›
›
›

Bài tập trắc nghiệm Toán 11 - Giới hạn của dãy số, hàm số, tính liên tục có (Có đáp án và lời giải)

docx 107 trang xuanha23 09/01/2023 3370
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Toán 11 - Giới hạn của dãy số, hàm số, tính liên tục có (Có đáp án và lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_trac_nghiem_toan_11_gioi_han_cua_day_so_ham_so_tinh.docx

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán 11 - Giới hạn của dãy số, hàm số, tính liên tục có (Có đáp án và lời giải)

  1. BÀI TẬP GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 . 1. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số un có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: limun 0 . Nói một cách ngắn gọn, limun 0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Từ định nghĩa suy ra rằng: a) limun 0 lim un 0 . b) Dãy số không đổi un , với un 0 , có giới hạn là 0 . c) Dãy số un có giới hạn là 0 nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. 2. Một số dãy số có giới hạn 0 Định lí 4.1 Cho hai dãy số un và vn . Nếu un vn với mọi n và limvn 0 thì limun 0 . STUDY TIP Định lí 4.1 thường được sử dụng để chứng minh một dãy số có giới hạn là 0 . Định lí 4.2 Nếu q 1 thì lim qn 0 . Người ta chứng mình được rằng 1 a) lim 0 . n 1 b) lim 0 3 n 1 c) lim 0 với mọi số nguyên dương k cho trước. nk 1 Trường hợp đặc biệt : lim 0 . n nk d) lim 0với mọi k ¥ * và mọi a 1cho trước. an STUDY TIP Cách ghi nhớ các kết quả bên như sau: Khi tử số không đổi, mẫu số càng lớn (dần đến dương vô cực) thì phân số càng nhỏ (dần về 0 ) II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN. 1. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là số thực L nếu lim un L 0 .
  2. Kí hiệu: limun L . Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. STUDY TIP a) Dãy số không đổi un với un c , có giới hạn là c . b) limun L khi và chỉ khi khoảng cách un L trên trục số thực từ điểm un đến L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm un “ chụm lại” quanh điểm L . c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. 2. Một số định lí Định lí 4.3 Giả sử limun L . Khi đó 3 3 a) lim un L và lim un L . b) Nếu un 0 với mọi n thì L 0 và lim un L . Định lí 4.4 Giả sử limun L , limvn M và c là một hằng số. Khi đó a) lim un vn L M . b) lim un vn L M . c) lim unvn LM . D) lim cun cL . u L e) lim n (nếu M 0 ). vn M 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa q 1. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: u S u u q u q2 1 1 1 1 1 q III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC. 1. Dãy số có giới hạn Ta nói rằng dãy số un có giới hạn nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Kí hiệu: limun . Nói một cách ngắn gọn, limun nếu un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Người ta chứng minh được rằng: a) lim un . 3 b) lim un c) lim nk với một số nguyên dương k cho trước. Trường hợp đặc biệt : lim n . d) lim qn nếu q 1. 2. Dãy số có giới hạn
  3. Ta nói rằng dãy số un có giới hạn nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Kí hiệu: limun . Nói một cách ngắn gọn, limun nếu un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Nhận xét: a) limun lim un . 1 1 b) Nếu lim un thì un trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Đo đó trở un un 1 nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu lim un thì lim 0 . un STUDY TIP Các dãy số có giới hạn hoặc được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. Định lí 4.5 1 Nếu lim un thì lim 0 . un STUDY TIP Ta có thể diễn giải “nôm na” định lí 4.5 như sau cho dễ nhớ: Khi tử số không đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối càng lớn(dần đến vô cực) thì phân số càng nhỏ(dần về 0 ). 3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1 Nếu limun và limvn thì lim unvn được cho trong bảng sau: limun limvn lim unvn STUDY TIP Vì và không phải là những số thực nên không áp dụng được các định lí về giới hạn hữu hạn cho các dãy số có giới hạn vô cực. Quy tắc 2 Nếu limun và limvn L 0 thì lim unvn được cho trong bảng sau: Dấu của L limun lim unvn Quy tắc 3
  4. Nếu limun L 0 và limvn 0 và vn 0 hoặc vn 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì u lim n được cho trong bảng sau: vn Dấu của L Dấu của u vn lim n vn STUDY TIP Ở cả ba quy tắc, về dấu, tương tự như quy tác về dấu của phép nhân hoặc phép chia hai số. Để cho dễ nhớ, ta diễn giải các quy tắc một cách “nôm na” như sau: - Quy tắc 1: Tích của hai đại lượng vô cùng lớn là một đại lượng vô cùng lớn. - Quy tắc 2: Tích của đại lượng vô cùng lớn với một đại lượng khác 0 là một đại lượng vô cùng lớn. - Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác 0 , mẫu thức càng nhỏ(dần về 0 ) thì phân thức càng lớn(dần về vô cực). B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 1: lim n3 2n 1 bằng A. 0 .B. 1. C. . D. . Đáp án D. Lời giải 3 3 2 1 Cách 1: Ta có: n 2n 1 n 1 2 3 . n n 3 2 1 3 Vì lim n và lim 1 2 3 1 0 nên theo quy tắc 2, lim n 2n 1 n n Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị của biểu thức n3 2n 1tại một giá trị lớn của n (do n ) như sau: Nhập vào màn hình biểu thức X 3 2X 1. Bấm CALC . Máy hỏi X ? nhập 105 , ấn . Máy hiện kết quả như hình bên. Ta thấy kết quả tính toán với X 105 là một số dương rất lớn. Do đó chọn D. Câu 2: lim 5n n2 1 bằng A. . B. . C. 5.D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 5 1 Cách 1: Ta có 5n n 1 n 1 2 . n n 2 5 1 2 Vì lim n và lim 1 2 1 0 nên lim 5n n 1 (theo quy tắc 2). n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như ví dụ trên. Ta thấy kết quả tính toán với X 105 là một số âm rất nhỏ. Do đó chọn đáp án có giới hạn bằng .
  5. Tổng quát: Cho k là một số nguyên dương. k k 1 a) lim ak n ak 1n a1 n a0 nếu ak 0. k k 1 b) lim ak n ak 1n a1 n a0 nếu ak 0. 3 2 Chẳng hạn: lim n 2n 1 vì a3 1 0 ; lim 5n n 1 vì a2 1 0 . STUDY TIP Cho un có dạng đa thức (bậc lớn hơn 0) của n . - Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của n là một số dương thì limun . - Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của n là một số âm thì limun . 5n2 3n 7 Câu 3: limu , với u bằng: n n n2 A. 0. B. 5. C. 3. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn B. 5n2 3n 7 3 7 Cách 1: Ta có: limun lim 2 2 2 lim 5 2 5 . n n n n n Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự những ví dụ trên. Đây không phải là giá trị chính xác của giới hạn cần tìm, mà chỉ là giá trị gần đúng của một số hạng với n khá lớn, trong khi n dần ra vô cực. Tuy nhiên kết quả này cũng giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đó là đáp án B. STUDY TIP 1500044 15 Một số dòng máy hiện kết quả là dạng phân số, chẳng hạn . Do 5 nên chọn B. 300007 3 2n3 3n2 n 5 Câu 4: limu , với u bằng n n n3 n2 7 A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n3 ( n3 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân 3 1 5 2 2 3 3 1 5 1 7 thức), ta được: u n n n . Vì lim 2 2 và lim 1 1 0 n 1 7 2 3 3 1 n n n n n n n3 2n3 3n2 n 5 2 nên lim 2 . n3 n2 7 1 Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.
  6. n3 2n 1 Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số u , với u bằng n n n4 3n3 5n2 6 1 A. 1. B. 0. C. . D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n4 ( n4 là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được 1 2 1 3 n 2n 1 3 4 0 limu lim lim n n n 0 . n 4 3 2 3 5 6 n 3n 5n 6 1 1 n n2 n3 Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên. 3n3 2n 1 Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số u với u , bằng n n 2n2 n 3 A. . B. 0. C. . D. 1. 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho n2 ( n2 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta 2 1 3 3n 3n 2n 1 2 3n được u n n . Vậy limu lim . n 2 1 n 2n n 2 2 n Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n3 ( n3 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được 2 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 limu lim n n . Vì lim 3 3 0 , lim 0 và 0 với mọi n 2 1 2 3 2 2 n n n n n n n n2 n nên theo quy tắc 3, limun . 3 2 1 2 1 n 3 2 3 3 n n n2 n3 Cách 3: Ta có limun lim lim n . Vì lim n và 2 1 1 n 2 2 n n 2 1 3 2 3 3 lim n n 0 nên theo quy tắc 2, limu . 1 n 2 2 n Cách 4: Sử dụng MTCT tương như các ví dụ trên. STUDY TIP Rõ ràng làm theo cách 1 (chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức) ít phải lập luận hơn cách 2 và cách 3. Tổng quát: i i 1 ain ai 1n a1n a0 Xét dãy số un với un k k 1 , trong đó ai ,bk 0 bk n bk 1n b1n b0
  7. (dạng phân thức với tử số và mẫu số là các đa thức của n ). a) Nếu i k (bậc tử lớn hơn bậc mẫu) thì limun nếu aibk 0, limun nếu aibk 0. ai b) Nếu i k (bậc tử bằng bậc mẫu) thì limun . bk c) Nếu i k (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) thì limun 0 . STUDY TIP Cho un có dạng phân thức của n . - Nếu bậc tử cao hơn bậc mẫu thì un có giới hạn là vô cực - Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì limun bằng hệ số của lũy thừa cao nhất trên tử chia cho hệ số của lũy thừa cao nhất ở mẫu. - Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì limun 0 . sin n! Ví dụ 7: lim bằng n2 1 A. 0. B. 1. C. . D. 2. Hướng dẫn giải Chọn A. sin n! 1 1 Ta có mà lim 0 nên chọn đáp án A. n2 1 n2 1 n2 1 Lưu ý: Sử dụng MTCT. Với X 13, máy tính cho kết quả như hình bên. Với X 13, máy bào lỗi do việc tính toán vượt quá khả năng của máy. Do đó với bài này, MTCT sẽ cho kết quả chỉ mang tính chất tham khảo. Nhận xét: Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được rằng: sink u cosk u a) lim n 0; b) lim n 0 . vn vn Trong đó limvn ,k nguyên dương. 2 n sin 3 5 cos 3n 1 cos 2n 1 Chẳng hạn: lim 0 ; lim n 0; lim 0; n3 2n 1 2 3 n2 5n3 n 1 STUDY TIP Khi sử dụng MTCT, với các bài toán liên quan đến lượng giác, trước khi tính toán ta cần chọn chế độ Rad (radian) hoặc Deg (degree) cho phù hợp với đề bài. 1 n Ví dụ 8: lim bằng n n 1 A. 1. B. 1. C. . D. 0. Hướng dẫn giải Chọn D. n n 1 1 1 1 1 1 Cách 1: Ta có mà lim 0 nên suy ra lim 0 n n 1 n n 1 n.n n2 n2 n n 1
  8. Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên. n n 1 Nhận xét: Dãy 1 không có giới hạn nhưng mọi dãy , trong đó limv thì v n n có giới hạn bằng 0. Ví dụ 9: Tính giới hạn I lim n2 2n 3 n A. I 1. B. I 1. C. I 0. D. I . Hướng dẫn giải Chọn B. n2 2n 3 n n2 2n 3 n Cách 1: Ta có I lim n2 2n 3 n lim n2 2n 3 n 3 2 2 2 n 2n 3 n 2n 3 2 lim lim lim n 1. 2 2 2 3 1 1 n 2n 3 n n 2n 3 n 1 1 n n2 Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên. STUDY TIP Hằng đẳng thức thứ ba: a b a b a2 b2. Hai biểu thức a b và a b được gọi là biểu thức liên hợp của nhau. Ví dụ: n2 2n 3 n và n2 2n 3 n là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nhận xét: a) ở bước 3 ta đã chia cả tử và mẫu cho n . Lưu ý là n n2 . 2 3 2 1 b) Ta có n2 2n 3 n n 1 1 , Vì lim n và lim 1 1 0 nên 2 2 n n n n không áp dụng được quy tắc 2 như trong ví dụ trước đó. Ví dụ 10: lim n 3 8n3 3n 2 bằng: A. . B. . C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn B. 3 2 Cách 1: Ta có lim n 3 8n3 3n 2 lim n 1 3 8 . 2 3 n n 3 2 Vì lim n ,lim 1 3 8 1 3 8 1 0 nên lim n 3 8n3 3n 2 . 2 3 n n Cách 2: Sử dung MTCT như các ví dụ trên. Ví dụ 11: lim n2 n 4n 1 bằng: A. 1. B. 3. C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. 4 1 Cách 1: Ta có n2 n 4n 1 n2 1 . 2 n n
  9. 4 1 Vì lim n2 và lim 1 1 0 nên theo quy tắc 2, lim n2 n 4n 1 . 2 n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên. Tổng quát: r i i 1 s k k 1 Xét dãy số un ain ai 1n a1n a0 bk n bk 1n b1n b0 , trong đó ai ,bk 0. i k - Nếu r a s b và : Giới hạn hữu hạn. i k r s + Nếu hai căn cùng bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp. r i + Nếu hai căn không cùng bậc: Thêm bớt với ain rồi nhân với biểu thức liên hợp. i k - Nếu r a s b hoặc : Đưa lũy thừa bậc cao nhất của n ra ngoài dấu căn. Trong i k r s trường hợp này un sẽ có giới hạn vô cực. Nhận xét: Trong chương trình lớp 12, các em sẽ được học về căn bậc s ( s nguyên dương) và r lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Người ta định nghĩa rằng a s s ar , trong đó a là số thực dương, r là số nguyên dương, s là số nguyên dương, s 2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương. 1 1 2 Chẳng hạn: n n 2 , 3 n n3 , 3 n2 n 3 Chẳng hạn: 2 2 2 a) Với un n 2n 3 n n 2n 3 n : nhân chia với biểu thức liên hợp của n2 2n 3 n là n2 2n 3 n . Dãy số có giới hạn hữu hạn bằng 1. 3 3 3 3 3 3 3 b) Với un n 8n 3n 2 n 8n 3n 2 : đưa n ra ngoài dấu căn. Giới hạn của un . c) Với u n2 n 4n 1 n n2 4n 1 : đưa n2 ra ngoài dấu căn. n Giới hạn của un bằng . Ví dụ 12. lim n 3 n3 3n2 1 bằng : A. 1. B. 1. C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của n 3 n3 3n2 1 n3 n3 3n2 1 lim n 3 n3 3n2 1 lim 2 3 3 2 3 2 2 n n n 3n 1 3 n 3n 1 1 3 2 lim n 1. 3 1 3 1 2 3 3 1 1 3 1 3 n n n n STUDY TIP
  10. Hằng đẳng thức thứ bảy: a3 b3 a b a2 ab b2 . Hai biểu thức a b và a2 ab b2 cũng được gọi là hai biểu thức liên hợp (bậc ba) của nhau. Ví dụ 13. lim n2 n 1 3 n3 3n 2 bằng : 1 A. . B. 0 . C. . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 1 lim n2 n 1 3 n3 3n 2 lim n2 n 1 n n 3 n3 3n 2 2 Ví dụ 14. lim 5n 2n bằng : 5 A. . B. 3 . C. . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. n 2 Ta có 5n 2n 5n 1 5 n 2 Vì lim5n và lim 1 1 0 nên theo quy tắc 2, lim 5n 2n 5 Ví dụ 15. lim 3.2n 1 5.3n 7n bằng : A. . B. . C. 3 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn A. n 2 n lim 3.2n 1 5.3n 7n 3n 5 6 7 n 3 3 4.3n 7n 1 Ví dụ 16. lim bằng : 2.5n 7n 3 7 A. 1. B. 7 . C. . D. . 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B. n 3 n n 1 4. 7 4.3 7 7 7 lim n n lim n 7 . 2.5 7 5 1 2. 1 7 Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi. Nhập vào màn hình như hình dưới đây. Bấm CALC. Máy hỏi X? Nhập 100, ấn =. Máy hiện kết quả bằng 7. 4n 1 6n 2 Ví dụ 17. lim bằng : 5n 8n 6 4 A. 0 . B. . C. 36 . D. . 8 5
  11. Hướng dẫn giải Chọn A. n n 4 6 n 1 n 2 4. 36. 4 6 8 8 lim n n lim n 0 . 5 8 5 1 8 STUDY TIP Khi sử dụng máy tính cầm tay, nếu nhập giá trị X quá lớn, máy sẽ báo lỗi do giá trị của an ,a 1 tăng rất nhanh khi X tăng, nên vượt quá khả năng tính toán của máy. Khi đó cần thử lại các giá trị khác của X. Như vậy các bài toán chứa an ,a 1 ta không nên tính với n quá lớn. Cách 2: Sử sụng máy tính cầm tay tương tự như ví dụ trên. Ta thấy kết quả tính toán với X 100 là một số dương rất nhỏ. Do đó chọn đáp án giới hạn bằng 0 . 2n 3n Ví dụ 18. lim bằng : 2n 1 3 A. . B. 0 . C. . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. n 2 n n 1 n 2 3 3 Chia cả tử và mẫu cho 3 ta được n n n 2 1 2 1 3 3 n n n n n 2 2 1 2 1 Mà lim 1 1 0, lim 0 và 0 với mọi n nên theo 3 3 3 3 3 2n 3n quy tắc 3, lim . 2n 1 Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. 2 2un 1 Ví dụ 19. Cho dãy số un được xác định bởi u1 1, un 1 với mọi n 1. Biết dãy số un có un 3 giới hạn hữu hạn, limun bằng: 2 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được u 0 với mọi n n 2 2u 1 2 2L 1 Đặt limu L 0 . Ta có limu lim n hay L n n 1 u 3 L 3 n 2 L 2 (n) L L 2 0 L 1 (l)
  12. Vậy limun 2 . 2 2L 1 Lưu ý: Để giải phương trình L ta có thể sử dụng chức năng SOLVE của MTCT L 3 (Chức năng SOLVE là chức năng tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình bằng phương pháp chia đôi). Ta làm như sau: 2 2X 1 Nhập vào màn hình X ; Bấm SHIFT CALC (tức SOLVE); Máy báo Solve for X ; X 3 Nhập 1 ; Máy báo kết quả như hình bên. L R 0 tức đây là nghiệm chính xác. Lại ấn phím . Máy báo Solve for X ; Nhập 0 ; Máy báo kết quả như bên. L R 0 tức đây là nghiệm chính xác. Tuy nhiên ta chỉ nhận nghiệm không âm. Vậy L 2 . (Ta chỉ tìm ra hai nghiệm thì dừng lại vì dễ thấy phương trình hệ quả là phương trình bậc hai). Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào màn hình như hình bên. Bấm CALC . Máy tính hỏi X ? nhập 1 rồi ấn phím liên tiếp. Khi nào thấy giá trị của Y không đổi thì dừng lại. Giá trị không đổi đó của Y là giới hạn cần tìm của dãy số. Giới hạn đó bằng 2. STUDY TIPS Trong ví dụ này ta đã áp dụng tính chất “nếu limun L thì limun 1 L ” 1 2 Ví dụ 20. Cho dãy số un được xác định bởi u1 1, un 1 un với mọi n 1. Tìm giới hạn của 2 un un . A. limun 1. B. limun 1. C. limun 2 . D. limun 2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được un 0 với mọi n Đề bài không cho biết dãy số un có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài cho đều là các giới hạn hữu hạn. Do đó có thể khẳng định được dãy số un có giới hạn hữu hạn. Đặt limun L 0 1 2 limun 1 lim un 2 un 1 2 2 2 Hay L L L L 2 L 2 2 L L Vậy limun 2 ( loại trường hợp L 2 ). Vậy limun 2 . Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào như màn hình sau.
