›
›
›

Bài tập Đại số Lớp 12 - Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số (Có lời giải)

docx 51 trang hangtran11 11/03/2022 2010
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số Lớp 12 - Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_dai_so_lop_12_chuyen_de_2_cuc_tri_cua_ham_so_co_loi.docx

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số (Có lời giải)

  1. Chuyên đề 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0 Bước 1. Tính y ' x0 , y '' x0 Bước 2. Giải phương trình y ' x0 0 m? y '' 0 x0 CT Bước 3. Thế m vào y '' x0 nếu giá trị y '' 0 x0 CD Dạng 1.1 Hàm số bậc 3 1 Câu 1. (Mã 110 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt 3 cực đại tại x 3. A. m 1 B. m 7 C. m 5 D. m 1 Lời giải Chọn C Ta có y x2 2mx m2 4 ; y 2x 2m . 1 y 3 0 Hàm số y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 khi và chỉ khi: 3 y 3 0 m 1 L 9 6m m2 4 0 m2 6m 5 0 m 5 TM . 6 2m 0 m 3 m 3 Vậy m 5 là giá trị cần tìm. Câu 2. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm m để hàm số y x3 2mx2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 1 A. không tồn tại m . B. m 1. C. m 1. D. m 1;2. Lời giải m 1 y 1 0 3 4m m 0 Để x 1 là điểm cực tiểu của hàm số 3 m 1. y 1 0 6 4m 0 m 2 Thử lại với m 1, ta có y x3 2x2 x 1 ; y 3x2 4x 1. x 1 2 y 0 3x 4x 1 0 1. x 3 Bảng biến thiên: Quan sát bảng biến thiên ta thấy m 1 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3x2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 2 . A. m 0 . B. m 4 . C. 0 m 4 . D. 0 m 4 . Lời giải Chọn A Trang 1
  2. y 3x2 6x m ; y 6x 6. y 2 0 m 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 m 0 . y 2 0 6 0 Câu 4. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3. 3 A. m 1,m 5 . B. m 5 . C. m 1. D. m 1. Lời giải Tập xác định ¡ . Ta có y x2 2mx m2 4, y 2x 2m. 1 Để hàm số y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 thì 3 2 m 5 y 3 0 m 6m 5 0 m 1 m 5 y 3 0 6 2m 0 3 m Câu 5. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Có bao nhiêu số thực m để hàm số 1 y x3 mx2 m2 m 1 x 1 đạt cực đại tại x 1. 3 A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Lời giải Chọn C y ' x2 2mx m2 m 1 y '' 2x 2m y ' 1 0 m2 3m 2 0 m 1  m 2 Hàm số đạt cực đại tại x 1 nên ta có m 2 y '' 1 0 2 2m 0 m 1 Thử lại với m 2 ta có y '' 2x 4 y '' 1 2 0 Do đó Hàm số đạt cực đại tại x 1 Câu 6. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3. 3 A. m 1,m 5. B. m 5 . C. m 1. D. m 1. Lời giải Chọn B Tập xác định ¡ . Ta có y x2 2mx m2 4, y 2x 2m. 1 Để hàm số y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 thì 3 2 m 5 y 3 0 m 6m 5 0 m 1 m 5. y 3 0 6 2m 0 3 m Câu 7. (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - 2019) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y x3 3m 1 x2 m2 x 3 đạt cực tiểu tại x 1. A. 5;1 . B. 5 . C.  . D. 1 . Trang 2
  3. Lời giải Chọn B Ta có y 3x2 2 3m 1 x m2 y 6x 6m 2 . m 1 2 f 1 0 m 6m 5 0 m 5 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 m 5 . f 1 0 6m 8 0 4 m 3 Câu 8. (THPT Kinh Môn - 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y x3 mx2 m 1 x 1 đạt cực đại tại x 2 ? 3 A. m 2 .B. m 3 . C. Không tồn tại m . D. m 1. Lời giải Chọn D Ta có y x2 2mx m 1. Giả sử x 2 là điểm cực đại của hàm số đã cho, khi đó y 2 0 2 2 2m 2 m 1 0 5m 5 0 m 1. 1 Với m 1, ta có y x3 x2 1. 3 2 2 x 2 y x 2x ; y 0 x 2x 0 . x 0 Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận m 1 là giá trị cần tìm. Câu 9. (Chuyên ĐHSPHN - Lần 3 - 2019) Tập hợp các số thực m để hàm số y x3 3mx2 (m 2)x m đạt cực tiểu tại x 1 là. A. 1 . B. 1 . C.  . D. R . Lời giải ChọnC. y 3x2 6mx m 2 y 6x 6m y (1) 0 5m 5 0 m 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1khi không có giá trị của m . y (1) 0 6 6m 0 m 1 Dạng 1.2 Hàm số đa thức bậc cao, hàm căn thức Câu 10. (Chuyên QH Huế - Lần 2 - 2019) Xác định tham số m sao cho hàm số y x m x đạt cực trị tại x 1. A. m 2 . B. m 2 . C. m 6 . D. m 6 . Lời giải Chọn A Trang 3
  4. m y f x 1 , x 0 2 x m Để hàm số đạt cực trị tại x 1 thì f 1 0 1 0 m 2 . 2 Thử lại với m 2 , hàm số y x 2 x có cực tiểu tại x 1, do đó m 2 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 11. (Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y m 1 x 4 m 2 2 x 2 2019 đạt cực tiểu tại x 1. A. m 0. B. m 2. C. m 1. D. m 2 . Lời giải Chọn D Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 4 m 1 x3 2 m2 2 x . 2 m 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 y 1 0 4 m 1 2 m 2 0 . m 2 Với m 0 , hàm số trở thành y x4 2x2 2019 . Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại x 1. Với m 2 , hàm số trở thành y x4 2x2 2019 . Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại x 1. Vậy m 2 thì hàm số y m 1 x 4 m 2 2 x 2 2019 đạt cực tiểu tại x 1. Câu 12. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số y f x xác định trên tập số thực ¡ và có 3 đạo hàm f ' x x sin x x m 3 x 9 m2 x ¡ ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 0 ? A. 6 B. 7 C. 5 D. 4 Lời giải Điều kiện 9 m2 0 3 m 3 TH 1: 0 m 3 ta có BTT TH 2: 3 m 0 ta có BTT TH 2: m 3 ta có BTT Từ đó suy ra 3 m 3 có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Trang 4
  5. Câu 13. (Mã 101 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x8 m 2 x5 m2 4 x4 1 đạt cực tiểu tại x 0 ? A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4 Lời giải Chọn D Ta có y x8 m 2 x5 m2 4 x4 1 y 8x7 5 m 2 x4 4 m2 4 x3 . y 0 x3 8x4 5 m 2 x 4 m2 4 0 x 0 4 2 g x 8x 5 m 2 x 4 m 4 0 Xét hàm số g x 8x4 5 m 2 x 4 m2 4 có g x 32x3 5 m 2 . Ta thấy g x 0 có một nghiệm nên g x 0 có tối đa hai nghiệm + TH1: Nếu g x 0 có nghiệm x 0 m 2 hoặc m 2 Với m 2 thì x 0 là nghiệm bội 4 của g x . Khi đó x 0 là nghiệm bội 7 của y và y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x 0 nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 2 thỏa ycbt. x 0 4 Với m 2 thì g x 8x 20x 0 5 . x 3 2 Bảng biến thiên Dựa vào BBT x 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 2 không thỏa ycbt. + TH2: g 0 0 m 2 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 g 0 0 m2 4 0 2 m 2 . Do m ¢ nên m 1;0;1. Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa ycbt. Câu 14. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số x5 mx4 y = - + 2 đạt cực đại tại x = 0 là: 5 4 A. m Î ¡ . B. m 0 . Lời giải Chọn D x5 mx4 Đặt f (x)= - + 2 . 5 4 Ta có: f ¢(x)= x4 - mx3 . Khi m = 0 thì f ¢(x)= x4 ³ 0 , " x Î ¡ nên hàm số không có cực trị. éx = 0 Khi m ¹ 0 , xét f ¢(x)= 0 Û x4 - mx3 = 0 Û x3 (x- m)= 0 Û ê . ëêx = m Trang 5
  6. + Trường hợp m > 0 ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 . + Trường hợp m 0 . Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2019;2019 để hàm số m 1 m 2 y x5 x4 m 5 đạt cực đại tại x 0 ? 5 4 A. 101. B. 2016 . C. 100. D. 10. Lời giải Chọn B 3 Ta xét: m 1 y x4 6 y 3x3 y 0 x 0 . 4 Ta có, bảng xét dấu y 2x3 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x 0 là điểm cực tiểu. Suy ra m 1(loại). x1 0 4 3 Ta xét: m 1 y m 1 x m 2 x y ' 0 m 2 . x 2 m 1 Trường hợp 1: xét m 1, suy ra x2 x1 . Ta có, bảng xét dấu y m 1 x4 m 2 x3 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x 0 là điểm cực tiểu. Suy ra m 1(loại). Trường hợp 2: 2 m 1, suy ra x2 x1 . Ta có, bảng xét dấu y m 1 x4 m 2 x3 Trang 6
  7. Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x 0 là điểm cực tiểu. Suy ra 2 m 1 (loại). Trường hợp 3: m 2 , suy ra x2 x1 . Ta có, bảng xét dấu y m 1 x4 m 2 x3 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x 0 là điểm cực đại. Suy ra m 2 (nhận). Vậy, tập hợp tất cả các giá trị của tham số mthỏa mãn đề bài là m 2 mà m thuộc khoảng 2019;2019 . Suy ra, số giá trị nguyên của m là 2016. Câu 16. (Mã 104 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x8 m 3 x5 m2 9 x4 1 đạt cực tiểu tại x 0 ? A. 6 B. Vô số C. 4 D. 7 Lời giải Chọn A Ta có y x8 m 3 x5 m2 9 x4 1 y 8x7 5 m 3 x4 4 m2 9 x3 . y 0 x3 8x4 5 m 3 x 4 m2 9 0 x 0 4 2 g x 8x 5 m 3 x 4 m 9 0 Xét hàm số g x 8x4 5 m 3 x 4 m2 9 có g x 32x3 5 m 3 . Ta thấy g x 0 có một nghiệm nên g x 0 có tối đa hai nghiệm +) TH1: Nếu g x 0 có nghiệm x 0 m 3 hoặc m 3 Với m 3 thì x 0 là nghiệm bội 4 của g x . Khi đó x 0 là nghiệm bội 7 của y và y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x 0 nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 3 thỏa ycbt. x 0 4 Với m 3 thì g x 8x 30x 0 15 . x 3 4 Bảng biến thiên Dựa vào BBT x 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 3 không thỏa ycbt. +) TH2: g 0 0 m 3. Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 g 0 0 m2 9 0 3 m 3. Trang 7
