Bài tập Toán 8 - Trần Quốc Nghĩa

98 trang thaodu 11830

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Toán 8 - Trần Quốc Nghĩa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_toan_8_tran_quoc_nghia.pdf

Nội dung text: Bài tập Toán 8 - Trần Quốc Nghĩa

Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Phần 1. Đại Số Chương III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN  Phương trình 1. Phương trình một ẩn . Một phương trình với ẩn x luơn cĩ dạng: A(x) = B(x), trong đĩ vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. . Nếu x0 là một giá trị sao cho A(x0 ) = B(x0 ) là một đẳng thức đúng thì x = x0 được gọi là một nghiệm của phương trình A(x) = B(x). . Một phương trình cĩ thể cĩ một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, , vơ số nghiệm, nhưng cũng cĩ thể khơng cĩ nghiệm nào (phương trình vơ nghiệm). . Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đĩ và thường được ký hiệu bởi chữ S. . Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đĩ. . Số nghiệm của phương trình cịn phụ thuộc vào việc xét các giác trị của ẩn trên tập hợp số nào. 2. Hai phương trình tương đương a) Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng cĩ chung một tập hợp nghiệm. . Sự tương đương ký hiệu bởi dấu . Phương trình (1) tương đương với phương trình (2), ta viết: (1) (2). . Hai phương trình vơ nghiệm được coi là tương đương (tập nghiệm Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 1 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 của chúng bằng ) . Khi nĩi hai phương trình tương đương với nhau ta phải chú ý rằng các phương trình đĩ được xét trên tập hợp số nào, cĩ khi trên tập này thì tương đương nhưng trên tập khác thì lại khơng b) Hai qui tắc biến đổi tương đương: . Qui tắc chuyển vế: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phương trình đồng thời đổi dấu hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. A(x) B(x) C(x) A(x) C(x) B(x) . Qui tắc nhân: Nếu ta nhân (hay chia) một số khác 0 vào 2 vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. A(x) B(x) m.A(x) m.B(x)(m 0) 3.1 Cho hai phương trình: x2 – 5x + 6 = 0 (1) x + (x – 2)(2x + 1) = 2. (2) a) Chứng minh hai phương trình cĩ nghiệm chung là x = 2. b) Chứng minh: x = 3 là nghiệm của (1) nhưng khơng là nghiệm của (2). c) Hai phương trình đã cho cĩ tương đương với nhau khơng, vì sao ? 3.2 Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vơ nghiệm: a) 2(x + 1) = 3 + 2x b) 2(1 – 1,5x) + 3x = 0 c) | x | = –1 d) x2 + 1 = 0 3.3 Xét tính tương đương của các phương trình: (1 – x)(x + 2) = 0 (1) (2x – 2)(6 + 3x)(3x + 2) = 0 (2) (5x – 5)(3x + 2)(8x + 4)(x2 – 5) = 0 (3) Khi a) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập N. b) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Z. c) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Q. d) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập R. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 2 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.4 Trong các cặp phương trình sau hãy chỉ ra các cặp phương trình tương đương, khơng tương đương. Vì sao ? 