›
›
›

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Lớp 11: Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp toạ độ để giải bài tập hình học không gian tổng hợp - Nguyễn Khánh Chi

doc 26 trang thaodu 2430
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Lớp 11: Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp toạ độ để giải bài tập hình học không gian tổng hợp - Nguyễn Khánh Chi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docsang_kien_kinh_nghiem_mon_toan_lop_11_huong_dan_hoc_sinh_dun.doc

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Lớp 11: Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp toạ độ để giải bài tập hình học không gian tổng hợp - Nguyễn Khánh Chi

  1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ 1 BẮC HÀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH DÙNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP Họ và tên: Nguyễn Khánh Chi Chức vụ : TTCM Tổ chuyên môn: Toán - lý - Tin- CN Đơn vị công tác: Trường THPT số 1 Bắc Hà Năm học: 2013 - 2014 Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 1
  2. Mục lục STT Nội dung Trang 1 I. Lí do chọn đề tài 3 II. Nội dung 3 1. Cơ sở lý luận của vấn đề 3 2. Thực trạng dạy và học bộ môn trước khi 3 đưa ra phương pháp giải phương trình mặt cầu 2 3. Các giải pháp 3 3.1. Phần Lý thuyết 3 3.2. Phần bài tập 5 3.3 Các dạng bài tập tương tự 17 4. Kết quả thực hiện: 18 III. Kết luận. 20 3 Tài liệu tham khảo Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 2
  3. I. Lí do chọn đề tài Việc dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp là một vấn đề cần thiết với học sinh lớp 12 vì đó là một nội dung quan trọng để học sinh dự thi các trường Đại học và Cao đẳng, trung học chuyên nghiệp. Đây vốn là dạng bài khó đối với học sinh, đa phần các em học ở mức độ trung bình khá trở xuống đều cảm thấy hết sức bồi rối khi đứng trước 1 bài hình không gian, không biết bắt đầu từ đâu, đi theo hướng nào thì tới đích và cuối cùng là bỏ qua, thậm chí có em còn không cần đọc kĩ đề và bỏ qua luôn nếu trong đề có xuất hiện dạng này. Một giải pháp có thể giúp các em này không mất điểm một cách đáng tiếc là chuyển bài toán hình học không gian tổng hợp thuần tuý sang bài toán hình giải tích quen thuộc bằng phương pháp toạ độ hoá. Việc vận dụng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp là rất tiện lợi song phương pháp này có được đề cập đến trong chương trình toán phổ thông dưới dạng một vài bài tập đơn giản, ít được chú trọng nên học sinh thường không chú ý. Học sinh không biết chọn hệ trục toạ độ như thế nào cho thích hợp. Cho nên vấn đề đặt ra là dạy như thế nào để học sinh nắm chắc lí thuyết và biết vận dụng tốt để giải các bài tập cơ bản. II. Nội dung 1. Cơ sở lý luận của vấn đề Dựa vào nền tảng là “phương pháp toạ độ trong không gian” trong SKG hình học 12, qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu của bản thân. Tôi đã nghiên cứu và rút ra một số kinh nghiệm giảng dạy chương này nhằm mục đích để học sinh nắm vững kiến thức đồng thời biết làm bài tập và giúp các em học sinh tạo sự húng thú trong học tập. 2. Thực trạng dạy và học bộ môn trước khi đưa ra phương pháp giải phương trình mặt cầu Đối với giáo viên tuy không gặp khó khăn trong truyền thụ kiến thức cơ bản của bộ môn, song đối với học sinh của trường THPT số 1 Bắc Hà việc truyền thụ kiến thức cho học sinh gặp đôi chút khó khăn. Đối với học sinh tỉ lệ học sinh đi học ở bậc THPT còn thấp, đầu vào tuyển sinh thấp hơn nhiều so với các địa phương khác trong tỉnh. Đây thực sự là khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy bởi những “lỗ hổng” kiến thức bộ môn là quá lớn. Hơn nữa đa số học sinh còn sợ học môn hình học nên việc tiếp thu gặp nhiều khó khăn. Học sinh chưa có kĩ năng vẽ hình và trình bày bài. 3. Các giải pháp Hệ thống lại cho học sinh định nghĩa phương trình mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Đây là phần khó đối với học sinh nên khi dạy cần củng cố bằng các ví dụ cụ thể cho học sinh, cho học sinh thực hành tính toán chú ý nhiều đến học sinh yếu kém. Nên ra một ví dụ là một bài toán nhưng có thể vận dụng được nhiều dạng kiến thức lí thuyết vừa học. 3.1. Phần Lý thuyết 3.1.1. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau    với ba vectơ đơn vị i , j , k i j k 1 . Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 3
