Bài hình đơn giản có rất nhiều câu hỏi - Phần I

Nội dung text: Bài hình đơn giản có rất nhiều câu hỏi - Phần I

1. Bài hình đơn giản có rất nhiều câu hỏi Lời bàn: Thông thường với 1 bài toán hình học thì sẽ chỉ có khoảng 4 câu chứng minh hình học. Số câu hỏi càng nhiều tùy thuộc vào khả năng nhận biết các tính chất của bài hình học đó của người ra đề. Để từ đó có thể sáng tạo thêm những bài toán khó hơn, nâng cao hơn so với ban đầu. Đặc biệt là không phải là dạng bài toán hình vẽ rất phức tạp mới có nhiều câu hỏi chứng minh mà chỉ là 1 bài toán rất đơn giản. Do đó câu hỏi tôi đặc ra là: Liệu có một bài toán hình học rất đơn giản nhưng khi làm thì lại rất khó! .Và tôi nhận ra có 1 bài như vậy !!!. Do đó, tôi chia sẻ với mọi người bài toán sau đây ( đây là dạng bài toán rất quen thuộc với học sinh lớp 8 và lớp 9). Sẽ có từ hàng chục đến hàng trăm câu hỏi trong một bài toán với dữ liệu rất đơn giản! Mục đích của việc chia sẻ này để giúp các thầy cô và học sinh sáng tạo hơn trong cách ra đề từ những bài toán rất đơn giản mà ta chỉ nghĩ là không còn nhiều dữ kiện để khai thác nữa!. Trong đó có rất nhiều câu hỏi quen thuộc mà những người đi trước đã khai thác, song song đó là những câu hỏi chứng minh mà tôi khai thác và nâng cấp thêm. Tôi sẽ chia câu hỏi thành 4 mức độ như sau: I/ Mức độ cơ bản: Đây là những câu hỏi chứng minh rất dễ dàng thông qua tam giác đồng dạng, ta lét, hệ thức lượng trong tam giác vuông và học sinh dễ dàng nhận ra được II/ Mức độ vận dụng vừa: Đây là những câu hỏi chứng minh chứng minh khó hơn 1 chút vì có thông qua các bước trung gian. Đồng thời phát hiện ra những tính chất cơ bản của hệ thức thì mới chứng minh được III/ Mức độ vận dụng cao: Đây là câu hỏi đòi hỏi khả năng chứng minh phức tạp, cách chứng minh không thể đi theo lối mòn mà dòi hỏi có nhiều sự sáng tạo ở nhiều kĩ năng như chuyển vế, nhân thêm một biểu thức, bình phương, đưa về cùng tỉ số đồng dạng trong một tam giác thì mới làm được IV/ Mức độ rất khó: Đây là những câu hỏi đòi hỏi khả năng tư duy vượt trội, phối hợp nhiều phương pháp giải và khó hơn ở mức vận dụng cao như dùng kĩ thuật bình phương căn và chứng minh một hệ thức khá là phức tạp
2. Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) có đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. (Đề bài quá đơn giản đối với các thầy cô và các bạn phải không?) Hãy bước vào các câu hỏi chứng minh nào !. Trong đó có một số câu viết tắt S (diện tích), P( chu vi) I/ Mức độ cơ bản Chứng minh rằng: 1/ AB2=BH.BC 2/ BD.HC=AD.HB=HD.HA 3/ AH2=BH.CH 4/ AE.AD=BD.EC 5/ AB.AC=AH.BC 6/ BD.BC=HB.AB 7/ AC.HB=AH.AB=BC.HD 8/ BD.AC=AH.BH=HD.AB 9/ = + 10/ AE.AC=AD.AB=HB.HC 푯 푪 11/ AH.EH=AE.HC=EC.HB 12/ EC.AB=HC.HA=HE.AC 푫 푬 푬푯 푯푫 13/ = 14/ + = 1 푫 푬푪 푪 푺∆ 푯 푺∆ 푯 푯 15/ = 16/ = 푺∆ 푯푪 푪 푺∆ 푪 푪 푺∆ 푯푫 푯푪 푺∆푪 푫 푺∆ 푪푫 17/ = 18/ = 푺∆ 푯 푪 푺∆ 푬 푺∆ 푬푪
3. ( 푪− 푪)( 푪+ 푪) 푺∆푯푬푪 19/ = 20/ 푯 + 푪 = 푬 + 푪푫 ( 푪−푪푯)( 푪+푯푪) 푺∆ 푯푪 푺∆푪푯푫 푺∆ 푪푫 푺∆푪푯푫 푺∆푯푬 21/ = 22/ + =1 푺∆ 푬푪 푺∆ 푪 푺∆ 푪푫 푺∆푬 푪 푷∆ 푯 푬 푷∆ 푯푬 푫 23/ = 24/ = 푷∆ 푯푪 푫 푷∆ 푯푪 푯 25/ 푯푪 − 푯 = 푪 − 26/ 푫 + 푫 = 푬 − 푬 27/ 푪(푯푪 − 푯 ) = 푪( 푪 − ) 28/ 푯( − 푯) = 푯( 푪 − 푯푪) 29/ 푯. 푪 = 푺푪푯푫푬 + 푺푯푬푫 30/ 푪(푯푬 − 푬) = 푯푪( 푯 − 푯) 푪. 31/ 푺 = 푺 32/ 푺 = ∆푯푪푫 ∆푯푬 ∆ 푯 ( + 푪 ) 푯 −푯푪 푯 33/ + 푪 = 푪( 푪 − 푯)( + 푪) 34/ + = BC 푯 −푯푪 푪 푬 +푬푪 푪 − 푫 푯푪 푯 푪 35/ = 36/ + = 푬푪 −푬 푬푪−푯푫 푯 푯푪 푫 37/ 푯푬 = 푯푬. 푯 + 푬(푬푪 − 푯푪) 38/ 푬 = 푫. 푫 + 푯. 푪 39/ − 푫 = 푬( 푬 + 푬푪) 40/ + 푫 = 푪 − 푯푫 − 푯푪 푷∆ 푯 푷∆푯푬푪 41/ 푺∆ 푪푫 = 푺∆ 푬푪 42/ ( ) + ( ) = 1 푷∆ 푪 푷∆ 푯푪 + 푪 − 푪 43/ √푪푯. 푪 − √푫 . 푫 = 푬푪 44/ = ( + 푪 )( ퟒ+ 푪ퟒ− 푪ퟒ) 45/ √ 푫. + √푪푬. 푪 = 푪 46/ √ + 푪 − √푪푬. 푪 = 푯푪 푷 푪.( 푫+ 푬) 47/ 푷 + 푷 − 푷 = √푯 . 푯푪 48/ 푷 + 푷 = ∆ 푯 ∆ 푯푪 푪 ∆ 푯 ∆ 푯푪 푯 49/ ( + 푪)( 푪 + ) = 푪( 푪 + 푯) 50/ ( + 푪) = 푪( 푪 + 푯) 51/ (√ 푫 + √푬푪) + (√ 푫 − √ 푬) = √ 푪. √ 푪 + 푯 푯.( 푯+ 푯) 52/ 푷 + 푷 = 푷 53/ 푫 + 푬 = ∆푯 푫 ∆푯푬푪 ∆ 푪 + 푯. 푪 √푬푪. 푪 푫. 푪 54/ + = 55/ − = = 푪 푯. 푪. 푪 푯 푪 푪 − 푬. 푪. 푯 푬푪. 푪− 푫. 56/ + = 57/ − = 푯 푯푪 푫. 푬 푯 푯푪 푯. . 푪
4. 58/ 푯ퟒ = 푯푪. 푪. 푫 . 푫 = 푯. 푪. 푬 . 푬푪 = 푫. 푬푪. . 푪 푪 − 푯 푯푬+ 푪 59/ + = 60/ + = 푯 푯푪 푫. 푫.푯푪. 푪 푯 푪 .푯푪 61/ 푪 + 푯 = 푯푪 + 62/ 푪 + 푬푪 = 푫. 푫 + 푯푪 63/ + 푪 + 푫 + 푬푪 = 푪 − 푯 64/ ( + 푪) = 푪( 푪 + 푯) 65/ 푯 + 푯푪 + 푬 + 푫 = ( 푪 − 푯)( 푪 + 푯) 66/ 푯 ퟒ + 푯푪ퟒ = 푪ퟒ − ퟒ 푯 . 푪 + 푫. 푬. . 푪 67/ ( + 푪 − 푪)( + 푪 + 푪) = 푫. 푯푫 + 푬푯. 푬푪 + ퟒ 푫. 푬 68/ ( + 푪 + 푯) = 푪 + 푯 . 푯푪 − 푯. 푷∆ 푪 푬 푬푪 푫 푫 푯 푪 푯푪 69/ + = + 70/ + − = 2 푬푪 푬 푫 푫 푪 푯 푬 푬푪 푫 푫 .( 푬 + 푪 ) 푯 푪 푫. 71/ + + + = 72/ + − = 1 푬푪 푬 푫 푫 푯푪 푪 푯 푯푪. 푪 푫 푪 푬 .( 푫 + 푯 ) 푯 푯푪 푬푪 + 푯. 푯 73/ + + + = 74/ + = 푫 푬 푪 푯 푯푪 푪 푬푪. 푪 푬 푫. +푬푪 푪 푫 푬푪 푫. + 푬. 푪 75/ + = 76/ + = 푫 푬푪 푯 .푯푪 푫 푪 푯 .푯푪 77/ 푯. 푪푯 = √( 푫. 푯푪) + (푬푪. 푯 ) 78/ + = 푯+ 푯 푯+푯푪 푯 79/ 푪푯. 푪 . 푬 = 푪. 푫. 80/ ( − 푯 ). ( 푪 − 푯푪 ) = 푬. 푪. 푯 . 푯푪 81/ 푪푯. 푯. 푫 = 푬. 푬푪. 82/ 푪푯. 푯. 푫 = 푬. 푬푪. .푯푪 푪.푯 83/ 푫. . 푪 = 푯. 푬푪. 푪 84/ + = 2AH 푪 푯.푯푬 푪푬.푯 푯.푯푬 푪푬.푯 85/ + = AC 86/ + = AC 푯 푯푪 푯 푯푪 푫.푬푪 푪.푯 87/ ( ) + ( ) = 푯 푯푫 푪 88/ ( + 푪 − 푯 + 푯푪)( + 푪 + 푯 − 푯푪) = 푯( 푪 + 푯) 89/ 푯 = 푬푪. 푯푪. 푯 . 푫. 푪 90/ 푪 = 푯. 푪 + 푬푪. 푪 + 푫. 91/ (푺∆푯푬푪) + (푺∆푯 푫) = (푺∆ 푬) + (푺∆ 푪푫) 푯+ 푯+푯푫 푷∆푯 푫 92/ + + = 93/ + + = 푪 푪 푯 . 푪 푪 푯 푯푫.
