹp quá! B. Bạn có đi học không? C. Đề thi môn Toán khó quá! D. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. Hướng dẫn giải Chọn D. Phát biểu ở A, B, C là câu cảm và câu hỏi nên không là mệnh đề. Câu 2. Câu nào sau đây không là mệnh đề? A. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. B. 31 . C. 451 . D. Bạn học giỏi quá! Hướng dẫn giải Chọn D. Vì “Bạn học giỏi quá!” là câu cảm thán không có khẳng định đúng hoặc sai. Câu 3. Cho các phát biểu sau đây: 1. “17 là số nguyên tố” 2. “Tam giác vuông có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền” 3. “Các em C14 hãy cố gắng học tập thật tốt nhé !” 4. “Mọi hình chữ nhật đều nội tiếp được đường tròn” Hỏi có bao nhiêu phát biểu là một đề? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B.  Câu 1 là mệnh đề.  Câu 2 là mệnh đề.  Câu 3 không phải là mệnh đề.  Câu 4 là mệnh đề. Câu 4. Cho các câu sau đây: 1. “Phan-xi-păng là ngọn núi cao nhất Việt Nam”. 2. “ 2 9,86 ”. 3. “Mệt quá!”. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 3 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  5. 4. “Chị ơi, mấy giờ rồi?”. Hỏi có bao nhiêu câu là mệnh đề? A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. Do đó 1,2 là mệnh đề và 3,4 không là mệnh đề. Câu 5. Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? A. có phải là một số vô tỷ không?. B. 225 . 4 C. 2 là một số hữu tỷ. D. 2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Câu 6. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? A. Buồn ngủ quá! B. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau. C. 8 là số chính phương. D. Băng Cốc là thủ đô của Mianma. Lời giải. Chọn A Câu cảm thán không phải là mệnh đề. Câu 7. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là không phải là mệnh đề? a) Huế là một thành phố của Việt Nam. b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c) Hãy trả lời câu hỏi này! d) 51924.+= e) 6+= 81 25. f) Bạn có rỗi tối nay không? g) x +=211. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 4 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  6. Lời giải. Chọn B Các câu c), f) không phải là mệnh đề vì không phải là một câu khẳng định. Câu 8: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Hãy đi nhanh lên! b) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. c) 5++= 7 4 15. d) Năm 2018 là năm nhuận. A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải. Chọn B Câu a) là câu cảm thán không phải là mệnh đề. Câu 9: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Cố lên, sắp đói rồi! b) Số 15 là số nguyên tố. c) Tổng các góc của một tam giác là 180 . d) x là số nguyên dương. A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải. Chọn A Câu a) không là mệnh đề. Câu 10: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Đi ngủ đi! B. Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới. C. Bạn học trường nào? D. Không được làm việc riêng trong giờ học. Lời giải. Chọn B Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 5 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  7. B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Lời giải. Chọn D A là mệnh đề sai: Ví dụ: 13+= 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ. B là mệnh đề sai: Ví dụ: 2.3= 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ. C là mệnh đề sai: Ví dụ: 13+= 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ. Câu 12: Mệnh đề  xx ,22 a 0 với a là số thực cho trước. Tìm a để mệnh đề đúng A. a 2. B. a 2. C. a 2 . D. a 2. Lời giải Chọn A Vì  xx ,222 a 0 x 2 a 2 a 0 a 2. Câu 13: Với giá trị nào của x thì "10,"xx2 là mệnh đề đúng. A. x 1. B. x 1. C. x 1 . D. x 0 . Lời giải Chọn A B. Không hiểu rõ câu hỏi và tập . C. Không hiểu rõ câu hỏi và tập . D. Không biết giải phương trình. Dạng 2: Xét tính đúng sai của mệnh đề 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho mệnh đề chứa biến P xx :"3 5 x2 " với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng: A. P 3 . B. P 4 . C. P 1 . D. P 5 . Hướng dẫn giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 6 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  8. P 3: "3.3 5 32 " "14 9" là mệnh đề sai. P 4: "3.4 5 42 " "17 16" là mệnh đề sai. P 1: "3.1 5 12 " "8 1" là mệnh đề sai. P 5: "3.5 5 52 " "20 25" là mệnh đề đúng. Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A.  x , x2 1 x 1. B. x , x2 1 x 1. C.  x , x 1 x2 1. D. x , x 1 x2 1. Hướng dẫn giải Chọn D. 2 x 1 Ta có  x , x 1 . Ta xét theo một chiều của mệnh đề ta thấy D đúng. x 1 Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. 62 là số hữu tỷ. B. Phương trình xx2 720 có 2 nghiệm trái dấu. C. 17 là số chẵn. D. Phương trình xx2 70 có nghiệm. Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình xx2 720 có ac.1.20 nên nó có 2 nghiệm trái dấu. Vậy mệnh đề ở phương án B là mệnh đề đúng. Các mệnh đề còn lại đều sai. Câu 4: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng? A. Nếu ab³ thì ab22³ . B. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. C. Nếu em chăm chỉ thì em thành công. D. Nếu một tam giác có một góc bằng 60 thì tam giác đó đều. Lời giải. Chọn B Mệnh đề A là một mệnh đề sai vì ba£<0 thì ab22£ . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 7 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  9. ïìann=Î9, Mệnh đề B là mệnh đề đúng. Vì aa9 íï 3 . îï93 Câu C chưa là mệnh đề vì chưa khẳng định được tính đúng, sai. Mệnh đề D là mệnh đề sai vì chưa đủ điều kiện để khẳng định một tam giác là đều. Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. - - 2.5. Lời giải. Chọn A Xét đáp án A. Ta có: pp2 < 4222. < -<< p Suy ra A sai. Câu 6: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào đúng? A.  x, x102 . B. x , xx2 . C.  r, r72 . D.  n, n4 chia hết cho 4. Lời giải Chọn A A: Đúng vì x2 0 nên x2 10 . B: HS hiểu nhầm mọi số bình phương đều lớn hơn chính nó. C: HS hiểu nhầm 7  . Câu 7: Hỏi trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. ",39" xx x2 . B. ",39"xx x2 . C. ",93" xx 2 x . D. ",93"xx 2 x . Lời giải Chọn A B, C, D sai là không biết mệnh đề kéo theo. Câu 8: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A.  x sao cho x 1 x . B.  x sao cho x x . C.  x sao cho x -3 x2 . D.  x sao cho x2 0 . Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 8 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  10. A: Đúng vì VT luôn lớn hơn VP 1 đơn vị. B: HS nhầm trong tập hợp số tự nhiên. C: HS nhầm là tìm được x ở VT để được số chính phương ở VP. D: HS nhầm ở số 0 . . Dạng 3: Phủ định của mệnh đề 1. Phương pháp Cho mệnh đề P . Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P . Ký hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng . Cho mệnh đề chứa biến Px() với x X  Mệnh đề phủ định của mệnh đề ",()"x XPx là ",()"x XPx  Mệnh đề phủ định của mệnh đề ",()"x XPx là ",()"x XPx 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai? P : " Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau" Q : " 6 là số nguyên tố" R : " Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại" S : " 53>- " K : " Phương trình xx42-+=220 có nghiệm " 2 H : " 312 3 " Lời giải Ta có các mệnh đề phủ định là P : " Hai đường chéo của hình thoi không vuông góc với nhau", mệnh đề này sai Q : " 6 không phải là số nguyên tố", mệnh đề này đúng R : " Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại", mệnh đề này sai S : " 53£- ", mệnh đề này sai Ví dụ 2: Cho mệnh đề chứa biến "Px( ) : x> x3 " , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 9 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  11. æö1 a) P ()1 b) P ç ÷ c) "ÎxNPx, ( ) d) $ÎxNPx, ( ) èøç 3 ÷ Lời giải a) Ta có P (1:1) > 13 đây là mệnh đề sai 3 æö11 æö 1 b) Ta có P çç÷÷: > đây là mệnh đề đúng èøçç33÷÷ èø 3 c) Ta có "ÎxNxx, >3 là mệnh đề sai vì P (1) là mệnh đề sai d) Ta có $ÎxNxx, £3 là mệnh đề đúng vì xx-=3 x(11 - x)( +£ x) 0 với mọi số tự nhiên. Ví dụ 3: Dùng các kí hiệu để viết các câu sau và viết mệnh đề phủ định của nó. a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho sáu b) Với mọi số thực bình phương của nó là một số không âm. c) Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó. d) Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó. Lời giải a) Ta có PnNnnn:,126  , mệnh đề phủ định là PnNnn:,12$Î( +)( n +)6 . b) Ta có Qx:,0"Î x2 ³, mệnh đề phủ định là Qx:,0$Î x2 q, mệnh đề phủ định là "ÎqQ, £ q. q q Ví dụ 4: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm phủ định của nó : a) A : " "ÎxRx,02 ³ " b) B: " Tồn tại số tự nhiên đều là số nguyên tố". c) C : " $ÎxN, x chia hết cho x + 1 " d) D: " "ÎnNnn,142 - + là hợp số " e) E: " Tồn tại hình thang là hình vuông ". 1 f) F: " Tồn tại số thực a sao cho a ++12 £" a + 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 10 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  12. Lời giải a) Mệnh đề A đúng và AxRx:,0$Î2 " a + 1 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho mệnh đề: “ xxx ,3502 ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là A.  xxx ,3502 . B. xxx ,3502 . C.  xxx ,3502 . D. xxx ,3502 . Hướng dẫn giải Chọn B. Chú ý: Phủ định của mệnh đề “ x , px ” là “  x , px ”. Câu 2. Cho mệnh đề “Có một học sinh trong lớp C4 không chấp hành luật giao thông”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là A. Không có học sinh nào trong lớp C4 chấp hành luật giao thông. B. Mọi học sinh trong lớp C4 đều chấp hành luật giao thông. C. Có một học sinh trong lớp C4 chấp hành luật giao thông. D. Mọi học sinh trong lớp C4 không chấp hành luật giao thông. Hướng dẫn giải Chọn B. Mệnh đề phủ định là “ Mọi học sinh trong lớp C4 đều chấp hành luật giao thông”. Câu 3. Cho mệnh đề: “ Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: A. “ Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán”. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 11 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  13. B. “ Mọi học sinh trong lớp 10A đều không thích học môn Toán”. C. “ Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Văn”. D. “ Có một học sinh trong lớp 10A thích học môn Toán”. Hướng dẫn giải Chọn A. Câu 4. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ 2018 là số tự nhiên chẵn” là A. 2018 là số chẵn. B. 2018 là số nguyên tố. C. 2018 không là số tự nhiên chẵn. D. 2018 là số chính phương. Hướng dẫn giải Chọn C. Câu 5. Mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển” có mệnh đề phủ định là A. Có ít nhất một động vật di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Mọi động vật đều không di chuyển. Hướng dẫn giải Chọn C. Câu 6: Cho mệnh đề “ xRxx,702 ”. Hỏi mệnh đề nào là mệnh đề phủ định của mệnh đề trên? A.  xRxx,702 . B. xRxx ,702 . C.  xRxx,702 . D. xRxx ,702 . Lời giải Chọn A B : sai là gì không dùng đúng kí hiệu của phủ định. C : sai là gì không dùng đúng . D : sai kí hiệu không tồn tại. Câu 7: Cho mệnh đề: "2350" xxx 2 . Mệnh đề phủ định sẽ là A. "2350" xxx 2 . B. "2350"xxx 2 . C. "2350" xxx 2 . D. "2350"xxx 2 . Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 12 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  14. Đáp án A đúng vì phủ định của "" là "" và phủ định của dấu "" là dấu "" . Đáp án B sai vì học sinh nhầm phủ định của dấu "" là dấu "" . Đáp án C sai vì học sinh không nhớ phủ định của "" là "" và phủ định dấu "" là dấu "" . Đáp án D sai vì học sinh không nhớ phủ định của "" là "" . Câu 8: Mệnh đề phủ định của mệnh đề: xRxx ,502 là A.  xxx ,502 . B. xxx ,502 . C.  xxx ,502 . D.xxx ,502 . Lời giải Chọn A B: HS quên biến đổi lượng từ. C: HS quên trường hợp dấu bằng. D: HS quên cả đổi lượng từ và dấu bằng. Câu 9: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình ax2 bx c0 a 0 vô nghiệm” là mệnh đề nào sau đây? A. Phương trình ax2 bx c0 a 0 có nghiệm. B Phương trình ax2 bx c0 a 0 có 2 nghiệm phân biệt. C. Phương trình ax2 bx c0 a 0 có nghiệm kép. D. Phương trình ax2 bx c0 a 0 không có nghiệm. Lời giải Chọn A Đáp án A đúng vì phủ định vô nghiệm là có nghiệm. Đáp án B sai vì học sinh nhầm phủ định vô nghiệm là phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt. Đáp án C sai vì học sinh nhầm phủ định vô nghiệm là có 1 nghiệm tức nghiệm kép. Đáp án D sai vì học sinh không hiểu câu hỏi của đề, học sinh nghỉ vô nghiệm là không có nghiệm. Câu 10. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề: xxx ,502 . A.  xxx ,502 . B. xxx ,502 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 13 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  15. C.  xxx ,502 . D. xxx ,502 . Hướng dẫn giải Chọn D.  xxx ,502 . Suy ra mệnh đề phủ định là xxx ,502 . Câu 11. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề ":"x xx2 . A.  x : xx2 . B.  x : xx2 . C. x : xx2 . D.  x : xx2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Mệnh đề A :" xxx :2 "  A :"xxx :2 ". Câu 12. Cho x là số tự nhiên. Phủ định của mệnh đề “x chẵn, x2 x là số chẵn” là mệnh đề: A. x lẻ, x2 x là số lẻ. B. x lẻ, x2 x là số chẵn. C. x lẻ, x2 x là số lẻ. D. x chẵn, x2 x là số lẻ. Hướng dẫn giải Chọn D. Mệnh đề phủ định là “ x lẻ, x2 x lẻ”. Câu 13. Phủ định của mệnh đề ":2520" xxx 2 là A. ":2520" xxx 2 . B. ":2520"xxx  2 . C. ":2520" xxx 2 . D. ":2520"xxx  2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Vì phủ định của mệnh đề ":2520" xxx 2 là ":2520"xxx  2 . Câu 14. Cho mệnh đề “, xxx 2 70” . Hỏi mệnh đề nào là mệnh đề phủ định của mệnh đề trên? A.  xxx ,702 . B. xxx ,702 . C.  xxx ,702 . D. xxx ,702 . Hướng dẫn giải Chọn C. Phủ định của mệnh đề “, xxx 2 70” là mệnh đề “,xxx 2 70”. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 14 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  16. Câu 15. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ xxx , 2 13 0” là A. “ xxx , 2 13 0”. B. “ xxx , 2 13 0”. C. “ xxx , 2 13 0”. D. “ xxx , 2 13 0”. Hướng dẫn giải Chọn A. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ xxx , 2 13 0” là “xxx , 2 13 0”. Câu 16. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề Px:" ; xx2 1 0". A. Px:" ; xx2 1 0". B. P:"xxx ;2 1 0". C. Px:" ; xx2 1 0". D. Px:" ; xx2 1 0". Hướng dẫn giải Chọn B. Dạng 4: Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo và hai mệnh đề tương đương 1. Phương pháp Cho 2 mệnh đề P và Q .  Mệnh đề “Nếu P thì Q ” gọi là mệnh đề kéo theo. Ký hiệu là P Q . Mệnh đề PQ chỉ sai khi P đúng Q sai, và đúng trong các trường hợp con lại.  Cho mệnh đề PQ . Khi đó mệnh đề QP gọi là mệnh đề đảo của PQ .  Mệnh đề “ P nếu và chỉ nếu Q ” gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu PQ . Mệnh đề PQ đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo P Q và QP đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Phát biểu mệnh đề PQ và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó. a) P : " Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q : " Tứ giác ABCD AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường" b) P :"2> 9" và Q :"4< 3"   c) P : " Tam giác ABC vuông cân tại A" và Q : " Tam giác ABC có AB= 2 " Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 15 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  17. d) P :" Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam" và Q : " Ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ" Lời giải a) Mệnh đề PQ là " Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường", mệnh đề này đúng. Mệnh đề đảo là QP : "Nếu tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thìABCD là hình thoi ", mệnh đề này sai. b) Mệnh đề PQ là " Nếu 29> thì 43 ", mệnh đề này đúng vì mệnh đề Q sai.   c) Mệnh đề PQ là " Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì AB= 2 ", mệnh đề này đúng Mệnh đề đảo là QP : " Nếu tam giác ABC có A 2B thì nó vuông cân tại A", mệnh đề này sai d) Mệnh đề PQ là " Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ" Mệnh đề đảo là QP : " Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam" Hai mệnh đề trên đều đúng vì mệnh đề PQ, đều đúng Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề PQ bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó a) P : "Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q :" Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau" 2 b) P : " Bất phương trình xx2 ->31 có nghiệm" và Q : " 13.11 " Lời giải a) Ta có mệnh đề PQ đúng vì mệnh đề PQQP , đều đúng và được phát biểu bằng hai cách như sau: "Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau" và "Tứ giác ABCD là hình thoi nếu và chỉ nêu tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau" b) Ta có mệnh đề PQ đúng vì mệnh đề PQ, đều đúng(do đó mệnh đề PQQP , đều đúng) và được phát biểu bằng hai cách như sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 16 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  18. 2 " Bất phương trình xx2 ->31 có nghiệm khi và chỉ khi ( >13.11) ( ) " và 2 " Bất phương trình xx2 ->31 có nghiệm nếu và chỉ nếu ( >13.11) ( ) " 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho định lí “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích chúng bằng nhau”. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích chúng bằng nhau. B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau. C. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau. D. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích chúng bằng nhau. Hướng dẫn giải Chọn D.  “Hai tam giác bằng nhau” là điều kiện đủ.  “Diện tích bằng nhau” là điều kiện cần. Câu 2. Cho PQ là mệnh đề đúng. Khẳng định nào sau đây là sai? A. P Q sai. B. P Q đúng. C. QP sai. D. P Q sai. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có PQ đúng nên PQ đúng và QP đúng. Do đó P Q đúng và QP đúng. Vậy P Q đúng. Câu 3. Cho P là mệnh đề đúng, Q là mệnh đề sai, chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. PP . B. PQ . C. PQ . D. QP . Hướng dẫn giải Chọn C. P là mệnh đề đúng, Q là mệnh đề sai nên mệnh đề PQ là mệnh đề sai, do đó PQ là mệnh đề đúng. Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng? A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì ab chia hết cho c . B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau. C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 17 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  19. D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5 . Lời giải Chọn C Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 là mệnh đề đúng. Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? A.  x , x2 chia hết cho 3 x chia hết cho3 . B.  x , x2 chia hết cho 6 x chia hết cho 3 . C.  x , x2 chia hết cho 9 x chia hết cho 9 . D.  x , x chia hết cho 4 và 6 x chia hết cho 12. Lời giải Chọn D Định lý sẽ là:  x , x chia hết cho 4 và 6 x chia hết cho 12. Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A. xx ,2 x2 4. B.  xx ,2 x2 4. C.  xx ,42 x 2. D. Nếu ab chia hết cho 3 thì ab, đều chia hết cho3 . Lời giải Chọn B Dạng 5: Mệnh đề với kí hiệu với mọi, tồn tại 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Tìm mệnh đề sai. A. "; xx2 2 x 30". B. ";x xx2 ". 1 C. "; xx2 5 x 60". D. "; xx ". x Lời giải. Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 18 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  20. 1 Chọn x xx2 . Vậy mệnh đề B sai 2 Câu 2: Mệnh đề nào sau đây đúng? A.  xxx ,102 . B. nn ,0. 1 C.  nx,22 . D.x ,0. x Lời giải Chọn A 2 2 13 Chọn A Vì xx 10, x  x . 24 Câu 3. Mệnh đề nào sau là mệnh đề sai? A.  xx :02 . B. x : xx2 C.  nnn : 2 . D. n thì nn 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có 0 và 002 nên mệnh đề xx :02 là mệnh đề sai. Câu 4. Chọn mệnh đề sai. A. “ xx :02 ”. B. “ nnn : 2 ”. C. “nnn :2”. D. “  x :1x ”. Hướng dẫn giải Chọn A. Với x 0 thì x2 0 nên “xx :02 ” sai. Câu 5. Tìm mệnh đề đúng. A. "; xx2 30" B. ";xx42 3x20" C. ";x xx 52 ". D. ";2114" nn  2 Lời giải. Chọn C. 21nnnnnn 2 1422 4 4  4;  . Vậy mệnh đề C đúng Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.  n , nn2 11 2 chia hết cho 11. B. n , n2 1 chia hết cho 4 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 19 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  21. C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5. D. n , 280x2 . Hướng dẫn giải Chọn B. + Xét đáp án A. Khi n 3thì giá trị của nn2 11 2 bằng 44 11 nên đáp án A đúng + Xét đáp án B. Khi nkk 2, N n22 1 4 k 1 không chia hết cho 4 , k N . Khi nkk 21,N n22 121 k2 14 k 42 k không chia hết cho 4 , k N . + Xét đáp án C. Tồn tại số nguyên tố 5 chia hết cho 5 nên đáp án C đúng + Xét đáp án D. Phương trình 280xxxx22 4 2;2Z nên đáp án D đúng. Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A.  x x 112 x . B. xx ,3 x 3 . , C.  nn ,12 chia hết cho 4 . D. nn ,12 không chia hết cho 3. Hướng dẫn giải Chọn D. A sai vì với x 1 thì x 112 x . B sai vì khi x 43 nhưng x 43 . C sai vì  Nếu nkk 2 thì nk22 14 1 số này không chia hết cho 4 .  Nếu nk 21 k thì nkk22 14 4 2 số này cũng không chia hết cho 4 . D đúng vì  Nếu nkk 3 thì nk22 19 1 số này không chia hết cho 3.  Nếu nk 31 k * lim thì nkk22 19 6 2 số này không chia hết cho 3. x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 20 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  22. BÀI 2. TẬP HỢP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Khái niệm tập hợp 1. Tập hợp và các phần tử Tập hợp là một khái niệm của toán học, không có định nghĩa. Tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ A, B, Phần tử a thuộc tập hợp A ta viết aA . Nếu phần tử a không thuộc A ta viết là aA 2. Cách xác định tập hợp Có 2 cách trình bày tập hợp - Liệt kê các phần tử : VD : A = a; 1; 3; 4; b hoặc N = 0 ; 1; 2  - Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp có dạng AxxPx |(). Ví dụ: A = x N| x lẻ và x < 6 A = 1 ; 3; 5 3. Tập hợp rỗng Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu:  II. Tập hợp con Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là tập hợp con của tập B và viết là AB A B ( x, x A x B). Nếu A không phải là tập con của B ta ký hiệu là: AB Ta có các tính chất sau: a) AA với mọi tập A b) Nếu AB và B  C thì AC c) A với mọi tập A d) Cho A ≠  có ít nhất 2 tập con là  và A III. Tập hợp bằng nhau Khi tập AB và B  A ta nói tập A bằng tập B và viết là AB AB xA xB B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tập hợp và các phần tử của tập hợp 1. Phương pháp Cách liệt kê: Ghi tất cả các phần tử của tập hợp Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 21 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  23. Cách nêu tính chất đặc trưng: Từ tất cả các phần tử của tậ hợp, nhận biết tính chất đặc trưng và ghi tính chất đặc trưng của các phần tử. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng A = {}0 ; 1; 2; 3; 4 B = {}0 ; 4; 8; 12;16 C 1;2; 4;8;16 Lời giải Ta có các tập hợp ABC,, được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là AxNx=Î{}|4 £ B {|4xNx và x £ 16} Cn=£{2n | 4 và nNÎ } ï+ïìüx 2 2 Ví dụ 2: Cho tập hợp Ax=ÎZíýïï| ÎZ îþïïx a) Hãy xác định tập A bằng cách liệt kê các phần tử b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3. Lời giải x 2 + 22 a) Ta có =+ÎZx với x ÎZ khi và chỉ khi x là ước của 2 hay x 2; 1; 0;1; 2 xx Vậy A = {}2; 1; 0;1; 2 b) Tất cả các tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3 là Tập không có phần tử nào: Æ Tập có một phần tử: {}{}{}{}{} 2, 1, 0, 1, 2 Tập có hai phần thử: {}{}{}{}{} 2; 1 , - 2; 0 , - 2;1 , - 2; 2 , - 1; 0 {}{}{}{}{} 1;1, 1;2, 0;1,0;2, 1;2 . 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào có đúng một phần tử? A. x; y . B. x. C. x; . D.  . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 22 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  24. Câu 2. Cho tập hợp Ax |5 x . Tập hợp A được viết dưới dạng liệt kê các phần tử là A. A 1; 2; 3; 4 . B. A 1; 2;3; 4;5 . C. A 0;1; 2;3; 4;5 . D. A 0;1; 2;3; 4. Lời giải Chọn C Vì xxxxxxx 0; 1; 2; 3; 4; 5 Câu 3. Cho tập Xx |410 x2 x  . Tính tổng S các phần tử của tập X . 9 A. S 4 . B. S . C. S 9 . D. S 1. 2 Lời giải Chọn D Các phần tử của tập hợp X là các nghiệm thực của phương trình xx2 410 . 2 2 x 40 x 2 Ta có: xx 410 x 10 x 1 Do đó: S 2211 . Câu 4. Tập hợp X 2;5 có bao nhiêu phần tử? A. 4 . B. Vô số. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C Câu 5. Liệt kê phân tử của tập hợp Bx |(2 xxxx22 )( 3 4) 0 . 1  A. B 1; 0; 4. B. B 0; 4. C. B 1; ; 0; 4  . D. B 0;1;4 . 2 Lời giải Chọn B x 0 1 20xx2 x Ta có: 2340xxxx22 2 2 xx 34 x 1 x 4 x 0 Mà x x 4 Câu 6. Cho XxRxx 25302 , khẳng định nào sau đây đúng?  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 23 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  25. 3 3 A. X 1. B. X 1; . C. X . D. X 0. 2 2 Lời giải Chọn B x 1 3 2530xx2 3 X 1;  . x 2 2 Câu 7. Có bao nhiêu cách cho một tập hợp ? A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1 . Lời giải Chọn A Có hai cách cho một tập hợp : +) Cách 1 : Liệt kê . +) Cách 2 : Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử . Câu 8: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng? A. xNx /1. B. xZ /6 x2 7 x 1 0. C. xQx /4202 x  . D. xRx /4302 x  . Lời giải Chọn C Câu 9: Cho hai tập hợp Ax |2 xx22 3 x 4 0, Bx  | x 4. Viết lại các tập A và B bằng cách liệt kê các phần tử. 3 3 A. A 2; 1; 2; , B 0;1; 2;3 . B. A 2; 1; 2;  , B 1; 2; 3; 4. 2 2 C. A 2; 1; 2, B 0;1; 2;3 . D. A 2; 1; 2, B 1; 2; 3 . Lời giải Chọn C x 1 230xx2 xx12 3 0 3 Ta có: 2340xx22 x x 2 2 x 40 x 4 2 x 2 Do xx 2; 1; 2 A 2; 1; 2 B 0;1; 2;3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 24 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  26. Câu 10. Tìm số phần tử của tập hợp Ax /1 x x 2 x3 40 x . A. 5. B. 3. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn D x 1 x 10 x 2 xx 12 xx3 40 x 20 x 0 3 xx 40 x 2 A 1; 2; 0; 2 . Vậy A có 4 phần tử. Câu 11. Cho tập hợp Ax |2 x22 5 x 2 x 16 0 . Tập hợp A được viết dưới dạng liệt kê là  1 A.  4; ; 2; 4 . B. 4; 2 . C. 4 . D. 4; 2; 4. 2 Lời giải Chọn D x 2 2 1 22 2520xx x Ta có 252xx x 160 2 . 2 x 16 0 x 4 x 4 Vì x nên x 2; 4; 4 . Câu 12. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: Xx /2x2 5 x 2 0 1  1 A. X 0. B. X  . C. X 2. D. X 2; 2 2 Lời giải Chọn C x 2 2 Ta có: 2x 5x 2 0 1 . Mà x x 2. x 2 Câu 13. Cho tập Xx |412730 x22 x x x  . Tính tổng S các phần tử của X . 9 A. S . B. S 5. C. S 6 . D. S 4 . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 25 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  27. Lời giải Chọn C x 2 2 x 40 x 1 22 Ta có: xxxx 412730 x 10 x 3 . 2 2730xx 1 x 2 Vì x nên X 1; 2; 3. Vậy tổng S 123 6. Câu 14. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng? A. xxx 2 560. B. xxx  35202  . C. xxx 2 10 . D. xxx 2 510 . Lời giải Chọn C Ta có: 2 x 1 * xx 560 . Vậy A 6;1 . x 6 x 1 2 2 * 3520xx 2 . Vậy B 1;  . x 3 3 15 x * xx2 10 2 . Vì x nên C  . 15 x 2 529 x 2 2 529529  * xx 510 . Vậy D ;  . 529  22 x 2 Câu 15. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng? A. Ax x2 40. B. Bx x2 50. C. Cx  xx2 12 0 . D. Dx x2 230. x  Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 26 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  28. Ta có : 2 x 2 x 40 A 2. x 2 x 5 x2 50 B 5; 5 . x 5 2 x 4 xx 12 0 C 4;3 . x 3 xx2 230, phương trình vô nghiệm nên D  . Câu 16. Cho A xxx *,10,3 . Chọn khẳng định đúng. A. A có 4 phần tử. B. A có 3 phần tử. C. A có 5 phần tử. D. A có 2 phần tử. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có A xxx * ,10,3  3; 6; 9 A có 3 phần tử. Câu 17. Tập hợp Ax x 12 x x3 40 x  có bao nhiêu phần tử? A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có xx 12 xx32 40 xxx 12 x 40 xx 01 . xx10 2 xx 20 0 Vì x x 0 ; x 1 . Vậy A 0;1 tập A có hai phần tử. Câu 18. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng? 2 2 A. Tx1 |340 x x  . B. Tx1 |30 x  2 2 C. Tx1 |2 x . D. Tx1  |1250 x x  . Hướng dẫn giải Chọn C. x 2 Vì x2 2 . x 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 27 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  29. Câu 19. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: Xx ,10 xx2  . A. X 0. B. X 2 . C. X  . D. X 0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Trên tập số thực, phương trình xx2 10 vô nghiệm. Vậy: X . Câu 20. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp Xx |2 x2 5 x 3 0. 3 3 A. X 1. B. X . C. X 0. D. X 1; . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Các phần tử của tập hợp Xx |2 x2 5 x 3 0 là các nghiệm của phương trình x 1 2 2530xx 3 . x 2 Câu 21. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng? A. xxx 2 560. B. xxx  35202  . C. xxx 2 10 . D. xxx 2 510. Hướng dẫn giải Chọn C. 15 xx2 10 x nên xxx 2 10 . 2  Câu 22. Xác định số phần tử của tập hợp Xn | nn 4, 2017 . A. 505 . B. 503 . C. 504 . D. 502 . Hướng dẫn giải Chọn A. Tập hợp X gồm các phần tử là những số tự nhiên nhỏ hơn 2017 và chia hết cho 4 . Từ 0 đến 2015 có 2016 số tự nhiên, ta thấy cứ 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ có duy nhất một số chia hết cho 4 . Suy ra có 504 số tự nhiên chia hết cho 4 từ 0 đến 2015 . Hiển nhiên 2016 4 . Vậy có tất cả 505 số tự nhiên nhỏ hơn 2017 và chia hết cho 4 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 28 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  30. Dạng 2: Tập hợp con và hai tập hợp bằng nhau 1. Phương pháp ABÌ "Î Î() xA xB Các tính chất: + AAAÌ", + ÆÌAA, " + ABBCÌÌ Ì, AC AB= ( AB Ì và BAÌ "Î Î),( xxA xB) 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho A = { 4; 2; 1; 2; 3; 4 } và Bx=ÎZ£{}|4 x . Tìm tập hợp X sao cho a) XBAÌ \ b) AXÌÌ B c) AXÈ= B với X có đúng bốn phần tử Lời giải ïïììxx£-££44 4 Ta có ííïï x Î {}4; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3; 4 ïïxxÎZ ÎZ îîïï Suy ra B = {}4; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3; 4 a) Ta có BA\3;0;1=-{} Suy ra XBAÌ \ thì các tập hợp X là Æ-,3,0,1,3;0,3;1,0;1,3;0;1{}{}{}{}{}{}{ - - - } b) Ta có {}{} 4; 2; 1; 2; 3; 4 ÌX Ì 4; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3; 4 suy ra tập hợp X là {}{}{} 4; 2; 1; 2; 3; 4 , 4; 2; 3; 1; 2; 3; 4 , 4; 2; 1; 0; 2; 3; 4 {}{}{} 4; 2; 1;1; 2; 3; 4 , 4; 2; 3; 1; 0; 2; 3; 4 , 4; 2; 3; 1;1; 2; 3; 4 {}{} 4; 2; 1; 0;1; 2; 3; 4 , 4; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3; 4 c) Ta có AXB với X có đúng bốn phần tử khi đó tập hợp X là 4; 3; 0;1 , 3; 2; 0;1 , 3; 1; 0;1 , 3; 0;1;2 , {}{} 3; 0;1; 3 , 3; 0;1; 4 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho tập hợp A abcd, , , . Tập A có mấy tập con? A. 15. B. 12. C. 16. D. 10. Hướng dẫn giải Chọn C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 29 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  31. Số tập hợp con của tập hợp có 4 phần tử là 2164 tập hợp con. Câu 2. Tập hợp nào sau đây có đúng một tập hợp con? A.  . B. 1 . C.  . D. 1;  . Hướng dẫn giải Chọn A.  Đáp án A duy nhất một tập con là  .  Đáp án B còn một tập con nữa là tập  .  Đáp án C có hai tập con là  và  .  Đáp án D có ba tập con  , 1 và 1;  . Câu 3. Cho tập hợp P . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A. PP . B.   P . C. PP  . D. PP . Hướng dẫn giải Chọn D. Các đáp án A, B, C đúng. Đáp án D sai. Câu 4. Tập hợp nào sau đây có đúng hai tập hợp con? A. x; . B. x. C. xy;; . D. x; y . Hướng dẫn giải Chọn B. C1: Công thức số tập con của tập hợp có n phần tử là 2n nên suy ra tập x có 1 phần tử nên có 221 tập con. C2: Liệt kê số tập con ra thì x có hai tập con là xvà  . Câu 5: Cho tập hợp A . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A. A. B. A A . C. AA . D. AA . Lời giải Chọn C Câu 6. Số tập con của tập hợp có n nn 1, phần tử là A. 2n 2 . B. 2n 1 . C. 2n 1 . D. 2n . Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 30 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  32. Số tập con của tập hợp có n bằng 2n . Câu 7. Cách viết nào sau đây là đúng? A. aab ;. B. aab   ;. C. aab  ;. D. aab ;. Lời giải Chọn B Câu 8. Cho tập hợp Ax 2 1 x *2,5 x  . Khi đó tập A bằng tập hợp nào sau đây? A. A 1; 2; 3; 4. B. A 0; 2;5. C. A 2;5 . D. A 0;1; 2;3; 4;5. Lời giải Chọn C x2 5 5 x 5 Ta có: x 1; 2x2 1 2; 5 * *   x x Vậy A 2;5 . Câu 9. Cho tập hợp A 1; 2; 8 . Tập hợp A có tất cả bao nhiêu tập hợp con? A. 9. B. 7 . C. 8 . D. 6 . Lời giải Chọn C Cách 1: Tập hợp có n phần tử thì có 2n tập hợp con. Do đó tập hợp A có tất cả 283 tập hợp con. Cách 2: Các tập con của tập A là: , 1 , 2, 8 , 1; 2, 2;8 , 1; 8 , 1; 2; 8 . Câu 10: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. A  A . B.   A. C. A  . D. . Lời giải Chọn B. Câu 11: Cho hai tập hợp: Xn | n là bội số của 4 và 6} và Yn | n là bội số của 12}. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A. XY . B. YX . C. XY . D. nn: Xvà nY . Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 31 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  33. Vì bội số chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12. Câu 12: Cho tập hợp A 1; 2; a, B 1; 2;abxy ; ; ;  . Hỏi có bao nhiêu tập hợp X thỏa A XB? A. 8 . B. 7 . C. 6 . D. 2n . Lời giải Chọn A 1;2;aabaxay ,1;2;;  ,1;2;;  ,1;2;;  , 1;2;;abx ; ,1;2;; aby ; ,1;2;; axy ; ,1;2;; abxy ; ; . Câu 13: Hai tập hợp nào dưới đây không bằng nhau ? 11 111 A. Axx |,, k x và B ;;. 28k 248 B. A 3; 9; 27; 81 và Bn 3|n ,1 n 4 . C. Ax |2 x 3 và B 1;0;1;2;3 . D. Ax |5 x  và B 0; 1; 2; 3; 4 . Lời giải Chọn A 1111 1 1 k 3 Xét tập hợp Axx |,, k x ta có : 22 k 3, 28k 2822kk3 1 111  suy ra: Axx |,,3k k k A ; ; ;  nên: A B . 2 842  Câu 14: Cho tập hợp Bx * |3 x 4 . Tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con? A. 16. B. 12 . C. 8 . D. 4 . Lời giải Chọn A Ta có: Bx * |3 x 4 1; 2; 3; 4 . Vậy tập B có 2164 . Câu 15. Cho tập hợp A xyz;; và Bxyztu ;;;;. Có bao nhiêu tập X thỏa mãn A XB? A. 16. B. 4 . C. 8 . D. 2 . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 32 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  34. Có 4 tập hợp X thỏa mãn A XB là: Xxyz1 ;; ; Xxyzt2 ;;; ; Xxyzu3 ;;; và Xxyztu4 ;;;; . Câu 16. Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn 1;2 X 1;2;3;4;5 ? A. 8 . B. 1. C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn A Các 8 tập X thỏa mãn đề bài là: 1; 2 , 1; 2; 3 , 1; 2; 4 , 1; 2; 5 , 1; 2; 3; 4 , 1; 2; 3; 5 , 1; 2; 4; 5 , 1; 2; 3; 4; 5 . Câu 17: Cho tập hợp A xyz;; và Bxyztu ;;;;. Có bao nhiêu tập X thỏa mãn A XB? A. 16. B. 4 . C. 8 . D. 2 . Lời giải Chọn B Có 4 tập hợp X thỏa mãn AX B là: Xxyz1 ;; ; Xxyzt2 ;;; ; Xxyzu3 ;;; và Xxyztu4 ;;;; . Câu 18. Cho tập X có n 1 phần tử ( n  ). Số tập con của X có hai phần tử là nn 1 nn 1 A. nn 1 . B. . C. n 1. D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Lấy một phần tử của X , ghép với n phần tử còn lại được n tập con có hai phần tử. Vậy có nn 1 tập. Nhưng mỗi tập con đó được tính hai lần nên số tập con của X có hai nn 1 phần tử là . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 33 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  35. BÀI 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I . GIAO CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu CAB=Ç (phần gạch chéo trong hình). Vậy A Ç=BxxAxB{ |; Î Î} ïìx Î A xABÎÇ íï îïx Î B II . HỢP CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B Kí hiệu CAB=È (phần gạch chéo trong hình). Vậy A È=BxxAhoacxB{ | Î Î} éx Î A xABÎÈ ê ê ëx Î B III . HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu CAB= \ (phần gạch chéo trong hình 7). Vậy A \|;B=È= AB{ xxAxB Î Ï} ïìx Î A xABÎ \ íï îïx Ï B Khi B Ì A thì AB\ gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu CBA . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giao và hợp của hai tập hợp 1. Phương pháp Cần nắm chắc các định nghĩa AB xxA| vaø xB  ; AB xxA| hoaëc xB  2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho A abc;; và Bacde ;; ; . Hãy chọn khẳng định đúng. A. A Bac ; . B. A Babcde ;;;; . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 34 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  36. C. A Bb  . D. A Bde ;  . Lời giải Chọn A A. Đúng vì ac;  vừa thuộc tập A, vừa thuộc tập B. B. HS nhầm là vừa thuộc A hoặc B. C. HS nhầm là thuộc A và không thuộc B. D. HS nhầm là thuộc B và không thuộc A. Câu 2: Cho hai tập hợp A 0; 2;3;5 và B 2; 7 . Khi đó A B A. AB 2;5 . B. AB 2 . C. AB . D. AB 0; 2;3;5;7 . Lời giải Chọn B AB 2. Câu 3. Cho hai tập hợp X 1;2;4;7;9 và X 1;0;7;10 . Tập hợp X Y có bao nhiêu phần tử? A. 9 . B. 7 . C. 8 . D. 10. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có XY 1;0;1;2;4;7;9;10 . Do đó X Y có 8 phần tử. Câu 4. Cho Ax |3 x  , B 0;1; 2;3 . Tập A B bằng A. 1; 2; 3 . B. 3; 2; 1;0;1; 2;3. C. 0;1; 2. D. 0;1; 2;3 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ax | x 3 0; 1; 2; 3  AB 0; 1; 2; 3 . Câu 5. Cho A , B là hai tập hợp bất kì. Phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới là tập hợp nào sau đây? A B A. A B . B. BA\ . C. A\ B . D. A B . Hướng dẫn giải Chọn D. Theo biểu đồ Ven thì phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp AB . Câu 6. Cho 2 tập hợp Ax |2 xxx 22 2 3 x 2 0, Bn |3 n2 30, chọn mệnh đề đúng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 35 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  37. A. AB 2. B. AB 5; 4 . C. AB 2; 4. D. AB 3. Hướng dẫn giải Chọn A. Xét tập hợp Ax |2 xxx 22 2 3 x 2 0 ta có: 22320xx 22 x x x 0 2 20xx 1 1 x A 0; 2; . 2  2320xx 2 2 x 2 Xét tập hợp Bn |3 n2 30 2;3; 4;5. Vậy AB 2. Câu 7: Cho Ax {–} |2 xx –22 2 x3–2 x 0 và Bn { *|3 n2 30 }. Tìm kết quả phép toán A B . A. 2; 4 . B. 2. C. 4;5 . D. 3 . Lời giải Chọn A Câu B, C, D do Hs tính sai phép toán. Câu 8. Cho hai tập hợp Aab 1; 2; ; , B 1;xy ;  với x, y khác ab,,2,1. Kết luận nào sau đây đúng? A. A  BB. B. AB . C. A  BA . D. AB 1 . Lời giải Chọn D Hai tập hợp A, B có 1 phần tử chung là 1 nên AB 1 . Câu 9. Cho hai tập hợp X 1;2; 4;7;9 và Y 1; 0; 7;10 . Tập hợp X Y có bao nhiêu phần tử? A. 9. B. 7 . C. 8 . D. 10. Lời giải Chọn C Ta có : XY 1;0;1;2; 4;7;9;10 nên tập hợp X Y có 8 phần tử. Câu 10. Cho các tập hợp sau Ax |2 xxx 22 320 x  và Bn |3 nn 1 31 . Khi đó A. AB 2;4 . B. AB 4;5. C. AB 2 . D. AB 3. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 36 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  38. Lời giải Chọn C. Ta có: A 0;1;2 và B 2;3;4;5 . Vậy: AB 2 . Câu 10: Cho hai đa thức f ()x và g()x . Xét các tập hợp Ax=Î{ |0 fx() =} , Bx=Î{ |g() x = 0} , Cx=Î{} |0 fxgx22() + () =. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. CAB=È. B. CAB=Ç. C. CA= \B. D. CBA= \. Lời giải. Chọn B. ïì fx= 0 22 ï () Ta có fx()+= gx () 0 í nên Cx=Î |0,0 fxgx() = () = nên CAB=Ç. ï {} îïgx()= 0 Câu 11: Cho hai tập hợp Ex=Î{ |0 fx() =} , Fx=Î{ |g() x = 0} . Tập hợp Hx=Î{ |0 fxgx()() =} . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. H =ÇEF. B. H =ÈEF. C. H = EF\. D. H = FE\. Lời giải. Chọn B. é fx= 0 ê () Ta có fxgx()()= 0 ê nên Hx=Î{ |0 fx() = gx () = 0} nên H =ÈEF. ëêgx()= 0 Dạng 2: Hiệu và phần bù của hai tập hợp 1. Phương pháp Cần nắm chắc các định nghĩa AB\| xx A vaø x B A Nếu AE thì E \ AC E . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Cho A 2; 4;6;9 và B 1; 2; 3; 4 . Tìm A \ B Lời giải AB\6;9  Ví dụ 2. Cho hai tập hợp AB 1; 2; 4; 6 , 1; 2;3; 4;5; 6; 7;8 . Tìm khi CAB Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 37 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  39. CAB B\3;5;7;8 A  . Ví dụ 3. Cho Ax mxmx 33, Bx x2 40 . Tìm m để B \ AB . Lời giải Ta có: xA mx 30. x 2 xB . x 2 m 0 m 0 m 0 3 3 2 0 m 33 Ta có: BA\   B B A m 2 m . 22 m 0 3 m 0 3 2 2 m 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hai tập hợp AB {}{3 2; 4; 6; 9 , 1; 2; ; 4.} Tập hợp A \ B bằng tập hợp nào sau đây? A. { 2; 4}. B. {1; 3} . C. {6; 9}. D. {;6; 9;1 3}. Lời giải Chọn C Ta có AB\6;9  . Câu 2. Cho hai tập hợp A 10;4 , B  6;1 . Khi đó CBA là A. 10; 6 . B. 6;1 . C. 10; 6  1;4 . D. 1; 4 . Lời giải Chọn C CBA  A\10;61;4 B  . Câu 3: Phần tô đậm trong hình vẽ sau biểu diễn tập hợp nào? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 38 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  40. A. BA\ . B. A\ B . C. AB . D. AB . Lời giải Chọn A Câu 4. Cho hai tập hợp AB 2; 4;6;9 , 1; 2;3; 4 . Tập A \ B bằng tập hợp nào sau đây? A. 2; 4 . B. 1; 3 . C. 6;9 . D. 6;9;1;3 . Lời giải Chọn C Ta có: AB\|;xB6;9 xx A   . Câu 5. Phần tô đậm trong hình vẽ sau biểu diễn tập hợp nào? A. B \ A . B. A \ B . C. A B . D. A B . Lời giải Chọn A Câu 6. Cho tập A 0,1,2,3,4 , B 2,3,4,5,6. Tập BA\ bằng A. 5, 6 . B. 5; 6 . C. 0,1 . D. 2,3, 4 . Lời giải Chọn A. Ta có: BA\5,6  . Câu 7. Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó A. B \ AC . B. A  BC. C. A \ BC . D. A  BC. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 39 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  41. Lời giải Chọn D Theo tính chất của hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông, ta có: CA và CB nên B \ AC , A \ BC là các mệnh đề sai. Vì hình vuông vừa là hình thoi và cũng là hình chữ nhật nên A  BC là mệnh đề đúng và A  BC là mệnh đề sai. Câu 8. Cho hai tập hợp M ,,NM N. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M  NN. B. M \ NN . C. M  NM . D. M \ NM . Lời giải Chọn D Theo giả thiết ta có M  N . Ta có sơ đồ Ven Câu 9 . Cho hai tập hợp: A 0;1; 2;3; 4 và B 2; 4;6;8;10. Tập A \ B bằng A. 6;8;10 . B. 0;1;3 . C. 2; 4 . D. 0;1; 2;3; 4; 6;8;10 . Lời giải Chọn B Tập AB\0;1;3  . Câu 10. Cho A: "Tập hợp các học sinh khối 10 học giỏi", B : “Tập hợp các học sinh nữ học giỏi”, C : “Tập hợp các học sinh nam khối 10 học giỏi”. Vậy tập hợp C là: A. AB . B. BA\ . C. AB . D. A \ B . Lời giải Chọn D Vì tập hợp B có chứa cả các học sinh nữ khối 10 học giỏi nên tập hợp C gồm những phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B . Do đó, CAB \ . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 40 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  42. Câu 11: Cho các tập hợp A , B , C . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. A  BC A BC . B. A  BC A BC . C. A \\\ BC AB  AC . D. A \\\ BC AB  AC . Lời giải Chọn D Câu 12. Cho các tập hợp A,,BCđược minh họa bằng biểu đồ Ven như hình vẽ. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây? A. ABC. B. A\C  A \ B . C. AC B\ . D. AC B\ . Lời giải Chọn D Phần tô xám trong hình là biểu diễn tập hợp các điểm vừa thuộc A, B mà không thuộc C . Chính là tập AC B\ . Câu 13: Cho A {0;1;2;3;4}, B {2;3; 4;5;6}. Tính phép toán A \\BBA  . A. 0;1;5;6 . B. 1; 2. C. 2;3; 4 . D. 5; 6 . Lời giải Chọn A Câu 14: Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. A  AB AB\ . B. BABAB  \ . C. BABAB  \ . D. A  AB AB\ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 41 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  43. Lời giải Chọn A xAB   x AxABAB   \. xAB \ xAB   x AB   AB\. xA xAB \ + Học sinh có thể chọn B vì hiểu sai hiệu của hai tập hợp. Giả sử xAB   x BxABAB   \. xAB \ xAB   x AB   AB\. xB xAB \ + Học sinh có thể chọn C vì hiểu sai hiệu của hai tập hợp xAB   x BxABAB   \. xAB \ xAB   x AB   AB\. xB xAB \ + Học sinh có thể chọn D vì nhầm giữa ký hiệu hợp và giao hai tập hợp. Câu 15: Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. ABA  \. B. BBA \.  C. ABA  \. D. A BA\. B Lời giải Chọn A x AxA + Chọn đáp án A vì giả sử  xA  BA\ . x BA\ x A + Học sinh có thể chọn B vì hiểu sai ký hiệu hiệu 2 tập hợp x BxB  xB  BA\ x BA\ x B + Học sinh có thể chọn C vì hiểu sai ký hiệu hợp, trình bài như bài giao hai tập hợp. + Học sinh có thể chọn D vì không nắm rõ ý nghĩa các ký hiệu  x ABAxBAxB  \\. .  x B x BA\\.  x A BA Câu 16: Cho hai đa thức f ()x và g(x). Xét các tập hợp Ax=Î{ |0 fx() =} , ïïìüfx() Bx=Î |g() x = 0 , Cx=Îíýïï |0 =. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? { } ïï îþïïgx() A. CAB=È. B. CAB=Ç. C. CA= \B. D. CBA= \. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 42 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  44. Lời giải. Chọn C. ì fx() ï fx()= 0 Ta có = 0 í hay Cx=Î |0,0 fxgx() = () ¹ nên CA= \B. ï {} gx() îïgx()¹ 0 Dạng 3: Bài toán sử dụng biểu đồ Ven 1. Phương pháp Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp · Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp · Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương trình) từ đó tìm được kết quả bài toán Trong dạng toán này ta kí hiệu nX( ) là số phần tử của tập X . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu , 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi cả hai . Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? bao nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông?Sĩ số lớp là bao nhiêu? Lời giải Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là 25 25 15 10 Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30-= 15 15 15 30 Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10++= 15 15 40 Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn còn 24 bạn không biết chơi môn bóng nào cả. Tìm số học sinh biết chơi cả 2 môn bóng. Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên. Lời giải Gọi abc,, theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán; x là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và toán y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và toán z là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và Sử Ta có số em thích ít nhất một môn là 45-= 6 39 Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình ïìaxz+++=525 (1) ï ïbyz+++=518 (2) íï c 20(T) ïcxy+++=520 (3) x ï ïxyzabc++++++=539(4) 25(V) îï 5 y a Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có z b 18(S) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 43 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  45. abc+++21563( xyz ++) + = (5) Từ (4) và (5) ta có abc 2 39 5 abc 15 63 ++=abc 20 Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên. Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Lý và 11 học sinh giỏi môn Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lý, 6 học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó chỉ có 11 học sinh giỏi đúng hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp a) Giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa b) Giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa. Lời giải Gọi TLH,, lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa. B là tập hợp học sinh giỏi đúng hai môn. 8(TH) 11(H) Theo giả thiết ta có 16(T) nT( ) ==16, nL( ) 15, nH( ) == 11, nB( ) 11 6(LH) 9(LT) nT(  L) ===9, nL( H) 6, nH(  T) 8 và a) Xét tổng nLnHnT()()()TL H  thì mỗi phần tử của tập 15(L) hợp TLHÇÇ được tính ba lần do đó ta có nLnHnT()()()3TLÇÇ++-ÇÇ HnTLHnBÇ=( ) ( ) 1 Hay nT()ÇÇ L H =énLn()()() TÇÇ + LHB +nT HÇ - n()ù = 4Suy ra có 4 học sinh 3 ëû giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. b) Xét nT(  L) + nL( T) thì mỗi phần tử của tập hợp TLH  được tính hai lần do đó số học sinh chỉ giỏi đúng môn toán là nT-+-ÇÇ=-+-=éù nT L nH T nT L H 16 9 8 4 3 ( ) ëûêú( ) ( ) ( ) ( ) Tương tự ta có Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Lý nL-+-ÇÇ=-+-=éù nT L nL H nT L H 15 9 6 4 4 ( ) ëûêú( ) ( ) ( ) ( ) Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Hóa nH-+-ÇÇ=-+-=éù nH T nL H nT L H 11 8 6 4 1 ( ) ëûêú( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra số học sinh giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa là 3418++=. Ví dụ 4. Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí tượng thủy văn đã thống kê được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số ngày có gió: 8 ngày; Số ngày lạnh: 6 ngày; Số ngày mưa và gió: 5 ngày; Số ngày mưa và lạnh : 4 ngày; Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày; Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày. Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)? Lời giải Ký hiệu A là tập hợp những ngày mưa, B là tập hợp những ngày có gió, C là tập hợp những ngày lạnh. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 44 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  46. Theo giả thiết ta có: nA 10, nB 8 , nC( ) = 6, A B 5 10 8 1 3 4 6 C nA()Ç= B 5, nA () Ç= C 4, nB ( Ç= C)( 3, nA ÇÇ= B C) 1. Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven(hình vẽ). Ta cần tính nA()ÈÈ B C . Xét tổng nA( ) ++ nB( ) nC( ): trong tổng này, mỗi phần tử của A giao B, B giao C, C giao A được tính làm hai lần nên trong tổng nA nB nC ta phải trừ đi tổng nA()()()Ç+ B nB Ç+ C nC Ç A. Trong tổng nA( ) ++ nB( ) nC( ) được tính nA( ÇÇ B C) 3 lần, trong nA()()()ÇÇÇ B++ nB C nC A cũng được tính nA  B C 3 lần. Vì vậy nA(ÈÈ B C )= +Ç n( A) + n( B) + n( C) nA ()()() Ç BnBÇ CCAnCÇÇ n( A B ) =++-+++=1086(543)113 Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày. Nhận xét: Với ABC,, là các tập bất kì khi đó ta luôn có ·È=+nA( B) nA( ) nB( ) -Ç nA( B) 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Lớp 10A có 51 bạn học sinh trong đó có 31 bạn học tiếng Anh và 27 bạn học tiếng Nhật. Lớp 10A có bao nhiêu bạn học cả tiếng Anh và tiếng Nhật? A. 7 . B. 9 . C. 5 . D. 12 . Lời giải Chọn A Số học sinh học cả tiếng Anh và tiếng Nhật của lớp 10A là 31 27 51 7 bạn. Câu 2. Lớp 10A có 45 học sinh, trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa được xếp loại học lực giỏi , vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc xếp loại hạnh kiểm tốt? A. 10. B. 35. C. 25 . D. 45 . Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 45 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  47. Gọi A là tập hợp học sinh được xếp loại học lực giỏi . Gọi B là tập hợp học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt . Khi đó AB là tập hợp học sinh vừa được xếp loại học lực giỏi , vừa có hạnh kiểm tốt . AB là tập hợp học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc xếp loại hạnh kiểm tốt . Ta có nA  B nA nB nA  B 15 20 10 25. Câu 3. Trong số 50 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 25 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa được học sinh giỏi vừa được hạnh kiểm tốt. Khi đó, lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải có học lực giỏi hay hạnh kiểm tốt. A. 20 . B.30. C.35. D. 25 . Lời giải Chọn B Đề có sự không thống nhất trong diễn đạt nên tôi sửa đề bài toán lại thành: Trong số 50 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 25 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa được xếp loại học lực giỏi vừa được xếp loại hạnh kiểm tốt. Khi đó, lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt. Từ giả thiết bài toán, ta có: Số các học sinh chỉ có học lực giỏi là: 15 10 5 . Số các học sinh chỉ được xếp loại hạnh kiểm tốt là: 25 10 15. Tổng số học sinh có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là 10 5 15 30 . Vậy có 30 học sinh được khen thưởng. Câu 4: Lớp 10B1 có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn của lớp 10B1 là: A. 9. B. 10. C. 18. D. 28. Lời giải. Chọn B. Ta dùng biểu đồ Ven để giải: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 46 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  48. Giỏi Toán + Lý Lý Toán 2 1 1 1 Giỏi Lý + Hóa 1 3 1 Giỏi Toán + Hóa Hóa Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn là: 121311110+ +++++= Câu 5. Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn của lớp 10A là A. 19. B. 18 . C. 31. D. 49 . Hướng dẫn giải Chọn B. Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven: Lý  6 F2 Toán 3 5 4 Hóa Dựa vào biểu đồ Ven, ta có học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn của lớp 10A là Số học sinh giỏi Toán: 64313 . Số học sinh giỏi Lý: 65314 . Số học sinh giỏi Hóa: 45312 . Ta lại có: Số học sinh giỏi cả Toán và Lý: 6 . Số học sinh giỏi cả Toán và Hóa: 4 . Số học sinh giỏi cả Hóa và Lý: 5. Và số học sinh giỏi cả Toán, Lý và Hóa là 3. Số học sinh giỏi hơn một môn là 465318 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 47 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  49. Câu 6. Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hoá, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hoá, 1 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hoá. Số học sinh giỏi ít nhất một môn của lớp 10A là A. 9. B. 18 . C. 10 . D. 28 . Hướng dẫn giải Chọn C. toán 7 lý 3 1 4 5 2 hóa 6 Số học sinh giỏi toán, lý mà không giỏi hóa: 31 2. Số học sinh giỏi toán, hóa mà không giỏi lý: 413 . Số học sinh giỏi hóa, lý mà không giỏi toán: 211 . Số học sinh chỉ giỏi môn lý: 52111 . Số học sinh chỉ giỏi môn hóa: 63111 . Số học sinh chỉ giỏi môn toán: 73211 . Số học sinh giỏi ít nhất một là số học sinh giỏi 1 môn hoặc 2 môn hoặc cả 3 môn: 11112 3110 . Câu 7: Một lớp có 45 học sinh. Mỗi em đều đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn: bóng đá và bóng chuyền. Có 35 em đăng ký môn bóng đá, 15 em đăng ký môn bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn? A. 5. B. 10. C. 30. D. 25. Lời giải Chọn A Đáp án A đúng vì: Gọi A là tập hợp các học sinh đăng ký chơi bóng đá, B là tập hợp các học sinh đăng ký chơi bóng chuyền. Dựa vào biểu đồ Ven, ta có: số học sinh đăng ký cả 2 môn là AB A B  AB35 15 45 5 . |A|=35 5 |B|=15 Đáp án B sai vì học sinh tính 45 35 10 . Đáp án C sai vì học sinh tính 45 15 30 . Đáp án D sai vì học sinh tính 35 15 : 2 25. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 48 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  50. Câu 8. Trong kì thi đánh giá năng lực lần I năm học 2018 – 2019 của trường THPT Triệu Quang Phục, kết quả có 86 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 61 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lí và 76 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa Học, 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật Lí, 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật Lí và Hóa Học, 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa Học, 18 thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật Lí và Hóa Học. Có 782 thí sinh mà cả ba môn đều không điểm giỏi. Hỏi trường THPT Triệu Quang Phục có bao nhiêu thí sinh tham dự kì thi đánh giá năng lực lần I năm học 2018 – 2019? A. 920. B.912. C.925. D.889. Lời giải Chọn D Ta biểu diễn các tập hợp như trong biểu đồ: Thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán được biểu diễn màu trắng, Thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lý được biểu diễn màu tím. Thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa được biểu diễn màu đỏ. Mỗi tập hợp nhỏ bên trong gọi tên như trong hình. Ta có số thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật Lí và Hóa Học là nA 7 18. 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật Lí ta được nA 72 nA 45. 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa Học ta được nA 47 nA 32 . 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật Lí và Hóa Học ta được nA 67 nA 21. Số thí sinh đạt điểm giỏi chỉ hai môn là nA nA nA nA nA nA nA nA nA 3 nA 6427247677 45 21 32 3.18 44 86 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán ta được nA 2347 nA nA nA 86 . 61 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lí ta được nA 1672 nA nA nA 61. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 49 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  51. 76 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa Học ta được nA 4675 nA nA nA 76 . Số thí sinh đạt điểm giỏi chỉ một môn là nA nA nA 86 61 76 3 nA 2 nA nA nA 135 7 642 86 61 76 3.18 2.44 81 Số thí sinh đạt điểm giỏi gồm nA 1234567 nA nA nA nA nA nA nA 1356427 nA nA nA nA nA nA 81 44 18 143 Trường THPT Triệu Quang Phục có số thí sinh tham dự kì thi đánh giá năng lực lần I năm học 2018 – 2019 bao gồm số thí sinh đạt điểm giỏi và số thí sinh không đạt điểm giỏi nên bằng: 782 143 925 thí sinh. Cách 2: Ta có số thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật Lí và Hóa Học là nA 7 18. 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật Lí ta được nA 72 nA 45 nA 2 45 18 27 . 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa Học ta được nA 47 nA 32 nA 4 32 18 14 . 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật Lí và Hóa Học ta được nA 67 nA 21 nA 6 21 18 3 . 86 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán ta được nA 2347 nA nA nA 86 nA 3 86 18 27 14 27 . 61 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lí ta được nA 1672 nA nA nA 61 nA 1 61 18 27 3 13 . 76 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa Học ta được nA 4675 nA nA nA 76 nA 5 76 18 3 14 41. Số thí sinh đạt điểm giỏi gồm nA 1234567 nA nA nA nA nA nA 18 3 14 27 41 27 13 143 . Câu 9. Đầu năm học;thầy chủ nhiệm phát biểu điều tra sở thích về 3 môn Văn;Sử;Địa. Biết rằng mỗi bạn đều thích ít nhất một trong ba môn đó. Kết quả là: Có 4 bạn thích cả ba môn;có 9 bạn thích Văn và Sử;có 5 bạn thích Sử và Địa;có 11 bạn thích Văn và Địa;có 24 bạn thích Văn;có 19 bạn thích Sử và có 22 bạn thích Địa? Hỏi có bao nhiêu bạn không thích Địa? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 50 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  52. A. 21. B. 23. C. 24 . D. 22 . Lời giải Chọn D Văn 8 Sử 5 7 4 9 10 Địa 1 Dựa vào biểu đồ Ven;ta có: - Số học sinh chỉ thích hai môn Văn và Sử là 5 . - Số học sinh chỉ thích hai môn Sử và Địa là 1. - Số học sinh chỉ thích hai môn Văn và Địa là 7 . - Số học sinh chỉ thích một môn Văn là 8 . - Số học sinh chỉ thích một môn Sử là 9 . - Số học sinh chỉ thích một môn Địa là 10 . Do đó;số bạn không thích môn Địa là 958 22. Câu 10. Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 24 học sinh giỏi Toán, 20 học sinh giỏi Văn và 12 học sinh giỏi không giỏi môn nào trong hai môn Toán và Văn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn? A. 8 . B. 4 . C. 16 . D. 18 . Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 51 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  53. Gọi a là số học sinh giỏi Văn không giỏi Toán, b là số học sinh giỏi Toán hông giỏi Văn, x là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn. ax 20 Ta có hệ phương trình bx 24 abx 12 40 Giải hệ ta được abx 4, 8, 16 Vậy có 16 học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn Câu 11. Người ta phỏng vấn 100 người về ba bộ phim A,,BC đang chiếu thì được kết quả như sau: Bộ phim A : có 28 người đã xem. Bộ phim B : có 26 người đã xem. Bộ phim C : có 14 người đã xem. Có 8 người đã xem hai bộ phim A và B Có 4 người đã xem hai bộ phim B và C Có 3 người đã xem hai bộ phim A và C Có 2 người đã xem cả ba bộ phim A ; B và C . Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba bộ phim A;;B C là A. 55. B. 45 . C. 32. D. 51. Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 52 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  54. Số người đã xem phim là: 28 26 14 4 8 3 2 55 . Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba phim là: 100 55 45 . Câu 12. Trong kì thi đánh giá năng lực lần I năm học 2018-2019 của trường THPT Triệu Quang Phục, kết quả có 86 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 61 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật lí và 76 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa học, 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật lí, 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật lí và Hóa học, 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa học, 18 thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật lí và Hóa học. Có 782 thí sinh mà cả ba môn đều không đạt điểm giỏi. Hỏi trường THPT Triệu Quang Phục có bao nhiêu thí sinh tham dự kì thi đánh giá năng lực lần I năm học 2018-2019? A. 920. B. 912. C. 925. D. 889 . Lời giải Chọn C Ta có biểu đồ Ven: Toán 27 13 27 Lí 18 3 14 41 Hóa 782 Cả trường Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 2 môn Toán và Lí là 45 18 27 . Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 2 môn Toán và Hóa là 32 18 14 . Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 2 môn Lí và Hóa là 21 18 3. Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 1 môn Toán là 86 18 14 27 27 . Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 1 môn Lí là 61 18 27 3 13. Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 1 môn Toán là 76 18 14 3 41. Từ đó ta có số thí sinh tham dự kì thi là 13 3 41 86 782 925 . Câu 13. Học sinh khối 10 năm học 2018 – 2019 của Trường Gia Bình số 1 có 200 học sinh theo khối A1, mỗi học sinh đều giỏi 1 trong 3 môn: Toán, Lí, Anh. Có 59 học sinh giỏi Anh, số học sinh giỏi Toán gấp bốn số học sinh giỏi Lí, có 4 học sinh giỏi Lí và Anh, không có học sinh nào giỏi Lí và Toán, có 5 học sinh giỏi Anh và Toán. Hỏi có bao nhiêu học sinh giỏi Toán? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 53 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  55. A. 96 . B. 100 . C. 120 . D. 110 . Lời giải Chọn C Gọi x là số học sinh giỏi Toán. x x Suy ra số học sinh giỏi Lí là ; số học sinh chỉ giỏi duy nhất Lí là 4 ; số học sinh chỉ 4 4 giỏi duy nhất Toán là x 5 . x 5 Do đó ta có: 59 4xxx 5 200 150 120 . 44 Vậy có 120 học sinh giỏi Toán. Dạng 4. Chứng minh X  Y. Chứng minh X Y 1. Phương pháp  Chứng minh X   YxxXxY ,  Chứng minh X Y Cách 1: X  YxxXxY , Cách 2: Chứng minh X  Y và YX 2. Ví dụ ïïìüp ïïìü2p Ví dụ 1: Cho các tập hợp AkkZ=+íýïïp, Î, BkkZ=-íýïï +p, Î và îþïï3 îþïï3 ïïìü2ppk CkZ=-íýïï +, Î îþïï32 a) Chứng minh rằng AB . b) ACÌ Lời giải p a) · Ta có "ÎxA $Î k Zx: = + kp suy ra 003 pp2 xk=-+pp() +11 =-+() k + p. 3300 Vì kZk00 1 Z do đó xBÎ suy ra ABÌ (1). 2p · "ÎxB $Î k Zx: =-+ kp suy ra 003 2 xkk 11 . 3300 Vì kZk00Î -Î1 Z do đó xAÎ suy ra BAÌ (2). Từ (1) và (2) suy ra AB= . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 54 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  56. b) Ta có  x AkZxk  : suy ra 003 pp21(kk++)pp2 21( ) x =-+p 00 =-+ . 3232 Vì kZ00Î 21( k +Î) Z do đó xCÎ Suy ra ACÌ . Ví dụ 2: Cho A và B là hai tập hợp. Chứng minh rằng a) (AB\ ) Ì A b) ABAÇ=Æ( \ ) c) ABAABÈ=È( \ ) Lời giải xA a) Ta có  x,\xAB xA xB Suy ra (AB\ ) Ì A ïìxAÎ ïì xAÎ ï b) Ta có xAÎÇ() BA\ ííïï xB Î ÎÆ x ïïxBAÎ ()\ îïïxAÏ îï Suy ra ABAÇ=Æ( \ ) é xAÎ ééxAÎÎê xA c) Ta có xAÎÈ() BA\ êê êïìxBÎ ÎÈ xAB êêxBAÎÎ()\ êïí xB ëëêêêïxAÏ ëêîï Ví dụ 3: Cho các tập hợp AB, và C . Chứng minh rằng a) ABCÇÈ=ÇÈÇ( ) ( AB) ( AC) b) ABCÈÇ=ÈÇÈ( ) ( AB) ( AC) c) ABCÇ=Ç( \\) ( ABC) Lời giải x A xA a) Ta có xA  BC  x B xBC  x C éìïxAÎ êíï êïxBÎÎÇé xAB êîï ê ÎÇÈÇxABAC êì ê ()() êïxAÎÎÇê xAC íï ë êïxCÎ ëîêï Suy ra ABCÇÈ=ÇÈÇ( ) ( AB) ( AC). é xAÎ é xAÎ ê b) Ta có xAÎÈ() BC Ç ê êïìxBÎ êxBCÎÇ êíï ëê êïxCÎ ëêîï Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 55 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  57. ïìéxAÎ ïê ïê ì ïêxBÎÎÈï xAB ííïïë ÎÈÇÈxABAC()() ïïéxAÎÎÈ xAC ïïïê î ïêxCÎ îëïê Suy ra ABCABAC  ïìxAÎ ïì xAÎ ï c) Ta có xAÎÇ() BC\ ííïï xBÎ ïïxBCÎ \ îïïxCÏ îï ïìxABÎÇ ÎÇíï xABC()\ ï xCÏ îï Suy ra ABCÇ=Ç( \\) ( ABC) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 56 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  58. BÀI 4. CÁC TẬP HỢP SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I.CÁC TẬP HỢP SỐ Đà HỌC 1. Tập hợp các số tự nhiên = {}0, 1, 2, 3, ; * = {}1, 2, 3, . . 2. Tập hợp các số nguyên = {} , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . Các số 1, 2, 3, là các số nguyên âm. Vậy gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm. 3. Tập hợp các số hữu tỉ  a Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số , trong đó ab,,0.ι b b a c Hai phân số và biểu diễn cùng một số hữu tỉ khi và chỉ khi ad= bc. b d Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. 4. Tập hợp các số thực Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ. Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. II . CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA Một số tập con thường dùng của tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Biểu diễn Đoạn x R/ a x b Khoảng x R/ a a Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 56 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  59. Khoảng ,b x R/ x < b Nửa khoảng x R/ a x < b Nửa khoảng x R/ x b Nửa khoảng x R/ a x  x R/ a < x b Nửa khoảng ab, B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm giao và hợp các khoảng, nửa khoảng, đoạn 1. Phương pháp · Để tìm ABÇ ta làm như sau - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợpAB, lên trục số - Biểu diễn các tập A, B trên trục số(phần nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ) - Phần không bị gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp AB, · Để tìm ABÈ ta làm như sau - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợpAB, lên trục số - Tô đậm các tập A, B trên trục số - Phần tô đậm chính là hợp của hai tập hợp AB, 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho hai tập hợp AB 7 ; 3 , 4 ; 5 . Tìm AB , AB Lời giải Ta có: AB 4 ; 3 , AB 7 ; 5 4 Ví dụ 2: Cho số thực a 0 . Tìm a  ;9a ; a Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 57 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  60. 2 a 4 4 3 ;9a  ;  9a . a a 2 a 0 3 2 Vì a 0 nên giá trị của a cần tìm là a 0 . 3 Ví dụ 3: Tìm điều kiện của m để A  B là một khoảng, biết AmmB ;2;4;7 . Lời giải mm 427 24 m mm 47 2 A  B là một khoảng 5727.mm 472 mm 45 m 427 mm 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Tập ;3  5;2 bằng A.  5; 3 . B. ;5. C. ;2 . D. 3; 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có ;3  5;2  5;3 . Câu 2. Hình vẽ sau đây là biểu diễn của tập hợp nào?  2 5 A. ;2  5; . B. ;2  5; . C. ;2   5; . D. ;2  5; . Hướng dẫn giải Chọn A. Câu 3. Kết quả của   4;1 2;3 là A. 2;1 B. 4;3 C. 4; 2 D. 1; 3     Hướng dẫn giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 58 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  61. 41x Cách 1: Gọi x   4;1 2;3, ta có: 43x Chọn B. 23x Cách 2: Biểu diễn hai tập hợp  4;1 và 2;3 trên trục số rồi tìm hợp của hai tập hợp, Chọn B. Câu 4. Cho hai tập hợp A  2;3 và B 1; . Tìm AB . A. AB  2; . B. AB 1; 3. C. AB 1; 3 . D. AB 1; 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Biểu diễn hai tập hợp A và B ta được: Vậy AB 1; 3. Câu 5. Cho các tập hợp M  3;6 và N ;2  3; . Khi đó M  N là A. ;2  3;6. B. ;2  3; . C.  3; 2  3; 6 . D. 3; 2  3; 6 . Hướng dẫn giải Chọn C. []) ( Biểu diễn trục số: 3 2 3 6 M  3; 6 và N ;2  3; . Khi đó: MN  3; 2 3; 6 . Câu 6. Cho A ;2 , B 2; , C 0;3 . Chọn phát biểu sai. A. AC 0; 2 . B. BC 0; . C. AB \2  . D. BC 2;3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: A B . Câu 7. Cho A ;2, B 3; , C 0; 4 . Khi đó tập AB C là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 59 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  62. A. ;2   3; . B. ;2  3; . C. 3; 4 . D. 3; 4 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có AB ;2   3; . Suy ra AB C3; 4 . Câu 8. Cho A ;5, B 0; . Tìm AB . A. AB 0;5 . B. AB 0;5 . C. AB 0;5 . D. AB ; . Hướng dẫn giải Chọn C. A B 0;5. Câu 9. Cho A 1; 9 , B 3; , câu nào sau đây đúng? A. AB 1; . B. AB 9; . C. AB 1; 3 . D. AB 3; 9 . Hướng dẫn giải Chọn D. A B  1; 9 3; 3; 9 . Câu 10. Cho ba tập hợp: X 4;3 , Yx :2 x 4 0, x 5 , Zx :3 x x 40  . Chọn câu đúng nhất: A. XY . B. Z  X . C. Z XY. D. Z  Y . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có:  Yx :2 x 4 0, x 5 2;5 ; Z 3; 4 . 3 X  XY A sai. 3 Y Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 60 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  63. 4 Z  Z X B sai. 4 X 3 Z  Z Y D sai. 3 Y  XY 4;5 3; 4  4; 5 . Vậy Z XY Vậy C đúng. Câu 11. Tập hợp nào dưới đây là giao của hai tập hợp Ax :1 x 3 , Bx :2 x  ? A. 1; 2 . B. 0; 2 . C. 2;3 . D.  1; 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta viết lại hai tập hợp như sau: Ax :1 x 3  1;3 . Bx :2 x  2;2 . Suy ra: AB  1; 2 . Câu 12. Cho A 1; , Bx |10 x2  , C 0; 4 . Tập ABC có bao nhiêu phần tử là số nguyên. A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn A. Ta có : AB C1; 4 có 3 phần tử là số nguyên. Câu 13. Cho hai tập hợp A 3;3 và B 0; . Tìm A B . A. AB 3; . B. AB  3; . C. AB  3;0 . D. AB 0;3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Thực hiện phép hợp trên hai tập hợp A và B ta được: AB 3; . Câu 14. Kết quả của phép toán ;1  1;2 là A. 1; 2 . B. ;2 . C.  1;1 . D. 1;1 . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 61 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  64. Chọn C. Ta có ;1  1;2  1;1 . Câu 15. Cho A 2; , Bm ; . Điều kiện cần và đủ của m sao cho B là tập con của A là A. m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. + ∞ ‐ ∞ 2 B=() m;+∞ Ta có: B  A khi và chỉ khi x BxA m 2 . Câu 16. Cho Am ;1; B 1; . Điều kiện để AB là A. m 1. B. m 2 . C. m 0 . D. m 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: AB 11 mm 2. m 3 Câu 17. Cho các tập hợp khác rỗng m 1; và B ;3  3; . Tập hợp các giá trị thực 2 của m để AB  là A. ;2  3; . B. 2;3 . C. ;2  3;5 . D. ;9  4; . Hướng dẫn giải Chọn C. m 3 m 1 2 m 5 Để AB  thì điều kiện là m 13 m 2 . m 3 m 3 3 2 Vậy m 23;5  . Câu 18. Cho hai tập hợp A 1; 3 và Bmm  ;1  . Tìm tất cả giá trị của tham số m để B  A . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 62 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  65. A. m 1. B. 12 m . C. 12 m . D. m 2 . Hướng dẫn giải Chọn C. mm 11 Ta có: BA . Vậy 12 m . mm 13 2 Câu 19. Cho m là một tham số thực và hai tập hợp Amm 12; 3 , Bx |85 x m . Tất cả các giá trị m để AB  là 5 2 5 25 A. m . B. m . C. m . D. m . 6 3 6 36 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có Amm 12; 3 , Bm 85; . 5 m mm 385 65m 6 25 AB  m . 12 mm 3 32m 2 36 m 3 Câu 20. Cho hai tập A 0;5; Baa 2;3 1, với a 1. Tìm tất cả các giá trị của a để A. B 5 5 a a 2 2 15 15 A. . B. . C. a . D. a . 1 1 32 32 a a 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. a 1 1 231aa 1 a a 3 15 A  B 310a 3 a . 5 32 25a 5 1 a a 2 2 Dạng 2: Xác định hiệu và phần bù các khoảng, đoạn, nửa khoảng 1. Phương pháp · Để tìm AB\ ta làm như sau Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 63 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  66. - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợpAB, lên trục số - Biểu diễn tập A trên trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A ), gạch bỏ phần thuộc tập B trên trục số - Phần không bị gạch bỏ chính là AB\ . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho các tập hợp: AxRx=Î{}{| < 3 BxRx =Î |1 <£ 5 }{ C =Î-££ xR | 2 x 4 } a) Hãy viết lại các tập hợp A, BC, dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn. b) Tìm ABABABÈÇ,,\. c) Tìm (BCÈÇ) \ ( AC) Lời giải ùéù a) Ta có: ABC=-¥( ;3) =( 1;5ûëû =- 2;4 . b) · Biểu diễn trên trục số 1 3 5 ( ) ] Suy ra AB ;5 1 3 5 · Biểu diễn trên trục số / / / / ( )\/\/\/\]\/\/\/\ Suy ra ABÇ=(1; 3 ) 1 3 5 ( / / / /)\/\//\/\]\ \ \ \ · Biễu diễn trên trục số ù Suy ra AB\;1=-¥( û c) Bằng cách biểu diễn trên trục số ta có éù AC 2;3 và BCÈ=-ëû2; 5 éù Suy ra ta có (BCÈÇ=) \3;5( AC) ëû Nhận xét: Việc biểu diễn trên trục số để tìm các phép toán tập hợp ta làm trên giấy nháp và trình bày kết quả vào. Ví dụ 2: Xác định các tập số sau và biểu diễn trên trục số: ùé é ù a) ()-Ç4;2ûë 0; 4 b) (0; 3) È ë 1; 4 û é ù c) 4;3 \ 2;1 d) \1;3ë û Lời giải a) Ta có (-Ç4;2ùé 0; 4) = é 0;2 ù 0 2 ûë ë û / / / / /[ ]/ / / / / / Biểu diễn tập đó trên trục số là b) Ta có ()0; 3È=éù 1; 4 ( 0; 4 ù 0 4 ëû û / / / / ( ]/ / / / / / Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 64 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  67. Biểu diễn tập đó trên trục số là éùéùé ù c) Ta có ëûëûë = È4; 3 \ 2;1 4; 2) ( 1; 3 û 4 2 1 3 Biểu diễn tập đó trên trục số là / / /[ )/ / / /( ]/ / / d) Ta có \1;3  ;1 3; 1 3 Biểu diễn tập đó trên trục số là )[/ / / /]( é ù Ví dụ 3: Cho các tập hợp Am=-¥( ; ) và Bm=-ë31;33 m +û . Tìm m để a) ABÇ=Æ b) B  A c) ACBÌ d) CA Ç¹Æ B m Lời giải )/ / / / / / / / Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ a) Ta có ABÇ=Æ 31m 33m 1 / / / / /[ ]/ / / / £mm31 - ³ m 2 1 Vậy m ³ là giá trị cần tìm. 2 3 b) Ta có BAÌ 33 m +< m m <- 2 3 Vậy m là giá trị cần tìm. 2 c) Ta có CB =-¥( ;3 m - 1) È( 3 m + 3; +¥) 1 Suy ra ACBmÌ £- ³31 m m 2 1 Vậy m ³ là giá trị cần tìm. 2 3 d) Ta có CA=+¥é m; ) suy ra CA B  m 33 m m ë 2 3 Vậy m ³- là giá trị cần tìm. 2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho tập hợp A 3; 5 . Tập hợp CA bằng A. ;3  5; . B. ;3  5; . C. ;3  5; . D. ;3  5; . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 65 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  68. Chọn D. Ta có CA  \;35; A . Câu 2. Phần bù của  2;1 trong là A. ;1 . B. ;2  1; . C. ;2 . D. 2; . Hướng dẫn giải Chọn B. CB \;21; B  . Câu 3. Tập hợp nào sau đây chỉ gồm các số vô tỷ? A.  \ * . B. \ . C.  \ . D. \0  . Hướng dẫn giải Chọn B. Tập hợp chỉ gồm các số vô tỷ là \ . Câu 4. Cho các tập hợp Ax |3 x , Bx |1 x 5, Cx |2 x 4. Khi đó B CAC\ bằng A.  2;3 . B. 3; 5. C. ;1 . D.  2;5 . Hướng dẫn giải Chọn B. A ;3 , B 1; 5 , C  2; 4 . BC   \ AC 1;5  2;4 \ ;3  2;4  2;5 \ 2;3 3; 5 . Câu 5. Cho A ;1 ; B 1; ; C 0;1. Câu nào sau đây sai? A. AB  \C ;0 1; . B. AB  C1 . C. AB C; . D. AB \C . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có AB 1  ABC1  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 66 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  69. Câu 6. Cho A  1; 3 ; B 2;5 . Tìm mệnh đề sai. A. BA\3;5  . B. AB 2;3 . C. AB\1;2  . D. AB  1; 5 . Lời giải Chọn D. Mệnh đề đúng: AB  1; 5 . Câu 7. Cho các tập Ax |1 x , Bx |3 x . Tập \ AB là : A. ;1  3; . B. 1; 3. C.  1; 3 . D. ;1  3; . Lời giải Chọn A. Ta có : A  1; ; B ;3 . Khi đó AB  1; 3   \;13; AB  . 5 Câu 8. Cho hai tập hợp A 2; và B ; . Khi đó ABBA \ là 2 5 5 5 A. ;2. B. 2; . C. ; . D. ; . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 5 2 2 5 A Ta có AB , BA\; . 2 5 B  Do đó AB BA\; 2 Câu 9. Cho A 1; 3 và B 0;5 . Khi đó ABAB \ là A. 1; 3 . B.  1; 3 . C. 1; 3 \ 0. D. 1; 3. Hướng dẫn giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 67 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  70. C1: Ta có: AB 0;3 và AB\1;0 . Do đó: AB AB\  0;3  1;0 1;3 . C2: Ta có: A BABA \ nên AB AB\1;3 . Câu 10. Xác định phần bù của tập hợp ;2 trong ;4 . A. 2;4 . B. 2;4. C.  2;4 . D.  2;4 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: C ;4 ;2 ;4\ ;2  2;4 . Câu 11. Xác định phần bù của tập hợp ;10  10;  0 trong . A.  10; 10 . B.  10; 10 \ 0 . C.  10; 0  0; 10 . D.  10; 0 0; 10 . Hướng dẫn giải Chọn B. \ ; 10  10;  0  10; 10 \ 0. Câu 12. Cho hai tập hợp X , Y thỏa mãn XY\7;15  và XY 1; 2 . Xác định số phần tử là số nguyên của X . A. 2 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D. Do XY\7;15   7;15 X . Mà XY 1; 2 1; 2 X . Suy ra X 1; 2  7;15. Vậy số phần tử nguyên của tập X là 4 . Câu 13. Cho A ;2 và B 0; . Tìm A \ B . A. AB\;0 . B. AB\2; . C. AB\0;2 . D. AB\;0 . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 68 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  71. Chọn A. Biểu diễn hai tập hợp A và B lên trục số ta có kết quả AB\;0 . Câu 14. Cho hai tập hợp Ax |3 x 2 , B 1; 3 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. AB 1; 2. B. AB\3;1 . C. CB ;1  3; . D. AB 2; 1;0;1; 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ax |3 x 2 3; 2 3; 2  1; 3 1; 2. Câu 15. Cho Aaa  ;1 . Lựa chọn phương án đúng. A. CA ;1; a  a . B. CA ;1; a  a . C. CA ;1; a  a . D. CA ;1; a  a . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có CA \; A a  a 1; . Câu 16. Cho các tập hợp khác rỗng A ;m và Bm 22;22 m . Tìm m để CAR   B . A. m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: CAR  m; . Để CAR   B22 m m m 2. Câu 17. Cho A x mx 33 mx  , Bx x2 40. Tìm m để BA\ B. 33 3 33 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 22 2 22 2 Lời giải Chọn C Ta có: xA mx 30. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 69 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  72. x 2 xB . x 2 m 0 m 0 m 0 3 3 2 0 m 33 Ta có: BA\   B B A m 2 m . 22 m 0 3 m 0 3 2 2 m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 70 hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  73. BÀI 5. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Số gần đúng: Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng. 2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối a) Sai số tuyệt đối: Giả sử a là gí trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần đúng của a . Giá trị aa phản ánh mức độ sai lệch giữa a và a . Ta gọi aa là sai số tuyệt đối của số gần đúng a và kí hiệu là a , tức là a aa Nếu a aa d thì ad a ad. Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d, và qui ước viết gọn là aad . Như vậy, khi viết aad ta hiểu là số đúng a nằm trong đoạn adad ; . Bởi vậy d càng nhỏ thì độ sai lệch của số gần đúng a so với số đúng a càng ít. Thành thử d được gọi là độ chính xác của số gần đúng. b) Sai số tương đối: Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí d d hiệu  a . Nếu aad thì aa d. Do đó  . Nếu càng nhỏ thì độ a a a a a a chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn. Ta thường viết a dưới dạng phần trăm. 3. Qui tròn số gần đúng Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0. Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn. Ví dụ 1: Nếu quy tròn số 8216,3 đến hàng chục thì chữ số ở hàng quy tròn là 1, chữ số ngay sau đó là 6; do 65 nên ta có số quy tròn là 8200 . Ví dụ 2: Nếu quy tròn số 3,654 đến hàng phần trăm (tức chữ số thứ 2 sau dấu phẩy) thì chữ số ngay sau hàng quy tròn là 4; do 45 nên số quy tròn là 2,65 . Trong hai ví dụ trên, sai số tuyệt đối là 8216,4 8220 3,6 5; 3,654 3,65 0,004 0,005 Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn. Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn. Chú ý: Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là aad ). Khi được yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn số a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó. Chẳng hạn: Cho a 1,236 0,002 và ta phải quy tròn số 1,236 . Ta thấy, 0,001 0,002 0,01 nên Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 71 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  74. hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần trăm. Vậy ta phải quy tròn số 1,236 đến hàng phần trăm. Kết quả là a 1, 24 4. Chữ số chắc và cách viết chuẩn số gần đúng a) Chữ số chắc: Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số đgl chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó. Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc. Ví dụ: Trong cuộc điều tra dân số , người ta báo cáo số dân của tỉnh A là 1379425 ngöôøi 300 ngöôøi. 100 100 Vì 50 300 500 nên chữ số hàng trăm (chữ số 4) không là chữ số chắc, chữ số hàng 22 nghìn (chữ số 9) là chữ số chắc. Vậy các chữ số chắc là 1,3,7,9 và các chữ số 4,2,5 đều là không chắc. b) Dạng chuẩn của số gần đúng: Cách viết chuẩn của một số gần đúng là cách viết mà tất cả các chữ số của a là chữ số chắc.  Nếu số gần đúng là số thập phân (không nguyên) thì dạng chuẩn là dạng mọi chữ số của nó là chữ số chắc. Ví dụ: Cho một giá trị gần đúng của 5 được viết dưới dạng chuẩn là 2,236 5 2,236 . Ở đây 1 hàng thấp nhất chữ số chắc là hàng phần nghìn nên độ chính xác của nó là .10 3 0,0005 . Do đó 2 ta viết 2,236 0,0005 5 2,236 0,0005 .  Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10k , trong đó A là số nguyên, k là hàng thấp nhất có chữ số chắc k . (Từ đó, mọi chữ số của A là chữ số chắc) Ví dụ: Số dân của Việt Nam (năm 2005) vào khoảng 83.106 người (83 triệu người). Ở đây, k 6 1 nên độ chính xác của số gần đúng là .106 500000 . Do đó ta biết được số dân của Việt Nam trong 2 khoảng từ 82,5 triệu người đến 83,5 triệu người. 5. Kí hiệu khoa học của một số Mỗi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng .10n , trong đó 110, n (Quy ước rằng 1 nếu nm , với m là số nguyên dương thì 10 m ). Dạng như thế được gọi là kí hiệu khoa học 10m của số đó. Người ta thường dùng kí hiệu khoa học để ghi những số rất lớn hoặc rất bé. Số mũ n của 10 trong kí hiệu khoa học của một số cho thấy độ lớn (bé) của số đó. Ví dụ: Khối lượng trái đất viết dưới dạng kí hiệu khoa học là 5,98.1024 kg . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 72 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  75. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Biết số gần đúng a, và độ chính xác d . Ước lượng sai số tương đối, các chữ số chắc, viết dưới dạng chuẩn. 1. Phương pháp d  Ước lượng sai số tương đối:  a a ||aa || 10nn 10 1  Chữ số chắc: Từ d suy ra n và suy ra các chữ số chắc. 22 Ví dụ mẫu 1: Biết số gần đúng là 65894256 có độ chính xác d 140 . a) Ước lượng sai số tương đối của số đó b) Viết các chữ số chắc (đáng tin) c) Viết số đó dưới dạng chuẩn Hướng dẫn d 140 a) Ước lượng sai số tương đối:  0,0000021, tức không vượt quá 0,0000021 a |a | 65894256 1023 10 b) 140 nên chữ số hàng nghìn trở lên là chữ số chắc. Vậy các chữ số chắc là 6,5,8,9,4. 22 c) Viết số đó dưới dạng chuẩn là 65894.103 . Ví dụ mẫu 2: Độ dài của cái cầu bến thủy hai (Nghệ An) người ta đo được là 996mm 0,5 . Sai số tương đối tối đa trong phép đo là bao nhiêu. Lời giải Ta có độ dài gần đúng của cầu là a = 996 với độ chính xác d0,5= D d 0, 5 Vì sai số tuyệt đối D£d =0, 5 nên sai số tương đối d =£=»a 0, 05% a a aa996 Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là 0, 05% . Dạng 2. Biết số gần đúng a và sai số tương đối không vượt quá c . Ước lượng sai số tuyệt đối, các chữ số chắc, viết dưới dạng chuẩn. Phương pháp: Ước lượng sai số tuyệt đối aa ||.aac ||. 1 Ví dụ mẫu 1: Biết số gần đúng 327,5864 có sai số tương đối không vượt quá . 10000 a) Ước lượng sai số tuyệt đối của số đó; Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 73 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  76. b) Viết các chữ số chắc; c) Viết số đó dưới dạng chuẩn Hướng dẫn 1 a) Ước lượng sai số tuyệt đối :  |a ' | . 327,5864. 0,032 aa' 10000 10 21 10 b) Viết các chữ số chắc: 0,032 nên từ chữ số thập phân chục trở lên là các chữ số 22 chắc. Vậy các chữ số chắc là 3,2,7,5. c) Viết số đó dưới dạng chuẩn là: 327,6 (do có quy tròn đến hàng phần chục). Ví dụ mẫu 2: Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số gần đúng ab, biết sai số tương đối của chúng. a) a ==123456,da 0,2% b) a ==1,24358,da 0,5% Lời giải D Ta có dd= D=a a aaaa a) Với a ==123456,da 0,2% ta có sai số tuyệt đối là D=a 123456.0,2% = 146,912 b) Với a ==1,24358,da 0,5% ta có sai số tuyệt đối là D=a 1,24358.0,5% = 0,0062179 . Ví dụ mẫu 3: a) Hãy viết giá trị gần đúng của 8 chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn biết 8= 2,8284 Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp. b) Hãy viết giá trị gần đúng của 3 20154 chính xác đến hàng chục và hàng trăm biết 3 20154 = 25450,71 . Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp. Lời giải a) Ta có 8= 2,8284 do đó giá trị gần đúng của 8 đến hàng phần trăm là 2, 83 Ta có 8-=-£- 2,83 2,83 8 2,83 2,8284 = 0,0016 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 2, 83 không vượt quá 0,0016. Giá trị gần đúng của 8 đến hàng phần nghìn là 2, 828 Ta có 8-=-£-= 2,828 8 2,828 2,8284 2,828 0,0004 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 74 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  77. Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 2, 828 không vượt quá 0,0004 . b) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có 3 20154 = 25450,71966 Do đó giá trị gần đúng của 3 20154 đến hàng chục là 25450 Ta có 33201544-= 25450 2015 -£ 25450 25450,72 -= 25450 0,72 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 25450 không vượt quá 0, 72 . Giá trị gần đúng của 3 20154 đến hàng trăm là 25500 . Ta có 33201544-=- 25500 25500 2015 £- 25500 25450,71 = 49,29 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 25500 không vượt quá 49,29 . Dạng 3. Quy tròn số. Ước lượng sai số tuyệt đối, sai số tương đối của số quy tròn Phương pháp: Ví dụ mẫu 1: Biết số 2 1,414213562 a) Quy tròn số 2 đến hàng phần trăm b) Ước lượng sai số tuyệt đối và sai số tương đối mắc phải khi chọn số quy tròn 2 đến hàng phần trăm Hướng dẫn a) Quy tròn số 2 đến hàng phần trăm là 1,41 b) 1,41 2 1,42 2 1,41 1,42 1,41 0,01. Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01 0,007 1, 41 Ví dụ mẫu 2: Làm tròn các số sau với độ chính xác cho trước. a) a = 2,235 với độ chính xácd = 0, 002 b) a = 23748023 với độ chính xácd = 101 Lời giải a) Ta có 0,001<< 0,002 0,01 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần trăm Do đó ta phải quy tròn số a = 2,235 đến hàng phần trăm suy ra a » 2, 24 . b) Ta có 100<< 101 1000 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng nghìn Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 75 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  78. Do đó ta phải quy tròn số a = 23748023 đến hàng nghìn suy ra a » 23748000 . Dạng 4. Sai số của tổng, tích và thương Phương pháp  Nếu a và b là các số gần đúng với sai số tuyệt đối a và b , và cabdab ; . Thế thì cabdab ;  Nếu sai số abc,, lần lượt là sai số tuyệt đối của số gần đúng abc,, và a PabQabcR .; ; . Thế thì   ;;     b P ab Q abc R ab Suy ra: |a |. | b |.; |.|. bc |.|. ac |, a b |.; ab PabQa b cR||||ba Ví dụ mẫu 1. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật có cạnh amm 5,356 0,01 , chiều dài là bmm 15,854 0,015 . Ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải. Hướng dẫn Chu vi: L 2 ab , sai số tuyệt đối không vượt quá Lab 2 2. 0,01 0,015 0,05(m ) và ta viết là L 2.5,356 2.15,854 0,05 42,42 0,05(m ) Diện tích: Sab , sai số tuyệt đối không vượt quá 2 Sab ba. . 15,854.0,01 5,356.0,015 0,239( m ) và ta viết là Sm 15,854x5,356 0,239 84,914 0,239(2 ) Ví dụ mẫu 2. Một ống nước có đường kính dcm 20,05 , chiều dài hcm 3000 5 . Tính thể tích khối nước chứa trong ống và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải 3,14 0,0016 . Hướng dẫn 22 3 Thể tích VRh 3,14x1 x3000 dvv 9420 d ( cm ) d d 2 R nên 0,025(cm );2 2 R . 2.0,025 0,05( cm ) 2 RR2 R Rh22. . . h . . R . 1x3000x 0,0016+3,14 x 3000 x 0,05+3,14 x 1 x5=492 (cm3 ) Vh R2 Sai số tuyệt đối không vượt quá 429 và ta viết V 9420 492( cm3 ) 9420 0,492( lit ) Ví dụ mẫu 3: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là xm= 23 0,01 m và chiều rộng là ym= 15 0,01 m. Chứng minh rằng a) Chu vi của ruộng là Pm= 76 0,04 m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 76 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  79. b) Diện tích của ruộng là Sm= 345 0,3801 m Lời giải a) Giả sử xayb=+23 , =+ 15 với -££0, 01ab , 0, 01 Ta có chu vi ruộng là Pxy=+=++=++2238762( ) ( ab) ( ab) Vì -££0, 01ab , 0, 01 nên -£+£0, 04 2(ab) 0, 04 Do đó Pab-=76 2( +£) 0,04 Vậy Pm= 76 0,04 m b) Diện tích ruộng là Sxy==+.( 23 a)( 15 +=+++ b) 345 23 b 15 aab Vì -££0, 01ab , 0, 01 nên 23baab++£ 15 23.0,01 + 15.0,01 + 0,01.0,01 hay 23baab++£ 15 0,3801 suy ra S -£345 0,3801 Vậy Sm= 345 0,3801 m. Dạng 5: Xác định các chữ số chắc của một số gần đúng, dạng chuẩn của chữ số gần đúng và kí hiệu khoa học của một số. 1. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số chắc và viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết a) Số người dân tỉnh Nghệ An là a = 3214056 người với độ chính xác d = 100 người. b) a = 1,3462 sai số tương đối của a bằng 1% . Lời giải 100 1000 a) Vì =<50 100 < = 500 nên chữ số hàng trăm(số 0) không là số chắc, còn chữ số 22 hàng nghìn(số 4) là chữ số chắc. Vậy chữ số chắc là 1, 2, 3, 4 . Cách viết dưới dạng chuẩn là 3214.103 . D b) Ta có dd= D==a .a 1%.1,3462 = 0,013462 aaaa Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0,013462 nên ta có thể xem độ chính xác là d = 0,013462 . 0, 01 0, 1 Ta có =<0,005 0,013462 <= 0,05 nên chữ số hàng phần trăm(số 4) không là số 22 chắc, còn chữ số hàng phần chục(số 3) là chữ số chắc. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 77 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  80. Vậy chữ số chắc là 1 và 3 . Cách viết dưới dạng chuẩn là 1, 3 . Ví dụ 2: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn a) a = 467346 12 b) b = 2,4653245 0,006 Lời giải 10 100 a) Ta có =<512 < = 50 nên chữ số hàng trăm trở đi là chữ số chữ số chắc do đó số gần 22 đúng viết dưới dạng chuẩn là 4673.102 . 0, 01 0, 1 b) Ta có =<<=0,005 0,006 0,05 nên chữ số hàng phần chục trở đi là chữ số chữ số 22 chắc do đó số gần đúng viết dưới dạng chuẩn là 2, 5 . Ví dụ 3: Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh sáng. Với máy bay đó trong một năm(giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học. Lời giải Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây Vậy một năm có 24.365.60.60= 31536000 giây. Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vòng một năm nó đi được 31536000.300= 9,4608.109 km. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Cho số gần đúng a = 23748023 với độ chính xác d = 101. Hãy viết số quy tròn của số a. A. 23749000. B. 23748000. C. 23746000. D. 23747000. Câu 2. Cho giá trị gần đúng của p là a = 3,141592653589 với độ chính xác 10-10 . Hãy viết số quy tròn của số a. A. a = 3,141592654. B. a = 3,1415926536. C. a = 3,141592653. D. a = 3,1415926535. Câu 3. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của 3 chính xác đến hàng phần nghìn. A. 1,7320. B. 1,732. C. 1,733. D. 1,731. Câu 4. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của p2 chính xác đến hàng phần nghìn. A. 9,873. B. 9,870. C. 9,872. D. 9,871. Câu 5. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a =17658 biết a = 17658 16. A. 17700. B. 17800. C. 17500. D. 17600. Câu 6. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a =15,318 biết a = 15,318 0,056. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 78 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  81. A. 15,3. B. 15,31. C. 15,32. D. 15,4. Câu 7. Đo độ cao một ngọn cây là h = 347,13m 0,2m. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 347,13. A. 345. B. 347. C. 348. D. 346. Câu 8. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh: a = 12cm 0,2cm; b = 10,2cm 0,2cm; c = 8cm 0,1cm. Tính chu vi P của tam giác đã cho. A. P = 30,2 cm0,2 cm. B. P = 30,2 cm 1 cm. C. P = 30,2 cm 0,5 cm. D. P = 30,2 cm 2 cm. Câu 9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x = 43m 0,5m và chiều dài y = 63m 0,5m . Tính chu vi P của miếng đất đã cho. A. P = 212m 4m. B. P = 212m 2m. C. P = 212m 0,5m. D. P = 212m 1m. Câu 10. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m 0,01m và chiều rộng là y = 15m 0,01m . Tính diện tích S của thửa ruộng đã cho. A. S = 345m 0,001m. B. S = 345m 0,38m. C. S = 345m 0,01m. D. S = 345m 0,3801m. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 79 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133