  4.          a a1;a2;a3 a a1i a2 j a3k ; M(x;y;z) OM xi y j zk 3.1.2. Tọa độ của vectơ: cho u(x; y; z),v(x '; y '; z ') 1. u v x x '; y y '; z z ' 2. u v x x '; y y '; z z ' 3. ku (kx;ky;kz)  4. u.v xx ' yy ' zz ' 5. u  v xx ' yy ' zz ' 0 6. u x2 y2 z2 y z z x x y u  v ; ; yz ' y ' z; zx ' z ' x; xy ' x ' y 7. y ' z ' z ' x ' x ' y '  8. u,v cùng phương [u,v] 0 3.1.3. Tọa độ của điểm: cho A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z )  A A A B B B 1.AB (xB xA ; yB yA ; zB zA ) 2 2 2 2. AB (xB xA ) (yB yA ) (zB zA ) 3. G là trọng tâm tam giác ABC ta có: xA xB xC yA yB yC zA zB zC xG = ; yG = ; zG = 3 3 3 x kx y ky z kz 4. M chia AB theo tỉ số k: x A B ; y A B ; z A B ; M 1 k M 1 k M 1 k x x y y z z Đặc biệt: M là trung điểm của AB: x A B ; y A B ; z A B . M 2 M 2 M 2 3.1.4. Các công thức về góc u.v 1. Góc giữa hai véctơ: cos(u, v) u . v   u1.u2   2. Góc giữa hai đường thẳng: cos( 1, 2 )   (u1, u2 là các véc tơ chỉ u1 . u2 phương của hai đường thẳng 1, 2 ) 3. Góc giữa đường thẳng và mặt   u .n phẳng: sin( , )   u . n   u , n là vectơ chỉ phương của và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )   n .n  4. Góc giữa hai mặt phẳng: cos( ,  )   n . n    ( n , n là vectơ pháp tuyến của ( ),( ) ) 3.1.5. Công thức về khoảng cách   M M ,u 1. Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng; d(M , )  u 2. Khoảng cách từ điểm M(x0,y0,z0) đến mp(P): Ax+By+Cz+D=0 là: Ax By Cz D d(M ,(P)) 0 0 0 A2 B2 C 2 Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 4
  5.    M M . u ,u 1 2 1 2 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d( 1, 2 )   u ,u 1 2   ( M1 1, M 2 2 , u1,u2 là véctơ chỉ phương của 1, 2 ) 3.1.6. Các công thức về diện tích và thể tích   1. Diện tích hình bình hành ABCD: SY ABCD AB, AD 1   2. Diện tích tam giác ABC: S AB, AC ABC 2    3. Thể tích khối hộp ABCD.A B C D : VABCD.A'B'C 'D' [AB, AD].AA' 1    4. Thể tích tứ diện ABCD: V [AB, AC].AD ABCD 6 3.2. Phần bài tập 3.2.1 Phương pháp giải Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh của hình. Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào : Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ). Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng. Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp: Độ dài đọan thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng Thể tích khối đa diện Diện tích thiết diện Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc Bài toán cực trị, quỹ tích Bổ sung kiến thức : Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 5
  6. 1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S ' bằng tích của S với cosin của góc giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu ' S S.cos 2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ', B', ' ' ' V ' ' ' SA SB SC C' khác với S. Ta luôn có: S.A B C . . VS.ABC SA SB SC 3.2.2 Các dạng toán 1. Hình chóp tam giác a. Dạng tam diện vuông z (Hình chóp có một cạnh C bên vuông góc với đáy) Bài toán 1. Tam diện vuông : Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, O B y Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ A x b, Tam diện có một góc phẳng vuông (Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy) khi đó ta thiết lập một mặt của hệ trục tọa độ chứa góc phẳng đó. Bµi to¸n . Cho hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SABcân tại S, ABC z vuông tại A (vuông tại B làm tương tự). Ta nên * Gọi O, I lần lượt là trung điểm AB và BC. A * Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ C O I y B x Ví dụ 1. Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3; AC = AD= 4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 6
