Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11: Giới hạn liên tục

Nội dung text: Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11: Giới hạn liên tục

1. BÀI GIẢI Bài 1: Tính các giới hạn sau: ( hữu hạn) 3x 5 1 a) lim b) lim c)lim( x3 x2 2x 1) x 2 x 1 x 4 x 3 x 3 3x 5 11 a)lim x 2 x 1 3 1 1 b ) lim 1 x 4 x 3 4 3 c) lim ( x 3 x 2 2 x 1) 3 3 3 2 2( 3) 1 11 x 3 Bài 2: Tính các giới hạn sau: ( giới hạn 1 bên ) 3x 5 2x 1 x 2 x 2 a)lim b) lim c) lim ; d) lim ; x 2 x 1 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 3x 5 11 a)lim x 2 x 1 3 2x 1 b) lim (vìkhix 3 thì(2x 1) 7;(x 3) 0; x 3 0) x 3 x 3 x 2 x 2 c) lim lim lim 1 1(vì( x 2) 0) x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ( x 2) d ) lim lim lim ( 1) 1(dox 2 0) x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 2x 3 khi x 2 lim f (x) Bài 3: Cho hàm số: f (x) . Tính lim f (x) , lim f (x) và x 2 (nếu có) 3 4x 29 khi x 2 x 2 x 2 a) lim f (x) lim (4x3 29) 3 x 2 x 2 b) lim f (x) lim (x2 2x 3) 3 x 2 x 2 li m f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) f (2) C) Tồn tại x 2 vì x 2 x 2 2 x 1 khi x 1 Bài 4: Cho hàm số: f (x) . Tính lim f (x) , lim f (x) và lim f (x) (nếu có) 2x2 1 khi x 1 x ( 1) x ( 1) x 1 a ) lim f ( x) lim ( 2 x 2 1) 3 x ( 1) x ( 1) b) lim f ( x) lim (2 x 1) 1 x ( 1) x ( 1)
2. lim f (x) lim f (x) f ( 1) c)Không tồn tại lim f (x) vì x ( 1) x ( 1) x 1 Bài 5 : Tính các giới hạn sau: a) lim ( x3 x2 2x 1) b) lim (x4 x2 x 1) x x x2 5x 1 x 3 c) lim d) lim x 3x 4 x 2x2 x 7 a) lim ( x3 x2 2x 1) x b) lim (x4 x2 x 1) x 2 5 1 5 1 2 x ( 1 ) x( 1 ) x 5x 1 2 2 c) lim lim x x lim x x x 3x 4 x 4 x 4 x 3 3 x x 3 3 x 1 1 x 3 x x d) lim lim lim 0 x 2 x x 2x x 7 2 1 1 x 2 7 x 2 7 x x Bài 6: Tính các giới hạn sau: ( dạng vô định ) x2 x 2x 2x2 7x 1 x2 2x 3 4x a )lim b) lim c) lim x x x 2 2x 3 3x 7 4x 1 x 1
3. 2 1 1 2 x 1 2 x x 1 2 x x x 2 x x x a ) lim lim lim x 2 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x x 1 1 x 1 2 1 2 x x 3 lim lim x 3 x 3 2 x 2 2 x x 2 7 1 7 1 2 x 2 2 x 2 2 2 x 7 x 1 x x x x b ) lim lim lim x 3 x 7 x 3 x 7 x 7 x 3 x 7 1 2 2 x x 2 lim x 7 3 3 x 2 2 3 2 3 2 x 1 2 4 x . 1 2 4 x 2 x 3 4 x x x x c ) lim lim lim x 2 x x 4 x 1 x 1 2 1 1 x 4 2 x 1 x . 4 2 x 1 x x * Trường hợp 1: 2 3 2 3 4 x 1 4 x 1 2 2 x x x x : lim x x lim x 1 x 1 1 x 4 x 1 2 x 4 2 1 x x x 2 3 4 1 x x 2 x 1 lim 1 x 1 1 1 4 1 x 2 x * Trường hợp 2: 2 3 2 3 4 x. 1 4 x. 1 2 2 x x x x : lim x x lim x 1 x 1 1 x. 4 x 1 2 x. 4 2 1 x x x 2 3 4 1 x x 2 x 1 lim 1 x 1 1 1 4 1 x 2 x 0 Bài 7: Tính các giới hạn sau :( dạng vô định ) 0 x 2 2x2 5x 3 x2 4x 3 a) lim 2 b)lim c) lim 2 x 2 x 4 x 3 x 3 x 3 x 9