5. 94/ ( + 푪 + 푯 + 푪). ( + 푪 − 푯 − 푪) = 푯. 푯푪 + 푬. 푪 + 푫. 푺∆푯푬푪.푺∆ 푯푫 푯 푯+ 푪 + 푪 푫+ 푪+ 푪 95/ = 96/ + = + 푺∆ 푬푪.푺∆ 푪푫 푪 푪 푯 푪 푯 97/ + = 98/ (푯푪 + 푯푬)( 푪 + ) = ( 푯 + 푪) 푺∆ 푯 푺∆ 푯푪 푫. 푬 99/ ( 푫 + 푬 + 푯) = (푯푪 + 푯푬)(푯 + 푯푫) 푬.푬푪 푯.푯푪 푯푫ퟒ 푯ퟒ 푯푫 . 100/ + = 1 101/ + + = 1 푯푪 푯ퟒ ퟒ 푯 . 푪 ( 푫.푯 ) (푬푪. 푪) 푯 .푯푬 푯.푬푪 102/ + = 1 103/ + = 1 푯ퟒ 푪ퟒ 푯. 푪 푯푪. (푷∆ 푯 ) ퟒ.(푯푫+푷∆ 푯 ) 104/ = 105/ √ 푯 + √푯푪 + √ 푪 = √ . ( 푯 + 푷∆ 푪) 푺∆ 푯푪 푬푪 푪 푯+푯푪 106/ + = 107/ + = 푷∆푯 푫 푷∆푯푬푪 푯.푷∆ 푫푬 푷∆ 푯 푷∆ 푯푪 푪.푷∆ 푫푬 푯푪.푬푪 − 푯. 푫 108/ 푯 + 푯푪 = 109/ + 푪 = 푪ퟒ. ( 푪 − 푯 ) 푯푪− 푯 ( 푫− 푬)( + 푪) 푪 .( 푯−푯푪)( 푪− 푯) 110/ 푯 − 푯푪 = 111/ − 푪 = 푯 + 푪 푯푪+푯 +푯푬 112/ + + = √ 푯 √푯푪 √ 푪 푫.√ 푪 . 푪 푯 .푯푪 푯 .푯 113/ = + 푪 푪 푯+ + 푫 푯푪+푬푪+ 푪 114/ + + = = 푯 푫 푯.푯푪 푯푬. 푪 115/ ( + 푪) = 푪 . (푬푪 + 푬 + 푫 + 푫) ( + 푪)( 푪− 푯) 푫+푬푪 −푯푫 116/ 푫 + 푬푪 = 117/ = 푪 푫+ 푬 118/ 푪ퟒ = (푯 . + 푯. 푪) + (푯푪. 푪 + 푯. 119/ 푪ퟒ − ퟒ 푪 . 푯 = ( 푯 − 푯푪 ) 120/ (푯푪 − 푯 )( 푪 + 푯) = 푪( 푪 + 푫) − ( + 푬푪) 121/ ( 푪 + 푯) = 푯. 푯푪 + ( + 푪) 122/ 푫. 푫. 푯푪 = 푬. 푬푪. 푯
6. 푪 .( 푪 +푯푪 ) 푯. 푪. 123/ = 124/ ( 푪 + 푪) + ( 푪 + ) = 푪. 푷 + 푪 푯 ∆ 푪 125/ ( 푪 + 푪) = ( + 푯) + 푪( 푪 + 푯푪) 126/ ( 푪 − )( + 푪 + 푪) = 푬푪. 푪 − 푫. − 푪( 푪 − ) 푫 푯 푯푪. . 푪 푷∆ 푯푫 푺∆푪푬푫 127/ 푯푬. ( + ) = √ 128/ = 푯푫 푯 푯 푷∆푪푬푯 푺∆푪푯푫 129/ ( + 푪)( 푫 + 푬푪) = ( 푪 − 푯)( 푪 + 푯) 130/ ( + 푪)( 푪 + 푯) = 푪( + 푪 + 푫 + 푬) 131/ ( + 푪)( 푫 + 푬) = 푯( 푯 + 푪) 푪 + 푯 −푯푪 푬 132/ = 푪 +푯푪 − 푯 푪푫 ퟒ+ 푪ퟒ+ 푯.푯푪.( . 푪+ + 푪 ) 133/ 푯 + 푪 = 푪 134/ ( 푫 − 푯푫)(푬푯 − 푬푪) = 푯. 푯 135/ ( 푫 + 푬)( 푪 + 푯) = 푯( + 푪 + 푫 + 푬) 136/ ( 푪 − 푯)( 푫 − 푬) = 푯푫. 푯 + 푯푬. 푯푪 ( 푯+ )( 푪+ 푪) 푯. 푪 137/ = 138/ ( 푯 − )( 푪 − 푪) = 푯(푯푪 − 푪) 푯푪+ 푪+ 푪 푯푪 139/ ( 푫 + )(푬푪 + 푪) = 푫. 푬 + 푫 . 푫푯 + 푬푯. 푬푪 140/ ( 푯 + 푫) + (푯푪 + 푬) = 푯. 푪 + 푬푪. 푪 + 푯( 푫 + 푬) 141/ ( + 푯 − 푪)( 푪 + 푯 − ) = 푯. 푯푪 − ( 푪 − 푯) 142/ ( + 푪 + 푯)( + 푪 − 푯) = ( 푪 + 푯) − 푯. 푯푪 143/ ( + 푯 − 푪) + ( 푪 + 푯 − ) = ( 푪 − 푯) 144/ ( + 푪 + 푯) + ( + 푪 − 푯) = ( 푪 + 푯) 푫 −푫 푬−푬푪 145/ = 146/ (√ 푯 + √ 푪) + (√푪푯 + √ 푪) − 푪 = 푷 푯 −푯 푯−푯푪 ∆ 푪 147/ ( − 푯)( 푯 + 푪) = 푺∆ 푪푫 148/ + 푪 = 푪ퟒ. ( 푪ퟒ − 푯 . 푪 + 푯ퟒ) (푯푪 −푬푪 ) (푯 − 푫 ) ( − 푯 ) 149/ + = 푬푪 푫 푯.푯푪 150/ √푯푫. + √푯푬. 푪 = √ 푯( 푪 + 푯)
7. 푯푫.푯 . +푯푬.푯푪. 푪 151/ 푫. 푯푫 + 푯푬. 푬푪 = 푪 ( −푯푪)( 푪−푯푪)− 푬. 푪 푯. 152/ = 푯− 푫−푬푪 푬 153/ (푫푯 + 푫 )(푬푯 + 푬푪) = 푫( + 푬) + 푪 ( 푫+ 푬)( −푯푫) 154/ = + 푪 푯푫 155/ (푬푯 − 푬푪)(푫푯 − 푫 ) = 푫( 푬 − ) + 푪 푫. 푬+ 푯 푯+ 푪 156/ + = 157/ = 푫푯+푫 푬푯+푬푪 푬( 푪+ 푯푬) 푫. 푬− 푯 푯− 푪 158/ ( 푯 + 푯)( 푯 + 푯푪) = 푪( − 푯푫) ( − 푯)( − 푯) + 푪+ 푪 ( 푯+ 푪) 159/ = BH 160/ = 푯+ 푪− − 푪 + 푪− 푪 푯. 푪 161/ 푫. + 푬. 푪 = 푯. 푪 162/ ( 푫 − 푫) + 푪( 푬 − 푬푪) = 푪(푯푪 − 푯 ) 푪ퟒ− ퟒ− 푪ퟒ 푪 + 푯. 푪+ 푯 163/ 푯 . 푪 + 푯푪 . = 164/ = 푯. 푪+ 푯. + 푯 푫+ 푫 .( 푯+푯푪) 푫+ 푪 푬 + 푯 165/ = 166/ = 푬푪+ 푬 푪.( 푯푪+푯 ) 푬푪+ 푪 푫 + 푯 II/ Mức độ vận dụng vừa Chứng minh rằng: 푯 1/ Góc 푯푬 ̂ = góc 푪푫푯̂ 2/ = 푪 푯푪 푯 푬 3/ = 4/ 푯푬. 푪 + 푯푫. = . 푪 푪 5/ 푫. + 푬. 푪 = 푯. 푪 6/ 푫. + 푬. 푬푪 = 푯푫. 푪 7/ 푫 . 푫 + 푬 . 푬푪 = 푯 . 푯푪 8/ √ 푬 + √푬푪 = √ 푪 + 푫 푺∆푯 푫 푺∆ 푯 9/ ퟒ + 푪ퟒ = 푪 ( 푪 − 푯 ) 10/ = ( ) 푺∆푪푬푯 푺∆ 푯푪 푺 푫 ∆ 푯푬 11/ = 12/ (푺 푬푯푫) = ퟒ푺∆푯푬푪. 푺∆푯 푫 푺∆ 푯푪