  8. Do m ¢ nên m 2; 1;0;1;2 . Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt. Câu 17. (Mã 103 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x8 m 4 x5 m2 16 x4 1 đạt cực tiểu tại x 0 . A. 8 B. Vô số C. 7 D. 9 Lời giải Chọn A 7 4 2 3 3 4 2 3 Ta có y ' 8x 5 m 5 x 4 m 16 x x 8x 5 m 4 x 4 m 16 x .g x Với g x 8x4 5 m 5 x 4 m2 16 . ● Trường hợp 1: g 0 0 m 4 . Với m 4 y ' 8x7 . Suy ra x 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Với m 4 y ' 8x4 x3 5 . Suy ra x 0 không là điểm cực trị của hàm số. ● Trường hợp 2 : g 0 0 m 4. Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì qua giá trị x 0 dấu của y ' phải chuyển từ âm sang dương do đó g 0 0 4 m 4 . Kết hợp hai trường hợp ta được 4 m 4 . Do m ¢ m 3; 2; 1;0;1;2;3;4 . Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x12 (m 5)x7 (m2 25)x6 1 đạt cực đại tại x 0 ? A. 8 B. 9 C. Vô số D. 10 Lời giải Chọn B Ta có y ' 12x11 7(m 5)x6 6(m2 25)x5 TH1: m 5 y ' 12x11 . Khi đó y ' 0 x 0 là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu của y’ đổi từ âm sang dương, nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số,do đó không thỏa mãn, m 5 loại. TH2: m 5 y ' x6 (12x5 70) 0 x 0 là nghiệm bội chẵn, do đó y’ không đổi dấu khi đi qua x 0 , m 5 loại. 5 6 2 5 TH3: m 5 y ' x 12x 7(m 5)x 6(m 25) x .g(x) Với g(x) 12x6 7(m 5)x 6(m2 25) , ta thấy x 0 không là nghiệm của g x . Để hàm số đạt cực đại tại x 0 thì y’ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 0 , xảy ra khi lim g(x) 0 x 0 2 và chỉ khi 6(m 25) 0 5 m 5 lim g(x) 0 x 0 Vì m nguyên nên m 4; 3; ;3;4 , vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Câu49. Cho hàm số y x6 4 m x5 16 m2 x4 2 . Gọi S là tập hợp các gia trị m nguyên dương để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 0 . Tổng các phần tử của S bằng A. 10. B. 9. C. 6. D. 3. Lời giải. Chọn C Ta có y 6x5 5 4 m x4 4 16 m2 x3 x3 6x2 5 4 m x 16 m2 . 3 x 0 y 0 . 2 2 6x 5 4 m x 16 m 0 * Trang 8
  9. * có 4 m 49m 4 . 0 Với mọi m nguyên dương thì 5 4 m do đó ta xét các trường hợp sau: 0 6 2 Trường hợp 1: 16 m 0 0 m 4 : * có hai nghiệm âm phân biệt x1, x2 x1 x2 , ta có bảng xét dấu y như sau: Lúc này x 0 là điểm cực tiểu. 2 Trường hợp 2: 16 m 0 m 4: * có hai nghiệm trái dấu x1, x2 x1 0 x2 , ta có bảng xét dấu y như sau: Từ đây suy ra x 0 là điểm cực đại (không thỏa mãn). Trường hợp 3: * có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm, lúc này x 0 là nghiệm bội 4 của đạo hàm nên không phải là điểm cực trị. Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3. Tổng các phần tử của S bằng 6. Câu 19. (Mã 102 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x8 (m 1)x5 (m2 1)x4 1 đạt cực tiểu tại x 0? A. 3 B. 2 C. Vô số D. 1 Lời giải Chọn B Ta có: y ' 8x7 5(m 1)x4 4(m2 1)x3 1 x3 8x4 5 m 1 x 4 m2 1 x 0 y ' 0 4 2 8x 5 m 1 x 4 m 1 0 (1) *Nếu m 1 thì y ' 8x7 , suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . x 0 x 0 *Nếu m 1 thì y ' 0 , nhưng x 0 là nghiệm bội chẵn nên 4 5 8x 10x 0 x 3 4 không phải cực trị. *Nếu m 1 : khi đó x 0 là nghiệm bội lẻ. Xét g(x) 8x4 5 m 1 x 4 m2 1 . Để x 0 là điểm cực tiểu thì lim g(x) 4(m2 1) 0 m2 1 0 1 m 1. Vì m nguyên nên chỉ x 0 có giá trị m 0 . Vậy chỉ có hai tham số m nguyên để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 là m 0 và m 1. Dạng 2. Tìm m để hàm số có n cực trị g Hàm số có n cực trị Û y¢= 0 có n nghiệm phân biệt. g Xét hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d : ì ï a ¹ 0 + Hàm số có hai điểm cực trị khi íï . ï b2 - 3ac > 0 îï + Hàm số không có cực trị khi y¢= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. g Xét hàm số bậc bốn trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c. Trang 9
  10. + Hàm số có ba cực trị khi ab 0 . D. ab ³ 0 . Lời giải Chọn C Ta có y = x3 + 3(a + b)x2 + 3(a2 + b2 )x + a3 + b3 . y¢= 3x2 + 6(a + b)x + 3(a2 + b2 ). Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y¢ có hai nghiệm phân biệt Û D¢= 18ab > 0 Û ab > 0 . Câu 2. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số 3 2 y mx 2mx (m 2)x 1 không có cực trị A. m ( ;6)  (0; ) . B. m 6;0 . C. m  6;0 . D. m  6;0. Lời giải Chọn D Ta có y ' 3mx2 4mx (m 2) . + Nếu m 0 . y ' 2 0 (x ¡ ) . Nên hàm số không có cực trị. Do đó m 0 (chọn) (1). + Nếu m 0 . Hàm số không có cực trị y 'không đổi dấu ' 0 4m2 3m(m 2) 0 m2 6m 0 6 m 0 (do m 0 ) (2). Kết hợp (1) và (2) ta được 6 m 0 . Câu 3. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y m 1 x4 2 m 3 x2 1 không có cực đại? A. 1 m 3 B. m 1 C. m 1 D. 1 m 3 Lời giải Chọn D TH1: Nếu m 1 y 4x2 1. Suy ra hàm số không có cực đại. TH2: Nếu m 1. Để hàm số không có cực đại thì 2 m 3 0 m 3. Suy ra 1 m 3. Vậy 1 m 3. Câu 4. (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019) Để đồ thị hàm số y x4 m 3 x2 m 1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì tất cả các giá trị thực của tham số m là A. m 3 . B. m 3 . C. m 3. D. m 3 . Lời giải Chọn A y ' 4x3 2 m 3 x 2x 2x2 m 3 . x 0 y ' 0 3 m . x2 2 Vì hàm số đã cho là hàm trùng phương với a 1 0 nên hàm số có điểm cực đại mà không có 3 m điểm cực tiểu y ' 0 có đúng 1 nghiệm bằng 0 0 m 3. 2 Trang 10
  11. Câu 5. (Quang Trung - Bình Phước - Lần 5 - 2019) Cho hàm số y x4 2mx2 m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị A. m 0 . B. m 0 . C. m 0 . D. m 0 . Lời giải Chọn A Tập xác định D ¡ . y ' 4x3 4mx 4x x2 m . x 0 2 y ' 0 4x x m 0 2 x m Hàm số có 3 cực trị y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 0 m 0 . Câu 6. (Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y m2 x4 m2 2019m x2 1 có đúng một cực trị? A. 2019 . B. 2020 . C. 2018 . D. 2017 . Lời giải Chọn A Trường hợp 1: m 0 y 1 nên hàm số không có cực trị. m 0 (loại). Trường hợp 2: m 0 m2 0 . Hàm số y m2 x4 m2 2019m x2 1 có đúng một cực trị m2. m2 2019m 0 m2 2019m 0 0 m 2019 . Vì m 0 0 m 2019 . Do m ¢ nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề. Câu 7. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y x3 3 m 1 x2 3 7m 3 x . Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. Vô số. Lời giải Chọn B Ta có: y 3x2 6 m 1 x 3 7m 3 . y 0 x2 2 m 1 x 7m 3 0 . Để hàm số không có cực trị thì 0 m 1 2 7m 3 0 m2 5m 4 0 1 m 4. Do m ¢ S 1;2;3;4 . Vậy S có 4 phần tử. Câu 8. (HSG - TP Đà Nẵng - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x4 4mx3 3 m 1 x2 1 có cực tiểu mà không có cực đại. 1 7 1 7 A. m ; . B. m ;1  1. 3 3 1 7 1 7 1 7 C. m ; . D. m ;  1. 3 3 3 Lời giải Chọn D Ta có: y 4x3 12mx2 6 m 1 x . Trang 11
  12. + TH1: m 1, ta có: y 4x3 12x2 4x2 (x 3) . Bảng xét dấu Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất. x 0 Ta có: y 0 2 2x 6mx 3m 3 0(*) + TH2: m 1 Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình * không có hai nghiệm phân biệt 2 1 7 1 7 3m 2 3m 3 0 m . 2 2 1 7 1 7 Vậy m ;  1. 3 3 Câu 9. (HSG 12 - Bắc Ninh - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x2 x 1 x2 2mx 5 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị? A. 0 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn C Hàm số f x có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức g x x2 2mx 5 vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x 1, hoặc g x có nghiệm kép x 1 0 2 g m 5 0 g 1 0 2m 6 0 5 m 5 Tức là . Do đó tập các giá trị nguyên thỏa mãn 2 g 0 m 5 0 m 3 b m 1 1 a 0 g 0 g yêu cầu bài toán là S 2, 1, 0, 1, 2, 3 . Câu 10. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x3 y mx2 2mx 1 có hai điểm cực trị. 3 m 2 A. 0 m 2. B. m 2. C. m 0. D. . m 0 Lời giải Ta có: y x2 2mx 2m x3 Hàm số y mx2 2mx 1 có hai điểm cực trị y 0 có hai nghiệm phân biệt 3 2 m 2 m 2m 0 . m 0 Câu 11. (THPT Ba Đình 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3x2 2mx m có cực đại và cực tiểu? Trang 12
  13. 3 3 3 3 A. m . B. m . C. .m D. . m 2 2 2 2 Lời giải + TXĐ: D ¡ + y 3x2 6x 2m + Hàm số có cực đại và cực tiểu y 0 có 2 nghiệm phân biệt. 3 36 24m 0 m . 2 1 Câu 12. (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập hợp các giá trị của m để hàm số y x3 mx2 m 2 x 1 có 3 hai cực trị là: A. ; 12; B. ; 1  2; C. 1;2 D.  1;2 Lời giải Chọn B Ta có y x2 2mx m 2 . Để hàm số có hai cực trị thì y 0 có hai nghiệm phân biệt nên 2 m 1 y 0 0 m m 2 0 m 2 Câu 13. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho hàm số y mx4 x2 1. Tập hợp các số thực m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là A. 0; . B. ;0 . C. 0; . D. ;0 . Lời giải Tập xác định D ¡ . TH1: m 0 hàm số đã cho trở thành y x2 1 là một hàm bậc hai nên luôn có một cực trị. TH2: m 0 , ta có y 4mx3 2x . x 0 3 2 y 0 4mx 2x 0 2x 2mx 1 0 2 . 2mx 1 0 Để hàm số có đúng một cực trị thì phương trình y 0 có đúng 1 nghiệm. Ycbt Phương trình có một nghiệm x 0 hoặc vô nghiệm suy ra m 0 . Vậy m 0 . Câu 14. (THPT Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y mx4 (2m 1)x2 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có đúng một điểm cực tiểu. 1 1 A. Không tồn tại m . B. m 0. C. m . D. m 0. 2 2 Lời giải Với m 0, ta có y x2 1 y ' 2x . Khi đó hàm số có 1 cực trị và cực trị đó là cực tiểu. Suy ra m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. (1) Với m 0 , ta có y ' 4mx3 2(2m 1)x 2x(2mx2 2m 1) m 0 Hàm số có một cực trị là cực tiểu 2 2mx 2m 1 0 vô nghiêm m 0 m 0 1 2m 1 m m 0 (2) 0 2 2m m 0 Từ (1) và (2) suy ra hàm số có một cực trị là cực tiểu khi m 0. Trang 13
