Bài tập giải hệ phương trình Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập giải hệ phương trình Lớp 9 (Có đáp án)

1. Bài tập và đáp án Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau: 1 x 3y 10 19 3x 2y 8 37 2x y 4 x 5y 16 2x 3y 12 2x 0y 6 0 2 2x y 7 20 2x y 5 38 x 2y 2 x 4y 10 x 7y 9 2x 4y 1 3 3x 5y 18 21 5x 3y 7 39 3x 2y 2 0 x 2y 5 3x y 8 9x 6y 4 0 4 4x 3y 6 22 2x y 3 40 2x y 2 2x 5y 16 3x 4y 10 4x 2y 4 0 5 2x y x 3y 3 23 x y 2 41 x 2y 4 ) 3x 3y 9 x 3y 6 2x 9y 18 6 2x 4y 3 24 x 2y 5 42 2x y 3 x 2y 1 3x 4y 5 x y 3 7 x y 2(x 1) 25 3x 2y 12 43 x y 0 7x 3y x y 5 4x y 5 2x y 5 8 2x 5y (x y) 26 2x y 10 44 2x y 0 6x 3y y 10 5x 2y 6 x 4y 0 9 3x y 2 27 5x 2y 10 45 x y 3 9x 3y 6 5x 2y 6 x 2y 3 10 2x 5y 7 28 3x 2y 8 46 x y 2 2x 3y 1 4x 3y 12 3x 2y 9 11 x 3y 10 29 2x y 3x 20 47 3x y 2 2x y 1 4x y x 2y 12 6x 2y 3 12 2x 3y 2 30 5x y 1 48 2x 3y 6 3x 2y 3 10x 2y 0 4x 6y 12 13 2x y 3 31 3x 2y x 49 3x 2y 6 3x y 7 5(x y) 3x y 5 2x 3y 4 14 2x y 7 32 2x 5y 1 50 x 2y 2 x 2y 5 4x 10y 2 2x y 1 15 x 2y 5 33 2x y 5 51 2x y 5 3x 2y 1 x y 1 3x y 15 16 3x 2y 12 34 x 2y 4(x 1) 52 3x 2y 8 4x 3y 1 5x 3y (x y) 8 5x 2y 12 17 5x 3y 22 35 x y 1 53 2x 3y 5 3x 2y 22 3x 2y 8 2x 3y 1 18 3x y 0 36 0x y 3 54 2x 3y 5 x 2y 5 x 2y 4 4x 6y 10 Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau: 1
2. 1 1 1 5 1 1 9 1 2 1 3 2 x y x y x y x y 2 2 4 2 3 3 1 5 1 1 x y x y x y x y 2 2 2 3 6 2 6 10 x 3 1 1,1 5 x 1 y x y x y x y x y 2 5 4 9 2x 1 1 0,1 3 x 1 y x y x y x y x y 3 1 1 7 2x y 11 3 2 2 3 2 x 2 y 1 x 1 y 1 x y 2x y 2 3 x 3y 4 10 1 1 2 x 2 y 1 x 1 y 1 x y 2x y 4 2 2 8 1 1 3 12 x x 2 1 x 2 y 1 x y 4 y y 12 2 3 1 1 2 x x 1 2 x 2 y 1 6x 5y 15 x 12 y mx y 1 Bài 3: Cho hệ phơng trình: x my 2 a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Giải: mx y 1 2x y 1 a) Thay m = 2 vào hệ phơng trình x my 2 ta có hệ phơng trình trở thành x 2y 2 y 1 2x y 1 2x x 2. 1 2x 2 x 2 4x 2 y 1 2x y 1 2.0 y 1 3x 0 x 0 x 0 Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = ( 0 ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m y 1 mx mx y 1 y 1 mx y 1 mx 2 x m. 1 mx 2 2 1 m x 2 m (*) Ta có x my 2 x m m x 2 2 m 2m m2 y 1 m. 2 y 1 y 1 mx 1 m 1 m2 2 m 2 m 2 m x 2 x 2 x 2 1 m 1 m 1 m 2
3. 1 m2 2m m2 1 2m y y 1 m2 1 m2 2 m 2 m x x 2 1 m2 1 m (m 1 ) 2 m 1 2m 2 ; 2 Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = 1 m 1 m với m 1 - Xét m = 1 => Phơng trình (*) 0x = 1, phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Xét m = - 1 => Phơng trình (*) 0x = 3, phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 2 m 1 2m 1 2 1 m2 1 m2 2 m 1 2m 1 m m2 m 0 m. m 1 0 m 0 m 0 m 1 0 m 1 m = 0 (nhận), m = - 1 (loại) Vậy với m = 0 thì hpt trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. mx y 1 1 Xét hệ phơng trình x my 2 2 1 y m Từ phơng trình 1 mx 1 y x 1 y 1 y m x .y 2 thay x vào phơng trình 2 ta có phơng trình x y y2 x 2 2 2 2 2 x x y y 2x x y y 2x 0 2 2 Vậy x y y 2x 0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m x m 1 y 2 Bài 4: Cho hệ phơng trình: có nghiệm duy nhất (x ; y) a) Giải hệ phơng trình khi m = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1 2x 3y d) Tìm các giá trị của m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên. Giải: m 1 x y m x m 1 y 2 a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành 3 1 x y 3 2x y 3 4x 2y 6 x 3 1 y 2 x 2y 2 x 2y 2 3
