Bài tập Hình học Lớp 9 nâng cao (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 9 nâng cao (Có lời giải)

1. Bài hình khó của giangtienhai từ lâu chưa giải đáp Đề bài: Cho tam giác ABC cò 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ EG vuông góc với OA tại G. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BE và CF. Chứng minh: IK là trung trực của đoạn thẳng DG. Yêu cầu: Giải bài toán trên bằng kiến thức THCS Hướng dẫn giải Cách 1 Gọi M là điểm đối xứng E qua G, N là điểm đối xứng B qua D. Vẽ tia tiếp tuyến Ax tại A của đường tròn (O) => AM = AE và AB = AN Dễ thấy tứ giác BFEC nội tiếp nên chứng minh được Góc BAx = góc ACB = góc AFE => Ax // EF (2 góc ở vị trí sole trong) mà OA _|_ Ax nên EF _|_ OA mà OA _|_ EG nên 3 điểm E, G, F thẳng hàng. Từ từ giác BFEC nội tiếp dễ thấy góc ABC = góc AEF => Dễ dàng chứng minh được góc GAE = góc BAD => góc EAM = góc BAN => góc EAG = góc BAM. Kết hợp với AM = AE và AB = AN => (c – g – c) => BM = EN
2. Dễ thấy GI là đường trung bình của tam giác BME => BM = 2IG. Tương tự DI là đường trung bình tam giác BEN => EN = 2DI. Mà BM = EN => ID = IG Chứng minh tương tự hoàn toàn như ban đầu ta cũng có KD = KG. Từ ID = IG và KD = KG => IK là đường trung trực của đoạn thẳng DG Cách 2: Chứng minh phức tạp và dài dòng hơn rất nhiều Cho AG cắt BC tại T, AD cắt EF tại S. Gọi N, M, P, Q lần lượt là hình chiếu của E, S, T, B trên đường thẳng DG. Kẻ DV vuông góc với BE tại V. Kẻ tia tiếp tuyến Ax tại A của đường tròn (O). Dễ thấy tứ giác BFEC nội tiếp nên chứng minh được Góc BAx = góc ACB = góc AFE => Ax // EF (2 góc ở vị trí sole trong) mà OA _|_ Ax nên EF _|_ OA mà OA _|_ EG nên 3 điểm E, G, F thẳng hàng. Các tam giác DST và SGT vuông nên theo định lý pitago ta có SD2 + DT2 = ST2 = SG2 + GT2 => SD2 – SG2 = GT2 – DT2 Từ SM và TP cùng vuông góc với DG. Áp dụng liên tiếp định lý pitago ta có (SM2 + MD2) – (SM2 + MG2) = (PT2 + PG2) – (PT2 + DP2)  MD2 – MG2 = PG2 – PD2  (MD – MG)(MD + MG) = (PG – PD)(PG + PD)  (MD – MG).DG = (PG – PD).DG  MD – MG = PG – PD  (DG – MG) – MG = ( DG – PD) – PD  MG = DP.
3. Dễ dàng chứng minh được (g - g) => (g - g) => . Lấy 2 đẳng thức nhân nhau vế theo vế Ta suy ra . Dễ thấy NE // MS và BQ // PT. Áp dụng định lí talet . Mà MG = DP => NG = DQ. Từ NE và BQ cùng vuông góc với DG. Áp dụng liên tiếp định lý pitago BG2 – BD2 = (QG2 + BQ2) – (DQ2 + BQ2) = QG2 – DQ2 = (DQ + DG)2 – DQ2 DE2 – EG2 = (DN2 + NE2) – (NG2 + NE2) = DN2 – NG2 = (NG + DG)2 – NG2 Mà DQ = NG => BG2 – BD2 = DE2 – EG2  BG2 + EG2 = DE2 + BD2 Từ DV vuông góc với BE ta có DE2 + BD2 = (BV2 + DV2) + ( EV2 + DV2) = 2DV2 + BV2 +EV2 = 2DV2 +(BV + EV)2 – 2BV.EV = 2DV2 + BE2 – 2.(BI – IV).(IE + IV) = = = = Vậy DE2 + BD2 = 2DI2 + Lập luận tương tự ta cũng có BG2 + EG2 = 2IG2 + Mà BG2 + EG2 = DE2 + BD2 => ID = IG Chứng minh tương tự hoàn toàn như ban đầu ta cũng có KD = KG. Từ ID = IG và KD = KG => IK là đường trung trực của đoạn thẳng DG
4. Nhận xét Đây quả là một bài toán rất khó. Tuy nhiên, cái khó của bài toán này chính là việc chọn điểm phụ hợp lý. Nếu chọn điểm phụ phù hợp sẽ cho cách giải rất nhanh chóng chính là cách 1. Ngược lại với cách 2 sử dụng cách chứng minh phức tạp Ở cách 2 hầu như nhìn vào bài toán này với công cụ trợ giúp là định lý pitago, định lý talet và tam giác đồng dạng. Việc chứng minh ID = IG thật sự không đơn giản nếu như không kẻ thêm một đường phụ nào. Tuy nhiên nó lại rất dễ với cách 1. Nhưng lại rất khó đối với cách 2 bởi vì nếu như sử dụng được công thức đường trung tuyến thì hệ thức BG2 + EG2 = DE2 + BD2 cũng rất khó để chứng minh. Chứng minh hệ thức này có thể suy ra từ các tam giác đồng dạng nhưng sẽ đưa về các dạng lượng giác 3 góc A, B, C trong tam giác ABC. Kiến thức này ở phổ thông mới học và sử dụng