8. ( + 푪− 푪)( + 푪+ 푪) 푺∆ 푯 푺∆ 푯푫 13/ =4 14/ = 푺∆ 푬+푺∆ 푪푫 푺∆ 푯푪 푺∆푬푯푪 푺∆푪푯푫 푺∆ 푯푪 15/ − = − 16/ = 푯 푪푯 푬 푫 푺∆푯 푬 푺∆ 푯 17/ (푷∆ 푯 ) + (푷∆ 푯푪) = (푷∆ 푪) 18/ 푬푪 − 푬 = 푯푪 − 푯 + 푫 − 푫 푺∆푫푬푪 푺∆ 푯푪 푺∆ 푯푫 19/ 푯푪 + 푯 = 푬푪 + 푬 + 푫 + 푫 20/ = . 푺∆푫푬 푺∆ 푯 푺∆푫푯 . 푪 21/ 푯 = 푬 + 푪푫 − 푯 − 푯푪 22/ AE = + 푪 푺 푬푯푫 푯 ( 푯+ )(푯푪+ 푪) 23/ = 24/ AH = 푺 푫푬푪 푪 +푯 푯+ 푪+ + 푪 푺∆ 푯푪−푺∆ 푯 푪 푯+ 푯 25/ = 26/ = 푺∆ 푯푬−푺∆푯푫 푯 푬푪+ 푯푪 푬푪 ( . 푪) . 푪 27/ 푺 = 28/ 푺 = 푬푯푫 ( + 푪 ) ∆푪푬 ( + 푪 ) + 푪 √푯푪( 푪+ 푯푬) 29/ + = 30/ + = 푫 푬 푯.푪푯 √ 푯 √푪푯 푯푬√ 푪 푯 푯 푯푪 31/ + = 32/ 푯 = 푯푪. 푫 + 푬(푬푪 − 푯푪) 푯 푯 푯푬.푬푪 푫 − 푫 푯 33/ 푯푪 + 푯푫 − 푪푫 = 푯푫. 푬푪 34/ = 푬푪 −푬 푪푯 푬 푫 푫 +푬푪 푪 −푯 35/ + = 36/ = 푯푪 + 푪ퟒ ퟒ 푯 . 푪 푯푪 − 푫 푯푪+ 푯 37/ = 38/ 푯 + 푪푯 + 푪(푬푪 − 푬 ) = 푪 푪 −푬푪 푯+ 푯푪 + 푪 푪 39/ . 푪 = 푯√ 푫. + 푯√푬푪. 푪 40/ = 푬+ 푪푫 √ 푯 + 푪 푷∆ 푯푪 푷∆ 푯푬 푺∆ 푪 푷∆ 푯 푷∆ 푯푫 푺∆ 푯푬 41/ + = √ 42/ . = 푷∆ 푯 푷∆푯푬푪 푺∆푯푫푬 푷∆ 푯푪 푷∆ 푯푫 푺∆푯푬푪 푺∆ 푬 푺∆ 푯푫 푺∆푯푬푪 푯 + 푫 푺∆ 푯푬 43/ . = 44/ = 푺∆ 푬푪 푷∆ 푪 푺∆ 푯 푯푪+ 푫 푺∆푯푬푪
9. 푺∆푯푬 푺∆ 푯푫 45/ = 46/ 푬 + 푬푪 = 푫( 푫 + 푫) + 푪(푯푪 − 푯 ) 푺∆푪 푫 푷∆ 푯 푺∆ 푯푫 푷∆ 푬 푯 √푯푪+푯푪√푯 푯(푬푪−푬 ) 47/ = ( ) 48/ = 푺∆푯푬푪 푷∆ 푪푫 √푯푪−√푯 푪− 푯푬 푷∆ 푯 푷 푫푬푪− 푪 ( 푯 − 푯 ).(푯푬 + 푪 ) 49/ = 50/ 푬 − 푪푫 = 푫 ( −푯푫) 푯 51 / 푪ퟒ = ( 푯 + 푪푯 ). ( 푪 + 푯 ) + ퟒ 푫. 푬. 푫푬. 푪 푪 푪 ( − 푯푫)( 푪−푯푬) . 푪( + 푪+ 푪) 52/ − + 2= 53/ 푷 = 푯 푯 푫.푬푪 ∆ 푫푬 + 푪 54/ (푯 + 푯 ) + (푯 + 푯푪) = ( + 푪) 55/ (푯 + ) + (푯 + 푪) = ( + 푪) ퟒ ퟒ ( 푫 + 푬 ).(푷∆ 푪) 56/ (푷 ) + (푷 ) = ∆푯 푫 ∆푯푬푪 푯ퟒ 57/ ( 푪 + 푯 ) + ( + 푯푪) = ( 푪 − 푯 ) + 푯( + 푪) 58/ ( 푫 − 푫) + ( 푬 − 푬푪) = ( 푪 − 푯)( 푪 + 푯) 59/ ( 푫 + 푬푪) + ( 푫 − 푬) = 푯 + 푯푪 60/ ( 푫 + ) + (푬푪 + 푪) = ퟒ 푪 − 푯 61/ ( 푫 + ) + ( 푬 + 푪) = 푪 + 푯 62/ ( 푫 − 푫) + ( 푬 − 푬푪) + ( 푫 + ) + ( 푬 + 푪) = 푪 + 푯 63/ ( − 푯푫) + ( 푪 − 푯푬) = ( 푪 − 푯) 64/ ( 푪 − 푯푪) + ( 푪 − 푯 ) = 푪 + 푯푪 − 푪( 푫 + 푬푪) 65/ √ 푪. 푪 + √ 푯. = √ 푪( 푯 + ) + 푬푪. 푪 푯푪 푯.푪푯+ . 푪 66/ − = 67/ + + = 푪 푫. . 푪 푯 푯 푯푪 푫. 푪.푯 ( 푯+ 푪)( + 푪) 68/ + + + = 푯푫 푯푬 푪 푪. 푯 + 푪 ( 푫+ 푬) 69/ + = 70/ ( + ) . ( 푬 + 푪푫) = 푬 푪푫 푯.√ 푯 + 푪 푬 푪푫 푫. 푬 + 푪 푫 푬푪 푯. 71/ = ( 푯. ) + (푪푯. 푪) 72/ + = 푪 푯푫 푬푯 푫. 푪
10. 73/ + = √( + ) . ( + ) 푪 푬 푪푫 푯 푪 74/ ퟒ푺∆ 푪푫 = ( 푯 + 푯 − )( 푯 + 푯 + ) 푯+ 푫 푺∆ 푪푫 ( 푯+ 푯+ )( 푯+ 푯− ) 75/ = = 푯푪+ 푯푬 푺∆ 푬푪 ( 푯+푯푪+ 푪)( 푯+푯푪− 푪) 76/ ( 푫. 푬푪. 푪) = 푫. 푬. . 푪. 푯. 푯푪 77/ ( + 푪 + 푯) − 푯 − 푪푯 = 푯( 푷∆ 푯푪 + 푷∆ 푯푪 − 푯) 푯 푪 푯푪 푪 + 푫. .푯푪 푪 .( 푬 +푬푪 ) 78/ + + = 79/ + = 푪 푯푪 푯 푪. 푯 푪푫 푬 푬 .(푯푬 + 푪 ) 푪 푬 푯 + 푯 +푯푪 80/ + = 푫 푬. + 푪. 푫 푯 푪 푪 푬 푬 .( 푯+푯푪) 81/ + + + = 푪 푯푪 푫 푫. 푪.푬푪 푯푪 푯 푪( + 푪) 푯.푯푪 82/ + = + 푯+ 푯 푯+푯푪 푫+ 푯푫 푯 83/ + = ( 푯+ 푯) ( 푯+푯푪) 푬( 푪+ 푯푬) 84/ . ( − ) = ( + ) − ( + ) 푪 푯 푯푪 푬+푯푬 푬푪+푯푬 푫+푯푫 푫+푯푫 푯 85/ − = 푯+ 푯 푯+ 푪 푫. 푪.(푯푫+푯푬+ + 푪) 푯 . 푪 86/ + = 87/ + − − = 1 푯+ 푪 푪푯+ 푪 푯푫 + 푫. 푬 푪 푯 푯푪 푬 푯푫.푯 푪푫 푬 . 푪 88/ = √ 89/ / + − = 1 푪푫 푬.푯푪 푪푯 푯 푫. 푬 푯 +푯 +푯푫 푯푫.푯 푫+ 푬 90/ + + = 91/ = . 푪 푫. 푪 푬푪. 푪 푫. 푯. 푪 푬.푯푪 푫+ 푬푪 92/ ( + 푬푪) + ( 푪 + 푫) − ( 푯 + 푪) = ( 푪 − 푯)( 푪 + 푯) 푯푪 + 푪. 푯 93/ √ 푯 + 푯푪 + 푯 + . 푪 = 푪( 푪−푯푬)