4. 4 4 4 4 x x x x 3 3 3 3 3x 4 4 4 2 1 2y 2 2y 2 2y y x 2y 2 3 3 3 3 4 1 ; Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = 3 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m 1 x m 1 y 2 Xét hệ phơng trình 2 2 x y m Từ phơng trình 2 x my y 2 my 2 x y y 2 x y 2 x y 2 x y m 1 x y thay y vào phơng trình 1 ta có phơng trình: y y 2 x y y 2 x y .x y y y 2 x 2 x y 2x x2 y2 2 x y .x y y y y y 2 2 2 2 2x x y 2 x y x y 3x y 2 0 2 2 Vậy x y 3x y 2 0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m x m 1 y 2 c) Giải hệ phơng trình theo tham số m ta có hpt 2 2 m 1 x y m m 1 x m 1 y m. m 1 m 1 x x m. m 1 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 2 2 m 2m 1 1 x m m 2 m. m 2 x m 1 m 2 (*) x m 1 y 2 x m 1 y 2 m 1 m 1 x x m m m 1 m 1 m 1 y 2 m 1 y 2 m m m 1 m 1 m 1 x x x m m m 2m m 1 m 1 1 m 1 y m 1 y y ` m m m m 1 1 ; Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = m m (m 0,m 2 ) - Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vô số nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là 4
5. ()x R;y 2 x +) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = 1 2 m 1 1 2m2 4m 2 7 2 7. 1 1 m m m2 m 2m2 4m 2 7m m2 m2 3m 2 0 m 2 . m 1 0 m 2 0 m 2 (loại) m 1 0 m 1 m = 1 Vậy với m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 1 m 1 1 2x 3y x y d) Thay m ; m vào biểu thức A = x y ta đợc biểu thức m 1 1 2m 2 3 2. 3. m m m m 1 1 m 1 1 2m 1 m 2 2m 1 2 m 2 5 : A = m m = m = m m = m 2 = m 2 2 m 2 5 5 2 = m 2 m 2 = m 2 2x 3y Để biểu thức A = x y nhận giá trị nguyên 5 5 2 m 2 nhận giá trị nguyên m 2 nhận giá trị nguyên 5M m 2 (m+2) là ớc của 5. Mà Ư(5) =  1; 5 m 2 1 m 1 2 m 1 m 2 1 m 1 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 7 Kết hợp với điều kiện m 0 ; m 2 Vậy với các giá trị m  7; 3; 1;3 thì giá trị của biểu 2x 3y thức x y nhận giá trị nguyên. mx y 2 Bài 5 Cho hệ pt: 2x y 1 . Giải và biện luận hệ theo m. Bài làm: 2x y 1 (2 m)x 3 (1) mx y 2 2x y 1 (2) + Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3 -Nếu 2 + m = 0 m = - 2 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 3 (3) Do phơng trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiệm. -Nếu 2 + m 0 m - 2. 3 Thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2 m 5
