Bài tập Đại số luyện thi vào Lớp 10 THPT (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Đại số luyện thi vào Lớp 10 THPT (Có đáp án)

1. Bài 6. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca . Ta có: a b 2 b c 2 c a 2 0 2 a 2 b2 c2 2 ab + bc + ca a 2 b2 c2 ab bc ca (1). Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có: a2 a  b c a2 ab ac. Tương tự: b2 ab bc ; c2 ca bc. Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2). Từ (1) và (2): ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca . Bài 6. Cho các số a,b,c 0 ; 1 . Chứng minh rằng: a b2 c3 – ab – bc – ca 1 . Vì b, c 0;1 nên suy ra b2 b; c3 c . Do đó: a + b2 + c3 – ab – bc – ca a + b + c – ab – bc – ca (1). Lại có: a + b + c – ab – bc – ca = (a – 1)(b – 1)(c – 1) – abc + 1 (2) Vì a, b, c 0 ; 1 nên (a – 1)(b – 1)(c – 1) 0 ; – abc 0 Do đó từ (2) suy ra a + b + c – ab – bc – ca 1 (3). Từ (1) và (3) suy ra a + b2 + c3 – ab – bc – ca 1. a + b 1 Bài 6. Chứng minh rằng: với a, b là các số dương. a 3a + b b 3b + a 2 a + b 2(a + b) Ta có: (1) a 3a + b b 3b + a 4a 3a + b 4b 3b + a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được: 4a + (3a + b) 7a + b 4a 3a + b 2 2 2 4b + (3b + a) 7b + a 4b 3b + a 3 2 2 Từ (2) và (3) suy ra: 4a 3a + b 4b 3b + a 4a + 4b 4 Từ (1) và (4) suy ra: a + b 2(a + b) 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a a 3a + b b 3b + a 4a + 4b 2 = b. Bài 6. Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: x + x2 2011 y + y2 2011 2011 . Tính: x + y Ta có: x + x2 2011 y + y2 2011 2011 (1) (gt) x + x2 2011 x - x2 2011 2011 (2) y + y2 2011 y - y2 2011 2011 (3) Từ (1) và (2) suy ra:
2. y + y2 2011 x - x2 2011 (4) Từ (1) và (3) suy ra: x + x2 2011 y - y2 2011 (5) Cộng (4) và (5) theo từng vế và rút gọn ta được: x + y = - (x + y) 2(x + y) = 0 x + y = 0. a b c Bài 6. Tìm x, y thoả mãn: 1 + + 2 a + b b + c c + a Điều kiện: x 0 Đặt x z, z 0. Ta có phương trình: 5z2 2 2 y z y2 1 0 Xem (2) là phương trình bậc hai ẩn z thì phương trình có nghiệm khi 0 2 y 2 5 y2 1 2 y 1 2 0;y 1 Để phương trình có nghiệm thì: 0 y 2 1 Thế vào (1) ta tìm được: x . 4 1 1 Vậy: x và y là các giá trị cần tìm. 4 2 a b c Bài 6. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 + + 2 a + b b + c c + a a a a + c Ta có: 1 a + b + c b + a a + b + c b b b + a 2 a + b + c b + c a + b + c c c c + b 3 a + b + c c + a a + b + c a b c Cộng từng vế (1), (2), (3), ta được : 1 < + + < 2, a + b b + c c + a 4x 3 Bài 6. Tìm các giá trị x để là số nguyên âm. x 2 1 4x 3 Đặt y . x 2 1 Khi đó ta có: y x 2 1 4x 3 y.x 2 4x y 3 0 (1). Ta tìm điều kiện của y để (1) có nghiệm. 4 Nếu y 0 thì (1) có nghiệm x . 3 2 Nếu y 0 , (1) có nghiệm x 2 y y 3 0 y2 3y 4 0 y2 3y 4 0 1 y 4 . Kết hợp lại thì (1) có nghiệm 1 y 4 . Theo giả thiết y là số nguyên âm y 1 . Khi đó thay vào trên ta có x 2 .
