Bài tập Đại số và Gải tích Lớp 11: Nguyên hàm – Tích phân - Hoàng Văn Bình

Nội dung text: Bài tập Đại số và Gải tích Lớp 11: Nguyên hàm – Tích phân - Hoàng Văn Bình

1. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài 1. NGUYÊN HÀM I. Lý thuyết 1. Nguyên hàm fxdxFxC 2. Tính chất - fxdxfx ' và fxdxfxC - kfxdxkfxdx. k 0 - fxgxdxfxdxgxdx 3. Bảng nguyên hàm kdxkxCkconst x 1 u 1 xdxC 1 udxC 1 1 1 1 dxxC ln dxuC ln x u edxeCxx edxeCuu ax au adxCx adxCu ln a ln a cossinxdxxC cossinudxuC sincosxdxxC sincosudxuC 1 1 dx tan x C dx tan u C cos2 x cos2 u 1 1 dxxC cot dxuC cot sin2 x sin2 u 2 22 1 x 22 ax x ax arcsin C ax dx arcsin C 22 22a ax a dxax 1 dx 1 x ln C arctan C axaax22 2 axaa22 xa dx x2 a 2 dx x2 a 2 ln x x2 a 2 C ln x x2 k C 2 22 xk Hoàng Văn Bình
2. 4. Các phương pháp tìm nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số Nếu fxdxFxC thì fuxuxdxFuxC .' Đặt tuxdtuxdx ' . Khi đó ftdtFtCFuxC Cách đặt biến: Dạng 1: Đặt biến thường f a x b d x đặt t a x b f x d t x a n đặt tx ta n fx f cot x dx đặt tx c o t dx đặt tx x fx ln dx đặt tx ln n 1 f x x dn x 1 .đặt tx x feedx xx đặt te x fxxdx sincos đặt tx s i n fxxdx cossin đặt tx c o s Dạng 2: Đặt lượng giác: ax22 1 xa tant ax22 xat cot 1 ax22 ax22 xat sin 1 xat cos ax22 a xa22 x sin t 1 a 22 x xa cost Sau khi tìm được nguyên hàm theo t thì ta thay ngược lại vào fx . b. Phương pháp nguyên hàm từng phần Hoàng Văn Bình
3. Cho hai hàm số u u x và v v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn  ab; thì khi đó ta có udv uv vdu Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ” c. Dạng nguyên hàm hữu tỉ d1x - Nguyên hàm dạng: ln axbC axba d1x xx ln 1 C 0 - Nguyên hàm dạng: 2 với axbxcaxxxx 12 2 Px - Nguyên hàm dạng: dx Gx Nếu Qx là tích các nghiệm đơn Qxxxxxxx 12 n thì ta tách Px AA A dx 12 n dx Gxxxxxxx 12 n n Nếu Qx là tích các nghiệm đơn và nghiệm bội giả sử như Qxxxxxxx 123 thì ta tách Px AABB BB dxx 1 2 1 2 nn 1 d G xx xx xx x 21nn 1 2 3 x xx3 xx x 3 3 Nếu Qx là tích các nghiệm đơn và một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử Px AA BxC xxxxxpxqpq 22,40 ddxx 12 12 thì ta tách 2 G xxxxxxpxq 12 d. Dạng nguyên hàm vô tỉ xat sin - Nguyên hàm dạng Rxax, 22 đặt xat cos - Nguyên hàm dạng Rxax , 22 đặt xa tant a - Nguyên hàm dạng R x, x22 a đặt x cost ax - Nguyên hàm dạng Rx , đặt xat cos2 ax ax b ax b n n - Nguyên hàm dạng Rx , đặt t cx d cx d Hoàng Văn Bình
4. 1 1 - Nguyên hàm dạng R đặt t axbxx n 2 a x b e. Dạng nguyên hàm lượng giác - Nguyên hàm dạng sin.cosdnmxxxmn , mn, chẵn thì dùng công thức hạ bậc m lẻ thì đặt ux s i n , n lẻ thì đặt ux c o s f. Một số dạng tích phân đặc biệt aa - Cho hàm số fx liên tục là hàm chẵn trên   aa; thì ta có fxdxfxdx 2 . a 0 a - Cho hàm số fx liên tục là hàm lẻ trên   aa; thì ta có f x d x 0 . a fx a - Cho hàm số fxliên tục là hàm chẵn trên ; thì ta có dxfxdx .   x a 1 0 22 - Cho hàm số fx liên tục trên 0; thì ta có fxdxfxdx sincos . 2 00 II. Sử dụng máy tính cầm tay d Bấm máy tính như sau: DADB dx xX 1. Tích phân hữu tỉ Px  Dạng trong đó bậc của PxQx . Ta thực hiện phép chia đa thức. Áp dụng phương Qx pháp r100 Ta giả sử Qxxxxxxx 123 (nhiều hay ít hơn cũng làm tương tự): Px ABC Rx trong đó Rx là biểu thức dư của phép chia. Q x x x1 x x2 x x3 d Px A dx x x23 x x xx 1 d Px Tìm B . dx x x13 x x xx 2 d Px C dx x x x x xx 12 3 Hoàng Văn Bình
5. d Px ABC Tìm Rx sử dụng cách tách 100 dxxxxxxxxxxxxx 123 1 2 3 x 100 axb AB  Dạng fx cần tách đưa về dạng xxxx 12 x x x x12 aXb Cách 1. Bấm: d XxXx dx 12xX r X x1 A r X x B 2 aXb Cách 2. Bấm: . Xx 1 XxXx 12 r Xx 1 0,0000001 A r Xx 2 0,0000001 B daxb A dxxx 2 xx 1 Cách 3: Bấm daxb B dxxx 1 xx 2 Cả ba cách trên nếu tìm nguyên hàm đều cho dạng: AxxBxxClnln 12. xx2 26 VD. Tách Fx thành các phân thức tối giản xxx32 7148 x22 2 x 6 x 2 x 6 A B C Fx x32 7 x 14 x 8 x 1 x 2 x 4 x 1 x 2 x 3 XX2 26 Bấm: d XXX 1 2 4 dx xX r X 1 hệ số A 3 r X 2 hệ số B 7 Hoàng Văn Bình
