Bài tập Hình học Lớp 9 - Giai đoạn III

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 9 - Giai đoạn III

1. BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 GIAI ĐOẠN III Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Bốn điểm C,E,H,D cùng nằm trên một đường tròn . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh bốn điểm C,E,H,D cùng nằm trên một đường tròn . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 1 3. Chứng minh ED = BC. 2 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. Chứng minh AC + BD = CD. 2. Chứng minh COD = 900. AB2 3.Chứng minh AC. BD = . 4 4. Chứng minh OC // BM 5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. 6. Chứng minh MN  AB. 7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. 8. Tìm vị trí của C, D để để hình thang ABDC có chu vi bằng 14 cm biết AB = 4cm. 9. Cho AB = 2R. Gọi r là bán kính của đường trong nội tiếp tam giác OCD. Chúng minh 1 r 1 rằng: 3 R 2 Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Bài 5: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. 1. Chứng minh tam giác BEC cân. 1
2. BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 GIAI ĐOẠN III 2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH). 4. Chứng minh BE = BH + DE. Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 1. Chứng minh rằng các điểm A,P,M,O cùng thuộc một đường tròn 2. Chứng minh BM // OP. 3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. 4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1. Chứng minh rằng: E,F,M,K cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 3. Chứng minh BAF là tam giác cân. 4. Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. Bài 9: Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh : 1. Các điểm O,M,N,P cùng thuộc một đường tròn. 2. Tứ giác CMPO là hình bình hành. 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào. Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. 1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật. 2. AE. AB = AF. AC. 3. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. 4. Gọi O là trung điểm của BC, chứng minh rằng AO  EF Bài 11: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K). 1.Chứng minh EC = MN. 2.Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K). 3. Cho AC = 10 cm, CB = 40cm. Tính MN. 4. Tìm vị trí của điểm C trên AB để diện tích tứ giác EMCN lớn nhất. 5. Tìm vị trí của điểm C trên AB để chu vi tứ giác EMCN lớn nhất. Bài 12: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. 1. Chứng minh A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. 2
3. BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 GIAI ĐOẠN III 5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Bài 13: Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh răng: 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2.Các điểm A,D,E,C và các điểm A,F,B,C cùng thuộc một đường tròn. 3. AC // FG. 4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy. Bài 14: Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC. 1. Chứng minh A,P,M,Q cùng thuộc một đường tròn và hãy xác định tâm O của đường tròn đó. 2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH. 3. Chứng minh OH  PQ. Bài 15: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. 1. Chứng minh M,C,I,D cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. Gọi K là tâm đường tròn đi qua 4 điểm M,C,I,D. Chứng minh K,C,O,H cùng thuộc một đường tròn. Bài 16: Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD. 1. Chứng minh các điểm B,M,D,I cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. 3. Chứng minh BI // AD. 4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’). Bài 17: Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng minh rằng: 1. Bốn điểm M, D, G,C cùng nằm trên một đường tròn. 2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn. 3. Tứ giác ADBE là hình thoi. 4. B, E, F thẳng hàng. 5. DF, EG, AB đồng quy. Bài 18: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. 1. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A. 2. Chứng minh IP // OQ. 3. Chứng minh rằng AP = PQ. 4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất. Bài 19: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp . 2. Tính góc CHK. 3. Chứng minh KC. KD = KH.KB 3
4. BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 GIAI ĐOẠN III 4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào? Bài 20. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE. 1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng. 2. Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác vuông cân. 3. Cho biết ABC > 450 ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn. 4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 21. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E. 1. Chứng minh AE = EB. 2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH. 3.Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ BDE. Bài 22. Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q. 1. Chứng minh tam giác ABC cân. 2. Chứng ming rằng các điểm B,I,M,K và các điểm C,I,M,H cùng thuộc một đường tròn . 3. Chứng minh MI2 = MH.MK. Bài 23: Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm thuộc cung lớn BC ( M khác B, C), từ M kẻ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chứng minh : 1. Các điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Bài 24: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD  AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh: KC AC 1. KB AB 2. MA là tia phân giác của CMD. 3. Các điểm O,H,C,I cùng thuộc một đường tròn. 4. Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại M. Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC. 1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành. 2. E, F nằm trên đường tròn (O). 3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân. 4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy học khi người khác ngủ, lao động khi người khác lười nhác, chuẩn bị khi người khác chơi bời, và có giấc mơ khi người khác chỉ ao ước. Chúc các con thành công! 4