Bài tập ôn tập Chương 3 môn Đại số và Giải tích Lớp 12 - Hoàng Thương Thương

Nội dung text: Bài tập ôn tập Chương 3 môn Đại số và Giải tích Lớp 12 - Hoàng Thương Thương

1. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái ÔN TẬP CHƯƠNG 3 Câu 1. Hàm số F x x cos x là một nguyên hàm của hàm số nào? x2 x2 A. .y 1 sinB.x . C. y sin x y sin x . D. y 1 sin x . 2 2 Lời giải Chọn D Ta có F x 1 sin x . Câu 2. Cho hàm số y f x có f x dx xsin x C . Tính f . 2 A. 1 .B. 0 .C. 1. D. 1 . 2 2 Lời giải Chọn C Ta có f x xsin x C sin x x cos x f 1 . 2 Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f x 2x3 9 là: 1 1 A. x4 9x C . B. .4 x4 9x C.C . D.x 4. C 4x3 9x C 2 4 Lời giải Chọn A x4 x4 2x3 9 dx 2. 9x C 9x C . 4 2 1 Câu 4. Tất cả nguyên hàm của hàm số f x là 2x 3 1 1 1 A. ln 2x 3 C .B. ln 2x 3 C .C. ln 2x 3 . D.C ln 2 . x 3 C 2 2 ln 2 Lời giải Chọn B 1 1 Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng: f x dx dx ln 2x 3 C . 2x 3 2 Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f x 6x2 4x 3 là A. 6x3 4x2 3x C .B. 12x 4 C . C. 2 x3 x2 3x C .D. . 2x3 2x2 3 C Lời giải Chọn C Ta có 6x2 4x 3 dx 2x3 2x2 3x C . ln x Câu 6. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x)= . Tính F (e)- F (1) x 1 1 A. I = .B. I = e .C. I = . D. I = 1 . e 2 Lời giải Chọn C dx Đặt t = ln x Þ dt = . x ln x t 2 ln2 x 1 dx = tdt = + C = + C = F (x)+ C Þ F (e)- F (1)= . ò x ò 2 2 2 Phương pháp tìm nguyên hàm 1 / 15
2. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 6 8 7 Câu 7. Cho 2x 3x 2 dx A 3x 2 B 3x 2 C với A , B ¤ và C ¡ . Giá trị của biểu thức 12A 7B bằng 23 241 52 7 A. .B. .C. . D. . 252 252 9 9 Lời giải Chọn D t 2 1 Đặt t 3x 2 x dt dx . 3 3 8 7 2 t 2 2 2 t 4 t 1 8 4 7 Ta có: .t 6dt t 7 +2t 6 dt . . C . 3x 2 . 3x 2 C . 3 3 9 9 8 9 7 36 63 1 4 1 4 7 Suy ra A , B , 12. 7. . 36 63 36 63 9 3 Câu 8. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x sin x.cos x và F 0 . Tính F . 2 1 1 A. F .B. F .C. .FD. F . 2 2 2 4 2 4 Lời giải Chọn D Đặt t sin x dt cos xdx . t 4 sin4 x F x f x dx sin3 x cos xdx t3dt C C . 4 4 sin4 sin4 x F 0 C C F x . 4 4 sin4 2 1 F . 2 4 4 e2x Câu 9. Nguyên hàm của hàm số y f x là ex 1 A I x ln x C B. I ex 1 ln ex 1 C . C ID. . x ln x C I ex ln ex 1 C Lời giải Chọn B e2x ex I dx exdx . ex 1 ex 1 Đặt t ex 1 ex t 1 dt exdx . t 1 1 Ta có I dt 1 dt t ln t C . 1 t Trở lại biến cũ ta được I ex 1 ln ex 1 C . 1 Câu 10. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x thỏa mãn F 0 10 . Tìm F x . 2ex 3 1 ln 5 1 A. F x x ln 2ex 3 10 . B. F x x 10 ln 2ex 3 . 3 3 3 1 x 3 1 x 3 ln 5 ln 2 C. F x x ln e 10 ln 5 ln 2 . D. F x x ln e 10 . 3 2 3 2 3 Lời giải Chọn A Phương pháp tìm nguyên hàm 2 / 15
3. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 1 ex F x f x dx dx dx . x x x 2e 3 2e 3 e Đặt t ex dt exdx . Suy ra 1 1 t 1 ex 1 F x dt ln C ln C x ln 2ex 3 C . x 2t 3 t 3 2t 3 3 2e 3 3 1 ln 5 Vì F 0 10 nên 10 0 ln 5 C C 10 . 3 3 1 ln 5 Vậy F x x ln 2ex 3 10 . 3 3 Câu 11. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 4x 1 ex thỏa mãn điều kiện F(1) e. A. F(x) 4x 3 ex e. B. F(x) 4x 5 ex 9e. C. F(x) 4x 3 ex . D. F(x) 4x 5 ex . Lời giải Chọn C. u 4x 1 du 4dx Đặt x x dv e dx v e 4x 1 exdx 4x 1 ex - 4exdx 4x 1 ex 4ex C 4x 3 ex C Mà F(1) e C 0 nên F(x) 4x 3 ex Câu 12. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) xcos 3x thỏa mãn điều kiện F(0) 1. Tính F( ). 3 7 7 A. F( ) 1. B. F( ) 1. C. F( ) . D. F( ) . 3 3 3 9 3 9 Lời giải Chọn C. du dx u x Đặt 1 dv cos 3xdx v sin 3x 3 x 1 x 1 xcos 3xdx sin 3x - sin 3xdx sin 3x cos3x C. 3 3 3 9 8 7 Mà F(0) 1 C nên F( ) 9 3 9 a 1 ln x Câu 13. Cho F(x) (ln x b) là một nguyên hàm của hàm số f (x) Tính S a b. x x2 A. S 0. B. S 2. C. S 2. D. S 1. Lời giải Chọn D. 1 ln x 1 ln x 1 ln x dx dx dx dx x2 x2 x2 x x2 1 u ln x du dx x Đặt 1 dv dx 1 x2 v x Phương pháp tìm nguyên hàm 3 / 15
4. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 1 ln x 1 ln x 1 1 1 1 1 1 1 dx dx ln x dx ln x C ln x 2 C x2 x x2 x x x2 x x x x a 1;b 2 S 1 Câu 14. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f (x) cos 2x.e3x e3x e3x A. cos 2x.e3xdx (3cos 2x 2sin 2x) C B. cos 2x.e3xdx ( 3cos 2x 2sin 2x) C 13 13 e3x e3x C. cos 2x.e3xdx (3cos 2x 2sin 2x) C D. cos 2x.e3xdx (3cos 2x 2sin 2x) C 13 13 Lời giải Chọn A. e3x 1 2 1 2 e3x I cos 2x.e3xdx cos 2xd( ) e3x cos 2x sin 2xe3xdx e3x cos 2x sin 2xd( ) 3 3 3 3 3 3 1 2 4 1 2 4 e3x cos 2x e3x sin 2x cos 2x.e3xdx e3x cos 2x e3x sin 2x I 3 9 9 3 9 9 e3x I (3cos 2x 2sin 2x) C 13 Câu 15. Một nguyên hàm của f x xln x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x 1 ? 1 1 1 1 A.F x x2 ln x x 1 . B. F x x2 ln x x2 1 . 2 4 2 4 1 1 1 1 C. .F x xln x D. x 2. 1 F x xln x x2 1 2 2 2 2 Lời giải Chọn B. dx du u ln x x Tự luận: Ta có F x f x dx xln xdx . Đặt dv xdx x2 v 2 Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có: 1 1 1 1 F x x2 ln x xdx x2 ln x x2 C . 2 2 2 4 1 1 1 Theo bài ra, có: F 1 0 .1.ln1 .12 C 0 C . 2 4 4 1 1 1 Vậy F x x2 ln x x2 . 2 4 4 Câu 16. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn  1;1, thỏa mãn f x 0,x ¡ và f x +2 f x 0. Biết f 1 1, tính f 1 bằng A. B.f C. 1 e 2. f 1 e3. f 1 e4. D. f 1 3 Lời giải Chọn C f x f x d f x f x +2 f x 0 2 dx 2 dx dx 2x C f x f x f x ln f (x) 2x C f (x) e 2x C Mà f 1 1 C 2 f x e 2x 2 f 1 e4. Phương pháp tìm nguyên hàm 4 / 15
5. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 1 4 2 Câu 17. Cho hàm số f x xác định trên ¡ \  và thỏa mãn f x f x x x biết f 0 2. Giá 3 trị của biểu thức f 2 2 bằng 313 332 324 323 A. B.f 2 2  f 2 2  C. D.f 2 2  f 2 2  15 15 15 15 Lời giải Chọn B x5 x3 Ta có: f x f x x4 x2 f x f x dx x4 x2 dx f x d f x C 5 3 f 2 x x5 x3 C mà f 0 2. Nên C 2. 2 5 3 26 24 332 f 2 x 4  5 3 15 3 2 Câu 18. Cho hàm số f x thỏa mãn f x , f 0 1 và f 2. Giá trị của biểu thức 3x 1 3 f 1 f 3 bằng A. 3 5ln 2. B. C. 2 D. 5 ln 2. 4 5ln 2. 2 5ln 2. Lời giải Chọn A 3 3 f x f x dx dx f x ln 3x 1 C 3x 1 3x 1 1 2 f x ln 3x 1 C1 nÕu x 3 f ln1 C1 C1 2 3 1 f x ln 1 3x C2 nÕu x f 0 ln1 C C 1 3 2 2 f 3 ln8 2 3ln 2 2 Nên f 1 f 3 5ln 2 3. f 1 ln 4 1 2 ln 2 1 Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 0; , biết f x 2x 4 f 2 x 0. và 1 f x 0, x ¡ ; f 2  Tính f 1 f 2 f 3 . 15 7 11 11 7 A. B. C. D.    15 15 30 30 Lời giải Chọn D f x f x Ta có f x 2x 4 f 2 x 0 2x 4 dx 2x 4 dx f 2 x f 2 x 1 2 1 2 dx x 4x C x 4x C f x f x 1 1 1 mà f 2 C 3 f x 15 x2 4x 3 x 1 x 3 1 1 1 7 f 1 f 2 f 3  2.4 3.4 4.6 30 Phương pháp tìm nguyên hàm 5 / 15
6. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái Câu 20. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên ¡ \0 thỏa mãn x2 f 2 x 2x 1 f x x. f x 1 2 với x ¡ \0 và f 1 2. Giá trị của tích phân f x dx bằng 1 1 3 ln 2 3 ln 2 A. ln 2. B. C. D. ln 2. 1 .  2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: x2 f 2 x 2x 1 f x x. f x 1 x2 f 2 x 2xf x 1 x. f x f x x. f x f x 1 1 1 1 dx x C1 2 x. f x 1 x. f x 1 x. f x 1 1 1 1 1 1 x. f x 1 C f x C Mà f 1 2 C 0 f x x x2 x x2 x 2 2 2 1 1 1 1 f x dx dx ln x ln 2  2 1 1 x x x 1 2 5 x2 x 1 b Câu 21. Biết dx a ln với a , b là các số nguyên. Tính S b2 a . 3 x 1 2 A. S 1.B. S 1.C. .D. S . 5 S 2 Hướng dẫn giải Chọn B 5 5 x2 x 1 5 1 x2 3 Ta có dx x dx ln x 1 8 ln . x 1 x 1 2 2 3 3 3 Suy ra a 8 , b 3 , S 32 8 1 . a 72a 13 Câu 22. Cho tích phân I 7x 1.ln 7dx . Khi đó, giá trị của a bằng: 0 42 A. .a 4 B. . a 2 C. a 1. D. .a 3 Lời giải Chọn C Điều kiện: a 0 . a a x 1 a 7 a 1 1 Ta có: I 7x 1.ln 7dx ln 7 7x 1d x 1 ln 7. 7x 1 7a 1 7a 1 . 0 0 0 ln 7 0 7 7 Theo giả thiết ta có: a 1 72a 13 7 1 l 7a 1 6 7a 1 72a 13 72a 6.7a 7 0 a 1. a 7 42 7 7 4 2 Câu 23. Giả sử I sin 3xdx a b a,b ¤ . Khi đó tính giá trị của a b . 0 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. 0 . 6 5 10 Lời giải Chọn D 4 cos3x 4 1 3 1 2 2 1 I sin 3xdx cos cos0 1 . 0 3 0 3 4 3 2 6 3 Phương pháp tìm nguyên hàm 6 / 15
7. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 1 1 Vậy a , b . Suy ra: a b 0 . 3 3 2 5 5 5 Câu 24. Cho f x dx 3 , f x dx 5 và g x dx 6 . Tính tích phân I 2. f x g x dx . 1 2 1 1 A. I 2 . B. I 10 . C. I 4 . D. I 8 . Lời giải Chọn A 2 5 5 Ta có f x dx 3 và f x dx 5 nên f x dx 2 . 1 2 1 5 5 5 I 2. f x g x dx 2 f x dx g x dx 2 . 1 1 1 9 0 9 Câu 25. Giả sử f x dx 37 và g x dx 16 Khi đó, I 2 f x 3g(x) dx bằng: 0 9 0 A. I 26 . B. .I 58 C. . I 14D.3 . I 122 Lời giải Chọn A 9 9 9 9 0 Ta có: I 2 f x 3g(x) dx 2 f x dx 3g x dx 2 f x dx 3 g x dx 26 . 0 0 0 0 9 e 1 ln x Câu 26. Cho tích phân: I dx . Đặt u 1 ln x .Khi đó I bằng 1 2x 0 0 0 u2 1 A. .I u2du B. I u2du . C. .I duD. . I u2du 1 1 1 2 0 Lời giải Chọn B. [Phương pháp tự luận] dx Đặt u 1 ln x u2 1 ln x 2udu . Với x 1 u 1 ,x e u 0 . x 0 Khi đó I u2du . 1 [Phương pháp trắc nghiệm]. e 1 ln x Bước 1: Bấm máy tính để tính dx . 1 2x Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A. 0 Bước 3: Bấm A u2du 0 . Vậy đáp án là B. 1 e 1 a a Câu 27. Cho biết I dx ln , với a, b là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính 1 x(ln x 1) b b S a2 b. A. 5. B. 3. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn C. e 2 1 1 1 2 Đặt t ln x 1 dt dx. Khi đó I dx dt lnt ln 2. 1 x 1 x(ln x 1) 1 t Do đó a 2, b 1. Vậy S 3. Phương pháp tìm nguyên hàm 7 / 15
8. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 2 1 Câu 28. Cho I dx . Nếu đặt x 2 tant . Trong khẳng định sau, khẳng định nào sai? 2 0 x 4 A. .4 x2 4 1 tan2 t B. . dx 2 1 tan2 t dt 4 1 3 C. .I dt D. I . 0 2 4 Lời giải Chọn D. Đặt x 2 tant dx = 2 (1 + tan2 t )dt. Đổi cận : x= 0 t = 0 ; x = 2 t = . 4 2 1 4 2(1 tan2 t)dt 4 1 I dx dt . 2 2 0 x 4 0 4 tan t 4 0 2 Vậy đáp án A, B, C đúng. Chọn đáp án D. 2 1 Cách 2: Bấm máy tính I dx = .Đáp án D sai. 2 0 x 4 8 1 xdx 1 a Câu 29. Biết I ln thì a2 b bằng: 2 0 4 x 2 b A. 13. B. 5. C. -4. D. 0. Lời giải Chọn A Cách 1: Đặt t = 4 – x2 dt = -2xdx. Đổi cận: x = 0 t = 4, x = 1 t = 3. 1 1 xdx 3 1 1 4 I I 2 dt ln t 4 ln . Suy ra a = 4, b = 3 Vậy a2 – b = 13. 2 3 0 4 x 4 t 2 2 3 Cách 2: Nhận xét a, b Q. 1 xdx Bước 1: Dùng máy tính I = 0.1438410362 Shift sto A. 2 0 4 x Bước 2: Thử đáp án:. Với đáp án A a2 – b = 13 rút b = a2 – 13. 1 x Nhập vào màn hình chính phương trình: ln A . 2 x2 13 Ấn shift slove dò nghiệm nếu nghiệm là số hữu tỷ chọn đáp án này nếu không dò đáp án khác. 3 dx 1 Câu 30. Biết I (ln a ln b) . Tính S a b sin x 2 6 22 22 A. .S 10 B.4 . 3 C. S 4 3 S 10 4 3 . D. .S 4 3 3 3 Lời giải Chọn C. Đặt t = cosxÛ dt = - sin xdx và sin2 x = 1- t 2 , đổi cận ì ü ï p 3 p 1ï íï x = ® t = ;x = ® t = ýï ï 6 2 3 2ï îï þï Phương pháp tìm nguyên hàm 8 / 15
9. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 3 p p 3 2 3 dx 3 sin x 2 1 1 t + 1 1 1 Khi đó I = = dx = dt = .ln = ln(7 + 4 3) - ln 2 ò sinx ò 2 ò 2 2 t - 1 2 2 p p 1- cos x 1 1- t 1 6 6 2 2 ïì 1 é ù 1 ï a = 7 - 4 3 Suy ra I = - êln(7 - 4 3) + ln 3ú= - (lna + lnb) Þ í Þ a + b = 10 - 4 3 2 ë û 2 ï b = 3 îï 1 b Câu 31. Biết x.e x dx a . Tính M a 2b . 0 e A. M 5 . B. .M 6 C. . M 7 D. . M 3 Lời giải Chọn A. 1 1 x u du dx 1 1 1 1 1 2 Đặt x.e x dx x.e x e x dx e x 1 1 . x x 0 0 e dx dv v e 0 0 e e e e 2 b Đồng nhất 1 với a a 1; b 2 M a 2b 5 . e e 1 3x Câu 32. Tính x 2 e dx bằng 0 2 e3 1 1 2 e3 1 1 2 e3 1 1 2 e3 1 1 A. . B. e3xdx e3xdx . C. . D. . e3xdx e3xdx 5 3 0 3 3 0 5 3 0 3 3 0 Lời giải Chọn B. 2dx du x 2 u Đặt 3x 1 3x e dx dv v e 3 1 1 1 1 1 2 e3 1 1 x 2 e3xdx x 2 e3x e3xdx e3xdx . 0 3 0 3 0 3 3 0 e Câu 33. Tính x ln xdx bằng 1 2 3 e 1 3 2 e 1 2 2 e 1 3 3 e 1 A. . eB.3 . C.x 2 dx e3 x 2 dx e3 x 2 dx . D. . e3 x 2 dx 3 2 1 2 3 1 3 3 1 2 2 1 Lời giải Chọn C. dx du ln x u Đặt x 3 xdx dv 2 v x 2 3 e e 2 3 e 2 3 1 2 2 e 1 x ln xdx x 2 ln x x 2 . dx e3 x 2 dx . 3 3 x 3 3 1 1 1 1 2 Câu 34. Tính cos x.ln sin x dx bằng 4 Phương pháp tìm nguyên hàm 9 / 15
10. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 2 2 2 2 2 2 A. . ln 1 B. . ln 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C. ln 1 . D. . ln 1 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn C. cos xdx ln sin x u du Đặt sin x cos xdx dv v sin x 2 2 cos x 2 2 d 2 d 2 cos xln sin x x sin xln sin x sin x. x ln sin x 4 sin x 2 2 4 4 4 2 2 2 ln 1 2 2 2 2 1 Câu 35. Giá trị của tích phân I ln(sin x)dx là 2 sin x 6 A. B 3 ln 2C. . 3D. 3 ln 2 3 3 ln 2 3 3 ln 2 3 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D. u ln(sin x) du cot2 xdx 1 dv dx v cot x sin2 x 2 1 2 I ln(sin x)dx cot xln(sin x) 2 cot2 xdx 2 sin x 6 6 6 2 1 2 3 ln cot x x 3 ln 2 3 2 6 3 6 Câu 36. Cho hàm số f x liên tục trên 0;2 và thỏa mãn f x f 2 x 2x. Tính giá trị của tích phân 2 f x dx. 0 1 4 A. I 4. B. I  C. I  D. I 2. 2 3 Lời giải Chọn D 2 2 2 Từ f (x) f (2 x) 2x f (x)dx f (2 x)dx 2xdx 4 * 0 0 0 + Đặt u 2 x du dx Với x 0 u 2 và x 2 u 0. 2 2 2 Khi đó f 2 x dx f (u)du f (x)dx 0 0 0 2 2 Thay vào (*) ta được: 2 f (x)dx 4 f (x)dx 2. 0 0 Phương pháp tìm nguyên hàm 10 / 15
11. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 1 9 Câu 37. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có f x dx 1 , f z dz 2 . Tính 0 1 3 1 I f x f 3x dx . 0 3 A. I 4 .B C I D. 4. I 9 I 9 Lời giải Chọn A 3 1 Ta có I f x f 3x dx 0 3 1 1 Đặt t x dt dx ; x 0 t 0; x 3 t 1 . 3 3 3 1 1 1 f x dx f t .3dt 3 f t dt 3.1 3 . 0 3 0 0 Đặt u 3x du 3dx ; x 0 u 0; x 3 u 9 . 3 9 1 1 9 1 1 9 1 f 3x dx f u . du f t dt f x dx f x dx 1 2 1. 0 0 3 3 0 3 0 1 3 I 3 1 4 . 