6. r X 4 hệ số C 5 xx2 26375 Vậy Fx xxxxxx32 7148123 dx VD. Tính 11 3 x 3t 2 Đặt txttx 3 13dd 2 dt 1 t 3t 2 Thực hiện phép chia bằng máy tính: t 1 3t 2 Ta nhẩm lấy hệ số cao nhất của tử chia cho mẫu ta được 3t t Nhập màn hình: r X 100 ta được 300 Ta để ý vì bậc tử chia bậc mẫu ra bậc nhất nên ta tách được hệ số tự do là 3. 101 Sửa màn hình: 33 Ta được 101t 1 3t 2 3 3t2 3 t 2 Vậy 3t 3 3t 3ln 1 t C t 1 1 t t 1 2 Hoàng Văn Bình
7. 313 x 2 313ln33x 11 xC 2 1 2sin x VD. Tính nguyên hàm dx 2sinx .cos34 x cos x 12sin x 12sincos12sincos1 xx xx Ta biến đổi: dx dx .d x 2sin.coscos2sincoscos2xxxxxx3 4 tan1cos 3 4 xx 4 1 2tan x 2 2 1tan12tan xx cos x .d xxdtan 2tan1cosxx 2 2tan1x Ta thực hiện phép chia đa thức tử chia cho mẫu: XX2 21 Đặt Xx tan 21X X 2 1 Ta chia bậc cao nhất của tử cho mẫu ta được X 22X Nhập màn hình: r X 100 1 Vì thương của phép chia là bậc 1, mà hạng tử chứa bậc 1 đã là X nên tiếp theo ta sẽ được 2 150 3 201 4 Sửa màn hình: r X 100 111 Tách . 804421 X 13 1113 11 Vậy ta được thương là Xx .tan. 24 4 2124Xx 4 2 tan1 1 3 1 1 12 3 1 Suy ra tanx . dtan x tan x tan x ln2tan x 1 C 2 4 4 2 tanx 1 4 4 8 Ta thực hiện Hoàng Văn Bình
8. axbaK  Tách phân thức cxdccxd aX b a Nhập máy tính: cX d CALC X 10 K cX d c axbaKax Khi đó: dx dxKccxd ln cxdccxdc 21x VD. Tách Fx 21x 21xK 1 2 1xx 2 1 21x Bấm 121 x r x 10 K 2 21x 212x Vậy Fx 1 2121xx  Tách phân thức dạng: Px AABB BB dxx 1 2 1 2 nn 1 d G xx xx xx x 21nn 1 2 3 x xx3 xx x 3 3 x VD. Phân tích hàm số Fx thành các phân thức tối giản xx 112 xABC Ta có xx 11 22xx 11 x 1 Ta sẽ tìm được AC, dễ hơn tìm B x Bấm: d 2 xx 11 dx xX 1 Tìm A r X 1 ta được A 4 x 2 Để tìm C ta bấm x 1 xx 112 1 r X 1,00001 ta được C 2 Hoàng Văn Bình
9. x 2 Để tìm B ta bấm: x 1 xx 112 1 r X 1 ,0 0 0 0 1 ta được sau đó trừ đi 2 1 đem chia cho x 1 xấp xỉ vậy 4 1 B 4 x 111 Vậy Fx xx 11 224141 xx 21 x Bài này khá phức tạp vì tìm B không r được như bình thường. Các bạn chú ý theo dõi kỹ chỗ tìm B : khi r được kết quả nào thì trừ cho phần nguyên của số đó. Rồi đem chia cho mẫu của phân thức ta cần tìm hệ số. 1 VD. Tách Fx thành các phân thức tối giản x3 1 1 ABxC Fx xxxx32 111 11 Tìm hệ số A bấm d x3 1 3 dx x 1 Tìm B x C ta có: 1 x2 x 11 Bx C x 1 1 Bx C 3 1 2 3 2 3 x x 1 Bx C x 1 1 x 1 3 x 1 x x 1 x 1 3 1 11 xx2 Bx C 3 . Đến đây để tìm BC, ta vào hệ w2 nhập hàm bên r xi x 1 12 Vậy Bx C x 33 Hoàng Văn Bình
10. 12 x 11 Vậy Fx 33 xxxx32 13(1)1 III. Ví dụ VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x x 2 21 1 1 A. F x x3 2 x x C B. F x x32 x x C 3 3 F x x C 22 1 32 C. D. FxxxxC 2 3 x3 Ta có: fx dxxxdxx dxxdxdxxxC2 21 2 21 2 . Chọn B. 3 11 VD. Nguyên hàm của hàm số fx là xx2 lnlnxxC 2 1 1 1 A. B. ln xC C. ln xC D. ln xC x x x 1111 1 Ta có: fx dx 22dxdxdxxC ln xxxx x 1 VD. Nguyên hàm của hàm số fx là 51x 1 ln51xC 1 ln51xC A. ln51xC B. C. ln51xC D. 5 5 11 Ta có: dxaxbC ln axba 11 Áp dụng: dxxC ln 51 515x 4 VD. Tìm nguyên hàm của fxx 3 là: 3 x 5 3 x 5 A. C B. C 5 5 5 5 C. 43 xC D. 43 xC u 1 Ta có: u dx C 1 Hoàng Văn Bình
11. 5 4 3 x Áp dụng: 3 xdx C 5 1 3 VD. Biết Fx là một nguyên hàm của hàm số fx 2 và thỏa mãn F 0. Tính xx 32 2 F 3. A. F 3 l n 2 B. F 3 2l n 2 C. F 3 2l n 2 D. F 3 l n 2 11AB Ta có: fx xxxxxx2 321212 AB ABxAB 2 1 ABA 01 Đồng nhất thức ta được xxxxxx 121212 211ABB 11 Ta có dxdxxxC ln1ln2 xx 12 3 fC 00. Vậy f 3ln 2 . 2 Qua ví dụ trên ta lưu ý: 11xb Có thể nhớ nhanh công thức: dx ln C hay tổng quát hơn cho trường xaxbbaxa 11axb hợp dx ln C axbcxdadbccxd 5 VD. Xét Ixxdx 34 43. Bằng cách đặt ux 434 . Khẳng định nào sau đâu đúng? 1 1 1 5 A. Iudu 5 B. Iudu 5 C. Iudu 5 D. Iudu 4 12 16 du 5 1 Đặt ux 434 du 16 x33 dx x dx thay vào Ixxdx 34 43. ta được u5 du. 16 16 VD. Giả sử F x ax2 bx c ex là một nguyên hàm của hàm số fxxe 2 x . Tính S a b c A. S 1 B. S 0 C. S 5 D. S 2 x x 2 x 2 x 2 Ta có F'2 xaxbe e ax bxc e axabxbc 2 ex aa 11 2a b 0 b 2 b c 02 c Hoàng Văn Bình
