›
›
›

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án)

doc 129 trang Thái Huy 14/09/2023 2264
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbo_30_de_thi_toan_nang_cao_lop_11_co_dap_an.doc

Nội dung text: Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án)

  1. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn
  2. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 Bài 1 (4 điểm). 2 2 Giải phương trình: 2 2sin 2x . tan x cot 2x Bài 2 (4 điểm). u 4 1 Cho dãy số un xác định bởi 1 . u u 4 4 1 2u n N * n 1 9 n n Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số. Bài 3 (4 điểm). Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc B· AE C· AF , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau. Bài 4 (4 điểm) Cho tập hợp A 1;2;3; ;18. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2. Bài 5 (4 điểm). Cho các số dương a,b,c thoả mãn a b c 3. Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 1 b2 1 c2 1 a2 Hết Họ và tên : Số báo danh : ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH MÔN TOÁN Bài Lời giải Điểm
  3. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 Bài 1 Giải phương trình: 2 2sin 2x . tan x cot 2x cos x 0 Lời giải : Điều kiện : sin 2x 0 1 tan x cot 2x 0 2sin2 x cos2x 1 1đ Ta có : tan x cot 2x sin 2x sin 2x Do đó phương trình đã cho tương đương với : 2 2 sin 2x 2 sin 2x sin 2x 1 . 2 sin 2x 2 0 sin 2x 1 1 đ 2 sin 2x 2 sin 2x 1 1 đ 1 ( Thỏa điều kiện (1) ) sin 2x 2 Giải các phương trình trên ta được : 1 đ 5 x k ; x k ; x k k Z 2 12 12 Bài 2 Cho dãy số un xác định bởi u 4 1 1 . u u 4 4 1 2u n N * n 1 9 n n Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số. * Lời giải: Đặt xn 1 2un n N x2 1 1 đ Ta có x 0 và x2 1 2u , n N * hay u n n n n n 2 Thay vào giả thiết, ta được: 2 2 xn 1 1 1 xn 1 4 4xn 2 9 2 2 2 2 2 9xn 1 9 xn 1 8 8xn 3xn 1 xn 4 1 đ * * Suy ra: 3xn 1 xn 4 n N ( Do xn 0 , n N )
  4. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn n 1 n n * Hay 3 xn 1 3 xn 4.3 , n N Đặt y 3n x ,n N * . Ta có: y y 4.3n , n N * n n n 1 n 1 đ n n 1 * Từ đó yn 1 y1 4 3 3 3 , n N n 1 * Hay yn 1 y1 6 2.3 , n N n Theo cách đặt ta có: x1 3 y1 9 yn 3 2.3 . 1 Suy ra: x 2 , n N * n 3n 1 1 đ 1 4 1 * Do đó un 3 n 1 2n 2 , n N 2 3 3 Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc B· AE C· AF , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau. Lời giải: A M O N 0,5đ B E F C D Đặt B· AE C· AF , E· AF .Tacó 1 1 AF S AB.AF.sin  AC.AF.sin AB.CD AC.BD ABC 2 2 4R 1,5 đ (R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1) Diện tích tứ giác ADMN là 1 1 S AM.AD.sin AD.AN.sin(  ) AMDN 2 2
  5. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 = AD. AF.cos  .sin AF.cos .sin  2 1 AF 1,5 đ AD.AF.sin 2  .AD.BC . (2) 2 4R Vì tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta có : AB.CD + AC.BD = AD.BC (3). 0,5 đ Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh. Bài 4 Cho tập hợp A 1;2;3; ;18. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2. Lời giải: Ta cần tìm số phần tử của tập T sau: 1 đ T (a1,a 2 , ,a5 ) : a1 a 2 a5; 1 ai 18; ai a j 2 Xét tập hợp H (b1,b2 , ,b5 ) : b1 b2 b5; 1 bi 14 1,5 đ Xét ánh xạ f cho tương ứng mỗi bộ (a1,a 2 , ,a5 ) với bộ (b1,b2 , ,b5 ) xác định như sau: b1 a1,b2 a 2 1,b3 a3 2,b4 a 4 3,b5 a5 4 . Dễ thấy khi đó f là một song ánh, suy ra T H . 1,5 đ Mặt khác mỗi bộ (b1,b2 , ,b5 ) trong H là một tổ hợp chập 5 của 14 phần tử. 5 Do đó H C14 2002 . Vậy T 2002.
  6. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 5 Cho các số dương a,b,c thoả mãn a b c 3. Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 1 b2 1 c2 1 a2 Lời giải: Bất đẳng thức trên tương đương với: a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a b c 3 3 3 1 b2 1 c2 1 a2 a 1 .b2 b 1 .c2 c 1 .a2 Hay 3. 1 b2 1 c2 1 a2 Bây giờ ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho các mẫu thức: a 1 b2 b 1 c2 c 1 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2 2b 2c 2a a 1 b b 1 c c 1 a 2 2 2 2 3 ab bc ca a b c 3Vì ab bc ca 3 2 3 A M O N B E F C Đặt B· AE C· AF , E· AF . D 1 1 AF Ta có S AB.AF.sin  AC.AF.sin = AB.CD AC.BD ABC 2 2 4R (R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1) Diện tích tứ giác ADMN là 1 1 S AM.AD.sin AD.AN.sin(  ) = AMDN 2 2 1 = AD. AF.cos  .sin AF.cos .sin  2 1 AF AD.AF.sin 2  .AD.BC . (2) 2 4R
  7. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vì tứ giác AMDN nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta có AB.CD + AC.BD = AD.BC (3). Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.
  8. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu) ĐỀ THI: tan2 x tan x 2 Câu 1 Giải phương trình: 2 sin x . tan x 1 2 4 2 14 15 2 210 C©u 2: Cho khai triÓn 1 x x x a0 a1x a2 x a210 x . Chøng minh r»ng: 0 1 2 15 C15a15 C15a14 C15a13 C15 a0 15. 2 C©u 3: Cho dãy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xác định bởi: u0 2 ; un 1 4un 15un 60 a) Hãy xác định số hạng tổng quát của un . 1 b) Chứng minh rằng số (u 8) có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số 5 2n nguyên liên tiếp. C©u 4: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh 3 , SA (ABCD), SA = 2 3 . Mặt phẳng( ) qua BC tạo với AC một góc 30o, cắt SA, SD lần lượt tại M và N. Tính diện tích thiết diện BCNM. C©u 5: Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d­¬ng tháa m·n x y z 3. Chøng minh r»ng: x y z y z x z x y 2xyz 4 yz 4 zx 4 xy
  9. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN tan2 x tan x 2 Câu 1 Giải phương trình: 2 sin x . tan x 1 2 4 Điều kiện: cos x 0 x k (*) 2 Phương trình đã cho tương đương với: 2cos2 x(tan2 x tan x) sin x cos x 2sin2 x 2sin x.cos x sin x cos x 2sin x(sin x cos x) sin x cos x (sin x cos x)(2sin x 1) 0 + Với sin x cos x 0 tan x 1 x k 4 1 5 + Với 2sin x 1 0 sin x x k2 ; x k2 2 6 6 Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: 5 x k ; x k2 ; x k2 (k ¢ ) 4 6 6 2 14 15 2 210 C©u 2: Cho khai triÓn 1 x x x a0 a1x a2 x a210 x . Chøng minh r»ng: 0 1 2 15 C15a15 C15a14 C15a13 C15 a0 15. 210 15 15 15 2 14 15 15 k k i k Ta cã 1 x 1 x x x 1 x  1 C15ai x i 0 k 0 15 Suy ra hÖ sè cña x15 trong khai triÓn 1 x15 lµ k k 0 1 2 15  1 C15ai C15a15 C15a14 C15a13 C15 a0 i k 15 15 15 MÆt kh¸c 1 x15 1 15x15 x225 . Suy ra hÖ sè cña x15 trong khai triÓn 1 x15 lµ 15 . 0 1 2 15 VËy C15a15 C15a14 C15a13 C15 a0 15 (®pcm). C©u 3: Cho dãy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xác định bởi: u0 2 2 un 1 4un 15un 60 a) Hãy xác định số hạng tổng quát của un . 1 b) Chứng minh rằng số (u 8) có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số 5 2n nguyên liên tiếp. 2 2 a)Theo bài ra ta có:un 1 8unun 1 un 60 0 (1) Thay n bởi n-1 ta được: 2 2 un 8un 1un un 1 60 0 (2) Trừ theo từng vế (1) cho (2) được:
  10. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn un 1 un 1 un 1 8un un 1 0 un 1 8un un 1 0 (3) (do un 1 4un 16un 1 un 1 un 1 0 Phương trình đặc trưng của (3) t 4 15 t 2 8t 1 0 t 4 15 n n Số hạng tổng quát: un 4 15 4 15 n n b) Với mỗi số n 1, thì tồn tại số k ¥ để: 4 15 4 15 k 15 n n 2 2n 2n 2 2 Suy ra 4 15 4 15 15.k 4 15 4 15 15.k 2 2n 2n 1 1 2 2 2 2 Do vậy, u 8 4 15 4 15 8 3.k 2 k 1 k k 1 5 2n 5 C©u 4: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh 3 , SA (ABCD), SA = 2 3 . Mặt phẳng( ) qua BC tạo với AC một góc 30o, cắt SA, SD lần lượt tại M và N. Tính diện tích thiết diện BCNM. BC// AD Ta có: ( )  (SAD) MN MN // BC// AD BC  ( ); AD  (SAD) Mà: BC  BA; BC  SA (SA  (ABCD)) BC  (SAB) BC  BM Suy ra thiết diện BCNM là thang vuông tại B, M. Dựng AH  BM Ta có: BC  AH (vì BC  (SAB)) Suy ra:AH ( ) A· CH 30o. Tam giác ABM vuông tại A, đường cao AH có: 1 1 1 2 1 1 AM 3 2 2 2 2 2 AM AH AB 3 3 3 3 BM 6 (tam giác ABM vuông cân) và MN . 2 Diện tích hình thang vuông BCNM: 1 1 3 9 2 S MB.(MN BC) . 6 3 3,1820. 2 2 2 S 4 M N A H D B C
  11. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u 5: Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d­¬ng tháa m·n x y z 3. Chøng minh r»ng: x y z y z x z x y 2xyz (1) 4 yz 4 zx 4 xy 2 Ta cã yz zx xy x y z 2 9 yz zx xy 3 y z z x x y 1 2 (2) yz 4 yz zx 4 zx xy 4 xy y z 2 yz 2 2 Ta cã yz 4 yz yz 2 yz 2 yz yz 2 yz 2 yz 2 yz Do ®ã y z z x x y 1 1 1 18 2 yz 4 yz zx 4 zx xy 4 xy 2 yz 2 zx 2 xy 6 yz zx xy 18 2 . VËy (2) ®óng (®pcm). 6 3
  12. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TỈNH ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu I (4 điểm) 1. Giải phương trình: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 x2 2y2 1 2 2 2. Giải hệ phương trình: 2y 3z 1 x, y, z ¡ xy yz zx 1 Câu II (2 điểm) Giả sử A, B,C, D lần lượt là số đo các góc D· AB, ·ABC, B· CD,C· DA của tứ giác lồi ABCD bất kì. A B C 1. Chứng minh rằng sin A sin B sin C 3sin . 3 A 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P sin sin B sin C sin D . 3 Câu III (1 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 9 . Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm A1, B1,C1 . Đường thẳng AA1 cắt đường thẳng CC1 tại điểm I ; đường thẳng AA1 cắt đường thẳng BC tại điểm N ; đường thẳng BB1 cắt đường thẳng A1C1 tại điểm P . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC1 . Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC tại điểm M. Biết rằng BM MN và B· AC 2·ABC . Tính các góc của tam giác ABC. Câu V (1 điểm) 1 Cho hàm số f : 0; 0; thỏa mãn điều kiện f 3x f f 2x 2x với mọi 2 x 0 . Chứng minh rằng f x x với mọi x 0 . Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: SBD:
  13. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Câu Nội dung Điểm I I.1 (2 điểm) 4điểm 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 0,5 3 cos2 x 1 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin2 x 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x 0 0,5 sin x cos x 3 sin x cos x 1 0 2 sin x 0 sin x cos x 0 4 0,5 3 sin x cos x 1 1 sin x 6 2 x k 4 x k 4 x k2 x k2 k ¢ 0,5 6 6 2 5 x k2 x k2 3 6 6 I.2 (2 điểm) +) Nếu x 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm 0,25 +) Nếu x 0 ta đặt y ax; z bx thay vào hệ ta được 0,25 x2 1 2a2 1 2 2 2 2 2 1 2a 2a 3b 4a 3b 1 1 x2 2a2 3b2 1 0,5 2 2 1 2a a ab b 2a a 1 b a 1 0 x2 a ab b 1 a 1 2 2 2 2 4a 3b 1 4a 3b 1 b 1 a 1 2a 1 b a 1 0 a 1 2a 1 b 0 b 1 2a 0,5 2 2a 3a 1 0 a 1 +) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn 0,25 b 1 a 1 b 1 b 1 2a a 1 +) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn, thay 2 1 2a 3a 1 0 a b 1 2 b 0 0,25
  14. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 a 2 vào (1) ta có x 2 . Do đó nghiệm của hệ là b 0 1 1 x; y; z 2; ;0 , 2; ;0 2 2 II II.1 (1 điểm) 2điểm x y Nhận xét. Nếu 0 x,0 y; thì 2 x y x y x y 0,25 sin x sin y 2sin cos 2sin . Dấu bằng xảy ra khi x y 2 2 2 Sử dụng nhận xét trên ta có A B C A B A B 4C sin A sin B sin C sin 2sin 2sin 3 2 6 0,5 A B A B 4C A B C 4sin 2 6 4sin 2 3 A B C 0,25 sin A sin B sin C 3sin . Dấu bằng xảy ra khi A B C . 3 II.2 (1 điểm) B C D 2 0,25 Đặt t , ta có A 2 3t; t 1 3 3 3 Khi đó theo phần II.1 ta có 0,25 2 3t 3 5 P sin 3sin t cost sin t 3 2 2 2 2 3 5 2 2 0,25 Khi đó P sin t cos t 7 2 2 3 5 Đẳng thức xảy ra khi cost ; sin t 2 0,25 28 28 Vậy max P 7 B C D t, A 2 3t (với t xác định bởi (1) và (2)) III +) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu 7 7 1điểm tiên có 9 cách chọn và có A9 cho 7 vị trí còn lại. Vậy n A 9A9 0,25 +) Giả sử B 0;1;2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 459 nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ số đôi một khác nhau của các tập B \ 0; 9; B \ 1; 8; B \ 2; 7; B \ 3; 6; B \ 4; 5 nên số các số loại này là 0,5 8 7 A8 4.7.A7 . 8 7 A8 4.7.A7 1 Vậy xác suất cần tìm là 7 . 0,25 9.A9 9 IV · 0 0,5 * Dễ thấy IPC1 90 , do đó O là trung điểm của IC1 .