11. (푷∆ 푯 ) +(푷∆ 푯푪) 푷∆ 푪+ 푯 푯+ 푯 94/ = 95/ + = ퟒ.(푺∆ 푯 +푺∆ 푯푪) 푯 푷∆ 푯 푷∆ 푯푪 푯.푷∆ 푯푪 푪+ 푯 푯+ 푯+푯푫 96/ √ = + 푪 푪+ 푪 +푯 푬.푬푪 푯.푯푪 푯 .푯푬 푯.푬푪 97/ + = + 푯푪 푯. 푪 푯푪. ( 푫.푯 ) (푬푪. 푪) ퟒ 푫ퟒ 푬푯 .푯푫 98/ + = + + 푯ퟒ 푪ퟒ 푪ퟒ 푯ퟒ 푯푪 .푯 99/ ( 푪 + 푯) + ( 푪 + 푯푪) = . ( 푯. 푪 + 푯푪. 푪 ) (푷∆ 푪) 푷∆ 푪 푯 (푯푪+ 푯+ 푫)+ 푬.푯푪 100/ − =1 101/ = ퟒ푺∆ 푪 푯 푯( 푪+ +푯푪+ 푯) 푪 102/ (푯푪 + ) − (푬푯 + 푯푪) − (푯푫 + 푯 ) = 푯(푯푫 − 푫) 103/ ( 푯 + 푯푫)( 푪 + ) + (푯푪 + 푯푬)( 푪 + 푪) = 푪. ( 푯 + 푷∆ 푪) 푷∆ 푯 푷∆ 푯푪 .(푷∆ 푪+ 푯) 푷∆ 푯 .푷∆ 푯푪 ퟒ( 푯+푷∆ 푪) 104/ + = 105/ = 푺∆ 푯 푺∆ 푯푪 푯 푺∆ 푯 .푺∆ 푯푪 푫.푬푪. 푪 ( 푪 − 푯 ).( 푯 + 푪 ) 106/ 푬ퟒ + 푪푫ퟒ = 푪 ( 푯 −푯푪 ).( 푯 + 푪 ) 107/ 푬ퟒ − 푪푫ퟒ = 푪 ퟒ 푫. 푫+ 푬.푬푪+ 푫.푬푪 푪(ퟒ푬푪+ 푬− 푯푬) 108/ + = 13 푫. 푯푪. 푪 푫+ 푬+ 푪 109/ + + + = 푷∆푯 푫 푷∆푯푬푪 푷∆ 푯 푷∆ 푯푪 푯.푷∆ 푫푬 110/ ( 푫 + 푬) − ( 푫 + 푬푪) = ( 푯 − 푪)( 푯 + 푪) 111/ ( 푫 + 푬 ) − ( 푫 + 푬푪 ) = ( 푯 + 푯푪 )( 푯 − 푪)( 푯 + 푪) 112/ 푫 + 푬 = 푫 . 푪 . ( 푪 − 푯 ) 113/ 푫 + 푬푪 = ( 푪 − 푯 ) − 푫 . 푪 . ( 푪 − 푯 ) (푬푯−푬푪)( 푯+ 푯) ( 푯−푯푪)( + 푪) 114/ 푫 + 푯푫 − 푬푯 − 푬푪 = + 푯푪 푪 푯.푯푪 푯,푯 .푯푪− 푪. 푯 115/ − = 푪 푪
12. 푪+푯푪+ 푪 푯. 푬 116/ + + = 117/ = 푯 푫 푫. 푪 푯푪. 푪 푪푫 푯푪. 푬푪. 푯. 푪 푫.푯 118/ = + 119/ = + 푪 푪 푬 .푯푪 푯ퟒ 푬푪 . 푯. 푯.푯푬 푺∆푪푬푫 푫 120/ 푪 − 푯 − 푫 − 푬푪 = 121/ ( ) = ( ) 푬 푺∆ 푫푬 푬푪 − . 푫 ( 푪 − 푯 ) − 푯 122/ 푯 + 푪 = 123/ 푫ퟒ + 푬푪ퟒ = 푯. 푬 푪 푪. 푫. 푫 푯.푬푪. 푫 푬푪. 푯. 푯 124/ = + 푯 푯 푯푫. . 푪 125/ 푪. . 푪 − 푯푪. 푯. 푪 = 푯 126/ 푯. 푯푪. 푪 = 푬푪. 푪. 푯 + 푫. . 푯푪 127/ ( + 푬) + ( 푫 + 푪) − ( 푯 + 푯) − ( 푯 + 푯푪) = 푯 .( 푯+푯푪) 128/ ( 푪 − )( + 푪 + 푪) = 푬푪. 푪 − 푫. + 푬 129/ ( 푪 + 푪 + 푯) = ( + 푪) + 푪( 푪 + 푬 + 푪 + 푯) 푪(푯푬+ 푪)( 푯+ 푯) 130/ ( + 푪)( 푪 + 푯) = 푯 푪+푯푬 131/ + = 푫+ 푬 + 푪 .(푬푯+푬푪) 132/ ( 푫 + 푯푫) + (푬푯 + 푬푪) = ( + 푪) − 푬( 푪 + 푫) 133/ ( 푪 + 푬) + ( 푪 + 푫) = 푯. 푯푪 + ( + 푯) + 푪( 푪 + 푯) 134/ (푯푪 + 푪) + (푯 + ) = ( 푪 + 푪)(푬푪 + 푯) 푯.( 푯+ 푪) 135/ (푯푫 + )(푯푬 + 푪) = 푪 푯푪 −푯 .푯 136/ − = 푯푫+ 푯푬+ 푪 푯푬.( + 푪) 푯. +푯푪. 푪 137/ − = 푫+ 푬 + 푪 . 푪.( 푪+ 푯) 138/ (푯푫 + 푪)(푯푬 + ) = 푫. 푬 + 푫. 푯푫 + 푬푯. 푬푪 139/ ( 푫 + 푬)( + 푪 + 푫 + 푬푪) = 푯( 푯 + 푪)
13. (푯푬+ 푪)(푯푪.푯 + 푫. ) 푫+ 푬 푯+푯푫 140/ ( 푫 + 푬푪)( 푯 + 푪) = 141/ = 푯 푪+ 푯 푪+ 푯( 푪− 푯)( 푪+ 푯) 142/ ( 푫 + 푬푪)( 푫 + 푬) = 푪 143/ ( 푫 + )(푬푪 + 푪) = (푯푫 + 푪)(푯푬 + ) 144/ (푯푫 + )(푯푬 + 푪) − ( 푫 + )(푬푪 + 푪) = 푯. ( 푯 − 푪) 푯+ + 푪 푯 + 푬 + 푯. 푬 145/ = 푯푪+ 푪+ 푪 푯 + 푫 + 푯. 푫 146/ ( + 푪 − 푯) = ( 푯 + 푪) − 푪( 푫 + 푬) 146/ ( + 푯 − 푪) = ( 푪 − 푯) − 푪( 푫 + 푬) 147/ ( + 푪 − 푯) − ( + 푯 − 푪) = ퟒ . 푪 푯−푯푪 푪+ 푯 148/ ( ) = − 푪 푪 ( 푫− 푬)( 푪− 푯) 149/ ( 푬 + 푪) + ( 푫 + ) = √ √ √ √ 푯 ( 푫− 푬)( + 푪+ 푪) 150/ ( 푯푪 + 푪) − ( 푯 + 푪) = √ √ √ √ 푯 151/ ퟒ + 푪ퟒ − 푯ퟒ − 푯푪ퟒ = . ( 푪 − 푫 ) 152/ + = . ( + ) 푯푫.푯 푯푬.푯푪 푯 푫 푬푪 푯 −푯푫.푯 −푯푬.푯푪 153/ 푯 − 푫 − 푬푪 = 푯 154/ 푯푫 . 푯 + 푯푬 . 푯푪 = 푪 . ( − 푬 ) 155/ 푯푫. 푯 + 푯푬. 푯푪 = ( 푫 + 푬)( 푪 − 푯) + 푪 + 푪 푪+ 푫+푬푪 푫.푯푫+ 푯 푫+푯푪 156/ = 157/ = + 푪 + 푪 푫.푯푫− 푯 푫−푯푪 푯 +푯 푫+ 푪−푯푪− 푯 푯− 푫− 푬 158/ = 159/ = 푯. + 푬. 푪 푯 +푯 + 푪− 푯 푯 + −푯푫 . 푪. 푪+ 푯 푪푫 ( 푫+ 푫)(푯푪+ 푯 ) + 푯 160/ = 161/ = . 푪. 푪− 푯 푬 +푯푪 (푬푪+ 푬)(푯 + 푯푪) 푪+푯푪 ( 푫+ 푫)( 푫+ 푫) 푯+ 푫 푫+ 푪 푯.푯푪 + 푪 162/ = 163/ = (푬푪+ 푬)( 푬푪+ 푬) 푯푪+푯푬 푬+ 푪 푯푪. 푯 + 푪