  7. Hướng dẫn giải + Chọn hệ trục Oxyz sao cho A  O D Ox; C Oy và B Oz A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Phương trình đoạn chắn của (BCD) là: x y z 1 3x + 3y + 4z 4 4 3 – 12 = 0 Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là: 6 34 d A,(BCD) 17 Ví dụ 2. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d(M, (OAB))= 3 Þ zM = 3. Tương tự Þ M(1; 2; 3). x y z phương trình mặt phẳng(ABC): + + = 1 a b c Z 1 2 3 M Î (ABC) Þ + + = 1 C a b c (1). 1 V = abc O.ABC 6 (2). M 1 2 3 1 2 3 (1) Þ 1 = + + ³ 33 . . B a b c a b c O 1 y Þ abc ³ 27 H 6 . I (2) A 1 2 3 1 x Þ Vmin = 27 Û = = = . a b c 3 Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : 2S abc a b c Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 7
  8. Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)   BC c;b;0 , BD c;0;a ,   BC, BD ab;ac;bc 1   1 S BC, BD a2b2 a2c2 b2c2 BCD 2 2 ñpcm a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 abc(a b c) a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 abc(a b c) Theo bất đẳng thức Cachy ta có: a 2 b2 b2 c2 2ab2 c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c c a 2bc a  Coäng veá : a b a c b c abc(a b c) 2 2 2 2 2 c a a b 2ca b c. Dạng hình chóp tam giác đều Bài toán . Cho hình z chóp tam giác đều S S.ABC, Ta nên: * Gọi O là tâm mặt đáy. * Trong (ABC) dựng B C OI song song với BC y cắt AC tại I. O I * Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ. A x Ví dụ 1. (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích D AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC). Hướng dẫn giải Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm DABC . 3 a 3 a 3 a 3 Gọi I là trung điểm của BC, ta có :AI = BC = Þ OA = , OI = 2 2 3 6 Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa æa 3 ö độ như hình vẽ ta được: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ç ; 0; 0÷ èç 3 ø÷ Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 8
  9. æ a 3 ö æ a 3 a ö Þ I ç- ; 0; 0÷, Bç- ; ; 0÷ , èç 6 ø÷ èç 6 2 ø÷ æ a 3 a ö æ a 3 a h ö Cç- ; - ; 0÷, M ç- ; ; ÷ èç 6 2 ø÷ èç 12 4 2 ø÷ æ a 3 a h ö và Nç- ; - ; ÷ . èç 12 4 2 ø÷ uuur uuur 2 r é ù æah 5a 3 ö Þ n(AMN) = AM, AN = ç ; 0; ÷ ëê ûú èç 4 24 ø÷ r uur uur æ a2 3 ö n(SBC) = éSB, SCù= ç- ah; 0; ÷ ëê ûú èç 6 ø÷ (AMN) ^ (SBC) 2 r r 2 5a Þ n(AMN).n(SBC) = Þ h = 12 1 uuur uuur a2 10 Þ S = éAM, AN ù = DAMN 2 ëê ûú 16 .Ví dụ 2.(ĐH khối A – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Hướng dẫn giải Theo giả thiết (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC) nên SA (ABC) Góc giữa (SBC) và (ABC) là S· BA 60 SA AB.tan 60 2a 3 . Mặt phẳng qua SM, song song BC, cắt AC tại N MN // BC N là trung điểm AC. Do đó tam giác AMN vuông cân tại M. 1 1 Khi đó, ta có V SA.S SA.(S S ) S .BCNM 3 BCNM 3 ABC AMN 1 4a2 a2 .2a 3.( ) a3 3 . 3 2 2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SN bằng phương pháp tọa độ. Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 9
  10. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với B là gốc tọa độ, z S C(2a;0;0), A(0;2a;0), S(0;2a;2a 3) . N là trung điểm AC N(a;a;0) SN (a; a; 2a 3) . Mặt khác BA (0;2a;0) M   . B A 2 2 y SN, BA (4a 3;0;2a )  Lại có BN (a;a;0) N    SN, BA .BN d(SN, AB)   C SN, BA . x 4a3 3 2a 39 2a2 13 13 Chú ý + Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy. + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy. 2. Hình chóp tứ giác a) Bài toán 1. Hình z chóp S.ABCD có SA S vuông góc với đáy và I đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông. A D y B C x b) Bài toán 2. Hình chóp z S.ABCD có đáy là hình S vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt A là Ox, Oy, Oz. D Giả sử SO = h, OA = a, OB = b có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), O B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), B x C D(0;–b; 0), S(0; 0; h) y Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 10