  15. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2điểm * I·OP 2I·C P C· AB C· C B BC // OP 1 1 1 0,5 * Do BM=MN; OI OC1 IN // C1B 1 Do đó C· IA B· AC , mà C· IA B· AC ·ACB 1 1 2 0,5 1 Vậy B· AC B· AC ·ACB B· AC ·ACB 2 Cùng với B· AC 2·ABC ta được B· AC ·ACB 720 ; ·ABC 360 C A1 N B1 I M 0,5 P B A O C1 V 1 1điểm f (3x) f f (2x) 2x (1) 2 1 2x 2x 2x 0,25 Từ (1) suy ra f (x) f f f (x) , x 0 (2) 2 3 3 3 Khi đó 1 2x 2x 2 1 2x 2x 1 2x 2x 4 2 f (x) f f . f f x 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 27 3 0,25 2 1 2 Xét dãy (a ) , (n=1,2, ) được xác định như sau: a và a a2 . n 1 3 n 1 3 n 3
  16. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n ¥ * luôn có f (x) an x với x 0 (3) Thật vậy, khi n 1 thì theo (2), ta có ngay (3) Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k . Khi đó 1 2x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x f (x) f f a . f a .a . 0,25 2 3 3 2 k 3 3 2 k k 3 3 a2 2 k .x a .x 3 k 1 Vậy (3) đúng với n k 1. * Tiếp theo ta chứng minh lim an 1. Thật vậy, ta thấy ngay an 1 n ¥ . Do đó: 1 a a (a 1)(a 2) 0, suy ra dãy (a ) tăng ngặt. n 1 n 3 n n n 0,25 1 2 Dãy (a ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lim a l thì l l 2 với l 1, n n 3 3 suy ra l 1. Vậy lim an 1. Do ®ã tõ (3) suy ra f (x) x víi mäi x 0 (®pcm).
  17. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ 11 Thời gian: 180 phút (không kể giao phát đề) Bài 1(2,0 điểm). Giải phương trình: 3 x 1 3 x 1 3 5x Bài 2(2,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z khác 0, ta có: x2 y2 z2 x y z y2 z2 x2 y z x u 11 Bài 3(2,0 điểm). Cho dãy số (u ) xác định bởi: 1 n * un 1 10un 1 9n,n N . Tìm công thức tính un theo n. Bài 4(2,0 điểm). Tổng của m những số nguyên dương liên tiếp bằng 2008. Xác định các số đó. Bài 5(2,0 điểm). Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A/B/C/. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC/A/, BCC/B/, ABB/A/. a) Chứng minh rằng mặt phẳng (IJK) song song với mặt đáy. b) Chứng minh rằng các đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy. Hết Chú ý. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm; Học sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu nào.
  18. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Thang Bài Lời giải điểm Ta có: 3 x 1 3 x 1 3 5x 0,5 2x 3 3 x2 1 3 x 1 3 x 1 5x 3 2 3 1 x 1 5x x 0,5 5 4x3 5x 0 x 0;x . 0,5 2 5 Thö l¹i ta thÊy ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm: x = 0; x = . 0,5 2 Ta có x2 x 1 2 2 y y y2 y 0,75 1 2 2 z z z2 z 2 2 x x Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có: x2 y2 z2 x y z 3 2 (1) 0,25 2 2 2 2 y z x y z x Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi ta có: x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 3 . . 3 (2) 0,5 y2 z2 x2 y2 z2 x2 x2 y2 z2 x y z Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2 2 y z x y z x 0,5 x2 y2 z2 x y z Suy ra 2 2 2 y z x y z x Đặt vn = un – n. 0,5 Ta có vn+ 1 = un+1 – n – 1 = 10un – n – 1 + 1 – 9n = 10un – 10 = 10(un - n) = 10vn 0,5 3 Suy ra dãy (vn) là cấp số nhân với công bội q = 10 và v1 = 10. 0,5 n – 1 n n Ta có vn = v1.q = 10 => un = vn + n = 10 + n. n Vậy un = 10 + n với mọi số nguyên dương n. 0,5 4 Giả sử m số nguyên dương liên tiếp là k; k + 1; ; k + m - 1. Khi đó ta có:
  19. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn k k 1  k m 1 2008 0,25 m(m 1) mk 2008 2 0,25 m(2k m 1) 4016 24.251 (1) m 251 0,5 +/ Nếu m lẻ thì 2k + m – 1 chẵn, suy ra (1) 4 vô nghiệm. 2k m 1 2 m 24 m 16 +/ Nếu m chẵn thì 2k + m – 1 lẻ, suy ra (1) 0,5 2k m 1 251 k 118 0,5 Vậy các số cần tìm là 118, 119, , 133. +/ Hình vẽ a c b i 0,25 j k C’ A’ 5 B’ a) Ta có IJ là đường trung bình của tam giác ABC/ nên IJ // AB. 0,5 Tương tự ta có: IK // BC; KJ // AC và (ABC) // (A/B/C/) Suy ra (IJK) song song với các mặt đáy. 0,25 b) Theo câu a) IJ là đường trung bình của tam giác ABC/ nên AJ cắt BI. 0,5 Tương tự AJ cắt CK và CK cắt BI. Mặt khác, ta có AJ, CK và BI không đồng phẳng. 0,5 Vậy ba đường thẳng AJ, CK, BI đôi một cắt nhau và không đồng phẳng nên đồng quy. Chú ý. Mọi cách giải khác đúng đều đạt điểm tối đa.
  20. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 Së gd-®t hµ t©y §Ò thi chän häc sinh giái to¸n líp 11 Tr­êng thpt hoµi ®øc a 2 C©u 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 3 2x x 2 y y sin .cos x x C©u 2: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh: cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 cã ®óng 7 nghiÖm kh¸c nhau thuéc kho¶ng ; 2 2 cos 2 A cos 2 B 1 C©u 3: Chøng minh r»ng nÕu trong ABC cã: cot g 2 A cot g 2 B sin 2 A sin 2 B 2 th× ABC lµ tam gi¸c c©n. u1 u2 1 C©u 4: Cho d·y {un} x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: un 1 un un 1 n 2 Chøng minh r»ng d·y {un} cã giíi h¹n vµ h·y t×m giíi h¹n ®ã. C©u 5: Trong mÆt ph¼ng ( ) cho ®­êng trßn (S) ®­êng kÝnh AB = 2R. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi ( ) t¹i A, lÊy ®iÓm C sao cho AC = AB, M lµ mét ®iÓm thuéc (S), H lµ h×nh chiÕu cña A xuèng CM. a) Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn (S) th× H di ®éng trªn mét ®­êng trßn (T). b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn (S) sao cho diÖn tÝch cña thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng chøa ®­êng trßn (T) vµ h×nh chãp HABC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.  c) Cho gãc MAB 300 . TÝnh gãc t¹o bëi hai ®­êng th¼ng CM vµ AB vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña chóng theo R. §¸p ¸n ®Ò thi chän häc sinh giái to¸n líp 11 (x 1) 2 0 2 2 4 2 C©u 1: 3 2x x 4 (x 1) y y y y sin 2 1 sin .cos sin 2 x x x x
  21. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 1 x 1 x 1 sin 2y 1 cos 2y 0 y k 4 2 C©u 2: cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 4cos3x –3cosx – 2cos2x + 1 + mcosx – 1 = 0 4cos3x – 2cos2x – 3cosx + mcosx = 0 cos x 0 (1) 2 cosx(4cos x –2cosx – 3 + m) = 0 2 4cos x 2cos x 3 m 0 (2) 3 (1) cã 2 N0 thuéc kho¶ng ; 2 lµ x1 vµ x2 . §Ô ptr×nh cã ®óng 7 2 2 2 N0 thuéc ; 2 th× (2) ph¶i cã ®óng 5 N0 ph©n biÖt kh¸c x1, x2 trªn ; 2 2 2 MÆt kh¸c nÕu ®Æt t = cosx (-1 t 1) th× (2) f(t) = 4t2 –2t – 3 + m = 0 (3) Víi 0 0  n N. L¹i cã u2 u0 u1 2 u1 u2 B»ng quy n¹p ta c/m un < un+1 (1). ThËt vËy, (1) ®· ®óng víi n = 1, gi¶ sö (1) ®· ®óng ®Õn k, ta cã: uk 1 uk uk 1 uk uk 1 uk 2 VËy {un} lµ d·y ®¬n ®iÖu t¨ng. 2 MÆt kh¸c  n 3, ta cã: un un 1 un 2 2 un un 4un un 4 Do ®ã {un} lµ d·y ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn nªn nã cã giíi h¹n: limun a 0 2 Ta cã: limun 1 lim un un 1 a 2 a a 4a a 4 VËy: limun = 4 C©u 5: a) MB  (CAM) (CAM)  (CBM) mµ AH  CM
  22. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AH  (CBM) AH  BC Dùng AK  BC t¹i K, ta cã: K cè ®Þnh vµ (AHK)  BC cè ®Þnh. AH  (CBM) AH  HK. VËy H di ®éng trªn ®­êng trßn ®­êng (T) kÝnh AK thuéc mf(AHK) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi BC t¹i K. b) ThiÕt diÖn lµ tam gi¸c AHK vu«ng t¹ H cã HA2 + HK2 = AK2 kh«ng ®æi 2 2 mµ theo b®t C«si HA + HK 2HA.HK = 4S AHK. Do ®ã diÖn tÝch tam gi¸c AHK AK BC lín nhÊt khi HA = HK = R ( ABC vu«ng c©n). Trong CAM vu«ng t¹i 2 2 2 1 1 1 2R 3 A ®­êng cao AH cã: AM . VËy cã hai ®iÓm M cÇn AH 2 AC 2 AM 2 3 t×m, ®ã lµ hai ®iÓm n»m trªn ®­êng trßn (S) , ®èi xøng nhau qua AB vµ c¸ch A mét 2R 3 kho¶ng AM 3 c) Trong mf(MAB) dùng ME  AB t¹i E vµ h×nh ch÷ nhËt AEMF Ta cã MF //AB vµ MF  (ACF) MF  CF CMF vu«ng t¹i F. Gäi lµ FM AB 3 gãc t¹o bëi AB vµ CM, ta cã: cos = , trong AMB cã: AM R 3 , MC 2 AM R 3 AM 3 3R trong AME cã: EM vµ AE FM , trong CAM cã: 2 2 2 2 3 7 CM AC 2 AM 2 R 7 . VËy cos = 14 AB//(CMF) d(A, (CMF) = d(AB, CM), dùng AI  CF t¹i I AI  (CMF) mÆt kh¸c AI  FM AI = d(AB, CM). Ta cã: 3 2R.R AC.AF AC.AF 2R 2 3 2R 57 AI 2 FC AC 2 AF 2 3R 2 R 19 19 4R 2 4
  23. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG Đề chính thức Môn thi : TOÁN LỚP 11 THPT Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài I: ( 7,0 điểm) 1. Giải phương trình : cos3x – sin3x = cosx + sinx. 3x 1.3 2 x 2 2. Tính giới hạn hàm số : L lim x 1 x 1 Bài II: ( 6,0 điểm) u 2006, u 2009 1 2 1. Cho dãy số (un) có 5u 2u . u n 1 n , n N * n 2 3 a) Đặt vn un 1 un . Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số nhân. b) Tính giới hạn : lim un 2y x(1 y2 ) 2. Giải hệ phương trình : . 3 2 3x x y(1 3x ) Bài III: ( 7,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 3a. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (SBC). a) Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác SBC. b) Tính góc giữa đường thẳng OH và mặt phẳng (ABC). Hết
  24. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 11 - Câu Nội dung Điểm I- 1 Phương pháp: Áp dụng CT biến đổi tổng thành tích. Chuyển về phương trình tích. (3,5 đ) Điều kiện: x R. Phương trình đã cho tương đương với  1,0 cosx – cos3x + sin3x + sinx = 0 2sin2x.sinx + 2sin2x.cosx = 0 2sin2x(sinx + cosx) = 0 1,0 sin2x = 0 v sinx + cosx = 0 k x 2x k . 2 ,k Z. 1,0 t anx = -1 x k 4 k Kết luận: x = x v x k , k Z. 0,5 2 4 I – 2 Phương pháp: Thêm bớt biểu thức trên tử. Tách ra tính hai giới hạn bằng cách (3,5 đ) nhân biểu thức liên hợp. 1,0 3x 1.3 2 x 3x 1 3x 1 2 L lim x 1 x 1 3 2 x 1 3x 1 2 = lim 3x 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 3 3 2 3 1,0 ( 2 x 1) (2 x) 2 x 1 ( 3x 1 2)( 3x 1 2) = lim 3x 1 lim x 1 (x 1) 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 (x 1)( 3x 1 2) (2 x 1) (3x 1 4) = lim 3x 1 lim x 1 (x 1) 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 (x 1)( 3x 1 2) 1,0 ( 3x 1) 3 = lim lim x 1 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 ( 3x 1 2) 1 = . 12 0,5 1 Kết luận: L = . 12 II – 1a Phương pháp: Chứng minh vn 1 q.vn , q không đổi, thoả mãn với  n N*. (2,0 đ) 5u 2u 2 2 1,5 Ta có v u u n 1 n u u u v  n N*. n 1 n 2 n 1 3 n 1 3 n 1 n 3 n Từ định nghĩa cấp số nhân. Ta có dãy số (v n) là một cấp số nhân với số hạng đầu 2 0,5 v1 = u2 – u1 = 3 và công bội q = .  3 II – 1b Phương pháp: Tìm công thức số hạng tổng quát un thông qua cấp số nhân (vn). (2,0 đ) Áp dụng công thức lim qn 0 với |q| < 1.
  25. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ câu a) ta có tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (vn) là n 2 3 1 n 3 n 0,5 v1 (1 q ) 2 Sn v1 v2 vn 9 1 1 q 2 3 1 3 Mặt khác ta có: v1 = u2 – u1. v2 = u3 – u2. v3 = u4 – u3. 0,5 vn - 2 = un - 1 – u n - 2. vn - 1 = un – un - 1. Cộng theo vế ta có v1 v2 vn 1 un u1 . Từ đó suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) là: 0,5 n 1 2 un Sn 1 u1 9 1 2006. 3 n 1 2 Do đó giới hạn limu lim 9 1 2006 9 2006 2015. n 0,5 3 Kết luận: lim un = 2015. II-2 Phương pháp: Áp dụng công thức nhân đôi, công thức nhân ba đối với tan. (2,0 đ) Điều kiện:  x, y R. 1 Nhận xét y = ± 1 không thoả mãn phương trình (1), x = ± , không thoả mãn 3 phương trình (2). 0,5 2y x 1 y2 (1) Vì vậy hệ phương trình tương đương với . 3x x3 (2) y 1 3x2 Đặt y = tan với ( ; ) . 2 2 2 tan Từ phương trình (1) ta có x 2 x tan 2 . 0,5 1 tan 3tan 2 tan3 2 Từ phương trình (2) ta có y = y tan 6 . 1 3tan2 2 Từ đó ta có phương trình: tan = tan 6 k 6 = + k , k Z. 0,5 5
  26. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do ( ; ) nên ta chọn được k = 0, k = ± 1, k = ± 2. 2 2 Vì vậy hệ phương trình cáo các nghiệm (0;0), 2 2 4 2 4 2 tan ;tan , tan ;tan , tan ;tan , tan ;tan 0,5 5 5 5 5 5 5 5 5 Kết luận: Hệ phương trình có 5 nghiệm (0;0), 2 2 4 2 4 2 tan ;tan , tan ;tan , tan ;tan , tan ;tan 5 5 5 5 5 5 5 5
  27. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn III-1 Phương pháp: Chứng minh SH  BC, CH  SB. (3,5 đ) * Gọi M là trung điểm của cạnh BC. 1,0 Do ABC đều, G là trọng tâm của ABC nên ta có AM  BC. Do SA  (ABC) nên AM là hình chiếu vuông góc của SM lên (ABC). Theo Định lí ba đường vuông góc ta có SM  BC. Mặt khác do H là hình chiếu vuông góc của O lên (SBC) nên OH  BC và OM  BC Suy ra HM  BC. S 1,0 Suy ra SH  BC (1) * Do ABC đều nên ta có CO  AB Do SA  (ABC) nên SA  OC. Từ đó suy ra OC  (SAB). Suy ra SB  OC. 1,0 Mặt khác OH  (SBC) OH  SB 3a K Từ đó ta có SB  (COH). Suy ra CH  SB (2) Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của SBC. C H A M O 0,5 2a B III-2 Phương pháp: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường (3,5 đ) thẳng d và đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P). 1,0 Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A lên (SBC). Do đó ta có OH // AK. Ta có đường thẳng AM là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AK lên (ABC). Vì vậy góc giữa đường thẳng OH và (ABC) bằng góc giữa đường thẳng AK và 1,0 (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng (AK, AM) bằng góc K· AM · · 0 · · 0 · · Do KAM AMS 90 và ASM AMS 90 nên KAM ASM 0,5 Xét SAM vuông tại A có AM = a 3 , SA = 3a. AM 3 Suy ra tan ·ASM tan ·ASM ·ASM 300 AS 3 1,0 Từ đó ta có góc (OH,(ABC)) = 300. Kết luận: (OH,(ABC)) = 300.