2 a) 3x + 2 = 1 và x + 1 = 3 b) x + 2 = 0 và (x + 2)(x – 1) = 0 c) x + 2 = 0 và (x + 2)(x2 + 1) = 0 1 1 d) x2 – 4 + và x2 – 4 = 0 x 2 2 1 1 e) 2x + 3 = x + 5 và 2x + 3 + = x + 5 + x 1 x 1 1 1 f) 2x + 3 = x + 5 và 2x + 3 + = x + 5 + x 2 x 2 g) x + 7 = 9 và x2 + x + 7 = 9 + x2 h) (x + 3)3 = 9(x + 3) và (x + 3)3 – 9(x + 3) = 0 i) 0,5x2 – 7,5x + 28 = 0 và x2 – 15x + 56 = 0 j) 2x – 1 = 3 và x(2x – 1) = 3x 3.5 Tìm giá trị của k sao cho: a) Phương trình: 2x + k = x – 1 cĩ nghiệm x = – 2. b) Phương trình: (2x + 1)(9x + 2k) – 5(x + 2) = 40 cĩ nghiệm x = 2 c) Phương trình: 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + k) cĩ nghiệm x = 1 d) Phương trình: 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80 cĩ nghiệm x = 2 3.6 Tìm m, a và b để các cặp phương trình sau đây tương đương: a) mx2 – (m + 1)x + 1 = 0 và (x – 1)(2x – 1) = 0 b) (x – 3)(ax + 2) = 0 và (2x + b)(x + 1) = 0 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 3 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 1. Định nghĩa Phương trình dạng ax + b = 0; với a, b là những hằng số, a 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Cách giải phương trình đưa được về phương trình bậc nhất . Quy đồng mẫu thức 2 vế. . Khử mẫu thức 2 vế. . Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình vầ dạng Ax = B. 3.7 Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau: a) 1 + x = 0 b) x + x2 = 0 c) 1 – 2t = 0 d) 3y = 0 e) 0x – 3 = 0 f) (x2 + 1)(x – 1) = 0 g) 0,5x – 3,5x = 0 h) – 2x2 + 5x = 0 g) 0x + 0 = 0 3.8 Giải các phương trình sau: a) 7x + 12 = 0 b) 5x – 2 = 0 c) 12 – 6x = 0 d) – 2x + 14 = 0 e) 3x + 1 = 7x – 11 f) 2x + x + 12 = 0 g) x – 5 = 3 – x h) 7 – 3x = 9 – x i) 5 – 3x = 6x + 7 j) 11 – 2x = x – 1 k) 15 – 8x = 9 – 5x l) 0,25x + 1,5 = 0 3.9 Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm trịn đến hàng phần trăm: a) 3x – 11 = 0 b) 12 + 7x = 0 c) 10 – 4x = 2x – 3 3.10 Giải các phương trình sau: 1. a) 3x – 2 = 2x – 3 b) 3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 4 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 c) 7 – 2x = 22 – 3x d) 8x – 3 = 5x + 12 e) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1 f) x + 2x + 3x – 19 = 3x + 5 2. a) 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) b) 2x(x + 2)2 – 8x2 = 2(x – 2)(x2 + 2x + 4) c) 7 – (2x + 4) = – (x + 4) d) (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x e) x(x + 3)2 – 3x = (x + 2)3 + 1 f) (x + 1)(2x – 3) = (2x – 1)(x + 5) g) (x – 2)3 + (3x– 1)(3x+ 1) = (x + 1)3 3. a) 1,2 – (x – 0,8) = –2(0,9 + x) b) 2,3x – 2(0,7 + 2x) = 3,6 – 1,7x c) 3 + 2,25x + 2,6 = 2x + 5 + 0,4x d) 0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7 e) 3,6 – 0,5(2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x) f) 5x + 3,48 – 2,35x = 5,38 – 2,9x + 10,42 5x 2 5 3x 10x 3 6 8x 4. a) b) 1 3 2 12 9 3 13 7 20x 1,5 c) 2 x 5 x d) x 5(x 9) 5 5 8 6 7x 1 16 x x 2x 1 x e) 2x f) x 6 5 3 6 6 3x 2 3x 1 5 x 4 x x 2 g) 2x h) x 4 2 6 3 5 3 2 4x 3 6x 2 5x 4 5x 2 8x 1 4x 2 i) 3 k) 5 5 7 3 6 3 5 2x 1 x 2 x 7 3x 11 x 3x 5 5x 3 m) n) 5 3 15 11 3 7 9 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 5 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 2 x 1 2x 3x 11 x 3x 5 5x 3 o) 0,5x 0,25 p) 5 4 11 3 7 9 1 1 1 q) (x 3) 3 (x 1) (x 2) 4 2 3 1 2(x 3) 3x 2(x 7) 5. a) 14 2 5 2 3 2(3x 1) 1 2(3x 1) 3x 2 b) 5 4 5 10 5(x 1) 2 7x 1 2(2x 1) c) 5 6 4 7 x 1 3(2x 1) 2x 3(x 1) 7 12x d) 3 4 6 12 3(2x 1) 3x 1 2(3x 2) e) 1 4 10 5 3(x 3) 4x 10,5 3(x 1) f) 6 4 10 5 3(x 30) 1 7x 2(10x 2) g) x 24 15 2 10 5 3 7 10x 3 h) x (2x 1) (1 2x) 17 34 2 3.11 Tìm x sao cho các biểu thức A và B cho sau cĩ giá trị bằng nhau: a) A = (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2) và B = (x – 4)2 b) A = (x + 2)(x – 2) + 3x2 và B = (2x + 1)2 + 2x c) A = (x – 1)(x2 + x + 1) – 2x và B = x(x – 1)(x + 1) d) A = (x + 1)3 – (x – 2)3 và B = (3x –1)(3x +1). 