›
›
›

Bài tập Hình học Lớp 10 - Chủ đề 1: Sự tương giao giữa các đường trong bài toán tìm tọa độ điểm

doc 27 trang thaodu 4430
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học Lớp 10 - Chủ đề 1: Sự tương giao giữa các đường trong bài toán tìm tọa độ điểm", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_hinh_hoc_lop_10_chu_de_1_su_tuong_giao_giua_cac_duon.doc

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 10 - Chủ đề 1: Sự tương giao giữa các đường trong bài toán tìm tọa độ điểm

  1. A. Chủ đề 1. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐƯỜNG TRONG BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM.  Phương trình đường thẳng.   Véctơ n  0 được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của véctơ n vuông góc với .   Véctơ u  0 được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của véctơ u song song hoặc trùng với .  Đường thẳng đi qua M x0 ; y0 nhận véctơ n A; B làm véctơ pháp tuyến có phương trình : Ax By Ax0 By0 gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng .  Đường thẳng đi qua M x0 ; y0 nhận véctơ u a;b làm véctơ x x0 at chỉ phương có phương trình t R gọi là phương y y0 bt trình tham số của đường thẳng . Cho hai đường thẳng 1 : a1 x b1 y c1 0 và 2 : a2 b2 y c2 0 . Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 1 a1 x b1 y c1 0 và 2 là nghiệm của hệ phương trình 1 a2 x b2 y c2 0. . Nếu hệ (1) có nghiệm duy nhất x0 ; y0 thì hai đường thẳng cắt nhau tại A x0 ; y0 . . Nếu hệ (1) vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau. . Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau.  Phương trình đường tròn. Đường tròn C tâm I a;b bán kính R 0 có phương trình 2 2 x a y b R2. Cho đường thẳng : Ax By C 0 và đường tròn 2 2 C : x a y b R2. Tọa độ giao điểm của và C 2 2 x a y b R2 là nghiệm của hệ phương trình 2 Ax By C 0 . Nếu hệ (2) có hai nghiệm phân biệt thì cắt (C) tại hai điểm khác nhau. . Nếu hệ (2) có nghiệm kép thì tiếp xúc với (C). . Nếu hệ (2) vô nghiệm thì không cắt C .
  2. 1. Sự tương giao của hai đường thẳng trong bài toán tìm tọa độ điểm. 3  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M ;0 là trung điểm đoạn 2 AC . Phương trình các đường cao AH, BK lần lượt là 2x y 2 0 và 3x 4y 13 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Định hướng: Viết được phương trình đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK. Suy ra A AC  AH C . Viết phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH B BC  BK . Lời giải. Đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK nên có phương trình 4x 3y 6 . 4x 3y 6 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình A 0;2 2x y 2 3 Từ M ;0 là trung điểm AC suy ra C 3; 2 . 2 Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH nên có phương trình x 2y 1 0 . x 2y 1 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 3;1 3x 4y 13 Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A 0;2 , B -3;1 , C 3;-2  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 4; 1 phương trình đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt là 2x 3y 12 0 và 2x 3y 0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC. Định hướng: - Tọa độ điểm B BH  BM
  3. - Viết phương trình đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH . Suy ra tọa độ M AC  BM C Lời giải. Gọi BH, BM lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ B. 2x 3y 12 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 3;2 2x 3y 0 Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH nên có phương trình 3x 2y 10 0. 2x 3y 0 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình M 6; 4 3x 2y 10 0 Do M là trung điểm AC suy ra tọa độ điểm C 8; 7 Vậy B -3;2 , C 8;-7  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Điểm M 2;0 là trung điểm của AB. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7x 2y 3 0 và 6x y 4 0 . Viết phương trình đường thẳng AC. Định hướng: -Tìm tọa độ điểm A AH  AM B . -Viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH . -Tìm tọa độ N BC  AN C . -Viết được phương trình đường thẳng AC đi qua A,C. Lời giải. Gọi AN, AH lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ A. 7x 2y 3 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trìn A 1;2 6x y 4 0 Từ M là trung điểm AB B 3; 2 Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH nên có phương trình x 6y 9 0
