Bài tập Hình học Lớp 9 - Đình Bảo (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 9 - Đình Bảo (Có lời giải)

1. 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Gọi O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn (O), đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại F, E. Đoạn BE cắt đoạn CF tại H. a) Chứng minh: tứ giác AFHE nội tiếp. b) Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2 c) Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là tiếp điểm và tia AB nằm giữa hai tia AM và AC). Chứng minh: Ba điểm M, H, N thẳng hàng. 2. Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến SA và SB của (O). a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp. b) Vẽ cát tuyến SCD của (O). Chứng minh : SA2 = SC.SD c) Vẽ tia phân giác của góc CAD cắt CD tại E. Chứng minh : SA = SE 3. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh BFEC và CEHD là các tứ giác nội tiếp. b) Đường thẳng EF cắt BC tại K, cắt đường tròn (O) tại các điểm P, Q (P thuộc cung nhỏ AB). Gọi xy là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O). Chứng minh OA vuông góc với PQ và AEQ = AQC. c) Trên tia đối của tia BQ lấy điểm S sao cho BP = BS. Gọi T là giao điểm của PS và KC. Chứng minh : KP2 KC.KF KT2 KB.KE Bài 1: Các kí hiệu như hình vẽ A E N F H M B C D O Dễ thấy A, M, N, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
2. Các tam giác AMF và ABM; AHF và ABD đồng dạng (g.g.) => AM/AB = AF/AM; AF/AD = AH/AB => AM2 = AF.AB = AH.AD => AM/AH = AD/AM => tgAMH đồng dạng với tgADM (c.g.c.) => góc AHM = AMD. Tương tự góc AHN = AND => góc AHM + AHN = AMD + AND = 1800 => M, H, N thẳng hàng. Bài 2: A S O C E D B Góc SEA = CDA + DAE = SAC + CAE = SAE => tam giác SAE cân tại S => SA = SE. Bài 3: A Q E F O P H T K B D C S
3. OA vuông góc với PQ => cung AP = AQ => góc PBA = ABQ. Mặt khác BP = BS => tam giác BPS cân tại B => góc BSP = BPS => 2QBF = PBQ = BPS + BSP = 2BSP => QBF = BSP => BF//PS => KP/KF = KT/KB => KP/KT = KF/KB (1) Lại có BFEC nội tiếp => góc AFE = ACB => tgKFB đồng dạng với tgKCE => KF/KB = KC/KE (2) KP2 KC.KF 2 Từ (1) (2) => (KP/KT)2 = KF/KB.KC/KE => KT KB.KE