6. 3 6 4 m + Thay x = 2 m vào phơng trình (2) ta có:y = 2x – 1 = 2 m - 1 = 2 m 3 x 2 m 4 m y Vậy với m - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất 2 m . Tóm lại: +) Với m = - 2 thì hệ phơng trình vô nghiệm 3 x 2 m 4 m y +) Với m - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất 2 m . x 7 y Bài 6 Tìm giá trị của m và p để hệ phơng trình mx 2y p a) Có một nghiệm duy nhất b) Có vô số nghiệm c) Vô nghiệm Giải: Thay x = 7 – y vào phơng trình thứ hai, ta có: m(7 - y) = 2y + p (m + 2)y = 7m - p (1) a) Nếu m + 2 0 m 2 => Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất. 7m p 7m p 14 p Từ (1) => y = m 2 , thay vào x = 7 – y => x = 7 - m 2 = m 2 14 p 7m p Vậy khi m 2 thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (m 2 ;m 2 ) b) Nếu m = - 2 => Phơng trình (1) trở thành 0.y = - 14 – p Hệ vô số nghiệm khi: -14 – p = 0 p = - 14 Vậy khi m = - 2 và p = - 14 thì hệ vô số nghiệm c) Nếu m = - 2 và p 14 thì phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm *) Cách khác: mx 2y p Hệ phơng trình đã cho x y 7 m 2 m 2 a) Hệ có nghiệm duy nhất 1 1 p m 2 b) Hệ vô số nghiệm 1 1 7 => m = - 2, p = - 14 p m 2 c) Hệ vô nghiệm 1 1 7 => m = - 2, p 14 6
7. Bài 7 : Phơng pháp: ax by c (1) Cho hệ phơng trình : a x b y c (2) x x0 y y Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm 0 Cách 1: Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải. Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải. Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số Bài8 : Cho hệ phơng trình 3x 2y 7 (1) 2 (5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2) Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 – 2.(- 2) = 7 3 + 4 = 7 (luôn đúng với mọi n) Vậy (2; 1) là nghiệm của (1). Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – 3 n 0 7n – 3 = n2 – 4n – 3 n(n –11) = 0 n 11 Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2) 1 5m(m 1)x my (1 2m)2 (1) 3 2 Bài 9 Cho hệ phơng trình 4mx 2y m 3m 6 (2) Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất (x = 1; y = 3). Giải: Thay x = 1; y = 3 vào (1) ta có: m 1 5m2 – 5m + m = 1 – 4m + 4m2 m2 = 1 m 1 (I) Thay x = 1; y = 3 vào (2) ta có: m 0 4m + 6 = m2 + 3m + 6 m(m – 1) = 0 m 1 (II) Từ (I) và (II) Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm (x = 1 ; y = 3) 2mx (n 2)y 9 Bài 10 Cho hệ phơng trình : (m 3)x 2ny 5 Tìm m; n để hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1) Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có: (m 3).3 2n.( 1) 5 3m 2n 4 m 2 6m (n 2).( 1) 9 12m 2n 14 n 5 Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1). 7
8. 3x 2y 8 (1) Bài 11 Cho hệ phơng trình 3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn : 4x – 2y = - 6 (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: 5 3(m + 5) + 6m 0 m 3 Do (x; y) là nghiệm của hệ phơng trình (I) và thoả mãn (3) (x; y) là nghiệm của (1), (2), (3) 3x 2y 8 x 2 Kết hợp (1) và (3) ta có: 4x 2y 6 y 1 Thay x = - 2, y = -1 vào phơng trình (2) ta đợc: 6m – (m +5) = m2 - 1 m2 – 5m + 4 = 0 m 1 5 m 4 (thỏa mãn m 3 ) Vậy m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x – 2y = - 6 mx y 5 (1) Bài 12 Cho hệ phơng trình 2mx 3y 6 (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.3 2.m m 0. Từ (1) y = 5 – mx. Thay vào (2) ta có: 9 2mx + 3(5 - mx) = 6 x = m (m 0) 9 9m Thay x = m vào y = 5 – mx ta có: y = 5 - m = - 4 9 Vậy với m 0 hệ (I) có nghiệm x = m ; y = - 4 9 Thay x = m ; y = - 4 vào phơng trình (3) ta đợc: 9 (2m – 1).m + (m + 1)(- 4) = m 9 18 - m - 4m – 4 = m 5m2 – 14m + 9 = 0 m 1 9 m (m – 1).(5m – 9) = 0 5 (thoả mãn m 0) 8