12. Hoặc một cách khác: dựa vào bản chất của nguyên hàm từng phần mà ta có: Tạm ký hiệu như sau: u u' ,u ' ' , ' ' ' , là đạo hàm lần 1, 2, 3 . Của ux . v1 v 2,v 3, , . là nguyên hàm lần 1,2,3 của vx . Ta có được: uvuvuv123 ''' 2 x xxx Áp dụng: u x u' 2 x , u '' 2 ; veveveve 123 ,, xex22.2.222xxxx eeexx vậy ta cũng đã xác định được abc,, nhanh chóng. Vậy S a b c 1 2 2 1 Bấm máy tính như sau: y Tách: 9802100002002221 221. xxF2 x Chọn A. VD. Tìm nguyên hàm của hàm số fxx cos2 1 1 A. sin2 xC B. sin 2xC 2 2 C. 2sin2xC D. 2sin2xC dt dt 1 Đặt txdtdxdx 22 thay vào coscossinxdxttC 2 22 1 Thay ngược lại ta được sin2 xC 2 1 1 Ta có công thức nhanh: cos ax b dx sin ax b C ; sin axb dxaxbC sin a a VD. Cho ab, là hai số thực thỏa mãn F xaxbx cossin e x là nguyên hàm của hàm số f x ex cos x . Tính Pab A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 Đây là dạng nguyên hàm lặp lại, vì khi ta nguyên hàm hai lần sẽ quay lại đề bài ban đầu. ux cos u' sin x , u '' cos x vv, Đặt x x (ở đây có một quy ớư c nhỏ là 12là nguyên hàm) dv e dx v1 e dx Hoàng Văn Bình
13. x xx x x 11 Ta có Ix excos eexdxIexxIexx .sin.cos2cossin cossin 22 1 Vậy a b S a b 1 2 Ta có công thức giải nhanh: eax ebxdxabxbbxCax cos cossin ab22 eax ebxdxabxbbxCax sin sincos ab22 VD. Biết xedxaxebeCab2x 22xx , .Tính ab 1 1 1 1 A. ab B. ab C. ab D. ab 4 4 8 8 dudx ux Đặt 2x 1 2x dvedx ve 2 1 a xx2x 112x 2x 2 x 2 1 Ta có: e e dx e e C ab 2 2 2 4 1 8 b 4 Bấm máy tính như sau: 199 200 1 2111xx Tách: ab. 4444 2 48 1 fx VD. Cho Fx là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3x3 x f' x ln x . ln1x ln1x A. C B. C xx325 xx325 lnx 1 lnx 1 C. C D. C xx323 xx325 Hoàng Văn Bình
14. fx 11 Fx' fx xx 43x 1 ux ln dudx Xét nguyên hàm f' x ln xdx đặt x dvfxdx ' vfx fx ln1 fxxdxxfxdx'lnln. C xxx 333 3 VD. Cho Fx là một nguyên hàm của hàm số f x e x x 2 thỏa mãn F 0 . Tìm Fx . 2 3 1 A. Fxex() x 2 B. Fxex()2 x 2 2 2 5 1 C. Fxex() x 2 D. Fxex() x 2 2 2 Ta có: exdxexCxx 222 3 31 1 FeCC 00 02 . Vậy Fxex() x 2 2 22 2 VD. Cho hàm số yfx thỏa mãn fxxe'1 x và f x dx ax b ex C với ab,. Tính ab A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 Ta có FxaxbeC x là nguyên hàm của fx và fxxe'1 x Đặt Fxfx''' fx'1 dxxe dxxeCfx xx fxdx xedxxx x 1 e C Vậy a 1, b 1 a b 0 21x3 VD. Tìm nguyên hàm của hàm số dx bằng 3 xx 1 1 1 1 1 A. ln xC2 B. ln xC2 C. ln xC D. ln xC x x x2 x2 Hoàng Văn Bình
15. 21xABx32 Sử dụng phương pháp tách xx 3 1 xx3 1 r X 0,000001 hệ số A 1 r X 1 ,0000001 hệ số B 3 2113xx32 Suy ra: xx 3 1 xx3 1 3 2113xx32 1 dx 1 Khi đó: dx dxdx 3 33 xx 1 xx 11xx x3 11 lnx ln x32 1 C ln C ln x C xx Bấm máy trực tiếp: qy cos x VD. Tìm nguyên hàm fx của hàm số fx' 2sin x 2 sin x 1 1 sin x A. C B. C C. C D. C 2 sin x 2 2 cos x 2 sin x 2 sin x cos x dx 2 sin 1 dx C Ta có: 22 . Chọn C 2 sin2xx sin 2 sin x 2 x 1 3 b VD. Giả sử một nguyên hàm của hàm số fx 2 có dạng ax1 . 1 x3 xx 1 1 x Tính ab 8 8 A. 2 B. C. 2 D. 3 3 Hoàng Văn Bình
16. x2 1 Ta có fxdxdx dx 3 2 1 x xx 1 x2 Tính dx đặt txtdtxdx 123 32 3 1 x x2 222 2 dxdttCxA 1 3 3 1 1 x 333 3 1 1 2 Tính dx 2 dxCB1 2 22 2 xx 11 x 1 x 8 Vậy ab 3 1 VD. Gọi Fx là một nguyên hàm của hàm số fx 2x , thỏa mãn F 0 . Tính giá trị biểu l n 2 thức TFFFF 012 2017 212017 B. T 22017.2018 212017 212018 A. T 1009. C. T D. T ln 2 ln 2 ln 2 2x Ta có FxdxC 2x ln 2 12x Mà F 00 CFx ln 2 ln 2 222210 1 2211 2017 20182018 T FFFF 012 2017 ln 2 ln 2 ln 2ln 2ln 21ln 2 2x Bấm máy: ta cũng biến đổi để ra được Fx ln 2 Bấm: qi ta được bấm gán vào A, lấy A trừ đi đáp án đã rút gọn . Chọn D. Hoàng Văn Bình