  4. 7x 2y 3 0 3 Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình N 0; x 6y 9 0 2 Từ N là trung điểm BC suy ra tọa độ điểm C 3; 1 Khi đó phương trình ta có phương trình đường thẳng AC : 3x 4y 5 0.  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng BC có phương trình x y 4 0 , điểm M 1; 1 là trung điểm của đoạn AD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AB đi qua điểm E 1;1 . Định hướng: - Viết phương trình AB đi qua E và vuông góc với BC . - Suy ra B AB  BC . - Viết phương trình AD đi qua M và vuông góc với AB . - Suy ra A AB  AD D C . Lời giải. Đường thẳng AB đi qua E và vuông góc với BC nên có phương trình x y 2 0 x y 2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 1;3 x y 4 Đường thẳng AD đi qua M và song song với BC nên có phương trình x y 2 0 x y 2 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình A 2;0 x y 2 Do M là trung điểm của AD nên tọa độ điểm D là Đường thẳng DC đi qua D và vuông góc với BC nên có phương trình x y 2 0 x y 4 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình C 3;1 x y 2 Vậy A 0;2 , B 1;3 , C 3;1 ,D 0;-2
  5.  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A 1;2 và tâm 1 I ;0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng BC đi qua 2 điểm M 4; 3 . Định hướng: -Tìm tọa độ điểm C đối xứng với A qua I . -Viết phương trình BC đi qua C,M . -Viết phương trình AB đi qua A và vuông góc BC . -Suy ra B AB  BC D . Lời giải. Từ I là trung điểm AC tọa độ điểm C 2; 2 Phương trình đường thẳng BC : x 2y 2 0 Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với BC nên AB : 2x y 4 0. x 2y 2 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 2;0 2x y 4 0 Từ I là trung điểm BD Tọa độ điểm D 3;0 Vậy B -2; 0 , C 2;-2 , D 3; 0 .  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD có Bµ Cµ 900. Phương trình các đường thẳng AC và DC lần lượt là x 2y 0 và x y 3 0 . Xác định tọa độ các đỉnh 3 3 của hình thang ABCD, biết trung điểm cạnh AD là M ; . 2 2 Định hướng: -Tìm tọa độ điểm C AC  CD . -Gọi N là trung điểm của CD , viết phương trình đường thẳng MN . -Tìm tọa độ điểm N CD  MN D A -Viết phương trình đường thẳng AB, BC.
  6. -Suy ra tọa độ điểm B . Lời giải. x y 3 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình C 2; 1 x 2y 0 Gọi N là trung điểm của DC, đường thẳng MN qua M song song với AC nên MN : 2x 4y 9 0 Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình x y 3 1 5 N ; 2x 4y 9 2 2 Do N là trung điểm DC, suy ra D 1; 4 M là trung điểm AD, suy ra A 2;1 Đường thẳng AB qua A song song với DC nên có phương trình x y 3 Đường thẳng BC qua C vuông góc với DC nên có phương trình x y 1 x y 3 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 1;2 x y 1 Vậy A -2;1 , B -1;2 , C 2;-1 ,D -1;-4  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox ,y cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Biết phương trình đường thẳng AB : x y 5 0 và trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng x 3y 6 0 , xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng MO . -Tìm tọa độ M OM  BC . -Viết phương trình BC B BC  AB . -Từ M là trung điểm BC tọa độ điểm C ,từ O là trung điểm AC A Lời giải. Đường thẳng MO đi qua O và song song với AB nên có phương trình x y 0.
  7. x y 0 3 3 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình M ; x 3y 6 0 2 2 Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AB nên có phương trình x y 3 0 . x y 5 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 1;4 x y 3 0 Từ M là trung điểm BC tọa độ điểm C 4; 1 Từ O là trung điểm BC tọa độ các điểm A 4;1 , D 1; 4 . Vậy A -4;1 ,B -1; 4 ,C 4;- 1 ,D 1;-4 .  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và B). Gọi M 3;3 , N lần lượt là trung điểm của AD và AB. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang vuông ABCD, biết phương trình các đường thẳng BD : 7x 3y 2 0,CN : x 3y 0 và đường thẳng AB đi qua điểm E 3;1 . Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng MN . Suy ra N CN  MN . -Viết phương trình đường thẳng AB B BD  AB A -Viết phương trình đường thẳng BC . Suy ra tọa độ điểm C BC  CN . Lời giải. Đường thẳng MN đi qua M song song với BD nên MN : 7x 3y 12 0. x 3y 0 3 1 Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình N ; 7x 3y 12 0 2 2 Phương trình đường thẳng AB : x y 2 0 7x 3y 2 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ B 1; 3 x y 2 0 Từ N là trung AB A 4;2 . Phương trình đường thẳng BC : x y 4 0. x 3y 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình C 6;2 x y 4 0 Phương trình đường thẳng AD : x y 6 0 x y 6 0 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình D 2;4 7x 3y 2 0 Vậy A -4;2 , B 1;-3 ,C 6;2 ,D -2; 4 .