9. 9 Vậy với m = 1 hoặc m = 5 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mãn (2m – 1)x + (m + 1)y = m (m 2)x 2y 5 Bài 13 Cho hệ pt: mx y 1 Tìm mZ để hệ có nghiệm duy nhất là các số nguyên Giải: Từ (2) ta có: y = mx – 1. Thay vào (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = 5 3mx + 2x = 7 2 7 x.(3m + 2) = 7 (m 3 ) x = 3m 2 . 7 4m 2 Thay vào y = mx – 1 y = 3m 2 .m – 1 y = 3m 2 7 7; 7;1; 1 Để x Z 3m 2 Z 3m + 2 Ư(7) =   +) 3m + 2 = - 7 m = - 3 5 +) 3m + 2 = 7 m = 3  Z (loại) 1 +) 3m + 2 = 1 m = 3  Z (loại) +) 3m + 2 = -1 m = - 1 4m 2 Thay m = - 3 vào y = 3m 2 y = 2 (t/m) 4m 2 Thay m = - 1 vào y = 3m 2 y = 6 (t/m) Kết luận: m Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1 (m 3)x y 2 Bài 14 Cho hệ phơng trình : mx 2y 8 Tìm m để hệ có nghiệm nguyên. Giải: Từ (1) ta có y = 2 – (m – 3).x y = 2 – mx + 3x Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 – mx + 3x) = 8 - mx + 6x = 4 x.(6- m) = 4 (m 6) 4 24 6m x = 6 m . Thay vào y = 2 – (m – 3).x ta có: y = 6 m 4 1; 1;2; 2;4; 4 Để x Z 6 m Z 6 - m Ư(4) =   +) 6 – m = 1 m = 5 +) 6 – m = -1 m = 7 +) 6 – m = 2 m = 4 +) 6 – m = - 2 m = 8 +) 6 – m = 4 m = 2 9
10. +) 6 – m = - 4 m = 10 24 6m Thay m = 5 vào y = 6 m y = - 6 (t/m) 24 6m Thay m = 7 vào y = 6 m y = 18 (t/m) 24 6m Thay m = 4 vào y = 6 m y = 0 (t/m) 24 6m Thay m = 8 vào y = 6 m y = 17 (t/m) 24 6m Thay m = 2 vào y = 6 m y = 3 (t/m) 24 6m Thay m = 10 vào y = 6 m y = 9 (t/m) Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m 5;7;4;8;2;10 mx y m2 (1) 2 Bài 15 Cho hệ phơng trình : 2x my m 2m 2 (2) a) Chứng minh rằng hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó. Giải: a) Xét hai trờng hợp Trờng hợp 1: m = 0 => Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (1 ; 0) Trờng hợp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiệm duy nhất a b a ' b' hay ab' a ' b m.m ( 1).2 m2 + 2 0 Do m2 0 với mọi m m2 + 2 > 0 với mọi m. Hay m2 + 2 0 với mọi m Vậy hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2 (3) Thế vào (2) ta đợc 2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2 2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2 x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2) x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) do m2 + 2 0 x = m + 1 Thay vào (3) y = m.(m + 1) – m2 = m Thay x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + 4 ta đợc: x2 + 3y + 4 = (m + 1)2 + 3m + 4 = m2 + 5m + 5 5 25 5 m ) = (m2 + 2. 2 4 4 5 5 5 5 (m )2 (m )2 0 = 2 4 4 Do 2 5 5 Vậy Min(x2 + 3y + 4) = 4 khi m = 2 10
