Bài tập Chương III môn Hình học Lớp 8

Nội dung text: Bài tập Chương III môn Hình học Lớp 8

1. ĐỊNH LÍ TA LÉT BÀI TẬP Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Trên BD lấy điểm E, gọi F là điểm đối xứng với C qua E. Qua F, kẻ Fx song song với AD, Fy song song với AB; Fx cắt AB tại I, Fy cắt AD tại K. Chứng minh rằng: I, K, E thẳng hàng Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A kẻ đường thẳng AK song song với BC. Qua B kẻ đường thảng BI song song với AB. BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng: a) EF // AB; b) AB2 = CD. EF Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AD. Đường thẳng qua D và song song với EF cắt AC ở I. Đường thẳng qua B và song song với EF cắt AC ở K. Chứng minh rằng a) AI = CK AB AD AC b) ( N là giao điểm của EF và AC) AE AF AN Bài 4: Cho hình bình hành AABCD. Đường thẳng đi qua D cắt AC, AB, CB theo thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng: a) DM2 = MN.MK DM DM b) 1 DN DK Bài 5: Cho hình thoi ABCD. Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của các tia BA, CA theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng: EB AD a) AB DF b) EBD đồng dạng với BDF; c) Góc BID bằng 1200 ( I là giao điểm của DE và BF) Bài 6: Cho ABC , I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng: a) AIM : ABI 2 AM AI b) BN BI Bài 7: Cho điểm M nằm trong hình bình hành ABCD sao cho M· AB M· CB . Qua M vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AB và CD theo thứ tự ở G và H. Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh rằng: a) AGM : CFM b) M· BC M· DC Bài 8: Cho ABC cân tại A có BC = 2a. M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho D·ME Bµ a) CMR: Tích BD.CE không đổi b) CMR: DM là phân giác của gócB·DE c) Tính chu vi của AED nếu ABC đều 1
2. Bài 9: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G thuộc cạnh BC. Điểm H thuộc cạnh CD sao cho G·OH 450 , Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng a) HOD : OGB b) MG//AH Bài 10: Cho ABC ( AB khác AC) Gọi E và F theo thứ tự là các hình chiếu của B và C trên tia phân giác của góc A. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng FB và CE. Chứng minh rằng: AK là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của VABC Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 3AB. Lấy các điểm D, E thuộc AC. Sao cho AD = DE = EC. Chứng minh rằng: A·EB A·CB 450 Bài 12: Cho ABC , trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kì trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng: DE = BK Bài 13: Cho ABC vuông cân tại A, BD là trung tuyến . E là một điểm nằm trên BC sao cho BE = 2EC. Chứng minh rằng: AE BD Bài 14: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. Gọi E là 1 điểm bất kì thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh rằng: NM là phân giác của góc KNE Bài 15: Cho hình thang ABCD( AB //CD). M là trung điểm của cạnh CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC a) Chứng minh rằng: IK//AB b) Đường thẳng IK cắt AD và BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh IE = IK = KF Bài 16: Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng tùy ý cắt BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh rằng: a) AE2 = EK.EG 1 1 1 b) AE AK AG Bài 17: Cho hình thang ABCD ( BC//AD và BC <AD). Gọi M và N là 2 điểm lần AM CN lượt trên hai cạnh AB và DC sao cho . Đường thẳng MN cắt AC và BD AB CD tương ứng ở E và F. Chứng minh rằng: EM = FN Bài 18 : Cho hình thang cân ABCD, có đáy lớn là CD, đáy nhỏ là AB. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F a) Chứng minh rằng: Tứ giác DEFC là hình thang cân b) Tính độ dài đoạn EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm Bài 19: Cho ABC , trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E a) Chứng minh : DE//BC b) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh rằng: ID = IE Bài 20: Cho ABC vuông ở A, phân giác BD. Gọi G là trong tâm của tam giác tính góc B và góc C của tam giác ABC, biết GD  AC Bài 21: Cho ABC đều, O là trung điểm của cạnh BC. Một góc xOy bằng 600, có cạnh Ox cắt AB ở M, có cạnh Oy cắt AC ở N. Chứng minh rằng: 2