4. x5 x3 2 4x5 5x4 1 xn 1 d)lim 2 e) lim 3 f)lim x 1 x 1 x 1 (x 1)(x x 2) x 1 x 1 x 2 x 2 1 1 a ) lim lim lim x 2 x 2 4 x 2 ( x 2)( x 2) x 2 x 2 4 2 x 2 5 x 3 ( x 3)(2 x 1) b) lim lim lim (2 x 1) 7 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 4 x 3 ( x 3)( x 1) x 1 1 c) lim lim lim x 3 x 2 9 x 3 ( x 3)( x 3) x 3 x 3 3 4 3 2 4 3 2 x5 x3 2 (x 1) x x 2x 2x 2 x x 2x 2x 2 d)lim lim lim 4 x 1 x2 1 x 1 (x 1)(x 1) x 1 (x 1) 4 3 2 4x5 5x4 1 4x5 5x4 1 (x 1) 4x x x x 1 e)lim lim lim x 1 (x 1) x3 x 2 x 1 (x 1) x3 x 2 x 1 (x 1) x3 x 2 4 3 2 3 2 3 2 4x x x x 1 (x 1) 4x 3x 2x 1 4x 3x 2x 1 5 lim lim lim x 1 x3 x 2 x 1 (x 1) x2 x 2 x 1 x2 x 2 2 xn 1 (x 1)(xn 1 xn 2 1) f )lim lim lim(xn 1 xn 2 1) n x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 Bài 8: Tính các giới hạn sau:( dạng vô định ) 0 2 4 x 2x x2 1 8 2x 2 a) lim b) lim 2 c) lim x 0 x x 1 x x x ( 2) x 2 2 4 x (2 4 x )(2 4 x ) 4 (4 x) a) lim lim lim x 0 x x 0 x.(2 4 x ) x 0 x.(2 4 x ) x 1 1 lim lim x 0 x.(2 4 x ) x 0 (2 4 x ) 4 2 2 2 2x x 2 1 2x x 1 2x x 1 2x x 1 b) lim 2 lim lim x 1 x x x 1 x 2 x 2x x 2 1 x 1 x 2 x 2x x 2 1 (x 1)( x 1) ( x 1) lim lim 0 x 1 x. x 1 2x x 2 1 x 1 x. 2x x 2 1 8 2x 2 ( 8 2x 2)( 8 2x 2) x 2 (8 2x 4) x 2 c) lim lim lim x ( 2) x 2 x ( 2) x 2( 8 2x 2) x 2 x ( 2) (x 2)( 8 2x 2) 2(x 2) x 2 2 x 2 lim lim 0 x ( 2) (x 2)( 8 2x 2) x ( 2) 8 2x 2
5. Bài 9 :Tính các giới hạn sau: ( dạng vô định ) a)lim x2 3 x b) lim x2 x 4 x2 c) lim x2 1 x 1 x x x 2 2 x 3 x x 3 x x2 3 x2 3 a) lim x2 3 x lim lim lim 0 x x x x x2 3 x x2 3 x x2 3 x 2 2 2 2 x x 4 x x x 4 x (x2 x) (4 x2 ) b) lim x2 x 4 x2 lim lim x x x x2 x 4 x2 x2 x 4 x2 4 4 x. 1 x. 1 x 4 x x lim lim lim x 2 2 x x x x 4 x 2 1 2 4 1 4 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 x x x x 4 4 x. 1 1 x x 1 lim lim x 1 4 x 1 4 2 x 1 1 1 1 2 2 x x x x 2 2 x 3 (x 1) x 3 (x 1) (x2 3) (x 1)2 c) lim x2 3 x 1 lim lim x x x x2 3 (x 1) x2 3 x 1 2 2 2 x 2 x 3 x 2x 1 2x 2 x lim lim lim x x x 2 3 2 3 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 2 x x x 2 2 x 2 2 x x 2 lim lim 1 x 3 1 x 3 1 2 x 1 1 1 1 2 2 x x x x
