Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến Toán Lớp 9: Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến Toán Lớp 9: Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức

1. Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến “ Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức” Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + abc + 4 ³ 2(ab + bc + ca) Lời giải. Dự đoán điểm rơi a = b = c = 2 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a - 2),(b- 2),(c - 2) có tích không âm. . Không mất tính tổng quát, giả sử (a - 2)(b- 2)³ 0 thì c(a - 2)(b- 2)³ 0 Û abc ³ 2bc + 2ca - 4c . Ta có a2 + b2 + c2 + abc + 4 ³ a2 + b2 + c2 + 4 + 2bc + 2ac - 4c = (a2 + b2 )+ (c2 + 4)+ 2bc + 2ac - 4c Û a2 + b2 + c2 + 2abc + 1³ (a2 + b2 )+ (c2 + 4)+ 2bc + 2ac - 4c Û a2 + b2 + c2 + 2abc + 1³ 2ab + 4c + 2bc + 2ac - 4c = 2(ab + bc + ca) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2. Bài 2 Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ³ 9(ab + bc + ca) Lời giải Dự đoán điểm rơi a b c 1 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a2 1;b2 1;c2 1 có ít nhất 2 số có tích không âm. sử 2 số a2 1;b2 1 nên (a2 1)(b2 1) 0 a2b2 a2 b2 1 0 a2b2 2a2 2b2 4 3a2 3b2 3 a2 2 b2 2 3 a2 b2 1 a2 2 b2 2 c2 2 3 a2 b2 1 1 1 c2 Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy Dãy 1 a , b ,1 dãy 2 : 1 , 1 ,c ta có 3 a2 b2 1 1 1 c2 3 a b c 2 9(ab bc ca) nên
2. (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ³ 9(ab + bc + ca) Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1 Bài 3 Cho a,b,c không âm thỏa mãn a b c 1 . Chứng minh rằng 9abc 1 4(ab bc ca) Lời giải. 1 Dự đoán điểm rơi a b c 3 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (3a - 1),(3b- 1),(3c - 1) có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử (3a - 1)(3b- 1)³ 0 Û 9ab- 3a - 3b + 1³ 0 Û 9abc + 1³ 3(ac + bc)- c + 1 Ta phải chứng minh 3(ac bc) c 1 4(ab bc ca) (1) Vì 1 a b c 1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca Nên 3(ac bc) c 1 3(ac bc) c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 3(ac bc) c 1 4(ab bc ca) c(a b c) c a b 2 4(ab bc ca) 3(ac bc) c 1 4(ab bc ca) (2) 1 Từ (1) & (2) ta có 9Dấuabc “=” 1 xảy4(a rab khibc ca) a b c 3