3.12 Giải các phương trình sau: 7x 1 16 x a) 2x 6 5 (2x 1)2 (x 1) 2 7x 2 14x 5 b) 5 3 15 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 6 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.13 Giải các phương trình sau: x 1 1 2x 2x 3x a) x 5 1 3 3 5 x 11 2x 3x 1 3x 1 2x 6 b) 2 3 2 3 2 5 3.14 Giải các phương trình sau: x 23 x 23 x 23 x 23 a) 24 25 26 27 x 2 x 3 x 4 x 5 b) 1 1 1 1 98 97 96 95 x 1 x 2 x 3 x 4 c) 2012 2011 2010 2009 201 x 203 x 205 x d) 3 0 99 97 95 x 45 x 47 x 55 x 53 e) 55 53 45 47 2 x 1 x x f) 1 2010 2011 2012 x2 10x 29 x 2 10x 27 x 2 10x 1971 x 2 10x 1973 g) 1971 1973 29 27 x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x19 h) 1970 1972 1974 1976 1978 1980 x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980 29 27 25 23 21 19 (Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 tồn quốc năm 1978) Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 7 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Phương trình tích Phương trình tích là những phương trình sau khi biến đổi cĩ dạng: A(x) B(x)  C(x) 0 (1) trong đĩ A(x), B(x), , C(x) là những biểu thức ẩn x. A( x ) 0 B( x ) 0 Cách giải: A(x) B(x)  C(x) 0  C( x ) 0 Giải các phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, , C(x) = 0. Tất cả các nghiệm tìm được tạo thành tập nghiệm của phương trình (1) 3.15 Giải các phương trình sau: 1. a) (3x – 2)(4x + 5) = 0 b) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0 c) (4x + 2)(x2 + 1) = 0 d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0 e) (x – 1)(2x + 7)(x2 + 2) = 0 f) (4x – 10)(24 + 5x) = 0 g) (3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 0 h) (5x + 2)(x – 7) = 0 i) 15(x + 9)(x – 3) (x + 21) = 0 j) (x2 + 1)(x2 – 4x + 4) = 0 2. a) (3x + 2)(x2–1) = (9x2–4)(x+1) b) x(x + 3)(x–3)–(x+2)(x2–2x+4)=0 c) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0 d) (3x–1)(x2+2) = (3x–1)(7x – 10) e) (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 f) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0 g) 3x – 15 = 2x(x – 5) h) (2x + 1)(3x–2) = (5x–8)(2x + 1) i) 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1) j) (2x2+1)(4x–3)=(x – 12)(2x2 + 1) k) x(2x – 9) = 3x(x – 5) l) (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1) m) 2x(x – 1) = x2 – 1 n) (2–3x)(x+11) = (3x – 2)(2 – 5x) 3 1 1 1 2 o) x 1 x(3x 7) p) 2 2 (x 1) 7 7 x x Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 8 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3. a) (2x – 5)2 – (x + 2)2 = 0 b) (3x2+10x–8)2 = (5x2 – 2x + 10)2 c) (x2 – 2x + 1) – 4 = 0 d) 4x2 + 4x + 1 = x2 e) (x + 1)2 = 4(x2 – 2x + 1)2 f) (x2 – 9)2 – 9(x – 3)2 = 0 g) 9(x – 3)2 = 4(x + 2)2 h) (4x2 – 3x – 18)2 = (4x2 + 3x)2 i) (2x – 1)2 = 49 j) (5x – 3)2 – (4x – 7)2 = 0 k) (2x + 7)2 = 9(x + 2)2 l) 4(2x + 7)2 = 9(x + 3)2 m) (x2 – 16)2 – (x – 4)2 = 0 n) (5x2–2x + 10)2 = (3x2 + 10x – 8)2 4. a) 3x2 + 2x – 1 = 0 b) x2 – 5x + 6 = 0 c) x2 – 3x + 2 = 0 d) 2x2 – 6x + 1 = 0 e) 4x2 – 12x + 5 = 0 f) 2x2 + 5x + 3 = 0 g) x2 + x – 2 = 0 h) x2 – 4x + 3 = 0 i) 2x2 + 5x – 3 = 0 j) x2 + 6x – 16 = 0 5. a) 3x2 + 12x – 66 = 0 b) 9x2 – 30x + 225 = 0 c) x2 + 3x – 10 = 0 d) 3x2 – 7x + 1 = 0 e) 3x2 – 7x + 8 = 0 f) 4x2 – 12x + 9 = 0 6. a) (x – 2 ) + 3(x2 – 2) = 0 b) x2 – 5 = (2x – 5 )(x + 5 ) 7. a) 2x3 + 5x2 – 3x = 0 b) 2x3 + 6x2 = x2 + 3x c) x2 + (x + 2)(11x – 7) = 4 d) (x – 1)(x2 + 5x – 2) – (x3 – 1) = 0 e) x3 + 1 = x(x + 1) f) x3 + x2 + x + 1 = 0 g) x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 h) x3 – 7x + 6 = 0 3.16 Cho phương trình (ẩn x): 4x2 – 25 + k2 + 4kx = 0 a) Giải phương trình với k = 0 b) Giải phương trình với k = – 3 c) Tìm các giá trị của k để phương trình nhận x = – 2 làm nghiệm. 