14. 푫+ 푪 푬 +푯푪. 푬. 164/ = 푫+ 푪 푬. 푫 +푯 . 푫. 푪 III/ Mức độ vận dụng cao Chứng minh rằng: 1/ 푪 = 푫 + 푬푪 + 푫푬 2/ = 푫. 푪 3/ 푯푬 = 푬푪. 푫 4/ 푯 = 푪. 푫 5/ 푫푬 = 푫. 푪. 푬푪 = 푬. 푫. 푪 = 푬. . 푯푪 = 푫. 푪. 푯 = 푫. 푪. 푯푪 = 푬푪. 푯. 6/ 푪. ( 푫 − 푬푪 ) = (푯 − 푯푪)( 푪 − 푯)( 푪 + 푯) 푫 √ 푬+√푬푪 √ 7/ = 8/ = 푬푪 푪 √ 푫+√ 푫 √ 푪 √ 푬. +√ 푫. 푪 9/ = √푫푬 10/ 푬. . 푯푪 + 푯. 푪. 푯푬 = 푯 √ 푯+√푯푪 ퟒ 푺∆ 푬푪.푺∆푯푬푪 11/ = ퟒ 12/ 푪. 푬. 푯푪 = . 푯. 푬푪 푺∆ 푫푪.푺∆푯 푫 푪 13/ 푫. 푯. 푯푪 = 푯푫. 푪. 푬푪 14/ 푯푫. 푯푬. = 푫. 푯푪. 푯 15/ 푬푪. 푫. 푪 = 푬푯. 푯. 푪 16/ 푬푪. 푯푫. 푪 = 푬푯. 푯. 푪 √ 푯 +√푪푯 √ 푯+√푪푯 푫+ 푪 17/ = √푯 + 푯푪 + 푯. 푪 18/ = √ √ 푪− 푯 √ 푯+ 푪 푫+ 푪 19/ (푷∆푪푯푬 ) + (푷∆푯 푫) + (푷∆ 푫푬) = (푷∆ 푪) ퟒ ퟒ 푷∆푯 푫 푺∆ 푯푫 푺∆푪푬푫 푪√ + 푪 + . 푪 20/ ( ) + − =1 21/ CD = 푷∆ 푯 푺∆푯푬푪 푺∆푯푬 + 푪 ( + 푪 + 푪 ) − ( ퟒ+ 푪ퟒ+ 푪ퟒ) 22/ 푺 = √ ∆ 푪 + 푪 푯 +푯푪 . 푪 (푯 +푯푪) 23/ = 24/ = 푬+ 푫 푯 푬. 푫 푯 .푯푪 푷∆푯푫 푺∆ 푯푫+ 푺∆ 푯 25/ 푪√ 푯 + √푯푪 = 푯√ ( 푯 + 푪) 26/ = 푷∆푯푬푪 푺∆푬푯푪+ 푺∆ 푯푪 . 푪( ퟒ+ 푪ퟒ+ . 푪 ) 푯푫− 푯 푯− 푪 27/ 푺 = 28/ = 푫푬푪 ( + 푪 ) 푯+ퟒ 푯 푪+ퟒ
15. 푬푪 (ퟒ푬푪+ 푫)( 푪− 푯푪) 푪푫. 푬 푯 ( ퟒ− 푪ퟒ) 29/ = 30/ − =1 푫 ( 푯 − 푬)(ퟒ 푯+ 푯 ) 푺 푫푬푪 − 푪 ퟒ ퟒ 푯 (√ 푫+√ 푫) +(√ 푬+√푬푪) 31/ 푫. . 푬푪 = 32/ ퟒ = 1 푯푫. 푪 (√ 푯 +√푯푪) 푪 −푪푯 ( 푬. 푯) +( 푬.푯푬) 푪푫 − 푬 푯 +푪푯 33/ = 34/ − = 3 푪 −푯 ( 푯. 푫) +( 푬. 푫) 푪 − 푯 ( + 푪)( 푪− 푯) 푯푪 푫 푬푪(푯푬+푯푪) 35/ + = 36/ + = 푫 푬푪 푯 푯 푫 푬 푬 푫 푯( + 푪)( 푪− 푯) 푯푫 푯푬 푯 (푯푬+푬푪) 37/ + = 38/ + = 푪 푪 푪 푪 푪 푪( 푯+ 푯) − 푫 푯 39/ + = 40/ = 푯+ 푯 푯+푯푪 푯푫( 푪+ 푯푬) 푪 −푬푪 푪푯 푫 − 푫 푬 √ 푫+√푬푪 42/ = 42/ + = 푯 −푯푪 푯( 푬 +푯푪 ) √ √ 푪 푬+ 푫− 푯 푯푬 푯푫 ( 푯+ 푯)( 푪−푯푬) 푯 푯푪 푪 − 푯 43/ + = 44/ + = 푪 푪. 푯.푪푯 푯푪 푯 푯푪. 푫. 푫 (푷∆ 푯 ) ퟒ.푷∆ 푯푪 푺∆ 푬푪 ( 푯+ )( − 푫 ) 45/ − = 4 46/ = 푺∆ 푯 푫 푺∆ 푫푪 ( 푯+ 푪)( 푪 − 푬 ) 푫 + 푫 ퟒ+ 푪ퟒ− . 푪 푯 −푯푬 푫( −푯푪 ) 47/ = 48/ = − 푫 .( 푯 + 푪 ) 푯푪 −푯푫 푬푪( 푪 − 푯 ) 푬ퟒ−ퟒ 푫ퟒ 푯(푯푪−푯 )− 푫.푬푪 49/ = 푫ퟒ−ퟒ 푬ퟒ 푯(푯 −푯푪)− 푫.푬푪 푯 + 푪 푯푪+ (푯푫+ )( 푬−푬푪) 50/ − = 푯+푯푪 푯+푯 푯푬( + 푯푫) + 푪 푯푬 푯푫 푫 − 푫 푪.( 푯 − 푯 ) 51/ + + = 1 52/ = 푪ퟒ.( + 푪) 푪 푯 −ퟒ푯푪 ( 푪+푯푫).( − 푪 ) 53/ 푯 = 푫ퟒ. ( 푫 + 푬푪 + 푫푬 ) ퟒ ퟒ 54/ (√ 푪 − √ 푯) + (√ 푪 − √푪푯) = 푪 − 푯 − ퟒ 푪( + 푪 + 푫 + 푬푪) 55/ + 푪 + 푯 = 푪 . ( 푫 + 푬푪) + 푪. 푫. 푬푪 56/ ( 푪 − 푯푪 + 푪) + ( 푪 − 푯 + ) = 푪 − 푯 + ퟒ( + 푪)( 푪 + 푯)