3. a) BM. CN = OB2 b) MO và NO là tia phân giác của các góc BMN và CNM Bài 22: Cho ABC đều , O là trọng tâm của tam giác. M là một điểm trên cạnh BC không trùng với trung điểm của BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB, AC các đường vuông góc này cắt OB và OC tương ứng ở I và K a) Chứng minh rằng; Tứ giác MIOK là hình bình hành b) Gọi R là giao điểm của PQ và OM. Cmr : R là trung điểm của PQ Bài 23: Cho hình thang ABCD có đường chéo AC bằng cạnh bên BC. Một đường thẳng đi qua trung điểm M của đáy lớn AB cắt tia đối của tia AD ở E, cắt đường chéo BD ở F. Chứng minh rằng: A·CE B·CF Bài 24: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Đường PA QC thẳng MN cắt AD và BC theo thứ tự ở P và Q. Chứng minh rằng: PD QB Bài 25: Cho ABC . Trên các tia BC, CA, AB ta lần lượt đặt các đoạn thẳng BM =2BC, CN = 2CA, AP= 2 AB. Chứng minh rằng: Hai tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm Bài 26: Cho hình thang ABCD ( AB //CD) . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với 2 đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh rằng: 1 1 1 a) OI AB CD 2 1 1 b) IJ AB CD Bài 27: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm, AD = 24cm. Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Đường thẳng DE cắt AC và BC theo thứ tự ở F và G a) Chứng minh rằng: FD2 = EF.FG b) Tính độ dài đoạn thẳng DG Bài 28: Cho ABC cân tại A. H là trung điểm của cạnh BC. Kẻ HE vuông góc với AC. Gọi O là trung điểm của EH. Chứng minh rằng: AO vuông góc với BE Bài 29: Cho ABC ( AB = AC). O là giao điểm các đường trung trực, D là trung điểm của cạnh AB, E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh OE CD. Bài 30: Cho ABD vuông cân tại B. Trên tia đối của tia BD lấy hai điểm E và C sao cho BD = DE = EC. Chứng minh rằng: A·DB A·EB A·CB Bài 31: Cho ABC nhọn. Hai đường cao BD và CE a) Chứng minh rằng: AE. AB = AD. AC b) Chứng minh A·DE A·BC và A· ED A·CB µ 0 2 c) Biết A 60 ,SABC 120cm , Tính diện tích tam giác AED Bài 32:Cho tứ giác lồi ABCD có Bµ Dµ = 900. Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho góc ABE bằng góc DBC. Gọi I là trung điểm của AC. Biết B·AC B·DC , C·BD C·AD. Chứng minh rằng: a)B· IC 2B·DC ,C· ID 2C·BD b) ABE : DBC c) AC. BD = AB. DC + AD. BC 3
4. Bài 33:Cho ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M bất kì, kẻ BD CM; BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng: a) EB. ED = EA. EC b) BD. BE + CA. CE = BC2 c) A·DE 450 Bài 34: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD tại K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng a) Tứ giác EGKF là hình thoi b) AF2 = FK. FC c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh rằng: EK = BE + DK Bài 35: Cho ABC . Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M và N. Từ M vẽ một đường thẳng song song với AC cắt BN tại D. Từ N vẽ một đường thẳng song song với AB cắt CM tại E. Chứng minh rằng: DE //BC Bài 36: Cho hình bình hành ABCD. Từ một điểm M trên đường chéo AC ( M không là trung điểm của AC ) Ta vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành, chúng lần lượt cắt AB, BC, CD, DA tại E, F, G, H. Chứng minh rằng: a) HE //GF b) Ba đường thẳng EF, GH và AC đồng quy Bài 37: Cho tứ giác ABCD. Vẽ đường thẳng d//BD cắt AD và AB lần lượt tại P và Q. Vẽ đường thẳng d’ //BD cắt BC và CD lần lượt tại M và N. Cho biết hai đường thẳng MQ và NP cắt nhau tại K. Chứng minh rằng đường thẳng AC đi qua K Bài 38: Cho hình chữ nhật EFGH có tâm O, nội tiếp tam giác ABC trong đó E thuộc AB, F thuộc AC, G, H thuộc BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và đường cao AI. Chứng minh rằng: Ba điểm M, O, N thẳng hàng Bài 39: Cho ABC , trên đường trung tuyến AD lấy một điểmO. Tia CO cắt AB tại M, tia BO cắt AC tại N. Chứng minh rằng: SBOM = SCON Bài 40: Cho ABC cân tại A và góc A bằng 1350. Trên cạnh BC lấy các điểm M và N sao cho AM vuông góc với AC, AN vuông góc với AB. Chứng minh BM2 = BC.MN Bài 41: Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của góc A cắt BD tại E, đường phân giác của góc B cắt AC tại F. Chứng minh rằng: BE AF a) ED FC b) EF//AB Bài 42: Cho ABC đều. Gọi O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động M và N sao cho góc MON bằng 600. CMR: a) OMB∽ NOC. Từ đó chứng minh tích BM. CN không đổi b) Các tia MO, NO lần lượt là các tia phân giác của các góc BMN và CNM c) Chu vi của AMN không đổi Bài 43: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD tại M, tia DE cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng: a) Tam giác NBC đồng dạng với tam giác BCM b) BM vuông góc với CN 4
5. Bài 44: Cho ABC nhọn, trực tâm là H. Qua H vẽ một đường thẳng cắt AB tại D, cắt AC tại E sao cho HD = HE. Từ H vẽ một đường vuông góc với DE cắt BC tại M. Chứng minh rằng: M là trung điểm của BC Bài 45: Cho ABC đều, các đường phân giác của các góc B và góc C cắt nhau tại O. Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với trung điểm của nó. Vẽ DE vuông góc với AB cắt OB tại M; Vẽ DF vuông góc với AC cắt OC tại N. Chứng minh rằng DM DE a) DN DF b) OD chia đôi EF Bài 46: Cho ABC , các góc B và C đều nhọn. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) AB. AF = AC. AE b) AEF : ABC c) BH,BE + CH.CF = BC2 Bài 47: Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn . Gọi H và K lần lượt là hình chiều của B trên AD và CD. Chứng minh rằng: DA. DH + DC. DK = DB2 Bài 48: Cho ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH. Gọi O là giao điểm của AN với CM. Chứng minh rằng: a) AN  CM b) AH2 = 4MC. MO Bài 49: Cho ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tịa O. Chứng minh rằng: a) OA. OB = OC. OH; b) Góc OHA có số đo không đổi; c) Tổng BM. BH + CM. CA không đổi Bài 50: Qua điểm O ở trong tam giác ABC ta vẽ một đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt ở D và E, đường thẳng song song với CA cắt BC và BA lần lượt ở F và H, đường thẳng song song với AB cắt CA và CB lần lượt tại I và K. Chứng minh rằng: OD OF OI AH BK CE a) . . 1 b) 1 OE OH OK AB BC CA Bài 51: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ HM vuông góc với AB; HN vuông góc với AC. a) Chứng minh : AM. AB = AN . AC b) Cho biết AH = 2cm; BC = 5cm. Tính diện tích tứ giác AMHN Bài 52: Hình thang ABCD vuông góc tại A và D, AD =15; CD = 9. Gọi M là một điểm trên cạnh AD, biết rằng: MB =5; MC = 15 a) Chứng minh rằng: Tam giác ABM đồng dạng với tam giác DMC b) Gọi N là trung điểm của BC. Tính độ dài đoạn MN Bài 53: Cho ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Từ một điểm I bất kì trên cạnh BC vẽ IH //CE, IK//BD, ( H thuộc AB; K thuộc AC). Chứng minh rằng: HK bị hai đường trung tuyến BD và CE chia làm ba phần bằng nhau 5