17. Bài 2. TÍCH PHÂN I. Lý thuyết 1. Tích phân b fxdxFbFa a 2. Tính chất b b b Tích phân của tổng thì bằng tổng các tích phân: fxgxdxfxdxgxdx a a a bb Có thể đưa hằng số ra ngoài tích phân: kfxdxkfxdx aa a Tích phân tại một điểm bằng 0: fxdx 0 a b c b Chèn điểm c a; b vào cận ta có: fxdxfxdxfxdx a a c b b b Tính bất biến của tích phân: fxdxftdtfydy a a a II. Sử dụng máy tính cầm tay Sử dụng chức năng y để tính tích phân. III. Ví dụ 1. Tích phân dạng hàm 4 VD. Cho hàm số fx có đạo hàm trên 1;4 và thỏa mãn f 11 , f'2 x dx . Giá trị f 4 là 1 A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 4 4 Ta có: f' x dx f xfff 41 24 3. 1 1 9 VD. Cho hàm số fx liên tục trên và Fx là nguyên hàm của fx , biết f x d9 x và 0 F 03 . Tính F 9 Hoàng Văn Bình
18. A. – 6 B. – 12 C. 12 D. 6 b Ta có fxxFbFa d từ đó ta có thể tính được một yếu tố khi biết hai yếu tố còn lại. a 9 fxxFFF d9909936 . Chọn D. 0 4 VD. Cho hàm số fx liên tục trên   1;4 , f 42017,'d2016 fxx . Tính f 1 1 A. f 13 B. f 11 C. f 11 D. f 12 4 Ta có: fxxff'd4120171201611 f f . Chọn B. 1 2 VD. Cho hàm số fx liên tục trên   1;2 và Fx là nguyên hàm của fx , biết f x x d1 và 1 F 11. Tính F 2 A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 Chọn A. 5 2 VD. Cho hàm số fx thỏa mãn fxdx 10 . Tính Ifxdx 24 2 5 A. I 32 B. I 34 C. I 36 D. I 40 2 2 2 2 5 Từ If x 2 dxdxf 424246 xxf x 40 34 5 5 5 5 2 Hoặc b K Mẹo: f x dx K f x a ba 5 10 Áp dụng: f x dxf 10 x 2 3 22 10 I 2 4 f x dx 2 4. 34 55 3 10 6 2 10 VD. Cho hàm số fx thỏa mãn f x dx 7 và f x dx 3. Tính I f x dx f x dx 0 2 06 Hoàng Văn Bình
19. A. I 10 B. I 4 C. I 7 D. I 4 b c b Áp dụng tính chất fxdxfxdxfxdx a a c Ta có: 10 2 6 10 2 10 2 10 fx dxfx dxfx dxfx dxfx dxfx dxfx dxfx dx 7 3 4 0 0 2 6 0 6 0 6 24 4 VD. Cho fxdxftdt 1, 4 . Tính I f y dy . 22 2 A. – 5 B. – 3 C. 3 D. 5 4 2 4 2 4 fydyfydyfydyfxdxftdt 145 2 2 2 2 2 x2 VD. Tính F '0 của hàm số F 0cos tdt x 0. 0 A. 0 B. – 2 C. 2 D. 2 Đặt ytydydt 2 t 0 y 0 Đổi cận tích phân: 2 tx yx xx2 Ta được: Fxtdtyydy cos2cos 00 uydudy 22 Đặt dvydyvy cos sin x x x x Ta có: 2y sin2 yydy sin2 sin2cos2 y yyx sin xxF 2cos x 2 0 0 0 0 Ta có f' x 2 x cos x f 0 0 4 VD. Cho hàm số fx liên tục trên và thỏa mãn fxdx 2. Khẳng đinh nào sau đây sai? 2 2 3 2 1 6 A. f 21 x dx B. fx 12 C. f 22 x dx D. f x 21 dx 1 3 1 2 0 Hoàng Văn Bình
20. 4 21 Ta có: fxdxfx 2 2 423 Bấm: Đáp án A. Đáp án B Đáp án D Chọn C vì ở câu A ta đã loại được C. 2 VD. Cho fx liên tục trên  0 ;2 thỏa mãn fxfxx 222. Tính fxx d. 0 4 2 4 A. B. C. D. 2 3 3 3 Cách 1: 2 2 2 224 Từ f xfxxf 222d22d2 xxfxxx x d4 3d4d fxxfxx 0 0 0 003 Cách 2: Chọn x 1 thay vào f x 2 f 2 x 2 x f 1 2 f 1 2 2 2 2 24 2 4 3ff 1 211 dd f xxf x x d 3 0 0 33 0 3 1 fx 1 d4x y f x 1;1 fxx d VD. Cho x trong đó là hàm số chẵn trên  . Khi đó bằng 112 1 A. 2 B. 16 C. 4 D. 8 Vì y f x là hàm số chẵn nên ta chọn f x x2 . Bấm máy như sau: Hoàng Văn Bình
21. 1 Ta thấy tích phân sau gấp đôi tích phân trước, suy ra fxx d4.28 1 5 5 VD. Cho fx là hàm số chẵn, liên tục trên và 12d15 fxx . Tính I f x x d 0 5 15 A. 10 B. 5 C. 30 D. 2 5 5 5 5 5 Ta có: 12d1 fxxxfxxfxxfxxd2d15 d5 d5.210 0 0 0 0 5 Bấm máy tính: VD. Cho hàm số yfx liên tục và nhận giá trị dương trên 0; thỏa mãn f 11 , f x f' x 3 x 1 , với mọi x 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 455 f B. 253 f C. 354 f D. 152 f 11fx'' fx Từ f xfxx '31 ddxx 31xx f x 31 f x 2 d fx 22 31xC 31ln31xCf xxCf xe 3 fx 33 24 4 .4 Ta có f 1 1 C f 5 e33 3,794 3 Chọn C. Cách khác: f'' x 1 55f x 1 4 dx dx dx dx f x 3xx 1 11f x 3 1 3 Hoàng Văn Bình