11. 3mx y 6m2 m 2 (1) 2 Bài 16 Cho hệ phơng trình : 5x my m 12m (2) Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó Giải: Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m2 + m + 2. Thay vào (2) ta có: 5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 0 với mọi m) 6m3 10m x 2m 3m2 5 Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + 2 ta đợc y = m + 2 Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4) A = - 2(m2 – 4m + 4 – 8) = - 2(m2 – 4m + 4) +16 2 2 = 2(m 2) 16 16 Do 2(m 2) 0 m Vậy MaxA = 16 khi m = 2 Bài 17 Biết cặp số (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình x y m 2 2 2 x y m 6 Hãy tìm giá trị của tham số m để biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất. x y m 2 Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trên trở thành: xy m 3 Hệ phơng trình có nghiệm 2 2 2 m 4(m 3) 3m 12 2 m 2 2 Khi đó P = (m 1) 4 4 Vậy MinP = - 4 m = - 1 (thỏa mãn 2 m 2 ) Bài 18 Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình x y 2a 1 2 2 2 x y a 2a 3 Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy đạt giá trị nhỏ nhất; lớn nhất ? Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trên trở thành: x y 2a 1 3a2 6a 4 xy 2 Hệ phơng trình có nghiệm 2 2 2 2 2 2a 1 4. 3a 6a 4 2a 8a 7 0 2 a 2 2 2 2 3 (a 1)2 1 Ta có xy = 2 2 11
12. 2 2 2 2 2 3 a 2 a 1 1 a 1 1 2 2 2 2 2 Với 3 2 3 3 2 1 11 => xy 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 3 a 2 a 1 1 a 1 1 2 2 2 2 2 Với 3 2 3 3 2 1 11 => xy 2 2 2 4 2 3 2 3 2 11 xy 11 Do đó 4 2 4 2 3 2 2 11 2 Vậy Min(xy) = 4 2 a = 2 3 2 2 11 2 và Max(xy) = 4 2 a = 2 Bài 19 Tìm giá trị của tham số m để hệ phơng trình (m 1)x y m 1 x (m 1)y 2 có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ nhất Hớng dẫn: Tìm đợc với m 0 thì hệ có nghiệm duy nhất là m2 1 m 1 x ;y m2 m2 2 2 2 m 1 m 1 ( 1 ) 7 7 2 2 Ta có x + y = m m m 2 2 8 8 2 7 1 0 8 m Min (x + y) = 2 2 m = - 4 (thỏa mãn m 0 ) Cách khác: 2 x y m m 2 S (1 S)m2 m 2 0 (*) m2 Ta cần tìm S để phơng trình (*) có nghiệm m - Xét hai trờng hợp *) Trờng hợp 1: S = 1 => m = - 2 (thỏa mãn m 0 ) *) Trờng hợp 2: S 1 , để phơng trình có nghiệm thì 0 S 7 8 1 1 4 7 b 2(1 S) 2(1 7 ) Vậy Min S = 8 khi đó m = 2a = 8 12
13. 7 Min (x + y) = 8 m = - 4 mx y 1 Bài 20 Cho hệ phơng trình: x my 2 a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Giải: mx y 1 a) Thay m = 2 vào hệ phơng trình x my 2 ta có hệ phơng trình trở thành 2x y 1 y 1 2x y 1 2x x 2. 1 2x 2 x 2y 2 x 2 4x 2 y 1 2x y 1 2.0 y 1 3x 0 x 0 x 0 Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất là ( x ; y) = ( 0 ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m mx y 1 y 1 mx x m. 1 mx 2 Ta có hệ phơng trình x my 2 y 1 mx y 1 mx 2 1 m2 x 2 m (*) x m m x 2 - Trờng hợp 1: m2 = 1 m = 1 x y 1 +) Nếu m = 1, thay vào hệ phơng trình ta có: x y 2 hệ phơng trình này vô nghiệm vì 1 1 1 1 1 2 x y 1 +) Nếu m = -1, thay vào hệ phơng trình ta có: x y 2 x y 1 1 1 1 x y 2 hệ này cũng vô nghiệm vì 1 1 2 - Trờng hợp 2: m2 1 m 1 2 m y 1 m. 2 y 1 mx 1 m y 1 mx 2 m 2 m 2 x 1 m x 2 m (*) 2 x 2 Hệ phơng trình 1 m 1 m 2m m2 1 m2 2m m2 1 2m y 1 y y 1 m2 1 m2 1 m2 2 m 2 m 2 m x x x 2 1 m2 1 m2 1 m 13