  28. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 Së gd & ®t b¾c ninh Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Tr­êng thpt quÕ vâ 1 ®éc lËp – tù do – h¹nh phóc ®Ò thi chän häc sinh giái M«n: To¸n – Khèi 11 (Thêi gian lµm bµi 150 phót(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1 (2 ®iÓm) 2 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2tan x cot x tan2 x sin 2x 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm x ( ; ) 8 4 4(sin4 x cos4 x) 4(sin6 x cos6 x) sin2 4x m . C©u 2 (2 ®iÓm) 1) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: x2 4x 3 2x2 3x 3 x 1 2x y 1 m 2) T×m m ®Ó hÖ: cã nghiÖm. 2y x 1 m C©u 3 (2 ®iÓm) Cho c¸c sè: 1, 2, 3, 4 1) Hái lËp ®­îc bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè trong ®ã cã hai ch÷ sè 1 vµ ba ch÷ sè cßn l¹i kh¸c nhau vµ kh¸c sè1 2) TÝnh tæng c¸c sè lËp ®­îc ë c©u 1). C©u 4 (3 ®iÓm) 1) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn (C) qua ®iÓm A(-1; -2) vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d : 7x y 5 0 t¹i ®iÓm M(1; 2). 2) Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A’B’C’. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm 1 M sao cho AM = AB. Gäi E lµ trung ®iÓm cña CA. 2 a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña l¨ng trô c¾t bëi mÆt ph¼ng (MEB’) CD AK b) Gäi D = BC (MEB’), K = AA’ (MEB’). TÝnh tû sè vµ . CB AA' C©u 5 (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y sin5 x 3cos x . Ghi chó: - Häc sinh kh«ng ®­îc sö dông tµi liÖu trong qu¸ tr×nh thi. - §Ò thi cã 01 trang.
  29. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n – thang ®iÓm ®Ò thi häc sinh giái cÊp tr­êng M«n: To¸n – líp 11 C©u Néi dung §iÓm 1 2,00 1(1,0 ®) +) §iÒu kiÖn 0,25 +) T×m ®­îc tanx = 1 hoÆc tanx = 0 0,25 0,5 +) Gi¶I ®óng vµ lo¹i nghiÖm ®óng. §S: x k 4 2(1,0 ®) +) §­a PT vÒ d¹ng: 2cos2 4x cos4x 2m 1 (1) 0,25 0,25 +) §Æt t = cos4x víi x ( ; ) t (-1; 0) 8 4 +) XÐt f(t) = 2t2 + t trªn (-1; 0) cã b¶ng biÕn thiªn Vµ PT (1) cã nghiÖm khi ®­êng th¼ng y = 2m +1 (song song hoÆc 0,25 trïng 0x )c¾t f(t) trªn (-1; 0) 1 +) §S: m ( ;1) 0,25 2 2 2,00 1(1,0 ®) 2 x 3 x 4x 3 0 0,25 +) §iÒu kiÖn: x 1 2x2 3x 1 0 1 x 2 +) Víi x=1 BPT hiÓn nhiªn ®óng suy ra x=1 lµ nghiÖm +) Víi x 3 suy ra BPT (x 3)(x 1) (x 1)(2x 1) x 1 0,25 chØ ra v« nghiÖm +) Víi x 2 suy ra BPT (1 x)(1 2x) (1 x)(3 x) 1 x . 0,25 1 ChØ ra nghiÖm x 2 x 1 +) KÕt luËn: BPT cã nghiÖm 1 x 2 0,25 2(1,0 ®) 2 u x 1 0 x u 1 +) §Æt 0,25 2 v y 1 0 y v 1 2u2 v 2 m +) §­a vÒ hÖ: ( ) 0,25 2 2v u 2 m
  30. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn +) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ ( ) cã nghiÖm m 2 Ta xÐt m 2hÖ cã nghiÖm hay ko u v 0 2 (I) 0,25 2u v 2 m BiÕn ®æi hÖ ( ) trë thµnh: 2u 2v 1 0 2 (II) 2u v 2 0 2 m +) XÐt hÖ (I): u=v ta ®­îc 2v2+v+2-m=0 cã P 0 víi m 2 2 PT lu«n cã nghiÖm v0 0 hÖ cã nghiÖm u=v=v0 suy ra hÖ ban ®Çu 2 0,25 cã x=y=vo +1 +) XÐt hÖ (II): . 3 2,0 ® 1(1,0 ®) +) Mçi sè cã 5 ch÷ sè gåm 2 sè 1 vµ 3 sè kh¸c lµ ho¸n vÞ 5 phÇn tö 1,1,2,3,4 do 2 sè 1 khi ho¸n vÞ vÉn ®­îc 1 sè vËy c¸c sè cÇn lËp lµ P 1,0 5 60 P2 2(1,0 ®) +) Sè cã 5 ch÷ sè cã d¹ng abcde S abcde 104.a 103.b 102.c 10.d e Mçi sè a cã 4! c¸ch chän bcde -> Mçi sè a 1,1,2,3,4 xuÊt hiÖn 4! lÇn a (1 1 2 3 4).24 264 T­¬ng tù b c d e 264 264.11111 VËy S 1466652 1,0 2! 4 3,0 ® 1(1,0 ®) +) ViÕt ®­îc PT ®­êng th¼ng ®i qua t©m I cña ®­êng trßn (C) lµ 0,25 x 1 7t tõ ®ã suy ra I(1+7t;2-t) y 2 t +) (C) tiÕp xóc víi d khi vµ chØ khi IM=R IM2=R2 R2=50t2 0,25 +) (C) cã d¹ng (x-1-7t)2+(y-2+t)2=50t2 0,25 +) A (C) t=-1. VËy (C): (x+6)2+(y-3)2=50 0,25 2(2,0 ®) a,(0,75) +) X¸c ®Þnh ®­îc ®iÓm D vµ suy ra ®­îc 2 ®o¹n giao tuyÕn DE vµ 0,25 DD’ +) X¸c ®Þnh ®­îc ®iÓm K; suy ra ®­îc ®o¹n gioa tuyÕn EK vµ KB’ 0,25 +) KÕt luËn ®­îc thiÕt diÖn lµ tø gi¸c DEKB’ b,(1,25) 0,25
  31. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AK MA 1 AK 1 +) XÐt tam gi¸c MBB’ cã BB' MB 3 AA' 3 0,5 1 +) Trong (ABC). Dùng EN // AB (N BC), khi ®ã EN= AB 0,25 2 DN NE 1 1 +) XÐt tam gi¸c DBM cã: DN BN 0,5 DB BM 3 2 CD 1 Suy ra D lµ trung ®iÓm CN. VËy CB 4 5 1,0 ® T×m Max y: y sin5 x 3.cos x sin4 x 3.cos x (1) 4 Ta chøng minh: sin x 3.cos x 3 víi x R (2) 0,25 3.(1 cos x) sin2 x 0 3.(1 cos x) (1 cos2 x)2 0 2 (1 cos x) 3 (1 cos x)(1 cos x) 0 (3) Theo B§T c«si: 1 (1 cos x)(1 cos x)(1 cos x) (2 2cos x)(1 cos x)(1 cos x) 2 0,25 2 B 1 4 32 3 2 3 27 §T (3) lu«n ®óng suy ra B§T (2) lu«n ®óng suy ra y 3,x 0,25 DÊu “=” cos x 1 x k2 . Max y= 3 T­¬ng tù: y sin5 x 3.cos x sin4 x 3.cos x , Min y 3,®¹t x k2 0,25
  32. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 SỞ GD & ĐT KIÊN GIANG ĐỀ THI HỌC KÌ II LỚP 11 NÂNG CAO TRƯỜNG THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1.(1.0 điểm) Tính các giới hạn sau a. A = b. B = Bài 2.(2.0 điểm) a. Cho Tính y'(x) b Cho Tính y'( ) c . Cho hàm số ( -1 là tham số) Tìm để . Bài 3.(1.0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại Bài 4.(2,5 điểm) a. Cho đường cong ( C) . Lập phương trình các tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d) : x - 3y + 5 = 0 b .Tìm trên đường cong ( C ) : y = - x3 + 2x2 + x - điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số góc lớn nhất
  33. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 5.(3,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc . Gọi O là tâm hình thoi ABCD, SO vuông góc với mặt đáy và . a. Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc nhau. b. Xác định và tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD). c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB. HẾT—
  34. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM LỚP 11 NÂNG CAO BÀI NỘI DUNG ĐIỂM 1.a (0,5 đ) 0,25 0,25 1.b (0,5 đ) B = = 0,25 0,25 2.a 0,25 (0,5 đ) 0,25 2.b y'( ) = 4 (0,5 đ) 0,25+0,25 2 c + (1,0 đ) 0,25 + 0,25
  35. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 0,25+0,25 + 3 (1,0 đ) 0,5 0,25 0,25 Ta thấy . Vậy hàm số không liên tục tại . 4.a + ĐK : ; y'= (1,5 đ) 0,25 + Hệ số góc của (d) là k = , TT y'.k = - 1 y' = -3 0,5 = - 3 + Với TT ( ) : y = -3x – 11 + Với TT ( ) : y = -3x – 3 0.25 đ 0.25 đ
  36. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 0.25 đ 4.b + Hệ số góc của tiếp tuyến với tại điểm (1,0 đ) 0,25+ 0.25 Suy ra . Vậy M ( ) 0,25+0.25 5 (3,5 đ) 0,5 5.a Ta có (1,0 đ) (hai đường chéo hình thoi) 0,25 ( 0,25 Suy ra , m à 0,25 0,25 Vậy 5 b Do nên OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD). (1,0 đ) 0,25 Góc giữa SA và (ABCD) là góc
  37. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ABD đều 0,25 Ta có 0,25+0,25 5.c Gọi E là hình chiếu vuông góc của O lên BC, K là hình chiếu vuông góc của O lên SE. Trong (SEF) dựng FH song song (1,0 đ) với OK cắt SE tại H Ta có có giao tuyến SE. 0,25 Suy ra và . Mặt khác Vậy Trong tam giác OBC có 0,25 0,25 . 0,25 v
  38. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN KHỐI 11 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài I: (4 điểm) Câu 1. Giải các phương trình sau: 1 1 a)Sin2 x 4 3(Sinx ) b)3Sin2 x 3SinxCosx 2Cos2 x 2 0 Sin2 x Sinx Câu 2. Tính các giới hạn sau: 1 2 3 n x2 16 a)Lim ; b) Lim n2 x 4 x 4 Bài II: (4 điểm) Câu 1. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) gồm 3 chữ số; b) lẻ gồm 3 chữ số khác nhau Câu 2. Tung hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của các biến cố: a) Có tổng số chấm bằng 7. b) Có tổng số chấm lẻ hoặc chia hết cho 3. Bài III: (3 điểm) Cho dãy số (Un), với u1 = -3; un+1 = un+2; a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số đó; b) Chứng minh un= 2n – 5 bằng phương pháp qui nạp. c) Chứng minh dãy số đã cho là một cấp số cộng. Tìm công sai d và tính S10. Bài IV: (2 điểm) Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức NiuTơn của (1 + x) n, biết rằng tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng 1024. Bài V: (7 điểm) Cho hình thang ABCD với AB//CD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB và M là một điểm tùy ý thuộc SD. 1) Xác định giao tuyến d của 2 mp (SAD) và (SBC). 2) Tìm giao điểm N của SC và mp (MIJ); giao điểm K của IM và mp (SBC). 3) Chứng minh IM, JN và d đồng quy. 4) Tìm quỹ tích điểm P là giao của IN và JM khi M di chuyển trên cạnh SD. HẾT
  39. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n – thang ®iÓm ®Ò thi häc sinh giái cÊp tr­êng M«n: To¸n – líp 11 Bài Nội dung Điểm I 4 Câu 1 2 a ĐK: x K (K Z) 1 Đặt t = Sinx ; t 2; Sinx 0,25 Đưa về t2 – 3t + 2 = 0 t = 1 (Loại) hoặc t = 2 0,25 1 Sinx =2 x = K Sinx 2 0,5 b Ta có Sin2x + Cos2x =1 Pt Sin2x - 3 CosxSinx = 0 0,5 Sinx 0 Sinx 3Cosx 0 x K V x = K 0,5 3 Câu 2 2 a Ta có 1 + 2 + 3 + n = n(n 1) 0,5 2 1 2 3 n n(n 1) 1 Do đó Lim Lim 0,5 n2 2n2 2 b x2 16 (x 4)(x 4) Ta có x 4 x 4 x 4 0,5 x2 16 Do đó Lim lim (x 4) 8 x 4 x 4 x 4 0,5 II 4 Câu 1 2 a Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm Có 6 cách chọn chữ số hàng chục Có 6 cách chọn chữ số hàng đơn vị 0,5 Do đó có 6.6.6 = 216 số có 3 chữ số 0,5 b Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị Có 5 cách chọn chữ số hàng chục Có 4 cách chọn chữ số hàng trăm 0,5 Do đó có 5.4.3 số lẻ có 3 chữ số khác nhau 0,5 Câu 2 2 Không gian mẫu  , n(  ) = 36 0,25
  40. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a A: Tổng số chấm bằng 7; A = {(1,6); (2,5); (3, 4); (4,3); (5,2); (6,1)} n(A) = 6 0,25 P(A) = 1 6 0,5 b B: Tổng số chấm lẻ hoặc chia hết cho 3; B = {(1,2); (1,5); (1,6); (2,1); (2,3); (2,4); (2,5); (3,2); (3,3); (3,4); (3,6); (4,2); (4,3); (4,5); (5,1); (5,2); (5,4); (5,6); (6,3); (6,5); (6,6)} n(B) = 21 0,5 P(B) = 7 12 0,5 III 3 a -3; -1; 1; 3 ; 5 1 b - Với n = 1 ta có u1 =2.1 – 5 = - 3 đúng. 0,5 - Giả sử uk = 2k – 5 với k 1. Cần chứng minh uk+1= 2(k+1) – 5. Thật vậy ta có un+1 = un + 2 (gt) Do đó uk+1= uk + 2 = 2k – 5 + 2 = 2(k+1) – 5. Vậy theo PPQN toán học un = 2n - 5 0,5 c Ta có un+1 - un = 2, do đó (un) là một cấp số cộng, d=2. 0,5 10(10 1) S10=10.(-3) + .2 = 60 2 0,5 IV 2 n n 0 1 2 n Ta có (1+1) =2 = Cn Cn Cn Cn (*). 0,5 n 0 1 2 2 n n Nhị thức (1+x) =Cn Cn.x Cn .x Cn .x 0 1 2 n 0,5 Theo giả thiết ta có Cn Cn Cn Cn =1024 Suy ra 2n = 1024 = 210 (theo (*)) 0,5 n = 10. Hệ số của x5 trong khai triển trên là C5 =252 10 0,5 V 7 Câu 1 - (SAD)  (SBC) = SL với L là giao của AD và BC. d  SL 1 - Kẻ MN // IJ N (MIJ)  SC và IM  JN = {K} 1 Suy ra K IM  (SBC) Câu 2 - MI cắt NJ tại K K = MI  (SBC). 1 Câu 3 - K d, do đó MI, NJ, d đồng quy tại K 1 Câu 4 - O = AC  BD. Quỹ tích P là đoạn thẳng SO 3