  14. Câu 15. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x4 + 2(m2 - m- 6)x2 + m- 1có ba điểm cực trị. A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Ta có y¢= 4x3 + 4 m2 - m- 6 x = 4x éx2 + m2 - m- 6 ù. ( ) ëê ( )ûú éx = 0 y¢= 0 Û ê êx2 + m2 - m- 6 = 0(1) ëê ( ) Hàm số có ba điểm cực trị Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û m2 - m- 6 < 0 Û - 2 < m < 3 . Ta có: m Î ¢ ,- 2 < m < 3 Û m Î {- 1;0;1;2}. Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số mđể hàm số có ba điểm cực trị. Câu 16. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số y mx4 m 1 x2 1 2m có một điểm cực trị khi A. 0 m 1. B. m 0 m 1. C. m 0. D. m 0 m 1. Lời giải Trường hợp 1: m 0 thì hàm số đã cho trở thành y x2 1. Hàm số này có 1 cực trị là cực đại m 0 thỏa mãn. Trường hợp 2: m 0 thì hàm số đã cho trở thành y mx4 m 1 x2 1 2m x 0 2x 0 Ta có y 4mx3 2 m 1 x 2x 2mx2 m 1 ; y 0 2 2 1 m 2mx m 1 0 x * 2m YCBT y đổi dấu một lần Phương trình * vô nghiệm hoặc có nghiệm x 0. 1 m m 1 0 2m m 0 Kết hợp hai trường hợp ta được 0 m m 1. m 1 Giải nhanh: Với a khác 0 thì hàm số đã cho có 1 cực trị ab 0 m m 1 0 . m 0 Câu 17. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền  10;10 để hàm số y x4 2 2m 1 x2 7 có ba điểm cực trị? A. 20 B. 10 C. Vô số D. 11 Lời giải Chọn D 2 Ta có y' 4x x 2m 1 x . x 0 y 0 2 x 2m 1 * Hàm số đã cho có ba cực trị khi và chỉ khi y 0 có ba nghiệm phân biệt, hay (*) có hai nghiệm 1 phân biệt khác 0 2m 1 0 m . 2 Do m  10;10 nên có 11 giá trị thỏa mãn. Câu 18. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số y mx4 m2 6 x2 4 . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ? A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 Lời giải Trang 14
  15. Chọn C Tập xác định D ¡ . Ta có y 4mx3 2 m2 6 x . Hàm số đã cho có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại khi và 4m 0 chỉ khi 2 0 m 6 . m m 6 0 Do đó có hai giá trị nguyên của tham số m . Câu 19. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx4 m 1 x2 1 2m có một cực trị. A. m 1 B. m 0 C. 0 m 1 D. m 0  m 1 Lời giải Chọn D Ta có: y 4mx3 2 m 1 x  Trường hợp 1: Xét m 0 y 2x . Ta thấy phương trình y 0 đổi dấu một lần nên hàm số có một điểm cực trị. Suy ra m 0 (thoả YCBT) (1)  Trường hợp 2: Xét m 1 y 4x3 .Ta thấy phương trình y 0 đổi dấu một lần nên hàm số có một điểm cực trị. Suy ra m 1 (thoả YCBT) (2) x 0  Trường hợp 3: Xét m 0 , y 0 1 m x2 2m 1 m m 0 Để hàm số có một điểm cực trị thì 0 (3) 2m m 1 m 0 Từ (1), (2) và (3) suy ra m 1  Ghi chú: Dùng công thức tính nhanh m 0 Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi m m 1 0 . m 1 Câu 20. (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f x có đạo hàm 2 4 3 2 f x x x 2 x 4 x 2 m 3 x 6m 18 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị? B. 7 . B. 5 . C. 8. D. 6 . Lời giải Chọn C 2 x 0 x 0 4 x 2 0 x 2 Ta có f x 0 3 x 4 x 4 0 2 2 x 2 m 3 x 6m 18 0 * x 2 m 3 x 6m 18 0 Để hàm số f x có đúng một điểm cực trị Phương trình * vô nghiệm, có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là 4. Trường hợp 1. Phương trình * vô nghiệm 4m2 24m 36 24m 72 4m2 36 0 3 m 3 m 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 Trang 15
  16. 2 m 3 Trường hợp 2. Phương trình * có nghiệm kép 4m 36 0 . m 3 Trường hợp 3. Phương trình * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Trong đó x1 4. 2 m 3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 4m 36 0 . m 3 S x1 x2 4 x2 2m 6 Theo định lí Viète ta có P x1.x2 4.x2 6m 18 x 2m 2 2 3 9 3 9 2m 2 m m 5. x m 2 2 2 2 2 Vậy m 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 21. (Chuyên Sơn La - 2020) Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị trên ¡ . 1 1 1 f (x) m2.e4x m.e3x e2x (m2 m 1)ex . Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 4 3 2 2 2 1 A. - B. . C. . D. - 1. 3 3 3 Lời giải Chọn A f '(x) m2.e4x m.e3x e2x (m2 m 1)ex ex (m2.e3x m.e2x ex m2 m 1) 0 m2.e3x m.e2x ex m2 m 1 0. Đặt t ex 0 ta có Ta có: m2t 3 mt 2 t m2 m 1 0 m2(t 3 1) m(t 2 1) 1 t 0 (t 1)[m2(t 2 t 1) m(t 1) 1) 0 (t 1)[m2t 2 (m2 m)t m2 m 1] 0 Điều kiện cần để hàm số không có cực trị thì phương trình m2t 2 (m2 m)t m2 m 1 có 1 nghiệm t 1 3m2 2m 1 0 m 1, m . 3 Thử lại ta thấy với hai giá trị m trên ta đều có nghiệm đơn t 1. 1 Vậy hai giá trị m 1, m thỏa mãn. 3 Dạng 3. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị Phương trình hai đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba là phần dư của phép chia của y cho y ' y1 h(x1) Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y ) : y y q(x) h(x)  y2 h(x2 ) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y h(x). Câu 1. (Mã 123 - 2017) Đồ thị hàm số y x3 3x2 9x 1 có hai cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ? A. M 0; 1 B. N 1; 10 C. P 1;0 D. Q 1;10 Lời giải Chọn B Trang 16
  17. Ta có: y 3x2 6x 9 thực hiện phép chia y cho y ta được số dư là y 8x 2 . Như thế điểm N 1; 10 thuộc đường thẳng AB . Câu 2. (Mã 104 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 2m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 1. 3 3 1 1 A. m B. m C. m D. m 2 4 2 4 Lời giải Chọn B Ta có y 3x2 6x . Từ đó ta có tọa độ hai điểm cực trị A 0;1 , B 2; 3 . Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình y 2x 1. Đường thẳng này vuông góc với đường thẳng 3 y 2m 1 x 3 m khi và chỉ khi 2m 1 2 1 m . 4 Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2m 1 x m 3 song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 1 3 1 3 1 A. m . B. m . C. m . D. m . 4 2 4 2 Lời giải Chọn D 3 2 2 x 0 Hàm số y x 3x 1 có TXĐ: R ; y 3x 6x ; y ' 0 x 2  Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A 0;1 , B 2; 3 AB 2; 4 . x y 1 Đường thẳng d đi qua hai điểm A , B có phương trình: y 2x 1. 2 4 2m 1 2 1 Đường thẳng y 2m 1 x m 3 song song với đường thẳng d m . m 3 1 2 Câu 4. Đồ thị của hàm số y x3 3x2 9x 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB . A. P 1;0 . B. M 0; 1 . C. N 1; 10 . D. Q 1;10 . Lời giải TXĐ: D ¡ . y ' 3x2 6x 9. 2 x 1 y 6 y ' 0 3x 6x 9 0 x 3 y 26  Ta có A 1;6 , B 3; 26 AB 4; 32 nên ) Chọn n AB 8;1 . Phương trình đường thẳng AB là: 8 x 1 1 y 6 0 8x y 2 0. Thay tọa độ các điểm P, M , N,Q vào phương trình đường thẳng AB ta có điểm N 1; 10 thuộc đường thẳng. Câu 5. (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 1. 1 1 1 1 A. . B. . C. m . D. . 3 6 6 3 Trang 17
  18. Lời giải Chọn B Xét hàm số y x3 3x2 1 2 1 1 Có : y 3x 6x , y x y 2x 1. 3 3 Do đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này có phương trình là y 2x 1. 1 Để d vuông góc với thì 3m 1 . 2 1 m . 6 1 Vậy giá trị cần tìm của m là m . 6 Câu 6. (TT Tân Hồng Phong - 2018) Tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2x3 3 m 1 x2 6m 1 2m x song song đường thẳng y 4x . 1 2 2 A. m . B. m . C. m . D. m 1. 3 3 3 Lời giải Chọn A 2 x m Ta có y 6x 6 m 1 x 6m 1 2m , y 0 . x 1 2m 1 Để hàm số có hai cực trị thì m 1 2m m . 3 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A m; 7m3 3m2 , B 1 2m;20m3 24m2 9m 1 . Do  3 2 đó AB 1 3m; 3m 1 . Do đó AB có vectơ pháp tuyến là n 3m 1 ;1 . Do đó AB : 3m 1 2 x y 2m3 3m2 m 0 y 3m 1 2 x 2m3 3m2 m . Để đường thẳng AB song song với đường thẳng y 4x thì: m 1 1 m 2 3 3m 1 4 1 m 0 m . 2m3 3m2 m 0 3 1 m 2 m 1 Câu 7. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- 2018) Biết đồ thị hàm số y x3 3x 1 có hai điểm cực trị A , B . Khi đó phương trình đường thẳng AB là A. y 2x 1. B. y 2x 1. C. y x 2. D. y x 2 . Lời giải Chọn B 1 Thực hiện phép chia y cho y ta được: y y . x 2x 1 . 3 Giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là: A x1; y1 và B x2 ; y2 . 1 y1 y x1 y x1 . x1 2x1 1 2x1 1 3 Ta có: . 1 y2 y x2 y x2 . x2 2x2 1 2x2 1 3 Trang 18
  19. Ta thấy, toạ độ hai điểm cực trị A và B thoả mãn phương trình y 2x 1. Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y 2x 1. Câu 8. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x3 2x2 m 3 x m có hai điểm cực trị và điểm M 9; 5 nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị. A. m 1. B. m 5. C. m 3. D. m 2. Lời giải Chọn C Ta có y 3x2 4x m 3, để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y 0 có hai nghiệm 13 phân biệt 0 m * 3 1 2 2m 26 7m 2 Ta có y y . x x nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 3 9 3 9 9 3 2m 26 7m 2 cực trị là y x . Theo giả thiết, đường thẳng này đi qua M 9; 5 nên m 3 3 9 9 3 (thỏa mãn điều kiện * ). Câu 9. (Nguyễn Khuyến 2019) Đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 2x m đi qua điểm M 3;7 khi m bằng bao nhiêu? A. 1. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải Chọn C Tập xác định: D ¡ . y 3x2 2 . 3 1 4 y x 2x m x.y x m 3 3 4 Suy ra đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình là y x m 3 4 đường thẳng này đi qua điểm M 3;7 khi và chỉ khi 7 . 3 m m 3 . 3 Câu 10. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 1. 1 1 1 1 A. m . B. . C. . D. . 6 3 3 6 Lời giải Xét hàm số y x3 3x2 1 2 1 1 Có : y 3x 6x , y x y 2x 1. 3 3 Do đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này có phương trình là y 2x 1. 1 Để d vuông góc với thì 3m 1 . 2 1 m . 6 1 Vậy giá trị cần tìm của m là m . 6 Câu 11. (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Giả sử A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f x x3 ax2 bx c và đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của P abc ab c . Trang 19