  13. Bấm CALC. Máy hỏi X? nhập 1 rồi bấm phím = liên tiếp. Khi nào thấy giá trị của Y không đổi thì dừng lại. Giá trị không đổi đó của Y là giới hạn cần tìm của dãy số. Trong bốn đáp án đã cho, bằng phương pháp loại trừ, ta thấy chỉ có đáp án C là phù hợp với kết quả tính toán trên máy tính ( 2 2,41423568 ). 1 Ví dụ 21. Cho dãy số u xác định bởi u 1 và u 2u với mọi n 1. Khi nó limu bằng: n 1 n 1 n 2 n 1 1 1 A. 0 .B. . C. . D. . 2 2 2 Đáp án C. Phân tích: Đề bài không cho biết dãy số un có giới hạn hữu hạn hay không. Có đáp án là hữu hạn, có đáp án là vô cực. Do đó chưa thể khẳng định được dãy số có giới hạn hữu hạn hay vô cực. Lời giải Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L . 1 1 1 Ta có: limu 2limu L 2L L . n 1 n 2 2 2 1 Đến đây có thể kết luận là limu được không? Câu trả lời là không? n 2 Vì không khó để chứng minh được rằng un 0 với mọi n . Do đó nếu dãy số có giới hạn L thì L 0 . Từ đó suy ra dãy không có giới hạn, mà trong bốn đáp án trên chỉ có đáp án C là vô cực. Vậy ta chọn đáp án C. Ta xét hai cách giải sau: 1 1 1 1 1 Cách 1: Đặt vn un . Ta có: vn 1 un 1 2un 2 un 2vn 2 2 2 2 2 3 3 Vậy v là cấp số nhân có v và q 2 . Vậy v .2n 1 3.2n 2 . n 1 2 n 2 n 2 Do đó limvn lim 3.2 . Suy ra limun . Cách 2: Sử dụng quy trình lặp (MTCT) tương tự ví dụ trên.
  14. 1 Phân tích: Câu hỏi đặt ra là tại sao ta lại đặt v u để thu được kết quả dãy v là cấp số n n 2 n nhân? Ta có kết quả tổng quát sau. Cho dãy số un xác định bởi u1 a , un 1 run s với n 1, trong đó r, s là các hằng số và s r 1, s 0 . Khi đó dãy số v với v u là một cấp số nhân có công bội r . n n n r 1 s s rs s Thật vậy, ta có vn 1 un 1 run s run r un rvn r 1 r 1 r 1 r 1 ( Nếu r 1 thì un là một cấp số cộng, s 0 thì un là một cấp số nhân). Như vậy, dãy số un xác định bởi u1 a , un 1 run s với n 1, trong đó r, s là các hằng số và r 1, s 0 sẽ có giới hạn vô cực nếu r 1, có giới hạn hữu hạn nếu r 1. STUDY TIP un 1 run s s Đặt v u n n r 1 . u1 a , un 1 run s + r 1: un có giới hạn . + r 1: un có giới hạn . s + r 1: u có giới hạn hữu hạn bằng . n r 1 Ví dụ 22. Cho dãy số un xác định u1 0 , u2 1, un 1 2un un 1 2 với mọi n 2 . Tìm giới hạn của dãy số un . A. 0 .B. 1 . C. . D. . Đáp án D. Phân tích: Đề bài không cho biết dãy số un có giới hạn hữu hạn hay không. Có đáp án là hữu hạn, có đáp án là vô cực. Do đó chưa thể khẳng định được dãy số có giới hạn hữu hạn hay vô cực. Lời giải Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L . Ta có: limun 1 2limun limun 1 2 L 2L L 2 0 2 (Vô lý) Vậy có thể dự đoán dãy có giới hạn vô cực. Tuy nhiên có hai đáp án vô cực ( và ), vậy chưa thể đoán là đáp án nào. Ta xem hai cách giải sau.
  15. 2 Cách 1: Ta có u1 0 , u2 1, u3 4 , u4 9 . Vậy ta có thể dự đoán un n 1 với mọi n 1. 2 2 2 2 Khi đó un 1 2un un 1 2 2 n 1 n 2 2 n n 1 1 . 2 2 Vậy un n 1 với mọi n 1. Do đó limun lim n 1 . Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào như màn hình sau. Bấm CALC Máy hỏi B? nhập 1 rồi bấm phím =, máy hỏi A? nhập 0 rồi ấn phím = liên tiếp. Ta thấy giá trị C ngày một tăng lên. Vậy chọn đáp án của dãy số là . Dạng 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Ví dụ 23. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a 2,151515 (chu kỳ 15), a được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, trong đó m,n là các số nguyên dương. Tìm tổng m n . A. m n 104 .B. m n 312 .C. m n 38 . D. m n 114 . Đáp án A. Lời giải 15 15 15 Cách 1: Ta có a 2,151515 2 100 1002 1003 15 15 15 15 Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u , công 100 1002 1003 1 100 15 1 71 bội q nên a 2 100 . 1 100 1 33 100 Vậy m 71,n 33 nên m n 104 . 5 Cách 2: Đặt b 0,151515 100b 15 b b . 33 5 71 Vậy a 2 b 2 . 33 33 Do đó m 71,n 33 nên m n 104 . Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào máy số 2,1515151515 (Nhiều bộ số 15, cho tràn màn hình) rồi bấm phím =. Máy hiển thị kết quả như hình sau.
  16. 71 Có nghĩa là 2, 15 . 33 Vậy m 71,n 33 nên m n 104 . Cách 4: Sử dụng MTCT. Bấm 2 . ALPHA 1 5 = . Máy hiển thị kết quả như hình sau. 71 Có nghĩa là 2, 15 . 33 Vậy m 71,n 33 nên m n 104 . a Ví dụ 24.Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111 được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản , trong b đó a,b là các số nguyên dương. Tính a b . A. a b 611.B. a b 611. C. a b 27901. D. a b 27901 . Đáp án B. Lời giải Cách 1: Ta có: 1 32 1 1 1 32 3 289 0,32111 10 . 3 4 5 1 100 10 10 10 100 1 900 10 Vậy a 289,b 900 . Do đó a b 289 900 611. Cách 2: Đặt x 0,32111 100x 32,111 Đặt y 0,111 100x 32 y . 1 Ta có: y 0,111 10y 1 y y . 9 1 289 289 Vậy 100x 32 x . 9 9 900 Vậy a 289,b 900 . Do đó a b 289 900 611.
  17. Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào máy số 0,3211111111 ( Nhập nhiều số 1 , cho tràn màn hình), rồi bấm phím = . Màn hình hiển thị kết quả như sau. Vậy a 289,b 900 . Do đó a b 289 900 611. Cách 4: Sử dụng MTCT. Bấm 0 . 3 2 ALPHA 1 = . Máy hiển thị kết quả như hình sau. Vậy a 289,b 900 . Do đó a b 289 900 611. Tổng quát Xét số thập phân vô hạn tuần hoàn a x1x2 xm , y1 y2 yn z1z1 zk z1z1 zk . y1 y2 yn z1z2 zk Khi đó a x1x2 xm 10 0 9 9 9 0 0 n chu so k chu so n chu so 15 32 1 Chẳng hạn, 2,151515 2 ;0,32111 . 99 100 990 Dạng 4. Tìm giới hạn của dãy số mà tổng là n số hạng đầu tiên của một dãy số khác. 1 1 1 Ví dụ 25. Tổng S 1 bằng: 2 4 8 2 3 A.1 .B. 2 . C. .D. . 3 2 Đáp án B. Lời giải 1 Cách 1: S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u 1 và q . 1 2 1 Do đó S 2 . 1 1 2 Cách 2: Sử dụng MTCT. Sử dụng chức năng tính tổng. Nhập vào màn hình như hình sau.
  18. Bấm phím = , máy hiển thị kết quả bằng 2 . 1 1 Lưu ý: Ở bài này, phải nhập số hạng tổng quát bằng , vì u 1 . Nếu nhập số hạng 2X 1 1 21 1 1 tổng quát bằng thì kết quả sẽ bằng 1 và là kết quả sai. 2X Mặt khác, nếu cho X chạy từ 1 đến 103 thì máy sẽ báo lỗi do khối lượng tính toán quá lớn, vượt quá khả năng của máy. Trong trường hợp đó, ta quay lại điều chỉnh biên độ của máy thì sẽ thông báo kết quả như trên. n 1 1 1 1 1 Ví dụ 26. Cho dãy số u với u . Khi đó limu bằng: n n 2 4 8 2n n 1 2 3 A. .B. .C. .D. . 1 3 3 4 Đáp án A. Lời giải 1 1 Cách 1: u là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u và q . n 1 2 2 n 1 1 n n 1 2 1 1 1 1 1 Do đó un . 1 . Suy ra limun lim 1 . 2 1 3 2 3 2 3 1 2 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cách 2: limu lim n n n 2 4 8 2 2 4 8 2 1 1 Vậy limu bằng tổng của một cấp số nhân lui vô hạn với u và q . n 1 2 2
  19. 1 1 Do đó limu 2 . n 1 3 1 2 Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào như màn hình sau. 1 Ấn phím = , máy hiển thị kết quả bằng 3 Do đó chọn đáp án A. Nhận xét: Rõ ràng, nếu thuộc công thức thì bài toán này giải thông thường sẽ nhanh hơn MTCT! STUDY TIP Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q là: 1 qn S u n 1 1 q 1 1 1 Ví dụ 27. Tính lim bằng: 1.3 3.5 2n 1 2n 1 1 1 A. 0 .B. .C. .D. . 1 2 3 Đáp án C. Lời giải Cách 1: Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.3 3.5 2n 1 2n 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 1 1 1 1 1 1 Vậy lim lim 1 . 1.3 3.5 2n 1 2n 1 2 2n 1 2 Cách 2: Sử dụng MTCT.
  20. 100 1 Nhập vào màn hình biểu thức , bấm dấu = . Máy hiển thị kết quả như  X 1 2X 1 2X 1 màn hình sau. Vậy chọn đáp án C. Tổng quát, ta có: 1 1 1 1 lim . k k d k d k 2d k n 1 d k nd d.k 1 1 Chẳng hạn trong ví dụ trên thì k 1 và d 2 . Do đó giới hạn là . 1.2 2 Kinh nghiệm cho thấy nhiều bạn quên mất d khi tính toán dãy có giới hạn như trên. 1 2 n Ví dụ 28. Cho dãy số u với u . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? n n n2 1 1 A. limu 0 .B. .lC.im. u D. Dãy sốli mu không1 u n n 2 n n có giới hạn khi n . Đáp án B. Lời giải n n 1 1 2 n n n 1 Cách 1: Ta có: 1 2 n . Suy ra . 2 n2 1 2 n2 1 n n 1 1 Do đó limu lim . n 2 n2 1 2 A  X Cách 2: Sử dụng MTCT. Gán 105 cho biến A . Nhập vào màn hình biểu thức X 1 , bấm A2 1 dấu = . Máy hiển thị kết quả như sau. Do đó chọn đáp án B.