6. ÔN CHƯƠNG 4 : HÀM SỐ LIÊN TỤC TÓM TẮT  Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; b và x0 a; b . Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu: lim f ( x ) f ( x0 ) x x0 Hàm số f x xác định trên khoảng a; b là liên tục tại điểm x0 a; b nếu và chỉ nếu lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x ) 0 x x0 x x0 BÀI TẬP Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại x0 đã chỉ ra: 2 x 3x 2 x 1 khi x 2 2 khi x 1 a)f (x) x 2 (x0 2) b) f (x) x 1 (x0 1) 1 khi x 2 2 khi x 1 x3 x2 x 1 2 khi x 1 c) f (x) x 3x 2 (x0 1) 1 khi x 1 x 2 3 x 2 khi x 2 a ) f ( x ) x 2 ( x 0 2) 1 khi x 2 * f (2) 1 T acó : x 2 3 x 2 x 2 x 1 lim ( x 1) 1 * lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 ( x 2) lim f ( x ) f (2) x 2 Vậy : Hàm số liên tục tại x0 = 2. x 1 2 khi x 1 b) f (x) x 1 (x0 1) 2 khi x 1 * f (1) 2 Ta.có : x 1 ( x 1)( x 1) (x 1) 1 1 *lim lim lim lim 2 2 x 1 x 1 x 1 (x 1)( x 1) x 1 (x 1)(x 1)( x 1) x 1 (x 1)( x 1) 4 lim f (x) f (1) x 1
7. Vậy : Hàm số không liên tục tại x0 = 1 x3 x2 x 1 2 khi x 1 c) f (x) x 3x 2 (x0 1) 1 khi x 1 * f (1) 1 Ta.có : x3 x2 x 1 (x 1)(x2 1) (x2 1) *lim lim lim 0 2 x 1 x 3x 2 x 1 (x 1)(x 2) x 1 (x 2) lim f (x) f (1) x 1 Vậy : Hàm số không liên tục tại x0 = 1 Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại x0 đã chỉ ra: x 5 (x 1)2 khi x 0 khi x 5 a)f (x) (x0 0) b) f (x) 2x 1 3 (x0 5) 1 khi x 0 2 (x 5) 3 khi x 5 (x 1)2 khi x 0 a) f (x) (x0 0) 1 khi x 0 2 * f (0) (0 1) 1 Ta.có : * lim f (x) lim(x 1)2 1 x 0 x 0 * lim f (x) lim( 1) 1 x 0 x 0 lim f (x) lim f (x) f (0) x 0 x 0 Vậy : Hàm số không liên tục tại x0 = 0 x 5 khi x 5 b) f (x) 2x 1 3 (x0 5) 2 (x 5) 3 khi x 5 * f (5) (5 5)2 3 3 * lim f (x) lim (x 5)2 3 3 x 5 x 5 x 5 (x 5)( 2x 1 3) Ta.có * lim f (x) lim lim x 5 x 5 2x 1 3 x 5 ( 2x 1 3)( 2x 1 3) (x 5)( 2x 1 3) ( 2x 1 3) lim lim 3 x 5 2(x 5) x 5 2 lim f (x) lim f (x) f (5) x 5 x 5 Vậy : Hàm số liên tục tại x0 = 5
8. Bài 3. Tìm m để các hàm số sau liên tục tại x : 0 x3 x2 2x 2 x2 3x 2 khi x 1 2 khi x 2 a)f (x) x 1 (x0 1) b) f (x) x 2x (x0 2) 3x m khi x 1 mx m 1 khi x 2 x 2 2 x2 4x 3 khi x 2 khi x 1 c)f (x) x 7 3 (x0 2) d) f (x) x 1 (x0 1) 2 x 3mx khi x 2 12 m khi x 1 x3 x2 2x 2 khi x 1 a) f (x) x 1 (x0 1) 3x m khi x 1 * f (1) 3.(1) m m 3 Ta.có : x3 x2 2x 2 (x 1)(x2 2) *lim f (x) lim lim lim(x2 2) 3 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 Để hàm số liên tục tại x0 =1 lim f (x) f (1) x 1 m 3 3 m 0 Vậy : Khi m = 0 thì hàm số liên tục tại x0 =1 x2 3x 2 2 khi x 2 b) f (x) x 2x (x0 2) mx m 1 khi x 2 * f (2) m(2) m 1 3m 1 Ta.có : * lim f (x) lim (mx m 1) 3m 1 x 2 x 2 x2 3x 2 (x 2)(x 1) (x 1) 1 * lim f (x) lim 2 lim lim x 2 x 2 x 2x x 2 x(x 2) x 2 x 2 Để hàm số liên tục tại x0 = 2