  20. 16 25 A. . B. 9 . C. . D. 1. 25 9 Lời giải TXĐ D ¡ . f x 3x2 2ax b . Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là f x 0 có hai nghiệm phân biệt a2 3b 0 . Lấy f x chia cho f x . 1 1 2 2 1 Ta có f x f x . x a b x c ab . 3 9 3 9 9 2 2 1 Suy ra đường thẳng đi qua A , B là: y b x c ab d . 3 9 9 1 Theo đầu bài d đi qua gốc tọa độ c ab 0 ab 9c . 9 2 2 5 25 Khi đó P abc ab c P 9c 10c P 3c . 3 9 25 Suy ra min P . 9 Câu 12. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3mx2 2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng. A. m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 ; m 2 . Lời giải Ta có: y 3x2 6mx ; y 0 3x2 6mx 0 x 0 , x 2m . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt 2m 0 m 0 . Khi đó hai điểm cực trị là A 0;2 , B 2m;2 4m3 .   Ta có MA 1;4 , MB 2m 1;4 4m3 .   Ba điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng MA , MB cùng phương 2m 1 4 4m3 2m 1 1 m3 2m 1 m3 1 m3 2m 1 4 1 1 m2 2 m 2 (do m 0 ). Dạng 4. Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước  Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f (x;m) ax3 bx2 cx d. Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước?  Phương pháp: — Bước 1. Tập xác định D ¡ . Tính đạo hàm: y 3ax2 2bx c. ay 3a 0 — Bước 2. Để hàm số có 2 cực trị y 0 có 2 nghiệm phân biệt 2 y (2b) 4.3ac 0 và giải hệ này sẽ tìm được m D1. b S x x 1 2 a — Bước 3. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y 0. Theo Viét, ta có:  c P x x 1 2 a Trang 20
  21. — Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P. Từ đó giải ra tìm được m D2. — Bước 5. Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m D1  D2.  Lưu ý: — Hàm số bậc 3 không có cực trị y 0 không có 2 nghiệm phân biệt y 0. — Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẳng, tức là cần xác định tọa độ 2 điểm cực trị A(x1; y1), B(x2 ; y2 ) với x1, x2 là 2 nghiệm của y 0. Khi đó có 2 tình huống thường gặp sau: Nếu giải được nghiệm của phương trình y 0, tức tìm được x1, x2 cụ thể, khi đó ta sẽ thế vào hàm số đầu đề y f (x;m) để tìm tung độ y1, y2 tương ứng của A và B. Nếu tìm không được nghiệm y 0, khi đó gọi 2 nghiệm là x1, x2 và tìm tung độ y1, y2 bằng cách thế vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị. Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y ) , nghĩa là: y1 h(x1) Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y ) : y y q(x) h(x)  y2 h(x2 ) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y h(x). Dạng toán: Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (cùng phía, khác phía d): Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng: Cho 2 điểm A(xA; yA ), B(xB ; yB ) và đường thẳng d : ax by c 0. Khi đó: Nếu (axA byA c)(axB byB c) 0 thì A, B nằm về 2 phía so với đường thẳng d. Nếu (axA byA c)(axB byB c) 0 thì A, B nằm cùng phía so với đường d. Trường hợp đặc biệt: Để hàm số bậc ba y f (x) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung Oy phương trình y 0 có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại. Để hàm số bậc ba y f (x) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hoành Ox đồ thị hàm số y f (x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm f (x) 0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm). Dạng toán: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (đối xứng và cách đều):  Bài toán 1. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua đường d : — Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1. — Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B. Có 2 tình huống thường gặp: + Một là y 0 có nghiệm đẹp x1, x2 , tức có A(x1; y1), B(x2 ; y2 ). + Hai là y 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A(x1; y1), B(x2 ; y2 ) . x1 x2 y1 y2 — Bước 3. Gọi I ; là trung điểm của đoạn thẳng AB. 2 2    d AB ud 0 Do A, B đối xứng qua d nên thỏa hệ m D2. I d I d — Bước 4. Kết luận m D1  D2.  Bài toán 2. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng Trang 21
  22. d : — Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1. — Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B. Có 2 tình huống thường gặp: + Một là y 0 có nghiệm đẹp x1, x2 , tức có A(x1; y1), B(x2 ; y2 ). + Hai là y 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A(x1; y1), B(x2 ; y2 ) . — Bước 3. Do A, B cách đều đường thẳng d nên d(A;d) d(B;d) m D2. — Bước 4. Kết luận m D1  D2.  Lưu ý: Để 2 điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I I là trung điểm AB. Câu 1. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x2 m có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn OA OB (O là gốc tọa độ)? 3 1 5 A. m . B. m 3 . C. m . D. m . 2 2 2 Lời giải Chọn D Tập xác định: D ¡ . 2 2 x 0 y 3x 6x , y 0 3x 6x 0 . x 2 Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là A 0;m và B 2; 4 m . 2 2 5 Ta có OA OB 02 m2 22 4 m m2 4 4 m 20 8m 0 m . 2 Câu 2. (Đề Tham Khảo 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm 1 số y x3 mx2 m2 1 x có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách 3 đều đường thẳng d : y 5x 9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 3 B. 6 C. 6 D. 0 Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có y' x2 2mx m2 1 x m 1 m3 3m 2 m3 3m 2 y' 0 A m 1; và B m 1; x m 1 3 3 2 2 m m 1 Dễ thấy phương trình đường thẳng AB : y x nên AB không thể song song hoặc 3 3 trùng với d A, B cách đều đường thẳng d : y 5x 9 nếu trung điểm I của AB nằm trên d 3 3 m 3 m 3m m 3m 3 I m; d 5m 9 m 18m 27 0 3 3 5 3 3 m 2 Với m 3 A, B thỏa điều kiện nằm khác phía so với d . 3 3 5 Với m A, B thỏa điều kiện nằm khác phía so với d . 2 Tổng các phần tử của S bằng 0. Trang 22
  23. Câu 3. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị 2 3 2 2 2 hàm số y x mx 2 3m 1 x có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho 3 3 x1x2 2 x1 x2 1. A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có: y' 2x2 2mx 2 3m2 1 2 x2 mx 3m2 1 , g x x2 mx 3m2 1 ; 13m2 4 . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y ' có hai nghiệm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt 2 13 m 13 0 . (*) 2 13 m 13 x1 x2 m x1 , x2 là các nghiệm của g x nên theo định lý Vi-ét, ta có 2 . x1x2 3m 1 m 0 2 2 Do đó x1x2 2 x1 x2 1 3m 2m 1 1 3m 2m 0 2 . m 3 2 Đối chiếu với điều kiện (*), ta thấy chỉ m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 Câu 4. (Chuyên KHTN - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y mx3 (2m 1)x2 2mx m 1 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi phương trình mx3 (2m 1)x2 2mx m 1 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt. 2 Ta có (1) (x 1) mx (m 1)x m 1 0 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt mx2 (m 1)x m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m 0 m (m 1) m 1 0 2 (m 1) 4m(m 1) 0 m 0 m 2 0 2 3m 6m 1 0 m 0 m 2 3 2 3 3 2 3 m 3 3 Do m ¢ m 1. Trang 23
  24. Câu 5. (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số y x3 m 6 x2 2m 9 x 2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành. m 2 m 2 m 6 A. . B. m 2. C. m 6. D. . m 6 3 m 2 Lời giải Chọn D y ' 3x2 2 m 6 x 2m 9. x 1 2 y ' 3x 2 m 6 x 2m 9 0 2m 9 . x 3 2m 9 Hàm số có 2 cực trị 1 m 3. 1 3 y(1) m 2. 2 2m 9 2m 9 y m 2. 3 27 2m 9 Ycbt y(1).y 0 3 m 6 2 2m 9 3 2 m 2 m 2 . m 2 0 m 2 . 4m 36m 81m 54 0 . 2 27 3 m 2 m 2 m 6 Từ 1 , 2 ta có ycbt . 3 m 2 1 Câu 6. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y mx3 m 1 x2 3 m 2 x 2018 3 với m là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1; x2 thỏa mãn x1 2x2 1 bằng 40 22 25 8 A. B. C. D. 9 9 4 3 Lời giải Chọn A Ta có y ' mx2 2 m 1 x 3 m 2 Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình mx2 2 m 1 x 3 m 2 0 phải có hai nghiệm phân biệt. m 0 m 0 2 2 m 1 3m m 2 0 2m 4m 1 0 2 m 1 x1. x2 m Theo định lý Vi-ét ta có 3 m 2 x .x 1 2 m Trang 24
  25. 3m 4 2 m 1 x1 x . x m 1 2 Theo bài ta có hệ phương trình m 2 m 1 2 m x1 2x2 1 x2 1 m m m 2 t / m 3m 4 2 m 3 m 2 . 3 2 m m 3m 4 2 m 0 2 m m m m t / m 3 40 Vậy m 2 m 2 . 1 2 9 3 2 Câu 7. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y x 3mx 3m 1 với m là một tham số thực. Giá trị của m thuộc tập hợp nào sau đây để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d : x 8y 74 0 . A. m 1;1. B. m 3; 1 . C. m 3;5 . D. m 1;3 . Lời giải Chọn D y 3x2 6mx x 0 y 0 x 2m Đồ thị có hai cực trị khi: m 0 Khi đó hai điểm cực trị là: A 0; 3m 1 , B 2m;4m3 3m 1 Tọa độ trung điểm AB là: I m;2m3 3m 1 I d A và B đối xứng qua d khi và chỉ khi:  AB.ud 0  3 AB 2m;4m ,ud 8; 1 m 0  + AB.u 0 16m 4m3 0 m 2 . d m 2 Với m 0 loại Với m 2 , ta có I 2;9 I d Với m 2 , ta có I 2; 11 I d Do đó m 2 thỏa mãn yêu cầu. Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x3 8x2 m2 11 x 2m2 2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox . A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Lời giải Chọn D Yêu cầu bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt x3 8x2 m2 11 x 2m2 2 0 có ba nghiệm phân biệt x3 8x2 m2 11 x 2m2 2 0 x 2 x2 6x m2 1 0 x 2 2 2 x 6x m 1 0(*) Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 Trang 25
