Bài tập Chứng minh bất đẳng thức Lớp 9 - Tú Lê (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Chứng minh bất đẳng thức Lớp 9 - Tú Lê (Có lời giải)

1. Facebook : Tú Lê – Từ trang 56 – 60 1 1 1 Chứng minh: 1 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2 a Hướng dẫn giải Ta dễ tìm thấy điểm dơi đạt tại a = b = c = 1 Với điểm dơi trên ta có : 2 2 2 2 3 2 a b a b 1 3 4 2 2 a b 1 1 a b 3 a b 2 2 a b 2 a b 33 a2b 3 Ta có: 2 1 1 a b 1 1 3 4 2 1 1 3 4 2 2 1 2 1 a b a b 2 a b 2 2 a b 2 3 2 6 1 1 a2 2ab 2 18 a a2 2ab Vì : 3 a4b2 a 3 a.b.b a 2b 3 3 1 1 1 2 2 c 2ac 2 a b 2 18 1 1 1 1 1 1 Tương tự : 2 2 2 b 2bc ; 2 c 2ca 2 b c 2 18 2 c a 2 18 1 1 1 3 1 2 3 1 Vậy : a b c 1 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2 a 2 18 2 2 Đẳng thức xảy ra : a b c 1 Ví dụ 2.33. Cho a, b, c 0 và a b c 3 a b c 3 Chứng minh : b 3 ab c 3 bc a 3 ca 2 Hướng dẫn giải Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại a b c 1 a a 1 a 1 b2 1 b 1 1 . 1 1 Ta có : 3 2 2 2 b ab b b a b a b b a b b 2 a b 2 a b 1 1 c 1 1 Tương tụ : ; c3 bc c 2 b a3 ca a 2 c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Mặt khác ta có: 1 2 a 4 a 2 a 2 b 2 c 4 a b c 4
2. a b c 1 1 1 1 1 1 1 3 3 9 3 3 3 3 1 b ab c bc a ca a b c 4 a b c 4 4 a b c 2 Lời bình: Qua các ví dụ trên, ta có thể đưa ra cách tác cho dễ dàng như sau: M M K M N Ta ghi nhớ: . . 1 với K là hằng số khác 0 K N K K N K K N 1 a2 1 1 2 1 a2 2 1 2 ; 2 ; 2 1 2 1 a 1 a 2 a 2 2 a 2 2 a a 1 b2 a 1 b2 2 a. 2 a 1 2 ; 2 a 1 . 1 2 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b a 1 b2c 1 1 2 1 a 2b 2 a. 2 a 1 2 ; 2 . 2 1 2 1 b c 1 b c 1 b c 2 a b 2 2 a b 2 2 a b a3 a 2 b2 a 2 a 2b2 3 2 a. 2 2 a 1 2 2 ; 2 a. 2 a 1 2 a b a b a b a 2b a 2b a 2b a a 1 a 1 b2 . 1 3 2 2 2 b ab b b a b a b b a b 3. Điểm rơi của biểu thức không đối xứng và kỹ thuật liên quan 3.1 Biểu thức không đối xứng với các biến 10 8 Cho biểu thức P 5x 3y x y Nếu ta hoán đổi vai trò của x,y cho nhau thì biểu thức P sẽ thay đổi nên ta nói biểu thức P không là biểu thức đối xứng với vai trò các biến không bình đẳng với nhau. Vậy điểm dơi x # y 3.2 Phương pháp giải và các ví dụ minh họa Ví dụ 2. 34. Cho a,b 0 và thỏa mãn a b 3 1 2 Tìm GTNN của biểu thức P a b 2a b Hướng dẫn giải Ta giả sử điểm rơi đạt tại: a x,b y x, y 0 x y 3 Dựa trên liên hệ x và y ta đặt: 3 x ty t 0 x y y. t 1 3 y t 1 t 1 2 1 2t 32 1 32 9 Khi đó thì: P t 1 3 2 6t 3 6t 3 6 9 6 2
3. 1 2t 1 b Đẳng thức xảy ra khi: t 0 t a ; a b 3 a 1;b 2 6t 3 2 2 9 Vậy MinP a 1, b 2 2 Lời bình: Khi đã biết điểm dơi đạt tại a 1, b 2 Ta tách như sau: 1 2 1 a 2 b a b 1 3 9 M a b 2 2 2a b 2a 2 b 2 2 4 2 2 Ví dụ 2.35. Cho a,b 0 và a b 6 6 8 Tìm GTNN của biểu thức P 3a 2b a b Hướng dẫn giải Ta giả sử điểm dơi đạt tại: a x,b y x, y 0 x y 6 6 6t Ta đặt : x ty t 0 x y y t 1 6 y x t 1 t 1 18t 12 t 1 4 t 1 6t 4 t 1 1 3 Khi đó thì :P 12 1 3 8 13 19 t 1 t 3 t 1 3 t 6t 4 t 1 1 1 Đẳng thức xảy ra khi: t 0 t a 2;b 4 t 1 3 t 2 Vậy : MinP 19 a 2, b 4 Lời bình : Khi đã biết điểm rơi đạt tại a 2, b 4 Ta tách như sau: 6 8 6 3a 8 b 3 3 P 3a 2a a b 2.3 2.2 .6 19 a b a 2 b 2 2 2 5 4 1 Ví dụ 2.36 Cho a,b 0 và a b . Tìm GTNN của biểu thức P 4 a 4b ( Trích ĐTTS vào lớp 10, Bắc Giang năm học 2008-2009) Hướng dẫn giải 5 Ta giả sử điểm dơi đạt tại: a x, b y x, y 0 x y 4