  8. 4 1  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , có trọng tâm G ; . 3 3 Phương trình đường thẳng BC là x 2y 4 0, phương trình đường thẳng BG là 7x 4y 8 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Định hướng: -Tìm B BC  BG . -Viết phương trình AG , tìm M AG  BC . -Sử dụng tính chất trọng tâm suy ra A . Lời giải. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình x 2y 4 0 B 0; 2 7x 4y 8 0 Đường thẳng AG đi qua G và vuông góc với BC nên có phương trình 2x y 3 Tọa độ trung điểm M của BC là nghiệm của hệ 2x y 3 M 2; 1 x 2y 4 0 Từ đó suy ra tọa độ điểm C 4;0 3xG xA xB xC Từ A 0;3 3yG yA yB yC Vậy A 0;3 , B 0;-2 ,C 4; 0 .  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A .Đường thẳng BC và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình x y 1 0, x 2y 2 0 ; Điểm M 2;1 thuộc đường cao kẻ từ C. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Định hướng: -Tìm tọa độ điểm B . Nhận xét BM  BC . -Viết phương trình MN , tìm N BH  MN . -Suy ra C , viết phương trình BC . Tìm I -Viết phương trình AI , AC , suy ra A. Lời giải. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình x y 1 0 B 0; 1 x 2y 2 0
  9.  BM 2;2   Lúc đó  BM.uBC 0 BM  BC uBC 1; 1 Phương trình đường thẳng qua M và song song với BC có phương trình : x y 3 0. x y 3 0 8 1 Tọa độ giao điểm N BH  là nghiệm của hệ N ; x 2y 2 0 3 3 7 Đường thẳng đi qua N vuông góc với BC cắt BC tại C và có phương trình x y 3 7 x y 2 5 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 3 C ; 3 3 x y 1 0 1 4 5 Trung điểm của BC là I ; . Phương trình đường thẳng AI : x y 3 3 3 1 Đường thẳng AC đi qua C và vuông góc với BH nên AC : 2x y 3 5 x y 3 4 11 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình A ; 1 9 9 2x y 3 4 11 2 5 Vậy A ;- , B 0;-1 ,C ;- . 9 9 3 3  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A .Biết phương trình các đường thẳng AB,BC lần lượt là x 7y 14 0 và 2x y 2 0. Viết phương trình cạnh AC, biết đường thẳng AC đi qua M 4;0 . Định hướng: -Tìm B AB  BC . -Viết phương trình MN , AH . -Tìm N MN  AB I . -Viết phương trình AI , tìm H AI  BC C . -Viết được phương trình AC . Lời giải. x 7y 14 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 0;2 2x y 2 0 Gọi H là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M song song với BC cắt AB tại N và cắt AH tại I. Ta có: Phương trình đường thẳng : 2x y 8 x 7y 14 0 14 12 Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ N ; 2x y 8 0 5 5
  10. 17 6 Do tam giác ABC cân tại A, suy ra I là trung điểm của MN, nên I ; 5 5 Đường thẳng AH đi qua I và vuông góc với BC nên có phương trình x 2y 1 0 x 2y 1 0 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình H 1;0 2x y 2 0 Từ đó suy ra tọa độ điểm C 2; 2 và phương trình đường thẳng AC : x - y - 4 = 0  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD AB / /CD . Biết tọa độ các điểm A 8;2 , B 4;6 , D 6; 8 . Xác định tọa độ đỉnh C. Định hướng: -Tìm tọa độ điểm E , viết phương trình EF . -Viết phương trình CD , suy ra F CD EF . -Suy ra C . Lời giải. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khi đó E 6;4 EF  AB và EF  CD Đường thẳng CD đi qua D và song song với AB nên có phương trình x y 2 0. Đường thẳng EF đi qua E và vuông góc với AB nên có phương trình x y 2 0. x y 2 0 Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ phương trình F 0; 2 x y 2 0 Từ F là trung điểm CD, suy ra tọa độ điểm C 6; 4  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD. Điểm N 3;2 là trung điểm cạnh BC, các điểm M 2;2 và P 2; 1 lần lượt nằm trên cạnh AB và DC sao cho AM CP . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD Định hướng: -Chứng minh AMCP là hình bình hành nên I MP  AC là tâm của hình chữ nhật. -Tìm tọa độ I C . -Viết phương trình AB,BC,CD B,C . -Từ đó suy ra D . Lời giải.