  41. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN KHỐI 11 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài I: (4 điểm) Câu 1. Giải các phương trình sau: 1 1 a)Sin2 x 4 3(Sinx ) b)3Sin2 x 3SinxCosx 2Cos2 x 2 0 Sin2 x Sinx Câu 2. Tính các giới hạn sau: 1 2 3 n x2 16 a)Lim ; b) Lim n2 x 4 x 4 Bài II: (4 điểm) Câu 1. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) gồm 3 chữ số; b) lẻ gồm 3 chữ số khác nhau Câu 2. Tung hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của các biến cố: c) Có tổng số chấm bằng 7. d) Có tổng số chấm lẻ hoặc chia hết cho 3. Bài III: (3 điểm) Cho dãy số (Un), với u1 = -3; un+1 = un+2; d) Viết 5 số hạng đầu của dãy số đó; e) Chứng minh un= 2n – 5 bằng phương pháp qui nạp. f) Chứng minh dãy số đã cho là một cấp số cộng. Tìm công sai d và tính S10. Bài IV: (2 điểm) Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức NiuTơn của (1 + x) n, biết rằng tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng 1024. Bài V: (7 điểm) Cho hình thang ABCD với AB//CD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB và M là một điểm tùy ý thuộc SD. 5) Xác định giao tuyến d của 2 mp (SAD) và (SBC). 6) Tìm giao điểm N của SC và mp (MIJ); giao điểm K của IM và mp (SBC). 7) Chứng minh IM, JN và d đồng quy. 8) Tìm quỹ tích điểm P là giao của IN và JM khi M di chuyển trên cạnh SD. HẾT
  42. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n – thang ®iÓm ®Ò thi häc sinh giái cÊp tr­êng M«n: To¸n – líp 11 Bài Nội dung Điểm I 4 Câu 1 2 a ĐK: x K (K Z) 1 Đặt t = Sinx ; t 2; Sinx 0,25 Đưa về t2 – 3t + 2 = 0 t = 1 (Loại) hoặc t = 2 0,25 1 Sinx =2 x = K Sinx 2 0,5 b Ta có Sin2x + Cos2x =1 Pt Sin2x - 3 CosxSinx = 0 0,5 Sinx 0 Sinx 3Cosx 0 x K V x = K 0,5 3 Câu 2 2 a Ta có 1 + 2 + 3 + n = n(n 1) 0,5 2 1 2 3 n n(n 1) 1 Do đó Lim Lim 0,5 n2 2n2 2 b x2 16 (x 4)(x 4) Ta có x 4 x 4 x 4 0,5 x2 16 Do đó Lim lim (x 4) 8 x 4 x 4 x 4 0,5 II 4 Câu 1 2 a Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm Có 6 cách chọn chữ số hàng chục Có 6 cách chọn chữ số hàng đơn vị 0,5 Do đó có 6.6.6 = 216 số có 3 chữ số 0,5 b Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị Có 5 cách chọn chữ số hàng chục Có 4 cách chọn chữ số hàng trăm 0,5 Do đó có 5.4.3 số lẻ có 3 chữ số khác nhau 0,5 Câu 2 2 Không gian mẫu  , n(  ) = 36 0,25
  43. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a A: Tổng số chấm bằng 7; A = {(1,6); (2,5); (3, 4); (4,3); (5,2); (6,1)} n(A) = 6 0,25 P(A) = 1 6 0,5 b B: Tổng số chấm lẻ hoặc chia hết cho 3; B = {(1,2); (1,5); (1,6); (2,1); (2,3); (2,4); (2,5); (3,2); (3,3); (3,4); (3,6); (4,2); (4,3); (4,5); (5,1); (5,2); (5,4); (5,6); (6,3); (6,5); (6,6)} n(B) = 21 0,5 P(B) = 7 12 0,5 III 3 a -3; -1; 1; 3 ; 5 1 b - Với n = 1 ta có u1 =2.1 – 5 = - 3 đúng. 0,5 - Giả sử uk = 2k – 5 với k 1. Cần chứng minh uk+1= 2(k+1) – 5. Thật vậy ta có un+1 = un + 2 (gt) Do đó uk+1= uk + 2 = 2k – 5 + 2 = 2(k+1) – 5. Vậy theo PPQN toán học un = 2n - 5 0,5 c Ta có un+1 - un = 2, do đó (un) là một cấp số cộng, d=2. 0,5 10(10 1) S10=10.(-3) + .2 = 60 2 0,5 IV 2 n n 0 1 2 n Ta có (1+1) =2 = Cn Cn Cn Cn (*). 0,5 n 0 1 2 2 n n Nhị thức (1+x) =Cn Cn.x Cn .x Cn .x 0 1 2 n 0,5 Theo giả thiết ta có Cn Cn Cn Cn =1024 Suy ra 2n = 1024 = 210 (theo (*)) 0,5 n = 10. Hệ số của x5 trong khai triển trên là C5 =252 10 0,5 V 7 Câu 1 - (SAD)  (SBC) = SL với L là giao của AD và BC. d  SL 1 - Kẻ MN // IJ N (MIJ)  SC và IM  JN = {K} 1 Suy ra K IM  (SBC) Câu 2 - MI cắt NJ tại K K = MI  (SBC). 1 Câu 3 - K d, do đó MI, NJ, d đồng quy tại K 1 Câu 4 - O = AC  BD. Quỹ tích P là đoạn thẳng SO 3
  44. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 11. MÔN: TOÁN Thời gian 120 phút. Câu 1: (2 điểm ) 1. Giải phương trình : 3sin x sin x 2sin 5x 0 . 3 6 6 2. Tính các góc của ABC biết 3A A C A B 3 sin sin sin 2 2 2 2 Câu 2: (2 điểm ) U1 1 1. Cho dãy số (Un) có 2 1 U n 1 U n n n 1 2 Tìm limU . n n 2 x 4 x 6 2. Tìm lim x 3 x x x Câu 3: ( 1 điểm) Trên đoạn [0; 1], phương trình 8x 1 2x2 8x4 8x2 1 1 có bao nhiêu nghiệm? Câu 4: ( 2 điểm) 1. Cho ba số x, y, z dương thoả mãn x2 y2 z 2 xyz. x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . x2 yz y2 xz z 2 xy n 2. Chứng minh rằng C1 3C 3 5C 5 2n 1 C 2n 1 .4n ( n N, n 1 2n 2n 2n 2n 2 ). Câu 5: ( 3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vuông góc với BM. 1. Tìm tập điểm H khi M thay đổi trên CD. 2. Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác ABH lớn nhất.
  45. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 Do sin x cos x nên pt đã cho trở thành: 6 3 3sin x cos x 2sin 5x 0 0.25 3 3 6 2 sin x cos cos x sin  2sin 5x 0 3 6 3 6 6 sin x sin 5x 0 0.25 2 6 2sin 3x cos 2x 0 6 3 sin 3x 0 0.25 6 cos 2x 0 3 k x k Z 18 3 1 0.25 l x l Z 12 2 2 3A 3A 0.25 Do sin cos nên bài toán trở thành : 2 2 2 3A 2A B C B C 3 cos 2sin cos 2 2 4 4 2 2 3A 3A B C 3 1- 2sin 2sin cos 4 4 4 4 4 2 2 3A 3A B C 1 2 B C 1 1 2 B C 2 sin sin cos cos cos 0 4 4 4 4 4 4 4 2 2 4 2 3A 1 B C 1 2 B C 2 sin cos sin 0 (*) 0.25 4 4 2 4 2 4 2 3A 1 B C 2 B C Do sin cos 0 ; sin 0 nên VT của (*) 4 4 2 4 4 không âm.
  46. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn B C sin 0 4 0.25 Suy ra (*) xảy ra dấu “=” 3A 1 B C sin cos 0 4 4 2 4 0.25 A 1000 Giải hệ phương trình trên ta được 0 B C 40 1 1 1 Do U U 2 nên U 2 U 2 với n 1. n 1 n 2n n 1 n 2n 0.25 1 U 2 U 2 2 1 2 1 U 2 U 2 Khi đó 3 2 22 1 0.25 U 2 U 2 n n 1 2n 1 1 1 1 U 2 U 2 n 1 2 22 2n 1 Suy ra 1 1 1 1 0.25 = 1+ 2 n 1 2 1 n 2 2 2 2 1 Vậy limU lim 2 1 2 2 n n n n 2 0.25 2 1 0.25 Đặt y . Do x + nên y 0. Bài toán trở thành x 0.25 0.25 0.25
  47. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 4y 3 1 6y I lim y 0 y2 1 4y 1 2y 3 1 6y 1 2y lim y 0 2 2 y y 4y2 y2 12 8y lim y 0 2 2 y 1 4y 1 2y y2 3 (1 6y)2 1 2y 3 1 6y 1 2y 4 12 8y lim y 0 2 1 4y 1 2y 3 (1 6y)2 1 2y 3 1 6y 1 2y 4 12 2 2 3 0.25 Do x 0;1 nên đặt x sint , suy ra t 0; . Pt (1) đã cho trở thành: 2 8sint 1 2sin 2 t 8sin 4 t 8sin 2 t 1 1 8sint.cos2t.cos4t 1 (2) 0.25 Nhận thấy cost = 0 không phải là nghiệm, ta có: (2) 8cost.sint.cos2t.cos4t cost sin8t cost k2 t , k Z 18 9 l2 3 t , l Z 0.25 14 7 Vì t 0; cho nên k= 0, k = 1, l = 0, l = 1 thoả mãn. 2 Mặt khác: số nghiệm của pt (2) với t 0; bằng số nghiệm của pt (1) 2 với x 0;1 . Vậy, trên đoạn 0;1 pt (1) c0s bốn nghiệm 5 5 x sin ; x sin ; x sin ; x sin . 18 18 14 18 0.25 1 *Với x, y, z ta có: x2 y2 z 2 xy yz zx .(1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 4 *Áp dụng BĐT Côsi và BĐT (1), kết hợp giả thiết x2 y2 z 2 xyz , 0.25 ta có
  48. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x y z A 2 x2.yz 2 y2.xz 2 z 2.xy 1 1 1 1 0.25 2 y. z z. x x. y 1 1 1 1 1 yz zx xy . 2 x y z 2 xyz 1 x2 y2 z 2 1 . 0.25 2 xyz 2 1 Nhận thấy A x y z 3. 2 1 0.25 Vậy max A x y z 3 2 2 2n 2n 1 3 5 2n 1 0.25 Ta thấy 1 x 1 x 2(C2n C2n C2n C2n ) . Lấy đạo hàm hai vế : 2[C1 3C 3 x2 5C 5 x4 2n 1 C 2n 1 x 2n 1 ]= 2n 1 x 2n 1 2n 1 x 2n 1 2n 2n 2n 2n 0.25 Cho x = 1, ta được 1 3 5 2n 1 2n 1 2[C2n 3C2n 5C2n 2n 1 C2n ]= 2n.2 n 0.25 [C1 3C 3 5C 5 2n 1 C 2n 1 ]= .4n. 2n 2n 2n 2n 2 0.25
  49. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 S A K D M H B C Do SA  (ABCD) nên AH là hình chiếu của SH trên (ABCD), mà BM  AH (gt) BM  AH. 0.25 N luôn nhìn AB dưới một góc vuông tập hợp điểm H là đường tròn 5 đường kính AB thuộc mp(ABCD). 0.5 Giới hạn tập hợp: Khi M  C thì H  B (chứng minh được BC  (SAB), khi M  D thì H  O ( O là tâm hv ABCD). Vậy quĩ tích điểm H là cung BO của đường tròn nói trên. 0.5 Phần đảo : 0.25 2 Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1 Diện tích tam giác ABH là S .AB.HK . 2 Smax HK max 0.25 Trong AHB . gọi ·ABM ( 0 900 ). Khi đó AH.BH AB.sin .AB.cos HK 0.75 AB AB AB.sin 2 AB 2 2 AB Nhận thấy HKmax sin 2 1 2 = 450 0.25 Vậy diện tích tam giác ABH lớn nhất khi M  D. 0.25
  50. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Trường THPT Lộc Bình MÔN :TOÁN Thời gian: 180 phút( không kể thời gian giao đề) CÂU 1: (3 điểm ) Giải bất phương trình sau: x x 1 6x 1 CÂU 2 : (2 điểm) Cho a, b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm: a2 x2 a2 b2 c2 x b2 0 CÂU 3: ( 5 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác sau: cos 2 2x cos 2 3x sin 2 4x sin 2 5x 2) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc của nó thoả mãn: sin C 2cos A sin B CÂU 4: ( 2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 22n 1 3n 4 chia hết cho 9. CÂU 5: ( 2 điểm) Cho hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. a) Tìm quỹ tích những điểm M sao cho: 2MA MB MC 0 b) Tìm quỹ tích những điểm N sao cho: 3AM AC 2AB 0 CÂU 6: ( 4 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh rằng: mp(A’BD)// mp(B’CD’) b)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (A’BCD’) và (BDD’B’). c) Xác định thiết diện của hình hộp đã cho khi cắt bởi mặt phẳng đi qua điểm M thuộc đoạn AB và song song với mặt phẳng (ACC’) CÂU 7: ( điểm) Cho ba số a, b, c khác không thoả mãn đồng thời
  51. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a.b.c 0 ab bc ca 0 1 1 1 0 ab bc ca Chứng minh rằng cả ba số đều âm. . Hết Đáp án câu Đáp án điểm 1 x 0 1 Điều kiện: x 1 0 x 6 1 6x 1 0 1 x 6 x x 1 6x 1 1 2 x x 2x 1 1 x 6 1 5 13 x x 2 6 3x 2 5x 1 0 1 2 Do a > 0 nên a2 x2 a2 b2 c2 x b2 0 (1) là pt bậc 2. Ta có: (a 2 b 2 c 2 ) 2 4a 2b 2 a b c a b c a c b (b c a) 0 Vì (a+b+c)>0, (a+b-c)>0, (a+c-b)>0, (b+c-a)>0 2 vậy pt (1) vô nghiệm. 3 1) 1 2 1