3.17 Cho phương trình (ẩn x): x3 + ax2 – 4x – 4 = 0 a) Xác định m để phương trình cĩ một nghiệm x = 1. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 9 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 b) Với giá trị m vừa tìm được, tìm các nghiệm cịn lại của phương trình. 3.18 Cho phương trình (ẩn x): x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0 a) Xác định a để phương trình cĩ một nghiệm x = – 2. b) Với giá trị a vừa tìm được, tìm các nghiệm cịn lại của phương trình. 3.19 Cho biểu thức hai biến: f(x, y) = (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1) a) Tìm các giá trị của y sao cho phương trình (ẩn x) f(x, y) = 0 nhận x = – 3 làm nghiệm. b) Tìm các giá trị của x sao cho phương trình (ẩn y) f(x, y) = 0 nhận y = 2 làm nghiệm. 5 4 3.20 Cho 2 biểu thức: A và B . Hãy tìm các giá trị của m để 2m 1 2m 1 hai biểu thức ấy cĩ giá trị thỏa mãn hệ thức: a) 2A + 3B = 0 b) AB = A + B 3.21 Dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình sau, làm trịn đến chữ số thập phân thứ ba. a) ( 3 x 5)(2x 2 1) 0 b) (2x 7)(x 10 3) 0 c) (2 3x 5)(2,5x 2) 0 d) ( 13 5x)(3,4 4x 1,7) 0 e) (x13 5)(7 x3) 0 f) (x 2,7 1,54)( 1,02 x 3,1) 0 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 10 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu Phương trình chứa ẩn ở mẫu: ngồi những phương trình cĩ cách giải đặc biệt, đa số các phương trình đều giải theo các bước sau: . Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ). . Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu. . Giải phương trình sau khi bỏ mẫu. . Kiểm tra xem các nghiệm vừa tìm được cĩ thỏa ĐKXĐ khơng. Chú ý chỉ rõ nghiệm nào thỏa, nghiệm nào khơng thỏa. . Kết luận số nghiệm của phương trình đã cho là những giá trị thỏa ĐKXĐ. 3.22 Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau: 1 a) 3x2 – 2x = 0 b) 3 x 1 2 x 2x 1 c) d) x 1 2x 4 x2 9 x 3 3.23 Giải các phương trình sau: 2x 1 1 5x 6 1. a) 1 b) 1 x 1 x 1 2x 2 x 1 1 1 1 x 8 c) x x2 d) 8 x x2 7 x x 7 1 x 3 5x 2 2x 1 x2 x 3 e) 3 f) 1 x 2 2 x 2 2x 2 1 x 2 x 5 x 3 x 2 2. a) 1 b) 2 x 3 x 1 x 1 x x 6 x 2x 5 3x 5 c) d) 1 0 x 4 x 2 x 2 x 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 e) 3 f) 1 x 2 x 4 5 x 2 x 4 3x 2 6x 1 x 1 x 1 2(x2 2) g) h) x 7 2x 3 x 2 x 2 x2 4 2x 1 5(x 1) x 1 x 5x 2 i) j) x 1 x 1 x 2 x 2 4 x2 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 11 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 x 2 3 2(x 11) x 1 x2 x 2 x 1 k) l) x 2 2 x x 2 x2 4 x 1 x 1 x 1 1 5 15 x 5x 2 3. a) b) 1 x 1 x 2 (x 1)(2 x) 3 x (x 2)(3 x) x 2 6 4 8 3x 1 2x 5 4 c) d) 1 x 1 x 3 (x 1)(3 x) x1 x 3 (x1)(x 3) 1 3 5 x3 (x 1) 3 7x 1 x e) f) 2x 3 x(2x 3) x (4x 3)(x 5) 4x 3 x 5 x 2 1 2 3x x 3x g) h) x 2 x x(x 2) x 2 x 5 (x 2)(5 x) 3.24 Giải các phương trình sau: x 1 x 1 16 3 1 7 a) b) x 1 x 1 x2 1 x2 x 2 x 1 x 2 12 1 x 25 x 5 5 x c) 1 d) 8 x3 x 2 2x2 50 x 2 5x 2x 2 10x 4 2x 5 2x 1 3x2 2x e) f) x2 2x 3 x 3 x 1 x 1 x3 1 x 2 x 1 2 x 1 x 3 2 3 1 g) h) x2 6x 8 x 2 x 4 x3 x 2 x 1 1 x 2 x 1 x 2x x 5 x 3 i) j) 0 2x 2 x2 2x 3 6 2x x2 5x 6 2 x 3.25 Giải các phương trình sau: 4 3 2 a) 25x2 20x 3 5x 1 5x 3 1 1 2 b) x2 3x2 x 2 5x6x 2 4x3 1 1 1 1 c) x2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 3.26 Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau cĩ giá trị bằng 2. 