Bài tập Tam giác đồng dạng môn Toán Lớp 8

Nội dung text: Bài tập Tam giác đồng dạng môn Toán Lớp 8

1. BÀI TẬP TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh: a) AH.BC = AB.AC b) AB2 = BH.BC c) AH2 = BH.CH d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH.Chứng minh:CN  AM Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn BH = 9cm và HC = 16cm. Tính AB, AC, BC. Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 21cm; AC = 28cm. a) Tính AH ? b) Kẻ HD  AB; HE  AC. Tính diện tích tam giác AED. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20cm. Kẻ đường cao AH, trung tuyến AM. a) Tính AH; BC. b) Tính BH; CH. c) Tính diện tích tam giác AHM. Bài 5. Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AH H BC . Vẽ HD vuông góc AB tại D, HE vuông góc AC tại E. Chứng minh: a) AHB ADH ; AHC AEH . b) AD.AB = AE.AC. c) Cho AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Tính độ dài đường phân giác AK của ABC (K BC Bài 6. Cho ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E và BA tại K. a) Chứng minh ABC vuông b) Tính DB, DC. c) Chứng minh EDC : BDK d) Chứng minh DE = DB Bài 7. Cho ABC vuông tại A, cho biết AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH của ABC. a) Chứng minh: AHB CAB và suy ra AB2 = BH.BC b) Tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH. c) Kẻ HM  AB và HN  AC. Chứng minh: AM.AB = AN.AC d) Chứng minh: AMN ACB Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E. a) Chứng minh DEC đồng dạng ABC. b) Chứng minh: DB = DE. Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 16cm, BC = 20cm. Kẻ đường phân giác BD (d AC) a) Tính CD và AD b) Từ C kẻ CH  BD tại H. Chứng minh: ABD HCD c) Tính diện tích tam giác HCD. Bài 11. Cho ABC nhọn, trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC tại E. Chứng minh rằng: DA EA a) . DB EC b) DE // BC.
2. Bài 12. Cho tam giác ABC có 2 đường cao AD và BE.Chứng minh: a) DEC ABC b) ADC BEC Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Từ B kẻ a// AC; Phân giác góc BAC cắt BC tại M và cắt đường thẳng a tại N. a) CM: BMN CMA AB MN b) CM: AC AN c) Từ N kẻ NE vuông góc với AC (E thuộc AC), NE cắt BC tại I. Tính BI. Bài 14. ABC có độ dài các cạnh AB = 6cm, AC = 9cm và AD là đường phân giác. Chứng 2 minh rằng tỉ số diện tích của ABD và ACD bằng 3 Bài 15. Cho ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và AH. Chứng minh: a) ABM  CAN b) AM  CN Bài 16. Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ AH  DB a) Chứng minh ABD : HAD, suy ra AD2 = DH. DB b) Chứng minh AHB : BCD c) Tính độ dài DH, AH, biết AB = 12 cm, BC = 9 cm d) Tính diện tích tam giác AHB Bài 17. Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 8 cm, BC = 6 cm. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H và cắt CD tại M. a) Tính độ dài BD. b) Chứng minh hai tam giác AHB và MHD đồng dạng c) Chứng minh MD.DC = HD.BD d) Tính diện tích tam giác MDB. Bài 18. Cho x· Ay , trên tia Ax đặt các đoạn thẳng AE = 3cm; AC = 8cm. Trên tia Ay đặt các đoạn thẳng AD = 4cm; AF = 6cm. Gọi I là giao điểm của CD và EF. Chứng minh rằng: a) ACD AFE b) IEC IDF Bài 19. Cho ABC có AB = 4,8 cm; BC = 3,6 cm; CA = 6,4 cm. Trên cạnh AB và AC theo thứ tự lấy AD = 3,2 cm và AE = 2,4 cm. a) Hai tam giác ADE và ABC có đồng dạng hay không ? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn DE. Bài 20. Cho hình thang ABCD (AB//CD).Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Biết AB = 3cm, OA = 2cm, OC = 4cm, OD = 3,6cm. a) Chứng minh: OA.OD=OB.OC b) Tính DC, OB. c) Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD lần lượt tại H và K. Chứng minh: OH AB OK CD Bài 21. Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao AH xuống đáy BC. Biết AB = AC = 17cm, AH = 15cm. a) Tính độ dài đoạn BH và BC. b) Từ B vẽ BD  AC (D thuộc AC).Chứng minh: AHC BDC AH2.CE2 c) Qua D vẽ DE  BC (E thuộc BC). Chứng minh: BE.EC = CH2 Bài 22. Cho tam giác ABC(AC > AB). Vẽ đường cao AH.Từ trung điểm I của cạnh AC ta vẽ ID vuông góc với cạnh huyền BC.Biết AB = 3cm, AC = 4cm.