  52. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 cos 4x 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x cos 2 2x cos 2 3x sin 2 4x sin 2 5x 2 2 2 2 cos 4x cos6x cos8x cos10x 0 4cos x cos7x cos 2x 0 k x 4 7 cos7x 0 k cos 2x 0 x 4 2 1 cos x 0 x k 2 2) Ta có sin C 2cos A sin C 2sin B cos A sin(A B) 2sin B cos A sin B SinAcos B sin B cos A 2sin B cos A sin(A B) 0 A B k Do A , B là các góc của tam giác nên k = 0 , suy ra A=B Vậy tam giác ABC là tam giác cân. 4 2n 1 Đặt U n 2 3n 4 Với n= 1 : U1 99 (đúng) giả sử ta có U 22k 1 3k 49 k 1 2k 1 chứng minh U k 1 2 3(k 1) 49 2k 1 2k 1 Thật vậy: U k 1 2 3(k 1) 4 4(2 3k 4) 9k 9 4U k 9(k 1)9 1 Vậy 22n 1 3n 4 chia hết cho 9. 5 a) Gọi I là trung điểm của BC: MB MC 2MI 2MA MB MC 0 MA MI 0 1 Suy ra M là trung điểm của doạn IA. Ta có IM IA nên có phép vị tự 2 V 1 biến A thành M. Do A thay đổi trên (O) nên quỹ tích M là ảnh của I , 2 1 (O) qua V 1 . I , 2 b) Lấy điểm J sao cho : JC 2JC 0 AC 2AB AJ JC 2(AJ JB) 3AJ (JC 2JB) 3AJ 3AN AC 2AB 0 3AN 3AJ 0 Suy ra A là trung điểm của NJ.Quỹ tích N là ảnh của (O) qua V J ,2 1 6
  53. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A' BD (B'CD') A' B // CD', BD // B' D' 1 a) (A' BD) //(B'CD') (A' B  BD)  (A' BD) (CD'B' D')  (B'CD') b) A' BCD'  BDD'B' BD' 1 c) Gọi là mặt phẳng qua M, song song với mp(ACC’). Vì //(ACC’) nên  (ABCD) MN, MN // AC, N BC ( )  (BCC' B') NP, NP // CC', P B'C' 2  (A' B'C' D') PQ, PQ // A'C',Q A' B'  A' BB' A' MQ. Vậy thiết diện là tứ giác MNPQ 7 a.b.c 0(1) ab bc ca 0(2) 1 1 1 0(3) ab bc ca Từ (1) suy ra a,b,c có một số âm.Giả sử a 0 Nếu b,c cùng dương, 1 1 1 a b c 0 0 a b c 0 a (b c) a(b c) (b c) 2 ab bc ca abc ab bc ca b 2 bc c 2 0 trái giả thiết (2) nên b,c cùng âm. Vậy a,b,c cùng âm. 2
  54. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 Së gi¸o dôc - ®µo t¹o h¶I phßng ®Ò thi häc sinh giái Tr­êng thpt trÇn nguyªn hÃn M«n to¸n líp 11- Thêi gian lµm bµi : 150’ Bµi 1( 4,0 ®iÓm ) 6x 4 1, Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 2x 4 2 2 x x2 4 2, Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau : 2005 2 cos( x) 2 3 tan y 2 (x, y lµ c¸c Èn ) cos x 1 tan2 y Bµi 2 (4,0 ®iÓm ) Cho hµm sè f (x) x4 ax3 bx2 cx d,(a,b,c,d R) BiÕt f (1) 10 , f (2) 20 , f (3) 30 f (12) f ( 8) H·y tÝnh 25 10 Bµi 3 (4,0 ®iÓm ) Cho d·y sè (un ) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau u 1 1 1 (n = 1,2,3,4, ) u u u2 n 1 n 2009 n 1, Chøng minh lim un n u u u u 2, T×m lim( 1 2 3 n ) n u2 u3 u4 un 1 Bµi 4 (4,0 ®iÓm ) 1 1 1 1 Cho ba sè d­¬ng x,y,z tho¶ m·n x y z xyz 2 x 2 y z 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P 1 x 1 y z 1 Bµi 5 (4,0 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ®Òu ABC , 1, M lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c sao cho MA2 MB2 MC 2 . H·y tÝnh gãc B· MC 2, Mét ®iÓm S n»m ngoµi (ABC ) sao cho tø diÖn SABC ®Òu , gäi I, K lµ trung ®iÓm cña c¸c
  55. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn c¹nh AC vµ SB , Trªn ®­êng th¼ng AS vµ CK ta chän c¸c ®iÓm P,Q sao cho PQ// BI TÝnh ®é dµi PQ biÕt c¹nh cña tø diÖn cã ®é dµi b»ng 1 Së gi¸o dôc - ®µo t¹o h¶I phßng ®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái Tr­êng thpt trÇn nguyªn h·n M«n to¸n líp 11- Bµi Néi dung ®iÓm Bµi 1 6x 4 2.0 ® 1, Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2x 4 2 2 x (1) (4®) x2 4 §iÒu kiÖn 2 x 2 6x 4 6x 4 Khi ®ã : (1)  2 0,5® 2x 4 2 2 x x 4  2 x 3 2 0,5® 2x 4 2 2 x x 4 (2) 2 x 3 0,5® 4 2(2 x)(2 x) (2 x)(x 4) 0 2 x 3 2 x(4 2(2 x) (x 4) 2 x) 0 0,5® 2 x 3 x 2 2009 2,0 ® 2 cos( x) 2 3 tan y 2, Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2 (2) cos x 1 tan2 y  x k 2 §k ( k,m Z ) y m 2 0,5® 2009 Ta cã cos( x) cos(1004 x) sin x 2 2 2 tan y  Vµ sin 2y 1 tan2 y
  56. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn VËy (2) 2 sin x 3 sin 2y cos x   0,5® 3 sin 2y cos x sin x 2 (3)   * NÕu sin 2y 1 ( 3 sin 2y)2 1 22 nªn ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm * NÕu sin 2y 1 y n ,n Z 0,5® 4 th× ta cã pt (3) cos(x ) 1 x 2n' ,n' Z 6 6  * NÕu sin 2y 1 y n ,n Z  4 5 th× ta cã pt (3) cos(x ) 1 x 2n' ,n' Z 6 6 Ph­¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm lµ 0,5® 5 x 2n' x 2n' 6 6 hoÆc  y n y n 4 4 Bµi 2 Cho hµm sè f (x) x4 ax3 bx2 cx d,(a,b,c,d R) 4 ® (4®) BiÕt f (1) 10 , f (2) 20 , f (3) 30 f (12) f ( 8) H·y tÝnh 25 10 §Æt g(x) f (x) 10x 1® Ta cã g(1) g(2) g(3) 0 1® Nªn g(x) (x 1)(x 2)(x 2)(x x ) 0 1® VËy f (x) (x 1)(x 2)(x 3)(x x0 ) 10x f (12) f ( 8) 1® 25 2009 10
  57. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 3 Cho d·y sè (un ) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau 2 ® (4®) u 1 1 1 (n = 1,2,3,4, ) u u u2 n 1 n 2009 n 1, Chøng minh lim un n 0,5® Ta cã 1 u1 u2 u3 un vËy (un) lµ d·y t¨ng , gi¶ sö bÞ chÆn trªn 0,5® th× ta cã lim un a 1 n 2 2 un a 0,5® Suy ra lim un 1 lim( un ) a a a 0 (kh«ng ®óng) n n 2009 2009 0,5® VËy lim un n Cho d·y sè (un ) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau u 1 1 1 (n = 1,2,3,4, ) u u u2 n 1 n 2009 n u u u u 2, T×m lim( 1 2 3 n ) n u2 u3 u4 un 1 2 un un 1 1 Ta cã un 1 un 2009( ) 0,5® 2009 un 1 un un 1 VËy ta cã u u u u 1 1 1 2 3 n 2009( ) 0,5® u2 u3 u4 un 1 u1 un 1 1 2009(1 ) 0,5® un 1 u u u u 1 lim( 1 2 3 n ) lim 2009(1 ) 2009 n n 0,5® u2 u3 u4 un 1 un 1 Bµi 4 1 1 1 1 4,0 ® Cho ba sè d­¬ng x,y,z tho¶ m·n (1) (4,0®) x y z xyz 2 x 2 y z 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P 1 x 1 y z 1 Ta cã A, B,C (0; ), A B C th×  0,5® A B B C C A  tan tan tan tan tan tan 1  2 2 2 2 2 2 Theo gi¶ thiÕt (1) x. y y. z z. x 1 0,5®
  58. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A B C 0,5® ta ®Æt x tan , y tan , z tan víi 2 2 2 A, B,C (0; ), A B C 0,5® Ta cã P sin A sin B cosC 0,5® C A B C 2cos cos 2cos2 1 0,5® 2 2 2 C 1 A B 1 A B 3 2(cos cos )2 1 cos2 2 2 2 2 2 2 0,5® 2 C 3 3 VËy Ma x P = Khi 2 A B 6 0,5® 2 3 x y tan2 12 2 3 z 3 Bµi 5 Cho tam gi¸c ®Òu ABC , 2,0 ® (4,0®) 1, M lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c sao cho MA2 MB2 MC 2 . H·y tÝnh gãc B· MC A M’ M B C  Dïng phÐp quay t©m C gãc quay th× ta cã 3 0,5® C C  B A M M ' VËy CMB CM ' A CMB CM ' A C· MB C· M ' A 0,5® Ta cã MB = M’A, MC = M’C = MM’, VËy MB2 + MC2 = MA2 Suy ra M’A2 + MM’2 = MA2 · 0 · 0 · 0 0,5® AM 'M 90 ,CM 'M 60 BMC 150 0,5® 2, Mét ®iÓm S n»m ngoµi (ABC ) sao cho tø diÖn SABC ®Òu , gäi I, K lµ 2,0 ® trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AC vµ SB , Trªn ®­êng th¼ng AS vµ CK ta chän c¸c ®iÓm P,Q sao cho PQ// BI .TÝnh ®é dµi PQ biÕt c¹nh cña tø diÖn cã ®é dµi
  59. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b»ng 1 S P E Q K A I C B F Ta cã PQ lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng : MÆt ph¼ng chøa CK vµ song song víi BI vµ mÆt ph¼ng chøa SA vµ song song víi BI 0,5® Trong mÆt ph¼ng (SBI) kÎ KE / / BI, CE c¾t SA ë P  0,5® Qua A kÎ A F // BI (F thuéc BC) , CK c¾t S F t¹i Q  VËy PQ // BI  SP 1 Ta cã I, E lµ c¸c trung ®iÓm cña AC vµ SI 0,5® SA 3  PQ SP 1 1  Mµ PQ AF AF SA 3 3 Ta cã AF 2BI 3  0,5® 3  VËy PQ 3 Chó ý : -Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng cho ®iÓm tèi ®a tõng phÇn - Cã g× s¬ xuÊt mong c¸c thÇy c« söa dïm – Xin c¶m ¬n - Ng­êi ra ®Ò : Mai ThÞ Th×n
  60. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 së gd - ®t hµ néi ®Ò thi häc sinh giái tr­êng thpt phó xuyªn a M«n: To¸n , Líp 11 Thêi gian lµm bµi 120 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò C©u 1: (4 ®iÓm) 2 u 1 3 Cho d·y sè (Un) x¸c ®Þnh bëi : 2(n 1) u u ;n 1;n Z n 1 3n n a/ X¸c ®Þnh sè h¹ng tæn qu¸t cña d·y sè (Un). u u u b/ TÝnh tæng S u 2 3 n theo n. 1 2 3 n C©u 2: (5 ®iÓm) 2 2 2 0 1 n n a/ Chøng minh r»ng : Cn Cn Cn C2n (n N). b/ Tõ c¸c sè 1;2;3;4;5;6;7. LËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau? TÝnh tæng c¸c sè ®ã? C©u 3: (5 ®iÓm) a/ Cho x2 + y2 - 2x - 4y + 4 =0 . Chøng minh r»ng: | x 2 y 2 2 3xy 2(1 2 3)x (4 2 3)y 3 4 3 | 2 b/ Cho ph­¬ng tr×nh : 4(cosx – sinx) + sin2x = m. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. C©u 4: (6 ®iÓm) Cho h×nh chãp SABC, O lµ mét ®iÓm bªn trong tam gi¸c ABC. Qua O vÏ nh÷ng ®­êng th¼ng lÇn l­ît song song víi SA, SB, SC c¾t c¸c mÆt SBC,SCA,SAB theo thø tù t¹i A’, B’, C’. a/ ChØ ra c¸ch dùng c¸c ®iÓm A’, B’, C’. OA' OB' OC' b/ Chøng minh r»ng tæng cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi khi O di ®éng SA SB SC trong tam gi¸c ABC. c/ X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm O ®Ó tÝch : OA’.OB’.OC’ cã gi¸ trÞ lín nhÊt. HÕt
  61. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn së gd - ®t hµ néi ®¸p ¸n – thang ®iÓm tr­êng thpt phó xuyªn a kú thi Häc sinh giái M«n: To¸n , Khèi 11 C©u ý §¸p ¸n §iÓm 4 U 2 U Un Ta cã: n 1 n ®Æt V ; n N*. 0.5 n 1 3 n n n (Vn) lµ mét cÊp sè nh©n víi c«ng béi q=2/3; V1= U1=2/3 0.5 1.1 n-1 n Vn = V1.q =(2/3) . 0.5 1 n.2n U = 0.5 n 3n 1 q n S = V1+V2+ .+Vn= V . 1 1 1 q 1.2 2n 2 1 S = n 1 3 5 n 0 1 2 2 n n (1 x) Cn Cn x Cn x Cn x . n 0 n 1 n 1 2 n 2 n (1 x) Cn x Cn x Cn x Cn . 1 2.1 2n 0 1 2 2 n n 2n 2n (1 x) C2n C2n x C2n x C2n x C2n x . Sö dông : (1+x)n.(1+x)n = (1+x)2n. víi mäi x. 1.5 §ång nhÊt hÖ sè xn ë 2 vÕ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 5 2 Sè c¸c sè lËp ®­îc lµ: A 7 = 2520. 1 C¸c sè 1;2;3;4;5;6;7 b×nh ®¼ng nhau lªn sè lÇn xuÊt hiÖn cña chóng ë c¸c hµng ®¬n vÞ, ., chôc ngh×n lµ nh­ nhau vµ b»ng: 0.5 2.2 2520/7 = 360 lÇn. Tæng c¸c ch÷ sè ë mçi hµng lµ: 0.5 360(1+2+3+4+5+6+7)=10080 Tæng cÇn t×m lµ:10080(1+101+102+103+104) = 111.998.880 0.5 5 gt (x-1)2+(y-2)2 = 1 tån t¹i sè a : x-1=sina ; y-2=cosa. 0.5 | x2 y 2 2 3xy 2(1 2 3)x (4 2 3)y 3 4 3 | 1 2 2 3.1 =| (x-1) - (y-2) - 2 3 (y-2)(x-1)| 3 =| sin2a- cos2a- 2 3 sinacosa | =| cos2a+ 3 sin2a | 2 (lu«n ®óng) 1 VËy b®t ®­îc chøng minh. §Æt: t = cosx- sinx, ®iÒu kiÖn - 2 t 2 3.2 1 Khi ®ã pt -t2+4t+1=m.
  62. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn XÐt hµm sè y = - t2+4t+1 trªn ®o¹n [- 2 ; 2 ] B¶ng biÕn thiªn: 1 m (- ∞ ;-1- 4 2 )  (-1+4 2 ;+∞) tho¶ m·n ycbt. 0.5 6 0.5 1 Gäi M = AO  BC SM= (SAO)  (SBC). Gäi d lµ ®­êng th¼ng qua O // SA. A’=SM  d. 1.5 Lµm t­¬ng tù ta dùng ®­îc B’; C’. OA' MO OB' NO OC' LO ; ; 1 4 SA MA SB NB SC LC MO S NO S LO S OBC ; OAC ; OAB 0.5 MA S NB S LC S 2 ABC ABC ABC MO NO LO S S S OBC OAC OAB 1 0.5 MA NB LC S ABC OA' OB' OC' 1 0.5 SA SB SC OA' OB' OC' 0A'.OB'.OC' 1 33 0.5 SA SB SC SA.SB.SC 1 OA'.OB'.OC' SA.SB.SC 27 0.5 3 1 Max(OA'.OB'.OC') SA.SB.SC 27 OA' OB' OC' 1 MO NO LO 1 DÊu “=” x¶y ra khi: SA SB SC 3 MA NB LC 3 0.5 O lµ träng t©m tam gi¸c ABC.