  11. AM / /CP Ta có tứ giác AMCP là hình bình hành. Gọi AM CP 1 I MP  AC suy ra I là trung điểm của MP I 0; 2 Phương trình đường thẳng AB qua M và song song với NI nên có phương trình x 2y 6 Phương trình đường thẳng BC qua N và vuông góc với BC nên có phương trình 2x y 8 x 2y 6 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ B 2;4 2x y 8 Phương trình đường thẳng DC qua P và song song với AB nên có phương trình x 2y 4 x 2y 4 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ C 4;0 2x y 8 Từ I là giao điểm của hai đường chéo, suy ra A 4;1 , D 2; 3 Vậy A -4;1 , B 2; 4 ,C 4; 0 ,D -2;-3 . Bài 24. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0. Đường thẳng BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0. Trung điểm AC là M(1; 1). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Định hướng: Biết đường cao BH và trung điểm M của AC ta viết ngay được đường thẳng AC. Xác định được tọa độ của A là giao của AC và d. Từ đó sử dụng tính chất trung điểm ta xác định được tọa độ của C. Vận dung quan hệ song song giữa d và BC ta viết được phương trình của BC. Từ đó xác định được tọa độ đỉnh B là giao của BH và BC. Tiếp theo ta dễ dàng viết được phương trình của AB đi qua hai điểm đã biết tọa độ. Lời giải.  + AC đi qua M và vuông góc với BH nên nhận vectơ chỉ phương uBH (1; 1) của BH làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 1(x 1) 1( y 1) 0 x y 0 . 2 x x y 0 3 2 2 A là giao của AC và d nên tọa độ của A là nghiệm của hệ A ; . x 4y 2 0 2 3 3 y 3 xC 2xM xA 8 8 M là trung điểm của AC nên C ; . yC 2yM yA 3 3 8 8 + BC đi qua C song song với d nên BC: 1 x 4 y 0 x 4y 8 0 . 3 3 x y 3 0 x 4 B là giao của BH và BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ B( 4;1) . x 4y 8 0 y 1
  12. x 4 y 1 + AB đi qua các điểm A và B x 2y 2 0 . 2 2 4 1 3 3 2. Sự tương giao của đường thẳng và đường tròn trong bài toán tìm tọa độ điểm.  Bài 2.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A 3;2 và C 3;0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD. Định hướng: -Tìm tọa độ trung điểm I của AC . 1 -Viết phương trình đường tròn tâm I , bán kính R AC . 2 -Viết phương trình đường thẳng BD . Suy ra tọa độ B,D là giao điểm của BD và đường tròn. Lời giải. Trung điểm I của đường chéo AC là I 0;1 . Đường thẳng  BD đi qua I và nhận véc-tơ AC 6; 2 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình 3x y 1 0. AC Phương trình đường tròn tâm I , bán kính R 10 là 2 2 x2 y 1 10. Tọa độ các điểm B, D là nghiệm của hệ phương trình 3x y 1 0 B 1; 2 , D 1;4 2 2 x y 1 10 B 1;4 , D 1; 2 Vậy B -1;-2 ,D 1; 4 hoặc B 1; 4 ,D -1;-2  Bài 2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 5;2 , chân đường cao 1 1 kẻ từ A là điểm H 2; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp I ; . Tìm tọa độ các đỉnh B và C. 3 3
  13. Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng BC . -Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . -Suy ra tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn. Lời giải.  Đường thẳng BC đi qua H và nhận véc-tơ AH 3; 3 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x y 1 0. 221 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính R IA nên có phương trình 3 2 2 1 1 221 x y . 3 3 9 x y 1 0 2 2 B 4; 3 ,C 3;4 Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ 1 1 221 x y B 3;4 ,C 4;3 3 3 9 Vậy B -4;-3 ,C 3; 4 hoặc B 3; 4 ,C -4;-3  Bài 2.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A 3;0 và B 1; 3 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD, biết đỉnh D có tung độ dương. Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng AD . -Viết phương trình đường tròn tâm A ,bán kính R AB . -Tìm tọa độ điểm D là giao của AD và đường tròn. -Viết phương trình BC,CD . Suy ra C BC  CD . Lời giải.