  21. Lưu ý: Tổng 1 2 n trong ví dụ trên là một tổng dạng quen thuộc. Đó chính là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 1 và công sai d 1 . Do đó nếu n n 1 không thuộc công thức 1 2 n , ta có thể sử dụng công thức tính tổng của một 2 cấp số cộng để tính tổng đó. Để làm tốt các dạng bài tập trên, cần nhớ một số tổng quen thuộc sau: n n 1 a) 1 2 n 2 n n 1 2n 1 b)12 22 n2 6 2 3 3 3 n n 1 c)1 2 n . 2 STUDY TIP n u u n 2u1 n 1 d Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: S 1 n ; S . n 2 n 2 1 qn Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: S u . n 1 1 q 1 5 9 4n 3 Ví dụ 1: lbằng:im 2 7 12 5n 3 4 3 2 5 A. . B. . C. . D. . 5 4 3 6 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng un với n 1 , un 4n 3 và công bội d 4 . n 1 4n 3 n 4n 2 Do đó 1 5 9 4n 3 . 2 2 n 2 5n 3 n 5n 1 Tương tự ta có: 2 7 12 5n 3 . 2 2 1 5 9 4n 3 n 4n 2 4 Vậy lim lim . 2 7 12 5n 3 n 5n 1 5 1000 phím, ta thấy kết 4X 3 3998 4  Cáchquả bằng 2: Sử dụng MTCT. . Vậy Nhậpchọn đáp vào án màn A. hình X 1 , bấm 4999 5 1000 =  5X 3  Studytip:X 1
  22. Nếu tử thức là tổng của n+i số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai d, mẫu thức là tổng của n+k số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai d’ thì phân thức có giới hạn là d ' i,k ¢ . d 3 32 33 3n Ví dụ 2: lbằng:im 1 2 22 2n 3 2 A. . B. .3 C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Ta có tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân un với u1 3 và q 3 . 3n 1 3 Do đó 3 32 33 3n 3. 3n 1 . 3 1 2 Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân vn với vn 1và q .2 Do đó 2n 1 1 1 2 22 2n 2. 2. 2n 1 1 . 2 1 n n 3 1 2 3 n n 3 3 3 3 3 3 1 3 2 3 Vậy lim 2 n lim . n 1 lim n . 1 2 2 2 4 2 1 4 1 2 3 20 X phím, ta thấy kết quả hiển thị trên màn hình là 2493,943736. 3 Cách 2: Nhập vào màn hình X 1 , bấm Do đó chọn đáp ánA. 1000 =  2X 1 Bổ sung: (Định lí kẹp) X 1 Xét ba dãy số un , vn , wn . Giả sử với mọi n ta có un vn wn . Khi đó nếu có limun lim wn L thì limvn L.  Studytip: Nếu tử thức là tổng của n+i số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội q 1 , mẫu thức là tổng của n k số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội q' 1 thì: . Phân thức có giới hạn là nếu q q' ; . Phân thức có giới hạn là 0 nếu q q' . 1 2 n Ví dụ 3: lbằngim 2 2 2 n 1 n 2 n n 1 1 A. 0. B. . C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B
  23. 1 2 n 1 2 n 1 2 n Cách 1: Ta có . n2 n n2 1 n2 2 n2 n n2 1 n n 1 n n 1 1 2 n 1 1 2 n 1 Mà lim lim 2 ; lim lim 2 . n2 n n2 n 2 n2 1 n2 1 2 1 2 n 1 Vậy lim 2 2 2 . n 1 n 2 n n 2 A X Cách 2: Sử dụng MTCT. Gán 103 cho A. Nhập vào màn hình , bấm  2 = X 2 A X phím Kết quả hiển thị 0.5001664168. Vậy chọn đáp án B. Ta thấy rằng trong trường hợp không thuộc công thức, sử dụng máy tính cầm tay là một giải pháp hiệu quả. Tuy nhiên nếu rèn luyện nhiều, cọ xát nhiều dạng bài tập thì có thể sử dụng MTCT sẽ cho kết quả chậm hơn là tính toán thông thường. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1: BÀI TẬP LÝ THUYẾT Câu 1: Chọn khẳng định đúng. A. lnếuimu n 0có thể nhỏun hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. lnếuimu n 0có thể lớnun hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. lnếuimu n có0 thể nhỏun hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. lnếuimu n có0 thể nhỏun hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Câu 2: Chọn khẳng định đúng. A. lnếuimu n có thể bé uhơnn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. lnếuimu n có thể lớnu hơnn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. lnếuimu n có thể béu hơnn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. lnếuimu n có thể lớnu nhơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Câu 3: Chọn khẳng định đúng. A. limun a nếu un a có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. lnếuimu n a có thểun lớna hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. limun a nếu un a có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. limun a nếu un a có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Câu 4: Chọn khẳng định đúng. A. lim qn 0 nếu q 1 . B. lim qn 0 nếu q 1 . C. lim qn 0 nếu q 1 . D. lim qn 0 nếu q 1 . Câu 5: Chọn khẳng định đúng. A. lim qn nếu q 1 . C. lim qn nếu q 1 . B. lim qn nếu q 1 . D. lim qn nếu q 1 Câu 6: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
  24. A. Nếu q 1 thì limqn 0 . B. Nếu limun a , limvn b thì lim(unvn ) ab . 1 C. Với k là số nguyên dương thì lim 0 . nk D. Nếu limun a 0 , limvn thì lim(unvn ) . Câu 7: Biết limun 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. 3u 1 3u 1 3u 1 3u 1 A. .l im nC. . 3 B. . D.l i.m n 2 lim n 1 lim n 1 un 1 un 1 un 1 un 1 Câu 8: Biết limun . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. un 1 1 un 1 un 1 1 un 1 A. .l im C.2 . B. . D. l.im 2 0 lim 2 lim 2 3un 5 3 3un 5 3un 5 5 3un 5 DẠNG 2: BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 9: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn? 1 A. .( sin n) B. . (cos n)C. . D.( (. 1)n ) ( ) 2 Câu 10: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn khác 0? A. .( (0,98)n ) C. . B.(( . 0,99)n ) D. . ((0,99)n ) ((1,02)n ) 1 Câu 11: Biết dãy số (u ) thỏa mãn u 1 . Tính limu . n n n3 n A. .l imun 1 B. . limun 0 C. .l imun 1D. Không đủ cơ sở để kết luận về giới hạn của dãy số . (u n ) Câu 12: Giới hạn nào dưới đây bằng ? A. .l im(3n2 C. n .3 ) B. . lim(D.3n 2. n) lim(n2 4n3 ) lim(3n3 n4 ) (2n 1)2 (n 1) Câu 13: bằnglim bao nhiêu? (n2 1)(2n 1) A. 1. B. 2. C. 0. D. . Câu 14: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là ? n2 3n3 2 2n2 3n n3 2n 1 n2 n 1 A. .l im C. . B. . D.lim . lim lim n2 n n3 3n n 2n3 1 2n Câu 15: Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại n2 sin 3n n2 sin2 3n 2n cos5n 3n cos n A. .l im(1C. . B. . ) D. . lim lim lim n3 1 n2 5 5n 3n 1 Câu 16: Để tính lim( n2 1 n2 n) , bạn Nam đã tiến hành các bước như sau: 1 1 Bước 1: lim( n2 n n2 1) lim(n 1 n 1 ) . n n 1 1 1 1 Bước 2: lim(n 1 n 1 ) lim n( 1 1 ) . n n n n
  25. 1 1 Bước 3: Ta có lim n ; lim( 1 1 ) 0 . n n Bước 4: Vậy lim( n2 1 n2 n) 0 . Hỏi bạn Nam đã làm sai từ bước nào? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4. Câu 17: lim( 3n 1 2n 1) bằng? A. 1. B. 0. C. . D. . n2 1 n 1 Câu 18: bằng?lim 3n 2 1 A. 0. B. . C. . D. . 3 n 3 Câu 19: bằng?lim(1 2n) n3 n 1 A. 0. B. -2. C. . D. . Câu 20: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là hữu hạn? A. .l im( n 1 n)n C. . lim( n2 n 2 n 1) 1 B. .l im D. . lim( n2 n 1 n) n 2 n 1 Câu 21: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là không hữu hạn? 3 n n2 1 n A. .l im C. . lim 3 n 1 3 n 3 n3 n n B. .l im( 3 1 n3 n) D. . lim( 3 n2 n3 n) n2 4n 4n2 1 6 3 m m Câu 22: Biết lim , trong đó là phân số tối giản, m và n là các số 3n2 1 n 2 n n nguyên dương. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. .m .n 10 C. . m.nB. .1 5 D. . m.n 14 m.n 21 1 2.3n 6n Câu 23: Tìm lim : 2n (3n 1 5) 1 1 A. . B. . C. 1. D. . 2 3 DẠNG 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN 1 1 1 1 m Câu 24: Cấp số nhân lùi vô hạn 1, , , , ,( )n 1, có tổng là một phân số tối giản . Tính 2 4 8 2 n m 2n . A. .m 2n 8C. . B.m . 2n 7D. . m 2n 4 m 2n 5 m Câu 25: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,27323232 được biểu diễn bởi phân số tối giản (m ,n là n các số nguyên dương). Hỏi m gần với số nào nhất trong các số dưới đây?
  26. A. 542. B. 543. C. 544. D. 545. 9 Câu 26: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của 3 số hạn đầu tiên của nó là . Số hạn đầu 4 của cấp số nhân đó là? 9 A. 4. B. 5. C. 3. D. . 4 5 Câu 27: Phương trình 2x 1 x2 x3 x4 x5 , trong đó x 1 , có tập nghiệm là: 4 7 97  3 41  7 97  3 41  A. .S C. . B. .  D. . S  S  S  24  16  24  16  Câu 28: Cho tam giác đều A1B1C1 cạnh a . Người ta dựng tam giác đều A2 B2C2 có cạnh bằng đường cao của tam giác A1B1C1 ; dựng tam giác đều A3B3C3 có cạnh bằng đường cao của tam giác A2 B2C2 và cứ tiếp tục như vậy. Tính tổng diện tích Scủa tất cả các tam giác đều A1B1 ,C 1 A2 B2 ,C 2 A3B3C3 , 3a2 3 3a2 3 A. . B. . C. . D.a 2. 3 2a2 3 4 2 DẠNG 4: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI u Câu 29: Cho số thực a và dãy số (u ) xác định bởi: u a và u 1 n với mọi n 1 . Tìm giới hạn n 1 n 1 2 của dãy số (un ) . a A. .a B. . C. 1. D. 2. 2 Câu 30: Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 3,2un 1 un 1 với mọi n 1 . Gọi Sn là tổng n số hạng đàu tiên của dãy số (un ) . Tìm lim Sn . A. .l im Sn C. . B. l.i m Sn 1D. . lim Sn lim Sn 1 u u Câu 31: Cho dãy số (u ) xác định bởi u 1,u 2,u n 1 n với mọi n 1 . Tìm limu . n 1 2 n 2 2 n 3 5 4 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 1 u Câu 32: Cho dãy số (u ) xác định bởi u ,u u2 n với mọi n 1 . Tìm limu . n 1 4 n 1 n 2 n 1 1 A. .l imu C. . B.li m. u D. . limu 0 limu n 4 n 2 n n un 1 Câu 33: Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 1,un 1 un 2n 1với mọi n 1 . Khi đó lim bằng. un A. . B. 0. C. 1. D. 2. DẠNG 5: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ
  27. u u Câu 34: Cho dãy số (u ) được xác định bởi u a,u b,u n 1 n với mọi n 1 , trong đó a và n 1 2 n 2 2 b là các số thực cho trước, a b . Tìm giới hạn của (un ) . a 2b 2a b A. .l imu a C. . B. . limu D. . limu b limu n n 3 n n 3 3n m Câu 35: Cho dãy số (u ) với u , trong đó m là tham số. Để dãy (u ) có giới hạn hữu hạn thì: n n 5n 2 n A. m là số thực bất kỳ. B. mnhận giá trị duy nhất bằng 3. C. mnhận giá trị duy nhất bằng 5. D. Không tồn tại số m . 4n2 n 2 Câu 36: Cho dãy số (u ) với u , trong đó a là tham số. Để (u ) có giới hạn bằng 2 thì n n an2 5 n giá trị của tham số a là? A. -4. B. 2. C. 4. D. 3. 2 2 Câu 37: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để dãy số (un )với un 2n n a 2n n có giới hạn hữu hạn. A. .a ¡ C. . a B.(1 ;. ) D. . a ( ;1) a 1 Câu 38: Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: lim( n2 an 5 n2 bn 3) 2 . A. .a b 2 B. . a C.b . 2 D. . a b 4 a b 4 an2 1 4n 2 Câu 39: Tìm số thực a để lim 2 . 5n 2 A. .a 10 B. . a 10C.0 . D.a . 14 a 144 Câu 40: Tìm số thực a để lim(2n a 3 8n3 5) 6 . A. .a 2 B. . a 4 C. . a D.6 . a 8 Câu 41: Tìm các số thực a và b sao cho lim( 3 1 n3 a n b) 0 . a 1 a 1 a 1 a 0 A. . B. . C. . D. . b 0 b 0 b 1 b 1 DẠNG 6: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC 1 2 3 n Câu 42: bằng:lim 2 4 6 2n 1 2 A. . B. . C. 1. D. . 2 3 1 2 22 2n Câu 43: bằng:lim 1 5 52 5n 2 5 A. 0. B. 1. C. . D. . 5 2
  28. 1 1 1 Câu 44: Tìm lim (1 )(1 ) (1 ) ta được: 22 32 n2 1 A. 1. B. . C. 0. D. 2. 2 n! Câu 45: bằng:lim (1 12 ).(1 22 ) (1 n2 ) 1 A. 0. B. . C. 1. D. . 2 n 3n2 9n 1 n Câu 46: Cho dãy số (un ) . Biết uk với mọi n 1 . Tìm uk . k 1 2 nun k 1 1 A. 1. B. . C. 0. D. . 2 n 1 3 32 3k lim Câu 47: bằng: k 2 k 1 5 17 17 1 A. 0. B. . C. . D. . 100 200 8 Hướng dẫn giải chi tiết Trong đáp án cho các bài tập dưới đây, có nhiều bài tôi chỉ nêu việc áp dụng các kết quả đã trình bày ở phần lí thuyết và ví dụ. Lời giải đầy đủ hoặc việc sử dụng MTCT xin dành lại cho độc giả. DẠNG 1. Bài tập lí thuyết. Câu 1: Đáp án A. Xem lại định nghĩa dãy số có giới hạn 0 . Câu 2: Đáp án B. Xem lại định nghĩa dãy có giới hạn . Câu 3: Đáp án C. Xem lại định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn. Câu 4: Đáp án D. Xem lại định lí 4.2. Câu 5: Đáp án A. Xem lại kết quả về dãy số có giới hạn . Câu 6: Đáp án A. Nếu q 1 thì lim qn lim1 1 0 . Câu 7: Đáp án C. 3u 1 3limu 1 3.3 1 8 Ta có : lim n n 2 . un 1 limun 1 3 1 4 Câu 8: Đáp án C. 1 1 u 1 u u2 1 1 Ta có : n n n . Vì limu nên lim 0 , lim 0 . 2 5 n 2 3un 5 un un 3 2 un un 1 0 0 0 Vậy lim 2 0 . 3un 5 3 0 3 DẠNG 2. Bài tập tính giới hạn dãy số cho bởi công thức.