22. 5 d fx 445 f 5 4 lnln fx fe 5 3 1 fx 3 1 f 13 1 1 VD. Cho hàm số fx thỏa mãn x f' x 2 d x f 1 . Tính I f x d x 0 0 A. I 0 B. I 1 C. I 1 D. I 2 1 1 1 1 Từ xfxxfx '2 fxxx d1.'d2 xfx d1.'d11 fxxf 0 0 0 0 1 Xét x. f ' x d x 0 ux ddux 1 1 Đặt xfxfxx d dvfxxvfx 'd 0 0 11 f 1 f x d x f 1 1 f x d x 1. Chọn B 00 1 1 VD. Cho hàm số yfx thỏa mãn xfxx 1'd10 và 2102ff . Tính Ifxx d 0 0 A. I 12 B. I 8 C. I 12 D. I 8 ux 1dd ux 1 1 Đặt xf 1 xf xx d10 d'dvfxxvf x 0 0 11 2f 1 f 0 f x d x 10 f x d x 8 00 2. Tích phân bình thường Sau khi tìm nguyên hàm bằng các phương pháp. Ta áp dụng công thức của tích phân để tính giá trị tích phân. Bấm máy trực tiếp y. 3. Tích phân chống máy tính cầm tay Đây là một dạng bài rất hay, tuy nhiên khả năng ra các bài toán về bản chất tích phân vẫn là dạng bài được ra nhiều hơn. Các cách thường áp dụng cho tích phân chống máy tính cầm tay: giải hệ phương trình bậc nhất, Table, mũ hóa, . Hoàng Văn Bình
23. Về nguyên tắc cơ bản: cần lưu trước tích phân vào biến nhớ. Thường thì các ẩn là số nguyên hoặc hữu tỉ. 1 4ln1x VD. Cho dxabab ln2ln2 2 , . Tính 4.ab 2 x A. 3 B. 9 C. 7 D. 5 1 4l n 1x Gán dx A 2 x abAln2ln2 3 Giải hệ phương trình với K là các đáp án. 4abK Lần lượt thử với các đáp án, vì đề bài nói ab, nên máy tính báo số nguyên mới nhận. Với K 9 ta được Vậy abab 2,149. 4 cos x 1 VD. Cho dxab ln 01,13,, aba b Tính tích ab. 0 sincos4xx 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 6 8 Gán tích phân vào A 1 4 Ab ln cos x 1 Từ dx a ln b a 4 (rút a theo b ) 0 sinxx cos 4 Hoàng Văn Bình
24. 1 Ax ln Vào w7 Coi hàm của ta là y 4 , do 13 b nên ta chọn START 1 END 3 STEP 0,25 Ta thấy tại 2 1 11 Ta được xy 2,0,125 hay baab 2, . 8 84 4 dx VD. Biết abcaln 2ln3ln5 b c , ,. Tính Sabc . 2 3 xx A. 6 B. – 2 C. 2 D. 0 4 dx Gán A . Khi đó Aabc ln 2ln 3ln 5ln 2ln 3ln 5 abc 2 3 xx Sử dụng tính chất a eln aaln e ta có: lnln2eeAabcAabc 3 52 3 5 Bấm: 162 4 tách 2415 .3 .5 (Sử dụng chức năng FACT) 153.5 Vậy a 4, b c 1 S a b c 2 5 x2 x 1 b VD. Biết dxa ln với ab, là các số nguyên. Tính ab 2 3 x 12 A. – 2 B. 5 C. 2 D. 10 Gán tích phân vào A Hoàng Văn Bình
25. b bb Ta có: AaAaeeb ln ln A a 2 A a 2 22 Sử dụng w7 nhập hàm số START – 9, END 9, STEP 1 Vậy abab 8,322 . Chọn C. e ln x VD. Biết dx a e b với ab,. Tính P ab . 1 x A. P 4 B. P 8 C. P 4 D. P 8 Lưu tích phân vào A Ta có AaebAaeb Sử dụng w7 nhập hàm số START – 9, END 9, STEP 1 Vậy abPa 2;4.8 b . Chọn B 5 x3 2 I dx aln 2 b ln 3 c ln 5 d ln 7 a , b , c , d . a,,,. b c d VD. Cho tích phân: 42 Tìm 4 xx 54 Hoàng Văn Bình
26. (bài này sử dụng trên máy tính VINACAL vì máy tính casio không xử lý được) Lưu tích phân vào A Ta có e Aabcd 2 3 5 7 Ở đây ta không thể tách được về dạng tích các thừa số nguyên tố. (vì điều kiện cho hữu tỉ nên số mũ của ta không nguyên) Ta sử dụng phương pháp w7 nhập hàm số F X e X AX (vì a b, , ,c d nên ta nhân cho số nào đó sẽ làm cho các hệ số có thể phân tích được ra thừa số nguyên tố) 428742872500473 .7 63 Tại XF 6, X 6 4096040960409602 .5 13 1311 abcd ,1,, . 662 2 x 2 2017 I dx VD. Tính tích phân 2019 1 x 3220182018 3220182018 3220172018 3220212021 A. B. C. D. 2018 4036 40342017 4040 Mẹo: Bấm máy số mũ to như vậy máy sẽ không xử lý được ta sẽ thu gọn biểu thức lại. bài toán 2 x 2 17 I dx của ta thu lại được 19 1 x 3218 18 3218 18 3217 18 3221 21 A. B. C. D. 18 36 34 17 40 Bấm tích phân Bấm 4 đáp án Hoàng Văn Bình
27. Chọn B. 4 VD. Cho I x xd x 12 và ux 21. Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 1 3 1 3 A. Ixxdx 22 1 B. Iuudu 22 1 2 1 2 1 533 3 1 uu 22 C. I D. Iuudu 1 2 5 3 1 1 u2 1 Ta có uxuxxududx 2121 2 2 xu 01 Đổi cận: xu 43 4 3 u2 113 Ixxdxuduuu 12 du 221 0 1 221 4 Bấm máy: đầu tiên ta bấm Ixxdx 12 0 Sau đó bấm 4 đáp án, thấy đán án nào có cùng kết quả là đúng Loại câu A, vì chưa đổi biến. Đáp án B đúng. 5 x2 x 1 b VD. Biết dx a ln với ab, là các số nguyên. Tính S a2 b 3 x 12 Hoàng Văn Bình
28. A. S 2 B. S 5 C. S 2 D. S 10 552 5 xx 111 2 3 Ta biến đổi dxxdxxx ln18ln 33xx 1 12 3 2 5 xx2 1 b b Bấm máy: Gán dxAAaaA ln ln 3 x 1 2 2 w7 ta được ba 3,8 Vậy ab 282.32 2 1 VD. Kết quả tích phân 21sinxxdx 1 ab, . Khẳng định nào sau đây sai? 0 ab A. ab 28 B. ab 5 C. 232ab D. ab 2 1 Gán: Aa 1 A 11 ab b Table: Hoàng Văn Bình
