Bài tập Hình học Lớp 10 - Bài 2: Tích của véctơ với một số (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 10 - Bài 2: Tích của véctơ với một số (Có đáp án)

1. Bài 2. TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ-LỜI GIẢI CHI TIẾT •Chương 1. VÉCTƠ I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I. Định nghĩa a. Tích của véc – tơ a với số thực k 0 là một véc – tơ, kí hiệu là k.a , cùng hướng với véc – tơ a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k . a b. Quy ước: 0. a = 0 và k. 0 = 0 II. Tính chất. a) (k m).a k.a m.a b) k.(a b) k.a k.b k 0 c) k.(m.a) (k.m).a d) k.a 0 a 0 e) 1.a a,( 1).a a III. Điều kiện để 2 véc – tơ cùng phương a) b cùng phương với a (a 0) khi và chỉ khi có số k thỏa   Điều kiện cần và đủ để A,B,C thẳng hàng là có số k sao cho AB k AC Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1. DỰNG VÀ TÍNH ĐỘ DÀI VÉC – TƠ Sử dụng định nghĩa tích của một véc – tơ với một số và các quy tắc về phép toán véc – tơ để dựng véc – tơ chứa tích một véc – tơ với một số, kết hợp vớ các định lí Pitago và hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng A. Bài tập tự luận Câu 1. Cho tam giác ABC cạnh a. Gọi điểm M,N lần lượt là trung điểm của BC,CA. Dựng các véc – tơ sau và tính độ dài của chúng  1  1   a) AN CB. b) BC 2MN 2 2 A   1  3  c) AB 2AC d) MA MB 4 2 Lời giải. N a) Theo quy tắc ba điểm ta có H  1     C K AN CB NC CM NM M B 2  1  1 a AN CB MN AB 2 2 2 F b) Theo quy tắc trừ ta có I Trang 1 E
2. 1      BC 2MN BM BA AM 2 1   a 3 BC 2MN AM 2 2 c) Gọi F là điểm đối xứng của A qua C, Điểm E là đỉnh của hình bình hành ABEF, Theo quy tắc hình bình hành ta có      AB 2AC AB AF AE Gọi I là hình chiếu của E lên AC . Vì AB / /EF E· IF C· AB 600 IE a 3 sin I·FE IE EFsinI·FE EF 2 IE a cos I·FE IE EFcosI·FE a cos600 EF 2 a a 3 a 28 Áp dụng định lí Pitago ta có: AE AI 2 IE 2 (2a )2 ( )2 2 2 2   a 28 Suy ra AB 2AC AE 2 1   3   d) Lấy Lấy các điểm H, K sao cho MA MH; MB MK. 4 2 1  3     Suy ra MA MB MH MK KH 4 2 2 2 2 2 1  3  AM 3 a 3 a a 7 Do đó MA MB KH MB 4 2 4 2 8 4 8 Câu 2. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Điểm M là trung điểm BC . Dựng các véc-tơ sau và tính độ dài của A chúng 1    1  1   a) CB MA. b) BA BC c) AB 2AC d) K 2 2 2 N 3  5  MA MB 4 2 Lời giải. C H M B 1   a) Do CB CM nên theo quy tắc ba điểm, ta có 2 1    CB MA CA 2 1   Vậy CB MA CA a 2 Q Trang 2 P
3. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 1   b) Vì BC BM nên theo quy tắc trừ, 2  1     ta có BA BC BA BM MA 2 Theo định lí Pitago ta có 2 2 2 2 a a 3 MA AB BM a 2 2  1  a 3 Vậy BA BC MA 2 2 c) Gọi N là trung điểm AB, Q là điểm đối xứng của A qua C và AQP N là hình bình hành. 1     Khi đó ta có AB AN,2AC AQ suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có 2 1      AB 2AC AN AQ AP 2 Gọi L là hình chiếu của A lên P N. Vì MN // AC nên ·ANL M· NB C· AB 60o . AL a a 3 Xét tam giác vuông ANL ta có sin ANL AL AN sin ANL sin 60O AN 2 4 NL a a cos ANL NL AN cos ANL cos60o AN 2 4 a 9a Ta lại có AQ PN PL PN NL 2a 4 4 3a2 81a2 21a2 a 21 Tam giác ALP có AP2 AL2 PL2 AP 16 16 4 2 1   a 21 Vậy AB 2AC AP 2 2 3 d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho MK MA . Gọi H là điểm thuộc tia MB sao cho 4 5 MH MB . 2 3   5   3  5     Khi đó MA MK; MB MH.Suy ra MA MB MK MH HK 4 2 4 2 3 3 a 3 3a 3 5 5a Ta có MK AM ,MH MB 4 4 2 8 2 4 25a2 27a2 a 127 Tam giác MKH có KH MH 2 MK 2 . 16 64 8 3  5  a 128 Vậy MA MB KH 4 2 8 Trang 3
4.   Câu 3. Cho tam giác vuông cân OAB với OA OB a . Dựng và tính độ dài các véc-tơ 3OA 4OB ; 11  3  OA OB . 4 7 Lời giải.     Vẽ diểm C, D sao cho OC 3OA;OD 4OB , vẽ hình bình hành CODE thì        3OA 4OB OC OD OE 3OA 4OB OE 5a  11  3  Vẽ điểm H, K sao cho OH OA;OK OB thì 4 7 2 2 11 3     11 3  11 3 6037 OA OB OH OK KH và OA OB KH a a a 4 7 4 7 4 7 28 B. Bài tập trắc nghiệm Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 4. Khẳng định nào sai? A. 1.a a B. ka và a cùng hướng khi k 0 C. ka và a cùng hướng khi k 0 D. Hai vectơ a và b 0 cùng phương khi có một số k để a kb Lời giải Chọn C (Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ)   Câu 5. Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN 3MP . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây: A. Hình 3 B. Hình 4 C. Hình 1 D. Hình 2 Lời giải Chọn A       MN 3MP MN ngược hướng với MP và MN 3 MP .   Câu 6. Cho ba điểm phân biệt A, B,C . Nếu AB 3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng?         A. BC 4AC B. BC 2AC C. BC 2AC D. BC 4AC Lời giải Chọn D Câu 7. Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng uur uur uur uur uur uuur uuur uur A. BI = IC B. 3BI = 2IC C. BI = 2IC D. 2BI = IC Trang 4
5. Lời giải Chọn A uur uur uur uur Vì I là trung điểm của BC nên BI = CI và BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC bằng uur uur nhau hay BI = IC . Câu 8. Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?        1  A. AB 2AM B. AC 2CN C. BC 2NM D. CN AC 2 Lời giải Chọn B   Câu 9. Cho a 0 và điểm O . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM 3a và ON 4a . Khi đó:     A. MN 7a B. MN 5a C. MN 7a D. MN 5a Lời giải Chọn C    Ta có: MN ON OM 4a 3a 7a . Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 5