16. ퟒ ퟒ 57/ (√ − √ 푫) + (√ 푪 − √ 푬) = 푪 + 푯 − ퟒ 푯( + 푪 + 푫 + 푬) ퟒ ퟒ 58/ (√ − √ 푫) − (√ 푪 − √ 푬) = 푫 − 푬푪 − ퟒ 푯( 푪 − 푯푬) + ퟒ푯푪( − 푯푫) 59/ ( 푫 + 푯) + (푬푪 + 푯) = + 푯푪 + 푬. 푯 + 푫. 푯푪 60/ 푪( 푫 + 푯푫) + 푪(푯푬 + 푬푪) = 푪( 푯 + 푪) − 푯 . ( 푪 + 푯) 61/ ( 푫 + 푯푪) + (푬푪 + 푯 ) = . 푪 + 푯 . ( 푯 + 푯 − ) 62/ ( 푯 + 푯 + ) + ( 푯 + 푯푪 + 푪) = ( + 푪 + 푪) 63/ ( 푫 + 푯) + (푯푬 + 푯푪) + ( 푯 + 푬) = ( + 푪) 64/ ( 푪 − 푯푪) + ( 푪 − 푯 ) − ( − 푯푪) − ( − 푯 ) = (푯푪 − 푯 ) 65/ ( 푯 + 푯) + ( 푯 + 푯푪) = ( 푪 − 푯). ( 푪 + 푯) (푯 + ) +(푯푪+ 푪) 66/ 푪 = ( 푪 − 푯)( 푪 + 푯) + ퟒ 푪( 푫 + 푬푪) − 푯( 푫 + 푬) 67/ √ 푫. 푪 + √ 푯. 푬푪 = √( 푯 + 푯푬)( + 푯푪) 68/ ( − 푯)( − 푯) + ( 푪 − 푯)( 푪 − 푯푪) = ( 푪 − )( 푪 − 푪) 69/ ( + 푯)( 푯 − 푯) + ( 푪 + 푯)(푯푪 − 푯) = ( + 푪)( 푪 − ) 70/ ( 푫 + 푯)( 푯 − 푯푫) + (푬푪 + 푯)(푯푪 − 푬푯) = ( 푯 + 푪)( 푯 − 푫) 푪 .( 푪 − 푯 ) 푪 푪( + 푪) 71/ + = 72/ + = 푫 푬푪 푯 푯푫 푯푬 푯( 푪 − 푫 −푬푪 ) 푪 .( 푫+푬푪)( 푪 − 푯 . 푪− 푯 ) 73/ + = 푫 푬푪 푯 74/ √푯푫. 푯푪 + √ 푯. = √ 푯. 푫 + 푯(푯푫 + 푯푪) 푫 푬푪 75/ − = . ( + ) 76/ 푫 + 푬 = 푫. 푬푪( 푫 + 푬푪) 푯 푪 . 푪 푬푪 푫 푯 77/ + − − = . ( + ) 푪 푫 푬 푪 푫 푬푪 푪푫 78/ √ + + = 푪 푪 .푯푪 푯( 푯+ 푪) 79/ = √( + ) . ( + ) 푫.푬푪. 푪 푬 푫 푪
17. 푯.( 푫 +푬푪 +ퟒ 푯 ) 80/ + + = 푯 푯푪 푪 푫. 푬. 푪 푪 − 푯 푪푫 .(푯푪 + 푯 + 푯 ) 푯푫 푯푬 81/ = 82/ BD.EC = + 푪 −푪푯 푬 .(푯 + 푯푪 + 푯 ) 푪 푯 푯. 푪− 푫. 푬 83/ . ( ) = √ + + 푫. 푬 . 푪 푯 푯푪 푪 84/ (푯푬. 푯푪) + (푯푫. 푯 ) = . 푯푪( . 푪 − 푯푫. 푯 ) 푬+푪푫 √푯 +푯푪 + 푪 − 푫 −푬푪 85/ = 푫+푬푪 푪− 푯 푫 + 푬 푯푬 86/ = 87/ 푪 − 푯 − 푪푯 = 푪. 푯. 푪푯 푫 +푬푪 푪.푯푬 + 푪 −푯푬 푯−푯푪 푯 −푯푪 푫 + 푬푪 + 푯.푪푯 88/ + = 푯 −푯푪 푯 −푯푪 푯 +푯푪 + 푯.푪푯. 푪 89/ (푯푪 − 푯 ). (푯푪 − 푯 ) + (푯푪 − 푯 ) = 푬푪. 푪. ( 푬푪 − 푬 − 푯푬) 푫.푯푫+푯푬.푬푪− 푫. 푬 90/ + = 푯 푪푯 푪. 푯ퟒ 푯 푯 푪푫 91/ + = (푯푫+ 푪) 푪(푯푬+ ) 푬 .(푯푬 + 푪 ) 푪 − 푯 .푯푪+ 푫.푯 92/ = 푪 − 푯 .(푬푪.푬푯+ . 푬) 푯푪. 푪− 푬.푬푪 93/ + = ( 푯+ 푪) (푯푪+ 푪) ( 푯.푯푬+ 푪. 푪) 푪 푯 +푬푯 푪푫 푬 94/ . ( ) − − = 2 푯푫 푬푯 푯푫 푯푬 95/ + 푪 + 푪 = 푯. 푪 + 푪. 푷∆ 푪. ( 푪 − − 푪) 푪.( 푯−푯푪) − 푯ퟒ+푯푪ퟒ 푪 96/ = ( 푯−푯푪) − 푯 +푯푪 푯푫. −푯푬. 푪+ − 푪 푯푪 + 푪. 푯 97/ = 푯−푯푪 푪( 푪−푯푬) (푷∆ 푯 +푷∆ 푯푪) 98/ = (푷∆ 푪 + 푯). ( + ) ퟒ.(푺∆ 푯 +푺∆ 푯푪) 푯 푪
18. ퟒ( 푫.푯푫+푬푯.푬푪) 99/ + = ퟒ (푺∆ 푯 ) (푺∆ 푯푪) 푫.푬푪. 푯 푫+ 푬+ 푯 푬.( 푯+ ) 푬ퟒ+푪푫ퟒ 푪 − 푯푬 100/ ( ) = 101/ = 푯+ 푪 푯푪.( 푯+ 푯) 푬ퟒ−푪푫ퟒ 푯푪( 푯−푯푪) .( 푪 − 푯푬 ) 102/ + = (푺∆ 푯 ) (푺∆ 푯푪) . 푫 .푯푪 . 푬 (푷∆ 푯 ) (푷∆ 푯푪) .( 푯+ )( 푪+푯푪) 103/ + = 푺∆ 푯 푺∆ 푯푪 푯 푷∆ 푯 푷∆ 푯푪 .( 푪−푯푬)(푷∆ 푯 + 푯푫) 104/ + = 푺∆ 푯푪 푺∆ 푯 푯. 푫. 푬 105/ √ 푯. 푬푪 + √ 푪. 푪 = √(푬푯 + 푪)( 푯 + 푪) 106/ + = (푷∆ 푯 ) (푷∆ 푯푪) .( 푫. 푬+ 푯.푷∆ 푫푬) ( 푫 + 푬 ) −( 푫 +푬푪 ) 푯푪.푬푪 − 푯. 푫 107/ = ( 푫+ 푬) −( 푫+푬푪) 푯푪−푯 푬 푫 푯. 푬 푬푪 푬 +푬푪 108/ + = 109/ + = 푫 푬푪 푯 푫 푫 푬푪. 푬 푫 푯.( 푯 +푯푪 ) 110/ + = 푫 푬푪 푯푪 푬 푬푪 푬.푬푪 푪 − 푪. 푯 − 푯. 푪 111/ + − = 푫 푫 푫. 푫 . 푯. 푪 112/ ( 푫 + 푬 ) − ( 푫 + 푬푪 ) = 푫 . 푪 . ( 푪 − 푯 ) − ( 푪 − 푯 ) 푫 + 푬 113/ 푪 . √ +√ 푫. 푫 + √ 푬. 푬푪 = ( 푫 + 푬) 푫 +푬푪 114/ √ 푯푪 + 푯푬 − √푯푫 + 푯 = √ 푪 + 푯푪 − 푬 − 푯 115/ (√ 푪 + + √푯푪 + 푯푬) − (√ 푪 + 푪 + √푯푫 + 푯 ) ( 푪− ).(푯푬+푷∆ 푯푪) = 푪 푪 .( 푯−푯푪)( 푪− 푯) 116/ √( 푪 + 푪)(푯푫 + 푯 ) − √( 푪 + )(푯푪 + 푯푬) = + 푪