29. ợc ba 2, 4 . Suy ra khẳng định B sai. e ln x VD. Biết dxaeb với ab,. Tính ab 1 x A. ab 4 B. ab 8 C. ab 4 D. ab 8 Gán AaebbAae w7: ab 2,4 Vậy ab 8. e 1 aln e2 1 b ln 2 c abc,, S a b c. VD. Biết 3 với là các số hữu tỉ. Tính 1 xx A. S 1 B. S 1 C. S 0 D. S 2 Gán Hoàng Văn Bình
30. 2 e 1 e AB e 1 e x e 11 e dx 1 dx dxdxdxdx 3 2 2 2 1 xxxx 1 1 1 xxxx 1 1 1 211 e 1 2211 lnln1ln1lnxx 21 e 2 1 22 abc 1 VD. Giả sử e2xx 2 x 3 5 x 2 2 x 4 d xaxbxcxde 3 2 2 C . Khi đó a b c d bằng A. – 2 B. 2 C. 3 D. 5 Bấm như sau: tách 100980323 xxx32 Vậy abcd 3. Chọn C. e 2ln1xb b I dlnxa 2 abcZ,,, Sabc VD. Cho 2 với tối giản. Tính 1 xx ln1 c c A. S 3 B. S 5 C. S 0 D. S 7 Gán tích phân vào A bb Aa ln 2 aAln 2 . Ta w7 cc b 1 Ta thấy tại a 2 a2, b 1, c 2 a b c 5. Chọn B. c 2 1 x3 VD. Cho I dx ln a b ln c , a , b , c . Tính S a 2 b c 42 0 xx 32 Hoàng Văn Bình
31. A. 3 B. 2 C. 0 D. – 3 Gán tích phân vào A Ta có Aabcea lnln. c Ab Vì abc,, nên ta chọn hàm như sau eAx a x c bx . Ta nhân thêm x vào mũ vì khi đó ta sẽ nhận được kết quả đẹp hơn. Vào w7 Ta được 93 Khi đó a2 c 2b 323 .23,,222 abcSabc 82 dx VD. Cho I axbxC 21ln214 . Tính ab 214x A. – 2 B. – 3 C. 1 D. 2 Ta gán cận cho nguyên hàm: 1 dx a bln5 b ln 4 a b ln5 ln 4 A 1 2x 1 4 2 Với A Hoàng Văn Bình
32. Đến đây, ta có thể chọn phương trình ab ĐÁ rồi giải hệ hoặc chọn tiếp một cặp cận nữa thay vào. Ở đây xin phép dựa vào đáp án và chọn đáp án nào cho ra hệ số ab, đẹp. Vậy ab 1, 4 . Vậy ab 3. Bài 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I. Lý thuyết 1. Tính diện tích hình phẳng Cho hàm số y f x liên tục không âm trên đoạn  ab; . Khi đó diện tịch của hình thang cong b giới hạn bởi yfxyxaxb ,0,, là fxdx a b Diện tích S của hình phẳng D giới hạn bởi yfxyxaxb ,0,, là Sfxdx a b Diện tích S của hình phẳng D giới hạn bởi yfxygxxa ,,, xb là Sfxgxdx a Tính fxgx có các nghiệm xxxab123,,, ; . Khi bài toán không cho cận thì cận chính là hai nghiệm x1 và xn . 2. Tính thể tích vật tròn xoay Thể tích tròn xoay tạo bởi mặt phẳng tròn xoay giới hạn bởi đường yf xyxa ,0,, xb b quay quanh trục Ox là V f2 x dx a Thể tích tròn xoay tạo bởi mặt phẳng tròn xoay giới hạn bởi đường y f x ,,, y g x x a x b b quay quanh trục Ox là Vfxgx dx22 a 3. Tính quãng đường Hoàng Văn Bình
33. b Cho phương trình vận tốc V f t quãng đường là nguyên hàm của vận tốc S f t d t a 4. Một số ứng dụng khác R Tính diện tích chỏm cầu có bán kính R và đường cao h : SRh 2 22 Rh Thể tích hình cầu do hình tròn C x y: R222 khi quay quanh trục Ox : RR4 R3 VRxdxRxdx 22 2 22 R 0 3 xy22 Thể tích hình elip E :1 khi quay quanh trục Oy ab bb ay22 aya22 b 4 2 Vad yady 222 22 b bb0 3 I. Ví dụ VD. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của yx 2 2 và yx 3 A. 2 B. 3 1 1 C. D. 2 6 2 2 x 1 2 1 xx 320 . Diện tích cần tính bằng x 32 x dx . x 2 1 6 VD. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi yxx 3 và yxx 2 37 9 81 S 13 A. S B. S C. S D. 12 4 12 x 0 1 32 32 37 xxxxx 1 . Bấm xxx dx 2 2 12 x 2 VD. Cho đồ thị y f x như hình vẽ sau đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi 2 12 A. S f x dx B. S f x dx f x dx 2 21 Hoàng Văn Bình
34. 22 C. Sfxdxfxdx 11 12 D. S f x dx f x dx 21 1 1 2 1 Diện tích có giá trị dương nên Sfxdxfxdxfxdxfxdx Chọn C. 2 2 1 2 VD. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y x3 1, y 0, x 0, x 2 bằng 5 7 C. 3 9 A. B. D. 2 2 2 2 7 Bấm xdx3 1 0 2 VD. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng yxx 2 32và yx 1. 4 37 799 S 2 A. S B. S C. S D. 3 14 300 Phương trình hoành độ giao điểm xxxxx2 3211,3 3 4 Ta có Sxxx 2 43d . Chọn A. 1 3 VD. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yx 2 1 và yx 5 là 73 73 A. B. 12 C. D. 14 6 3 PTHĐGĐ: x2 1 x 5 x 3 3 73 Bấm xx2 15 3 3 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Hoàng Văn Bình