  14.  Đường thẳng AD đi qua A và nhận véc-tơ AB 2; 3 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình 2x 3y 6 0 . 2 Đường tròn tâm A bán kính R AB 13 có phương trình x 3 y2 13 . 2x 3y 6 0 D 0;2 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình , vì y 0 D 0;2 . 2 2 D x 3 y 13 D 6; 2 Lúc đó: Phương trình đường thẳng DC : 3x 2y 4 0 và phương trình đường thẳng BC : 2x 3y 7 0 3x 2y 4 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình C 2; 1 2x 3y 7 0 Vậy C 2;-1 ,D 0;2  Bài 2.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm của đoạn BC là 3 M ; 2 , chân đường cao kẻ từ đỉnh C là H 2;1 ; phương trình đường cao 2 BK : 7x 6y 15 0. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết B có tung độ âm. Định hướng: -Viết phương trình đường tròn tâm M , bán kính MH ngoại tiếp tứ giác BCKH . -Tìm tọa độ giao điểm BK và đường tròn. Suy ra C . -Viết phương trình AB, AC A Lời giải. 85 Đường tròn tâm M bán kính R MH ngoại tiếp tứ giác BCKH và có phương trình 2 2 3 2 85 x y 2 . 2 4 7x 6y 15 0 B 3; 1 2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 3 2 85 x y 2 3 39 B ; , lo¹i 2 4 17 17 Do M là trung điểm BC , suy ra tọa độ điểm C 6; 3 .
  15. Đường thẳng AB đi qua B,H nên có phương trình 2x y 5 0. Đường thẳng AC đi qua C vuông góc với BK nên có phương trình 6x 7y 15 0 2x y 5 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A 1;3 6x 7y 15 0 Vậy A -1;3 ,B -3;-1 ,C 6;-3  Bài 2.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 1;3 , trung điểm của 3 đoạn BC là M ; 2 , phương trình đường thẳng đi qua chân các đường cao kẻ từ đỉnh B,C là 2 22x 31y 75 0. Xác định tọa độ đỉnh C, biết B có hoành độ âm và BC 85 . Định hướng: 1 -Viết phương trình đường tròn tâm M , bán kính R BC . 2 -Tìm tọa độ điểm H là giao của HK và đường tròn. -Viết phương trình AB B là giao của AB và đường tròn. Suy ra C. Lời giải. BC 85 Đường tròn tâm M bán kính R ngoại tiếp tứ giác BCKH (Với K, H lần lượt là hình chiếu 2 2 2 3 2 85 của B trên AC và của C trên AB ) có phương trình x y 2 . 2 4 2 3 2 85 H 2;1 x y 2 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: 2 4 3 39 H ; 22x 31y 75 0 17 17 +) Với H 2;1 phương trình đường thẳng AB : 2x y 5 0 . 2 3 2 85 x y 2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 2 4 B 3; 1 . Suy ra C 6; 3 2x y 5 0
  16. 3 39 +) Với H ; phương trình đường thẳng AB : 6x 7y 15 0 17 17 2 3 2 85 x y 2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 2 4 B 6; 3 , loại. 6x 7y 15 0 Vậy C 6;-3  Bài 2.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm I . Gọi H là hình chiếu của A trên BC , K là hình chiếu vuông góc của B trên AI . Giả sử A 2;5 , I 1;2 , điểm B có hoành độ âm và đường thẳng HK có phương trình x 2y 0 . Tìm toạ độ các điểm B,C . Định hướng: -Viết phương trình AI . -Tìm tọa độ điểm K là giao của AI và HK . -Viết phương trình BK , phương trình ngoại tiếp tam giác ABC . Suy ra B . -Viết phương trình đường tròn đường kính AB , suy ra H là giao của HK và đường tròn . -Viết phương trình BC . Suy ra tọa độ B,C là giao của BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Lời giải. x 2y 0 2 1 Phương trình đường thẳng AI : 3x y 1 0 . Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ K ; . 3x y 1 5 5 Phương trình đường thẳng BK : x 3y 1 2 2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : x 1 y 2 10. B 2;1 x 3y 1 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 1 y 2 10 14 3 B ; lo¹i 5 5 2 Phương trình đường tròn đường kính AB : x2 y 3 8
