Bài tập Hình học Lớp 11: Quan hệ vuông góc trong không gian - Lê Minh Chơn

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11: Quan hệ vuông góc trong không gian - Lê Minh Chơn

1. Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1. Cho hai tam giác cân ABC, ABD có chung cạnh đáy AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng: a)AB  (CID) b) AB  CD Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) . Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, SBC . Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy. b) SC  (BHK) c) HK  (SBC) Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin của góc giữa: a) Hai đường thẳng AB và MD . b) Các cạnh bên và mặt đáy. c) Độ dài đoạn nối D với hình chiếu của nó trên (ABC) . Bài 4. Cho tứ diện ABCD có AB CD a, AC BD b, AD BC c . a) Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện của tứ diện thì vuông góc với hai cạnh đó. b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD . Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a 3 . Gọi O là tâm đa giác đáy. 3 a) Tính độ dài đoạn nối S với hình chiếu của nó trên (ABC) . b) Chứng minh BC  (SAO) và SA  BC . c) Tính góc giữa SA và (ABC) . Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O ; SA  (ABCD) và SA a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB . a) Chưng minh IO  (ABCD) . b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM và khoảng cách từ O đến đường thẳng SC . Bài 7. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông ở D , cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) , BD a , CD b , AB h . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BD và AC . a) Tính độ dài đoạn MN . b) Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b,h để MN là đoạn vuông góc chung của BD và AC . Bài 8. Cho hai tia Ox,Oy vuông góc nhau tại O ; M , N là hai điểm di động lần lượt thuộc Ox,Oy sao cho MN a (a là hằng số). Gọi I là trung điểm của MN ; trên đường thẳng qua O vuông góc với (Oxy) lấy điểm S cố định. a) Khi M , N di động trên Ox,Oy thì I chạy trên đường nào ? b) Xác định vị trí của M , N để tam giác SMN có diện tích lớn nhất. Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và µA 600 , a 3 SA SB SD . 2 a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và độ dài cạnh SC . b) Chứng minh (SAC)  (ABCD) và SB  BC . c) Gọi là góc giữa (SBD) và (ABCD) , tính tan . Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy bằng a . Gọi O là tâm của tứ giác ABCD . a) Tính độ dài đoạn thẳng SO . b) Gọi M là trung điểm của SC . Chứng minh rằng (MBD)  (SAC) . Gv. Lê Minh Chơn trang 1
2. Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD),(ABCD) . Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , cạnh a và có µA 600 ; cạnh a 6 bên SC vuông góc với (ABCD) và SC . 2 a) Chứng minh (SBD)  (SAC) . b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA tại K . Tính độ dài đoạn IK . c) Chứng minh B· KD 900 , từ đó suy ra (SAB)  (SAD) . Bài 12. Tứ diện SABC có ABC và SBC là hai tam giác nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau. SBC là tam giác đều cạnh a , ABC là tam giác vuông tại A và ·ABC . a) Xác định hình chiếu H của S trên (ABC) . b) Tính độ dài đoạn SA . c) Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh (SHI)  (SAB) . Tính khoảng cách từ H đến (SAB) . Bài 13 (KD – 2007) . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ·ABC B· AD 900 , BA BC a , AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a 2 . a) Chưng minh tam giác SCD vuông tại C . b) Tính d(A,(SBC)) . Bài 14. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB . a) Chứng minh (SAD)  (SAB) . b) Tính góc giữa SD và (ABCD) . c) Gọi F là trung điểm của AD . Chứng minh (SCF)  (SID) . d) Tính khoảng cách từ I đến (SCF) . Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  (ABCD) và SA a 2 . Gọi ( ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC , ( ) cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M , K . Chứng minh rằng: a)AH  SB , AK  SD . b)BD / /( ) , từ đó chứng minh BD / /HK . c)HK đi qua trọng tâm tam giác SAC . Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA SB SC a . Chứng minh: a)(SBD)  (ABCD) . b) Tam giác SBD vuông tại S . Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 3a . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD . a) Chứng minh rằng SC  (AMN) . b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) . c) Tính chu vi tam giác AMN . Bài 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Trên đường thẳng qua O và vuông góc với a 6 (ABCD) lấy điểm S sao cho SO . Mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt 2 SB, SC, SD tại B ',C ', D ' . a) Tính độ dài đoạn AC ' . Chứng minh C ' là trung điểm của SC . b) Chứng minh SO, AC ', B ' D ' đồng quy và B ' D '/ /BD , từ đó suy ra cách xác định B ', D ' . c) Tính diện tích tứ giác AB 'C ' D ' . Gv. Lê Minh Chơn trang 2