35. VD. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P , tiếp tuyến của nó tại A 1; 1 và đường thẳng x 2. Tính diện tích S S 1 4 2 1 A. B. S C. S D. S 3 3 3 Phương trình parabol yx 2 (vì đi qua 0.0,1;1,1;1 ) Phương trình tiếp tuyển của P tại A là yx 21 221 Vậy diện tích giới hạn Sxxxxxx 21d21d 22 113 VD. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yxxyxe ln,0, quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích be3 2 . Tìm ab, a A. ab 27,5 B. ab 26,6 C. ab 24,5 D. ab 27; 6 ĐK: x 0 Phương trình hoành độ giao điểm xln x 0 x 1 e Vxxdxe 22ln52 3 suy ra ab 27,5 1 27 VD. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường yx 2, y x,0 y quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây? 12 2 A. V 2 x dx x2 dx B. V 2 x dx 01 0 Hoàng Văn Bình
36. 12 12 C. Vxdxxdx 2 D. Vxdxxdx 2 2 01 01 xxx 21 Phương trình hoành độ giao điểm của x 0 ; 202 xx 12 Vậy ta có: Vxdxxdx 2 2 01 VD. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx 2 đường thẳng x 1 và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay H quanh trục Ox . 1 1 A. V B. V C. V D. V 3 3 5 5 Ta bấm: x VD. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y , trục Ox và đường thẳng x 1. 4 x2 Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H quanh Ox 4 14 3 4 A. ln B. ln C. ln D. ln 23 23 24 3 x Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 00x 4 x2 2 1 x 4 Thể tích giới hạn: Vx dln . Chọn A. 2 0 423 x VD. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi hai trục đồ thị, đường thẳng x 1 và đồ thị hàm số yx 1 3 . Tính thể tích khối tròn xoay do H sinh ra khi quay quanh trục Ox 5 23 9 2 A. B. C. D. 3 14 14 Hoàng Văn Bình
37. Bấm máy tính: . Chọn B VD. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yxyxx 2,2,1 . Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng H quanh trục hoành. 27 9 V 9 55 A. V B. V C. D. V 2 2 6 Vì đồ thị yx 2 nằm dưới Ox nên bị âm. Ta lấy đối xứng lên Ox . x 2 Phương trình hoành độ giao điểm: xx 220 x 1 11 2 2 55 Ta có: Vxxxx 1d2d . Chọn D. 216 4000 VD. Một đám vi trùng itạ ngày thứ t có số lượng là Nt . Biết rằng Nt' và lúc đầu 10,5 t đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu? A. 258.959 con B. 253.584 con C. 257.167 con D. 264.334 con Ta có số lượng vi trùng bằng số lượng ban đầu cộng với số lượng đã tăng trong 10 ngày được tính 10 4000 như sau: 250000d t 0 10,5 t Chọn D. VD. Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xã lũ trong 40 phút với lưu lượng nước tại thời điểm t giây là v t 10 t 500 m3 / s . Hỏi sau khi xã lũ trên thì hồ thoát được một lượng nước là bao nhiêu? A. 5.1043 m B. 4.1063 m C. 3.1073 m D. 6.1063 m Hoàng Văn Bình
38. 2400 Ta có lượng nước thoát ra là: 105003.10tm 73 0 VD. Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 15 m/s thì người lái đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc vttms 515 / . Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn thì còn di chuyển được bao nhiêu m ? A. 22,5 m B. 4 5 m C. 2,25 m D. 4 ,5 m Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc. Ta có, tại thời điểm xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0, suy 3 ra t 3. Vậy quãng đường đi được là 51522,5tdt m 0 VD. Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là 1 6 m chiều rộng là 8 m . Các nhà toán học dung hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai đầu mút của cạnh dài đối diện. Phần mảnh vườn nằm ở miền trong được giới hạn bởi hai parabol được trồng hoa hồng. Biết chi phí trồng hoa hồng là 4 5 . 0 0 0 VND/ m2 . Hỏi các nhà toán học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh vườn đó? A. 3322000 VND B. 3476000 VND C. 2715000 VND D. 2159000 VND  Ta gán hệ trục tọa độ cho mảnh vườn như hình vẽ. Ta cần phải xác định được phương trình hai đường parabol sau đó tính diện tích rồi mới tìm được số tiền. Cách viết phương trình parabol bằng máy tính cầm tay: Ta sử dụng chương trình thống kê w3 trong máy tính: Hoàng Văn Bình