19. 푫 .푬푪 .( + 푪).( − 푫. 푫− 푫. 푪) 117/ 푫 + 푬 = 푯. 푪 푬. 푫 .( 푯 +푯푪 ) 118/ 푫ퟒ + 푬ퟒ = 푪 푬. 푬.( + 푪).( 푪− 푯) 119/ 푫 + 푬 = 푪 ( + 푪).( 푪− 푯).( 푪 − 푪. 푯 − 푯 ) 120/ 푫 + 푬푪 = 푪 ( 푫+ 푬).( 푪− 푯).( 푫−푬푪) 121/ 푫 + 푬푪 − 푫 − 푬 = 푯 푫ퟒ+ 푬ퟒ . 푪− 푫. 푬 122/ = 푫 + 푬 푫+푬푪 123/ 푫ퟒ + 푬푪ퟒ − 푫ퟒ − 푬ퟒ = ( 푯 + 푯푪 ). ( 푪 − 푯). ( 푪 + 푯) 푯 푬 푫 ( 푪+ +푯푬) 푯푬 124/ ( + + ) = + 푯 푫푯 푯푪 푪 125/ ( 푯 + 푪) = 푪. ( 푪 + 푯. 푪 − 푫 − 푬푪 + 푫. 푬푪) ퟒ .( 푪 − 푯 ) 126/ + = (푺∆푪푬푫) (푺∆ 푬푫) 푯푫. 푫 .푬푪 푬 +푬푪 127/ + = 푺∆푪푬푫 푺∆ 푬푫 푬푯.푬푪. 푬 푪푫 .[( 푯 −푯푪 ) + 푯 .푯푪 ] 128/ 푬푪 . 푪푫 + 푫 . 푬 = 푪 129/ ( 푪 + 푪 + 푯) + ( + 푪 + 푯) = 푪 + 푯 + ( + 푪)( + 푪 + 푪 + 푯) 130/ (푯푪 + 푪) + (푯 + ) = 푪. [( 푪 − 푯)( 푪 + 푯) + ퟒ 푪( 푫 + 푬푪) − 푯( 푫 + 푬)] 131/ ( 푫 + 푬)( 푫 + 푬푪)( 푪 + 푯) = . 푯푫( + 푯푫) + 푯푬. 푪( 푪 + 푯푬) 푯 + 푪 132/ + = ( 푫+ 푬) ( + 푪) 푪. 푯 .( 푪+ 푯) 푪. 푪.( 푪+ 푯)− . 푪.( 푪+푯푪) 133/ − = 푯푬+ 푯푫+ 푪 푯 .( 푯 + 푪 )
20. 134/ ( 푯 + )( 푪 + 푪) − ( 푯 + 푪)( + 푪) = ( 푪 − 푯)( − 푪) ( 푯+ )( 푪+ 푪) 푯푬+ 푯+ 135/ = ( 푯+ 푪)( +푯푪) 푯푫+ 푯+ 푪 136/ ( + 푯 − 푪) + ( 푪 + 푯 − ) = 푪. ( 푫. 푬 − 푯 + 푯. 푪) ( + 푪)( 푪− 푯)+ 푪 137/ ( 푫 + ) + ( 푬푪 + 푪) = √ √ √ √ 푪 ( + 푪+ 푪)( + 푪− 푪) 138/ ( − 푯)( 푯 + 푪) + ( 푪 − 푯푪)( 푯 + ) = 139/ (√푯푫 + √ ) − (√푯푬 + √ 푪) ( − 푪)( 푪+ 푯) ퟒ푯푫.[( − 푪) − 푯 ] = − √ 푪 − 푯푫 (√ 푬+√ 푪) −(√ 푫+√ ) 푪−푯푬 140/ = (√푯푪+√ 푪) −(√ 푯+√ 푪) 푯+푯푪+ 푪 141/ √ 푯 − 푯푬√푯푪 = √( 푯. − 푯. 푫)( − 푬푪) nếu √ 푯 > 푯푬√푯푪 142/ 푪. (√ 푫 + √푬푪) = √ + 푪 + (√ 푯. 푪) 143/ √ 푪. ( 푫 + 푬푪) = √ 푯 + 푯푪 + 푯 푯 .( 푪ퟒ−ퟒ 푯 . 푪 + 푯ퟒ) 144/ ( 푫. 푯푫) + (푬푯. 푬푪) = 푪 145/ ( 푫. 푯푫) + (푬푯. 푬푪) = 푯 .(푯푫.푯 . +푯푬.푯푪. 푪).( 푪ퟒ−ퟒ 푯 . 푪 + 푯ퟒ) 푪 ퟒ+ 푪ퟒ + 푪 ퟒ 푫 푬푪 푯− 푪 146/ = ( ) 147/ + = 푫ퟒ+ 푬ퟒ 푬+ 푯 푬푯−푬푪 푫 −푫푯 푯− 푪 푫 푬푪 .( − 푬) 148/ ( ) + ( ) = 푬푯−푬푪 푫 −푫푯 ퟒ.( 푬− ) 푯.( + 푪 ) 149/ = 푯푫. 푯 + 푯푬. 푯푪 + 푪 + 푪 − 푪 . 푪−푯푫.푯 −푯푬.푯푪 150/ = ퟒ+ 푪ퟒ− 푪ퟒ 푫.푬푪. 푪
21. (푫푯+푫 )(푬푯+푬푪) 푯 . 푫 + 푯 푫+ 푪 푫+푯푪 151/ = 152/ = (푫푯−푫 )(푬푯−푬푪) 푯푪. 푬 − 푯 푫− 푪 푫−푯푪 ( 푫+ 푬).( −푯푫 − .푯푫) 153/ 푫. 푯 + 푬푪. 푯푪 = 푬 154/ (푯 + 푯 )(푯 + 푯푪)( + 푪) = 푯. 푪. ( + 푪 + 푫 + 푬푪) ( 푯− 푬)( − 푯) (푯푫+푯 )(푯푪+ 푪) 155/ + = ( 푯 + 푪) 푬 푫 푷∆푪푯푫 푯( 푫+ 푬)+푪푯. 푬 156/ = 푷∆푯푬 푯( 푫+ 푬)+ 푯.푪푫 푫+ 푫 푫+ 푫 .( 푪 − 푯 ) 157/ + = 푬푪+ 푬 푬푪+ 푬 푪.( 푪 + 푯 ) 푫+ 푫 푫+ 푫 .( 푪ퟒ− 푪 .푯푬 + 푯푬ퟒ) 158/ ( ) + ( ) = 푬푪+ 푬 푬푪+ 푬 푪 .( 푪 +푯푬 ) + 푪 푪.( 푯 +푯푪 ) 푪. √ 푫 159/ ퟒ ퟒ = 160/ + = + 푪 푯 +푯푪 √ 푫 √푬푪 푫.푯 √ √푬푪.( 푪+ 푯) 161/ + = √ 푫 √푬푪 푬.푯푪 IV/ Mức độ rất khó Chứng minh rằng: 1/ 푫√푪푯 + 푬푪√ 푯 = 푯√ 푪 2/ √ 푫 + √푬푪 = √ 푪 3/ √푫 . 푫푯 + √푯푬. 푬푪 = √ . 푪 4/ 푪 = 푯 . + 푯푪. 푪 + 푪. 푯 √ 푯+√푪푯+√ 푪 5/ + = √ + 6/ =√ 푯 푯푪 푫 푬 √(√ −√ 푪) +(√ 푯+√ 푪) 푫 푬푪 + 푪 . 푪 푪+ 푯 푫+푬푪 ( 푫+ 푬) 7/ + = . ( − ) 8/ + = 푯푪 푯 푪 푫. 푬 푯 + 푪 푯.푪푯 √푷∆ 푪.(푷∆ 푪− ).(푷∆ 푪− 푪).(푷∆ 푪− 푪) 9/ 푺 = ∆ 푪 ퟒ 푯푬 푯푫 10/ + = ( 푪 − 푯). ( + ) 푯 푯푪 푪 11/ 푫. 푬. 푯. 푪 = (푯 . 푯푬) + (푯푫. 푯푪)
22. 12/ 푬. . 푯푪 + 푯. 푪. 푯푬 = 푫. 푬푪. 푪 ( 푫+푬푪)( 푫+ 푬) ( 푯+ )(푯푪+ 푪) 푯.푯푪. 푫 13/ − + = 푪 푯 푯+ 푪+ + 푪 푪.푯 ( +푯푪)( 푪+푯 )− 푪.푯푪 푯 14/ − − = 1 푯( 푯+ 푪) 푯 푬푯 ( + 푪)( 푪− 푯) 푯 푬 푯푫+푯 15/ + = 16/ + = 푫 푬푪 푬. 푫. 푪 푯푪 푬푪 푪.푯푪 푯푫 17/ √ 푫. 푬푪 + √ . 푪 = 푯( 푪 + 푫). √ .푬푪. 푪 푫 푬푪 (푯 +푯 )( 푪−푯푬) 18/ + = 푯+ 푯 푯+푯푪 푯푫( 푪+ 푯푬) − 푫 .( 푪 + 푪 +푯푪 ) 19/ = 푪 − 푬 푪 .( 푪 + +푯 ) 푯푪 푯 푪 .(푯푬+푬푪)( 푫+푬푪) 20/ + = 푯+ 푯 푯+푯푪 . 푪.푯푪( 푪+ 푯) 21/ ( 푫√푪푯 + 푬푪√ 푯). (푯푬√푪푯 + 푯푫√ 푯) = 푪. 