  11. c, Bài toán 3.Cho hình S z chóp S.ABCD có SA (ABCD), tứ giác ABCD là thoi, Ta nªn: * Gọi O là tâm I hình thoi, I là trung điểm A SC. D * Chọn hệ trục Oxyz như O hình vẽ B C x y d, Bài toán 4. Cho hình S chóp S.ABCD có (SAB) z (ABCD), SAB cân tại S, tứ giác ABCD là hình thoi, I Ta nên: * Gọi M, N, I lần lượt là A trung điểm AB, CD, SN, D và O là tâm hình thoi. M O N * Chọn hệ trục Oxyz như B C hình vẽ. x y Ví dụ 1: (ĐH - Khối B- 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Hướng dẫn giải Gọi z H  O ; S H  O z; A B  O x ; H I  O y , S a 3 k h i ñ o ù : H ( 0 ; 0 ; 0 ) , S ( 0 ; 0 ; ) , 2 K a a A ( ; 0 ; 0 ) , B ( ; 0 ; 0 ) , 2 2 a a C ( ; a ; 0 ) , D ( ; a ; 0 ) B 2 2 C Ta có: y   a a 3 S A ; 0 ; , 2 2 H I   a a 3 S B ; 0 ; , A 2 2 D x    a a 3 S C ; a ; , 2 2    a a 3 S D ; a ; 2 2 Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 11
  12. 1       1 a3 3 a3 3 a3 3 V V V SA,SC SB SA,SC SD S.ABCD SABC SACD 6 6 2 2 6    M aët khaùc : (SC D ) coù n SC , SD (0; a 2 3 ; 2 a 2 ) SC D pt(SC D ) coù daïng : a 2 3 y 2 a 2 z a 3 3 0 ptñt ñi qua A vaø vuoâng goùc (SC D ) coù daïng : a x t 2 y a 2 3 t , t ¡ 2 z 2 a t 3 a 3 a 2 a 3 t  ( S C D ) M ( ; ; ) 7 a 2 7 7 9 a 2 1 2 a 2 2 1 a 2 a 3 d ( A , ( S C D ) ) A M 4 9 4 9 4 9 7 Lưu ý sử dụng công thức khoảng cách nhanh hơn a a2 3. a3 3 2 a 3 d(A,(SCD)) ) 3a4 4a4 7 Ví dụ 2: (ĐH - Khối A- 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH=a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Hướng dẫn giải S Dễ thấy z VS.CDNM VS.ABCD VS.BCM VS.AMN 1 SH.(S S S ) 3 ABCD BCM AMN 1 a2 a2 5a3 3 .a 3(a2 ) . 3 4 8 24 y Bây giờ ta tính khoảng cách N giữa hai đường thẳng DM và A SC bằng phương pháp tọa D độ. H Chọn hệ trục Oxyz như hình M vẽ, ta có C O(0;0;0), B(a;0;0), C  O B x D(0;a;0), A(a;a;0). Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 12
  13. a M là trung điểm AB M (a; ;0) 2 N là trung điểm AD a N( ;a;0) H (Oxy) H (x; y;0) 2     H DM  CN CH,CN cùng phương và DH, DM cùng phương x y x y a 2a 4a 2a 4a 2a 4a và x , y . Vậy H(); ;0 S( ; ;a 3) a a a a 5 5 5 5 5 5 2 2  2a 4a  a   a2 3 Khi đó, CS ( ; ;a 3), DM (a; ;0) CS, DM ( ;a2 3; a2 ) 5 5 2 2    3  a CS, DM .CM a 3 2a 57 Mặt khác CM (a; ;0) d(SC, DM )   . 2 a2 19 19 CS, DM 2 Ví dụ 3: (ĐH - Khối A- 2009) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=2a, CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 o. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD), tính thể tích khối chóp S. ABCD theo a. Hướng dẫn giải Vì (SBI) (ABCD), (SCI)  (ABCD) z SI (ABCD), giả sử SI=h. S Dựng đường thẳng qua A và song song với SI Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Khiđó:A(0;0;0),B(2a;0;0), D(0;2a;0),C(a;2a;0)I(0;a;0),S(0;a;h)  BS ( 2a;a;h);BC ( a;a;0) A B x   n BC,BS (2ah;ah;3a2); (SBC) I n( ABCD) k (0;0;1) D C 60o y n ( S B C ) . n ( A B C D ) 1 n ( S B C ) . k c o s 6 0 o 2 n ( S B C ) n ( A B C D ) n ( S B C ) k 1 3 a a 3 1 5 h 2 5 h 2 9 a 2 5 1 1 3 3 15 VS.ABCD .SI.SABCD h(a 2a)2a a 3 6 5 Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 13
  14. 3. Hình lăng trụ Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên. a, Hình lăng trụ đứng: (Với hình hộp chữ nhật hay hình lập phương hay hình lăng trụ tứ giác đều) thì việc thiết lập hệ tọa độ thường có hai cách: + Chọn một đỉnh làm gốc tọa độ và ba trục trùng với ba cạnh của hình hộp. + Chọn tâm của đáy làm gốc tọa độ và ba trục song song với ba cạnh của hình hộp. b, Hình lăng trụ nghiêng, ta dựa trên đường cao và tính chất của đáy để chọn hệ tọa độ cho thích hợp. Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vuông góc mp’ (A'BD) Hướng dẫn giải z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O  A; B Ox; D Oy và A' Oz Giả sử hình A' D' lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh là a đơn vị B' C' A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1) Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (A'BD):x + y A D y + z = a hay x + y + z –a = 0 Pháp B C tuyến của mặt phẳng (A'BC): x n(A'BC) = (1;1;1) mà AC' = (1;1;1) Vậy AC' vuông góc (A'BC) Ví dụ 2: (ĐH - Khối B- 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có BB’=a góc giữa hai đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600, tam giác ABC vuông tại C và B· AC 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’. ABC. Hướng dẫn giải Giả sử AC=b, ABC vuông tại C có B· AC 600 nên CB=b 3 , 3 a B’GB vuông tại G có B· ' BG 600 , BB’=a nên B’G== B 'G a , BG . 