14. Vậy với m 1 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất 2 m 1 2m 2 ; 2 (x; y ) = 1 m 1 m Tóm lại: Nếu m = 1 thì hệ phơng trình vô nghiệm Nếu m 1 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất 2 m 1 2m 2 ; 2 (x; y ) = 1 m 1 m c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 2 m 1 2m 1 2 1 m2 1 m2 2 m 1 2m 1 m m2 m 0 m. m 1 0 m 0 m 0 m 1 0 m 1 Với m = - 1 (loại) và m = 0 (nhận) Vậy với m = 0 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. mx y 1 1 Xét hệ phơng trình x my 2 2 1 y m Từ phơng trình 1 mx 1 y x 1 y m Thay x vào phơng trình 2 ta có phơng trình 1 y y y2 x .y 2 x 2 2 2 x x x y y 2x 2 2 x y y 2x 0 , đây là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m x m 1 y 2 Bài 21 Cho hệ phơng trình: có nghiệm duy nhất (x ; y) a) Giải hệ phơng trình khi m = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1 2x 3y d) Tìm các giá trị của m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên. (Đề thi tuyển sinh THPT – Năm học : 2004 – 2005) Giải: m 1 x y m x m 1 y 2 a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành 3 1 x y 3 2x y 3 4x 2y 6 3x 4 x 3 1 y 2 x 2y 2 x 2y 2 x 2y 2 14
15. 4 4 4 4 x x x x 3 3 3 3 4 4 2 1 2y 2 2y 2 2y y 3 3 3 3 Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất 4 1 ; ( x ; y) = 3 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m 1 x m 1 y 2 Xét hệ phơng trình 2 Từ phơng trình 2 x my y 2 my 2 x y 2 x y m y . 2 x y m Thay y vào phơng trình 1 ta có phơng trình: 2 x y 2 x y 2 x y y 2 x y 1 x y .x y y y y y 2 x 2 x y 2x x2 y2 2 x y .x y y y y y 2 2 2 2 2x x y 2 x y x y 3x y 2 0 2 2 Vậy x y 3x y 2 0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m x m 1 y 2 c) Giải hệ phơng trình theo tham số m, ta có hpt 2 2 m 1 x y m m 1 x m 1 y m. m 1 m 1 x x m. m 1 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 2 2 m 2m 1 1 x m m 2 m. m 2 x m 1 m 2 (*) x m 1 y 2 x m 1 y 2 - Xét hai trờng hợp: *) Trờng hợp 1: m 0 và m 2 , hệ phơng trình trên m 1 m 1 x x m m m 1 m 1 m 1 y 2 m 1 y 2 m m m 1 m 1 m 1 x x x m m m 2m m 1 m 1 1 m 1 y m 1 y y ` m m m 15
16. m 1 1 ; Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = m m (m 0,m 2 ) *) Trờng hợp 2: m = 0 hoặc m = 2 - Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vô số nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là: (x R;y 2 x) +) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = 1 2 m 1 1 2m2 4m 2 7 2 7. 1 1 m m m2 m 2m2 4m 2 7m m2 m2 3m 2 0 m 2 . m 1 0 m 2 0 m 2 (loại) m 1 0 m 1 m = 1 Vậy với m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 1 m 1 1 2x 3y x y d) Thay m ; m vào biểu thức A = x y ta đợc biểu thức m 1 1 2m 2 3 2. 3. m m m m 1 1 m 1 1 2m 1 m 2 2m 1 2 m 2 5 : A = m m = m = m m = m 2 = m 2 2 m 2 5 5 2 = m 2 m 2 = m 2 2x 3y 5 5 2 Để biểu thức A = x y nhận giá trị nguyên m 2 nhận giá trị nguyên m 2 nhận giá trị nguyên 5M m 2 (m+2) là ớc của 5. Mà Ư(5) =  1; 5 m 2 1 m 1 2 m 1 m 2 1 m 1 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 7 Kết hợp với điều kiện m 0 ; m 2 ta thấy các giá trị m trên đều thỏa mãn 2x 3y Vậy với m  7; 3; 1;3 thì giá trị của biểu thức x y nhận giá trị nguyên. 2mx 3y 5 Bài 22 Cho hệ phơng trình : x 3my 4 a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m Giải: a) Xét hai trờng hợp 16