  26. ' 10 m2 0 m 2 2 2 m 8 0 10 m 10 Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn đề bài. Câu 9. (Chuyên Hạ Long 2019) Cho hàm số y x3 2m 1 x2 m 1 x m 1. Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên m 20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? A. 18. B. 19 . C. 21. D. 20 . Lời giải + Ta có: y x 1 x2 2mx 1 m . + Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ thị ycắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. y x 1 x2 2mx 1 m 0 có ba nghiệm phân biệt. x2 2mx 1 m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. 1 5 m 2 m2 m 1 0 1 5 . m 2 3m 0 2 2 m 3 + Do m N,m 20 nên 1 m 20 . Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài toán. Câu 10. (Chuyên KHTN 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số y x3 m 1 x2 m2 2 x m2 3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành? A. 2. B. 1. C. 3 . D. 4. Lời giải Ta có y 0 3x2 2 m 1 x m2 2 0 . 1 15 1 15 Để hàm số có hai điểm cực trị 0 2m2 2m 7 0 m * . 2 2 Ta lần lượt thử bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn * là 1;0;1;2 . Ta được bốn hàm số y x3 x 2; y x3 x2 2x 3; y x3 2x2 x 2; y x3 3x2 x 1. Khi đó ta nhận thấy chỉ có m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 11. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm tất cả cả các giá trị của tham số m để y x3 3x2 mx 1 đạt cực trị tại x , x thỏa mãn x2 x2 6 1 2 1 2 A. m 3 B. m 3 C. m 1 D. m 1 Lời giải Chọn A 2 y' 3x 6x m . Hàm số đạt cực trị tại x1, x2 .Vậy x1, x2 là nghiệm của phương trình y' 0 x x 2 1 2 Theo viet ta có m x .x 1 2 3 2 2 2 x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2m 2m 4 4 6 m 3 3 3 Trang 26
  27. Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x 2x3 6x2 m 1 có các giá trị cực trị trái dấu? A. 7 . B. 9 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A Có f ' x 6x2 12x . x 0 f ' x 0 x 2 x 0 f 0 m 1 x 2 f 2 m 7 Hàm số có các giá trị cực trị trái dấu m 1 m 7 0 m 1 m 7 0 7 m 1. Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 13. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hàm số y 2x3 3 m 1 x2 6 m 2 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng 2;3 . A. m 1;4 \ 3 . B. m 3;4 . C. m 1;3 . D. m 1;4 . Lời giải Chọn A Ta có y 6x2 6 m 1 x 6 m 2 . 2 x 1 y 0 x m 1 x m 2 0 . x m 2 Để hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm trong khoảng 2;3 thì y 0 có hai nghiệm phân biệt m 2 1 m 3 nằm trong khoảng 2;3 . 2 m 2 3 1 m 4 Câu 14. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m2 - 2 có đồ thị (C) và điểm C(1;4). Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4. A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 Lời giải Chọn C éx = 0 Ta có y ' = 3x2 - 6mx = 0 Û ê ëêx = 2m Đồ thị (C) có hai điểm cực trị Û 2m ¹ 0 Û m ¹ 0 . Khi đó A(0;4m2 - 2), B(2m;- 4m3 + 4m2 - 2) Þ AB = 4m2 + 16m6 = 2 m 4m4 + 1 2 x- 0 y - (4m - 2) Phương trình đường thẳng AB là: = Û 2m2 x + y - 4m2 + 2 = 0 2m- 0 - 4m3 2m2 + 4- 4m2 + 2 2 m2 - 3 d (C, AB)= = 4m4 + 1 4m4 + 1 Diện tích tam giác ABC là Trang 27
  28. 2 1 1 2 m - 3 S = .AB.d (C, AB)= 4 Û .2 m . 4m4 + 1. = 4 2 2 4m4 + 1 2 ém = ± 1 Û m(m2 - 3) = 2 Û m6 - 6m4 + 9m2 - 4 = 0 Û (m2 - 1) (m2 - 4)= 0 Û ê ëêm = ± 2 Do m nguyên dương nên ta được m = 1,m = 2 , tổng thu được là 3 . Câu 15. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y = 2x3 + 3(m- 1)x2 + 6(m- 2)x- 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (- 2; 3). A. m Î (- 1; 3)È(3; 4). B. m Î (1; 3). C. m Î (3; 4). D. m Î (- 1; 4). Lời giải Chọn A Ta có: y' = 6x2 + 6(m- 1)x + 6(m- 2) Để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (- 2; 3) Û pt y' = 0 có 2 nghiệm thuộc khoảng (- 2; 3) Û x2 + (m- 1)x + (m- 2)= 0 có 2 nghiệm thuộc khoảng (- 2; 3) Û (x + 1)(x + m- 2)= 0 é êx = - 1Î (- 2; 3) Û ê ëêx = 2- m ïì 2- m ¹ - 1 ïì m ¹ 3 YCBT Û íï Û íï îï - 2 < 2- m < 3 îï - 1< m < 4 Câu 16. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: 3 2 y 3x 2 m 1 x 3mx m 5 có hai điểm cực trị x1; x2 đồng thời y x1 .y x2 0 là: A. 21 B. 39 C. 8 D. 3 11 13 Lời giải Chọn A +) Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y 0 phải có hai nghiệm phân biệt: y 9x2 4 m 1 x 3m có hai nghiệm phân biệt 4 m 1 2 27m 0 3 2 +) Xét y x1 .y x2 0 nên ta có y 3x 2 m 1 x 3mx m 5 phải tiếp xúc với trục hoành 3x3 2 m 1 x2 3mx m 5 0 phải có nghiệm kép 2 x 1 3x 2m 5 x m 5 0 1 phải có nghiệm kép 2 +) TH1: Phương trình 3x 2m 5 x m 5 0 có một nghiệm x 1 m1 13 +) TH2: Phương trình 3x2 2m 5 x m 5 0 có nghiệm kép khác 1 2 2 2m 5 12 5 m 0 4m 32m 35 0 m2 m3 8 m1 m2 m3 21 Câu 17. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số 3 2 y x 3mx 27x 3m 2 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 x2 5. Biết S a;b . Tính T 2b a . A. T 51 6 B. T 61 3 C. T 61 3 D. T 51 6 Lời giải Chọn C Trang 28
  29. +) Ta có y 3x2 6mx 27 , y 0 x2 2mx 9 0 (1) +) Theo giả thiết hàm số đạt cực trị tại x1, x2 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 m 3 0 m 9 0 (*) m 3 x1 x2 2m +) Với điều kiện (*) thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 , theo Vi-ét ta có: x1x2 9 2 2 +) Ta lại có x1 x2 5 x1 x2 25 x1 x2 4x1x2 25 0 61 61 4m2 61 0 m ( ) 2 2 61 +) Kết hợp (*), ( ) và điều kiện m dương ta được: 3 m 2 a 3 61 T 2b a 61 3. b 2 Câu 18. (Sở Bắc Giang 2019) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số x3 y 2x2 mx 3 có hai điểm cực trị x , x 4 . Số phần tử của S bằng 3 1 2 A. 5. B. 3. C. 2 . D. 4 . Lời giải x3 Ta có: y 2x2 mx 3 y ' x2 4x m . 3 Hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thì phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ' 0 4 m 0 m 4 . x1 2 4 m Khi đó giả sử x1 x2 , y ' 0 x2 2 4 m Yêu cầu bài toán trở thành x2 4 2 4 m 4 0 m 4 . Kết hợp với m 4 ta được 0 m 4 . Do m nguyên nên m 0;1;2;3. Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 19. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 y = x + 4(m- 2)x - 7x + 1 có hai điểm cực trị x1; x2 (x1 0 , với mọi m Þ hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị x ; x với mọi m . ë ( )û 1 2 *Ta thấy ac = - 21 0 Þ x1 = - x1; x2 = x2 8(m- 2) 1 *Ta có x - x = - 4 Þ - x - x = - 4 Û - (x + x )= - 4 Û = - 4 Û m = 1 2 1 2 1 2 3 2 Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để điểm M (2m3;m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y 2x3 3(2m 1)x2 6m(m 1)x 1 (C) một tam giác có diện tích nhỏ nhất? Trang 29
  30. A. 0 B. 1 C. 2 D. không tồn tại Lời giải Chọn B Ta có y ' 6x2 6(2m 1)x 6m(m 1) x m y ' 0 m R , hàm số luôn có CĐ, CT x m 1 Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là A(m;2m3 3m2 1), B(m 1;2m3 3m2 ) Suy ra AB 2 và phương trình đường thẳng AB : x y 2m3 3m2 m 1 0 Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất 3m2 1 1 Ta có d(M , AB) , dấu "=" khi m 0 2 2 Câu 21. (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số thực m để đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 3mx 2 cắt đường tròn C có tâm I 1;1 , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 2 3 2 3 1 3 2 5 A. m B. m C. m D. m 3 2 2 2 Lời giải Ta có: y 3x2 3m suy ra đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu khi m 0 . Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là C m;2 2m m ; D m;2 2m m . Đường thẳng đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương trình là: y 2mx 2 . Do 2m 1 d I, R 1 (vì m > 0) luôn cắt đường tròn tâm I 1;1 , bán kính R 1 tại 2 4m2 1 1 điểm A, B phân biệt. Dễ thấy m không thõa mãn do A, I, B thẳng hàng. 2 1 1 1 1 Với m : không đi qua I, ta có: S IA.IB.sin AIB R2 . 2 ABI 2 2 2 1 R 1 Do đó S lớn nhất bằng khi sin ·AIB 1 hay AIB vuông cân tại I IH IAB 2 2 2 2m 1 1 2 3 m ( H là trung điểm của AB ) 4m2 1 2 2 3 2 Câu 22. (VTED 2019) Biết đồ thị hàm số y x ax bx c có hai điểm cưc trị M x1; y1 , N x2 ; y2 thỏa mãn x1 y1 y2 y1 x1 x2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P abc 2ab 3c bằng 49 25 841 7 A. B. C. D. 4 4 36 6 Lời giải Chọn A Ta có y 3x2 2ax b 1 1 a2 2b ab Chia y cho y ta được y y x a x c . 3 9 9 3 9 Do M x1; y1 , N x2 ; y2 là hai điểm cực trị nên y x1 0, y x2 0 a2 2b ab a2 2b ab Do đó y1 x1 c ; y2 x2 c 9 3 9 9 3 9 Theo giả thiết x1 y1 y2 y1 x1 x2 x1 y2 x2 y1 Trang 30
  31. a2 2b ab a2 2b ab x1 x2 c x2 x1 c 9 3 9 9 3 9 ab ab ab x1 c x2 c c 0(x1 x2 ) ab 9c 9 9 9 2 2 7 49 49 Ta có: P abc 2ab 3c 9c 21c 3c 2 4 4 49 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P abc 2ab 3c bằng 4 Câu 23. Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x m3 m ( m là tham số). Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và I 2; 2 . Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là 4 14 2 20 A.  B.  C.  D.  17 17 17 17 Lời giải Chọn D Tập xác định D ¡ . y 3x2 6mx 3 m2 1 . Cho y 0 x2 2mx m2 1 0 . Vì 1 0 m nên phương trình y 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x m 1. Gọi A m 1; 4m 2 , B m 1; 4m 2 .    Suy ra AB 2;4 2 1; 2 , IA m 1; 4m , IB m 3; 4m 4 . Phương trình đường thẳng AB qua A m 1; 4m 2 và có vectơ pháp tuyến n 2;1 là AB : 2x y 2m 0 . 2 2m Suy ra d I, AB  5 1 1 2 2m Khi đó S AB.d I, AB 2 5 2 2m . IAB 2 2 5 AB.IA.IB Mặt khác S AB.IA.IB 4 5 2 2m . IAB 4R 20 17m2 2m 1 17m2 38m 25 4 5 2 2m 17m2 2m 1 17m2 38m 25 4 4m2 8m 4 289m4 680m3 502m2 120m 9 0 m 1 3 . m 17 20 Vậy m m  1 2 17 3 Câu 24. Cho hàm số y x 6mx 4 có đồ thị Cm . Gọi m0 là giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của Cm cắt đường tròn tâm I 1;0 , bán kính 2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Chọn khẳng định đúng A. m0 3;4 . B. m0 1;2 . C. m0 0;1 . D. m0 2;3 . Lời giải Chọn C Trang 31