9. lim f (x) lim f (x) f (2) x 2 x 2 1 3m 1 2 1 m 6 1 Vậy : Khi m = 6 thì hàm số liên tục tại x0 =1 x 2 2 khi x 2 c) f (x) x 7 3 (x0 2) 2 x 3mx khi x 2 * f (2) (2)2 6m 4 6m Ta.có : lim x 2 2 (x 2 4).( x 7 3) x 7 3 3 x *lim f (x) lim lim lim x 2 x 2 x 7 3 x 2 (x 7 9).( x 2 2) x 2 x 2 2 2 Để hàm số liên tục tại x0 = 2 lim f (x) f (2) x 2 3 4 6m 2 5 m 12 5 Vậy : Khi m = 12 thì hàm số liên tục tại x0 = 2 x2 4x 3 khi x 1 d) f (x) x 1 (x0 1) 12 m khi x 1 * f (1) 12 m Ta.có : x2 4x 3 (x 1)(x 3) *lim f (x) lim lim lim(x 3) 2 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 Để hàm số liên tục tại x0 = 1 lim f (x) f (1) x 1 12 m 2 m 14 Vậy : Khi m = 14 thì hàm số liên tục tại x0 =1 Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau: x2 2 x3 8 khi x 2 khi x 2 a) tại x = 2 b) f (x) tại x = - 2 f (x) x 2 0 4x 8 0 2 2 khi x 2 3 khi x 2
10. x3 27 1 khi x 3 khi x 1 2 x 2 x 9 c) f (x) tại x = 1 d) tại x = 3 1 0 f (x) 5 khi x 3 0 khi x 1 2x 1 khi x 3 x x2 2 khi x 2 a) f (x) x 2 2 2 khi x 2 * f ( 2) 2 2 Ta.có : 2 x 2 x 2 . x 2 * lim f (x) lim lim lim x 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 lim f (x) f ( 2) x 2 2 Vậy : Hàm số liên tục tại x0 = x3 8 khi x 2 b) f (x) 4x 8 3 khi x 2 * f ( 2) 3 3 2 Ta.có : x 8 (x 2)(x 2x 4) 2 * lim f (x) lim lim lim (x 2x 4) 12 x ( 2) x ( 2) 4x 8 x ( 2) (x 2) x ( 2) lim f (x) f ( 2) x ( 2) Vậy : Hàm số không liên tục tại x0 = - 2 1 khi x 1 x 2 c) f (x) tại x = 1 1 0 khi x 1 x 1 * f (1) 1 1 2 1 T a.có : * lim f ( x ) lim 1 x 1 x 1 x 2 1 * lim f ( x ) lim 1 x 1 x 1 x lim f ( x ) lim f ( x ) 1 x 1 x 1 Vậy : Hàm số liên tục tại x0 = -1 x3 27 2 khi x 3 x 9 d) f (x) 5 khi x 3 tại x0 = 3 2x 1 khi x 3
11. Ta.có : * f (3) 5 * lim f (x) lim(2x 1) 5 x 3 x 3 x3 27 * lim f (x) lim 2 x 3 x 3 x 9 lim f (x) lim f (x) f (3) x 3 x 3 Vậy : Hàm số không liên tục tại x0 = 3 Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số f theo a : x3 x2 2x 2 x3 5x2 5x 3 khi x 1 2 khi x 3 a) f (x) x 1 tại x0 = 1 b) f (x) x 9 tại x0 = 3 a khi x 1 a 4x khi x 3 x3 8 x2 x 2 khi x 2 khi x 2 c) f (x) x 2 tại x0 = 2 d) f (x) x 2 tại x0 = 2 a khi x 2 a x khi x 2 a) x3 x2 2x 2 khi x 1 ) f (x) x 1 a khi x 1 * f (1) a 3 2 2 Ta.có : x x 2x 2 x 1 (x 2) 2 *lim f (x) lim lim lim(x 2) 3 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 Để hàm số liên tục tại x0 = 1 lim f (x) f (1) x 1 a 3 Vậy : Khi a = 3 thì hàm số liên tục tại x0 =1 x3 5x2 5x 3 2 khi x 3 a) f (x) x 9 tại x0 = 3 a 4x khi x 3