2 2 Từ C dựng trục Cz song song với B’G. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ b b 3 b b 3 3 Ta có: C(0;0;0), A(b;0;0), B(0; b 3 ;0) G ( ; ;0), B '( ; ;a ) 3 3 3 3 2 2 2 2 b b 3 a 3 3a Ta có: BB' a 0 b 3 0 a b 3 3 2 2 13 Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 14
  15. Lại có: C'   z AA' BB' B' 2a 3a a 3 A'( ; ; ) 13 13 2    A' CA,CB .CA' V A'.ABC 6 C 9a3 (dvtt) 208 G B y A x Ví dụ 3 : (ĐH - Khối A- 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC= a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và cosin góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. Hướng dẫn giải Z Ta có BC=2a, AI==a, A’AI vuông A' C' tại I , AA’=2a A’I= a 3 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.Ta có A(0;0;0), B' a a 3 B(a;0;0),C(0; a 3 ;0), A'( ; ;a 3) 2 2 Tính thể tích khối chóp A’.ABC Cách 1: A C 3 y 1 1 1 a I VA'.ABC S ABC .A'I . a.a 3.a 3 (đ 3 3 2 2 B vtt) x 1    a3 Cách 2: V A' A, A' B .A'C (đvtt) A'.ABC 6 2 Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ Gọi là góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ Vì B’C’ song song với BC nên góc giữa AA’ và B’C’ chính là góc giữa AA’ và   AA'.BC 1 BC. Ta có: cos   AA' . BC 4 Ví dụ 4 (ĐH khối B – 2011). Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 15
  16. của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 60 0. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a. Hướng dẫn giải z B' Gọi I = AC BD. Ta có C' A' I  (ABCD) . Chọn hệ trục Oxyz với B là A' gốc tọa độ, tia BA là tia Ox, D' tia BC là tia Oy, tia Oz là tia Bz song song và cùng hướng với tia IA’. Khi đó B(0;0;0), A(a;0;0), B C(0;a 3 ;0), C y a a 3 D(a; a 3 ;0), I(; ;0 ). I 2 2 A D A’ có hình chiếu lên (Oxy) là I nên x a a 3 A’(; ; z ) (z 0) . 2 2 Ta tìm z: + Mặt phẳng (ABCD) chính là mặt phẳng (Oxy) nên có VTPT là k (0;0;1).   a a 3   a2 3 a 3 AD (0;a 3;0), AA' ( ; ;z) AD, AA' (az 3;0; ) .(2z;0;a) 2 2 2 2 mặt phẳng (ADD’A’) có VTPT là n (2z;0;a) . + Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 nên ta có k.n 1 a 1 a 3 cos60 z (z > 0). k . n 2 4z2 a2 2 2 a a 3 a 3 Vậy A’(; ; ). 2 2 2 a 3 3a3 Do đó V A' I.S .a.a 3 . ABCD.A' B'C ' D ' ABCD 2 2   3a2 a2 3 a2 Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là BA', BD ( ; ;0) .(3; 3;0) 2 2 2 (A' BD) : 3x 3y 0 3x y 0 .   a a 3 a 3 Mặt khác BB ' AA' B '( ; ; ) 2 2 2 a a 3 . 3 2 2 a 3 Vậy khoảng cách từ B’ đến (A’BD) là d(B ',(A' BD)) 2 2 Ngoài các trường hợp trên, trong các trường hợp khác ta dựa vào quan hệ song song, vuông góc và các tính chất của đường cao, đáy, để thiết lập hệ tọa độ cho thích hợp. Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 16
  17. 3.3 Các dạng bài tập tương tự 3.3.1. Các bài toán về hình chóp tam giác Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD). Bài 2 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a. Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. 1. Tính diện tích DMAB theo a. 2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a. Bài 4. Cho tứ diện S.ABC có DABC vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. 1. Chứng minh HK vuông góc với CS. 2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. 3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK). 4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. 1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD. 2. Tính khoảng cách giữa BC và SD. Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. 3.3.2. Các bài toán về hình chóp tứ giác Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. 1. Tính diện tích D SBE. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 2. Tính khoảng cách giữa SB và CN. 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 17