  63. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu) C©u 1: sin3 x.sin 3x cos3 x.cos3x 1 1)Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1) tan(x ) tan(x ) 8 6 3 2)Giải bất phương trình sau: x2 x 6 3 x 2 x2 5x 3 0 x 3 2 x2 10 C©u 2: Cho các tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10}, , trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hợp ngay trước nó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị. Gọi Sn là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n. Tính S999. u1 2012 Câu 3 Cho dãy số (u ) xác định như sau: n 2 (n N*) un 1 2012un un u u u u Tìm lim( 1 2 3 n ). u2 u3 u4 un 1 Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. P và Q là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AD sao 2 3 cho AP AB;AQ AD. I và J là hai điểm lần lượt thuộc đoạn B’Q và A’P sao cho IJ song 3 4 IB' song với AC. Hãy xác định tỉ số . QB' Câu 5 a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a 2 b2 c2 S . (ab 2)(2ab 1) (bc 2)(2bc 1) (ac 2)(2ac 1) b) Cho a, b, c 0 và a2 b2 c2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 P 1 b2 1 c2 1 a2
  64. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN THI HSG Câu Nội dung Điểm Câu 1 §iÒu kiÖn sin x .cos x 0 6 6 sin 2x 0 x m m ¢ * 3 6 2 sin x .cos x 0 3 3 Ta cã tan x tan x cot x .tan x 1. 6 3 3 3 Suy ra (1) 1 1 sin3 xsin 3x cos3 x cos3x sin2 xsin xsin 3x cos2 xcos x cos3x 8 8 1 1 sin2 xcos2x cos4x cos2 xcos2x cos4x sin2 x cos2 x cos2x cos2 x sin2 x .cos4x 4 4 1 1 1 1 cos 2x cos 2x cos 4x cos 2x1 cos 4x cos3 2x cos 2x x k k ¢ 4 4 8 2 6 KÕt hîp ®iÒu kiÖn (*) ta ®­îc x k k ¢ . 6 Điều kiện: x 3 Khi đó ta có: x 3 2 x2 6x 9 x2 x2 9 9 2x2 18 2x2 20 2 x2 10 x 3 2 x2 10 x 3 2 x2 10 0 Bất phương trình đã cho tương đương với x2 x 6 3 x 2 x2 5x 3 0 x2 x 6 3 x 2 x2 5x 3 2 x2 x 6 3 x 2 x2 5x 3 6 x x2 x 6 x x 2 6 x2 x 6 x x 2 x 2 x2 34x 108 0 x 17 181 x2 34x 108 x 17 181 KL : S 3;17 181  17 181;
  65. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 2 Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyên liên tiếp mà số cuối cùng là n n 1 1 2 3 4 n . Khi đó Sn là tổng của n số hạng trong một cấp 2 n n 1 số cộng có số hạng đầu u , công sai d=-1(coi số hạng cuối cùng trong 1 2 tập hợp thứ n là số hạng đầu của cấp số cộng này), ta có 1 1 2 Sn n 2u1 n 1 d n n 1 . 2 2 1 2 Vậy S999 .999 999 1 498501999 2 Câu 3 2 - CM được dãy tăng : un 1 un 2012un 0 n - giả sử có giới hạn là a thì : a 2012a 2 a a 0 2012 VL nên limun = u u2 (u u ) 1 1 1 - ta có : n n n 1 n ( ) un 1 un 1un 2012un 1un 2012 un un 1 1 1 1 1 Vậy : S .lim( ) 2 . 2012 n u1 un 1 2012 Câu 4 12 IB' QB' 29 đáp số 12/29. Câu 5a a 2 1 4 4 1 2 1 2 1 1 (ab 2)(2ab 1) (b )(2b ) (b 2b )2 9 (b )2 a a a a a đáp số : 1/3 Câu 5b a3 b3 c3 Ta có: P + 3 = b2 c 2 a 2 1 b2 1 c 2 1 a 2 6 a3 a 2 1 b2 b3 b2 1 c2 P 4 2 2 1 b2 2 1 b2 4 2 2 1 c2 2 1 c2 4 2 c3 c 2 1 a 2 a6 b6 c6 33 33 33 2 1 a 2 2 1 a 2 4 2 16 2 16 2 16 2 3 3 9 P (a 2 b2 c 2 ) 2 2 23 2 2 26 8 9 3 9 3 3 P 26 23 2 2 2 2 2 2 2 Để PMin khi a = b = c = 1
  66. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 Së GD-§T B¾c giang ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp c¬ së Tr­êng THPT Bè H¹ Líp 11 M«n thi : To¸n Thêi gian : 150 phót. Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho ph­¬ng tr×nh: sin4x-2m(sin2x+cos2x)+m2-4 2 m+9=0 (1) 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m=2 . Tõ ®ã tÝnh tæng tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n x (0;2008 ) . 2. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm. Bµi 2 (2 ®iÓm). 1. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n cã 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau ? 2.3 7x 1 3x 2 4x 9 2. TÝnh giíi h¹n L lim . x 1 x 2 3x 2 Bµi 3 ( 2 ®iÓm). 1. Cho x,y,z lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xyz=1. Chøng minh bÊt ®¼ng x3 y3 z3 3 thøc sau: . (1 y)(1 z) (1 z)(1 x) (1 x)(1 y) 4 2. C¸c gãc cña tam gi¸c ABC tho¶ m·n hÖ thøc: cosA+cosB+cosC=2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA). Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC ®Òu. 2 Bµi 4 (1 ®iÓm). Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi u vµ d·y sè (Sn) x¸c ®Þnh n n2 4n 3 S1 u1 bëi . H·y x¸c ®Þnh c«ng thøc tÝnh (Sn) theo n. Sn 1 Sn un 1 Bµi 5 ( 3 ®iÓm). Trong mÆt ph¼ng (P) cho nöa ®­êng trßn (C) ®­êng kÝnh AC; B lµ mét ®iÓm thuéc (C). Trªn nöa ®­êng th¼ng Ax vu«ng gãc víi (P) ta lÊy ®iÓm S sao cho AS = AC. Gäi H, K lÇn l­ît lµ c¸c ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A xuèng c¸c ®­êng th¼ng SB, SC. 1. Chøng minh r»ng c¸c tam gi¸c SBC, AHK lµ tam gi¸c vu«ng. 2. §Æt AC=a vµ BC=x. TÝnh ®é dµi ®o¹n HK theo a vµ x. 3. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm B trªn (C ) sao cho tæng diÖn tÝch hai tam gi¸c SAB vµ CAB lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. HÕt C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm! Hä vµ tªn thÝ sinh .Sè b¸o danh
  67. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn S¬ l­îc ®¸p ¸n toan 11 Bµi 1. §Æt t=sin2x+cos2x= 2 cos(2x ) , ®iÒu kiÖn 2 t 2 (*) 4 Khi ®ã PT (1) trë thµnh: t2-2mt+m2-42 m+8=0 (2). 1. m=2 thay vµo (2) ®­îc: t2-22 t+2=0 (t 2)2 0 t 2 t/m (*) Khi ®ã 2 cos(2x ) =2 x k ,k Z . 4 8 1 1 +, XÐt x (0;2008 ) k 2008 ,k Z k 0,1,2, ,2007 8 8 Khi ®ã tÝnh ®­îc tæng c¸c nghiÖm b»ng 2007. (1 2 3 2007) 8 8 2008 2007.2008 4022279 . 8 2 2. §Æt VT(2)=f(t). PT (1) cã nghiÖm x PT(2) cã nghiÖm t tho¶ m·n ®k (*) PT (2) cã nghiÖm t/m ®k (*) trong c¸c TH sau: +, TH1: PT (2) cã nghiÖm f ( 2) 0 m 2 2 2m 10 0(3) t 2 hoÆc t= 2 (3) VN. 2 f ( 2) 0 m 6 2m 10 0(4) (4) m 2 hoÆc m=5 2 (6) +, TH2: PT (2) cã 1 nghiÖm thuéc ( 2; 2) vµ 1 nghiÖm [ 2; 2] f ( 2). f ( 2) 0 2 m 5 2(7) +, TH3: PT (2) cã 2 nghiÖm thuéc ( . TH2; n2 à)y VN (8) Tõ (6), (7) (8) gi¸ trÞ cÇn t×m lµ 2 m 5 2 Bµi 2 1. Gäi sè cµn lËp lµ: abcde v× ch½n suy ra e ®­îc chän tõ c¸c ch÷ sè 0,2,4,6,8. 4 TH1: e=0 suy ra cã 1.A9 c¸ch lËp. 3 TH1: e 0 suy ra cã 4 c¸ch chän e , chän a cã 8 c¸ch , c¸c ch÷ sè cßn l¹i lµ A8 c¸ch 3 TH nµy cã 4.8.A8 c¸ch lËp 4 3 VËy tæng cã 1.A9 +4.8.A8 =13776 c¸ch lËp. 2( 3 7x 1 2) (4 3x 2 4x 9 1 2. L lim . x 1 2 x 3x 2 12 x3 1 y 1 z 3x Bµi 3. 1. ¸p dông B§T Cosi cã: (1 y)(1 z) 8 8 4 y3 1 z 1 x 3y (1 z)(1 x) 8 8 4 z3 1 x 1 y 3z (1 x)(1 y) 8 8 4
  68. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x3 y3 z3 1 3 3 3 3 Suy ra (x y z) (1 y)(1 z) (1 z)(1 x) (1 x)(1 y) 2 4 2 4 4 DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1. 3 3 2. Ta cã 0 cos A cos B cosC (cos A cos B cosC)2 (cos A cos B cosC) 2 2 tõ ®Çu bµi ta cã (cos A cos B cosC)2 3(cos A cos B cos B cosC cosC cos A) (cos A cos B)2 (cos B cosC)2 (cosC cos A)2 0 A B C ABC ®Òu. 2 1 1 Bµi 4. Ta cã u n n2 4n 3 n 1 n 3
  69. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 Së GD - §T B¾c Ninh Céng Hoµ X· Héi Chñ NghÜa ViÖt Nam Tr­êng THPT Yªn Phong 3 §éc lËp – Tù do – H¹nh Phóc    .-.-.-.-.--.-.-.-.-. §Ò thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng M«n: To¸n líp 11 Thêi gian lµm bµi: 150 phót. Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc A = 2 11 2y 4 x y 5 , víi x, y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0. Bài 2: Cho các sè thùc a, b, c ≥ 1, a 2 + b2 + c2 = 4. T×m phÇn nguyªn cña B = a b c 1 1 1 . 2 a b c 2006 1 2004 3 2 2005 2007 Bµi 3: TÝnh giá trị của biÓu thøc C = 2009 .C2008 2009 .C2008 2009 .C2008 C2008 . Bài 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c víi x (0, 2 ): cos3x sin 3x 5(sinx ) 3 cos2x . 1 2 sin 2x Bµi 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: x2 – 4y2 = 17. x2 y3 y2 y 10 2 3 2 Bµi 6: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: y z z z 10 . 2 3 2 z x x x 10 Bµi 7: Gi¶ sö ba ®iÓm G, H, O lÇn l­ît lµ träng t©m, trùc t©m, t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp cña mét tam gi¸c nào ®ã. Chøng minh r»ng 2.GO = HG . Bµi 8: Chøng minh r»ng víi mäi ABC nhän ta lu«n cã tanA.tanB.tanC > 1. 3 2 2 Bµi 9: T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f:   tho¶ m·n f(x – y) + 2y.(3f (x) + y ) = f(y + f(x)), x, y . b Bài 10: Cho c¸c h»ng sè thùc a, b, c víi a ≠ 0. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng (d) x = lµ 2a trôc ®èi xøng cña parabol (P) y = ax2 + bx + c.