  32. Ta có: y 3x2 6m y 0 x2 2m Hàm số có cực đại, cực tiểu y 0 có hai nghiệm phân biệt m 0 Gọi A 2m;4 4m 2m và B 2m;4 4m 2m Phương trình đường thẳng AB : 4mx y 4 0 Đặt a d I, AB 0 a 2 HB 2 a2 2 1 2 2 Suy ra S IAB a 2 a a 2 a 1 2 Dấu “ ” xảy ra a 2 a2 a 1 4m 0 4 Khi đó d I; AB 1 16m2 1 4 m 1 16m2 1 15 16m2 1 16m2 32m 16 m 32 1 1 Câu 25. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Cho hàm số y x3 mx2 4x 10, với m 3 2 là tham số; gọi x1 , x2 là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 P x1 1 x2 1 bằng A. 4. B. 1. C. 0 . D. 9 . Lời giải Tập xác định D ¡ . Đạo hàm y x2 mx 4 . Khi đó y 0 x2 mx 4 0 . Ta có m2 16 0 , m ¡ y 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m ¡ hay hàm số luôn có hai điểm cực trị x1 , x2 m ¡ . x x m Do x , x là hai nghiệm phân biệt của y 0 nên theo định lý Viet ta có 1 2 . 1 2 x1.x2 4 2 2 2 2 2 2 2 P x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 x1x2 x1 x2 2x1x2 1 16 m2 8 1 m2 9 9 ,m ¡ . Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng9 m 0 . Câu 26. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x m3 , với m là tham số; gọi C là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị C luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d . Trang 32
  33. 1 1 A. k . B. k . C. k 3. D. k 3. 3 3 Lời giải Tập xác định D ¡ . Ta có y 3x2 6mx 3 m2 1 và y 6x 6m. Khi đó y 0 3x2 6mx 3 m2 1 0 . 3m 3 9m2 9 m2 1 9 nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x m 1 và 3 3m 3 x m 1. 3 y m 1 6 m 1 6m 6 0 x m 1 là điểm cực đại của hàm số A m 1; 3m 2 là điểm cực đại của đồ thị C . xA m 1 Ta có yA 3xA 1 yA 3m 2 A luôn thuộc đường thẳng d có phương trình y 3x 1. Do đó hệ số góc k của đường thẳng d là 3 . Câu 27. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Biết m0 là giá trị của tham số m để hàm số 3 2 2 2 y x 3x mx 1 có hai điểm cực trị x1, x2 sao cho x1 x2 x1x2 13. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m0 1;7 . B. m0 7;10 . C. m0 15; 7 . D. m0 7; 1 . Lời giải TXĐ: D R y 3x2 6x m . Xét y 0 3x2 6x m 0 ; 9 3m . Hàm số có hai điểm cực trị 0 m 3. m Hai điểm cực trị x ; x là nghiệm của y 0 nên: x x 2; x .x . 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 Để x1 x2 x1x2 13 x1 x2 3x1.x1 13 4 m 13 m 9. Vậy m0 9 15; 7 . 1 1 Câu 28. (THPT Thanh Miện I - Hải Dương 2018) Biết rằng đồ thị hàm số f x x3 mx2 x 2 3 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là 7 . Hỏi có mấy giá trị của m ? A. 3 . B. 1. C. Không có m . D. 2 . Lời giải Có y x x2 mx 1, y 0 x2 mx 1 0 1 . Để hàm số có cực trị thì 1 phải có hai nghiệm phân biệt. 2 m 2 Điều này tương đương với 0 m 4 0 . m 2 x1 x2 m Gọi hai nghiệm của 1 là x1 , x2 . Khi đó, ta có . x1.x2 1 Độ dài hai cạnh của tam giác vuông đó là x1 , x2 . Theo bài ra ta có phương trình: 2 2 2 2 2 x1 x2 7 x1 x2 2x1x2 7 m 2 7 m 9 m 3 (thỏa mãn). Trang 33
  34. Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 29. (Phan Đăng Lưu - Huế - 2018) Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 f x x 3x 4 và M x0 ;0 là điểm trên trục hoành sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất, đặt T 4x0 2015. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng? A. T 2017 . B. T 2019 . C. T 2016 . D. T 2018 . Lời giải Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: f x 3x2 3. 2 x 1 y 2 Xét f x 0 3x 3 0 . Đặt A 1; 2 và B 1; 6 . x 1 y 6 Ta thấy hai điểm A và B nằm cùng phía với trục hoành. Gọi A 1;2 là điểm đối xứng với điểm A qua trục hoành. Chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm B , M và A thẳng hàng.   x0 1 2 1 1 Ta có: A M x0 1; 2 và A B 2; 8 x0 M ;0 . 2 8 2 2 1 Vậy T 4. 2015 2017 . 2 Câu 30. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y x3 3mx2 4m3 có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là 2 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 2 2 4 Lời giải 2 x 0 Ta có: y 3x 6mx , y 0 . x 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu thì m 0 . Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0;4m3 , B 2m;0 . Ta có I m;2m3 là trung điểm của đoạn thẳng AB . Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là d : x y 0. Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì: 2m 4m3 0 2 1 2m2 0 m . 3 m 2m 0 2 Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0 . Câu 31. (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y x3 5x2 m 4 x m có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. A.  . B. ;3  3;4 . C. ;3  3;4 . D. ;4 . Lời giải Ta có y x3 5x2 m 4 x m x 1 x2 4x m Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi phương trình y 0 có ba nghiệm phân biệt x2 4x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 4 m 0 m 4 . 1 4 m 0 m 3 Trang 34
  35. a a Câu 32. (CTN - LẦN 1 - 2018) Biết (trong đó là phân số tối giản và a , b ¥ * ) là giá trị của tham b b 2 3 2 2 2 số m để hàm số y x mx 2 3m 1 x có 2 điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3 3 2 2 x1x2 2 x1 x2 1. Tính giá trị biểu thức S a b . A. S 13. B. S 25 . C. S 10 . D. S 34 . Lời giải Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm y 2x2 2mx 6m2 2 . Hàm số có hai điểm cực trị 2 13 m 2 2 2 13 0 m 2 6m 2 0 13m 4 0 2 13 m 13 x x m Theo định lý Viet thì 1 2 2 x1x2 3m 1 m 0 2 2 Ta có x1x2 2 x1 x2 1 3m 1 2m 1 3m 2m 0 2 m 3 2 Chỉ có giá trị m thỏa điều kiện, khi đó S a2 b2 22 32 13 . 3 Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 x2 mx 1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp 5;6  S . A. 2 . B. 5 . C. 3. D. 4 . Lời giải Tập xác định: D R ; y 3x2 2x m . 1 Hàm bậc ba có cực trị khi y 0 có 2 nghiệm phân biệt 1 3m 0 m 1 . 3 x 1 1 3m Khi đó y 0 x 1 1 3m Bảng biến thiên: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về phía bên phải trục tung khi 1 1 3m 0 1 3m 1 m 0 . Kết hợp với 1 ta có m 0 thì điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho nằm bên phải trục tung. Trang 35
  36. Khi đó S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên âm. Vậy 5;6  S 4; 3; 2; 1 5;6  S có 4 phần tử. Vậy giá trị m cần tìm là m 1 hoặc m 3 . Câu 34. (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số y x3 3x2 3 m2 1 x 3m2 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x 2 ? A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Lời giải y x3 3x2 3 m2 1 x 3m2 1 y 3x2 6x 3 m2 1 . x 1 m y 0 . x 1 m Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x 2 thì m 0 m 0 1 m 2 m 1 . 1 m 2 m 1 Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 35. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3mx2 2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng. A. m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 ; m 2 . Lời giải Ta có: y 3x2 6mx ; y 0 3x2 6mx 0 x 0 , x 2m . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt 2m 0 m 0 . Khi đó hai điểm cực trị là A 0;2 , B 2m;2 4m3 .   Ta có MA 1;4 , MB 2m 1;4 4m3 .   Ba điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng MA , MB cùng phương 2m 1 4 4m3 2m 1 1 m3 2m 1 m3 1 m3 2m 1 4 1 1 m2 2 m 2 (do m 0 ). m Câu 36. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số y x3 m 1 x2 3 m 2 x 2 . Hàm 3 số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 2x2 1 khi m a và m b . Hãy tính tổng a b . 8 8 5 5 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Lời giải Có y mx2 2 m 1 x 3 m 2 . 2 m Hàm số đạt cực trị tại x , x thỏa mãn x 2x 1 suy ra x . 1 2 1 2 2 m 2 m Do x là nghiệm của phương trình mx2 2 m 1 x 3 m 2 0 nên 2 m 2 m 2 2 m 2 m m 2 m 1 3 m 2 0 2 . m m m 3 Trang 36
  37. m 2 Thử lại thấy 2 đều thỏa mãn yêu cầu bài toán. m 3 8 Vậy a b . 3 Câu 37. (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho hàm số y 2x3 3 m 1 x2 6mx m3 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB 2 . A. m 0 . B. m 0 hoặc m 2 . C. m 1. D. m 2 . Lời giải 2 2 x 1 Ta có y ' 6x 6 m 1 x 6m . y ' 0 x m 1 x m 0 . x m Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì m 1. Khi đó ta có A 1;m3 3m 1 , B m;3m2 . 2 Có AB 2 m 1 2 m3 3m2 3m 1 2 m 1 2 m 1 6 2 . 2 m 0 m 1 1 (thỏa mãn yêu cầu bài toán). m 2 Câu 38. (THPT Phú Lương - Thái Nguyên - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y mx3 3mx2 3m 3 có hai điểm cực trị A,B sao cho 2AB2 OA2 OB2 20 (trong đó O là gốc tọa độ) m 1 m 1 A. m 1. B. m 1. C. 17 . D. 17 . m m 11 11 Lời giải Tập xác định D R Ta có: y ' 3mx2 6mx Hàm số có hai điểm cực trị m 0 x 0 Khi đó y ' 0 x 2 Tọa độ điểm cực trị: A 0;3m 3 , B 2; m 3 m 1 2 Theo giả thiết 2AB2 OA2 OB2 20 22m 12m 34 0 17 . m 11 Dạng 5. Tìm m để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Một số công thức tính nhanh “thường gặp“ liên quan cực trị hàm số y ax4 bx2 c 1 cực trị: ab 0 3 cực trị: ab 0 a 0 : 1 cực a 0 : 1 cực đại a 0 : 1 cực a 0 : 2 cực tiểu đại, đại, 2 cực tiểu 1 cực tiểu b b b4 b b A(0;c), B ; ,C ; AB AC 2 , BC 2 2a 4a 2a 4a 16a 2a 2a với b2 4ac Trang 37