2a2 3a 2 3a 1 a 3 a) b) a2 4 3a 1 a 3 10 3a 1 7a 2 2a 9 3a c) d) 3 4a 12 6a 18 2a 5 3a 2 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 12 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Phương trình cĩ hệ số chứa tham số 1. Phương trình cĩ hệ số cĩ chưa tham số: . Các hệ số bằng chữ trong phương trình cịn được gọi là tham số. . Với mỗi giá trị của tham số, ta được 1 phương trình khác, do đĩ nghiệm và số nghiệm của các phương trình cĩ thể khác nhau. . Giải và biện luận phương trình theo tham số là khảo sát nghiệm và số nghiệm của phương trình đĩ theo các giá trị khác nhau của tham số. . Khi giải phương trình cĩ hệ số chứa tham số ta cần chú ý: Khi chia cho một biểu thức chứa tham số phải đặt điều kiện cho các tham số để biểu thức ấy khác 0. 2. Giải và biện luận phương trình cĩ hệ số chứa tham số . Khai triển, chuyển các hạng tử cĩ chứa ẩn sang một vế, các hạng tử khác sang một vế, thu gọn để đưa về phương trình dạng Ax = B (1). . Phân tích A, B thành nhân tử (nếu được). . Biện luận: B  Nếu A 0: phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất x . A  Nếu A = 0, phương trình (1) cĩ dạng: 0x = B Nếu B = 0, (1) 0x = 0: phương trình (1) cĩ nghiệm tùy ý Nếu B 0: phương trình (1) vơ nghiệm. 3. Phương trình cĩ nghiệm theo điều kiện: Trong thực hành, đơi lúc đề khơng yêu cầu giải và biện luận mà chỉ yêu cầu một phần nhỏ trong phần giải và biện luận. Cho phương trình: Ax = B (1) . (1) cĩ nghiệm duy nhất A 0 A 0 . (1) vơ nghiệm B 0 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 13 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 A 0 . (1) cĩ vơ số nghiệm B 0 A 0 . (1) cĩ nghiệm khi A 0 hoặc B 0 4. Minh họa giải và biện luận phương trình bằng sơ đồ sau: Ax = B A 0 A = 0 0x = B B 0 B = 0 PT cĩ nghiệm PT PT cĩ vơ số duy nhất vơ nghiệm nghiệm B  S  S =  S = R A  3.27 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x: x 2a a a x a a) 8 b) 5 3 3 10 2 x x a c) 1 a d) 2 e) (a2 2)(x 1) x 2 a a 3 3.28 Giải và biện luận các phương trình sau: a) (m2 1)x (m 2 m)(m 2) b) m(x2 1) 3mx (m 2 3)x 1 c) m2 x 6 4x 3m d) m(m 6)x m 8x m2 2 e) (m 1)x (m 1)2 f) (m2 4)x m 2 8 g) m(m2 x 1) 1 x h) m(mx 3) 2 x i) m(x 4m) x 3 2 mx j) m(3x m) x 2 k) m(mx 1) (2m 3)x 1 l) m(12 x) m(x 2) 3 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 14 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 m) m(mx 1) 4(m 1)x 2 n) m(x2 1) m(2x 1) 3.29 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x: a) (a2 3)x 1 a(x 2 1) 3ax b) (x 1)m 2(m 1)x 2m 3 x a x b c) a(x 2) a2 x 2 0 d) 2 b a x a b x b a b2 a 2 x a x a x 2 e) f) a b ab a 2 a 2 a2 4 x 4 x 4a x 4a 3 x a x b x c 1 1 1 g) 2 h) 2 a 1 a 1 a 1 bc ac ab a b c 3.30 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x: x a x b 1 2 3 a) 2 b) 0 x b x a x 2 x 2a x a x 1 x 1 1 1 1 1 c) d) x 2 a x 1 a x a b x a b x a 1 x b 1 a e) xa xb (xa)(xb) Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 15 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Giải bài tốn bằng cách lập phương trình 1. Các bước giải . Bước 1: Lập phương trình:  Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.  Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.  Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. . Bước 2: Giải phương trình. . Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào khơng thỏa, rồi kết luận. 2. Một số kiến thức cần lưu ý a) Loại tốn cấu tạo số:  Số cĩ hai, chữ số được ký hiệu là ab Giá trị của số: ab = 10a + b; (Đk: 1 a 9 và 0 b 9, a,b N)  Số cĩ ba, chữ số được ký hiệu là abc abc = 100a +10b + c, (Đk: 1 a 9 và 0 b, c 9; a, b, c N) b) Loại tốn chuyển động:  Cĩ 3 đại lượng là quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t) liên hệ bởi cơng thức: s = v.t  Chuyển động trên dịng nước chảy: Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng. Vận tốc xuơi dịng = vận tốc riêng + vận tốc dịng nước Vận tốc ngược dịng = vận tốc riêng – vận tốc dịng nước c) Loại tốn “làm chung – làm riêng” một cơng việc hoặc với “vịi nước chảy chung – chảy riêng” đầy bể:  Cĩ 3 đại lượng: - Khối lượng cơng việc Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 16 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 - Phần việc làm (chảy) trong một đơn vị thời gian (năng suất) - Thời gian  Khi cơng việc khơng được đo bằng số lượng cụ thể, ta xem tồn bộ cơng việc là 1. - Nếu đội nào làm xong cơng việc trong x (ngày) thì trong 1 ngày 1 đội đĩ làm được (cơng việc). x - Nếu vịi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong 1 1 giờ vịi đĩ chảy được (bể). x 3. Một số ví dụ minh họa cách chọn ẩn a) Thơng thường ta hay chọn ẩn số dựa vào câu hỏi của đề bài. Bài tốn hỏi điều gì, ta chọn điều đĩ làm ẩn số. Ví dụ: Một khu đất hình chữ nhật cĩ chu vi 450m. Nếu tăng chiều dài 1 1 thêm chiều dài cũ và giảm chiều rộng đi chiều rộng cũ thì chu vi 5 4 khu đất khơng thay đổi. Tính diện tích khu đất lúc đầu. Giải: . Nửa chu vi khu đất là: 452 : 2 = 225 (m) . Gọi chiều dài khu đất là x (m). Điều kiện: x > 0. Khi đĩ: - Chiều rộng của khu đất là: 225 – x (m) 1 - Chiều dài khu đất sau khi tăng thêm là: x x (m) 5 1 - Chiều rộng khu đất sau khi giảm đi là: (225 x) (225 x) (m) 4 . Theo đề bài, ta cĩ phương trình (lập PT theo chu vi): 1 1 x x (225 x) (225 x) 225 5 4  x 125 (thỏa điều kiện) . Vậy: Chiều dài của khu đất là: 125 (m) Chiều rộng của khu đất là: 225 – 125 = 100 (m) Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 17 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Diện tích khu đất là: 100 125 = 12500 (m2) b) Trong một số trường hợp, ta cĩ thể chọn ẩn số là một đại lượng trung gian để được phương trình đơn giản hơn, dễ giải hơn. Ví dụ: Một canơ xuơi dịng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dịng từ bến B đến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến, biết rằng vận tốc dịng nước chảy là 2 km/h. Giải: . Gọi vận tốc riêng của canơ (vận tốc canơ lúc nước yên lặng) là x (km/h). Điều kiện: x > 0. . Khi đĩ: - Vận tốc canơ lúc xuơi dịng là: x + 2 (km/h) - Vận tốc canơ lúc ngược dịng là: x – 2 (km/h) - Quãng đường canơ đi xuơi dịng (khoảng cách từ A đến B) là: 4(x + 2) (km) - Quãng đường canơ đi ngược dịng (cũng là khoảng cách từ A đến B) là: 5(x – 2) (km) . Ta cĩ phương trình: 5( x 2 ) 4( x 2 )  x 18 (thỏa điều kiện) . Vậy khoảng cách giữa hai bến là: 4(18 + 2) = 80 km. 3.31 Bài tốn cổ: Ngựa và La đi cạnh nhau cùng chở vật nặng trên lưng. Ngựa than thở về hành lý quá nặng của mình. La đáp: “Cậu than thở nỗi gì ? Nếu tơi lấy của cậu một bao thì hành lý của tơi nặng gấp đơi của cậu. Cịn nếu cậu lấy của tơi một bao thì hành lý của cậu mới bằng của tơi”. Hỏi Ngựa và La mỗi con mang bao nhiêu bao ? 3.32 Năm 1999, bố 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi năm nào thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi con ? 3.33 Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ cịn gấp 2 lần tuổi của Phương thơi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ? 3.34 Ơng của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ơng và tổng số tuổi của cả ba người là 130. Hãy tính tuổi của Bình. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 18 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.35 An hỏi Bình: “Năm nay cha mẹ của anh bao nhiêu tuổi ?” Bình trả lời: “Cha tơi hơn mẹ tơi 4 tuổi. Trước đây khi tổng số tuổi của bố và mẹ tơi là 104 tuổi thì tuổi của 3 anh em chúng tơi là 14, 10 và 6. Hiện nay tổng số tuổi của cha mẹ tơi gấp 2 lần tổng số tuổi của 3 anh em chúng tơi”. Tính xem tuổi của cha và mẹ Bình là bao nhiêu ? 3.36 Tìm hai số, biết tổng của hai số bằng 65 và hiệu của chúng là 11. 3.37 Tìm hai số, biết tổng của hai số bằng 75 và số này gấp đơi số kia. 3.38 Một số tự nhiên lẻ cĩ hai chữ số và chia hết cho 5. Hiệu của số đĩ và chữ số hàng chục của nĩ bằng 68. Tìm số đĩ. 3.39 Tìm một phân số cĩ tử nhỏ hơn mẫu 22 đơn vị, biết rằng nếu thêm 5 đơn 1 vị vào tử và bớt 2 đơn vị ở mẫu thì được phân số mới bằng phân số . 2 Tìm phân số đã cho. 3.40 Tìm một phân số cĩ tử nhỏ hơn mẫu 11 đơn vị, biết rằng nếu thêm 3 đơn 3 vị vào tử và bớt 4 đơn vị ở mẫu thì được phân số mới bằng phân số . 4 Tìm phân số đã cho. 3 3.41 Tìm 2 số nguyên, biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai bằng . Nếu 5 chia số thứ nhất cho 9 và chia số thứ hai cho 6 thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ hai là 3 đơn vị. Biết rằng các phép chia nĩi trên là các phép chia hết. 3.42 Tìm 4 số tự nhiên cĩ tổng 2007. Biết rằng nếu số I bớt đi 2, số II thêm 2, số III chia cho 2 và số IV nhân với 2 thì được kết quả bằng nhau. Tìm 4 số đĩ. 3.43 Tìm số tự nhiên cĩ hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đĩ thì ta được một số lớn gấp 153 lần số ban đầu. 3.44 Tìm một số cĩ hai chữ số. Biết tổng hai chữ số là 10 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới lớn hơn số cần tìm là 18 đơn vị. 3.45 Tìm một số cĩ hai chữ số. Nếu thêm chữ số 5 vào bên trái số đĩ thì được một số lớn hơn 153 đơn vị so với khi thêm chữ số 5 ở bên phải số đĩ. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 19 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.46 Tìm một số cĩ hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục. Nếu viết thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn số đã cho 370 đơn vị. 3.47 Chu vi một miếng đất hình chữ nhật cĩ chu vi bằng 80m. Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài 8m thì diện tích tăng thêm 32m2. Tính kích thước miếng đất. 1 3.48 Học kì I, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng số học sinh cả lớp. Sang học 8 kì II, cĩ thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đĩ số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A cĩ bao nhiêu học sinh? 3.49 Trong mơt buổi lao động, lớp 8A gồm 40 học sinh chia thành 2 tốp: tốp thứ nhất trồng cây và tốp thứ hai làm vệ sinh. Tốp trồng cây đơng hơn tốp làm vệ sinh là 8 người. Hỏi tốp trồng cây cĩ bao nhiêu học sinh ? 3.50 Hai chiếc ơtơ khởi hành từ hai tỉnh A và B, ngược chiều nhau. Chiếc xe đi từ A cĩ vận tốc 40km/h, chiếc xe đi từ B với vận tốc 30km/h. Nếu chiếc xe đi từ B khởi hành sớm hơn chiếc xe đi từ A là 6 giờ thì 2 xe gặp nhau ở địa điểm cách đều A và B. Tìm quãng đường AB ? 