  17. H 2;1 x 2y 0 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 1 x y 3 8 H ;  K lo¹i 5 5 Phương trình đường thẳng BC : y 1 0. y 1 0 C 4;1 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 1 y 2 10 C 2;1  B lo¹i Vậy B -2;1 ;C 4;1  Bài 2.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hàng ABCD . Phương trình đường tròn 2 2 5 1 5 đường kính AB là C : x x ; đường thẳng đi qua B vuông góc với AC có 2 2 2 phương trình x y 2 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD , biết điểm B có tung độ âm và đường thẳng CD đi qua điểm M 0; 4 . Định hướng: - Tìm tọa độ điểm B,H là giao của BH và đường tròn C . - Tâm I là trung điểm của AB A . -Viết phương trình AC,CD C .   -Từ AB DC D . Lời giải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC. Tọa độ các điểm B, H là nghiệm của hệ phương trình 2 2 5 1 5 B 3; 1 x x 2 2 2 , do điểm B có H 1;1 x y 2 0 tung độ âm. 5 1 Tâm I ; là trung điểm của BC . Suy ra A 2;2 2 2 Đường thẳng AC đi qua H và vuông góc với BH nên có phương trình x y 0. Đường thẳng CD đi qua M và song song với AB nên có phương trình 3x y 4 0. x y 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ C 1; 1 . 3x y 4 0
  18.   Từ đẳng thức CD AB D 2;2 Vậy A -2;2 ;B -3;-1 ;C 1;-1 ;D 2;2  Bài 2.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt là x 2y 13 0 và 13x 6y 9 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B,C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I 5;1 . Định hướng: -Tìm tọa độ điểm A là giao của AH , AM . -Gọi M là trung điểm của BC , viết phương trình IM , tìm tọa độ điểm M . -Viết phương trình BC , viết phương trình ngoại tiếp tam giác ABC . Suy ra tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn. Lời giải. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình x 2y 13 0 A 3; 8 13x 6y 9 0 Gọi M là trung điểm BC. Đường thẳng IM đi qua I và song song với AH nên có phương trình x 2y 7 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 13x 6y 9 0 M 3;5 x 2y 7 Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH nên có phương trình 2x y 11 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính R IA 85 nên có phương trình 2 2 x 5 y 1 85. 2x y 11 B 2;7 ,C 4;3 Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 5 y 1 85 B 4;3 ,C 2;7 Vậy B 2;7 ,C 4;3 hoặc B 4;3 ,C 2;7 .  Bài 2.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm 9 3 I ; . Điểm M 3;0 là trung điểm của cạnh AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. 2 2
  19. Định hướng : -Viết phương trình AD . -Từ diện tích hình chữ nhật suy ra độ dài AD . -Viết phương trình đường tròn đường kính AD . -Tìm tọa độ điểm A,D là giao của đường thẳng AD và đường tròn. Suy ra B,C . Lời giải.  3 3 Đường thẳng AD đi qua M, nhận véc tơ IM ; làm véc-tơ 2 2 pháp tuyến nên có phương trình x y 3 24 Lại có SABCD 4.SIAD 2.MI.AD AD 2 2 6. 2 AD Phương trình đường tròn tâm M, bán kính R 2 là 2 2 x 3 y2 2. Tọa độ các đỉnh A, D là nghiệm của hệ phương trình x y 3 x 2 x 4 và 2 2 x 3 y 2 y 1 y 1 Từ đó suy ra tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là  2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1 .  Bài 2.10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A 1;4 , phương trình đường thẳng BC : x y 4 0. Xác định tọa độ các đỉnh B,C biết tam giác ABC có diện tích bằng 18. Định hướng : - Viết phương trình AH . Suy ra H AH  BC . - Từ diện tích tam giác ABC BC . 1 - Viết phương trình đường tròn tâm H , bán kính R BC . 2 - Tìm tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn.
