Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 7: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm y=f'(x), xét tính đơn điệu của hàm hợp mũ, logarit

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 7: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm y=f'(x), xét tính đơn điệu của hàm hợp mũ, logarit

1. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 CHỦ ĐỀ 7 BIẾT ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM y f ' x , XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP MŨ, LOGARIT VẤN ĐỀ 1 HÀM HỢP MŨ, LOGARIT KHƠNG CHỨA THAM SỐ m Mọi thắc mắc, đĩng gĩp liên hệ facebook của mình: Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và cĩ bảng xét dấu đạo hàm như sau: . Hàm số y f 2 ex đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. . ;1 B. . 1;4 C. . 0D.;ln .3 2; Hướng dẫn giải Chọn D Đặt g x f 2 ex , hàm số xác định trên ¡ . Ta cĩ: g ' x ex f 2 ex . 2 ex 1 x ln 3 x g ' x 0 2 e 1 x 0 x x 2 e 4 e 2 (vô nghiệm) Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số y g x như sau: Suy ra hàm số y g x đồng biến trên các khoảng ;0 ; ln 3; . Vậy chọn phương ánD. Câu 2. Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên R và bảng xét dấu của nhưy sau:f ' x Hỏi hàm số g(x) f x ln x2 x 1 nghịch biến trên khoảng nào? A. . ;0 B. . 0;1 C. . D. 1 .; 1;0 Hướng dẫn giải Chọn B Trang 1
2. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Tập xác định của hàm g(x) là D R 2x 1 Ta cĩ g ' x f ' x . x2 x 1 2x 1 2x2 2x 1 Đặt h x 2 h' x 2 . x x 1 x2 x 1 3 1 x 2 Ta cĩ h' x 0 3 1 x 2 Bảng biến thiên của hàm số y h(x) như sau: 1 Ta cĩ h 1 1;h 0 h 1 1;h 0. 2 Từ bảng biến thiên cĩ h x 1,x 0;1 ; f ' x 0,x ; 1  0;1 . Nên suy ra f ' x h x 0,x 0;1 g ' x 0,x 0;1 . Vậy hàm số g x nghịch biến trên 0;1 . 1 Từ bảng biến thiên cĩ h(x) 1;0 ; f ' x 0,x 1; . 2 1 1 f '(x) h(x) 0,x 1; . Do đĩ hàm số y g x đồng biến trên 1; . 2 2 1 Lại cĩ trong các miền ;0 ; 1; ; 1;0 đều chứa miền 1; nên loại A,C,D. 2 Trang 2
3. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 1 Câu 3. Cho hàm số f x . Hàm số y f x cĩ đồ thị như hình bên. Hàm số g x f x 2ln x 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 2 2 2 A. . ; B. . 0; C. . D. . ;1 1; 2 2 2 Câu 4. Cho hàm số f x cĩ bảng xét dấu đạo hàm như sau Hàm số y e3 f 2 x 1 3 f 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 1;3 . C. ; 2 . D. 2;1 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta cĩ : y 3 f 2 x .e3 f 2 x 1 f 2 x .3 f 2 x .ln 3 f 2 x . 3e3 f 2 x 1 3 f 2 x .ln 3 . 2 x 1 x 3 y 0 f 2 x 0 f 2 x 0 . 1 2 x 4 2 x 1 Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và cĩ đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y g x e2017 f x 2020 2018 2019 f x 2020 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 2016; 2018 . B. 2017; 2019 . C. 2018; 2020 . D. 2021; 2023 . Hướng dẫn giải Trang 3
4. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Chọn C +) Xét hàm số y g x e2017 f x 2020 2018 2019 f x 2020 xác định và liên tục trên ¡ . Ta cĩ g ' x 2017 f ' x 2020 e2017 f x 2020 2018 2019ln f ' x 2020 2019 f x 2020 2017 f x 2020 2018 2019 f x 2020 g ' x f ' x 2020 2017e 2019 ln , x ¡ . +) Do 2017e2017 f x 2020 2018 2019 2019 f x 2020 ln 0, x ¡ nên g ' x 0 f ' x 2020 0. Hơn nữa từ đồ thị của hàm số y f x , ta thấy hàm số y f x nghịch biến trên mỗi khoảng 0; 2 và 4; , suy ra f ' x 0, x 0; 2  4; . 0 x 2018 2 2018 x 2020 Khi đĩ bất phương trình f ' x 2020 0 . x 2018 4 x 2022 +) Vậy g ' x 0, x 2018; 2020  2022; . Khi đĩ hàm số y g x nghịch biến trên mỗi khoảng 2018; 2020 và 2022; . Câu 6. Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm trên ¡ và hàm f x cĩ đồ thị như hình vẽ. y -1 O 1 2 x 2 3 Hàm số g x 20182019 2 f x 2 f x f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;0 . B. 0;1 . C. 1;2 . D. 2;3 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 2019 2 f x 2 f 2 x f 3 x Xét g x f x . 3 f x 4 f x 2 .2018 .ln 2018 x 1 x 0 Cĩ g x 0 f x 0 , trong đĩ x 1 là nghiệm kép. x 1 x 2 Bảng xét dấu của g x : Từ bảng, suy ra hàm số nghịch biến trên 2;3 , do 2;3  2; . Trang 4
5. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 7. Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên ¡ và cĩ đồ thị y f ' x như hình vẽ sau Hỏi đồ thị hàm số g x f e3 f x 1 2 f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 7 A. ; 5 . B. 3; . C. 1; . D. 3; 1 . 4 Hướng dẫn giải Chọn A Ta cĩ: g ' x 3 f ' x .e3 f x 1 2 f x . f ' x .ln 2 . f ' e3 f x 1 2 f x f ' x . 3.e3 f x 1 2 f x .ln 2 . f ' e3 f x 1 2 f x ycbt g ' x 0. Mà ta thấy rằng: 3 f x 1 f x 3 f x 1 f x 3.e 2 .ln 2 0 3.e 2 .ln 2 0 3 f x 1 f x f ' e3 f x 1 2 f x 0 e 2 0 x 5 Suy ra g ' x 0 f ' x 0 7 x0 x 1 x0 3; 4 Vậy hàm số g x nghịch biến trên ; 5 . Câu 8. Cho hàm số y f x 1 cĩ đồ thị như hình vẽ. Hàm số y 2 f (x) 4x đồng biến trên khoảng A. ;0 . B. 2;0 . C. 0; . D. 2;1 . Hướng dẫn giải Chọn C Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x 1 sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y f x như sau Trang 5
6. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Xét hàm số y 2 f (x) 4x . Tập xác định D ¡ . y 2 f (x) 4x (2 f (x) 4)ln x 2 y 0 f (x) 2 x 0 . x 1 Ta cĩ bảng biến thiên như sau Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) . Câu 9. Cho hàm số y f x và f x 0,x ¡ . Biết hàm số y f ' x cĩ bảng biến thiên như hình vẽ và f ' 4 0 2 Cĩ bao nhiêu số nguyên m  2019;2019 để hàm sốy e x mx 1 f x đồng biến trên 1;4 A.2011 B. 2013 C. 2012 D. 2014 Hướng dẫn giải Chọn C x2 mx 1 x2 mx 1 y e f x y ' e 2x m f x f ' x Hàm số đồng biến trên 1;4 y ' 0,x 1;4 2x m f x f ' x 0,x 1;4 1 f ' x Vì f x 0,x ¡ 1 m 2x g x ,x 1;4 f x Trang 6
7. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 f " x . f x f ' x Xét hàm số g(x) ta cĩ g ' x 2 2 f x Theo BBT của hàm số f (x) ta thấy x 1;4 thì f (x) 0 nên 2 f " x f x f ' x 0 f x 0,x ¡ 2 2 f " x . f x f ' x f " x . f x f ' x 2 0,x 1;4 g ' x 2 2 0, f x f x y g x đồng biến trên 1;4 Do đĩ để m g(x) x (1;4) thì m max g x g 4 8. 1;4 Do m [ 2019;2019] nên m 8;2019 Cĩ 2012 số nguyên thỏa ycbt. 1 Câu 10. Cho hàm số bậc bay f x cĩ f (0) . Bảng biến thiên của hàm số f x như hình vẽ 3 f x Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? ex A. ;1 B. 2 3;2 C. 4; D. 3; Hướng dẫn giải Chọn C Vì y f (x) là hàm số bậc ba nên y f (x) là hàm số bậc hai. Gọi f (x) ax2 bx c suy ra f (x) 2ax b . Ta cĩ hệ sau: f (1) 0 2a b 0 a 1 2 f (1) 0 a b c 0 b 2 . Vậy f (x) x 2x 1 f (0) 1 c 1 c 1 1 1 1 Suy ra f (x) f (x)dx x2 2x 1 dx x3 x2 x m ,do f (0) m . 3 3 3 1 1 Vậy f (x) x3 x2 x . 3 3 f x .ex ex . f (x) f (x) f (x) Ta cĩ g (x) . e2x ex x 2 1 3 2 2 g (x) 0 f (x) f (x) 0 x 2x 3x 0 x 2 3 . 3 3 x 2 3 Trang 7
8. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Lập bảng xét dấu y g (x) Dự a vào bảng xét dấu g (x) hàm số nghịch biến trên 4; . Câu 11. Cho hàm số y f x , y f ' x cĩ đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng 0;2 , hàm số y e x . f x cĩ bao nhiêu khoảng đồng biến? A. .1 B. . 3 C. . 2 D. . 4 Hướng dẫn giải ChọnC y e x . f x y ' e x f ' x f x 1 x a,0 a 2 Dựa vào đồ thị ta cĩ: y ' 0  f ' x f x  3 x b,1 b 2 Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng 0;a , b;2 . Câu 12. Cho hàm số y f (x) , y f '(x) cĩ đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng 4;3 , hàm số y e x 10 f (x) cĩ bao nhiêu khoảng nghịch biến? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải Chọn B Trang 8
9. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta cĩ: y ' e x 10 f (x) f '(x).e x 10 e x 10  f (x) f '(x) x a, 4 a 3 3 Dựa vào đồ thị, ta cĩ: y ' 0 f '(x) f (x) x b, b 0 2 x c,0 c 3 Bảng biến thiên 3 x -4 a -3 b 0 c 3 2 y ' + 0 - - - 0 + + 0 - y Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y e x 10 f (x) cĩ hai khoảng nghịch biến (a,b);(c;3) Câu 13. Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên ¡ và f 1 2 .Biết y f ' x cĩ bảng biến thiên như hình vẽ Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn  2019;2019 để hàm số 1 3 1 2 3 y ln f x x x x m đồng biến trên 1;3 6 2 2 A. .2 008 B. . 2007 C. . 2009 D. . 2010 Hướng dẫn giải Chọn A 1 3 2 Hàm số y ln f x x 3x 9x m xác định trên R 3 1 g x f x x3 3x2 9x m 0,x 1;3 3 g ' x f ' x x2 6x 9 g ' x 0 f ' x x2 6x 9 Vẽ hai đồ thị y f ' x  y x2 6x 9 trên cùng hệ trục Trang 9
10. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 31 31 Vậy g ' x 0x 1;3 g x g 1 m 0 m 3 3 2 1 3 2 f ' x x 6x 9 y ln f x x 3x 9x m y ' 0,x 1;3 3 1 3 1 2 3 f x x x x m 6 2 2 31 Đề hàm số đồng biến trên 1;3 thì m ;2019 m 11; ;2018 cĩ 2008 số. 3 VẤN ĐỀ 2 HÀM HỢP MŨ, LOGARIT CHỨA THAM SỐ m 2 Câu 14. Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f x x x 1 x2 mx 9 với mọi x ¡ . Cĩ bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g x e f x đồngbiến trên khoảng 0; ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn B Ta cĩ g x f '(x).e f x . Hàm số g x đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi g x 0, x 0; f x 0, x 0; x x 1 2 x2 mx 9 0, x 0; x2 9 m , x 0; x 9 m min h x với h x x ,x (0; ) . 0; x 9 9 Ta cĩ: h x x 2 x. 6,x (0; ) nên m 6 m ¢ m 1;2;3;4;5;6. x x Câu 15. Cho f(x) cĩ đạo hàm liên tục trên ¡ vàbảng biến thiên y = f’(x) được cho như sau: Trang 10
11. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Cĩ bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số g(x) = f(x)- ln x 2 1 - mxđồng biến trên  1;1 . A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 Hướng dẫn giải Chọn C Ta cĩ: g(x) = f(x)- ln x 2 1 - mxcĩ txđ D ¡ 2x g’(x) = f’ (x) - - m x2 1 Hàm số g(x) đồng biến trên  1;1 g’(x) 0x  1;1 2x f ' x m 0 x  1;1 x2 1 2x m f ' x x  1;1 1 x2 1 2x do : f ' x 5(bbt)x  1;1; 1x  1;1 x2 1 2x f ' x 4x  1;1 dấu “=” xảy ra khi “x=1” x2 1 Vậy(1) m 4 . Câu 16. Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như sau 2 Hàm số y e f x m 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 1 A. 4; B. 1;4 . C. 1;2 . D. ; . 2 Hướng dẫn giải Chọn C 2 Xét hàm số y g x e f x m 2 . 2 2 Ta cĩ g x f x .e f x m 2 , e f x m 2 0x ¡ . x 1 g x 0 f x 0 x 0 . x 4 Bảng biến thiên: Trang 11
12. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 Vậy hàm số y g x e f x m 2 nghịch biến trên khoảng ; 1  0;4 . Câu 17. Cho hàm số y f (x) cĩ bảng biến thiên Và hàm số y g(x) cĩ bảng biến thiên 1 Hàm số y f (x).g x 2x 3 chắc chắn đồng biến trên khoảng nào? x 2 3 A. 2;1 . B. 1;1 . C. ;1 . D. 1;4 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Xét y f (x).g x 2x 3 . x 2 3 Tập xác định: D ;1 . Từ tập xác định loại được phương án A, D 2 2 1 Ta cĩ: y ' f '(x).g x f (x).g ' x 0,x 1;1 . 2x 3 x 2 2 3 Với phương án C, cĩ g ' x 0 trên ; 1 nên chưa kết luận được về dấu của hàm số cần xét. 2 Câu 18. Cho hàm số f x cĩ đồ thị như hình vẽ Trang 12
13. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3 2 1 Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình f x 2 f x 7 f x 5 cĩ nghiệm là e ln f x m f x A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B t3 2t2 7t 5 1 Quan sát đồ thị ta thấy 1 f x 5,x R , đặt t f x giả thiết trở thành e ln t m . t Xét hàm: g t t3 2t 2 7t 5, t 1;5 g t 3t 2 4t 7 0t 1 g 1 g t g 5 1 g t 145 . 1 1 26 Mặt khác h t t ,h t 1 0t 1;5 2 h t . t t 2 5 t3 2t2 7t 5 1 Do đĩ hàm u t e ln t đồng biến trên đoạn 1;5 . t 26 Suy ra: Phương trình đã cho cĩ nghiệm e ln 2 m e145 ln . 5 Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4 . Câu 19. Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như sau 2 Hàm số y e f x m 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 1 A. 4; B. 1;4 . C. 1;2 . D. ; . 2 Hướng dẫn giải Chọn C 2 Xét hàm số y g x e f x m 2 . 2 2 g x f x .e f x m 2 , e f x m 2 0x ¡ . x 1 g x 0 f x 0 x 0 x 4 Bảng biến thiên: Trang 13
14. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 Vậy hàm số y g x e f x m 2 nghịch biến trên khoảng ; 1  0;4 . Câu 20. Cho hàm số y f x và f x 0,x ¡ . Biết hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như hình vẽ 1 137 và f . 2 16 x2 4mx 5 1 Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m  2020; 2020 để hàm số g x e . f x đồng biến trên 1; . 2 A. 4040 .B. .C. .D. 4041 . 2019 2020 Câu 21. Cho hàm số y f x liên tục và cĩ đạo hàm trên ¡ . Biết hàm số f ' x cĩ đồ thị được cho trong hình vẽ. x Tìm điều kiện của m để hàm số g x f 2019 mx 2 đồng biến trên 0;1 A. m 0 B. m ln 2019 C. 0 m ln 2019 D. m ln 2019 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Ta cĩ g ' x 2019x.ln 2019. f ' 2019x m Để hàm số g x đồng biến trên 0;1 thì g ' x 0;x 0;1 2019x.ln 2019. f ' 2019x m 0 Trang 14
15. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2019x.ln 2019. f ' 2019x 0 với mọi x 0;1 (đến đây đưa bài tốn về dạng tìm m để bất phương trình cĩ nghiệm x 0;1 ) Đặt h x 2019x.ln 2019. f ' 2019x thì m min h x 0;1 Dựa vào đồ thị hàm số y f ' x ta xét trên đoạn 0;1 thì 2019x 1;2019 f ' 2019x 0 và f ' 2019x đồng biến. Lại cĩ 2019x đồng biến và dương trên 0;1 Nên h x 2019x ln 2019. f ' 2019x đồng biến trên 0;1 Suy ra min h x h 0 20190.ln 2019. f ' 20190 ln 2019. f ' 1 0 (vì theo hình vẽ thì f ' 1 0 ) 0;1 Vậy m 0 Câu 22. Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f ' x x 1 ex , cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn  2021;2021 để hàm số y g x f ln x mx2 mx 2 nghịch biến trên 1;e2 . A. 2023. B. 2021 . C. 2022 . D. 4042 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 Trên 1;e2 ta cĩ g ' x . f ' ln x 2mx m ln x 1 2x 1 m x Để hàm số y g x nghịch biến trên 1;e2 thì g ' x ln x 1 2x 1 m 0,x 1;e2 ln x 1 2x 1 m 0,x 1;e2 ln x 1 m,x 1;e2 2x 1 1 2ln x ln x 1 2 x 2 Xét hàm số h x trên 1;e , ta cĩ h' x 2 0,x 1;e , từ đây suy ra m 1. Vậy 2x 1 2x 1 cĩ 2021 giá trị nguyên của m thỏa bài tốn. Câu 23. Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f ' x 1 x2 . Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm 2 1 số y g x f x 2x 2m ln x nghịch biến trên khoảng 1; . x A. 8 . B. 7 . C. 9 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A 2 1 2 2m x 1 Ta cĩ y g x f x 2x 2m ln x . Suy ra g ' x 2x 2 f ' x 2x 2 . x x Để hàm số y g x nghịch biến x 1; thì g ' x 0 x 1; . 2 m 2 m Hay 2x 2 f ' x 2x 2 0 x 1; f ' x 2x 2 0 x 1; . (vì x x 2x 2 0 x 1; ). 2 2 m 2 2 2 2 Do đĩ 1 x 2x 2 0 x 1; m x x 2x x x 1; x Trang 15
16. Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Cĩ lời giải chi tiết Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 Đặt h x x2 x2 2x x2 , h' x 2x 3x5 4x4 6x3 8x2 1 ,h' x 0 x 0 Phương trình 3x5 4x4 6x3 8x2 1 0 khơng cĩ nghiệm x 1. Ta cĩ bảng biến thiên x 0 1 h' x 0 + h x 8 0 Từ bảng biến thiên ta thấy m 8 . Mà m ¢ . Suy ra m cĩ 8 giá trị. Trang 16