  29. Câu 9: Đáp án D. 1 1 Ta có : lims lim . n 2 2 Bổ sung : a) Ta chứng minh dãy số sin n không có giới hạn. Thật vậy, vì sin n 1 nên nếu dãy số sin n có giới hạn thì giới hạn đó hữu hạn. Giả sử limsin n L . Suy ra limsin n 2 L . Do đó : 0 lim sin n 2 sin n 2sin1.limcos n 1 limcos n 1 0 limcos n 0 limcos n 2 0 0 lim cos n 2 cos n 2sin1.sin n 1 sin n 1 0 . Vậy ta có : 1 lim sin2 n 1 cos2 n 1 0 0 0 ( vô lý). Suy ra đpcm. b) Chứng minh tương tự, ta có dãy số cos n không có giới hạn. n c) Ta chứng minh dãy số 1 không có giới hạn hữu hạn. Thật vậy, trên trục số, các số hạng của dãy số đó được biểu diễn bởi hai điểm 1 và 1 . Khi n tăng lên, các điểm Câu 10: Đáp án D Vì 1,02 1 nên lim 1,02 n . ( Các dãy số còn lại đều có q 1 nên đều có giới hạn bằng 0 ). Câu 11: Đáp án A. 1 Vì lim 0 nên lim u 1 0 . Suy ra : limu 1 . n3 n n Câu 12: Đáp án C. 2 2 Vì 3n n có a2 3 0 nên lim 3n n . ( Số hạng tổng quát của các dãy còn lại có hệ số của lũy thừa bậc cao nhất là số âm nên giới hạn của các dãy đó đều bằng .) Câu 13: Đáp án B. Bậc của tử và mẫu thức đều bằng 3 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Hệ số của n3 trên tử bằng 4 22.1 4, hệ số của n3 dưới mẫu bằng 1.2 2 nên giới hạn là 2 . 2 Câu 14: Đáp án A. n2 3n3 2 Phân thức có bậc của tử thức cao hơn bậc của mẫu thức, đồng thời hệ số của lũy n2 n thừa bậc cao nhất của tử thức và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của mẫu thức đều dương nên suy ra giới hạn của dãy số tương ứng bằng . n3 2n 1 1 ( Phân thức có bậc tử bằng bậc mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng bằng . Phân n 2n3 2 2n2 3n thức có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng bằng 0 . Phân n3 3n n2 n 1 thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu nhưng hệ số của lũy thừa bậc cao nhất trên tử và hệ 1 2n số của lũy thừa bậc cao nhất dưới mẫu trái dấu nhau nên giới hạn dãy số tương ứng bằng .) Câu 15: Đáp án D.
  30. n2 sin 3n n2 n2 n2 sin 3n + Nhận xét : mà lim 0 nên lim 0 . n3 1 n3 1 n3 1 n3 1 n2 sin 3n Do đó : lim 1 3 1 . n 1 cos5n 1 1 cos5n + mà lim 0 nên lim 0 . 2n 2n 2n 2n 2n cos5n cos5n Do đó : lim n lim 1 n 1 . 2 2 sin2 3n 1 1 sin2 3n + mà lim 0 nên lim 0 . n2 5 n2 5 n2 5 n2 5 n2 sin2 3n n2 sin2 3n Do đó : lim 2 lim 2 2 1 n 5 n 5 n 5 Vậy ba giới hạn đầu đều có kết quả bằng 1 nên đáp án cần chọn là đáp án D. cos n 1 1 cos n ( mà lim 0 nên lim 0 . 3n 1 3n 1 3n 1 3n 1 3n cos n 3n cos n 1 Do đó : lim n 1 lim n 1 n 1 .) 3 3 3 3 Câu 16: Đáp án D. 1 1 Vì lim n , lim 1 1 0 nên không thể áp dụng quy tắc 2 . Do đó Nam đã 2 n n sai ở bước 4 . ( Quy tắc 2 áp dụng khi limun và limvn L 0 .) Câu 17: Đáp án D. Vì hai căn thức 3n 1 và 2n 1 đều chứa nhị thức dưới dấu căn mà hệ số của n lại khác nhau nên giới hạn cần tìm bằng ( do 3 2 ). 1 1 Thật vậy, ta có : lim 3n 1 2n 1 lim n 3 2 . n n 1 1 Vì lim n và lim 3 2 3 2 0 nên lim 3n 1 2n 1 . n n Hoặc độc giả có thể sử dụng MTVT để kiểm tra kết quả trên. Câu 18: Đáp án B. Ta thấy tử thức có bậc bằng 1 , mẫu thức có bậc cũng bằng 1. Mà hệ số của n trên tử thức bằng 1 1, hệ số của n dưới mẫu thức bằng 3 nên giới hạn cần tìm bằng . Thật vậy ta có : 3 1 1 1 1 n2 1 n 1 2 2 1 lim lim n n n hoặc độc giả có thể sử dụng MTCT để kiểm 2 3n 2 3 3 n tra kết quả trên. Câu 19: Đáp án B. Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình như sau : Qui trình bấm máy Kết quả thu được
  31. (1p2Q))saQ)+3RQ)^3$+Q)+1r10^5= Do đó đáp án đúng là đáp án B. Hoặc ta làm như sau : n 3 1 n3 3n2 lim 1 2n 3 lim 2 3 2 .1 2 . n n 1 n n n 1 Câu 20: Đáp án D. Nếu sử dụng MTCT, ta sẽ phải tính toán nhiều giới hạn. Tuy nhiên, nếu có kinh nghiệm, ta sẽ thấy ngay đáp án D. Thật vậy, theo kết quả đã biết ta có lim n2 n 1 n là hữu hạn. Hoặc ta có thể sử dụng MTCT để kiểm tra lại kết quả. 1 1 n 1 1 Lời giải chính xác : lim n2 n 1 n lim lim n . 2 1 1 2 n n 1 n 1 1 n n2 Việc tìm các giới hạn trong A, B, C xin dành lại cho độc giả rèn luyện thêm. Câu 21: Đáp án C. Lập luận như các bài toán trên, ta thấy ba giới hạn trong A, B, D đều hữu hạn. Vậy đáp án là C. Lưu ý : lim 3 n2 n3 n lim n 3 n3 n2 . Ta có thể sử dụng MTCT để kiểm tra lại kết quả. Lời giải chính xác : 1 1 1 n2 1 n 2 1 1 1 n n 3 Ta có : lim lim . Mà : lim 1 2 1 ; lim 1 2 1 0 3 n3 n n 1 n n n 3 1 1 n2 1 n2 1 n 3 và 1 2 1 0 n nên lim . n 3 n3 n n Việc tìm các giới hạn trong A, B, D xin dành lại cho độc giả rèn luyện thêm. Câu 22: Đáp án B. Với các bài toán dạng này, việc sử dụng MTCT là khá mất thời gian. Ta thấy tử thức và mẫu thức đều có bậc bằng 1 . Mặt khác cả tử thức và mẫu thức đều có giới hạn vô cực. Do đó ta chia 4 1 1 4 n2 4n 4n2 1 n n2 1 tử và mẫu cho n để được : lim lim . 2 1 3 1 3n 1 n 3 1 n2 1 3 1 6 3 7 Ta có : . Vậy m 7,n 2 nên m.n 14 . 3 1 2 2 2 Câu 23: Đáp án D. 1 2.3n 6n 1 2.3n 6n 1 2.3n 6n 1 Ta có : . Từ đó dễ thấy lim . 2n 3n 1 5 3.6n 5.2n 3.6n 5.2n 3
  32. n n 1 1 n n 2. 1 1 2.3 6 6 2 1 Thật vậy, lim n n lim n . 3.6 5.2 1 3 3 5. 3 DẠNG 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Câu 24: Đáp án A. 1 Cấp số nhân lùi vô hạn đã cho có : u 1 và q . Do đó tổng của cấp số nhân đó là : 1 2 1 2 S . Suy ra : m 2,n 3 . Vậy m 2n 2 2.3 8 . 1 3 1 2 Câu 25: Đáp án A 27 32 541 Ta có 0,27323232 . 100 9900 1980 Hoặc sử dụng MTCT theo hai cách đã trình bày ở phần ví dụ ta được kết quả như sau : Qui trình bấm máy Kết quả 0.27323232323232= 0.27Qs32= Vậy m 541 , do đó chọn đáp án A. Câu 26: Đáp án C. u 9 1 q3 9 Ta có : 1 2 u 2 1 q 1 mà : u u u u . 2 . 1 q 1 1 2 3 4 1 1 q 4 1 q3 9 9 1 1 Thay 1 vào 2 ta được : 2 1 q . 1 q3 q3 q . 1 q 4 8 8 2 1 Vậy u1 2 1 3 . 2 Câu 27: Đáp án A. 5 5 Ta có : 2x 1 x2 x3 3x 1 x x2 x3 . Vì x 1 nên 1 x x2 x3 4 4 là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 1 và q x . Do đó ta có : 5 1 5 7 97 3x 1 x x2 x3 3x 12x2 7x 1 0 x (t/m x 1 ). 4 1 x 4 24 Câu 28: Đáp án C. a 3 a2 3 Đường cao của tam giác đều cạnh a là . Diện tích của tam giác đều cạnh a là . 2 4
  33. a 3 Tam giác A B C có cạnh bằng a tam giác A B C có cạnh bằng tam giác A B C có 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 2 n 1 3 3 cạnh bằng a tam giác A B C có cạnh bằng a . n n n 2 2 2 n 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 Và S a , S a , S a2 , , S a2 . A1B1C1 A2B2C2 A B C A B C 4 4 4 3 3 3 4 4 n n n 4 4 3 a2 3 Như vậy S là một CSN lùi vô hạn với q . Vậy S S 4 3a2 . n 1 2 3 4 1 4 DẠNG 4. Tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Câu 29: Đáp án D. Ta thầy các đáp án chỉ là các giới hạn hữu hạn nên chứng tỏ dãy đã cho có giới hạn hữu hạn. L Gọi giới hạn đó là L . Ta có : L 1 L 2 . Hoặc theo kết quả đã trình bày trong phần ví 2 1 1 dụ, giới hạn của dãy đã cho bằng 2 r , s 1 . 1 1 2 2 Câu 30: Đáp án B. 1 1 Cách 1 : Ta có 2u u 1 u u . Đặt v u 1 . n 1 n n 1 2 n 2 n n 1 1 1 1 Khi đó : v u 1 u 1 u 1 v . Vậy v là một cấp số nhân có công n 1 n 1 2 n 2 2 n 2 n n 1 bội q . Gọi T là tổng n số hạng đầu tiên của v . 2 n n n 1 n 1 n n 1 q 2 1 1 Ta có : T v . v . 2v . 1 . Suy ra : S T n 2v . 1 n . n 1 1 1 1 n n 1 1 q 1 2 2 2 Vậy limSn . 1 1 Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình : A A X :Y X : X Y . 2 2 Bấm r, máy hỏi A? nhập 0 , máy hỏi X? nhập 3 , máy hỏi Y? Nhập 0 , bấm = liên tiếp ta thấy giá trị của A ngày một tăng cao. Vậy chọn đáp án B. Câu 31: Đáp án C. Sử dụng MTCT. Qui trình bấm máy Kết quả thu được QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr1=2=== === === === ===
  34. 5 Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn 1, 6 ta được 1,66666667 . 3 5 Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng . Do đó chọn đáp án C. 3 u u Bổ sung : Cho dãy số u được xác định bởi u a , u b , u n n 1 với n 1 , n 1 2 n 2 2 a 2b trong đó a,b là các số thực cho trước , a b . Người ta chứng minh được rằng limu . n 3 Câu 32: Đáp án B. L 0 2 L 2 Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn L . Khi đó ta có : L L 2L L 1 . 2 L 2 1 Tuy nhiên đến đây ta không còn căn cứ để kết luận L 0 hay L . 2 Ta sử dụng MTCT tương tự như bài tập trên thì thấy rằng giới hạn của dãy số là 0 . Vậy chọn đáp án B. X Y X  2 1,706192802.10 9 Câu 33: Đáp án C. Cách 1: Ta có 2 2 2 2 u1 1 ; u2 1 2.1 1 2 ; u3 2 2.2 1 9 3 ; 2 2 2 Dự đoán un n . Khi đó un 1 un 2n 1 n 1 . Vậy un n n 1 . 2 un 1 n 1 Suy ra lim lim 2 1 . Do đó chọn đáp án C. un n Cách 2 : Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình. Qui trình bấm máy Kết quả thu được QnQrQ)+2Qz+1QyaQnRQ)$QyQ)QrQnQyQzQrQz+1r1=1= === Y Bấm r, máy hỏi X? nhập 1 , máy hỏi A? nhập bấm = liên tiếp, theo dõi giá trị của , ta thấy X giá trị đó dần về 1 . Vậy chọn đáp án C. Nhận xét : Ở bài này sẽ phải bấm phím = liên tiếp khá nhiều lần, do khi n chưa đủ lớn thì 2 2 n 1 chênh lệch giữa n 1 và n2 là khá xa nên giá trị của khá xa so với 1 . n2 DẠNG 5. Tìm giới hạn của dãy số có chứa tham số. Câu 34: Đáp án C. Đây là một bài toán chứa tham số.
  35. Vì là bài toán trắc nghiệm nên có một cách là cho a và b các giá trị cụ thể, rồi sử dụng MTCT để tìm giới hạn, từ đó tìm được đáp án đúng. a 2b 8 2a b a 2b 2a b Chẳng hạn cho a 2,b 3 . Khi đó , 7 và a,b, , đôi một khác 3 3 3 3 3 nhau. Nhập vào màn hình : Qui trình bấm máy Kết quả thu được QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr2=3=== === === === 8 Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn 2, 6 , ta được 2, 6 . 3 8 Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng . Do đó chọn đáp án C. 3 u u Bổ sung : Cho dãy số u được xác định bởi u a ,u b ,u n 1 n n 1 , trong đó n 1 2 n 2 2 a,b là các số thực cho trước, a b . a) Chứng minh dãy u2n là dãy giảm, còn dãy u2n 1 là dãy tăng. x x b) Chứng minh rằng x x 2 1 n 1 . n 2 n 1 2n c) Chứng minh rằng 2xn 2 xn 1 2x2 x1 n 1 . a 2b d) Chứng minh rằng u có giới hạn và giới hạn đó là . n 3 Việc chứng minh bài toán trên xin dành cho độc giả. Câu 35: Đáp án A. 3n m 3 Dễ thấy limu lim với mọi.m n 5n 1 5 Câu 36: Đáp án B. 4n2 n 2 Dễ thấy với a 2 thì limu lim 2 . n 2n2 5 Thật vậy : 4n2 n 2 Nếu a 0 thì limu lim . n 5 4n2 n 2 4 Nếu a 0 thì limu lim . n an2 5 a 4 Do đó để limu 2 thì 2 a 2 . n a Câu 37: Đáp án D. Với kết quả đã trình bày trong phần ví dụ, ta thấy để un có giới hạn hữu hạn thì a 1 . Câu 38: Đáp án D. Từ kết quả đã trình bày trong phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp. Ta có : 2 a b n 2 a b n2 an 5 n2 bn 3 n . 2 2 a 5 b 3 n an 5 n bn 3 1 1 n n2 n n2
  36. a b Suy ra lim n2 an 5 n2 bn 3 . Do đó để lim n2 an 5 n2 bn 3 2 2 a b 2 a b 4 . 2 Câu 39: Đáp án B. an2 1 4n 1 a Ta có : lim . Do đó ta phải có a 10 a 100 . 5n 2 5 Câu 40: Đáp án C. Ta có lim 2n a 3 8n3 5 6 6 a lim 2n 3 8n3 5 mà lim 2n 3 8n3 5 0 . Do đó 6 a 0 a 6 . Câu 41: Đáp án A. Ta có lim 3 1 n3 an b 0 b lim 3 1 n3 an . Để lim 3 1 n3 an hữu hạn thì a 0 ( xem lại phần ví dụ ). phần Ví dụ). Ta có lim 3 1 n3 n 0 . Vậy b 0 . Do đó đáp án là A. DẠNG 1. TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC. Câu 42: Đáp án A. Lời giải 1 2 3 n 1 Theo kết quả đã trình bày trong phần Ví dụ thì lim do tử thức là tổng của 2 4 6 2n 2 n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai bằng ,1 mẫu thức là tổng của nsố hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai bằng 2 . Tuy nhiên, ta có thể giải nhanh chóng như sau: 1 2 3 n 1 2 3 n 1 lim lim . 2 4 6 2n 2 1 2 3 n 2 Câu 43: Đáp án A. Lời giải Ta thấy tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội bằng 2 , mẫu thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội bằng .5 Mà 2 5nên theo kết quả trình bày trong phần Ví dụ, giới hạn cần tìm là 0 . Câu 44: Đáp án B. Lời giải Ta có: 1 1 1 22 1 32 1 n2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 n 2 3 n 1.3 2.4 3.5 n 2 n n 1 n 1 22 32 42 n 1 2 n2 1 n 1 . 2 n 1 1 1 n 1 1 Vậy lim 1 2 1 2 1 2 lim . 2 3 n 2n 2 Câu 45: Đáp án A.