  20. Lời giải. Gọi H là trung điểm của BC. Đường thẳng AH đi qua A và vuông góc với BC nên có phương trình x y 3 x y 4 0 7 1 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình H ; x y 3 2 2 1 Lại có S AH.BC BC 4 2 ABC 2 2 2 BC 7 1 Đường tròn tâm H, bán kính R 2 2 có phương trình x y 8 2 2 2 x y 4 0 3 11 x x 2 2 2 2 Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình 7 1 và x y 8 5 3 2 2 y y 2 2 3 5 11 3  Vậy tọa độ các điểm B,C là ; , ;  2 2 2 2   Bài 2.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là : 3x y 7 0 và điểm B 0; 3 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết diện tích hình thoi bằng 20. Định hướng : -Nhận xét rằng B , suy ra AC  . -Viết phương trình BD , tìm I AC  BD .Suy ra D . -Từ diện tích hình thoi, suy ra độ dài AC . -Viết phương trình đường tròn tâm I , bán kính R IA . -Tìm tọa độ giao điểm A,C Lời giải. Dễ thấy B  AC : 3x y 7 0. Gọi I AC  BD Đường thẳng BD đi qua B và vuông góc với AC nên có phương trình x 3y 9
  21. x 3y 9 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình I 3; 2 3x y 7 0 Từ đó suy ra D 6; 1 Lại có SABCD AC.BD AC 2 10 2 2 Đường tròn tâm I bán kính R IA 10 có phương trình x 3 y 2 10. 3x y 7 0 A 4; 5 ,C 2;1 Tọa độ các điểm A,C là nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 3 y 2 10 A 2;1 ,C 4; 5 Vậy A 4;-5 ,C 2;1 ,D 6;-1 hoặc A 2;1 ,C 4;-5 ,D 6;-1  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I 2;1 và AC 2BD .Xác định tọa độ đỉnh B, biết phương trình đường thẳng AB : 4x 3y 1 0 và điểm A có hoành độ âm. Định hướng: -Dựa vào tính chất tam giác vuông IAB và AC 2BD , tính IA,IB . -Viết phương trình đường tròn tâm I , đường kính AC . -Tìm tọa độ điểm A là giao của AB và đường tròn đường kính AC . -Viết phương trình BD , tìm B BD  AB . Lời giải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Ta có: IH d I; AB 2 . Lại có 1 1 1 1 1 1 IB 5 2 2 2 2 2 IH IA IB 4 4IB IB IA 2 5 Đường tròn tâm I bán kính R IA 2 5 có phương trình 2 2 x 2 y 1 20 4x 3y 1 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 2 2 A 2;3 , do A có hoành độ âm. x 2 y 1 20 Khi đó phương trình đường thẳng BD là 2x y 3 0
  22. 2x y 3 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 1; 1 4x 3y 1 0 Vậy B 1;-1  Bài 2.12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M 1; 1 là trung điểm của cạnh BC. Xác định tọa độ các đỉnh tam giácABC biết, trọng tâm tam giác AB Clà 2 G ;0 3 Định hướng : -Từ tính chất trọng tâm tam giác , suy ra A . -Viết phương trình đường thẳng BC . -Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . -Tìm tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Lời giải.   Từ tính chất G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra AG 2GM A 0;2  Đường thẳng BC đi qua M, nhận véc-tơ AM 1; 3 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x 3y 4 0. Do tam giác ABC vuông cân ở A, nên MB MC MA 10. 2 2 Đường tròn tâm M bán kính R MA 10 có phương trình x 1 y 1 10. x 3y 4 0 B 4;0 ,C 2; 2 Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 1 y 1 10 B 2; 2 ,C 4;0 Vậy A 0;2 ,B 4; 0 ,C -2;-2 hoặc A 0;2 ,B -2;-2 ,C 4; 0  Bài 2.13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân ở A nội tiếp đường tròn C : x2 y2 2x 4y 1 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M 0;1 là trung điểm cạnh AB và A có hoành độ dương.