  18. 3 4. Tìm điều kiện của a và b để cosC·MN = . Trong trường hợp đó tính 3 thể tích hình chóp S.BCNM. 3.3.3. Các bài toán về hình hộp - Hình lăng trụ đứng Bài 10. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC. 1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 2. Tính khoảng cách giữa IK và AD. 3. Tính diện tích tứ giác IKNM. Bài 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. 1.Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N. 2.Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mc (S’)qua A’, B, C’, D. 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương. Bài 13 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, B·AD = 600. Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông. 4. Kết quả thực hiện: 4.1- Bài kiểm tra số 1 - Mục đích :Kiểm tra trình độ học sinh của 2 lớp trước khi tiến hành thực nghiệm - Thời gian :trước khi dạy thực nghiệm một tuần. - Bảng 1: Tần số F(xi) Tần suất (%) Điểm Lớp 12A2 Lớp 12A1 Lớp 12A2 Lớp 12A1 10 0 0 0 0 9 0 1 0 2,08 8 1 3 2,13 6,25 7 8 9 17,02 18,75 6 10 13 21,27 27,08 5 13 12 27,66 25 4 8 5 17,02 10,42 3 5 4 10,64 8,34 2 2 1 4,26 2,08 Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 18
  19. Qua bảng trên ta thấy về trình độ của hai lớp ngang nhau, điểm kiểm tra trung bình chiếm phần lớn, số điểm dưới trung bình cũng khá nhiều. 4.2- Bài kiểm tra số 2: - Thời gian: tiến hành kiểm tra sau khi dạy học thực nghiệm. - Mục đích: đánh giá kết quả sau khi thực nghiệm. Bảng 2: Tần số F(xi) Tần suất (%) Điểm Lớp 12A2 Lớp 12A1 Lớp 12A2 Lớp 12A1 10 0 0 0 9 0 2 0 4,17 8 2 5 4,26 10,42 7 10 15 21,28 31,25 6 13 17 27,66 35,42 5 12 7 25,53 24,57 4 6 2 12,77 4,17 3 3 0 6,38 0 2 1 0 2,12 0 1 0 0 0 Căn cứ vào kết quả thực nghiệm trên ta thấy kết quả làm bài của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. Ở lớp thực nghiệm số điểm khá, giỏi tăng, số điểm dưới trung bình giảm đáng kể so với lớp đối chứng. Như vậy, có thể nói việc hệ thống hoá các kiến thức và phân dạng các bài tập dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp đã kích thích được tính tích cực của các em học sinh giúp các em đã biết giải các bài tập và biết cách phân dạng và định hướng được cách làm và cách trình bày bài. III. Kết luận. Thông qua các ví dụ minh họa các trường hợp đơn giản và lời giải các bài toán trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, tôi tự nhận thấy phương pháp tọa độ hóa thật sự là một công cụ rất hiệu quả để giải các bài toán hình học không gian tổng hợp. Các lời giải trực tiếp và dễ định hướng. Nội dung sáng kiến này đã được trình bày cho các em học sinh khối 12 ôn thi Đại học, Cao đẳng, các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi Toán và máy tính cầm tay khối 11, 12. Sự hứng thú và tự tin của học sinh đối với việc học Toán, đặc biệt là hình học không gian, nhằm góp phần vào thành tích chung trong kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng của nhà trường. Trên đây là một số ý kiến cá nhân của tôi về việc hướng dẫn học sinh dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp, tôi xin đưa ra trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp. Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 19
  20. Các phép tính trong sáng kiến là khá nhiều, hình vẽ khá phức tạp nên không tránh khỏi các thiếu sót. Tôi rất mong được sự giúp đỡ, đóng góp của ban giám khảo và các đồng nghiệp để công việc dạy học của tôi đạt kết quả cao hơn. Tài liệu tham khảo - Sách giáo khoa, bài tập cơ bản và nâng cao lớp 12. - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toạ độ trong không gian 12 - Ôn kiến thức,luyện kĩ năng giải các dạng toán quan trọng về hình học. - Chuyên đề hình không gian. - Đề thi tuyển sinh ĐH- CĐ. Thẩm định của hội đồng thẩm định Bắc Hà, ngày 20 tháng 05 năm 2014 Sáng kiến kinh nghiệm Người viết sáng kiến Chủ tịch hội đồng Nguyễn Khánh Chi Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 20