12. Ta.có : * f (3) a 12 * lim f (x) lim(a 4x) a 12 x 3 x 3 x3 5x2 5x 3 (x 3)( x2 2x 1) ( x2 2x 1) 2 * lim f (x) lim lim lim 2 x 3 x 3 x 9 x 3 (x 3)(x 3) x 3 (x 3) 9 Để hàm số liên tục tại x0 = 3 lim f (x) lim f (x) f (3) x 3 x 3 2 a 12 9 110 a 9 110 Vậy : Khi a =9 thì hàm số liên tục tại x0 = 3 x3 8 khi x 2 C) f (x) x 2 tại x0 = 2 a khi x 2 Ta.có : * f (2) a 3 2 x 8 (x 2)(x 2x 4) 2 *lim f (x) lim lim lim(x 2x 4) 12 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Để hàm số liên tục tại x0 = 2 lim f (x) f (2) x 2 a 12 Vậy : Khi a = 12 thì hàm số liên tục tại x0 = 2 x2 x 2 khi x 2 d) f (x) x 2 tại x0 = 2 a x khi x 2 Ta.có : * f (2) a 2 * lim f (x) lim(a x) a 2 x 2 x 2 x2 x 2 (x 2)(x 1) * lim f (x) lim lim lim(x 1) 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
13. Để hàm số liên tục tại x0 = 2 lim f (x) lim f (x) f (2) x 2 x 2 a 2 3 a 5 Vậy : Khi a = 5 thì hàm số liên tục tại x0 = 2 ÔN CHƯƠNG 4 : Chứng minh phương trình có nghiệm Tính chất của hàm số liên tục - Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng. - Các hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. Định lí: Nếu hàm f liên tục trên a; b và f a . f b 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c a; b sao cho f c 0 . BÀI TẬP Chứng minh phương trình: 1)3x3 12x 1 0 có ít nhất một nghiệm. 2)x5 x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2) . 3 3) x x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn.– 1 2 4) x cos x xsin x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; ) . Bài 1 : 3x3 12x 1 0 có ít nhất một nghiệm. 3 Đặt f(x) = 3x 12x 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R , suy ra liên tục trên [ 0 ; 1 ] Ta có : f (0) 1 f (1) 14 f (0). f (1) 0 Do đó Phương trình 3x3 12x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1 ) 5 Bài 2 x x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2) . x5 x 1 Đặt f(x) = là hàm đa thức nên liên tục trên R , suy ra liên tục trên [ 1 ; 2 ] Ta có f (1) 1 f (2) 29 \ f (1). f (2) 0 5 Do đó Phương trình x x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1 ; 2 ) 3 Bài 3 : x x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn.– 1
14. x3 x 1 Đặt f(x) = là hàm đa thức nên liên tục trên R , suy ra liên tục trên [ - 1 ; 0 ] Ta có f ( 1) 1 f (0) 1 f ( 1). f (0) 0 3 Do đó Phương trình x x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn.– 1 2 Bài 4 : x cos x xsin x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; ) . 2 Đặt f(x) = x cos x xsin x 1 là hàm lượng giác nên liên tục trên R [0; ] suy ra f(x) liên tục trên Ta có f (0) 1 2 f ( ) 1 f (0). f ( ) 0 2 Do đó Phương trình x cos x xsin x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; ) . ===