17. Trờng hợp 1: m = 0 => Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất là 5 (x ; y) = (- 4 ; 3 ) Trờng hợp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiệm duy nhất a b a ' b' hay ab' a ' b - Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu: 2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 với mọi m - Vậy 6m2 + 3 0 với mọi m. Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m 5 3y b) Rút m từ (1) ta đợc m = 2x thay vào (2) ta có: 5 3y -x + 3. 2x = 4 2x2 + 8x -15y + 9y2 = 0. Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. 3mx y 3m2 2m 1 2 Bài 23 Cho hệ phơng trình : x my 2m Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. Hớng dẫn : 3mx y 3m2 2m 1 6mx 2y 6m2 4m 2 2 2 x my 2m 3x 3my 6m 6mx 3x 2y 3my 4m 2 6mx 3my 4m 3x 2y 2 2 2 x my 2m x my 2m 3x 2y 2 m Rút m từ (1) ta đợc: 6x 3y 4 . Thay vào (2) ta có: 3x 2y 2 3x 2y 2 x .y 2.( )2 6x 3y 4 6x 3y 4 . Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. mx y 2m Bài 24 Cho hệ phương trỡnh ẩn x, y sau: x my m 1 a. Xỏc định giỏ trị của m để hệ cú nghiệm duy nhất b. Giả sử (x ; y) là nghiệm duy nhất của hệ. Tỡm hệ thức liờn hệ giữa x, y độc lập với m. c. Tỡm m Z để x, y Z d. Chứng tỏ (x ; y) luụn nằm trờn một đường thẳng cố định (với (x ; y) là nghiệm của hệ phương trỡnh) Hướng dẫn: m x y 2 m ( 1 ) x m y m 1 ( 2 ) 2 2 ( m 1 ) x 2 m m 1 ( 3 ) Với m ± 1 thỡ hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất b/ Rỳt m từ phương trỡnh thứ nhất và thế vào phương trỡnh thứ hai ta được hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đú là hệ thức độc lập với m 17
18. 2m 1 1 m 1 1 x 2 (4) y 1 (5) z c/ m 1 m 1 m 1 m 1 . Vỡ x, y Z m 1 m = 0 (x = 1; y = 0) m = - 2 (x = 3; y = 2) d/ Từ (4) và (5) suy ra x – y = 1 y = x – 1 Vậy (x ; y) luụn nằm trờn một đường thẳng cố định y = x – 1 x y a ax 2y 6 (I) và (II) Bài 25 : Cho hai hệ phơng trình x y 4 x y 1 a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phơng trình tơng đơng b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phơng trình không tơng đơng Hớng dẫn: a) Thay a = 2 vào hai hệ ta nhận đợc tập nghiệm của chúng : S = S’ =  => Hai hệ phơng trình tơng đơng b) Thay a = 5 vào hệ (I) => S =  4 ; 1 Thay a = 5 vào hệ (II), hệ có nghiệm duy nhất => S’ =  3 3  Vậy S ≠ S’ , nên hai hệ phơng trình trên không tơng đơng Bài 26: Tìm giá trị của m, n để hai hệ phơng trình sau tơng đơng x 2y 1 mx ny 6 (I) và (II) 4x 5y 17 3mx 2ny 10 Hớng dẫn: Trớc hết giải hệ (I) đợc kết quả nghiệm duy nhất (x = 3 ; y = 1) Hai hệ phơng trình trên tơng đơng khi hệ (II) cũng có nghiệm duy nhất (x = 3 ; y = 1). Để tìm m, n ta thay x = 3 ; y = 1 vào hệ (II) 2 ,n 8 Kết quả m = 3 18