  21. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc BÁO CÁO TÓM TẮT HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: HƯỚNG DẪN HỌC SINH DÙNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP Mã số: . 1. Tình trạng giải pháp đã biết: Việc dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp là một vấn đề cần thiết với học sinh lớp 12 vì đó là một nội dung quan trọng để học sinh dự thi các trường Đại học và Cao đẳng, trung học chuyên nghiệp. Đây vốn là dạng bài khó đối với học sinh, đa phần các em học ở mức độ trung bình khá trở xuống đều cảm thấy hết sức bồi rối khi đứng trước 1 bài hình không gian, không biết bắt đầu từ đâu, đi theo hướng nào thì tới đích và cuối cùng là bỏ qua, thậm chí có em còn không cần đọc kĩ đề và bỏ qua luôn nếu trong đề có xuất hiện dạng này. Một giải pháp có thể giúp các em này không mất điểm một cách đáng tiếc là chuyển bài toán hình học không gian tổng hợp thuần tuý sang bài toán hình giải tích quen thuộc bằng phương pháp toạ độ hoá. Việc vận dụng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp là rất tiện lợi song phương pháp này có được đề cập đến trong chương trình toán phổ thông dưới dạng một vài bài tập đơn giản, ít được chú trọng nên học sinh thường không chú ý. Học sinh không biết chọn hệ trục toạ độ như thế nào cho thích hợp. Cho nên vấn đề đặt ra là dạy như thế nào để học sinh nắm chắc lí thuyết và biết vận dụng tốt để giải các bài tập cơ bản. 2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: Một giải pháp có thể giúp các em này không mất điểm một cách đáng tiếc ở bài toán này là chuyển bài toán hình học không gian tổng hợp thuần tuý sang bài toán hình giải tích quen thuộc bằng phương pháp toạ độ hoá. Việc vận dụng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp là rất tiện lợi song phương pháp này có được đề cập đến trong chương trình toán phổ thông dưới dạng một vài bài tập đơn giản, ít được chú trọng nên học sinh thường không chú ý. Học sinh không biết chọn hệ trục toạ độ như thế nào cho thích hợp. Cho nên vấn đề đặt ra là dạy như thế nào để học sinh nắm chắc lí thuyết và biết vận dụng tốt để giải các bài tập cơ bản. Cụ thể: Phần Lý thuyết: Hệ thống các kiến thức về - Hệ trục toạ độ Oxyz - Tọa độ của vectơ - Tọa độ của điểm: - Các công thức về góc - Công thức về khoảng cách - Các công thức về diện tích và thể tích Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 21
  22. Phần bài tập Phương pháp giải Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh của hình. Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào : Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ). Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng. Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp: Độ dài đọan thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng Thể tích khối đa diện Diện tích thiết diện Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc Bài toán cực trị, quỹ tích Các dạng toán: Hình chóp tam giác - Dạng tam diện vuông z (Hình chóp có một cạnh C bên vuông góc với đáy) Bài toán 1. Tam diện vuông : Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một O B y vuông góc, Chọn hệ trục Oxyz như A hình vẽ x - Tam diện có một góc phẳng vuông (Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy) Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 22
  23. z khi đó ta thiết lập một mặt của hệ trục tọa độ chứa góc phẳng đó. Bài toán . A Cho hình chóp S.ABC có (SAB) C (ABC), SABcân tại S, ABC vuông O tại A (vuôngtại B làm tương tự). Ta I y nên * Gọi O, I lần lượt là trung điểm AB và B BC. * Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ x Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau,AB = 3; AC = AD= 4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Ví dụ 2. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : 2S abc a b c - Dạng hình chóp tam giác đều Bài toán . Cho hình chóp z tam giác đều S.ABC, S Ta nên: * Gọi O là tâm mặt đáy. * Trong (ABC) dựng OI song song với BC C cắt AC tại I. * Chọn hệ B trục Oxyz như hình vẽ. y O I A x Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích D AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC). Ví dụ 2.(ĐH khối A – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 23