1 Câu 38. Cho hàm số f x có đạo hàm f x và thỏa 2x 1 f x dx 10 , 3 f 1 f 0 12 . Tính 0 1 I f x dx . 0 A. I 2 .B. I 1.C. .D. . I 1 I 2 Lời giải Chọn B. Đặt u 2x 1 du 2dx , dv f x dx v f x . b 1 1 1 Ta có 10 2x 1 f x dx 2x 1 f x 2 f x dx 3 f 1 f 0 2 f x dx 0 a 0 0 1 12 10 I f x dx 1. 0 2 1 f (x) e Câu 39. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tính f (x)ln xdx bằng: 2 2x x 1 e2 3 2 e2 e2 2 3 e2 A. I . B. .I C. . D.I . I 2e2 e2 e2 2e2 Lời giải Chọn A 1 f (x) f (x) 1 1 Do F(x) 2 là một nguyên hàm của hàm số nên 2 f x 2 . 2x x x 2x x 1 e ln x u dx du Tính I f (x)ln xdx . Đặt x . f x dx dv 1 f x v e e e 2 e f x 1 1 e 3 Khi đó I f x .ln x dx .ln x . 1 2 2 2 1 x x 1 2x 1 2e Phương pháp tìm nguyên hàm 11 / 15
12. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 6 Câu 40. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn f x 6x2 f x3  Tính tích phân 3x 1 1 f x dx. 0 A. 2. B. 4. C. 1. D. 6. Lời giải Chọn B 6 6 Biến đổi f (x) 6x2 f x3 f (x) 2.3x2 f x3  3x 1 3x 1 1 1 1 1 f (x)dx 2. 3x2 f x3 6 dx  * 0 0 0 3x 1 Đặt u x3 du 3x2dx Với x 0 u 0 và x 1 u 1. 1 1 1 Khi đó 3x2 f x3 dx f (u)du f (x)dx thay vào biểu thức * ta được. 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 f (x)dx 2 f (x)dx 6 dx f (x)dx 6 dx 4. 0 0 0 3x 1 0 0 3x 1 Câu 41. Cho hàm số f (x)= - x2 + 3 và hàm số g(x)= x2 - 2x- 1 có đồ thị như hình vẽ. 2 Tích phân I = ò f (x)- g(x) dx bằng tích phân nao dưới đây? - 1 2 2 é ù é ù A. .I = ò ëf (x)+ g(x)ûdB.x . I = ò ëêf (x)- g(x)ûúdx - 1 - 1 2 2 é ù é ù C. .I = ò ëg(x)- f (x)ûdD.x I = ò ëf (x)- g(x)ûdx . - 1 - 1 Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số ta thấy trên khoảng (- 1;2) đồ thị hàm số f (x)= - x2 + 3 nằm phía trên đồ thị hàm số g(x)= x2 - 2x- 1 nên f (x)- g(x)> 0 . Câu 42. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 và đường thẳng y x là: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 6 Lời giải Chọn D Phương pháp tìm nguyên hàm 12 / 15
13. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái Giao điểm của đồ thị hàm số y x2 và đường thẳng y x có hoành độ là nghiệm của phương 2 x 0 trình :x x . x 1 Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 và đường thẳng y x là 1 3 2 1 1 2 2 x x 1 x x dx x x dx . 0 0 3 2 6 0 Câu 43. Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành và hai đường thẳng 0 2 x 1; x 2 (như hình vẽ). Đặt a f x dx , b f x dx , mệnh đề nào sau đây đúng? 1 0 A. S b a . B. .S b a C. . D.S . b a S b a Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị ta thấy f x 0 với mọi x 1;0 ; f x 0 với mọi x 0;2 . 0 2 0 2 0 2 Ta có S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 1 0 1 0 1 0 b a . Vậy S b a . x Câu 44. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ; x 2; x 2 và trục hoành là: x 5 A. .1 5ln1B.0 10ln 5 10ln 5 5ln 21. C. .5 ln 21 D.ln .5 121ln 5 5ln 21 Lời giải Chọn B Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 x 0 x 2 x 0 x 2 x 0 x 2 x S dx dx dx dx dx dx dx 2 x 5 2 x 5 0 x 5 2 x 5 0 x 5 2 x 5 0 x 5 0 x 2 x 0 0 dx 2 2 dx dx dx dx 5 dx 5 2 x 5 0 x 5 2 2 x 5 0 0 x 5 0 0 2 2 x 2 5ln x 5 2 x 0 5ln x 5 0 5ln 5 5ln 3 5ln 7 5ln 5 10ln 5 5ln 21. Câu 45. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x2 2x 1 , y 2x2 4x 1 là A. .8 B. . 5 C. 4 . D. .10 Lời giải Chọn C Phương pháp tìm nguyên hàm 13 / 15
14. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái Phương trình hoành độ giao điểm là x2 2x 1 2x2 4x 1 3x2 6x 0 x 0 x 2 2 2 2 Diện tích hính phẳng là S 2x 4x 1 x 2x 1 dx 0 2 2 3x2 6x dx x3 3x2 4 . 0 0 Câu 46. Thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng (H) xác định bởi các đường 1 y x3 x2 , y 0, x 0và x 3 quanh trục Ox là 3 81 81 71 71 A. . B. . C. . D. . 35 35 35 35 Lời giải Chọn A 3 3 2 3 5 1 3 2 1 6 2 5 4 1 7 1 6 x 81 Ta có: V x x dx x x x dx x x . 3 9 3 63 9 5 35 0 0 0 Câu 47. Cho hình phẳng S giới hạn bởi đường cong có phương trình y 2 x2 và trục Ox , quay S xung quanh Ox . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng 8 2 8 4 2 4 A. V .B. .C. V .D. . V V 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 2 x2 0, 2 x 2 x 2 . 2 2 2 2 3 2 2 x 8 2 V 2 x dx 2 x dx 2x . 3 3 2 2 2 Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 , y 0 và x 9 quay xung quanh trục Ox . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành. 5 11 7 7 A. V . B. V . C. V . D. .V 6 6 11 6 Lời giải Chọn B Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y x 2 và y 0 là: x 0 x 2 0 x 4. x 2 9 2 11 Khi đó: V x 2 dx . (Dùng MTCT). 4 6 Câu 49. Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2x quay xung quanh trục Ox . 2 2 2 2 2 2 2 A. . x2 2B.x dx 4x2dx x4dx . C. . 4D.x2 d. x x4dx 2x x2 dx 0 0 0 0 0 0 Lời giải Chọn B Phương pháp tìm nguyên hàm 14 / 15
15. GV: Hoàng Thương Thương ST&BS THPT Hồng Thái 2 x 0 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2x 0 . x 2 2 2 2 Vậy thể tích khối tròn xoay được tính: V x4 4x2 dx 4x2dx x4dx . 0 0 0 Câu 50. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong C : y x2 4x và đường thẳng d : y x . Tính thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng H quay xung quanh trục hoành. 108 81 108 81 A VB. .C. V V .D V 10 5 5 10 Lời giải Chọn C 2 2 x 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm x 4x x x 3x 0 . x 3 3 3 2 108 Ta có V x2 4x x2 dx x4 8x3 15x2 dx . 0 0 5 Phương pháp tìm nguyên hàm 15 / 15