  37. Lời giải Ta có: n! n! n! n! 1 . 1 12 1 22 1 n2 12 22 n2 1 2 n 2 n! 2 n! 1 n! Mà lim 0 nên suy ra: lim 0. n! 1 12 1 22 1 n2 Câu 46: Đáp án B. Lời giải Ta có: 2 n 1 n 3 n 1 9 n 1 3n2 9n un 1 uk uk 3n 6 3 n 1 3. k 1 k 1 2 2 Suy ra un 3n 3. 1 n 3n2 9n 3 1 Vậy lim uk lim . nun k 1 2n 3n 3 2.3 2 Câu 47: Đáp án C. Lời giải k 1 3i 1 n 1 3 32 3k n  lim lim i 1 . Ta có:  k 2  k 2 k 1 5 k 1 5 Do đó nên rất khó để sử dụng MTCT đối với bài toán này. Ta có: k 1 i 1 3 1 3 k k n  n 3k 1 1 3 n 3 1 n 1 3 1 17 i 1 . 5 5 .  k 2  k 2   3 1 k 1 5 k 1 2.5 50 k 1 5 50 k 1 5 50 1 50 1 200 5 5 Vậy chọn đáp án C. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT I. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm 1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm Định nghĩa 1: Cho a; b là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y f x xác định trên a; b hoặc trên a; b \ x0. lim f x L với mọi dãy số xn mà xn a; b \ x0, xn x0 ta có lim f xn L. x x0 Nhận xét: - Giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của dãy số. - Hàm số không nhất thiết phải xác định tại x0 . Định nghĩa 2 (Giới hạn một bên):
  38. Cho hàm số y f x xác định trên khoảng x ; b . lim f x L với mọi dãy số x mà 0 n x x0 x0 xn b, xn x0 ta có lim f xn L. Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; x . lim f x L với mọi dãy số x mà 0 n x x0 a xn x0 , xn x0 ta có lim f xn L. STUDY TIP x x0 nghĩa là x x0 và x x0. x x0 nghĩa là x x0 và x x0. Định lí 1 lim f x L lim f x lim f x L. x x0 x x0 x x0 2. Giới hạn vô cực tại một điểm Định nghĩa 3 Cho a; b là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y f x xác định trên a; b hoặc trên a; b \ x0. lim f x với mọi dãy số xn mà xn a; b \ x0, xn x0 ta có f xn . x x0 Lưu ý: Các định nghĩa lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x được x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 phát biểu hoàn toàn tương tự. 3. Lưu ý: a) f x không nhất thiết phải xác định tại điểm x0 . b) Ta chỉ xét giới hạn của f x tại điểm x0 nếu có một khoảng a; b (dù nhỏ) chứa x0 mà f x xác định trên a; b hoặc trên a; b \ x0. Chẳng hạn, hàm số cóf xtập xácx định là D . Do  0đó; ta không xét giới hạn của hàm số tại điểm x0 0 , do không có một khoảng a; b nào chứa điểm 0 mà f x xác định trên đó cả. Tương tự vậy ta cũng không xét giới hạn của f x tại mọi điểm x0 0. c) Ta chỉ xét giới hạn bên phải của f x tại điểm x0 nếu có một khoảng x0 ; b (khoảng nằm bên phải x0 ) mà f x xác định trên đó. Tương tự, ta chỉ xét giới hạn bên trái của f x tại điểm x0 nếu có một khoảng a; x0 (khoảng nằm bên trái x0 ) mà f x xác định trên đó. Chẳng hạn, với hàm số f x x 1 , tại điểm x0 1 , ta chỉ xét giới hạn bên phải. Với hàm số g x 1 x , tại điểm x0 1 , ta chỉ xét giới hạn bên trái.
  39. d) lim f (x) lim f (x) lim f (x) x x o x x o x x o lim f (x) lim f (x) lim f (x) x x o x x o x x o II. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực 1. Giới hạn hữu hạn tại vô cực Định nghĩa 4 Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng a; . lim f (x) L với mọi dãy số x xn , xn a và xn ta đều có lim f (x) L . LƯU Ý: Định nghĩa lim f (x) L được phát biểu hoàn toàn tương tự. x 2. Giới hạn vô cực tại vô cực Định nghĩa 5 Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng a; . lim f (x) với mọi dãy số x xn , xn a và xn ta đều có lim f (x) . LƯU Ý: Các định nghĩa: lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) được phát biểu hoàn toàn tương x x x tự. III. Một số giới hạn đặc biệt a) lim x xo . x xo b) lim c c; lim c c ( c là hằng số ) x xo x c c) lim 0 (c là hằng số, k nguyên dương ). x xk d) lim xk với k nguyên dương; lim xk nếu k là số nguyên lẻ; lim xk x x x nếu k là số nguyên chẵn. Nhận xét: lim f (x) lim f (x) . x x IV. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 2 Giả sử lim f (x) L và lim g(x) M . Khi đó x xo x xo a) lim f (x) g(x) L M . x xo b) lim f (x)g(x) LM ;lim cf (x) cL với c là một là một hằng số. x xo x xo f (x) L c) lim (M 0) . x x o g(x) M
  40. STUDY TIP: Giới hạn hữu hạn, giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số tại một điểm bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng tại điểm đó (trong trường hợp thương, giới hạn của mẫu phải khác không). Định lí 3 Giả sử lim f (x) L . Khi đó x xo a) lim f (x) L . x xo b) lim 3 f (x) 3 L . x xo c) Nếu f (x) 0 với mọi J \ xo , trong đó J là khoảng nào đó chứa xo , thì L 0 và lim f (x) L . x xo LƯU Ý: Định lí 2, định lí 3 vẫn đúng khi thay x xo bởi x x o ,x x o . V. Quy tắc về giới hạn vô cực Các định lí và quy tắc dưới đây được áp dụng cho mọi trường hợp: x xo , x x o , x x o , x và x . Tuyên nhiên, để cho gọn, ta chỉ phát biểu cho trường hợp x xo . Quy tắc 1 ( Quy tắc tìm giới hạn của tích ). L lim f (x) lim g(x) lim f (x)g(x) x x x x o o x xo L 0 L 0 STUDY TIP: Giới hạn của tích hai hàm số - Tích của một hàm số có giới hạn hữu hạn khác 0 với một hàm số có giới hạn vô cực là một hàm số có giới hạn vô cực. - Dấu của giới hạn theo quy tắc dấu của phép nhân hai số. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm giới hạn của thương) L lim f (x) lim g(x) Dấu của g(x) f (x) x xo x xo lim x x o g(x) L Tùy ý 0 L 0 0 + - L 0 0 + - ( Dấu của g x xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x xo ).
  41. STUDY TIP: Giới hạn của thương hai hàm số. Tử thức có giới hạn hữu hạn khác 0: - Mẫu thức càng tang ( dần đến vô cực) thì phân thức càng nhỏ (dần đến 0). - Mẫu thức càng nhỏ (dần đến 0) thì phân thức có giá trị tuyệt đối càng lớn (dần đến vô cực). - Dấu của giới hạn theo quy tắc dấu của phép chia hai số. 0 VI. Các dạng vô định: Gồm , ,0. và . 0 B. Các dạng toán về giới hạn hàm số Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lí và quy tắc Phương pháp: - Xác định đúng dạng bài toán: giới hạn tại một điểm hay giới hạn tại vô cực? giới hạn xác định hay vô định? - với giới hạn hàm số tại một điểm ta cần lưu ý: Cho f (x) là hàm số sơ cấp xác định trên khoảng a;b chứa điểm x0 . Khi đó, lim f (x) f (xo ) . x xo - Với giới hạn hàm số tại vô cực ta “xử lí” tương tự như giới hạn dãy số. - Với giới hạn xác định, ta áp dụng trực tiếp định nghĩa giới hạn hàm số, các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc về giới hạn vô cực. STUDY TIP: Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y f (x) không có giới hạn khi x x0 - chọn hai dãy số khác nhau an và bn thỏa mãn an và bn thuộc tập xác định của hàm số y f (x) và khác x0 ; an x0 ;bn x0 . - Chứng minh lim f an lim f b nhoặc chứng minh một trong hai giới hạn này không tồn tại. - Từ đó suy ra lim f (x) không tồn tại. TH x x0 hoặc x chứng minh tương tự. x xo Ví dụ 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. lim sin x 1 B. lim sin x 1 C. lim sin x 0 D. lim sin x không tồn tại. x x x x Đáp án D Lời giải Xét dãy số (x ) với x 2n . n n 2 Ta có xn và limsin xn limsin 2n 1 . 1 2
  42. Lại xét dãy số (y ) với y 2n . n n 2 Ta có yn và limsin yn limsin 2n 1 . 2 2 Từ 1 và 2 suy ra lim sin x không tồn tại. Vậy chọn đáp án D. x x2 1 Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) , lim f (x) bằng: 2 x x 3 5 3 1 A. . B. . 0 C. .D. . 3 2 STUDY TIP: Giới hạn tại một điểm Nếu f (x) xác định tại x0 và tồn tại một khoảng a;b thuộc tập xác định của f (x) chứa x0 thì lim f (x) f (xo ) . x xo - Việc sử dụng hay không sử dụng MTCT để tính f (xo ) tùy thuộc vào mức độ phức tạp của f (xo ) và khả năng tính toán của độc giả. Đáp án C. Lời giải Hàm số đã cho xác định trên 0; . Cách 1(sử dụng định nghĩa): Giải sử (xn ) là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn 0, xn 3 và xn 3 khi n . Ta có 2 2 xn 1 3 1 5 3 lim f (xn ) lim ( áp dụng quy tắc về giới hạn hữu hạn của dãy số). Do đó 2 xn 2 3 3 5 3 lim f (x) . x 3 3 Cách 2( sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn): Theo định lí 1 ta có: 2 2 x2 1 lim x 1 lim x lim1 lim x.lim x lim1 3.3 1 5 3 lim f x lim x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 . x 3 x 3 2 x lim 2 x lim 2.lim x lim 2. lim x 2 3 3 x 3 x 3 x 3 x 2 x 3 Tuy nhiên trong thực hành, vì là câu hỏi trắc nghiệm nên ta làm như sau. Cách 3: Vì f x là hàm số sơ cấp xác định trên 0; chứa điểm x0 3 nên 10 5 3 lim f x f 3 . x 3 2 3 3
  43. Do đó sử dụng MTCT ta làm như cách 4 dưới đây. Cách 4: Nhập biểu thức của vào màn hình. Bấm phím CALC, máy hỏi X ? nhập 3 = . Máy hiển thị kết quả như hình: Do đó chọn đáp án C. Ví dụ 3: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây ? x 2 x 2 A l im B.1 . lim 5 x 3 x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 C. .l im D. Hàm 1 số khôngf x có giới hạn khi . x 3 x 3 x 2 x 2 Đáp án B Lời giải x 2 Hàm số f x xác định trên các khoảng ;2 và 2; . Ta có 3 2; . x 2 3 2 Cách 1 :.lim f x f 3 5 x 3 3 2 x 2 Cách 2 : Nhập biểu thức của hàm số f x và màn hình MTCT. Bấm phím CALC , x 2 máy hỏi X? nhâp 3 =. Máy hiển thị kết quả như hình: x 2 Vậy lim 5 . x 3 x 2 Ví dụ 4: bằng:lim 2x3 5x x A. . 2 B. . 3 C. . D. . Đáp án C. Lời giải Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị của f x 2x3 5x tại một điểm có giá trị âm rất nhỏ (do ta đang xét giới hạn của hàm số khi x ), chẳng hạn tại 102 .0 Máy hiển thị kết quả như hình:
  44. Đó là một giá trị dương rất lớn. Vậy chọn đáp án C , tức lim 2x3 5x . x 3 3 5 Cách 2: Ta có 2x 5x x 2 2 . x 3 5 3 5 Vìlim x và lim 2 2 2 0 nên lim x 2 2 . x x x x x 3 3 5 Vậy theo Quy tắc 1, lim 2x 5x lim x 2 2 . Do đó chọn C. x x x Lưu ý 1: 3 5 - Để hiểu tại sao lim x và lim 2 2 2 xin xem lại phần các giới hạn đặc biệt. x x x - Bài toán thuộc dạng tính giới hạn hàm số khi x dần tới vô cực, nhưng là khi x . Do đó không thể áp dụng ngay các kết quả đã biết về giới hạn dãy số, vì giới hạn dãy số được xét khi n . Ta chỉ có thể áp dụng các kĩ thuật đã biết đối với giới hạn dãy số. Lưu ý 2: Có thể dễ dàng chứng minh được kết quả như sau : k k 1 Cho hàm số f x ak x ak 1x a1x a0 (ak 0) là một đa thức bậc k . x k ak Giới hạn của f x ak 0 x Tùy ý ak 0 ak 0 k chẵn ak 0 x ak 0 k lẻ ak 0 k ak 1 a1 a0 Thật vậy, ta có f x x ak k 1 k . x x x
  45. ak 1 a1 a0 k k Vìlim ak k 1 k ak và lim x với k tùy ý, lim x nếu k chẵn, x x x x x x lim xk nếu k lẻ nên ta dễ dàng suy ra bảng kết quả trên. x Ví dụ 5: bằng:lim 3x4 2x2 1 x A. . B. . C. 3. D. 2. Đáp án A Lời giải 4 2 Cách 1: Theo nhận xét trên thì lim 3x 2x 1 (x , k chẵn và ak 0 ). Thật x 4 2 4 2 1 vậy, ta có 3x 2x 1 x 3 2 4 . x x 4 2 1 4 2 Vì lim x và lim 3 2 4 3 0 nênlim 3x 2x 1 . x x x x x STUDY TIP - Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức là vô cực, chỉ phụ thuộc vào số hạng chứa lũy thừa bậc cao nhất. - Giới hạn của hàm đa thức tại phụ thuộc vào hệ số của lũy thừa bậc cao nhất. (Giống với giới hạn của dãy số dạng đa thức). - Giới hạn của hàm đa thức tại phụ thuộc vào bậc và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất. Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số f x 3x4 2x2 1 tại x 1020 , ta được kết quả như hình : Kết quả là một số dương rất lớn. Do đó chọn đáp án A, Ví dụ 6: Cho hàm số f x x2 2x 5 . Khẳng định nào dưới đây đúng ? A. . lim f x B. . lim f x x x C. . lim f x 1 D. khônglim tồnf xtại. x x Đáp án B. Lời giải Hàm số f x x2 2x 5 xác định trên¡ .