3. a) Tính độ dài cạnh BC. b) Chứng minh: IDC BHA c) Chứng minh hệ thức: BD2 – CD2 = AB2. Bài 23. Cho hình thang vuông ABCD ( Aµ Dµ 900 ) có AC cắt BD tại O. DO CO a) Chứng minh: OAB OCD, từ đó suy ra . DB CA b) Chứng minh: AC2 – BD2 = DC2 – AB2 c) Qua O kẻ đường thẳng song song với 2 đáy cắt BC tại I, cắt AD tại J. Chứng minh: 1 1 1 OI AB CD Bài 24. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Phân giác CD (D thuộc AB). Biết AB = 4cm; AC = 3cm a) Tính BC; AD b) Chứng minh: HAC ABC c) Tính độ dài CH. d) Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia CD cắt tia CD tại K.Chứng minh: ADK CDB Bài 25. Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Vẽ các đường cao BH, CK, AI. a) Chứng minh: BK = . b) Chứng minh: HC.AC = IC.BC d) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK theo a và b. Bài 26. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH.Phân giác của góc A cắt cạnh huyền Bc tại D.Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC ở E và AB ở F. Chứng minh rằng: a) AB.EC = BC.DE b) AH // FD, Từ đó suy ra tam giác HAB đồng dạng tam giác DFB. c) DB = DE. d) Cho AB = 6cm; BC = 10 cm và EC = 7cm. Tính AC; DE và DC. Bài 27. Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AD, BH. a) Chứng minh: ADC BHC b) Chứng minh: CDH CAB c) Kẻ DE vuông góc AC. Chứng minh: CE.CB = CD.CH Bài 28. Cho tam giác vuông ABC (Â = 900) có AB = 9cm,AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Từ D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AC). a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD; CD và DE. b) Tính diện tích các tam giác ABD và ACD. Bài 29. Cho hình thang ABCD(AB //CD). Biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm và góc DAB = DBC. a) Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng. b) Tính độ dài các cạnh BC và CD. Bài 30. Cho tam giác ABC vuông tai A, AB =15 cm; AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH a) Chứng minh: ABC HBA từ đó suy ra: AB2 = BC. BH b) Tính BH và CH. Bài 31. Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH,biết AB = 15 cm, AH = 12cm a) CM: AHB CHA b) Tính các đoạn BH, CH, AC Bài 32. Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh: a) CBN và CDM cân.
4. b) CBN MDC c) Chứng minh M, C, N thẳng hàng. Bài 33. Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh rằng: a) ABE ACF b) AE. CB = AB. EF c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng. Bài 34. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng: a) AE. AC = AF. AB b) AFE ACB c) FHE BHC d) BF. BA + CE. CA = BC2 Bài 35. Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ, MN < PQ), NP = 15 cm, đường cao NI = 12 cm, QI = 16 cm a) Tính độ dài IP, MN b) Chứng minh rằng: QN  NP c) Tính diện tích hình thang MNPQ d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh rằng: KN 2 = KP. KQ Bài 36. Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh: a) CBN và CDM cân. b) CBN MDC c) Chứng minh M, C, N thẳng hàng. Bài 37. Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh rằng: a) ABE ACF b) AE. CB = AB. EF c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng. Bài 38. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng: a) AE. AC = AF. AB b) AFE ACB c) FHE BHC d) BF. BA + CE. CA = BC2 Bài 39. Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME bằng góc B. Chứng minh rằng : a) BDM đồng dạng với CME b) Tích BD.CE không đổi. c) DM là phân giác của góc BDE Bài 40. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC = 8cm. Vẽ đường cao AH (H BC) a) Tính độ dài cạnh BC. b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC c) Vẽ phân giác AD của góc A ((D BC). Chứng minh rằng điểm H nằm giữa hai điểm B và D. Câu 41. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC 8cm, BC =10cm. Đường cao AH (H BC); a) Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng, b) Cho AD là đường phân giác của tam giác ABC (D BC). Tính độ dài DB và DC; c) Chứng minh rằng AB2 = BH.HC
5. d) Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường phân giác AD tại E. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác ECD Bài 42. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm; AC = 4cm. Vẽ đường cao AH (H BC) a) Tính độ dài BC. b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC c) Chứng minh HA2 HB.HC d) Kẻ đường phân giác AD (D BC ). tính các độ dài DB và DC ? Bài 43. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có D· AB D· BC và AD = 3cm, AD = 5 cm, BC= 4 cm. a) Chứng minh DAB đồng dạng CBD . b) Từ câu a tính độ dài DB; DC. c) Tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích tam giác ABD bằng 5 cm2.