  23. Định hướng : -Viết phương trình AB. Tìm tọa độ A, B là giao của AB và đường tròn (C). -Viết phương trình BC. Tìm tọa độ điểm C là giao của BC và đường tròn (C). Lời giải. Đường tròn C có tâm I 1;2 bán kính R 2.  Đường thẳng AB đi qua M nhận véc-tơ MI làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x y 1 0. Tọa độ các điểm A,B là nghiệm của hệ phương trình x y 1 0 2 2 A 1;2 , B 1;0 , do A có hoành độ dương. x 1 y 2 4  Đường thẳng BC đi qua B và nhận véc-tơ IA làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x 1 0. x 1 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 2 2 C 1;4 x 1 y 2 4 Vậy A 1;2 ,B -1; 0 ,C -1; 4  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 5 5 , tâm 1 3 I 0; , trung điểm của đoạn AD là E 1; . Xác định toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật 2 2 ABCD, biết A có hoành độ âm. Định hướng : -Viết phương trình AD . -Từ chu vi hình chữ nhật tính AD,IA . -Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD . -Viết phương trình AD . Suy ra tọa độ A,D giao điểm của AD và đường tròn. -Suy ra B,C .
  24. Lời giải.  Đường thẳng AD đi qua E và nhận véc-tơ IE 1; 2 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x 2y 4 0. Ta lại có CVABCD 5 5 AB AD 5 5 2IE AD 5 5 AD 3 5 65 Lúc đó IA IE2 AE2 2 65 Phương trình đường tròn tâm I bán kính R IA có phương trình 2 2 2 1 65 x y 2 4 x 2y 4 0 A 4;0 Tọa độ các điểm A, D là nghiệm của hệ phương trình 2 (Do A có hoành độ 2 1 65 x y D 2; 3 2 4 âm). Từ I là tâm của hình chữ nhật suy ra các điểm B 2;4 ,C 4;1 Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A -4; 0 ,B -2; 4 ,C 4;1 ,D 2;-3  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ C xuống AB là H 4;2 , trung điểm của BC là M 3;4 , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I 5;3 . Tìm tọa độ điểm A . Định hướng : -Viết phương trình BC . -Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC . -Tìm tọa độ B,C là giao điểm của BC và đường tròn. -Viết phương trình AB A . Lời giải.  Đường thẳng BC đi qua M và nhận véc-tơ MI làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình 2x y 2 0 2 2 Đường tròn tâm M bán kính R MH 5 ngoại tiếp tam giác BCH có phương trình x 3 y 4 5
  25. 2x y 2 0 B 4;6 ,C 2;2 Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ 2 2 x 3 y 4 5 B 2;2 ,C 4;6 Lúc đó : Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I, bán kính R IB IC 10 nên có phương trình 2 2 x 5 y 3 10  +) Với B 4;6 ,C 2;2 Đường thẳng AB đi qua H và nhận véc-tơ CH làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x 4. x 4 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2 2 A 4;0 x 5 y 3  +) Với B 2;2 ,C 4;6 Đường thẳng AB đi qua H và nhận véc-tơ CH làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình y 2. y 2 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2 2 A 8;2 x 5 y 3 Vậy A 4; 0 hoặc A 8;2  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD biết trực tâm BCD là 3 1 H 4; 3 , tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABD là I ; điểm B thuộc đường thẳng 2 2 x y 1 0 và đường thẳng BC đi qua M( 1; 1) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết đểm B có hoành độ âm. Định hướng : -Phát hiện và chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . Suy ra A . -Viết phương trình đường tròn tâm I bán kính IH . -Tìm tọa độ điểm B , viết phương trình DH . -Tìm tọa độ điểm D là giao của DH và đường tròn . Suy ra C. Lời giải. DC / / AB Do AB  BH H nằm trên đường tròn tâm I. DC  AH