  46. Có thể giải nhanh như sau : Vì x2 2x 5 là một hàm đa thức của x nên có giới hạn tại vô cực. Mà x2 2x 5 0 với mọi x nên giới hạn của f x x2 2x 5 tại chắc chắn là . 2 2 2 5 2 5 Thật vậy, ta có x 2x 5 x 1 2 x 1 2 . x x x x 2 5 Vì lim x và lim 1 1 0 nên lim x2 2x 5 . x x x x2 x Hoặc ta có thể sử dụng MTCT để tính giá trị của f x tại một giá trị âm rất nhỏ của x , chẳng hạn tại x 1020 ta được kết quả như hình: Kết quả này là một số dương rất lớn. Do đó ta chọn đáp án B. (Dễ thâý kết quả hiển thị trên máy tính như trên chỉ là kết quả gần đúng do khả năng tính toán hạn chế của MTCT. Tuy nhiên kết quả đó cũng giúp ta lựa chọn được đáp án chính xác). STUDY TIP Ta có lim x . x Khi x thì x 0 . Với x 0 ta có x2 x . Cần đặc biệt lưu ý các điều trên khi tính giới hạn tại của hàm chứa căn thức. Ví dụ 7: Giới hạn của hàm số f x x2 x 4x2 1 khi x bằng: A. . B. . C. . 1 D. 3. Đáp án A. Lời giải Cách 1: Ta có: 2 2 2 1 2 1 1 1 x x 4x 1 x 1 x 4 2 x 1 x 4 2 x x x x 1 1 x 1 4 2 x x 1 1 Mà lim x và lim 1 4 1 2 1 0 . x x 2 x x
  47. 1 1 Vậy lim x2 x 4x2 1 lim x 1 4 . x x 2 x x Lưu ý: - Độc giả nên đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa căn thức để hiểu hơn tại sao lại có định hướng giải như vậy (mà không đi nhân chia với biểu thức liên hợp). - Có thể thấy như sau: Vì lim x2 x ; lim 4x2 1 . x x Mà hệ số của x2 trong 4x2 1 lớn hơn hệ số của x2 trong x 2 x nên suy ra lim x2 x 4x2 1 . x Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x 1010 ta được kết quả như hình. Vậy chọn đáp án A. 2017 Ví dụ 8: bằng:lim x 3x3 5x5 2017 A. . B. . C. . D. 0. 3 Đáp án D. Lời giải 3 5 2017 Cách 1: Vì lim 3x 5x nên theo quy tắc 2, lim 3 5 0 . x x 3x 5x Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x 1010 ta được kết quả như hình. Đó là một kết quả rất gần 0. Do đó chọn đáp án D. STUDY TIP Khi hàm số không xác định tại x0 thì ta thử áp dụng các quy tắc về giới hạn vô cực. Đó là các L L quy tắc áp dụng cho các dạng L. ; ; . Lưu ý cách xác định dấu của giới hạn. 0 L - Dạng : giới hạn là 0.
  48. L - Dạng L. và : Giới hạn là vô cực. 0 3x 7 Ví dụ 9: Giới hạn bên phải của hàm số f x khi x 2 là x 2 7 A. . B. . C. 3. D. . 2 Đáp án B. Lời giải 3x 7 Hàm số f x xác định trên ; \ 2 . x 2 Cách 1: Ta có lim x 2 0, x 2 0 với mọi x 2 và lim 3x 7 3.2 7 1 0 . Do x 2 x 2 3x 7 đó theo quy tắc 2 thìlim . x 2 x 2 3x 7 Cách 2: Sử dụng MTCT. Tính giá trị của f x tại x 2 ta thấy máy báo lỗi Math x 2 Error (do f x không xác định tại x 2 ). Quay lại tính giá trị của f x tại (tứcx 2 10 10 2,0000000001) là một giá trị của xlớn hơn 2 và rất gần 2. Kết quả là một số âm rất nhỏ. Do đó chọn đáp án B. 3x2 x 1 Ví dụ 10: Xét bài toán “Tìmlim 2 ”, bạn Hà đã giải như sau: x 2 2x 5x 2 Bước 1: Vì lim 2x2 5x 2 0 . x 2 Bước 2: 2x2 5x 2 0 với x 2 và x đủ gần 2, Bước 3: lim 3x2 x 1 13 0 x 2 3x2 x 1 Bước 4: nên theo quy tắc 2, lim 2 . x 2 2x 5x 2 Hỏi lời giải trên của bạn Hà đã sai từ bước thứ mấy ? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4. Đáp án B Lời giải Xét dấu biểu thức g x 2x2 5x 2 ta thấy g x 0 với mọi x 1;2 .
  49. 3x2 x 1 Vậy lời giải sai từ bước 2. (Lời giải đúng cho ra kết quả).lim 2 x 2 2x 5x 2 STUDY TIP x x0 nghĩa làx x0 và x x0 . x x0 nghĩa là x x0 và x x0 . k Nếu x x0 thì tính giá trị hàm số tại x x0 10 . k Nếu x x0 thì tính giá trị hàm số tại x x0 10 . Trong đó k là một sô nguyên dương. 1 x Ví dụ 11: Giới hạn lim bằng: x 4 x 4 2 A. 0. B. . 3 C. . D. . Đáp án C. Lời giải 2 Cách 1: Ta có lim 1 x 3 0, lim x 4 0 và x 4 2 0 với mọi x 4 nên theo quy x 4 x 4 1 x tắc 2, lim . Vậy chọn đáp án C. x 4 x 4 2 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x 4 10 8 hoặc tại x 4 10 8ra được các kết quả như hình Vậy chọn đáp án C. 5x 2 khi x 1 Ví dụ 12: Cho hàm số f x . Khẳng định nào dưới đây là đúng ? 2 x 3 khi x 1 A. .l im f x 7 B. . lim f x 2 x 1 x 1 C. .l im f x 7 D. . lim f x 7 x 1 x 1 Đáp án D. Lời giải
  50. Ta có lim f x lim 5x 2 5.1 2 7 . Vì chỉ có một đáp án đúng nên chọn đáp án D. x 1 x 1 STUDY TIP Cần xác định đúng biểu thức của f x khi x x0 và khi x x0 . Giải thích thêm : Ta cólim f x lim x2 3 12 3 2 . x 1 x 1 Vậy lim f x lim f x nên lim f x không tồn tại. x 1 x 1 x 1 Các đáp án A, B, C đều sai. STUDY TIP lim f x L lim f x lim f x L . x x x x x x 0 0 0 x2 5 khi x 3 1 Ví dụ 13: Cho hàm số f x x2 5 . khi x 3 2 x 2 Trong biểu thức (2) ở trên, cần thay số 5 bằng số nào để hàm số f x có giới hạn khi x 3 ? A. 19. B. 1. C. . 1 D. Không có số nào thỏa mãn. Đáp án C. Lời giải Hàm số đã cho các định trên¡ \ 2 . Cách 1: Ta có lim f x lim x2 5 32 5 2 . x 3 x 3 x2 m Đặt f x khi x 3 (m là tham số,).m 0 x 2 x2 m 32 m 9 m Ta có lim f x lim . x 3 x 3 x 2 3 2 5 9 m Để hàm số f x có giới hạn khi x 3 thì lim f x lim f x 2 m 1 . x 3 x 3 5 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức X 2 5 khi X 3 được kết quả bằng 2. Sử X 2 A dụng MTCT tính giá trị biểu thức khi X 3 và lần lượt nhận các giá trị bằng 19,1 và X 2 1. Ta thấy khi A 1 thì biểu thức nhận giá trị bằng 2. Vậy chọn đáp án C. Ví dụ 14: Cho hàm số f x có đồ thị như hình dưới đây:
  51. y 3 O 2 3 x Quan sát đồ thị và cho biết trong các giới hạn sau, giới hạn nào là ? A. . lim f x B. . C.li m. f x D. . lim f x lim f x x x x 3 x 3 Đáp án C. Lời giải Khi x 3 , đồ thị hàm số là một đường cong đi lên từ phải qua trái. Do đó lim f x . x 3 Tương tự như vậy ta có lim f x lim f x 0 ; lim f x . x x x 3 Do đó chọn đáp án C. Công phá toán 2 (trang 240 – 244) 0 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 0 STUDY TIP  Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp các định lí về giới hạn hữu hạn hay các quy tắc về giới hạn vô cực đã biết thì ta gọi đó là các dạng vô định. 0  Kí hiệu các dạng vô định gồm: , , 0. và . Để tính giới hạn dạng vô định ta phải biến đổi 0 biểu thức của hàm số về dạng áp dụng được các định lí và quy tắc đã biết. Làm như vậy gọi là “khử dạng vô định”. 1. Bài toán: f x Tính lim khi lim f x lim g x 0 , trong đó f x và g x là các đa thức hoặc căn thức. x x0 g x x x0 x x0 Phương pháp giải (tự luận)
  52. ✓ Phân tích tử và mậu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể, vì lim f x lim g x 0 nên x x0 x x0 f x và g x cùng có nghiệm x x0 . Do đó ta phân tích được f x x x0 A x và f x x x0 A x A x g x x x0 B x . Khi đó ta có: lim lim lim và công việc còn lại x x x x x x 0 g x 0 x x0 B x 0 B x A x là đi tính lim . x x0 B x ✓ Nếu f x và g x có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước. STUDY TIP Phân tích đa thức thành nhân tử: ✓ Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ. ✓ Khi đã biết f x có nghiệm x x0 , ta sử dụng lược đồ Hooc-ne hoặc chia f x cho x x0 được thương A x . Khi đó f x x x0 A x . 2 ✓ Áp dụng kết quả: nếu phương trình ax bx c 0 có hai nghiệm x1, x2 thì 2 ax bx c a x x1 x x2 . k k 1 1 Tổng quát: nếu phương trình ak x ak 1x a1x a0 0 có các nghiệm thực x1, x2 , , xm thì k k 1 1 ak x ak 1x a1x a0 ak x x1 x xm A x , trong đó A x là đa thức bậc k m . Tuy nhiên, trong thực tế, ta dùng kết quả này khi có đủ k nghiệm thực, tức m k . Trường hợp ngược lại nên dùng lược đồ Hooc-ne. (với phương trình bậc hai, bậc ba có thể dùng MTCT để tìm nghiệm) x2 4 Ví dụ 1. Tính lim . x 2 x2 3x 2 A. 1. B. 4. C 2 D. . 4 0 Phân tích: Vì lim x2 4 lim x2 3x 2 0 nên đây là giới hạn vô định dạng . Ta thấy x 2 x 2 0 x2 4 và x2 3x 2 đều triệt tiêu tại x 2 nên x 2 là nghiệm của x2 4 và x2 3x 2 . Từ đó ta có cách giải như sau. Lời giải x2 4 x 2 x 2 x 2 2 2 Cách 1: Ta có lim lim lim 4 . x 2 x2 3x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 2 1 x2 4 Cách 2: Dử dụng MTCT tính giá trị hàm số f x tại x 2 ta thấy máy báo lỗi x2 3x 2 Math Error (do hàm số không xác định tại x 2 ). Quay lại tính giá trị hàm số tại 2,0000000001 ta được kết quả như sau:
  53. Lại quay lại tính giá trị hàm số tại 1,9999999999 ta được kết quả như sau: Vậy chọn đáp án B. xm xn Ví dụ 2. Tính giới hạn lim m, n ¥ * , ta được kết quả: x 1 x 1 A. . B. .m n C. . m D. . 1 Lời giải xm xn xm 1 xn 1 Cách 1: Ta có lim lim . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 m 1 m 2 xm 1 x 1 x x x 1 Lại có lim lim lim xm 1 xm 2 x 1 m . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 xn 1 Tương tự: lim n . x 1 x 1 xm xn xm 1 xn 1 xm 1 xn 1 Vậy lim lim lim lim m n . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Cách 2: Cho m và n các giá trị cụ thể, chẳng hạn m 3 và m 7 . Sử dụng MTCT tính x3 x7 x3 x7 lim ta được kết quả lim 4 . Vậy đáp án đúng là B. x 1 x 1 x 1 x 1 STUDY TIP  xm 1 x 1 xm 1 xm 2 x 1 xm 1  lim m x 1 x 1 xn 1  lim n x 1 x 1 Ví dụ 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 3 2 x 3 2 A. lim 0 . B. .lim x 1 x3 3x 2 x 1 x3 3x 2 x 3 2 x 3 2 C. .l im D. khôngli mtồn tại. x 1 x3 3x 2 x 1 x3 3x 2
  54. 0 Phân tích: Vì lim x 3 2 0 và lim x3 3x 2 0 nên đây là dạng vô định . Tuy x 1 x 1 0 nhiên ta chưa thể phân tích ngay x 3 2 thành nhân tử mà phải nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của x 3 2 là x 3 2 . Lời giải x 3 2 x 3 2 x 3 2 Cách 1: Ta có 3 x 3x 2 x 3 2 x3 3x 2 x 1 1 . x 3 2 x 1 2 x 2 x 3 2 x 1 x 2 1 1 Mà lim ; lim . x 1 x 3 2 x 1 x 2 x 1 x 3 2 x 1 x 2 1 Do đó lim không tồn tại. x 1 x 3 2 x 1 x 2 x 3 2 Suy ra lim không tồn tại. Vậy chọn đáp án D. x 1 x3 3x 2 x 3 2 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức tại x 1 ta thấy máy báo lỗi Math x3 3x 2 Error. Quay lại tính giá trị biểu thức tại x 1,000001 và tại x 0,999999 ta được kết quả: Hai kết quả trên là một số dương rất lớn, một số âm rất nhỏ. Do đó có thể kết luận x 3 2 lim không tồn tại. x 1 x3 3x 2 Nhận xét: - Nếu chỉ tính giá trị biểu thức tại một điểm thì rất dễ chọn đáp án sai. 0 L - Ở đây ta đã chuyển dạng vô định về dạng xác định . 0 0 3 - Dùng MTCT tìm nghiệm của phương trình x 3x 2 0 ta được x1 1, x2 2 . Như vậy phải có một nghiệm là nghiệm kép do là phương trình bậc ba. Trong trường hợp này, theo Tip trên đã nêu, ta nên dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức x3 3x 2 thành nhân tử. 2x 1 3 3x 2 Ví dụ 4. Giới hạn lim bằng: x 1 x 1
