Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 3: Bài toán cho bảng xét dấu f'(x)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 3: Bài toán cho bảng xét dấu f'(x)

1. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 VẤN ĐỀ 3 BÀI TOÁN CHO BẢNG XÉT DẤU f ' x DẠNG 1 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x LOẠI 1 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x VÀ KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng biến thiên của đạo hàm f ' x như sau : Hỏi hàm số g x f x2 2x có bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có g¢(x)= (2x - 2) f ¢(x 2 - 2x); éx = 1 éx = 1 ê ê é2x - 2 = 0 ê 2 ê theo BBT ' x - 2x = - 2 x = 1± 2 (nghiem kep) ¢ = Û ê ¬ ¾ ¾ ¾f (¾x)® Û ê Û ê g (x) 0 ê 2 ê 2 ê . êf ¢(x - 2x)= 0 êx - 2x = 1(nghiem kep) êx = - 1 ë ê 2 ê ëêx - 2x = 3 ëêx = 3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A Chú ý: Dấu của g¢(x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (3;+¥ ) + x Î (3;+¥ )® 2x - 2> 0. (1) + x Î (3;+ ¥ )® x 2 - 2x > 3 ¾ t¾heo ¾BBT¾ f '(x¾)® f ¢(x 2 - 2x)< 0. (2) Từ (1) và (2), suy ra g¢(x)= (2x - 2) f ¢(x 2 - 2x)< 0 trên khoảng (3;+¥ ) nên g¢(x) mang dấu - . Nhận thấy các nghiệm x = ± 1 và x = 3 là các nghiệm bội lẻ nên g¢(x) qua nghiệm đổi dấu. Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau: Trang 1
2. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Số điểm cực trị của hàm số y f x2 2x là A. 4 .B. 5 . C. 1.D. 7 . Lời giải Chọn B x 1 Ta có y 2x 2 f x2 2x 0 . f ' x2 2x 0 1 x2 2x a 1 2 Từ BBT ta thấy phương trình 1 x2 2x b 1;1 3 . 2 x 2x c 1 4 Đồ thị hàm số y x2 2x có dạng Từ đồ thị hàm số y x2 2x ta thấy phương trình (2) vô nghiệm; phương trình (3) ; phương trình (4) đều có 2 nghiệm phân biệt. Do đó y 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y f x2 2x có 5 điểm cực trị. Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Biết hàm số y f ' x có bảng xét dấu sau Số điểm cực tiểu của hàm số y g x f 6 x2 là A. 5. B. 7. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn D Ta có g x 2x. f 6 x2 . Trang 2
3. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 0 x 0 x 0 6 x2 3 x 3 g x 0 . f 6 x2 0 6 x2 2 x 2 2 6 x 5 x 1 Ta có g 4 8. f 10 0 và bảng xét dấu f ' x không có nghiệm bội chẵn. Bảng biến thiên y g x . Vậy số điểm cực tiểu của hàm số y g x f 6 x2 là 4. Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biên thiên như hình vẽ 2 5 3 Số điểm cực trị của hàm số g x f 2x x là 2 2 A. 3.B.4.C. 5.D.6. Lời giải Chọn C x 2 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f x 0 và f x 0 2 x 3. x 3 5 2 5 3 Ta có g x 4x f 2x x . 2 2 2 5 4x 0 2 5 3 2 f 2x x 0 2 2 Xét g x 0 . 5 4x 0 2 2 5 3 f 2x x 0 2 2 Trang 3
4. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 5 5 4x 0 x 2 8 9 1 x . 2 5 3 2 5 3 4 f 2x x 0 2 2x x 3 2 2 2 2 5 x 8 2 5 3 x 1 5 2x x 3 4x 0 2 2 2 . 2 5 3 f 2x x 0 5 1 5 2 2 x x 8 4 8 2 5 3 2x x 2 2 2 Bảng biến thiên 2 5 3 Từ bảng xét dấu của hàm số g x f 2x x ta được hàm số có 5 cực trị. 2 2 Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Biết hàm số y f ' x có bảng xét dấu sau Số điểm cực trị của hàm số y g x f x x2 1 là A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn D x x2 1 x x2 1 x x Ta có g x . f x x2 1 . Do 0 x2 1 x2 1 x2 1 x x2 1 1 x 0 4 nên g x 0 f x x2 1 x x2 1 3 x . 3 2 x x 1 5 12 x 5 Bảng biến thiên y g x . Trang 4
5. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Vậy số điểm cực trị của hàm số y g x f x x2 1 là 2. Câu 6. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Hàm số y g(x) f x2 2x 4 có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có : g '(x) 2 x 1 f '(x2 2x 4) . x 1 g '(x) 0 x 1 f '(x2 2x 4) 0 2 f '(x 2x 4) 0 x 1 x 1 x 1 3 2 x 2x 4 2 x 1 3 (Tất cả đều là nghiệm bội lẻ). 2 x 2x 4 0 x 1 5 x 1 5 Ta chọn x 2 để xét dấu của g '(x) : g '( 2) 2.( 3). f '(4) . Vì hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng 0; do đó: f '(4) 0 . Suy ra: g '( 2) 0 . Theo tính chất qua nghiệm bội lẻ g '(x) đổi dấu, ta có bảng biên thiên của g(x) như sau: Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số y g(x) có 3 điểm cực tiểu. Câu 7. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ. Trang 5
6. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x2 1 Đặt g x f . Tìm số điểm cực trị của hàm số y g x . x A. 4. B. 5. C. 6. D. 8. Lời giải Chọn C x2 1 x2 1 + Đặt g ' x 2 f x x x 1 2 2 x 1 x 1 a a 2 2 0 x x 2 + g ' x 0 x 1 x2 1 b 2 b 2 f 0 x x x2 1 c c 2 x x2 1 x2 1 + Xét hàm số h x ,h' x ,h' x 0 x 1 x x2 x2 1 + Bảng biến thiên của hàm số h x x x 1 0 1 + h'(x) + 0 0 + + + h(x) y= c c> 2 x x 3 4 2 y= b -2< b< 2 2 x y= a a< -2 1 x2 + Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình h x a,h x c , mỗi phương trình có hai nghiệm phân x2 1 biệt khác 1, mà a c f 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt x1, x2 , x3 , x4 khác 1 và phương trình x h x b vô nghiệm. Do đó phương trình g ' x 0 có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là x1, 1, x2 , x3 ,1, x4 . x2 1 Vậy hàm số g x f có 6 cực trị. x Câu 8. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ. Trang 6
7. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 1 0 3 + 2 f'(x) 1 1 x2 2x Đặt g x f . Tìm số điểm cực trị của hàm số y g x . x 1 A. 4. B. 10. C. 6. D. 8. Lời giải Chọn D x2 2x 2 x2 2x + Đặt g ' x f 2 x 1 x 1 x2 2x a a 1 x 1 2 x 2x 2 2 0(VN) x 2x 2 b 1 b 0 x 1 x 1 + g ' x 0 2 x2 2x x 2x c 0 c 3 f 0 x 1 x 1 x2 2x d d 3 x 1 x2 2x x2 2x 2 + Xét hàm số h x ,h' x ,h' x 0 (VN) x 1 x 1 2 x2 2x + Bảng biến thiên của hàm số h x x 1 x 1 + h'(x) + + + + h(x) x7 x8 y= d d> 3 x x 5 6 y= c 0< c< 3 x3 x4 y= b -1< b< 0 x x 1 2 y= a a< -1 + Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình h x a,h x b,h x c,h x d , mỗi phương trình x2 2x có hai nghiệm phân biệt mà a,b,c,d đôi một khác nhau f 0 có 8 nghiệm đơn phân biệt x 1 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 . Do đó phương trình g ' x 0 có 8 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là x1, x3 , x5 , x7 , x2 , x4 , x6 , x8 . x2 2x Vậy hàm số g x f có 8 cực trị. x 1 Trang 7
8. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 LOẠI 2 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x VÀ CÓ CHỨA THAM SỐ m Câu 9. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f ' x như sau x 1 1 4 f ' x 0 0 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc  10;10 để g x f x2 2x m có 5 điểm cực trị? A. 10. B. 15. C. 20. D. 21. Lời giải Chọn A Ta có g ' x 2 x 1 f ' x2 2x m x 1 x 1 2 2 x 2x m 1 x 2x m 1 0 1 g ' x 0 x2 2x m 1 x2 2x m 1 0 2 2 2 x 2x m 4 x 2x m 4 0 3 Nhận xét: Phương trình (2) nếu có nghiệm là nghiệm bội chẵn; phương trình (1) và (3) nếu có nghiệm thì nghiệm không chung nhau. Hàm số g x có 5 điểm cực trị phương trình g ' x 0 có 5 nghiệm bội lẻ Phương trình (1) và (3) có hai nghiệm phân biệt, khác 1. 0 1 m 0 0 3 m 5 0 m 0 VT 0 m 0 1 VT 0 m 5 0 3 m ¢ Vì m 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 m  10;10 Vậy có 10 giá trị của tham số m. DẠNG 2 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f x h x LOẠI 1 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f x h x VÀ KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 10. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hỏi hàm số g x f x x3 3x2 9x 5 có bao nhiêu điểm cực trị? Trang 8
9. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A 2n 1 2m 1 Từ bảng xét dấu của f x ta nhận thấy f x A x x 3 x 1 với m,n ¥ và A x 0,x ¡ . . 2n 1 2m 1 Ta có: g x f x 3x2 6x 9 A x x 3 x 1 3 x 3 x 1 g x x 3 x 1 A x x 3 2n x 1 2m 3 2n 2m Do A x 0,x ¡ nên A x x 3 x 1 3 0,x ¡ . x 3 Từ đó ta có g x 0 . x 1 Do g x 0 tại x 3 và x 1, đồng thời g x đổi dấu khi đi qua hai điểm đó nên hàm số y g x có hai điểm cực trị. Câu 11. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x 1 2 f x 0 0 3 Hỏi hàm số g x f x x3 x2 6x 2020 có bao nhiêu điểm cực trị? 2 A. 3 . B. 2. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn B 2m 1 2n 1 Từ bảng xét dấu của f x ta thấy f x a x 1 x 2 với m,n ¥ và a 0 . 2m 1 2n 1 Ta có: g x f x 3x2 3x 6 a x 1 x 2 3 x 2 x 1 g x x 2 x 1 a x 1 2m x 1 2n 3 2m 2n Do a 0 nên a x 1 x 2 3 0, x ¡ x 1 Từ đó ta có g x 0 x 2. Do g x 0 tại x 1 và x 2 ; đồng thời g x đổi dấu khi qua hai điểm này nên hàm số g x có hai điểm cực trị. DẠNG 3 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x h x Câu 12. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: 1 Đặt g x f x 2 x3 2x2 3x 2021. Khẳng định nào sau đây đúng? 3 A. Hàm số y g x đạt cực đại tại x 1 . B. Hàm số y g x có 1 điểm cực trị. Trang 9
10. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 C. Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1;4 . D. g 5 g 6 và g 0 g 1 . Lời giải Chọn A Ta có y f x 2 x2 4x 3 f x 2 0 x 1;1;3 x2 4x 3 0 x 1 x 3. Ta có bảng xét dấu: (kxđ: không xác định) Dựa vào bảng xét dấu, ta suy ra g x đạt cực đại tại x 1 . Câu 13. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và bảng xét dấu đạo hàm Hàm số y 3 f ( x4 4x2 6) 2x6 3x4 12x2 có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 3. B. 0. C. 1.D.2. Lời giải Chọn D Có y (12x3 24x). f ( x4 4x2 6) 12x5 12x3 24x 12x(x2 2). f ( x4 4x2 6) 12x x4 x2 2 12x(x2 2). f ( x4 4x2 6) x2 1 . x 0 x 0 4 2 2 Khi đó y ' 0 f ( x 4x 6) (x 1) 0 x 2 . 2 4 2 2 x 2 0 f ( x 4x 6) x 1 Ta có x4 4x2 6 (x2 2)2 2 2, x ¡ . Do đó f ( x4 4x2 6) f 2 0, x ¡ . Mà x2 1 1, x ¡ . Do đó phương trình f '( x4 4x2 6) x2 1vô nghiệm. Hàm số y 3 f ( x4 4x2 6) 2x6 3x4 12x2 có bảng xét dấu đạo hàm như sau Trang 10
11. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Vậy hàm số y 3 f ( x4 4x2 6) 2x6 3x4 12x2 có 2 điểm cực tiểu. DẠNG 4 k XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x Câu 14. Cho hàm số bậc bốn f x có bảng xét dấu như sau: 4 2 Số điểm cực trị của hàm số g x x f x 1 là A. 11.B. 9 . C. 7 .D. 5 . Lời giải Chọn B Ta chọn hàm f x 5x4 10x2 3 . Đạo hàm 3 2 4 3 g x 4x f x 1 2x f x 1 f x 1 2x f x 1 2 f x 1 xf x 1 . x 0 2x3 f x 1 0 Ta có g x 0 f x 1 0 . 2 f x 1 xf x 1 0 2 f x 1 xf x 1 0 x 1 1,278 4 x 1 0,606 +) f x 1 0 * 5 x 1 10 x 1 3 0 x 1 0,606 x 1 1,278 Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 . t x 1 +) 2 f x 1 xf x 1 0 2 5t 4 10t 2 3 t 1 20t3 20t 0 t 1,199 t 0,731 30t4 20t3 40t2 20t 6 0 t 0,218 t 1,045 Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình * . Vậy số điểm cực trị của hàm số g x là 9 . Trang 11
12. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 15. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau: Số cực trị của hàm số g(x) f 2 (2x2 x) là A. 3. B. 4.C. 5. D. 6. Lời giải Chọn C g '(x) 2(2 x2 x)'. f '(2x2 x). f (2x2 x) 2(4 x 1). f '(2x2 x). f (2x2 x) 0 . Ta có: 4x 1 0 2 f '(2x x) 0 . 2 f (2x x) 0 1 4x + 1= 0 Û x = - 4 é 2 éx = - 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có 2 ê2x + x = - 2(VN) ê f '(2x + x) = 0 Û ê Û ê 1 ê 2x2 + x = 1 êx = ëê ëê 2 Dựa vào bảng biến thiên phương trình f (x) 0 chỉ có 1 nghiệm x0 > 1 (vì đồ thị y f (x) cắt trục Ox tại 2 2 2 một điểm có hoành độ lớp hơn 1). Khi đó f (2x + x) = 0 Û 2x + x = x0 Û 2x + x- x0 = 0 (*) phương trình có hai nghiệm vì a,c trái dấu. 1 1 Mặt khác, thay các nghiệm x = - ;- 1; vào (*) ta được x0 £ 1 không thỏa mãn điều kiện của x0 nên 4 2 1 1 x = - ;- 1; không là nghiệm của (*). 4 2 Vậy phương trình g '(x) = 0 có 5 nghiệm đơn. Suy ra hàm số y = g(x) có 5 cực trị LỜI BÌNH:Yêu cầu đề bài có thể thay đổi số cực đại hoặc số cực tiểu của hàm số, khi đó ta cần phải xét dấu g’(x). Cụ thể: Ta có 2 nghiệm của phương trình 2 2 2 f (2x + x) = 0 Û 2x + x = x0 Û 2x + x- x0 = 0là 1 1+ 8x0 1 + x1 = - + ® x1 ' = > 0;" x0 > 1 4 4 1+ 8x0 1 Þ x > x (1) = 1 1 2 1 1+ 8x0 1 + x1 = - - ® x1 ' = - 1 4 4 1+ 8x0 Þ x1 < x1(1) = - 1 Mặt khác: x 1 2x2 x 2(VN) f '(2x2 x) 0 2 1 2x x 1 x 2 Trang 12
13. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2x2 x 2 1 f '(2x2 x) 0 1 x 2 2x x 1 2 Bảng xét dấu: Dựa vào bảng biến thiên ta được: 2 cực đại và 3 cực tiểu. Câu 16. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Số điểm cực tiểu của hàm số g x f 3 x3 3x là A. 5. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B Ta có: g x 3 3x2 3 f x3 3x . f 2 x3 3x . Ta thấy g x 3 3x2 3 0,x ¡ và f 2 x3 3x 0,x ¡ nên dấu của g ' x chính là dấu của f x3 3x 3 x 3x 1 x x 0,32 1 3 3 f x 3x 0 x 3x 0 x 0 3 x x 0,32 x 3x 1 2 1 x 0 Từ bảng biến thiên của hàm f x ta có f x 0 x 1 1 x3 3x 0 x x 0 Do đó f x3 3x 0 1 3 x 3x 1 x x2 Ta có bảng biến thiên của hàm số g x Vậy hàm số g x có 2 điểm cực tiểu. Câu 17. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên Trang 13
14. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 Hỏi hàm số y f 2 x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 . B. 3. C. 5. D. 7 . Lời giải Chọn C y 2. f 2 x . f 2 x . 2 x a 2 x 2 a 4 f 2 x 0 2 x b 1 x 2 b 1 y 0 2. f 2 x . f 2 x 0 f 2 x 0 2 x 2 x 4 2 x 1 x 1 y không xác định f 2 x không xác định 2 x 0 x 2 Dựa vào đồ thị f x ta thấy f 2 x 0 a 2 x b 2 b x 2 a 2 x 2 x 4 f 2 x 0 0 2 x 1 1 x 2 Ta có bảng xét dấu y 2 Vậy hàm số y f 2 x có 5 điểm cực trị. Câu 18. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ , có bảng xét dấu của f ' x như sau: 2 2 Biết rằng f 5 0 và f 5 0 . Số điểm cực trị của hàm số y f x 6x là A. 7. B. 8. C. 9. D. 6. Lời giải Chọn A 2x 6 0 x 3 Ta có: y ' 2 2x 6 . f ' x2 6x . f x2 6x 0 f ' x2 6x 0 1 2 f x 6x 0 2 x2 6x 5 x 5, x 1 +) Từ (1) kết hợp với bảng dấu f ' x ta có f ' x2 6x 0 2 x 6x 0 x 0.x 6 Trang 14
15. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 2 +) Từ (2) kết hợp bảng dấu f ' x và đk f 5 0 và f 5 0 ta có f x 6x 0 x 6x x0 0;5 2 nên pt x 6x x0 0 có 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm trên. 2 2 +) Các nghiệm đó là nghiệm bội lẻ (nghiệm đơn) => hàm số y f x 6x có 7 cực trị Câu 19. Cho hàm số liên tục trên ¡ , có bảng xét dấu của f x như sau: 3 2 Hàm số y f 4 x có bao nhiêu cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn D x 0 2 2 TH1. Ta có y ' 6x. f 4 x2 . f ' 4 x2 0 f 4 x2 0 1 2 f ' 4 x 0 2 +) Dựa vào bảng xét dấu y’ ta có pt(1) có nghiệm nhưng đều là nghiệm bội chẵn nên tại đó không phải là điểm cực trị. +) Từ (2) ta có 4 x2 0 x 2, x 2 TH2. Điểm làm cho y’ không xác định: 4 x2 3 x 1, x 1 Vậy ta có 5 điểm cực trị Câu 20. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ , có bảng xét dấu của f ' x như sau: 4 Hàm số y f 4 x 3 có bao nhiêu cực trị? A. 1. B. 3. C. 5. D. 7. Lời giải Chọn B TXĐ D 0; 2 3 Ta có y ' . f ' 4 x . f 4 x 3 , x 0 x f ' 4 x 0 1 y ' 0 f 4 x 3 0 2 4 x 5 x 81 +) Từ (1) ta có: f ' 4 x 0 4 x 0 x 16 4 x 4 x 0 0; Trang 15
16. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 4 x a 0;4 x x1 +) Từ (2) ta có f 4 x 3 0 4 x b 4; x  4 Vậy có y f 4 x 3 có 3 cực trị. Câu 21. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu f x như sau Biết rằng hàm số y f x là hàm đa thức có đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. Hỏi hàm số y f 2 x2 2x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 4 . B. 2 . C. 5. D. 3. Lời giải Chọn D +) Ta có y f x là hàm đa thức có đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất nên x a 2 f x 0 x b 3 Đặt g x f 2 x2 2x . Ta có g x 2x 2 f x2 2x f x2 2x . Để hàm số y f 2 x2 2x có nhiều điểm cực tiểu nhất thì phương trình f x2 2x 0 có nhiều nghiệm nhất x2 2x b 3(vì x2 2x 1,x ) x 1 x 1 x 1 2 x 2x 2 0 2 x 1 2 x 2x 2 x2 2x 1 0 x 1 g x 0 x2 2x 1 . 2 2 x 2x 3 0 x 3 x 2x 3 x x 1 x x1 1 x2 2x b 1 x x 3 x x2 3 2 Trong đó các nghiệm 1, 1, 3 x1; x2 là nghiệm bội lẻ và 1 2 là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số g x chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm 1, 1, 3; x1; x2 . Ta có g 0 2 f 0 0 (do f 0 0 ). Bảng xét dấu g x Vậy hàm số y f 2 x2 2x có đúng 3 điểm cực tiểu. Câu 22. Cho hàm y f (x) xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn f (1) f (2) 0 và bảng xét dấu của f '(x) Hỏi hàm số g(x) f 2 (x 2019) có bao nhiêu cực trị? Trang 16
17. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A.4. B. 6. C. 5. D. 7. Lời giải Chọn C g (x) 2 f (x 2019) f (x 2019) f (x 2019) 0(1) g (x) 0 f (x 2019) 0(2) +) Vì f (1) f (2) 0 và từ BBT suy ra đồ thị y f (x) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 1,1 x2 2, x3 2 . Mà đồ thị hàm số f (x 2019) có được bằng cách tịnh tiến theo phương trục hoành sang phải 2019 đơn vị, nên nó sẽ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biêt có hoành độ x1 2020,2020 x2 2021, x3 2021 x 2019 1 x 2020 (2) x 2019 2 x 2021 Do vậy pt g (x) 0 có 5 nghiêm đơn phân biệt +) KL hàm g(x) có 5 cực trị LỜI BÌNH: Chúng ta có thể tổng quát:Cho hàm y f (x) xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn f (a1) f (a2 ) 0 , f (a2 ) f (a3 ) 0 ., f (an 1) f (an ) 0 và bảng xét dấu của f '(x) ( f (x) đổi dấu đan xen khi qua , ) Số cực trị của hàm số g(x) f 2k (x c) là 2n 1 Câu 23. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau? 2022 x 1 Hàm số g x f có bao nhiêu điểm cực trị? x 2 A. 7 B. 3 C. 5 D. 6 Lời giải Chọn D 2021 3 x 1 x 1 Ta có g x 2022. 2 . f . f x 2 x 2 x 2 x 1 f 0 1 x 2 g x 0 x 1 f 0 2 x 2 Trang 17
18. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 1 a; (a 0) x 2 x 1 b; (0 b 1) x 1 x 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có: f 0 x 2 x 1 c; (1 c 2) x 2 x 1 d; (d 2) x 2 x 1 x 1 f 0 0 x 2 x 2 x 1 2 x 2 x 1 Nhận xét: hàm số y là hàm số đơn điệu trên tập xác định nên phương trình 1 có 4 nghiệm đơn, x 2 phương trình 2 có 2 nghiệm đơn và nghiệm của phương trình 1 và phương trình 2 không trùng nhau. x 1 1 VN g x không xác định x 2 x 2 Nhận xét: x 2 không thuộc tập xác định của y g x Vậy g x 0 có 6 nghiệm đơn khác 2 nên hàm số y g x có 6 điểm cực trị. Câu 24. Cho hàm bậc ba y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu y như sau. 2 Gọi m và n lần lượt là số điểm cực trị nhiều nhất và ít nhất của hàm số y g x f 2x 1 , biết f 3 0 . Khi đó 2m 3n bằng A. 4 . B. 1 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A f 2x 1 0 f 2x 1 0 f 2x 1 0 Ta có g x 4 f 2x 1 . f 2x 1 0 2x 1 1 x 0 . f 2x 1 0 2x 1 3 x 1 Suy ra số điểm cực trị của hàm số g x phụ thuộc số nghiệm của phương trình f 2x 1 0 . a 1 x 0 2x 1 a 1 2 b 1  Trường hợp 1: f 1 0 . Suy ra phương trình f 2x 1 0 2x 1 b,b 1,3 x 0;1 . 2 2x 1 c 3 c 1 x 1 2 Vậy trường hợp này g x có 5 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số y g x có năm điểm cực trị. x 0 2x 1 1  Trường hợp 2: f 1 0 . Suy ra phương trình f 2x 1 0 a 1 . 2x 1 a 3 x 1 2 Trang 18
19. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Vậy trường hợp này g x có 2 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số y g x có hai điểm cực trị. a 1  Trường hợp 3: f 1 0 . Suy ra phương trình f 2x 1 0 2x 1 a 3 x 1. 2 Vậy trường hợp này g x có 3 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số y g x có ba điểm cực trị. Trang 19