3. Bài 6. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a a b c 4 . c a b b c c a a b Với các số dương x, y ta có: 2 x y 4 1 1 4 x y 4xy xy x y x y x y Áp dụng bất đẳng thức trên ta, có: a b b c c a 1 1 1 1 1 1 a b c c a b b c c a a b 4 4 4 a b c a  b  c  4 b c c a a b b c c a a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. a b c Bài 6. Cho các số dương a,b,c . Chứng minh bất đẳng thức: 2 . b c c a a b Vì các số a,b,c dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có: a (b c) a a 2a a b c 2 b c a b c a b c Tương tự ta cũng có: b 2b c 2c , c a a b c a b a b c Cộng các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có a b c 2a 2b 2c 2 . b c c a a b a b c a b c Dấu bằng xảy ra b c a a b c 0 , không thoả mãn. c a b a b c Vậy 2 . b c c a a b x3 2y2 4y 3 0 (1) Bài 6. Hai số thực x, y thoả mãn hệ điều kiện : . 2 2 2 x x y 2y 0 (2) Tính giá trị biểu thức P = x2 y2 Từ (1) ta có: x3 2(y 1)2 1 1 x 1 (3) 2y Từ (2) ta có: x2 1 x2 1 1 x 1 (4) y2 1 Từ (3) và (4), suy ra x = -1, thay vào hệ đã cho ta được y = 1. Vậy P = 2. Bài 6. Tính giá trị biểu thức: A = 1 1 1 + +  + . 1 + 2 2 + 3 24 + 25
4. 1 - 2 2 - 3 24 - 25 Ta có: A = + + + - 1 - 1 - 1 = - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + + 25 = - 1 + 5 = 4 Bài 6. Cho phương trình x2 2m 1 x m2 1 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m để x1x2 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho biểu thức P có giá trị nguyên. x1 x2 +PT có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 2m 1 2 m2 1 0 3m2 4m 0 4 x1 x2 2m 1 m 3m 4 0 m 0 hoặc m . Khi đó 2 3 x1.x2 m 1 x x m2 1 4m2 4 + P 1 2 . P nguyên khi 4.p nguyên hay 4P x1 x2 2m 1 2m 1 nguyên. 4m2 4 4m2 1 5 2m 1 2m 1 5 5 + 2m 1 2m 1 2m 1 2m 1 2m 1 + 4P nguyên thì m nguyên và 2m + 1 là ước của 5. Vậy 2m 1  5; 1;1;5 m  3; 1;0;2 4 + Kết hợp với điều kiện m 0 v m ta được m  3; 1;0;2 3 Bài 6. Cho a;b; c là số thực không âm thỏa mãn a b c 1 . Chứng minh rằng: 2a b c 4 a b b c c a Hướng dẫn Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4 1 a 1 b 1 c 1 a Từ GT suy ra 0 a;b;c 1 1 a 0;1 b 0;1 c 0 2 Ta có: Áp dụng BĐT 4AB A B 2 2 4 1 b 1 c 1 b 1 c 1 a 2 2 4 1 a 1 b 1 c 1 a 1 a 1 a 1 a 2 2 2 Ta co : a 0 1 a 1 1 a 1 a 1 a Suy ra : 4 1 a 1 b 1 c 1 a Hay 2a b c 4 a b b c c a a b c 1 a;b;c 0 1 Dấu”=” xảy ra khi: a 0;b c 1 b 1 c 2 2 a 0 Bài 6. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng:
5. a b c ab bc ca 5 (*) b c a c b a a2 b2 c2 2 1 ab bc ca a b c * 1 1 1 2 a2 b2 c2 b c a c b a 2 a b c b c a a c b b a c P 2 a2 b2 c2 b c a c b a Đăt b c a x;a c b y;a b c z;x y z a b c;x;y;z 0 x y 2z y z 2x x z 2y a b ;b c ;a c ; 2 2 2 y z x z x y a ;b ;c 2 2 2 y2 2yz z2 x 2 2xz z2 x 2 2xy y2 2 a2 b2 c2 2. 4 x 2 y2 z2 xy yz zx b c a a c b b a c P b c a c b a 2x 2y 2z P 2x y z x 2y z x y 2z 2x 2 2y2 2z2 2x 2 xy xz xy 2y2 yz xz yz 2z2 2 2 x y z P 2 x 2 y2 z2 xy yz zx 2 2 a b c a b c x 2 y2 z2 xy yz zx 2 a2 b2 c2 a b c ab bc ca 5 Hay: b c a c b a a2 b2 c2 2 Dấu " " xảy ra a b c Bài 6. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: a b c 3 1 a2 1 b2 1 c2 2 1 Áp dụng: AB A B 2
6. 1 a2 ab bc ca a2 a b a c a a a a . 1 a2 a b a c a b a c 1 a a (1) 2 a b a c 3 2 Tương tự: b 1 b b c 1 c c (2); (3); 1 b2 2 b c b a 1 c2 2 c a c b Tu (1);(2);(3) a b c 1 a2 1 b2 1 c2 1 a b a c b c 3 2 a b b a a c c a b c c b 2 ab bc ca 1 a a a b a c 3 Dấu “=” xảy ra khi b b a b c 3 a b c b c c a c c b