  55. 1 A. 1 . B. .0 C. . D. . 2 0 Phân tích: lim 2x 1 3 3x 2 0 và lim x 1 0 nên đây là dạng vô định . Ta chưa x 1 x 1 0 thể phân tích f x 2x 1 3 3x 2 thành nhân tử. Mà f x lại là hiệu của hai căn thức không cùng bậc. Ta để ý thấy 2x 1 và 3 3x 2 đều đạt giá trị bằng 1 tại x 1 nên ta biến đổi như sau: f x 2x 1 1 1 3 3x 2 rồi tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp. Lời giải 2x 1 3 3x 2 2x 1 1 1 3 3x 2 Cách 1: Ta có x 1 x 1 x 1 2x 2 3 3x 2x 1 1 x 1 1 3 3x 2 3 3x 22 x 1 2 3 . 2x 1 1 1 3 3x 2 3 3x 22 2 3 Tac có: lim 0 . x 1 2x 1 1 1 3 3x 2 3 3x 22 2x 1 3 3x 2 Do đó lim 0 . x 1 x 1 2x 1 3 3x 2 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức tại x 1 ta thấy máy báo lỗi x 1 Math Error. Quay lại tính giá trị biểu thức tại x 0,99999999 và tại x 1,00000001 ta được kết quả: 2x 1 3 3x 2 Do đó chọn đáp án B tức là lim 0 . x 1 x 1 STUDY TIP A x 3 B x Cho f x (chứa hai căn khác bậc) trong đó A x0 B x0 m thì ta biến x x0 A x m m 3 B x đổi như sau: f x . x x0
  56. 3 6x 5 4x 3 Ví dụ 5. Tính giới hạn lim . x 1 x 1 2 A. 0 . B. . 2 C. . D. . Lời giải Cách 1: Đặt t x 1 thì x t 1, limt 0 và x 1 3 6x 5 4x 3 3 6t 1 4t 1 3 6t 1 2t 1 2t 1 4t 1 x 1 2 t 2 t 2 t 2 6t 1 8t3 12t 2 6t 1 4t 2 4t 1 4t 1 2 t 2 3 6t 1 2 2t 1 .3 6t 1 2t 1 2 t 2t 1 4t 1 8t 12 4 . 3 6t 1 2 2t 1 .3 6t 1 2t 1 2 2t 1 4t 1 3 6x 5 4x 3 8t 12 4 Vậy lim 2 lim . x 1 x 1 t 0 3 2 3 2 2t 1 4t 1 6t 1 2t 1 . 6t 1 2t 1 8t 12 12 4 4 Mà lim 4 ; lim 2 . t 0 3 6t 1 2 2t 1 .3 6t 1 2t 1 2 3 t 0 2t 1 4t 1 2 3 6x 5 4x 3 Vậy lim 4 2 2 . x 1 x 1 2 3 6x 5 4x 3 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức tại x 0,9999999 và tại x 1 2 x 1,0000001 ta đều được kết quả: Do đó chọn đáp án B. Lưu ý: - Trong cách thứ 2, nếu ta tính giá trị biểu thức tại x 0,999999999 hoặc tại x 1,000000001 thì ta được kết quả:
  57. Do vượt quá giới hạn tính toán của máy. Do đó nếu không thử lại với cá trị lớn hơn thì có thể ta sẽ chọn đáp án A. ở bài này có nhiều vấn đề cần phân tích thêm. Nếu làm như ví dụ 4 thì ta sẽ biến đổi 3 6x 5 4x 3 3 6x 5 1 1 4x 3 3 6x 5 4x 3 rồi nhân liên hợp để thu được x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 6 1 4x 3 4 3 6x 5 2 3 6x 5 1 x 1 3 6x 5 2 3 6x 5 1 1 4x 3 0 - Ta thấy giới hạn mới thu được vẫn còn là dạng vô định nên vẫn tiếp tục phải khử dạng vô 0 định. Mà việc khử này sẽ rất phức tạp do biểu thức mới thu được khá cồng kềnh. Để giải quyết khó khăn đó ta thấy trong lời giải trình bày ở trên, ta tiến hành đổi biến để cho mẫu gọn lại và không thêm bớt 1 trên tử thức mà thêm bớt nhị thức 2t 1 . Vậy cơ sở nào để tìm ra nhị thức đó? Ta mong muốn sau khi thêm bớt tử thức với một lượng A t nào đó rồi tách ra thành hai phân thức để nhân liên hợp thì trên tử thức xuất hiện nhân tử t 2 để giản ước với t 2 dưới mẫu 3 6t 1 4t 1 3 6t 1 A t A t 4t 1 . t 2 t 2 t 2 Vậy ta phải có A2 t 4t 1 kt 2 A2 t kt 2 4t 1 k 4 và A2 t 2t 1 2 A t 2t 1 . - Ở nhiều bài toán giới hạn, ta thấy việc sử dụng MTCT là nhanh hơn giải thông thường. Tuy nhiên chúng tôi vẫn khuyến nghị độc giả nên nắm vững phương pháp giải thông thường (theo hình thức tự luận), vì nhiều bài tập không chỉ đơn thuần là tính giới hạn mà người ra đề có thể hỏi bằng nhiều hình thức khác nhau, đặc biệt có nhiều cách ra đề hạn chế việc sử dụng MTCT để tìm ra đáp án. STUDY TIP Trong nhiều bài toán, không nên chỉ tính giá trị hàm số tại một điểm mà nên tính lại một số điểm từ lớn đến nhỏ và từ cả hai phía trái, phải của x0 . x2 a 2 x a 1 Ví dụ 6. Giới hạn của hàm số f x khi x 1 bằng x3 1 a a a 2 2 a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải x2 a 2 x a 1 x 1 x a 1 x a 1 a Cách 1: lim lim lim x 1 x3 1 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 3
  58. Cách 2: (Đặc biệt hóa để sử dụng MTCT) Cho a một giá trị bất kì, chẳng hạn a 1 , thì x2 3x 2 x2 3x 2 1 a f x . Dùng MTCT ta tìm được lim . x3 1 x 1 x3 1 3 3 Vậy chọn đáp án A. Giải thích: phương trình x2 a 2 x a 1 0 có tổng các hệ số bằng 0 nên ta có một nghiệm bằng 1 , nghiệm còn lại bằng a 1 . Do đó ta phân tích được x2 a 2 x a 1 x 1 x a 1 . STUDY TIP  Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nghiệm bằng 1 .  Nếu đa thức có tổng các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của lũy thừa bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm bằng 1 . 1 ax 1 Ví dụ 7. Giả sử lim L . Hệ số a bằng bao nhiêu để L 3 ? x 0 2x A. 6 . B. .6 C. . 12 D. . 12 Lời giải 1 ax 1 ax a a Cách 1: Ta có lim lim lim x 0 2x x 0 2x 1 ax 1 x 0 2 1 ax 1 4 a a Vậy L . Do đó L 3 3 a 12 . Đáp án đúng là D. 4 4 1 ax 1 Cách 2: Sử dụng MTCT tìm lim lần lượt với a bằng 6 , 6 , 12 , 12 . Ta thấy với x 0 2x 1 ax 1 a 12 thì lim bằng 3 . Vậy chọn đáp án D. x 0 2x STUDY TIP Một trong các kĩ thuật giải bài toán trắc nghiệm là thử lần lượt các đáp án và chọn ra đáp án thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2. Các bài toán liên quan đến giới hạn đặc biệt 0 Trong sách giáo khoa đại số và giải tích 11 có nêu một giới hạn đặc biệt dạng 0 sin x Đó là lim 1 . Sau đây ta xét một số ví dụ áp dụng kết quả này. x 0 x ax Ví dụ 8: Cho a và b là các số thực khác 0. Khi đó lim bằng x 0 sinbx a b A. .a B. b . C. . D. . b a Lời giải
  59. Đáp án C. ax bx a a bx Cách 1: Ta có lim lim . .lim x 0 sinbx x 0 sinbx b b x 0 sinbx bx t Đổi biến t bx ta thấy khi x 0 thì t 0 . Do đó lim lim 1 x 0 sinbx x 0 sint ax a Vậy lim . x 0 sinbx b Cách 2: Cho a và b các giá trị cụ thể, chẳng hạn a 2,b 3 . 2x 2 a Sử dụng MTCT tìm giới hạn lim ta được kết quả bằng , tức là bằng . x 0 sin3x 3 b Vậy chọnC. STUDY TIP sin x x lim 1 lim 1 x 0 x x 0 sin x sin A(x) lim 1, với điều kiện lim A(x) 0 x 0 A(x) x 0 x2 Ví dụ 9: Cho số thực a khác 0. Khi đó lim bằng x 0 1 cosax 2 2 A. . B. . C. . 2a2 D. . 2a a2 a Lời giải Đáp án A Cách 1: Ta có: 2 2 ax ax 2 2 x x 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim . lim .1 . x 0 x 0 ax x 0 ax 2 2 x 0 ax 2 2 1 cosax 2 2 a a a a 2sin sin sin 2 2 2 Cách 2: Cho a là một giá trị cụ thể, chẳng hạn a 2 (không nên lấy a 1 , vì khi đó giá trị của 2 2 x2 và cũng bằng nhau). Sử dụng MTCT tính giới hạn lim ta được kết quả bằng a2 a x 0 1 cos2x 1 2 , tức là bằng . Vậy chọn đáp án A. 2 a2 STUDY TIP sink A x lim 1 x 0 Ak x điều kiện lim A(x) 0 x 0
  60. sin x sin a Ví dụ 10: lbằngim x a x a A. .t an a B. . cot a C. . sinD.a . cosa Lời giải Đáp án D x a x a x a 2cos sin sin sin x sin a 2 2 2 x a Cách 1: Ta có lim lim lim .cos x a x a x a x a x a x a 2. 2 2 2 x a sin x a Mà lim 2 1 (xem STUDY TIP trên), limcos cosa . x a x a x a 2 2 sin x sin a Vậy lim cosa . Do đó chọn đáp án D. x a x a sin x sin1 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn lim (ứng với a 1 ). x 1 x 1 sin x sin1 So sánh kết quả với tan1,cot1,sin1,cos1 ta được lim cos1 . x 1 x 1 Vậy chọn đáp án D. 3. Đọc thêm eax 1 5 Ví dụ 11: Cho a và b là các số nguyên dương. lim . Tích ab có thể nhận giá trị bằng số nào x 0 sinbx 3 trong các số dưới đây? A. 15. B. 60. C. 240. D. Cả ba đáp án trên. Lời giải Đáp án D eax 1 eax 1 bx a a a Ta có lim lim . . 1.1. x 0 sinbx x 0 ax sinbx b b b eax 1 5 a 5 Vậy để lim thì . Vì a và b là các số nguyên dương nên suy ra x 0 sinbx 3 b 3 a 5k,b 3k với k nguyên dương. Do đó ab 15k 2 . + 15k 2 15 k 2 1 k 1 ab 15. + 15k 2 60 k 2 4 k 2 ab 60. + 15k 2 240 k 2 16 k 4 ab 240 Vậy cả ba đáp án đều đúng. Do đó chọn đáp án D. STUDY TIP
  61. sin x Ngoài giới hạn lim 1 , Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao chương 2, 5 còn giới thiệu x 0 x thêm các giới hạn: ex 1 lim 1, x 0 x ln 1 x lim 1 x 0 x ln 1 x3 1 Ví dụ 12: Cho hàm số f x , trong đó k là một số nguyên dương. Tìm tất cả các giá trị xk của k để f x có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 0. A. .k ¢ ,k B.3 . C. . kD. ¢. ,0 k 3 k ¢ ,k 3 k ¢ ,0 k 3 Lời giải Đáp án D 3 3 ln 1 x 1 ln 1 x 1 1 Cách 1: Ta có lim lim . x 0 xk x 0 x3 xk 3 ln 1 x3 1 Mà lim 1 nên để f x có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 0 thì hàm số x 0 x3 1 g x phải có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 0. Muốn vậy thì k 3 0 k 3 . Vì k xk 3 nguyên dương nên đáp án là D. ln 1 x3 1 Cách 2: Sử dụng MTTCT tìm giới hạn khi k 3 , ta được lim 1 . x 0 x3 Vậy ta chỉ xét đáp án C hoặc D. Chẳng hạn với đáp án C, ta sử dụng MTCT tìm giới hạn khi ln 1 x3 1 k 4 . Ta được lim . Do đó loại đáp án C. Vậy đáp án đúng là D. x 0 x3 Trong chương trình lớp 12 sẽ được học khái niệm căn bậc n. Định nghĩa Cho số thực b và số nguyên dương n n 2 . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an b Với n chẵn và: b 0 : Không tồn tạo căn bậc n của b . b 0 : Có một căn bậc n của b là số 0. b 0 : Có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n b , còn giá trị âm là n b Sau đây ta xét một vài ví dụ liên quan đến căn bậc n. STUDY TIP a n b a n b -Mọi số thực đều có một căn bậc lẻ và chỉ có một căn bậc lẻ - Chỉ có số không âm mới có căn bậc chẵn. Số 0 có một căn bậc chẵn là 0. Các số dương có hai căn bậc chẵn đối nhau.