  24. giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Hình chóp tứ giác Bài toán 1. Hình chóp z S.ABCD có SA vuông S I góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông. A D y B C x Bài toán 2. Hình chóp z S.ABCD có đáy là hình S vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia A OA, OB, OS lần lượt là D Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, O OB = b có O(0; 0; 0), B x C A(a; 0; 0), y B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h) Bài toán 3.Cho hình S z chóp S.ABCD có SA (ABCD), tứ giác ABCD là thoi, Ta nên: I * Gọi O là tâm hình A thoi, I là trung điểm D SC. O * Chọn hệ trục Oxyz B C như hình vẽ x y Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 24
  25. Bài toán 4. Cho hình S chóp S.ABCD có (SAB) z (ABCD), SAB cân tại S, tứ giác ABCD là hình thoi, I Ta nên: * Gọi M, N, I lần lượt là A trung điểm AB, CD, SN, D và O là tâm hình thoi. M O N * Chọn hệ trục Oxyz như B C hình vẽ. x y Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: (ĐH - Khối B- 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Ví dụ 2: (ĐH - Khối A- 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH=a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Ví dụ 3: (ĐH - Khối A- 2009) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=2a, CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 o. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD), tính thể tích khối chóp S. ABCD theo a. Hình lăng trụ Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên. Hình lăng trụ đứng: (Với hình hộp chữ nhật hay hình lập phương hay hình lăng trụ tứ giác đều) thì việc thiết lập hệ tọa độ thường có hai cách: + Chọn một đỉnh làm gốc tọa độ và ba trục trùng với ba cạnh của hình hộp. + Chọn tâm của đáy làm gốc tọa độ và ba trục song song với ba cạnh của hình hộp. Hình lăng trụ nghiêng, ta dựa trên đường cao và tính chất của đáy để chọn hệ tọa độ cho thích hợp. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vuông góc mp’ (A'BD) Ví dụ 2: (ĐH - Khối B- 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có BB’=a góc giữa hai đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600, tam giác ABC vuông tại C và B· AC 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’. ABC. Ví dụ 3 : (ĐH - Khối A- 2008) Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 25
  26. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và cosin góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. Ví dụ 4 (ĐH khối B – 2011). Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 60 0. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a. Các dạng bài tập tương tự Các bài toán về hình chóp tam giác Các bài toán về hình chóp tứ giác Các bài toán về hình hộp - Hình lăng trụ đứng 3. Khả năng áp dụng của giải pháp: Nội dung sáng kiến này đã được trình bày cho các em học sinh khối 12, ôn thi Đại học, cao đẳng, các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi Toán và máy tính cầm tay khối 11, 12. 4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp Việc hệ thống hoá các kiến thức và phân dạng các bài tập dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp đã kích thích được tính tích cực của các em học sinh giúp các em đã biết giải các bài tập và biết cách phân dạng và định hướng được cách làm và cách trình bày bài. Sự hứng thú và tự tin của học sinh đối với việc học Toán, đặc biệt là hình học không gian, nhằm góp phần vào thành tích chung trong kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng của nhà trường. Bắc Hà, Ngày 25 tháng 05 năm 2014 Người báo cáo Nguyễn Khánh Chi THAM KHẢO HƠN 1000 SKKN TẤT CẢ CÁC MÔN HỌC THPT Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 26