  38. 3 b Phương trình qua điểm cực trị: BC : y và AB, AC : y x c 4a 2a b3 8a b5 Gọi B· AC , luôn có: 8a(1 cos ) b3(1 cos ) 0 cos và S 2 b3 8a 32a3 2 Phương trình đường tròn đi qua A, B,C : x2 y2 c n x c.n 0, với n và bán b 4a b3 8a kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R 8ab Câu 1. (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Cho hàm số y x4 2x2 2 . Diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là 1 A. S 3. B. S . C. S 1. D. S 2 . 2 Lời giải Tập xác định D ¡ . 3 x 0 y 2 Ta có y 4x 4x 0 x 1 y 1 Bảng biến thiên Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A 0;2 , B 1;1 , C 1;1 . 1 1 Nhận xét ABC cân tại A . Vì vậy S y y . x x .1.2 1. 2 A B C B 2 Câu 2. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Tìm m đề đồ thị hàm số y x4 2mx2 1 có ba điểm cực trị A 0; 1 , B, C thỏa mãn BC 4? A. m 2 . B. m 4 . C. m 4 . D. m 2 . Lời giải Tập xác định: D ¡ . x 0 y ' 4x3 4mx 0 2 . x m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị m 0 . Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số: A 0;1 , B m; m2 1 , C m; m2 1 . BC 4 4m 16 m 4. Câu 3. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x4 2mx2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân 1 1 A. m . B. m 1. C. m . D. m 1. 3 9 3 9 Lời giải Chọn D Hàm số y x4 2mx2 1 có tập xác định: D ¡ x 0 3 3 2 Ta có: y ' 4x 4mx; y ' 0 4x 4mx 0 4x x m 0 2 x m Trang 38
  39. Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 0 m 0. Vậy tọa độ 3 điểm lần lượt là: A 0;1 ; B m;1 m2 ;C m;1 m2   Ta có AB m; m2 ; AC m; m2   Vì ABC vuông cân tại A AB.AC 0 m2 m2.m2 0 m m4 0 m m4 0 m 1 ( vì m 0 ) Vậy với m 1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. Câu 4. (Mã 105 -2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x4 2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 . A. 0 m 1 B. m 0 C. 0 m 3 4 D. m 1 Lời giải Chọn A Tập xác định D ¡ y m O m x m2 B H A x 0 Ta có 3 . 3 . y 4x 4mx y 0 4x 4mx 0 2 x m Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m 0 . Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là O 0;0 , A m; m2 , B m; m2 . 1 1 Do đó S OH.AB m2 .2 m m2 m 1 0 m 1. OAB 2 2 Câu 5. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 2 - 2020) Cho hàm số y x4 2mx2 2m2 m4 có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD là hình thoi với D 0; 3 . Số m thuộc khoảng nào sau đây? 1 9 9 1 A. m ; . B. m ;2 . C. m 1; . D. m 2;3 . 2 5 5 2 Lời giải Chọn A Tập xác định: D ¡ . 3 x 0 Ta có y ' 4x 4mx y ' 0 2 . x m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị m 0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0; 2m2 m4 ; B m;m4 3m2 ; C m;m4 3m2 . Gọi I trung điểm của BC I 0;m4 3m2 Vì A, D Oy , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tứ giác ABCD là hình thoi I là trung điểm của AD Trang 39
  40. 2 m4 3m2 2m2 m4 3 m4 4m2 3 0 m2 1 m 1 m 1 . m 0 2 m 3 m 3 m 3 Câu 6. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2 m 1 x2 m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Số phần tử của tập hợp S là A. 2 . B. 0 . C. 4 . D. 1 . Lời giải • y x4 2 m 1 x2 m2 y ' 4x3 4 m 1 x 4x x2 m 1 . • Hàm số có 3 điểm cực trị y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt. x2 m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0. m 1 0 . m 1. x m 1 Khi đó: y ' 0 x 0 . x m 1 • Giả sử A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. A m 1; 2m 1 , B 0;m2 ,C m 1; 2m 1   AB m 1; m 1 2 ,CB m 1; m 1 2   4 m 1 ABC vuông tại B AB.CB 0 m 1 m 1 0 m 0 . m 0 Câu 7. (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng 2019) Cho hàm số y x4 2mx2 1 1 . Tổng lập phương các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính R 1 bằng 5 5 1 5 A. . B. . C. 2 5 . D. 1 5 . 2 2 Lời giải  TXĐ: D ¡ .  y ' 4x3 4mx 4x(x2 m).  Để đồ thị hs (1) có 3 điểm cực trị m 0.  Gọi A(0;1), B( m; m2 1),C( m; m2 1) là các điểm cực trị của đồ thị hs (1), I(0; m2 1) là trung điểm BC. 1 AB.AC.BC 2AI Ta có AI m2 , AB AC m m4 .Suy ra AI.BC R 2 4R AB.AC m 0 (l) m 1 (n) 2 2m 4 2 1 5 4 1 m 2m m 0 m (l) m m 2 1 5 m (n) 2 Câu 8. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2m2 x2 m 4 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều? Trang 40
  41. A. m 0; 3; 3 B. m 0; 6 3; 6 3 C. m 6 3; 6 3 D. m 3; 3 Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị m 0 . Khi đó, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0; m 4 , B m ; m4 m 4 , C m ; m4 m 4 . Tam giác ABC có AB AC nên tam giác ABC cân tại A , suy ra tam giác ABC đều m 0 AB BC m2 m8 2 m m8 m2 4m2 . 6 m 3 Kết hợp điều kiện ta được m 6 3; 6 3. Câu 9. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Tìm m để đồ thị hàm số y x4 2m2 x2 1 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân. A. m 1. B. m 1;1. C. m 1;0;1 . D. m  . Lời giải y x4 2m2 x2 1. + Cách 1: Hàm số có 3 cực trị ab 0 2m2 0 m 0 . y 4x3 4m2 x y 0 4x3 4m2 x 0 4x x2 m2 0 y 1 x1 0 1 x m y m4 1 2 2 x m 4 3 y3 m 1 Giả sử A 0;1 , B m; m4 1 , C m; m4 1 là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.  AB m; m4 AB m2 m8 .  AC m; m4 AC m2 m8 . Yêu cầu bài toán ABC vuông cân tại A AB AC m ¡ 2 6   2 8 m 1 m 0 AB.AC 0 m m 0 m 0 (l) m 1 (n) . m 1(n) Vậy m 1;1. + Cách 2: (Áp dụng công thức tính nhanh cực trị hàm trùng phương) 2 ab 0 2m 0 m 0 m 0 Yêu cầu bài toán 8 m 1 (n) . 8a 1 6 1 3 m 1 3 2 m 1(n) b 2m Vậy m 1;1. Câu 10. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5) Tìm tất cả các giá trị m sao cho đồ thị hàm số y x4 m 1 x2 2m 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 . Trang 41
  42. 2 2 A. m 1 . B. m 1 , m 1. 3 3 3 3 1 C. m . D. m 1. 3 3 Lời giải Ta có y 4x3 2 m 1 x 2x 2x2 m 1 . x 0 y 0 2 2x m 1 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y 0 có ba nghiệm phân biệt m 1 0 m 1. Khi đó 2 2 m 1 m 1 m 1 m 1 A 0; 2m 1 , B ; 2m 1 , C ; 2m 1 , là các điểm 2 4 2 4 cực trị của đồ thị. 4 m 1 m 1 Ta thấy AB AC nên tam giác ABC cân tại A . 2 16 Từ giả thiết suy ra A 120 . m 1 2 Gọi H là trung điểm BC , ta có H 0; 2m 1 4 2 m 1 m 1 BH AH tan 60 . 3 4 2 4 3 m 1 m 1 3 2 3 m 1 8 m 1 . 16 2 3 3 Câu 11. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị C của hàm số y x4 2m2 x2 m4 5 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của S . A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Ta có y 4x3 4m2 x . Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình y 0 có ba nghiệm phân biệt m 0 . Gọi A 0;m4 5 , B m;5 , C m;5 lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC khi đó ta có ba điểm A , I ,O thẳng hàng. Mặt khác do hai điểm B và C đối xứng nhau qua AO nên AO là đường kính của đường tròn   ngoại tiếp tứ giác ABOC AB  OB AB.OB 0 .   5 Trong đó AB m; m4 , OB m;5 . Ta có phương trình m2 5m4 0 m 5 Câu 12. (Chuyên Quang Trung - 2018) Cho hàm số y x4 2mx2 2m2 m4 có đồ thị C . Biết đồ thị C có ba điểm cực trị A , B , C và ABDC là hình thoi trong đó D 0; 3 , A thuộc trục tung. Khi đó m thuộc khoảng nào? 9 1 1 9 A. m ;2 . B. m 1; . C. m 2;3 . D. m ; . 5 2 2 5 Lời giải Trang 42
  43. x 0 Ta có y 4x x2 m y 0 ; 2 x m Với điều kiện m 0 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A 0;m4 2m2 ; B m;m4 3m2 ; C m;m4 3m2 . Để ABDC là hình thoi điều kiện là BC  AD và trung điểm I của BC trùng với trung điểm J của AD . Do tính đối xứng ta luôn có BC  AD nên chỉ cần I  J với 4 2 4 2 m 2m 3 I 0; m 3m , J 0; . 2 m 1 4 2 4 2 4 2 1 9 ĐK: m 2m 3 2m 6m m 4m 3 0 m ; . m 3 2 5 4 2 Câu 13. (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho hàm số y x 2mx 2 có đồ thị Cm . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. A. m 3 3 . B. m 3 3 . C. m 1. D. m 1. Lời giải Cách 1: Ta có y 4x3 4mx 4x x2 m . Để hàm số có ba cực trị thì phương trình y 0 có ba nghiệm phân biệt 4x x2 m 0 có ba nghiệm phân biệt m 0 . Gọi A 0;2 , B m,m2 2 ,C m,m2 2 là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.   Vì ABC cân tại A nên ABC chỉ có thể vuông tại A ABAC 0 .   Với AB m;m2 , AC m;m2 m m4 0 m m3 1 0 m 1. Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh: Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax4 bx2 c tạo thành một tam giác vuông khi 8a b3 0 8m3 8 0 m 1. Câu 14. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Gọi A , B , C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 + 4 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng A. 1. B. 2 + 1. C. 2 - 1. D. 2 . Lời giải éx = 0 Þ A 0;4 ê ( ) 3 ê y¢= 4x - 4x = 0 Û êx = - 1Þ B(- 1;3). ê ëêx = 1Þ C(1;3) uuur uuur uuur AB = (- 1;- 1)Þ AB = 2 ; AC = (1;- 1)Þ AC = 2 ; BC = (2;0)Þ BC = 2 . 1 2 AB + AC + BC Ta có DABC vuông cân tại A có S = 2 = 1, p = = 2 + 1. 2( ) 2 S 1 Vậy r = = = 2 - 1. p 2 + 1 4 2 Câu 15. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Cho hàm số y x 2 m 4 x m 5 có đồ thị Cm . Tìm m để Cm có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. 17 17 A. m 1 hoặc m . B. m 1. C. m 4 . D. m . 2 2 Lời giải Trang 43