  62. Ví dụ 13: Cho a là một số thực khác 0 và n là một số nguyên dương, n 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. n 1 ax 1 a n 1 ax 1 n A. .l im B. . lim x 0 x n x 0 x a n 1 ax 1 1 n 1 ax 1 1 C. .l im D. . lim x 0 x n x 0 x a Lời giải Đáp án A. 5 1 3x 1 3 Cách 1: Sử dụng MTCT tìm giới hạn với n 5 và a 3 , ta được kết quả lim x 0 x 5 vậy đáp án đúng là A. t n 1 Cách 2: Đổi biến đặt t n 1 ax t n 1 ax x a Ta có khi x 0 thì t 1 và n 1 ax 1 t 1 t 1 a a a x t n 1 t 1 t n 1 t n 2 t 1 t n 1 t n 2 t 1 a a n 1 ax 1 a Mà lim nên suy ra lim . Vậy chọn A. x 1 t n 1 t n 2 t 1 n x 0 x n STUDY TIP n 1 ax 1 a lim x 0 x n an bn a b an 1 an 2b abn 2 bn 1 an 1 a 1 an 1 an 2 a 1 x 1 3 x 19 a a Ví dụ 14: Biết lim trong đó là phân số tối giản, avà blà các số nguyên x 8 4 x 8 2 b b dương. Tổng a b bằng A. 137. B. 138. C. 139. D. 140. Lời giải Đáp án C. Với những bài dạng này, sẽ khó sử dụng MTCT để tìm đáp án đúng. Đặt t x 8 . Suy ra x t 8 . limt 0 và x 8
  63. t t 3 1 33 1 x 1 3 x 19 t 9 3 t 27 9 27 4 x 8 2 4 t 16 2 t 2 4 1 2 16 t t 1 1 3 1 1 9 27 3 t t g t 2 t 4 1 16 1 t x 1 3 x 19 Do đó lim lim g(t) . Áp dụng ví dụ 13 Ta có: x 8 4 x 8 2 t 0 t 1 t 1 t 1 1 1 3 1 1 4 1 1 1 1 1 lim 9 9 ;lim 27 27 ;lim 16 16 t 0 t 2 18 t 0 t 3 81 t 0 t 4 64 1 1 3 112 Vậy lim g(t) .18 81 t 0 2 1 27 64 x 1 3 x 19 112 Do đó lim . Vậy a 112,b 27 và a b 139 x 8 4 x 8 2 27 0 Tính giới hạn vô định dạng bằng đạo hàm (Quy tắc L’Hôpital). 0 STUDY TIP *Quy tắc L’Hôpital f (x) f ' x lim lim 0 . x x x x 0 g(x) 0 g x0 Trong đó f x và g x xác định trên khoảng a;b , x0 a;b lim f x lim g x 0 (Hoặc lim f x lim g x ) x x0 x x0 x x0 x x0 f ' x Và lim tồn tại x x0 g ' x Trước khi đọc phần này xin đọc chương đạo hàm trong chương trình lớp 11 Ví dụ 15: Ta xét lại ví dụ 9 đã nêu ở trên. x2 Cho số thực a khác 0. Khi đó lim bằng x 0 1 cosax 2 2 A. . B. . C. . 2a2 D. . 2a a2 a Lời giải
  64. Đáp án A Ngoài hai lời giải đã nêu ở trên ta còn một cách áp dụng Quy tắc L’Hopital như sau: x2 2x 2 2 lim lim lim x 0 1 cosax x 0 asin ax x 0 a2 cosax a2 Ở đây ta áp dụng Quy tắc L’Hopital 2 lần. Cách sử dụng Quy tắc này rất hữu dụng khi giải các bài toán trắc nghiệm. Tuy nhiên không áp dụng Quy tắc này cho các bài toán tự luận do Quy tắc L’Hopital không được trình bày trong chương trình THPT. STUDY TIP Có thể áp dụng quy tắc L’Hopital nhiều lần để tính giới hạn Đề nghị: Độc giả hãy vận dụng quy tắc L’Hopital để giải các ví dụ đã nêu ở dạng 2 này. bài tập dạng trắc nghiệm. Nếu là bài tập dạng tự luận thì các em cần trình bày chi tiết theo phương pháp đã nêu trên. Riêng A và B, ta giải tự luận như sau: x 1 x 1 1 lim lim lim 0 x x2 1 x (x 1)(x 1) x x 1 x 5 ( x 5)( x 5) lim lim lim ( x 5) x x 5 x x 5 x x3 3x 1 Ví dụ 2: Giới hạn lim bằng: x 5 2x 3 A. 0 B. C. D. 2 Đáp án D x3 3x 1 1 Cách 1: Theo kết quả đã nêu ở trên thì lim lim x2 x 5 2x 2 x Cách 2: Sử dụng MTCT x3 3x 1 Bổ sung: Nếu là bài toán tự luận ‘Tìm lim ” thì ta có hai cách giải như sau: x 5 2x 2 1 3 x 3 x 3x 1 1 Cách 1: Ta có lim lim x . Mà lim (x2 3 ) ; x x 5 x 5 2x 2 x x 2 1 3 x 3 5 x 3x 1 lim ( 2) 2 0 nên theo qui tắc 2, lim lim x x x x 5 x 5 2x 2 x
  65. 3 1 3 1 x 3x 1 2 3 3 1 5 2 Cách 2 : Ta có lim lim x x . Mà lim (1 ) 1; lim ( ) 0 và x x 5 2 x 2 3 x 3 2 5 2x x x x x x3 x2 3 1 3 1 5 2 x 3x 1 2 3 lim 0 với mọi x 0 nên theo qui tắc 2, lim lim x x x 3 2 x x 5 2 x x 5 2x x3 x2 . STUDY TIP k a lim axk x Chẵn + + - - Lẻ + - - + Ví dụ 3 : Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ? x5 x3 7 1 3x2 x3 x3 3x4 5 3x2 x6 lim 3 2 lim 2 lim 3 lim 2 A. x 2x 3x 1 B. x 4x 1 C. x x x 1 D. x 1 x 5x Đáp án C Lời giải Cách 1 : Theo cách ghi kết quả ở trên thì x5 x3 7 1 1 3x2 x3 1 lim lim x2 ; lim lim x2 ; x 2x3 3x2 1 2 x x 4x2 1 4 x x3 3x4 5 3x2 x6 1 lim 3 lim x ; lim lim x4 ; x x x3 1 x x 1 x 5x5 5 x Cách 2 : sử dụng MTCT tính lần lượt các giới hạn x3 3x4 5 Khi đến C thấy lim 3 lim x nên dừng lại và chọn đáp án C x x x3 1 x 4x2 x 1 Ví dụ 4 : Giới hạn lim bằng : x x 1 A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 Đáp án B Lời giải : Cách 1 : 1 1 1 1 1 1 x 4 x 4 4 4x2 x 1 2 2 2 lim lim x x lim x x lim x x 2 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 1 x
  66. Vậy chọn đáp án B Cách 2 : Sử dụng MTCT x2 x 4x2 1 Ví dụ 5 : Giới hạn lim bằng : x 2x 3 1 1 A. B. C. D. 2 2 Đáp án B Lời giải : Cách 1 : Theo ví dụ đã trình bày ở dạng 1 thì lim ( x2 x 4x2 1) x Ta đưa x2 ra ngoài căn rồi chia cả tử và mấu cho x. Cụ thể như sau : 1 1 x 1 x 4 x2 x 4x2 1 2 lim lim x x x 2x 3 x 2x 3 1 1 1 1 x 1 x 4 1 4 2 2 1 lim x x lim x x x x 3 2x 3 2 2 x Vậy đáp án đúng là B Cách 2 : Sử dụng máy tính tính giá trị hàm số tại x 10 10 ta được kết quả như hình bên. Vậy chọn đáp án B Cách 3 : Ta có thể giải bài này bằng phương pháp loại trừ như sau : Vì lim ( x2 x 4x2 1) ; lim (2x 3) nên giới hạn cần tìm phải mang dấu x x dương. Mặt khác bậc tử và bậc mẫu bằng nhau nên giới hạn cần tìm là hữu hạn. Đáp án cần tìm là đáp án B STUDY TIP 2x 1 a Ví dụ 6 : Biết lim x trong đó a, b là các số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của tích x 3x3 x2 2 b ab bằng : A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 Đáp án C Lời giải : 2x 1 2x3 x2 6 Ta có : lim x lim x 3x3 x2 2 x 3x3 x2 2 3 a 6 Vậy Dễ dàng suy ra được tích của ab là 18. b 3 Chú ý : Nếu sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x 1010 thì ta thu được kết quả như hình bên. Do đó, nếu không có kiến thưc về giới hạn hàm số, rất khó tìm ra được đáp án đúng nếu chỉ dùng MTCT. Ngược lại nếu có kiến thức vững vàng, bạn đọc sẽ nhanh chóng tìm ra đáp án,
  67. thậm chí là trong chớp mắt ! Vì vậy, tôi xin nhắc lại, tôi khuyến nghị các bạn đọc nên giải bài tập theo kiểu tự luận một cách căn cơ để có thể đối mặt với các bài toán ‘’chống MTCT’’ STUDY TIP Dạng 4 : Dạng vô định 0. Bài toán : Tính giới hạn lim [u(x)v(x)] khi lim [u(x)] 0 và lim [v(x)] x x0 x x0 x x0 u(x) 0 Phương pháp : Ta có thể biến đổi lim [u(x)v(x)] lim để đưa về dạng hoặc x x0 x x0 1 0 v(x) u(x) lim [u(x)v(x)] lim để đưa về dạng . x x0 x x0 1 v(x) Tuy nhiên, trong nhiều bài tập, ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong/ ra ngoài dâu căn, quy đồng mẫu thức . Là đưa được về dạng quen thuộc. 1 1 Ví dụ 1 : Giới hạn lim ( 1) bằng : x 0 x x 1 A. 0 B. -1 C. 1 D. Đáp án B 1 1 Phân tích : Ta có lim ; lim( 1) 0 nên chưa có thể áp dụng các định lí, qui tắc để x 0 x x 0 x 1 tính giới hạn. Lời giải : 1 1 1 (x 1) x 1 Cách 1 : Ta có lim ( 1) lim lim lim 1 x 0 x x 1 x 0 x(x 1) x 0 x(x 1) x 0 x 1 Cách 2 : Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 0,00000001 ta được kết quả như hình bên. Do 1 1 đó chọn đáp án B, tức lim ( 1) 1 x 0 x x 1 STUDY TIP x Ví dụ 2 : Giới hạn lim(x 2) 2 bằng : x 2 x 4 A. B. C. 0 D. 1 Đáp án C x Phân tích : Vì lim(x 2) 0; lim 2 nên chưa có thể áp dụng các định lý và qui tắc x 2 x 2 x 4 để tính giới hạn.
  68. Lời giải : x (x 2)2 x (x 2)x Cách 1 : Với mọi x 2 ta có : (x 2) x2 4 x2 4 x 2 x (x 2)x Do đó lim(x 2) 2 lim 0 . Vậy chọn đáp án C x 2 x 4 x 2 x 2 Cách 2: Sử dụng MTCT 2x 1 Ví dụ 3: Giới hạn lim (x 1) bằng: x 5x3 x 2 2 10 5 A. 2 B. 5 C. 5 D. 2 Đáp án B Phân tích: Ví dụ tương tự đã được nghiên cứu trong phần dạng vô định 2x 1 Tuy nhiên vì lim (x 1) ; lim 3 0 nên giới hạn này cũng có thể coi như dạng x x 5x x 2 0. Lời giải 2 Cách 1: Với x 1 ta có x 1 0 nên x 1 (x 1) . Do đó 2x 1 (x 1)2 (2x 1) 10 lim (x 1) lim x 5x3 x 2 x 5x3 x 2 5 Vậy chọn đáp án B 10 Cách 2: Sử dụng MTCT. Tính giá trị hàm số tại x 10 ta được kết quả như hình bên. So sánh các đáp số A, B, C, D ta chọn đáp án đúng làB. STUDY TIP 3 2 2 2 Ta chỉ quan tâm đến lũy thừa bậc cao nhất là x . Hệ số của x trong (x 1) là 1 do 2 2 3 2 x 1 x 2x 1. Hệ số của x trong 2x + 1 là 2 nên hệ số của x trên tử là 1 .2 . Ở đây 3 không nhất thiết phải khai triển tích thành đa thức để tìm hệ số của x . 1 Ví dụ 4: Giới hạn lim (xsin ) bằng x x A. 0 B. 1 C. D. Không tồn tại Đáp án B 1 1 Phân tích: Vì lim 0 nên lim sin 0 . Ta có dạng 0. . Lời giải như sau : x x x x Lời giải : 1 sin 1 x Cách 1 : Ta có : lim (xsin ) lim x x x 1 x
  69. 1 1 sint Đặt t và lim t 0 thì lim (xsin ) lim 1 x x x x x t Cách 2: Sử dụng MTCT ( Lưu ý chuyến máy về chế độ Radian) STUDY TIP 0 sinx Ở ví dụ 4 ta đã chuyển dạng 0. thành do ta liên tưởng đến giới hạn đặc biệt lim 1 0 x 0 x lim ( x)tanx Ví dụ 5: Giới hạn bằng 2 x 2 A. 1 B. 0 C. D. Không tồn tại Đáp án A sinx lim ( x) 0; lim tanx= lim 0. Phân tích: vì nên ta có dạng 2 cos x x x x 2 2 2 Lời giải : t x x t, lim t 0 Cách 1 : Đặt thì và 2 2 x 2 sin( t) t ( x) tan x t tan( t) t 2 cost . Do đó 2 2 cos( t) sin t 2 t lim ( x) t anx= lim cost 1 2 t o sin t x 2 Cách 2 : Sử dụng MTCT STUDY TIP lim tanx=+ ; lim tanx=+ . Lưu ý để tránh nhầm lẫn giữa hai giới hạn này x x 2 2 Dạng 5 : Dạng Bài toán : Tính lim [u(x) v(x)] khi lim u(x) và limv(x) Hoặc tính x x0 x x0 x x0 lim [u(x) v(x)] khi lim u(x) và limv(x) x x0 x x0 x x0 Phương pháp : Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc qui đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức). lim x2 x x2 1 Ví dụ 1 : Giới hạn x bằng 1 1 A. 2 B. 4 C. D. Đáp án A Lời giải : Cách 1: lim x2 x ; lim x2 1 Phân tích: Ta thấy x x nên bài này thuộc dạng . Tương tự như giới hạn dãy số, ta nhân chia với biểu thưc liên hợp. Lời giải cụ thể như sau:
  70. 1 1 2 2 x 1 x 1 Ta có: lim x x x 1 lim lim x x 2 2 x 1 1 2 x x x 1 1 1 x x2 Cách 2: Sử dụng MTCT lim 9x2 x 1 3x Ví dụ 2: Giới hạn x bằng 2 2 1 1 A. 3 B. 3 C. 6 D. 6 Đáp án D Lời giải: lim 9x2 x 1 ; lim (3x) Phân tích: Ta có x x nên bài này thuộc dạng vô định (mặc dù biểu thức của hàm số lấy giới hạn có hạng tổng). Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp. Lời giải cụ thể như sau: x 1 x 1 Ta có: lim 9x2 x 1 3x lim lim 2 1 1 9x x 1 3x x 9 3x x x2 1 1 1 1 lim x . Vậy chọn đáp ánD. x 1 1 3 3 6 9 3 x x2 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x 1010 ta được kết quả như hình bên. Sử 1 dụng ki thuật tìm dạng phân số của một số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được 0,1 6 6 (xem lại phần giới hạn dãy số). Vậy chọn đáp ánD.  Studytip: Ví dụ 3. Giới hạn lim 4x2 3x 3 8x3 2x2 1 bằng: x 13 7 13 7 A. B. C. D. 24 12 24 12 Lời giải Cách 1: Phân tích: Vì lim 4x2 3x ; lim 3 8x3 2x2 1 nên đấy cũng là dạng vô định . Tuy x x nhiên vì là hiệu của hai căn thức không cùng bậc nên ta chưa thể nhâ chia với biểu thức liên
  71. hợp luôn được. Nhận thấy x 0 thì 4x2 3 8x3 2x nên ta thêm bớt 2x rồi nhân chia liên hợp. Với x 0 : 4x2 3x 3 8x3 2x2 1 4x2 3x 2x 2x 3 8x3 2x2 1 1 2 3x 2 x 4x2 3x 2x 2 1 2 1 2 3 3 4 2 8 3 8 3 x x x x Do đó lim 4x2 3x 3 8x3 2x2 1 x 1 2 3 2 3 2 7 lim x . x 2 3 2 1 2 1 2 2 4 4 4 12 4 2 4 2 3 8 3 8 x 3 3 x x x x Do đó chọnB. Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x 1010 ta được kết quả như hình bên. Sử 7 dụng ki thuật tìm dạng phân số của một số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được 0,58 3 . 12 (xem lại phần giới hạn dãy số). Vậy chọn đáp ánD.  Studytip: Lưu ý: Ta xem lại một Ví dụ đã trình bày ở dạng 1 như sau: Ví dụ 4. Giới hạn của hàm số f x x2 x 4x2 1 khi x bằng: A. B. C. 1 D. 3 Phân tích: Ví dụ này cũng thuộc dạng nhưng lại không phải là dạng vô định. Bằng các định lí và quy tắc, ta tính được giới hạn hàm số mà không cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp. Ta xem cách giải cho tiết dưới đây. Lời giải 2 2 2 1 2 1 1 1 x x 4x 1 x 1 x 4 2 x 1 x 4 2 x x x x 1 1 x 1 4 . 2 x x
  72. 1 1 Ta có lim x và lim 1 4 2 1 2 1 0. x x x x 1 1 Vậy lim x2 x 4x2 1 lim x 1 4 . x x 2 x x  Studytip: Cũng là nhưng khi nào là xác định, khi nào là vô định? Khi nào phải nhân chia liên hợp, khi nào thì đưa xn ra ngoài căn rồi đặt nhân tử chung như Ví dụ 4? Để có câu trả lời mời quý độc giả hãy đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa căn. Ví dụ 5. Trong các giới hạn sau giới hạn nào là hữu hạn: A. lim 4x2 4x 3 2x . B. lim 2x2 x 1 3x . x x C. lim x 1 x 2x2 . D. lim x x2 3x 2 . x x Lời giải Cách 1: Với các kết quả đã biết phần giới hạn dãy số có chứa căn, ta thấy ngay đáp án là D. Thật vậy: . lim 4x2 4x 3 ; lim 2x lim 4x2 4x 3 2x . x x x . lim 2x2 x 1 ; lim 3x lim 2x2 x 1 3x . x x x 1 1 . lim x 1 x 2x2 lim x 1 2 x x 2 x x 1 1 do lim x ; lim 1 2 1 2 0. x x 2 x x 2 3 3x 2 3 lim x x2 3x 2 lim lim x . x x 2 x 3 2 2 x 3x 2 x 1 1 x x2 Cách 2: Sử dụng MTCT để tìm lần lượt các giới hạn. 1 1 Ví dụ 6. Giới hạn lim bằng: 2 x 2 x 4 x 2 A. B. C. 3 D. 2 Lời giải 1 1 Cách 1: Vì lim 2 ; lim nên ta có dạng . x 2 x 4 x 2 x 2 Theo phương pháp đã nêu từ đầu, ta đi quy đồng mẫu số các phân thức.