푯. 푪푯 푪( 푪+푯푬) 22/ + = 푯 푪푯 푯푬 .( 푯+ 푯+푪푯) 푫 + 푫 ( − 푫 ).( 푪 +푬푪 ) 23/ = 푪 + 푬 ( 푪 − 푬 ).( 푪 + 푫 ) 푫+푬푪 ( 푫+ 푬) + 푪 − 푪 24/ + = + 푪 푯.푪푯 ( + 푪 )( ퟒ+ 푪ퟒ− 푪ퟒ) 푯 − 푬 푪−푬푪 − 푫 25/ = ( ) . ( ) 푯푪 − 푫 푪− 푫 푪 − 푬 26/ (√ 푯 + √푪푯) = 푪. (√ 푫 + √푬푪) + √(푯푬√푪푯 + 푯푫√ 푯) − 푫. 푬푪. 푪 27/ ( + 푪 + 푯) = 푪( 푫 + 푬푪)( 푪 − 푫 − 푬푪) + 푫. 푬푪. 푪 + 푪 + 푯( 푯 + 푪)( + 푪 + 푪) ퟒ ퟒ ퟒ ퟒ 28/ (√ 푪 − √ 푯) + (√ 푪 − √푯푪) + (√ − √ 푫) + (√ 푪 − √ 푬) = 푪 + 푯 − ퟒ 푯( + 푪) ퟒ ퟒ ퟒ 29/ (√ 푫 + √ 푫 + √푯푫) + (√ 푬 + √푬푪 + √푯푬) = (√푯 + √푯푪 + √ 푯)
23. 30/ (푯푫 + 푫 − 푯)( 푫 + 푯 ) + ( 푬 + 푯푬 − 푯푪)(푬푪 + 푯) = ( 푯 + 푯 − 푪)( + 푯푪) 31/ . 푪. 푪 − 푫. 푯푫. 푯 − 푯푬. 푬푪. 푯푪 = 푫. 푬푪. 푪 + 푯. 푪 푯. 푪 푪+ 푯 32/ + − − = . ( − ) 푫 푬푪 푪 푯. 푪. 푪 푬. .푯푪 푯 . 푪− 푫. 푬 33/ + − = 푯 푯푪 푪 푫.푬푪. 푪 푫 푬푪 34/ + + = . ( + + ) 푯 푪푯 푯 푯 푯푪. 푪 푯. 푯 푪 − 푯 푪 − 푯 푪푫 .( 푯 + 푪 ) 35/ + = 푪 −푪푯 푪 −푪푯 푬 .( 푯 + 푪 +ퟒ푯푪 +푬푪 ) 푯 +푯 푪−푯푬 푯 36/ + + + = . ( + ) 푫 푬 푬푪 푪푫 푯푫 푬.푯푪 .푪푫 37/ ( 푫√푪푯 + 푬푪√ 푯) = √ 푪 − 푯 − 푯푪 √ 푯.( − 푫 −푯푫 )( 푪 − 푬 −푬푪 ) ( 푫+푬푪) ( 푫+ 푬) 38/ = + 푫.푬푪.( 푫√푪푯+푬푪√ 푯) + 푪 푯.푪푯 푯 +푪푯 푬푪.푯푪.푯푫+ 푫. 푯.푯푬 39/ = 푯 +푪푯 푯. 푪.( 푪. 푪− 푫. 푯) 40/ 푯 + 푪푯 = 푪 . ( 푯 + 푪푯 − 푯. 푪 + 푯. 푫. 푬푪) −푯푫 41/ + = ( 푯+ 푯) ( 푯+푯푪) 푫. .푯푪( 푪+ 푫) 푪 + 푯 푫. 푪 푪+푯푪 42/ = + 푪 + 푯 푯 .( 푫+ 푪)+ . 푯 +푯푬.푯푪 푯 + 푪 푯. 푪 ( 푫.푯푫+푬푯.푬푪) 43/ − + − − = 5 푯푫.푯푬. 푯.푯푪 푫. 푬 푪 푯 푯푪 푯.푯푪+푷∆ 푫푬.( 푪− − 푪− 푯) 44/ + + = 푪 푯 . 푪. 푫.푬푪. 푪 + 푪 + 푪 푷∆ 푪.( 푪− 푯−푯푪) 푪 45/ − = ( 푫√푪푯+푬푪√ 푯) 푯 .푬푪 푯 푫+푬푪+√( 푫+푬푪) + 푯.푯푪 46/ BC=
24. 푯( − 푪) + ( 푪− 푯) + 푪( 푯− ) 푯푪 + 푪. 푯 + 푯푬. 푪 47/ = ( − 푪) +( 푪− 푯) +( 푯− ) 푪( 푯+푯푪−푯푬) 푷∆ 푯 푷∆ 푯푪 ( 푪+푯푬)( 푯+푷∆ 푪) 48/ ( ) + ( ) = 푺∆ 푯 푺∆ 푯푪 푬. 푪. 푫 푷∆ 푯 푷∆ 푯푪 ( 푯+ 푪)(푯푫+푷∆ 푯 )( 푯푬+푷∆ 푯푪) 49/ ( ) + ( ) = 푺∆ 푯 푺∆ 푯푪 푯. 푪. 푫 . 푬 푫.푯푫. 푯 푬푪.푯푫 푯.푯푫. +푯푪.푯푬. 푪 50/ + = 푪.푯푬ퟒ 푬 .푯 푪. 푯ퟒ 51/ (√ 푫 + √ 푫 + √ 푬 + √푬푪) = (√ + √ 푪) + (√푯푫 + √푯푬) 52/ √(√ + √ 푪) + (√푯푫 + √푯푬) + √ + √ 푪 = √ . ( 푯 + 푷∆ 푪 + 푷∆ 푫푬) 푬 푬푪 푯 +푯푪 +푬푪.(ퟒ푯푫.푯 − 푪. 푪)− 푪. 푪 53/ + = 푫 푫 푯.푯푪. 푪 ( 푫+푬푪) −( 푫+ 푬) 54/ = 푬푪 + 푬 + 푫 + 푫 푪 − 푯. 푪+ 푯 − 푫. 푬 푫 +푬푪 푪 − 푯 − 푫. 푬 55/ = 푫 + 푬 푫. 푬 푫ퟒ+푬푪ퟒ ( 푯ퟒ−푯푪ퟒ)( 푯 −푯푪 )+ 푯 .푯푪 .( 푯 +푪푯 ) 56/ = 푫 +푬푪 [ 푫+ 푬].[( 푯 +푪푯 )( 푯 +푪푯 + 푯 − 푯. 푪)− 푯 .푯푪 ] 57/ ( 푯 + 푪) − ( 푯 + 푪) = 푪. [ 푪( 푪 + 푯 − 푬 − 푫) + 푫. 푬 − ( 푫 + 푬푪) ] 푪 + 푯 − 푯푪 푪( 푯+ 푯)−푯푪(푬푯+푬푪) 58/ = 푪 +푯푪 − 푯 .푯푪+ 푬푪. 푪− 푯( 푫+푯푫) 푯+ + 푪 ( 푯− 푫).( 푪 − 푯 )( − 푫 ) 59/ = 푯푪+ 푪+ 푪 ( 푯− 푬).( − 푯 ).( 푪 − 푬 ) ퟒ 푯 .( 푫+ 푬).( 푯 + 푫. 푬) 60/ ( + 푪 + 푯) + ( + 푪 − 푯) = 푫. 푬 푯( 푯+ 푯) 61/ + = + 푪− 푯 + 푪+ 푯 .[ 푪( 푯+ 푪)+ .(푯푪+ 푪)− 푫.푬푪] + 푪 푬푪.푯푪.( 푪 − 푯 ) 62/ = + 푪 푫. 푬. 푫. 푯.( 푫.푯푫+푬푯.푬푪− 푫. 푬)
25. 푯 + 푪 푯.( 푫.푬푪+ 푪 ) 63/ = 푯 + 푪 푫. 푬+ 푫.푯푫+푬푯.푬푪 푫 푬푪 [ 푯푫− ].[ 푯푪.( 푪− 푯)− 푬.푬푪] 64/ ( ) + ( ) = 푬푯−푬푪 푫 −푫푯 (푯푫+ ).(푯푬+ 푪) 푫.푯푫+ 푯 푬푯.푬푪+ 푯 65/ + 푫.푯푫− 푯 푬푯.푬푪− 푯 푪 .( 푪− 푯) = 푯ퟒ+ 푪. 푯 − 푯.( + 푪)( 푪 − 푯. 푪− 푯 ) + 푪 + 푪 푫. 푬. 푪 .( 푪− 푯) 66/ − = + 푪 ퟒ+ 푪ퟒ ( 푪− 푯)( 푪 − 푯 )