  44. x 0 Ta có y 4x3 4 m 4 x ; y 0 . 2 x 4 m Để hàm số có ba điểm cực trị m 4 . Khi đó các điểm cực trị của Cm là A 0;m 5 , B 4 m;m 5 m 4 2 , C 4 m;m 5 m 4 2 . m 1 2 Do O là trọng tâm tam giác ABC nên 3 m 5 2 m 4 17 . m 2 Do m 4 nên m 1. Câu 16. (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x4 2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. A. m 1. B. 0 m 1. C. 0 m 3 4 . D. m 0 . Lời giải x 0 4 2 3 y 0 Hàm số y x 2mx có TXĐ : D ¡ . Ta có y 4x 4mx ; 2 . x m Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m 0 . Khi đó ba điểm cực trị là O 0;0 , B m; m2 , C m; m2 . Ta giác OBC cân tại O , với I 0; m2 trung điểm của BC 1 1 Theo yêu cầu bài toán, ta có: S OI.BC m2 .2 m 1 0 m 1. ABC 2 2 Câu 17. (Liên Trường - Nghệ An -2018) Gọi m0 là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng A. m0 1;0. B. m0 2; 1. C. m0 ; 2 . D. m0 1;0 . Lời giải Ta có: y x4 2mx2 1 y 4x3 4mx . x 0 y 0 (1). 2 x m Để đồ thị hàm số y x4 2mx2 1 có ba điểm cực trị thì y 0 phải có ba nghiệm phân biệt tức là m 0 . x 0 2 2 Khi đó 1 nên ta gọi A 0; 1 , B m; m 1 , C m; m 1 x m 1 Tam giác ABC cân tại A nên S AH.BC với H là trung điểm của BC nên ABC 2 2 2 H 0; m2 1 . Nên: AH m2 m2 và BC 2 m 2 m . 1 Ta có: S .m2.2 m theo giả thiết S 4 2 nên m2 m 4 2 m 2. ABC 2 ABC Câu 18. (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x4 2 m 1 x2 m2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. A. m 0 . B. m 1;m 0. C. m 1. D. m 1;m 0. Lời giải Trang 44
  45. Cách 1: Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương y ax4 bx2 c có ba điểm cực trị là ab 0 m 1 loại B Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi b3 8a 0 8 m 1 3 8 0 m 0 . Cách 2: Ta có y 4x x2 m 1 x 0 y 0 Xét 2 . Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì m 1 * x m 1 Tọa độ ba điểm cực trị là A 0;m2 , B m 1; 2m 1 , C m 1; 2m 1 Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì H 0; 2m 1 Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi AH BH m 1 4 m 1 m 0 :T / m * . Câu 19. (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Cho hàm số: y x4 2mx2 m2 m . Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành tam giác có một góc bằng 120 . 1 1 1 1 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3 3 3 Lời giải y 4x3 4mx 4x x2 m . Hàm số có ba điểm cực trị y 0 có ba nghiệm phân biệt m 0 . x 0 Khi đó y 0 . x m Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0;m2 m , B m;m , C m;m . Do ABC cân tại A nên gọi H 0;m là trung điểm của BC thì AHC vuông tại H . ABC có một góc bằng 120 khi và chỉ khi H· AB H· AC 60 HB AH.tan H· AB 1 m m2 3 m . Bỏ cặp ngoặc. 3 3 Câu 20. (THPT Thái Phiên - Hải Phòng - 2018) Đồ thị hàm số y x4 2mx2 m có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị này có bán kính bằng 1thì giá trị của m là: 1 5 1 5 A. m 1;m . B. m 1;m . 2 2 1 5 1 5 C. m 1;m . D. m 1;m . 2 2 Lời giải y x4 2mx2 m y 4x3 4mx . Với m 0 ta có ba cực trị A 0; m ;B m; m2 m ; C m; m2 m . Trang 45
  46. abc 1 mAB2 S 2 m m2 2 2m2 m4 m m4 2m2 m 0 . ABC 4R 2 4 m 0 l m 1 n 1 5 m n 2 1 5 m l 2 Dạng 6. Tìm m để hàm số bậc 2 trên bậc 1 có cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 1. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm x2 2x 3 số y . 2x 1 A. y 2x 2 . B. y x 1. C. y 2x 1. D. y 1 x . Lời giải 1  Tập xác định D ¡ \ . 2 2 2x 2x 4 2 x 1 y 2 y 2 , y 0 2x 2x 4 0 . 2x 1 x 2 y 1 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M 1;2 và N 2; 1 . Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị M , N của đồ thị hàm số đã cho là: y x 1. Cách khác: u x Áp dụng tính chất: Nếu x là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ y thì giá trị cực trị tương 0 v x u x0 u x0 ứng của hàm số là y0 . Suy ra với bài toán trên ta có phương trình đường thẳng v x0 v x0 x2 2x 3 qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y x 1. 2x 1 x2 mx Câu 2. (ĐHQG Hà Nội - 2020) Điều kiện của tham số m để hàm số y có cực đại và cực tiểu 1 x là A. m 0 . B. m 1. C. m 2 . D. m 2 . Lời giải Chọn A Điều kiện x 1. x2 mx x2 2x m Ta có y y . 1 x 1 x 2 Trang 46
  47. x2 mx Hàm số y có cực đại và cực tiểu y 0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi 1 x qua hai điểm đó x2 2x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 0 1 m 0 m 1. 1 2 m 0 m 1 Vậy m 1 thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu. Không có đáp án hoặc chọnA. Câu 3. (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ x2 mx 2m thị hàm số y có x 1 hai điểm cực trị A , B và tam giác OAB vuông tại O . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 9 . B. 1. C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn A x2 2x m y ,x 1. Đặt f x x2 2x m , h x x2 mx 2m , g x x 1. x 1 2 Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A , B khi f x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 h x y(x ) 1 2x m 1 0 1 1 m g x1 khác 1 m 1 1 . Khi đó . f 1 m 1 0 h x y(x ) 2 2x m 2 2 g x2   Suy ra A x1 ;2x1 m , B x2 ;2x2 m . Suy ra OA x1 ;2x1 m , OB x2 ;2x2 m .   OA,OB 0 2 OAB vuông tại O khi   . OA.OB x1.x2 2x1 m 2x2 m 0 3 2 3 m 5x1.x2 2m x1 x2 0 . Kết hợp với định lí Vi-et cho phương trình f x 0 ta m 0 kh«ng tháa m·n 2 được m2 5m 4m 0 S 9. m 9 tháa m·n 1 , 2 Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 9. x2 2x m Câu 4. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Biết rằng đồ thị H : y (với m là x 2 tham số thực) có hai điểm cực trị là A,B. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O 0;0 đến đường thẳng AB . 2 5 3 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn A / x2 2x m + Phương trình của đường thẳng AB là y y 2x 2 2x y 2 0 . x 2 / 2.0 0 2 2 + Khoảng cách d O; AB . 22 1 2 5 Trang 47
  48. Câu 5. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ x2 mx m2 thị hàm số y có hai điểm cực trị A, B . Khi AOB 90 thì tổng bình phương tất x 1 cả các phần tử của S bằng: 1 1 A. . B. 8 . C. . D. 16. 16 8 Lời giải 2x m x 1 x2 mx m2 x2 2x m m2 y x 1 2 x 1 2 Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B thì y 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 1 m m2 0 m ¡ . 2 1 m m 0 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là yA 2x m . 2 2 Gọi xA; xB là hoành độ của A , B khi đó xA; xB là nghiệm của x 2x m m . 2 Theo định lí Viet ta có xA xB 2 ; xA.xB m m . yA 2xA m ; yB 2xB m . 2 AOB 90 xA.xB yA.yB 0 xA xB 4xA xB 2m xA xB m 0 1 5 m2 m 4m m2 0 4m2 m 0 m 0;m . 4 2 2 1 1 Tổng bình phương tất cả các phần tử của S bằng: 0 . 4 16 x2 mx Câu 6. (Chuyên KHTN - 2018) Với tham số m , đồ thị của hàm số y có hai điểm cực trị A , x 1 B và AB 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m 2 . B. 0 m 1. C. 1 m 2 . D. m 0 . Lời giải x2 2x m Ta có D ¡ \ 1 và có đạo hàm là y . x 1 2 1 m 0 Để hàm số có hai điểm cực trị ta phải có m 1. 1 2 m 0 x1 x2 2 Gọi hai hoành độ cực trị là x1 và x2 ta có . x1x2 m Khi đó điểm A x1,2x1 m và B x2 ,2x2 m . 1 AB 4 4m. 5 5 4 4m 5 m . 4 x2 m x 4 Câu 7. (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hàm số y . Biết rằng đồ thị hàm số x m có hai điểm cực trị phân biệt là A , B . Tìm số giá trị m sao cho ba điểm A , B , C 4;2 phân biệt và thẳng hàng. A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Lời giải Tập xác định D ¡ \ m . Trang 48
  49. x2 m x 4 4 Ta có y x . x m x m 4 x 2 m y 1 2 , x D , y 0 . x m x 2 m Tọa độ hai điểm cực trị là B 2 m ;4 m , A 2 m ; 4 m .   AB 4;8 , AC 6 m ;6 m .   6 m 4k AC k AB Ba điểm A , B , C 4;2 phân biệt và thẳng hàng 6 m 8k (vô nghiệm). 6 m 0 6 m 0 Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn. x2 mx 1 Câu 8. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Giá trị của tham số m để hàm số y đạt x m cực đại tại điểm x0 2 là: A. m 1. B. m 3 . C. m 1. D. m 3 . Lời giải 1 2 y ' 1 ; y '' . x m 2 x m 3 1 1 0 2 x2 mx 1 y ' 2 0 2 m Hàm số y đạt cực đại tại điểm x0 2 khi x m y '' 2 0 2 0 3 2 m m 1 m 3 m 3. Thử lại thấy thỏa mãn. m 2 x2 2mx m 2 Câu 9. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số y . Để hàm số có cực 2x 2m đại và cực tiểu, điều kiện của tham số m là: m 1 m 2 A. B. 1 m 2 . C. 2 m 1. D. . m 2 m 1 Lời giải Điều kiện: x m . x2 2mx 2m2 m 2 Đạo hàm y . 2 x m 2 Để hàm số có cực đại và cực tiểu, thì y 0 x2 2mx 2m2 m 2 0 có hai nghiệm phân biệt khác m . m2 m 2 0 1 m 2 Ta có: 1 m 2 . 2 2 2 m 2m.m 2m m 2 0 m m 2 0 x 2 + mx + 1 Câu 10. (Chuyên Nguyễn Dình Triểu - Dồng Tháp - 2018) Để hàm số y = đạt cực đại tại x + m x = 2 thì m thuộc khoảng nảo? A. (0;2). B. (- 4;- 2). C. (- 2;0). D. (2;4). Trang 49
  50. Lời giải TXĐ: D = ¡ \ {- m} x2 2mx m2 1 2 y , y x m 2 x m 3 m2 4m 3 2 0 y 2 0 m 2 Hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m 3 thuộc (- 4;- 2). y 2 0 2 0 3 m 2 q Câu 11. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số y x p đạt cực đại tại điểm A 2; 2 . x 1 Tính pq . 1 A. pq 2 . B. pq . C. pq 3 . D. pq 1. 2 Lời giải Chọn D q Tập xác định D ¡ \ 1 . Ta có y 1 . x 1 2 Hàm số đạt cực đại tại x 2, suy ra y 2 0 0 1 q q 1. Lại có đồ thị hàm số đi qua điểm A 2; 2 nên 2 2 p q p q 0 . Do đó p q 1. 1 Thử lại: với p q 1 ta được y x 1 . x 1 1 x2 2x x 0 2 Ta có y 1 2 2 0 x 2x 0 . x 1 x 1 x 2 Từ đó có bảng biến thiên của hàm số: x -2 -1 0 y' + 0 - - 0 + -2 +∞ +∞ y 2 -∞ -∞ Rõ ràng đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm A 2; 2 . Vậy p q 1 pq 1. x2 mx 1 Câu 12. Cho hàm số y ( với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x m có giá trị cực đại là 7. A. m 7 . B. m 5 . C. m 9 . D. m 5 . Lời giải Chọn C Tập xác định của hàm số là: D ¡ \ m Trang 50
  51. x2 mx 1 x2 2mx m2 1 y y x m x m 2 x m x m x m 1 y 0 2 2 x m 1 x 2mx m 1 0 x m 1 x m 1 Bảng biến thiên x -∞ -m-1 -m -m+1 +∞ y' + 0 0 + yCĐ +∞ +∞ y -∞ -∞ yCT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x m 1. Vậy y m 1 7 m 2 7 m 9 . 40 Chuyên đề ôn thi THPT QUỐC GIA 2022 Giá 200.000 đồng Quý thầy cô liên hệ qua sdt hoặc kết bạn qua zalo : 0563.523.804 STK: 03521910001 Trang 51