Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 4: Cực trị liên quan đến hàm chứa trị tuyệt đối

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 4: Cực trị liên quan đến hàm chứa trị tuyệt đối

1. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 VẤN ĐỀ 4 CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI DẠNG 1 CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Mọi thắc mắc, đóng góp liên hệ facebook của mình: Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x3 2x2 x3 2x với mọi x ¡ . Hàm số g x f 1 2018x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ? A. 9. B. 2018. C. 2022. D. 11. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f x x3 x 2 x2 2 0 có 4 nghiệm và đổi dấu 4 lần nên hàm số y f x có 4 cực trị. Suy ra f x 0 có tối đa 5 điểm phân biệt. Do đó g x f 1 2018x có tối đa 9 cực trị. Câu 2. Cho hàm số đa thức y f x có đạo hàm trên ¡ , f (0) 0 và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ' x . Hỏi hàm số g x f (x) 3x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 4. B. 5. C. 3. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn đáp án . Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f x . Hàm số y f x 3 có bao nhiêu điểm cực trị A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn C y f x 3 1 , Đặt t x 3 , t 0 . Thì 1 trở thành: y f t t 0 . 2 x 3 Có t x 3 t/ x 2 x 3 Trang 1
2. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 / / / Có yx tx f t x 3 x 3 t/ 0 / / / x yx 0 tx f t 0 t 2 L x 7 f / t 0 t 4 x 1 Lấy x 8 có t/ 8 f / 5 0 , đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên: x - ∞ -1 3 7 +∞ _ _ y / 0 + 0 + +∞ +∞ y CĐ CT CT Dựa vào BBT thì hàm số y f x 3 có 3 cực trị. Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ có đạo hàm f x liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu như hình vẽ bên Hỏi hàm số y f x2 2 x có tất cả bao nhiêu điểm cực trị A. 4 .B. 7 .C. 9 .D. 11. Lời giải Chọn C Tập xác định của hàm số: D ¡ . 2 * y h x f x 2 x 2 x y h x f x 2 x . . 2 x 2 . x x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 h x 0 x 2 2 x 0 x 1 2 . 2 x 2 x 1 x 1 2 2 x 2 x 2 x 1 3 x 1 3 Ta thấy phương trình h x 0 có 8 nghiệm đơn 1 . h x không tồn tại tại x 0 mà x 0 thuộc tập xác định đồng thời qua đó h x đổi dấu 2 . Từ 1 và 2 suy ra hàm số đã cho có 9 điểm cực trị. Trang 2
3. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 5. Cho hàm số y f x là một hàm đa thức có bảng xét dấu f x như sau Số điểm cực trị của hàm số g x f x2 x A. 5 .B. 3 . C. 1.D. 7 . Lời giải Chọn A 2 Ta có g x f x2 x f x x . Số điểm cực trị của hàm số f x bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số f x cộng thêm 1. 1 x 1 2 x 2 Xét hàm số h x f x2 x h x 2x 1 f x2 x 0 x2 x 1 . 2 1 5 x x 1 x 2 Bảng xét dấu hàm số h x f x2 x 2 Hàm số h x f x2 x có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số g x f x2 x f x x có 5 điểm cực trị. Câu 6. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và f 0 0; f 4 4 . Biết hàm y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g x f x2 2x . A. 5 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn C Đặt h x f x2 2x . Ta có h x 2x. f x2 2 . Từ đồ thị ta thấy f x2 0,x . Do đó h x 0,x 0 . 1 Với x 0 , ta có h x 0 f x2 . x Trang 3
4. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 1 Đặt t x , phương trình trở thành f t t t0 0;1 . Khi đó h x 0 x t . t 0 Ta có h 0 f 0 0 và h 2 f 4 4 0 . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có hàm số y h x có 1 điểm cực trị và đồ thị hàm số y h x cắt Ox tại 2 điểm phân biệt Hàm số y g x h x có ba điểm cực trị. Câu 7. Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên ¡ có đồ thị đạo hàm y f x như hình vẽ. Hỏi hàm số y f x x 1 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C f 1 2x , x ;0 2 f 1 2x , x ;0 Đặt y g x f 1 , x 0;1 g x 0, x 0;1 f 2x 1 x 1; 2 f 2x 1 , x 1; ì ¢ ï - 2 f (1- 2x)= 0 khi x Î (- ¥ ;0) (1) ï Xét g x 0 Þ g¢(x)= í 0 khi x Î [0;1) (2) ï ï ¢ îï 2 f (2x - 1)= 0 khi x Î [1;+ ¥ ) (3) Trang 4
5. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Xét phương trình (1) g x 2 f 1 2x 0 với x ;0 thì 1- 2x Î (1;+ ¥ ). Dựa vào đồ thị hàm số ta thầy phương trình g x 2 f 1 2x 0 có 1 nghiệm duy nhất và f ¢(1- 2x)đổi dấu tạ nghiệm đó. Xét phương trình (2), phương trình này có vố số nghiệm bằng 0 trên nửa đoạn [0;1), do đó hàm số không có cực trị. Xét phương trình (3), g x 2 f 2x 1 0 với x 1; thì 2x- 1Î (1;+ ¥ ). Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trìn g x 2 f 2x 1 0 có 1 nghiệm duy nhất và f ¢(2x- 1)đổi dấu tại nghiệm đó. Do đó hàm số y g x f x x 1 có 2 điểm cực trị. Câu 8. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và đồ thị f x cho ở hình vẽ dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x2 f x 1 , biết rằng f 1 3 , f 1 5 , 20 f 4 13 và f 0 21, f 2 21. A. 5. B. 8. C. 6. D. 7. Câu 9. Cho hàm số f x có đồ thị hàm số y f ' x được cho như hình vẽ bên. 1 Hàm số y f x x2 f 0 có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng (-2;3) 2 A. 6 B. 2 C. 5 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn đáp án B. Trang 5
6. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 Xét hàm số có g x f x x2 f 0 có g ' x f ' x x 0 f ' x x. 2 Vẽ đồ thị hàm số y f ' x và đường thẳng y = -x trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có: x 2 Khi đó ta có * x 0 x 2 Phương trình g ' x 0 có 1 nghiệm đơn x 2 2;3 Hàm số y g x có 1 cực trị thuộc 2;3 1 Xét g x 0 f x x2 f 0 2 x2 Ta có f 0 f 0 x 2;3 2 BBT hàm số y f x x -2 a 0 b 3 f ' x + 0 - 0 - 0 + + f a f x f 2 f 0 f 3 f b Ta so sánh f 0 và f 3 b 3 Ta có f ' x dx f ' x dx f 0 f b f 3 f b f 0 f 3 0 b So sánh f 0 và f 2 . Ta có: a 0 f ' x dx f ' x dx f a f 2 f a f 0 f 2 f 0 2 a x2 Phương trình f x f 0 có tối đa nghiệm thuộc 2;3 2 Trang 6
7. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Phương trình g x 0 có tối đa 2 nghiệm Hàm số y g x có tối đa 1+2=3 cực trị Câu 10. Cho hàm số y f x và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f ' x . Hỏi đồ thị của hàm số g x 2 f x x 1 2 có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ? A. 9. B. 11. C. 8. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn B 2 Đặt h x 2 f x x 1 h' x 2 f ' x 2 x 1 . Ta vẽ thêm đường thẳng y x 1. Ta có h' x 0 f ' x x 1 x 0; x 1; x 2; x 3; x a a 1;2 Theo đồ thị h' x 0 f ' x x 1 x 0;1  a;2  3; . Lập bảng biến thiên của hàm số h x . x ∞ 0 1 a 2 3 +∞ + 0 h'(x) 0 0 0 + 0 + h(x) Đồ thị hàm số g x có nhiều điểm cực trị nhất khi h x có nhiều giao điểm với trục hoành nhất, vậy đồ thị hàm số h x cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy ra đồ thị hàm sốg x có tối đa 11 điểm cực trị. Câu 11. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có f 2 0 và đồ thị hàm số f x như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? Trang 7
8. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. Hàm số y f 1 x2018 nghịch biến trên khoảng ; 2 . B. Hàm số y f 1 x2018 có hai cực tiểu. C. Hàm số y f 1 x2018 có hai cực đại và một cực tiểu. D. Hàm số y f 1 x2018 đồng biến trên khoảng 2; . Hướng dẫn giải Chọn C Từ đồ thị của f x ta có bảng biến thiên sau: Từ giả thiết f 2 0 và 1 x2018 1 f 1 x2018 0 với mọi x . f t 0 khi t 2;1 x 2018 3; 2018 3 t Đặt t 1 x2018 , ta có f t 0 khi t ; 2  2; x ; 2018 3  2018 3; 2017 2018 2018.x . f t . f t Đặt g x f 1 x , ta có g x t 2 f 2 t Do đó , ta có bảng biến thiên của y g x như sau: Từ bảng biến thiên chọn C Trang 8
9. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 DẠNG 4 HÀM CHỨA THAM SỐ Câu 12. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f x x2 x 1 x2 2mx 5 với mọi x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 10 để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị? A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Hướng dẫn giải Chọn B Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f ( x ) nên yêu cầu bài toán Û f (x) có 2 điểm cực trị dương. (*) é 2 é êx = 0 êx = 0 ê ê Xét f ¢(x)= 0 Û êx + 1 = 0 Û êx = - 1 . Do đó (*)Û (1) có hai nghiệm dương phân biệt ê 2 ê 2 ëêx + 2mx + 5 = 0 ëêx + 2mx + 5 = 0 (1) ì 2 ï D ¢= m - 5 > 0 ï m>- 10 Û í S = - 2m > 0 Û m 0 Câu 13. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f x x2 x 1 x2 2mx 5 với mọi x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số g x f x có đúng 1 điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải é 2 é êx = 0 êx = 0 ê ê Chọn A Xét f ¢(x)= 0 Û êx + 1 = 0 Û êx = - 1 . Theo yêu cầu bài toán ta suy ra ê 2 ê 2 ëêx + 2mx + 5 = 0 ëêx + 2mx + 5 = 0 (1) ïì D ¢= m2 - 5 > 0 ï Trường hợp 1. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt Û íï S = - 2m 5. ï îï P = 5 > 0 Trường hợp này không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán. Trường hợp 2. Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Û D ¢= m2 - 5 £ 0 - Û - 5 £ m £ 5 ¾ m¾Î ¢¾® m Î {- 2;- 1}. Chọn A. Trang 9
10. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 3 5 Câu 14. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f x x 1 x2 m2 3m 4 x 3 với mọi x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x f x có 3 điểm cực trị? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải éx + 1 = 0 é ê êx = - 1 ê 2 2 ê Chọn B Xét f ¢(x)= 0 Û êx + m - 3m - 4 = 0 Û êx = - 3 . Yêu cầu bài toán Û (1) có hai nghiệm ê êx + 3 = 0 2 2 ëê ëêx + m - 3m - 4 = 0 (1) trái dấu Û m2 - 3m- 4 0 ¾ m¾Î [-¾5;5¾]® m Î {1; 2; 3; 4; 5}. Câu 16. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x3 2x2 x3 2x , với mọi x ¡ . Hàm số y f 1 2018x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 9.B. 2022.C. 11.D. 2018. Hướng dẫn giải Chọn đáp án A. Phương pháp: Số điểm cực trị của hàm số y g x là m + n, với m là số điểm cực trị của đồ thị hàm số y g x , n là số nghiệm của phương trình g x 0 (khác điểm cực trị). Cách giải: Ta có f ' x x3 2x2 x3 2x x3 x 2 x2 2 ;x ¡ . Số điểm cực trị của hàm số y g x f 1 2018x là tổng Số nghiệm phương trình g ' x 0 2018. f ' 1 2 18x 0  có 4 điểm. Số nghiệm của phương trình f 1 2018x 0  có tối đa 5 nghiệm vì đạo hàm có 4 nghiệm. Vậy hàm số đã cho có 9 điểm cực trị. Trang 10
11. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 17. Cho hàm số y f x xác định trên R và hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên dưới. Đặt g x f x m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x có 5 điểm cực trị? A. 3. B. 4.C. 5. D. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn D Từ đồ thị hàm số f ¢(x) ta thấy f ¢(x) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm) ¾¾® f (x) có 2 điểm cực trị dương ¾ ¾® f ( x ) có 5 điểm cực trị ¾ ¾® f ( x + m ) có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn D Chú ý: Đồ thị hàm số f ( x + m ) có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến. Đồ thị hàm số f ( x + m) có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng. Câu 18. Cho hàm số y f x xác định trên R và hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên dưới. Đặt g x f x m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x có đúng 5 điểm cực trị? A. 2. B. 3.C. 4. D. Vô số. Hướng dẫn giải éx = - 2 ê ¢ ¢ = Û ê = Chọn B Từ đồ thị f (x) ta có f (x) 0 êx 1 . Suy ra bảng biến thiên của f (x) ê ëx = 2 Yêu cầu bài toán Û hàm số f (x + m) có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f ( x + m) có đúng 5 điểm cực trị). Từ bảng biến thiên của f (x), suy ra f (x + m) luôn có 2 điểm cực trị dương Û tịnh tiến f (x )(sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn + Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị ¾¾® m < 1. + Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị ¾ ¾® m ³ - 2. Suy ra - 2 £ m< 1¾m¾Î ¢¾® mÎ {- 2;- 1;0}. Chọn B. Trang 11
12. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Trang 12