39. Để bắt đầu sử dụng ta ấn w3= Ta viết phương trình của parabol úp trước. Nhìn đồ thị ta thấy, parabol úp đi qua ba điểm 0;4,8;4,8;4 Bấm máy tính w33 . Ta thấy có hai cột x nhập hoành độ ba điểm parabol đi qua và y nhập tung độ tương ứng của ba điểm ở cột x . Ta nhập như sau: . Nhập xong rồi ấn nút AC . Lưu ý: Phương trình parabol của ta thường là y A x B x C2 , nhưng trong máy tính thì ngược lại y C x B x A2 . Chúng ta sẽ hiểu theo máy tính. Ấn q15 để tìm các hệ số CBA,, Chọn 3 C Chọn 2 B Chọn 1 A 1 Vậy phương trình parabol úp là yx 2 4 1 8 Phương trình parabol ngữa có thể viết tương tự, tuy nhiên do hai đồ thị đối xứng nhau qua 1 Ox y x2 4 2 8 Đến đây ta áp dụng bài toán tích phân tích diện tích giới hạn bởi hai đồ thị. Hoàng Văn Bình
40. Tìm giao điểm của hai parabol: 11 2 yyyyxx 04408042 2 2 xx2 1212 88 8 Ta tính diện tích nửa trên sau đó nhân 2 ta được diện tích phần giới hạn của hai parabol Sau đó ta nhân với số tiền trồng hoa Vậy số tiền các nhà toán học phải trả là 2 7 1 5 0 0 0 V N D. Chọn C. VD. Ông B có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ thì parabol có phương trình yx 2 và đường thẳng y 25 . Ông B dự định dung một mảnh vườn nhỏ được chia từ khi vườn bởi một đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện 9 tích mảnh vườn nhỏ là . 2 A. OM 25 B. OM 15 C. OM 10 D. OM 310 Gọi H là điểm có hoành độ a là hình chiểu của điểm M lên Ox . Suy ra phương trình a 23 a 3 OM 2 axxa OMyxax:tan. . Ta có axxdx OH 0 236 0 a3 9 Ta có a 3 OM 3 10 63 VD. Người ta dựng một cái lều vải H có dạng chóp lục giác cong đều như hình vẽ. Đáy là một hình lục giác có cạnh bằng 3m. Chiều cao SO 6 m SO vuông góc đáy. Các sợi dây cccccc123456,,,,, nằm trên các đường hình parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến của H với một mặt phẳng P vuông góc với đáy tại trung điểm SO thì được lục giác có cạnh bằng 1 m. Tính thể tích phần trong của lều H . Hoàng Văn Bình
41. 135 3 135 3 A. m2 C. m2 5 4 96 3 135 3 B. m2 D. m2 5 8 Ta xét một mặt phẳng đi qua SO và c1 . Ta thấy c1 đi qua ba điểm ABC 0;6,1;3,3;0 17 71 cyxx:62 . Rút xyxy :2. Thể tích của lều: 1 22 24 2 6 63711353 V 2ydy 0 4248 Hoàng Văn Bình
42. VD. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0 m s 1 5 / thì tăng tốc với gia tốc atttms 224 / . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. 7 0 ,2 5 m B. 6 8 ,2 5 m C. 6 7 ,2 5 m D. 6 9 ,7 5 m t3 t3 vtatdttC 2 2 mà vCt 15215 2 3 0 3 Bấm . VD. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x như hình bên. Đặt hxfxx 2.2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. hhh 422 B. hhh 422 C. hhh 242 D. hhh 224 Ta có hxfxxhxfxx'2' '0' Đường thẳng yx đi qua ba điểm 2;2;2;2;4;4 trên đồ thị Gọi SS12, lần lượt là diện tích phần bên trên và bên dưới của đường thẳng yx 2 S 0 h ' x dx 0 h 2 h 2 0 h 2 h 2 1 2 4 Sh x0'024 dxhhhh 024 2 2 Mà S12 S h 2 h 2 h 2 h 4 h 4 h 2 Suy ra hhh 2 4 2 Hoàng Văn Bình
43. VD. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị có một phần là đường parabol có đỉnh là I 2 ;9 và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại của đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. s k m2 3 ,2 5 B. s 21,58 km C. s 15,50 km D. s k m1 3 ,8 3 Hoàng Văn Bình
44. 5 Phương trình parabol của chuyển động là y x x 2 54 4 31 31 Ta có v 1 phương trình đường thẳng của chuyển động là y 4 4 13 5 2 31 Ta có quãng đường vật chuyển động được tính theo xxdxdx 54 21,583 01 44 Đọc thêm: công thức Wa l l i s s n 1!! 22 1 nn n!! cossinxdxxdx lẻ dùng 1 , chẵn dùng 2 . n 1!! 00 .2 n!!2 n!! đọc là n Wa l l i s s và được hiểu dựa vào n chẵn hay lẻ. VD. 0!!1; 1!!1; 2!!2; 3!!1.3; 4!!2.4; 5!!1.3 .5 2 10!! 2.4.7.8.10 256 VD. cos11 xdx 0 11!! 1.3.5.7.9.11 693 2 9!!63 VD. sin.10 xdx 0 10!!2512 Hoàng Văn Bình