Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 4: Xét tính đơn điệu của hàm hợp g(x)=f(u(x))+h(x)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 4: Xét tính đơn điệu của hàm hợp g(x)=f(u(x))+h(x)

1. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 VẤN ĐỀ 4 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP g x f u x h x DẠNG 1 BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 HÀM HỢP g x f u x h x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Mọi thắc mắc, đóng góp liên hệ facebook của mình: Câu 1. Cho hàm số y f ' x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y f x 2020 14x 2020 nghịch biến trên khoảng A. ;7 . B. 14; . C. ; . D. ;12 . Hướng dẫn giải Chọn đáp án C Câu 2. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ x2 Hàm số y f 1 x x nghịch biến trên khoảng 2 3 A. 1; . B. 2;0 . C. 3;1 . D. 1;3 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Trang 1
2. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta có g¢(x)= - f ¢(1- x)+ x - 1. Để g¢(x) x - 1. Đặt t = 1- x , bất phương trình trở thành f ¢(t)> - t. Kẻ đường thẳng y = - x cắt đồ thị hàm số f '(x) lần lượt tại ba điểm x = - 3; x = - 1; x = 3. ét 4 Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình f ¢ t > - t Û ê Þ ê Û ê . ( ) ê ê ê ë1< t < 3 ë1< 1- x < 3 ë- 2 < x < 0 Đối chiếu đáp án ta chọn B Cách 2: 3 x 1 - Từ đồ thị hàm số y f x , có f x x 0 f x x 2 x x2 - Xét hàm số y f 1 x x , có y f 1 x x 1 f 1 x 1 x f 1 x 1 x . 2 3 1 x 1 0 x 4 Như vậy f 1 x 1 x 0 2 1 x x 1 3 1 x 1 0 x 4 Hay f 1 x 1 x 0 . 2 1 x x 1 x2 Suy ra hàm số y f 1 x x nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0;4 . 2 x2 Suy ra hàm số y f 1 x x cũng sẽ nghịch biến trên khoảng 1;3  0;4 . 2 Câu 3. Cho y = f x là hàm đa thức bậc 4 , có đồ thị hàm số y = f ¢ x như hình vẽ. ( ) ( ) y 5 3 1 O 1 2 x Hàm số y = f 5 - 2x + 4x 2 - 10x đồng biến trong khoảng nào trong các khoảng sau đây? ( ) æ ö æ ö æ ö ç 5÷ ç3 ÷ ç 3÷ A. (3;4). B. ç2; ÷.C. ç ;2÷.D. ç0; ÷. èç 2÷ø èç2 ø÷ èç 2ø÷ Trang 2
3. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 4. Cho hàm số f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên. Hàm số g x f 1 2x x2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 1 A. . 1; B. . 0; C. . D. .2; 1 2;3 2 2 Câu 5. Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hàm số g x f 2x 1 4x2 6x 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 1 1 A. ;1 B. 0; C. 2; 1 D. 2;3 2 2 Câu 6. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ' x . Hàm số g x 2 f 2 x x2 nghịch biến trên khoảng A. 3; 2 . B. 2; 1 . C. 1;0 . D. 0; 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có : g x 2 f 2 x 2x g x 0 f 2 x x f 2 x 2 x 2 (thêm bớt) Trang 3
4. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Từ đồ thị hàm số f ' x ta có : f ' x x 2 2 x 3 (vì phần đồ thị f ' x nằm phía dưới đường thẳng y x 2 , chỉ xét khoảng 2;3 còn các khoảng khác không xét dựa vào đáp án). Hàm số g x nghịch biến g x 0 f 2 x 2 x 2 2 2 x 3 1 x 0 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 . Lưu ý : Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y x 2 cắt đồ thị f x tại 2 điểm có hoành độ nguyên liên tiếp là 1 x1 2 và cũng từ đồ thị ta thấy f x x 2 trên miền 2 x 3 nên f 2 x 2 x 2 trên miền x2 3 2 2 x 3 1 x 0 . Câu 7. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới : Hàm số g x 2 f x 2 x 1 x 3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A. .( 3; 2) B. . ( 1;0)C. . D. . 2; 1 (2 : 3) Câu 8. Cho hàm số f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên. Hàm số g x f 3 4x 8x2 12x 2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? 1 5 1 1 5 1 3 A. . ; B. . ; C. . D. . ; ; 4 4 4 4 4 4 4 x3 Câu 9. Cho hàm số f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên. Hàm số g x f x 1 3x 3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? Trang 4
5. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 1;2 . B. 2;0 .C. .D. . 0;4 1;5 Câu 10. Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y f x 1 2x x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 1 3 1 1 1 A. . ; B. . 0; C. . D.1; 1. ; 2 2 2 2 2 Câu 11. Cho hàm số y f x có đồ thị f x như hình vẽ sau 3 x 2 Hàm số y g x f 2x 1 x nghịch trên khoảng nào dưới đây? 3 A. . ;0 B. . 4; C. . D.2; 4. 0;2 Trang 5
6. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 12. Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ x3 Hàm số g x f 2 x 2x2 3x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 3 A. . ; 1 B. . 1;4 C. .D. . 4; 2;3 Câu 13. Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình bên x4 Hàm số g x f x2 2x x3 2x2 2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 4 A. 1;2 .B. . 1;1 C. . D. . 2;1 2;3 Câu 14. Cho hàm số f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên. 9 Hàm số g x f 3x 2 1 x 4 3x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2 2 3 3 3 3 2 3 1;2 A. ; .B. .;C. .D. 0; . 3 3 3 3 3 Trang 6
7. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 15. Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. 2 1 4 Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y g x f x2 4x 3 3 x 2 x 2 là 2 A. 6 .B. .C. .D. . 7 8 9 Câu 16. Cho hàm số f x có đồ thị hàm số y f ' x được cho như hình vẽ bên. Hàm số y f cosx x2 x đồng biến trên khoảng: A. 1;2 B. 1;0 C. 0;1 D. 2; 1 Câu 17. Cho hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên ¡ và có đồ thị các đạo hàm (đồ thị y = g¢(x) là đường đậm hơn) như hình vẽ Hàm số h(x)= f (x - 1)- g(x - 1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? æ1 ö æ 1ö A. ç ;1÷. B. ç- 1; ÷. C. (1;+ ¥ ). D. (2;+ ¥ ). èç2 ø÷ èç 2ø÷ Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Hai đồ thị f ¢(x - 1), g¢(x - 1) được suy ra bằng cách tịnh tiến hai đồ thị f ¢(x), g¢(x) sang phải 1 đơn vị như hình vẽ bên dưới Trang 7
8. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta có h¢(x)= f ¢(x - 1)- g¢(x - 1). Hàm số h(x) nghịch biến khi h¢(x)< 0 Û f ¢(x - 1)< g¢(x - 1) ñoà thò môùi æ 1ö ¾ ¾ ¾ ¾® x Î ç- 1; ÷È(1;2). èç 2ø÷ Câu 18. *Cho hai hàm số y f x , y g x . Hai hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y g x . y y f x 10 8 5 4 O 3 8 1011 x y g x 3 Hàm số h x f x 4 g 2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2 31 9 31 25 A. 5; .B. ; 3 .C. ; .D. 6; . 5 4 5 4 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: 3 Đặt X x 4 , Y 2x . Ta có h x f X 2g Y . 2 3 Để hàm số h x f x 4 g 2x đồng biến thì h x 0 2 3 x 4 8 f X 2g Y với X ,Y 3;8 3 . 3 2x 8 2 1 x 4 1 x 4 9 19 9 9 19 9 19 9 19 x .Vì ; 3  ; nên chọn B 2x x 4 4 4 4 4 2 2 4 4 Cách 2: Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số y f x tại A a;10 , a 8;10 . Trang 8
9. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 f x 4 10,khi3 x 4 a f x 4 10,khi 1 x 4 Khi đó ta có 3 3 3 3 25 . g 2x 5,khi0 2x 11 g 2x 5,khi x 2 2 2 4 4 3 3 Do đó h x f x 4 2g 2x 0 khi x 4 . 2 4 Cách 3: Kiểu đánh giá khác: 3 Ta có h x f x 4 2g 2x . 2 9 25 Dựa vào đồ thị, x ;3 , ta có x 4 7 , f x 4 f 3 10 ; 4 4 3 9 3 3 2x , do đó g 2x f 8 5 . 2 2 2 3 9 9 Suy ra h x f x 4 2g 2x 0,x ;3 . Do đó hàm số đồng biến trên ;3 . 2 4 4 LOẠI 2 HÀM HỢP g x f u x h x CHỨA THAM SỐ m Câu 19. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và đồ thị của hàm số y f ' x như hình vẽ. 1 2 Đặt g x f x m x m 1 2021 với m là tham số thực. Gọi S là 2 tập các giá trị nguyên dương của m để hàm số y g x đồng biến trên khoản 5;6 . Tổng các phần tử của S bằng: A. 4 . B. 11. C. 14 . D. 20. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g ' x f ' x m x m 1 Đặt h x f ' x x 1 . Từ đồ thị y f ' x và đồ thị y x 1 trên hình vẽ ta suy ra 1 x 1 h x 0 x 3 Trang 9
10. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 x m 1 m 1 x m 1 Ta có g ' x h x m 0 x m 3 x m 3 Do đó hàm số y g x đồng biến trên các khoảng m 1;m 1 và m 3; m 1 5 5 m 6 Do vậy, hàm số y g x đồng biến trên khoảng 5;6 m 1 6 m 2 m 3 5 Do m nguyên dương nên m 1;2;5;6, tức S 1;2;5;6 Tổng các phần tử của S bằng 14. Câu 20. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới x 2 Đặt hàm số g(x)= f (1+ m - x)+ - x - mx , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn 2 [- 2021; 0] để hàm số y = g(x)nghịch biến trên khoảng (- 2;0)? A. 2016. B. 2017. C. 2019. D. 2020. Hướng dẫn giải Ta có g¢(x)= - f ¢(m + 1- x)+ x - 1- m. Ta có g¢(x) x - 1- m. Đặt t = m + 1- x , bất phương trình trở thành f ¢(t)> - t. Từ đồ thị của hàm số y = f ¢(x) và đồ thị hàm số y = - x (hình vẽ bên dưới) ta thấyđường thẳng y = - x cắt đồ thị hàm số f '(x) lần lượt tại ba điểm x = - 3; x = 1; x = 3. Trang 10
11. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 ét 4 + m Quan sát đồ thị ta thấy f ¢ t > - t Û ê Þ ê Û ê ( ) ê ê ê ë1< t < 3 ë1< m + 1- x < 3 ë- 2 + m < x < m Suy ra hàm số y = g(x) nghịch biến trên các khoảng (4 + m;+ ¥ ) và (- 2 + m;m). é4 + m £ - 2 ê ém £ - 6 Để hàm số y = g x nghịch biến trên khoảng - 2;0 thì êì - 2 + m £ - 2 Û ê ( ) ( ) êï ê êí ëm = 0 ëêîï m ³ 0 Vậy trên đoạn [- 2021; 0]có tất cả 2017 giá trị của m thỏa mãn đề bài. DẠNG 2 BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 HÀM HỢP g x f u x h x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 21. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên¡ . Bảng biến thiên của hàm số f x như hình vẽ. x Hàm số gnghịch x biếnf 1 trên khoảng x nào trong các khoảng dưới đây? 2 A. . 4; 2 B. . 2;0 C. . D.0; 2. 2;4 Hướng dẫn giải Chọn A x 1 x Xét g(x) f 1 x . Ta có g '(x) f ' 1 1 2 2 2 x Xét g '(x) 0 f ' 1 2 2 Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x ta có: Trang 11
12. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x x +) TH1: f 1 2 2 1 3 4 x 2. Do đó hàm số nghịch biến trên 4; 2 . 2 2 x x +) TH2: f 1 2 1 1 a 0 2 2 2a x 4 nên hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng 2 2 2 2a;4 chứ không nghịch biến trên toàn khoảng 2;4 . x Vậy hàm số g x f 1 x nghịch biến trên 4; 2 . 2 Câu 22. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hàm số g x f 3x 1 x3 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 1 1 2 1 A. . ; B. . ;2 C. ;1 . D. ;0 . 4 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1 2 2 Ta có y 3 f 3x 1 3x 3 3 f 3x 1 x 1 . y 0 f 3x 1 x2 1 Ta có x2 1 0 1 x 1 x 1 3x 1 4 f ' 3x 1 0 2 1 3x 1 3 0 x 3 2 Suy ra với 0 x thì f ' 3x 1 0 x2 1 . 3 3 2 Suy ra hàm số y f 3x 1 x 3x đồng biến trên khoảng 0; 3 1 1 2 Mà ;  0; nên chọn đáp án A. 4 3 3 Cách 2 2 2 Ta có y 3 f 3x 1 3x 3 3 f 3x 1 x 1 . t 1 Đặt t 3x 1 x 3 t 2 2t 8 y 0 f 3x 1 x2 1 f t 9 t 2 2t 8 Vẽ đồ thị hàm số g t 9 Từ bảng biến thiên ta có đồ thị f t . Trang 12
13. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 t 2 2t 8 2 Từ đồ thị ta có f t khi1 t 3 1 3x 1 3 0 x 9 3 Cách 3 2 Ta có: g x 3 f 3x 1 1 x 1 2 Có: f 3x 1 0 x 0; x ; x ; x 1. 3 3 1 x2 0 x 1. Bảng xét dấu của g x 1 2 x 0 1 1 3 3 f 3x 1 0 0 0 0 1 x2 0 0 Khô Không Khôn ng XĐ g XĐ g x XĐ được được được dấu dấu dấu 1 1 2 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1; và ; Chọn A. 3 3 3 Câu 23. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên R . Bảng biến thiên của hàm số f '(x) như sau: Hàm số g(x)= f (1- x2 + x3 )+ x3 - x2 - 5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 1 2 2 A. . 0; B. . ;0 C. . 0D.; . ; 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g '(x) (3x2 2x). f '(1 x2 x3 ) 3x2 2x. Trang 13
14. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 2 3 g '(x) (3x 2x) f '(1 x x ) 1 . Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f '(x) f '(x) 1 x R f '(1 x2 x3 ) 1 0 x R 2 Xét g '(x) 0 3x2 2x 0 0 x . 3 LOẠI 2 HÀM HỢP g x f u x h x CHỨA THAM SỐ m DẠNG 3 BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 HÀM HỢP g x f u x h x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 24. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và f x x 2x 1  x2 3 2 . Hàm số y f 3 x 2x 2021 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 5 5 A. 3;5 . B. 2; . C. ;3 . D. ;3 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có y f 3 x 2 . 2 y 0 f 3 x 2 0 f 3 x 2 3 x 2 3 x 1 3 x 3 2 2 3 x 5 2x 3 x 2 3 0 2 Vì 3 x 3 0,x . ¡ 5 Suy ra y 0 khi và chỉ khi 3 x 5 2x 0 x 3. 2 5 Vậy hàm số y f 3 x 2x 2019 đồng biến trên khoảng ;3 . 2 Câu 25. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên ¡ và có đạo hàm f (x) thỏa mãn f (x) (1 x)(x 2)g(x) 2021 với g(x) 0;x ¡ . Hàm số y f (1 x) 2021x 2022 nghịch biến trên khoảng nào? A. (1; ) . B. (0;3) . C. ( ;3) . D. (3; ) . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có y f 1 x 2021 1 1 x 1 x 2 g 1 x 2021 2021 x 3 x g 1 x . x 0 Hàm số nghịch biến khi y x 0 x 3 x 0 (do g 1 x 0 ,x ¡ ) x 3 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (3; ) . Trang 14
15. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 æ x ö Câu 26. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ¢(x)= x - 2x với mọi x Î ¡ . Hàm số g(x)= f ç1- ÷+ 4x đồng biến èç 2ø÷ trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- ¥ ;- 6). B. (- 6;6). C. (- 6 2;6 2). D. (- 6 2;+ ¥ ). Hướng dẫn giải Chọn B é 2 ù 2 1 æ x ö 1 êæ x ö æ x öú 9 x Ta có g¢(x)= - f ç1- ÷+ 4 = - ç1- ÷ - 2ç1- ÷ + 4 = - . èç ø÷ êèç ø÷ èç ø÷ú 2 2 2 ëê 2 2 ûú 2 8 9 x 2 Xét: - > 0 Û x 2 < 36 ¾ ¾® - 6 < x < 6. 2 8 Câu 27. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đạo hàm f x thỏa mãn: f x 1 x2 x 5 Hàm số y 3 f x 3 x3 12x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 1;5 . B. 2; . C. 1;0 . D. ; 1 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 Ta có: f x 1 x2 x 5 suy ra f x 3 1 x 3 x 3 5 x 4 x 2 x 2 . 2 2 Mặt khác: y 3. f x 3 3x 12 3 x 4 x 2 x 2 x 4 3 x 2 x 2 x 5 . 5 x 2 Xét y 0 3 x 2 x 2 x 5 0 . x 2 Vậy hàm số y 3 f x 3 x3 12x nghịch biến trên các khoảng 5; 2 và 2; . 2 Câu 28. Cho hàm số f x có đạo hàm là f x x 1 x 2 x 3 x 4 Hàm số y 3 f x 2 x3 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. ; 1 . C. 1;0 . D. 0;2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có bảng xét dấu Xét y 3 f x 2 x3 3x . 2 Cách 1: y 3. f x 2 1 x 1 x 2 3 1 x 1 Ta có f x 2 0 . x 2 4 x 2 f x 2 0,x 1;1 Ta có y 0,x 1;1 . 2 1 x 0,x 1;1 Vậy ta chọn đáp ánC. Cách 2: Xét y 3 f x 2 x3 3x . 2 y 3. f x 2 1 x 3 7 5 Ta có y 3. f 0 nên loại đáp án A,D. 2 2 4 Trang 15
16. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 y 2 3. f 0 3 0 nên loại đáp ánB. Vậy ta chọn đáp ánC. Câu 29. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có đạo hàm f x thỏa mãn f x 1 x x 2 g x 1 trong đó g x 0,x ¡ . Hàm số y f 1 x x 2 nghịch biến trên các khoảng nào? A. 1; . B. 0;3 . C. ;3 . D. 3; . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: f x 1 x x 2 g x 1 f 1 x x 3 x g 1 x 1 Mặt khác: y f 1 x 1 f 1 x 1 x. 3 x .g 1 x 1 1 x. 3 x .g 1 x Ta có: y 0 x. 3 x .g 1 x 0 * x 3 Do g x 0,x ¡ g 1 x 0,x ¡ * x. 3 x 0 . x 0 Vậy hàm số y f 1 x x 2 nghịch biến trên các khoảng ;0 và 3; . Câu 30. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đạo hàm f x thỏa mãn f x x 1 x 1 x 4 . Xét hàm số g x 12 f x2 2x6 15x4 24x2 2021 Khẳng định đúng là: A. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2 ; 1 . B. Hàm số g x có hai điểm cực tiểu. C. Hàm số g x đạt cực đại tại x 0. D. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2 ; . Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định của hàm số g x là D ¡ . 2 5 3 2 4 2 Ta có g x 24xf x 12x 60x 48x 12x 2 f x x 5x 4 2 2 2 2 2 2 2 2 12x x 1 x 1 x 4 x 1 x 4 12x x 1 x 4 x 2 x 0 x 0 2 g x 0 x 4 x 2 . 2 x 1 x 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số g x như sau: Qua bảng biến thiên ta có phương án D là phương án đúng. Trang 16
17. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 LOẠI 2 HÀM HỢP g x f u x h x CHỨA THAM SỐ m Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1 x 2 . Tìm m để hàm số y g x f x 2 mx đồng biến trên khoảng 1;2 . 9 9 9 A. m . B. m 10 . C. m . D. m 10 . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y g x f x 2 mx . Suy ra g ' x f ' x 2 m . Để hàm số y g x đồng biến x 1;2 thì g ' x 0 x 1;2 . Hay f ' x 2 m x 1;2 m f ' x 2 x 1;2 m x x 3 x 1;2 . 3 m Min x2 3x . Đặt h x x2 3x , h' x 2x 3,h' x 0 x . x 1;2 2 Ta có bảng biến thiên như sau. x 3 1 2 2 h' x - 0 + h x 2 10 9 4 9 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m . Đáp án A. 4 Câu 32. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x2 2x 3,x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;20 để hàm số g x f x2 3x m m2 1 đồng biến trên 0;2 ? A. 16. B. 17. C. 18. D. 19. Hướng dẫn giải Chọn C 2 t 3 Ta có f ' t t 2t 3 0 * . t 1 Có g ' x 2x 3 f ' x2 3x m Vì 2x 3 0,x 0;2 nên g x đồng biến trên 0;2 g ' x 0,x 0;2 f ' x2 3x m 0,x 0;2 x2 3x m 3,x 0;2 x2 3x m 3,x 0;2 ( ) 2 2 x 3x m 1,x 0;2 x 3x m 1,x 0;2 2 m 3 10 m 13 Có h x x 3x luôn đồng biến trên 0;2 nên từ ( ) m 1 0 m 1 m  10;20 Vì Có 18 giá trị của tham số m. m ¢ Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm. 3 4 5 Câu 33. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có f x x. x 1 . x 1 . x 4 . Trang 17
18. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 Giá trị của tham số m để hàm số y g x f 1 x chắc chắn luôn đồng biến trên x2 mx m2 1 3;0 . A. m 2; 1 . B. m ; 2 . C. m  1;0 . D. m 0; Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 2 2 2 2 m 3m Điều kiện: x mx m 1 0 (luôn đúng vì x mx m 1 x 1 0 ) 2 4 2x m g x f 1 x 2 x2 mx m2 1 Đặt t 1 x; x 3;0 t 1; 4 f 1 x ,x 3;0 chính là f t ,t 1; 4 . Do đó f t 0,t 1; 4 f 1 x 0,x 3;0 2x m Ycbt   2 0, x 3;0 2x m 0, x 3;0 x2 mx m2 1 m 2x,x 3;0 m min 2x m 0 . Vậy m 0; 3;0 x 2 Câu 34. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x , x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc x2 1 khoảng 20;20 để hàm số g x f x 1 mx 1 đồng biến trên ¡ ? A. 20 . B. 19 . C. 17 . D. 18 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g x f x m . Hàm số g x f x 1 mx 1 đồng biến trên ¡ g x 0 x . x 3 x 3 f x 1 m x m x min m (*). x2 2x 2 ¡ x2 2x 2 x 3 Đặt h x . x2 2x 2 1 2x Ta có h x . x2 2x 2 x2 2x 2 1 1 Cho h x 0 x h 5 . 2 2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy * m 1. Vì m ¢ , m 20;20 nên m 19; 18; 1 . VẤN ĐỀ 5 Trang 18
19. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 k XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP g x f u x DẠNG 1 BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 k HÀM HỢP g x f u x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 35. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ thoả f 2 f 2 0 và đồ thị của hàm số y f ' x 2 có dạng như hình bên. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? 3 A. 1; . B. 1;1 . C. 2; 1 . D. 1;2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có f ' x 0 x 1; x 2 ; f 2 f 2 0 . Ta có bảng biến thiên : f x 0;x 2. 2 f x 0 x 2 Xét y f x y ' 2 f x . f ' x ; y ' 0 f ' x 0 x 1; x 2 Bảng xét dấu : ì ¢ ï f (x)> 0 éx < - 2 Hoặc Ta có g¢(x)= 2 f ¢(x). f (x). Xét g¢(x)< 0 Û f ¢(x). f (x)< 0 Û í Û ê . ï ê îï f (x)< 0 ë1< x < 2 Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;- 2), (1;2). Câu 36. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới và f (- 2)= f (2)= 0. Trang 19
20. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 é ù2 Hàm số g(x)= ëf (3- x)û nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- 2;- 1). B. (1;2). C. (2;5). D. (5;+ ¥ ). Hướng dẫn giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢(x), suy ra bảng biến thiên của hàm số f (x) như sau Từ bảng biến thiên suy ra f (x)£ 0, " x Î ¡ . Ta có g¢(x)= - 2f ¢(3- x).f (3- x). ì ¢ ï f (3- x) 0 Û í Û ê Û íï . ï ê - > ï < îï f (3- x)< 0 ë3 x 2 îï x 1 Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;1), (2;5). Câu 37. Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị của hàm số y f ' x có dạng như hình 3 vẽ. Hàm số y g x f x 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây A. 1;2 B. 3;4 C. ; 1 D. 4; Hướng dẫn giải Chọn B 2 3 Ta có g' x 3 f x 2 f ' x 2 , hàm số y g x f x 2 nghịch biến khi và chỉ khi g ' x 0 f ' x 2 0 1 x 2 2 3 x 4 Câu 38. Cho hàm số y f x . Đồ thị y f x như hình bên dưới. Trang 20
21. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3 Hàm số g x f 2x 1 nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau 1 1 A. 1;0 B. 0;1 C. 0; D. ;1 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g x 6 f 2 2x 1 . f 2x 1 Do 6 f 2 2x 1 0 với x ¡ nên để hàm số nghịch biến thì f 2x 1 0 Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có x 1 2x 1 1 Để f 2x 1 0 1 1 2x 1 0 0 x 2 Câu 39. Cho hàm số y f x . Đồ thị y f x như hình bên dưới. 2019 Hàm số g x f 1 x nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau A. 1;5 . B. 2;1 . C. 1;3 . D. 3;5 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có g x 2019 f 2018 1 x . f 1 x Do 2019 f 2018 1 x 0 với x ¡ nên để hàm số nghịch biến thì f 1 x 0 Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có Để f 1 x 0 1 x 2 x 3 . y f x y f x f 1 f 2 0 Câu 40. Cho hàm số . Đồ thị như hình bên dưới và Trang 21
22. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 2 Hàm số g x f x 3 đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau A. 1;2 B. 0;1 C. 1;0 D. 2; 1 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g x 4xf x2 3 . f x2 3 Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x Do f 1 f 2 0 nên f x2 3 0 với x ¡ để hàm số đồng biến thì x. f x2 3 0 3 x 2 1 x2 3 0 2 x 3 TH1: x 0 thì f x3 3 0 2 x 3 2 x 5 x 5 2 x 3 Vì x 0 nên x 5 5 x 3 0 x2 3 2 TH2: x 0 thì f x3 3 0 3 x 5 2 x 3 1 2 x 2 5 x 3 Vì x 0 nên 2 x 0 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 5; 3 , 2;0 , 2; 3 , 5; . Câu 41. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: Trang 22
23. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3 2 Hàm số y f x 3 f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; 2 .B. .C. .3D.; 4 . ; 1 2; 3 Câu 42. Cho hàm số y f x .Đồ thị hàm số y f x như hình bên dưới và f 2 f 2 0. é ù2 Hàm số g(x)= ëf (3- x)û nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? Biết f (x) là hàm bậc 3. A. . 2; B. . 1;2 C. . 2D.;5 . 5; LOẠI 2 k HÀM HỢP g x f u x CHỨA THAM SỐ m DẠNG 2 BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 k HÀM HỢP g x f u x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 43. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu của hàm số y = f ¢(x) như sau: é ù2 Biết f (- 2)= f (2)= 0 , hỏi hàm số g(x)= ëf (3- x)û nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- 2;- 1). B. (1; 2). C. (2;5). D. (5; + ¥ ). Hướng dẫn giải Chọn C Dựa vào bảng xét dấu của hàm số y = f ¢(x) suy ra bảng biến thiên của hàm sốy = f (x) như sau: Trang 23
24. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta có g¢(x)= - 2.f ¢(3- x).f (3- x). Xét g¢(x)£ 0 Û f ¢(3- x).f (3- x)³ 0 (1) Từ bảng biến thiên suy ra f (3- x)£ 0, " xÎ ¡ . é- 2 £ 3- x £ 1 é2 £ x £ 5 Do đó (1) Û f ¢3- x £ 0 Û ê Û ê . ( ) ê ê ë3- x ³ 2 ëx £ 1 Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;1), (2;5). LOẠI 2 k HÀM HỢP g x f u x CHỨA THAM SỐ m Câu 44. Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ và f ' x có bảng biến thiên như hình vẽ, đồ thị y f ' x cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 3;1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 3 2 10; 20 để hàm số y f x 3x m đồng biến trên khoảng 0; 2 A. 20 . B. 17 . C. 16 . D. .18 Hướng dẫn giải Chọn D 2 Ta có 2 2 . y 3 2x 3 f x 3x m . f x 3x m x 3 Theo đề bài ta có: f x x 1 x 3 suy ra f x 0 và f x 0 3 x 1 . x 1 Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 khi y 0,x 0; 2 2 2 2  . y 3 2x 3 f x 3x m . f x 3x m 0, x 0; 2 2 Do nên  và 2  Do đó, ta có: x 0; 2 2x 3 0, x 0; 2 f x 3x m 0, x ¡ x2 3x m 3 m x2 3x 3 y 0 f x2 3x m 0 2 2 x 3x m 1 m x 3x 1 m max x2 3x 3 0;2 m 13 . 2 m min x 3x 1 m 1 0;2 Do m 10; 20 nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài. Trang 24
25. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 DẠNG 3 BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 k HÀM HỢP g x f u x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 45. Cho hàm số y f (x) liên tục và có đạo hàm f (x) x 2 x2 9 x4 16 trên ¡ . Hàm số 2 2019 y g(x) f (2x x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 1 3;1 3 . B. 3; . C. 1; . D. 1;3 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 Ta có f (x) x 2 x2 9 x4 16 x 3 x 2 x 3 x 2 x2 4 . 2 2018 2 2 2018 2 g (x) 2019. f (2x x ) f (2x x ) 2019. f (2x x ) 2 2x f 2x x 2018 2 2 2019 f (2x x2 ) 2 2x 2x x2 3 2x x2 2 2x x2 3 2x x2 2 2x x2 4 1 x 2x x2 3 A Trong đó: 2018 2 2 A 2.2019 f 2x x2 2x x2 2 x2 2x 3 x2 2x 2 x2 2x 4 0, x ¡ Khi đó g (x) 0 1 x 2x x2 3 0 x  1;13; 2 2019 Hàm số y g(x) f (2x x ) đồng biến trên mỗi khoảng 1;1 và 3; . Câu 46. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ có f x x 2 x 5 x 1 và 2 f 5 f 2 1. Hàm số 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? g x f x A. ;0  2; . B. 2; 2 . C. 0; . D. 2;0  2; . Hướng dẫn giải Chọn D x 2 Từ giả thiết ta có f x x 2 x 5 x 1 f x 0 x 5 x 1 Bảng biến thiên của y f x x ∞ -5 -1 2 + ∞ f'(x) 0 + 0 0 + +∞ f(-1) + ∞ f(x) 1 1 Từ BBT suy ra f x 0 x ¡ . Trang 25
26. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Xét hàm số g x f x g x f x 4x. f x f x 4x x 2 x 5 x 1 f x Do f x 0 x ¡ f x2 0 x ¡ x 0 Xét g x 0 x 2 2 2 BBT của g x f x x ∞ - 2 0 2 + ∞ g'(x) 0 + 0 0 + +∞ + ∞ g(x) Từ BBT trên ta chọn đáp ánD. LOẠI 2 k HÀM HỢP g x f u x CHỨA THAM SỐ m VẤN ĐỀ 6 g x f x XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP y g x . f x ,y , y f x g x DẠNG 1 g x f x HÀM HỢP y g x . f x ,y , y KHÔNG CHỨA THAM SỐ m f x g x Câu 47. Cho hàm số y f x . Biết f 0 0 và hàm số y f x có bảng biến thiên Khi đó, hàm số y xf x đồng biến trên khoảng nào? A. . ;0 B. . 2;0 C. . 0D.;2 . 2;2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có y xf x y f x xf x x 0 Từ bảng biến thiên của hàm số y f x ta có f x 0 với a 3 . x a Trang 26
27. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số y f x . Từ bảng biến thiên của hàm số y f x ta có f x 0,x 2;0 Và f x 0,x 2;0 xf x 0,x 2;0 Từ đó suy ra y f x xf x 0,x 2;0 . Do đó hàm số y xf x đồng biến trên 2;0 . Trên khoảng ;0 thì f x và xf x có thể âm hoặc dương nên không thể kết luận hàm số đã cho đồng biến trên ;0 đáp án A sai. Trên 0;2 thì f x 0 và f x 0 xf x 0 f x xf x 0 nên hàm số nghịch biến trên 0;2 đáp án C sai. Câu 48. Cho hàm số y f (x) liên tục và có đạo hàm trên¡ , thỏa mãnf ( 1) 0 . Biết bảng biến thiên của hàm số y f ' x như hình vẽ. Hàm số nghịchg x biến x2 trênx khoảng2 f x nào? 1 A. . 2; B. . ; C.1 . D. . 1; 1;1 2 Hướng dẫn giải Chọn C Từ bảng biến thiên của hàm số y f ' x ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x như sau Ta có . g ' x 2x 1 f x x2 x 2 f ' x Ta lập bảng xét dấu: Trang 27
28. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng . 1; 2 DẠNG 2 g x f x HÀM HỢP y g x . f x ,y , y CHỨA THAM SỐ m f x g x Câu 49. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Với m 0 , hàm số y x2 2x m . f x đồng biến trên khoảng nào sau đây A. . 1;0 B. . 0;1 C. . 1;3 D. . ; 1 Hướng dẫn giải Chọn B y ' 2x 2 . f x x2 2x m . f ' x + Ta có 2x 2 0,x 0;1 và f x 0,x 0;1 (1) Bảng biến thiên của hàm y g x x2 2x m Từ hai BBT suy ra g x x2 2x m 0,x 0;1 ( do m 0 ) và f ' x 0,x 0;1 (2) Từ (1) và (2) suy ra y ' 2x 2 . f x x2 2x m . f ' x 0 x 0;1 . Trong các khoảng ; 1 , 1;0 , 1;3 thì chưa thể xác định được dấu của y ' 2x 2 . f x x2 2x m . f ' x nên dựa vào các đáp án ta Chọn B Câu 50. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x có như sau: Trang 28
29. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Đồ thị hàm số y f x không có giao điểm với trục hoành và Max f x 1 . Đồ thị hàm số y f x có ¡ duy nhất 1 giao điểm với trục hoành.Có bao nhiêu giá trị của tham số m để x 1 2 2m2 1 x m hàm số g x luôn đồng biến trên ¡ . f x A. .1 B. . 2 C. . 0 D. . 5 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có Max f x 1 f x 0,x ¡ ¡ x 1 2m2 1 3x 1 2m f x x 1 2 2m2 1 x m f x g x 2 f x x 1 2m2 1 3x 1 2m f x x 1 2m2 1 x m f x g x 2 f x Đặt 2m2 1 3x 1 2m f x x 1 2m2 1 x m f x h x Vì g x có 1 nghiệm bội lẻ x 1 nên để g x 0 thì điều kiện cần là h x cũng cónghiệm là x 1 . m 1 2 2 h 1 2 2m m 1 f 1 0 2m m 1 0 1 m 2 Th1: Với m 1 ta có 3 x 1 2 f x x 1 3 f x g x 2 0 x ¡ . f x 1 TH2: Với m ta có 2 2 3 1 3 x 1 f x x 1 f x g x . 2 0 x ¡ 2 f x Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn đề bài yêu cầu. Trang 29