  70. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tr­êng THPT Yªn Phong 3 §¸p ¸n k× thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng m«n To¸n líp 11 Ghi chó: • NÕu häc sinh lµm theo c¸ch kh¸c víi ®¸p ¸n nh­ng ®óng th× vÉn cho ®iÓm tèi ®a. Bµi1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc A = 2 11 2y 4 x y 5 , víi x, y lµ c¸c sè §iÓm (1 ®) thùc tho¶ m·n x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0. 1.0 Gi¶i: Ta thÊy x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 lµ ph­¬ng tr×nh cña ®­êng trßn (C) t©m I(1;3), b¸n kÝnh R = 2. V× x, y tho¶ m·n x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 nªn ta cã A = 2 11 2y 4 x y 5 = 2( 11 2y + 4x 4y 20 ) = 0.25 = 2( (x2 y2 2x 6y 6) (11 2y) + (x2 y2 2x 6y 6) (4x 4y 20) ) = = 2( (x 1)2 (y 4)2 + (x 1)2 (y 5)2 ) = 2(NM + PM), trong ®ã N(1;4) n»m bªn trong (C), P(-1;5) n»m bªn ngoµi (C), M(x;y) (C). ( ) Mo C Gäi Mo lµ giao ®iÓm cña ®o¹n th¼ng PN víi (C) to¹ ®é NMo vµ NP cïng h­íng 2 2 0.25 x + y - 2x - 6y + 6 = 0 1 x 5 1 23 cña ®iÓm Mo lµ nghiÖm cña hÖ x 1 y 4 Mo ( ; ) . 0 y 23 5 5 2 1 5 Víi mäi M(x;y) (C) ta thÊy NM + PM ≥ PN = 5 , dÊu “=” x¶y ra khi M(x;y) 1 23 0.25  M ( ; ) =PN(C) . o 5 5 1 x 5 VËy min (A) = 2(NMo+PM¬) = 2.PN = 2. 5 , ®¹t ®­îc khi . 0.25 23 y 5 Bµi 2:Cho các sè thùc a, b, c ≥ 1, a 2 + b2 + c2 = 4. T×m phÇn nguyªn cña (1 ®) a b c 1 1 1 B = (PhÇn nguyªn cña sè thùc x lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng 1.0 2 a b c v­ît qu¸ x, vµ ®­îc kÝ hiÖu lµx ). Gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt suy ra 1 ≤ a, b, c < 2 0.25 a 1 3 b 1 3 c 1 3 Nh­ vËy (2 – a)(a – 1) ≥ 0 ≤ . T­¬ng tù ≤ , ≤ . Do ®ã 2 a 2 2 b 2 2 c 2 0.25 a b c 1 1 1 9 ta cã B = ≤ 5 (1). 2 a b c 2 a 1 a 1 b 1 Theo B§T Cauchy ta cã ≥ 2. . = 2 . T­¬ng tù ≥ 2 , 0.25 2 a 2 a 2 b
  71. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn c 1 a b c 1 1 1 vµ ≥ 2 . Suy ra B = ≥ 3 2 > 4 (2). 2 c 2 a b c Tõ (1) vµ (2) dÉn tíi 4 0, 17 lµ sè nguyªn tè, |x| + 2.|y| vµ |x| - 2.|y| lµ c¸c sè nguyªn 0.25 d­¬ng, suy ra |x| + 2.|y| =17 x 9 x 9 (0.25 ®iÓm) (0.25 ®iÓm). 0.5 |x| - 2.|y| = 1 y 4 y 4
  72. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Thö l¹i thÊy PT ®· cho cã bèn nghiÖm nguyªn lµ (9, 4), (9, - 4), (- 9, 4), (- 9 , - 4). 0.25 Bµi 6: x2 y3 y2 y 10 (1 ®) 2 3 2 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: y z z z 10 . 1.0 2 3 2 z x x x 10 Gi¶i: Tõ ph­¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ ta thÊy ngay x2 + 10 = y.( y2 + y + 1) y > 0. T­¬ng tù ta cã x > 0, z > 0. H¬n n÷a v× x, y, z ho¸n vÞ vßng quanh trong hÖ nªn ta cã thÓ gi¶ sö 0.25 x = max x, y, z. 3 2 §Æt f(t) = t t t 10 , thÊy ngay ®©y lµ hµm sè ®ång biÕn trªn . HÖ ph­¬ng tr×nh ®· x2 f (y) 2 0.25 cho ®­îc viÕt thµnh y f (z) . 2 z f (x) ❖ NÕu x ≥ y ≥ z > 0 th× x2 ≥ y2 ≥ z2 (1). MÆt kh¸c do f(t) ®ång biÕn nªn f(x) ≥ f(y) ≥ f(z) z2 ≥ x2 ≥ y2 (2). Tõ (1) vµ (2) x2 = y2 = z2 x = y = z. 0.25 ❖ NÕu x≥ z ≥ y > 0 th× t­¬ng tù nh­ trªn ta suy ra ®­îc x = y = z. Víi x = y = z thay vµo hÖ ®· cho ta ®­îc x3 + x -10 = 0 x = 2. Thö l¹i thÊy x = y = z = 2 lµ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ ®· cho. 0.25 Bµi 7:Gi¶ sö ba ®iÓm G, H, O lÇn l­ît lµ träng t©m, trùc t©m, t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp (1 ®) 1.0 cña mét tam gi¸c nào ®ã. Chøng minh r»ng 2. GO = HG . Gi¶i: Gi¶ sö ABC cã träng t©m G, trùc t©m H, t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp O, vµ A /, B/, 0.25 C/ lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh BC, CA, AB. §­êng trung trùc cña BC ®i qua A/ vµ vu«ng gãc víi B/C/ nªn nã trë thµnh ®­êng cao t¹i ®Ønh A/ cña A/B/C/. Tõ ®ã ta dÔ dµng suy ra O lµ trùc t©m cña A/B/C/. 0.25 PhÐp vÞ tù t©m G tØ sè k = - 2 biÕn A/, B/, C/ thµnh A, B, C t­¬ng øng, nªn nã biÕn A/B/C/ thµnh ABC. Nh­ vËy phÐp vÞ tù nµy biÕn O (lµ trùc t©m cña A /B/C/ ) thµnh H 0.5 (lµ trùc t©m cña ABC). Suy ra GH = - 2. GO , hay 2. GO = HG (®pcm). Bµi 8: 1.0 (1 ®) Chøng minh r»ng víi mäi ABC nhän ta lu«n cã tanA.tanB.tanC > 1. 0.25 Gi¶i: V× ABC nhän nªn tanA, tanB, tanC > 0 (1). L¹i cã tan(A + B) = tan( - C) = - tanC 1. tan(A B) tan(A B) 0.25 T­¬ng tù ta cã tanB.tanC > 1, tanC.tanA > 1. Tõ ba bÊt ®¼ng thøc võa kÓ trªn suy ra tan2A. tan2B. tan2C > 1 (2). 0.25 VËy tanA.tanB.tanC > 1 (do (1) vµ (2)). Bµi 9: 3 2 2 T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f:   tho¶ m·n f(x – y) + 2y(3f (x) + y ) = f(y + f(x)), (1 ®) 1.0 x, y . Gi¶i: Gi¶ sö f(x) lµ hµm sè tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi. Tõ ®¼ng thøc ®Ò bµi:
  73. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn - Cho x = y = 0 ta ®­îc f(f(0)) = f(0) (1). - Cho x = 0, y = - f(0) ta ®­îc f(f(0)) = 8f3(0) + f(0) (2). Tõ (1) vµ (2) f(0) = 8f3(0) + f(0) f(0) = 0. 0.25 3 3 - Cho y = - f(x) ta ®­îc f(x +f(x)) = 8f (x), x  (3). 3 3 3 2 9 - Cho y = x ta ®­îc f(x +f(x)) = 6x f (x) + 2x , x  (4). 0.25 3 3 2 9 Tõ (3) vµ (4) 8f (x) = 6x f (x) + 2x , x . 3 2 3 6 (f(x) – x )(4f (x) + x f(x) + x ) = 0, x . 3 0.25 f(x) = x , x . 3 Thö l¹i thÊy hµm sè f(x) = x tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi nªn nã lµ hµm sè cÇn t×m. 0.25 Bµi b 1.0 Cho c¸c h»ng sè thùc a, b, c víi a ≠ 0. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng (d) x = lµ 10: 2a (1 ®) trôc ®èi xøng cña parabol (P) y = ax2 + bx + c. / / / 0.25 Gi¶i: LÊy tuú ý M(x, y) (P), §d(M) = M (x , y ), ta cã biÓu thøc to¹ ®é b b x/ x x x/ a a thay vµo ph­¬ng tr×nh cña (P) ta ®­îc / / y y y y b / b / 0.25 y/ = a( x )2 + b( x ) + c y/ = a(x/)2 + bx/ + c a a / 2 / 0.5 (P ) = §d(P) cã ph­¬ng tr×nh y = ax + bx + c (P )  (P) hay §d(P) = (P). b VËy ®­êng th¼ng (d) x = lµ trôc ®èi xøng cña parabol (P) y = ax2 + bx + c. 2a
  74. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 Tr­êng THPT §Ò thi chän häc sinh giái khèi 11 THPT Gia ViÔn B M«n: To¸n.(§Ò gåm 1 trang) (Thêi gian lµm bµi 180 phót) Bµi I: (6®iÓm). 1) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = sin 8 200 sin 8 400 sin 8 800 . 2x x 2 y y 2 2) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 2y y z z 2 3 3z 3xz z x Bµi II: (5®iÓm). 6 2 1) Cho d·y sè (un) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: u , u 2 u víi mäi n=1, 2, Chøng 1 2 n 1 n n minh r»ng d·y sè (un) cã giíi h¹n vµ t×m Lim2 2 un . 14 6 x 2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 5 . 4 x 4 5x 1 x Bµi III: (6®iÓm). Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, c¹nh bªn SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD). C¹nh SC cã ®é dµi b»ng a, hîp víi ®¸y gãc vµ hîp víi mÆt bªn SAB mét gãc  . 1) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh SA, AB theo a, ,  . 2) Khi 300 , h·y x¸c ®Þnh sin  ®Ó diÖn tÝch ®¸y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi IV: (3®iÓm). 1 1 1 1 1 1 Cho c¸c sè thùc d­¬ng a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: 15 10 2007 . a 2 b 2 c 2 ab bc ca T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 1 1 1 P . 5a 2 2ab 2b 2 5b 2 2bc 2c 2 5c 2 2ca 2a 2 HÕt
  75. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n ®Ò thi chän häc sinh giái khèi 11 THPT M«n: To¸n.(§¸p ¸n gåm 3 trang). Bµi I: 1) Chøng minh 200, 400, 800 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 4sin2(3x) = 3. 0,5® Do ®ã sin2200, sin2400, sin2800 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:64t 3 96t 2 36t 3 0 . 0,5® Hay 4 sin2200, 4 sin2400, 4 sin2800 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: X 3 6X 2 9X 3 0 . (1) 2 0 2 0 2 0 §Æt X 1 4sin 20 , X 2 4sin 40 , X 3 4sin 80 . Khi ®ã X 1 , X 2 , X 3 lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña ph­¬ng tr×nh (1), v× vËy theo ®Þnh lý Vi-et ta cã: X 1 X 2 X 3 6, X 1 X 2 X 2 X 3 X 3 X 1 9 . 0,5® 4 4 4 4 BiÓu thøc cÇn tÝnh ®­îc viÕt l¹i lµ 4 A X 1 X 2 X 2 . HiÓn nhiªn X 1 , X 2 , X 3 lµ c¸c sè kh¸c kh«ng. Do Xlµ1 c¸c, X 2 nghiÖm, X 3 cña (1) nªn ta cã: 4 3 2 2 2 X 1 6X 1 9X 1 3X 1 6(6X 1 9X 1 3) 9X 1 3X 1 , t­¬ng tù ®èi víi X 2 , X 3 ta cã ®­îc: 4 2 2 2 4 . A 27(X 1 X 2 X 3 ) 51(X 1 X 2 X 3 ) 54 4 2 4 A 27(X 1 X 2 X 3 ) 2(X 1 X 2 X 2 X 3 X 3 X 1 ) 51.6 54 234 . 1,0® 117 Do ®ãA . 128 0,5® 2x y(1 x 2 ) 2 1 2) HÖ ®· cho ®­îc viÕt l¹i lµ: 2y z(1 y ) . KiÓm tra thÊy x 1, y 1, z 3 2 3 3z z x(1 3z ) kh«ng tho¶ m·n hÖ, nªn: 0,5® 2x y 2 1 x 2y HÖ l¹i ®­îc viÕt l¹i lµ: z 2 . §Æt x = tg(t) th× ta cã y = tg(2t), z = tg(4t) 1 y 3z z 3 x 1 3z 2 1,0®
  76. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do ®ã x = tg(12t). Do vËy: tg(t) = tg(12t) 12t = t + k ,k Z t k ,k Z . 11 1,0® k 2k 4k Nh­ vËy hÖ ®· cho cã c¸c nghiÖm lµ tg ,tg ,tg trong ®ã k = 0,1, ,10. 11 11 11 0,5® 5 Bµi II: 1) Ta cã u1 2sin 2cos . 12 12 0,5® 5 Tõ hÖ thøc truy håi b»ng ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p ta cã ®­îc un 2cos , n = 1, 6.2n 2, Tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y, ta dÔ dµng chøng minh d·y sè cã giíi h¹n. 5 sin n 1 n 5 n 1 5 6.2 5 5 1,0® Lim2 2 2cos Lim2 sin Lim . 6.2n 6.2n 1 5 6 6 6.2n 1 1,0® 4 x 0 4 2) §iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh x¸c ®Þnh lµ: 4 5x 0 0 x . x 5 0 1 x 0,5® 14 6 x §Æt f (x) ,ta kiÓm tra ®­îc f(x) lµ hµm ®ång biÕn trong kho¶ng [0; 4 x 4 5x 1 x 4/5). 1,0® MÆt kh¸c f(1/2) = 5 nªn x =1/2 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph­¬ng tr×nh. 1,0® Bµi III: S 1) A D O B C
  77. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do SA  (ABCD) nªn gãc gi÷a SC vµ mÆt ph¼ng (ABCD) lµ SCA . 0,5® Ta chøng minh ®­îc r»ngBC  (SAB) do ®ã gãc gi÷a SC vµ mÆt bªn (SAB) lµ  BSC . 0,5® ¸p dông hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng SAC, SBC ta cã: SA asin , SB a cos , BC asin  . 1,0® ¸p dông ®Þnh lý Pitago cho tam gi¸c vu«ng SAB ta cã: AB SB 2 SA2 a cos 2  sin 2 . 1,0® 1 2) Khi 300 , ta cã diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ABCD lµ S a 2 sin  cos 2  . 2 1,0® 2 2 2 2 4 2 2 4 2sin  2cos  1 1 4 4S a 2sin  (2cos  1) a a . 2 4 1,0® 1 1 DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi 2sin 2  2cos 2  1 sin 2  sin  . 4 2 1,0® Bµi IV: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®èi víi 3 sè thùc d­¬ng x, 1 1 1 9 y, z ta cã: , (1). DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z. x y z x y z 0,5® Ta cã 5a 2 2ab 2b 2 (2a b) 2 (a b) 2 (2a b) 2 . DÊu “=” x¶y ra a = b. 1 1 1 1 1 1 Do ®ã . DÊu “=” x¶y ra a b . 5a 2 2ab 2b 2 2a b 9 a a b 1 1 1 1 1 1 T­¬ng tù ta cã: . DÊu “=” x¶y ra b c . 5b 2 2bc 2c 2 2b c 9 b b c 1 1 1 1 1 1 . DÊu “=” x¶y ra. c a 5c 2 2ca 2a 2 2c a 9 c c a 1 1 1 1 V× vËy: P . 3 a b c 1,0®
  78. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 1 1 1 1 1 1 1 Tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc: . DÊu “=” x¶y ra a b c . a 2 b 2 c 2 3 a b c 2 1 1 1 1 1 1 1 . DÊu “=” x¶y ra a b c . ab bc ca 3 a b c 2 2 15 1 1 1 10 1 1 1 KÕt hîp víi gi¶ thiÕt ta cã ®­îc: 2007 hay 3 a b c 3 a b c 1 1 1 6021 . DÊu a b c 5 a b c 1 6021 “=” x¶y ra 1 1 1 6021 a b c . 1,0® 3 5 a b c 5 1 6021 1 6021 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng ®¹t ®­îc khi a b c . 3 5 3 5 0,5®
  79. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 19 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(6 điểm) 1). Giải phương trình: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx. 2). Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: 17 2sin A.cos B.sin C 3(cos A sin B cosC) . 4 Bài 2:(4 điểm) Một ngân hàng câu hỏi Toán có 30 câu hỏi khác nhau gồm: 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ ngân hàng này lập một đề thi gồm 5 câu hỏi khác nhau. Tính xác suất để sao cho trong mỗi đề được chọn nhất thiết phải có đủ cả 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? Bài 3: (6 điểm) Cho hình thang vuông ABCD có A = D = 900, AB = 2a, CD = a, AD = 3a và M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng AD. 1). Xác định vị trí của điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau. 2). Lấy điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với mp(BCD) tại M sao cho SM = AM, xét mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với SA. Mặt phẳng (P) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện là hình gì?. Tính diện tích của thiết diện theo a, x biết x = AM và 0 < x 3a?. Bài 4: (4 điểm) Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Xây dựng dãy các tam giác A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, sao cho tam giác A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n 2, tam giác AnBnCn là tam giác trung bình của tam giác An - 1Bn - 1Cn – 1. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu rn tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AnBnCn. Chứng minh rằng dãy số (rn) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó? Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: .
