Bài tập nâng cao về các hằng đẳng thức đáng nhớ

Nội dung text: Bài tập nâng cao về các hằng đẳng thức đáng nhớ

1. BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ May 21st, 2013 [Giasudhsphn.com] – Bài tập nâng cao về các hằng đẳng thức đáng nhớ do trung tâm gia sư sư phạm Hà Nội biên soạn. I/ Bài tập vận dụng cho các hằng đẳng thức (1), (2), (3), (4). Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1. Lời Giải Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1. A = 2x² – 5x + 3 = 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10 Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau: a) 127² + 146.127 + 73² b) 98 .28 – (184 – 1)(184 + 1) c) 100² – 99² + 98² – 97² + + 2² – 1² d) (20² + 18² + 16² + + 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² + + 3² + 1²) Lời Giải a) A = 127² + 146.127 + 73² = 127² + 2.73.127 + 73² = (127 + 73)² = 200² = 40000 . b) B = 98 .28 – (184 – 1)(184 + 1) = 188 – (188 – 1) = 1 c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + + 2² – 1² = (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) + + (2 + 1)(2 – 1) = 100 + 99 + 98 + 97 + + 2 + 1 = 5050. d) D = (20² + 18² + 16² + + 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² + + 3² + 1²) = (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ + (4² – 3²) + (2² – 1²) = (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ + (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1) = 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + + 4 + 3 + 2 + 1 = 210 Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn? a) A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232 b) A = 1989.1991 và B = 19902 Lời Giải a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được: A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được: A = 232 – 1. => Vậy A < B.
2. b) Ta đặt 1990 = x => B = x² Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1 => B > A là 1. Bài 4. Chứng minh rằng: a) a(a – 6) + 10 > 0. b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0. c) a² + a + 1 > 0. Lời Giải a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1 => VT > 0 b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3 => VT > 0 c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0. Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = x² – 4x + 1 b) B = 4x² + 4x + 11 c) C = 3x² – 6x – 1 Lời Giải a) Ta sẽ biến đổi A= x² – 4x + 1 = x² – 4x + 4 – 3 = ( x- 2)² – 3 Do ( x- 2)² > 0 nên => ( x- 2)² – 3 ≥ -3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(Amin) = -3 khi và chỉ khi x = 2. b) B = 4x² + 4x + 11 = (2x + 1)² + 10 Vậy Bmin = 10 khi và chỉ khi x = -½. c) C = 3x² – 6x – 1 = 3(x – 1)² – 4 Vậy Cmin = -4 khi và chỉ khi x = 1. Bài 6. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b² + c² – a² = 4p(p – a) Lời Giải Ta sẽ đi biến đổi VP. VP = 2p(2p – 2a) = (a + b + c)( a + b – c) = ( b + c )² – a² = b² + 2bc + c² – a² = VT (đccm) Bài 7. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy. Lời Giải Gọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x + 2 (x chẵn). Ta có: (x + 2)² – x² = 36 x² + 4x + 4 – x² = 36
3. 4x = 32 x = 8 => số thứ 2 là 8+2 = 10 Đáp số: 8 và 10 Bài 8. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp 2 số trong 3 số ấy bằng 74 Lời Giải Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: x – 1, x, x + 1 ( đk: x>0) Vậy ta có: x(x – 1) + (x – 1)(x + 1) + x(x + 1)= 74 Ta nhân vào và rút gọn đi ta có: x² = 25 x = -5 , x = 5 So sánh với Đk: x>o => x = 5 (t/m). Vậy đáp số: 4, 5, 6. II/ Bài tập tự giải Bài 1. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: a) (a² – b²)² + (2ab)² = (a² + b²)² b) (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)² Bài 2. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: (p – a)² + (p – b)² + (p – c)² = a² + b² + c² – p² Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) 5 – 8x – x² b) 4x – x² + 1 Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức: a) x² – 10x + 26 với x = 105 b) x² + 0,2x + 0,01 với x = 0,9 Bài 5. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tim 2 số ấy. Đ/S: 9 và 11. Bài 6. Tổng 3 số a, b, c bằng 9, Tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính ab + bc + ca. Đ/S: ab + bc + ca = 14.