  80. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐÁP ÁN TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (6 điểm) 1). Ta có PT (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0 2 Đáp số: x k2 , x k (k Z) 3 4 2 2 2 3 3 3 2). Đẳng thức cos A sin B cosC 0 2 2 2 Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200. Bài 2: (4 điểm) - Số đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 56875. - Tổng số đề thi có thể có là: 142506. 625 - Xác suất cần tìm là: P . 1566 Bài 3: (6 điểm) 1). x = a và x = 2a có 2 vị trí của M thỏa ycbt. 2). – Thiết diện cần tìm là hình thang vuông MNEF(hình vẽ). 2(9a x)x - Diện tích cần tìm: S (0 < x 3a) S 12 F E A B M N D C Bài 4: (4 điểm) 1 1 + (rn ) là một cấp số nhân với công bội q = và số hạng đầu r1 = . 2 3 1 + Số hạng tổng quát: rn 3.2n 1 Hết
  81. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 20 SỞ GD &ĐT LẠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Trường THPT Lộc Bình MÔN :TOÁN Thời gian: 180 phút( không kể thời gian giao đề) CÂU 1: (3 điểm ) Giải bất phương trình sau: x x 1 6x 1 CÂU 2 : (2 điểm) Cho a, b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm: a2 x2 a2 b2 c2 x b2 0 CÂU 3: ( 5 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác sau: cos 2 2x cos 2 3x sin 2 4x sin 2 5x 2) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc của nó thoả mãn: sin C 2cos A sin B CÂU 4: ( 2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 22n 1 3n 4 chia hết cho 9. CÂU 5: ( 2 điểm) Cho hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. c) Tìm quỹ tích những điểm M sao cho: 2MA MB MC 0 d) Tìm quỹ tích những điểm N sao cho: 3AM AC 2AB 0 CÂU 6: ( 4 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh rằng: mp(A’BD)// mp(B’CD’) b)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (A’BCD’) và (BDD’B’). c) Xác định thiết diện của hình hộp đã cho khi cắt bởi mặt phẳng đi qua điểm M thuộc đoạn AB và song song với mặt phẳng (ACC’) CÂU 7: ( điểm) Cho ba số a, b, c khác không thoả mãn đồng thời a.b.c 0 ab bc ca 0 1 1 1 0 ab bc ca Chứng minh rằng cả ba số đều âm.
  82. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Đáp án câu Đáp án điểm 1 x 0 1 Điều kiện: x 1 0 x 6 1 6x 1 0 1 x 6 x x 1 6x 1 1 2 x x 2x 1 1 x 6 1 5 13 x x 2 6 3x 2 5x 1 0 1 2 Do a > 0 nên a2 x2 a2 b2 c2 x b2 0 (1) là pt bậc 2. Ta có: (a 2 b 2 c 2 ) 2 4a 2b 2 a b c a b c a c b (b c a) 0 Vì (a+b+c)>0, (a+b-c)>0, (a+c-b)>0, (b+c-a)>0 2 vậy pt (1) vô nghiệm. 3 1) 1 cos 4x 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x cos 2 2x cos 2 3x sin 2 4x sin 2 5x 2 2 2 2 1 cos 4x cos6x cos8x cos10x 0 4cos x cos7x cos 2x 0 k 2 x 4 7 cos7x 0 k cos 2x 0 x 4 2 1 cos x 0 x k 2 2) Ta có sin C 2cos A sin C 2sin B cos A sin(A B) 2sin B cos A sin B SinAcos B sin B cos A 2sin B cos A sin(A B) 0 A B k Do A , B là các góc của tam giác nên k = 0 , suy ra A=B 1 Vậy tam giác ABC là tam giác cân. 4 2n 1 Đặt U n 2 3n 4
  83. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Với n= 1 : U1 99 (đúng) 2k 1 giả sử ta có U k 2 3k 49 1 2k 1 chứng minh U k 1 2 3(k 1) 49 2k 1 2k 1 Thật vậy: U k 1 2 3(k 1) 4 4(2 3k 4) 9k 9 4U k 9(k 1)9 1 Vậy 22n 1 3n 4 chia hết cho 9. 5 c) Gọi I là trung điểm của BC: MB MC 2MI 2MA MB MC 0 MA MI 0 1 Suy ra M là trung điểm của doạn IA. Ta có IM IA nên có phép vị tự 2 V 1 biến A thành M. Do A thay đổi trên (O) nên quỹ tích M là ảnh của I , 2 1 (O) qua V 1 . I , 2 d) Lấy điểm J sao cho : JC 2JC 0 AC 2AB AJ JC 2(AJ JB) 3AJ (JC 2JB) 3AJ 3AN AC 2AB 0 3AN 3AJ 0 Suy ra A là trung điểm của NJ.Quỹ tích N là ảnh của (O) qua V J ,2 1 6
  84. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A' BD (B'CD') A' B // CD', BD // B' D' 1 a) (A' BD) //(B'CD') (A' B  BD)  (A' BD) (CD'B' D')  (B'CD') b) A' BCD'  BDD'B' BD' 1 c) Gọi là mặt phẳng qua M, song song với mp(ACC’). Vì //(ACC’) nên  (ABCD) MN, MN // AC, N BC ( )  (BCC' B') NP, NP // CC', P B'C' 2  (A' B'C' D') PQ, PQ // A'C',Q A' B'  A' BB' A' MQ. Vậy thiết diện là tứ giác MNPQ 7 a.b.c 0(1) ab bc ca 0(2) 1 1 1 0(3) ab bc ca Từ (1) suy ra a,b,c có một số âm.Giả sử a 0 Nếu b,c cùng dương, 1 1 1 a b c 0 0 a b c 0 a (b c) a(b c) (b c) 2 ab bc ca abc ab bc ca b 2 bc c 2 0 trái giả thiết (2) nên b,c cùng âm. Vậy a,b,c cùng âm. 2
  85. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 21 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian phát đề Câu 1 ( 2,0 điểm). Giải phương trình sau: x2 x 2013 2013 Câu 2 ( 3,0 điểm). Cho phương trình (2sin x 1)(2cos 2x 2sin x m) 1 2cos2x ( Với m là tham số) a, Giải phương trình với m = 1 b, Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 0;  Câu 3 (5,0 điểm). x2 y2 3x 4y 1 a, Giải hệ phương trình : 2 2 3x 2y 9x 8y 3 n 4 3 5 1 b, Tìm hệ số của x trong khai triển sau: nx 3 biết n là số nguyên thoả mãn hệ x thức 2C1 C 2 n2 20 . n n Câu 4 .(4,0 điểm). Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. cos B cosC a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A sin B sin C sin2 A sin2 B sin2 C b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M cos2 A cos2 B cos2C 2 2 Câu 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1) : x y 13,đường tròn (C2) : (x 6)2 y2 25 . a, Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2) . b, Gọi giao điểm có tung độ dương của (C 1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. Câu 6 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . a, Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b, M là điểm di động trên đoạn BC và BM =x ,K là hình chiếu của S trên DM . Tính độ dài đoạn SK theo a và x . Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK. . Hết Họ và tên thí sinh: SBD:
  86. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Môn : TOÁN Câu Đáp án Điểm Câu 1 x2 x 2013 2013 . ĐK x 2013 0,25 Đặt t x 2013 ( với t t 0) t 2 x 2013 t 2 x 2013 . Ta có hệ PT: 0,5 x2 t 2013 (x t)(x t 1) 0 2 0,5 t x 2013 1 8053 + Với x +t =0 ta được t = -x x 2013 x . Giải ra ta được x là 2 0,25 nghiệm. + Với x – t +1 = 0 ta được : x +1 = t x 1 x 2013 . Giải ra ta được 0,25 1 8049 x là nghiệm 2 0,25 1 8053 1 8049 Đáp số : x , x 2 2 Câu 2 (2sin x 1)(2cos 2x 2sin x m) 1 2cos2x a , Với m =1 ta được phương trình : (2sin x 1)(2cos 2x 2sin x 1) 1 2cos2x (2sin x 1).cos2x 0 0,5 1 5 + sin x x k2  x k2 1,5 2 6 6 + cos 2x 0 x k 0,5 4 2 b, Phương trình đã cho tương đương với : (2sin x 1)(2cos 2x m 1) 0 0,25 1 5 Với sin x x  x 0;  0,25 2 6 6 Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc 0; thì phương trình : 0,25 1 m 5 cos2x vô nghiệm hoặc có hai nghiệm x ; x .Từ đó ta được m 3 v m =0 . 0,25 x2 y2 3x 4y 1 x2 3x y2 4y 1 x2 3x 1 0 0,5 Câu 3 2 2 2 2 2 0,5 3x 2y 9x 8y 3 3(x 3x) 2(y 4y) 3 y 4y 0 0,5 3 13 3 13 3 13 3 13 0,5 Ta được nghiệm của hệ là : ;0 ; ;4 ; ;0 ; ;4 ; 0,5 2 2 2 2
  87. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4 n 4 3 5 1 , Tìm hệ số của x trong khai triển sau: nx 3 biết n là số nguyên thoả mãn x hệ thức 2C1 C 2 n2 20 . n n Từ hệ thức 2C1 C 2 n2 20 . Đk n 2,n Z n2 3n 40 0 n 8 n 5 n n 0,5 Ta được n= 8 thoả mãn . 0,5 8 8 1 1 k 8 40 14k Ta có : 3 8x5 2 3 x5 C k .28 k.x 3 . Khai triển chứa x4m 3 3  8 0,5 x x k 0 40 14k 4 k 2. 0,5 3 0,5 4 2 6 Vậy hệ số của x là C8 .2 1792 Câu 5 cos B cosC a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A sin B sin C A 0,5 sin cos B cosC A A A 0,5 Từ sin A 2sin .cos 2 2cos2 1 cos A 0 Â là góc A 0,5 sin B sin C 2 2 cos 2 2 0,5 vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A. sin2 A sin2 B sin2 C sin2 A sin2 B sin2 C b, M M 1 1 cos2 A cos2 B cos2C cos2 A cos2 B cos2C 0,5 3 2 2 2 3 M 1 cos A cos B cos C . Biến đổi về 0,25 cos2 A cos2 B cos2C M 1 3 cos2C cosC.cos(A B) 1 0 0,25 M 1 2 3 3 2 0,25 cos (A B) 4 1 0 4 1 cos (A B) 1 M 1 M 1 3 1 0,25 1 M 3 M 1 4 0,25 2 cos (A B) 1 0,25 0 M 3 1 A B C 60 cosC cos(A B) 2 0,25 Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều. 0,25 (C1) cú tõm O(0;0),bỏn kớnh R1 13 0,25
  88. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (C2) cú tõm I(6;0),bỏn kớnh R2 5. 1,0 Giao điểm của (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;-3).Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3) Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3) 0,25 Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi d d(O,d);d d(I,d) 1 2 0,25 2 2 2 2 2 2 Yờu cầu bài toỏn trở thành: R2 d2 R1 d1 d2 d1 12 2 2 0,25 (4a 3b) (2a 3b) 2 b 0 2 2 2 2 12 b 3ab 0 a b a b b 3a *b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0 0,25 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0 a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên S 0,25 SA vuông góc với AB và AD. Vậy các tam giác SAB và SAD vuông tại A 0,25 Lại có SA vuông góc với (ABCD) và AB Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC 0,25 Vởy tam giác SBC vuông tại C. A 0,25 Tương tự tam giác SDC vuông tại D. b, Ta có BM =x nên CM = a- x D 0,25 AKD : DCM K 0,25 (vì có AKˆD DCˆM 900 , DAˆK CDˆM ) AK AD AD 0,25 AK DC. B M C DC DM DM 0,25 a2 = . Tam giác SAK vuông tại A nên 0,25 x2 2ax 2a2 2 2 0,25 2 2 x 2ax 3a SK SA AK a 2 2 . x 2ax 2a 0,25 a 6 SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AK nhỏ nhất K  O x 0 SK nhỏ nhất 2 0,25 Hết Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa - Chỉ chấm bài hình khi học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác
  89. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 22 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (cấp trường) MÔN: TOÁN THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT Câu1 (4Điểm) 1 tan x Cho phương trình: cos4x 4 m 2 1 tan2 x 1 1.Giải phương trình với m = 2 2.Tìm m để phương trình có nghiệm x 0; . 4 Câu2(3Điểm) Giải hệ phương trình: x y x y 2 y x y x 1 Câu3 (6Điểm) (x2 2014)2014 1 2014x 2014 1.Tính: lim x 0 x 2008 2 10 2.Cho khai triển: 1 x(1 x ) Tính hệ số của x Câu4: (3Điểm) Tìm các điểm tại đó hàm số: x cos voi x 0 y= x không có đạo hàm 0 voi x 0 Câu5: (4Điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c. 1.Tính thể tích tứ diện ABCD. 2.Chứng minh rằng: 1 1 1 9 (S là diện tích toàn phần của tứ diện) a2b2 b2c2 c2a2 S 2 .Hết
  90. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 MÔN: TOÁN THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1/1 0,5 *Tập xác định:x k 2 *PT tương tương: sin22x-2sin2x+m-1/2=0 0,5 1)Với m=1/2:Thay PT ta được: sin22x-2sin2x=0 sin 2x 0 0,5 sin 2x 2 0,5 k 1/2 x= kết hợp điều kiện nghiệm : x=k 2 0,5 1,0 2)*Đặt t=sin2x do x (0; ) nên 0<t<1 ta được: 4 0,5 t2-2t-1/2=-m với 0<t<1 2 *Xét HS: y=t2-2t-1/2 với 0<t<1 suy ra:-3/2<y<-1/2 (Yêu cầu HS lập bảng) *Để PT có nghiệm khi và chỉ khi 1/2<m<3/2 0,5 x 0 y 0 *Điều kiện: 1,0 x y 0 y x 0 *Hai vế của PT của hệ không âm,bình phương 2vế ta được: 1,0 2 x y 2 x 2 2 y x 2y 1 0,5 x 2 3/1 y 1/ 2 4x y 4 0 1,0 4x 4y 1 0 1,0 x 17 /12 là nghiệm của hệ 1,0 y 5/ 3 (x2 2014)2014 1 2014x 2014 1,0 1) lim = x 0 3/2 x 1,0 (x2 2014)2014 1 2014x (x2 2014) x2 lim x 0 x (x2 2014)(2014 1 2014x 1) x2 = lim = 1,0 x 0 x
  91. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2014 lim(x2 2014) x 0 2014 (1 2014x)2013 2014 (1 2014x)2012 1 4 =-2014 2008 2008 k 2008 0,5 2 k 3 k k i k i 3 i 2) 1 x(1 x ) =  c2008 (x x ) c2008ck x ( x ) = k 0 k 0 i 0 2008 k 0,5 k i k 2i i c2008ck x ( 1) k 0 i 0 k 2i 10 *Hệ số chứa x10 ứng với 0 i k 2008 suy ra: 0 i 10 / 3 Vậy i=0;1;2;3 i N;k N i 0 k 10 i 1 k 8 0,5 * Vậy hệ số chứa x10 là: c10 c0 c8 c1 c6 c2 c4 c3 i 2 k 6 2008 10 2008 8 2008 6 2008 4 i 3 k 4 *Hàm số có đạo hàm tại các điểm x với x 0 và cos 0 Hay HS có đạo hàm tại các x 0,5 điểm x 0 và x 2/ (2k+1) *Tại x=0: lim y lim cos Không tồn tại giới hạn.(Yêu cầu chứng minh cụ thể) 0,5 0 0 x x x x 0,5 *Tại điểm x=2/(2k+1) 2 2 y( ) y( ) x lim y lim 2k 1 2k 1 0 0 x x x x 2 (2k 1) (2k 1) lim cos cos 0 x (2k 1) x 2 (2k 1) x 2 (2k 1) x 2 1 (2k 1) = lim cos 0 2k 1 x x 2 (2k 1) x y 2 1 (2k 1) + lim lim sin (2k 1) ) = 0 0 x x 2k 1 x x 2 (2k 1) x 2 5/1 2 1 (2k 1)2 lim sin x 0 2k 1 x x 22 (2k 1) x  0,5 2 1 (2k 1)2 2 (2k 1)2 = lim sin x = (2k 1) 0 2k 1 x x 22 (2k 1) x  2k 1 4 2 + lim y (2k 1) (tương tự) 1,0 x 0 x 2 Vậy không tồn tại giới hạn tại điểm x=2/(2k+1) 0,5 *Tóm lại HS không có đạo hàm tại x=0 và x=2/(2k+1)