3.51 Một ơtơ đi từ Hà Nội đến Thanh Hĩa với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ nghỉ lại ở Thanh hĩa, ơtơ lại từ Thanh Hĩa về Hà Nội với vận tốc 30km/h. tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ). Tính quãng đường Hà Nội – Thanh Hĩa. 3.52 Một ơtơ phải đi quãng đường AB dài 60km trong một thời gian nhất định. Ơtơ đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định 10km/h và đi nửa sau quãng đường với vận tốc kém hơn dự định 6km/h. Biết ơtơ đến B đúng thời gian đã định. Tính thời gian ơtơ dự định đi quãng đường AB. 3 3.53 Hai ơtơ khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc ơtơ I bằng vận tốc 4 ơtơ II. Nếu ơtơ I tăng vận tốc 5km/h, cịn ơtơ II giảm vận tốc 5km/h thì sau 5 giờ quãng đường ơtơ I đi được ngắn hơn quãng đường ơtơ II đã đi là 25km. Tính vận tốc của mỗi ơtơ. 3.54 Ơtơ I đi từ A đến B. Nửa giờ sau, ơtơ II đi từ B đến A với vận tốc gấp rưỡi vận tốc ơtơ I. Sau đĩ 45 phút hai ơtơ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ơtơ, biết quãng đường AB dài 95 km. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 20 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.55 Một ơtơ đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng, dự kiến đến Hải Phịng vào lúc 10 giờ 30 phút. Nhưng mỗi giờ ơtơ đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên mãi đến 11 giờ 20 phút xe mới tới Hải Phịng. Tính quãng đường Hà Nội – Hải Phịng. 3.56 Hai người cùng khởi hành một lúc từ A đến B dài 60 km. Vận tốc người I là 12km/h, vận tốc người II là 15km/h. Hỏi sau lúc khởi hành bao lâu thì người I cách B một quãng đường gấp đơi khoảng cách từ người II đến B ? 3.57 Một tàu chở hàng từ ga Vinh đi Hà Nội, sau đĩ 1,5 giờ, một tàu chở khách xuất phát từ ga Hà Nội đi Vinh với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu chở hàng là 7km/h. Khi tàu khách đi được 4 giờ thì nĩ cịn cách tàu hàng là 25km. Tính vận tốc mỗi tàu, biết rằng hai ga cách nhau 319km. 3.58 Một đồn tàu hỏa từ Hà Nội đi Tp. Hồ Chí Minh. 1 giờ 48 phút sau, một đồn tàu khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Tp. Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của đồn tàu thứ nhất là 5 km/h. Hai đồn tàu gặp nhau (tại một ga nào đĩ) sau 4 giờ 48 phút kể từ lúc đồn tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc mỗi đồn tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Tp. Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội là 87 km. 3.59 Ơtơ I đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40 km/h. Sau đĩ 1 giờ, ơtơ II đi từ tỉnh B đến tỉnh A với vận tốc 65 km/h. Hai ơtơ gặp nhau khi ơtơ I mới 2 đi được quãng đường AB. Tính quãng đường AB. 5 3.60 Lúc 6 giờ một ơtơ khởi hành từ A. Lúc 7 giờ 30 phút, ơtơ II cũng khởi hành từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc ơtơ I là 20 km/h và gặp ơtơ I lúc 10 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi ơtơ. 3.61 Một người đi xe đạp từ A đến B. Lúc đầu, trên đoạn đường đá, người đĩ đi với vận tốc 10 km/h. Trên đoạn đường cịn lại là đường nhựa, dài gấp rưỡi đoạn đường đá, người đĩ đi với vận tốc 15 km/h. Sau 4 giờ người đĩ đến B. Tính độ dài quãng đường AB. 3.62 Hai ơtơ cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài 163km. Trong 43 km đầu, hai xe cĩ cùng vận tốc. Nhưng sau đĩ chiếc xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đĩ xe thứ nhất đã đến Hà Nội sớm hơn xe thứ hai 40 phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 21 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.63 Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Đi được 24 phút thì gặp đường xấu nên vận tốc trên quãng đường cịn lại giảm cịn 40 km/h. Vì vậy đã đến nơi chậm mất 18 phút. Tính quãng đường AB. 3.64 Anh Nam đi xe đạp tờ A đến B với vận tốc 12 km/h. Đi được 6 km, xe đạp hư, anh Nam phải đi bằng ơtơ và đã đến B sớm hơn dự định 45 phút. Tính quãng đường AB, biết vận tốc của ơtơ là 30 km/h. 3.65 Hai ơtơ khởi hành cùng lúc ngược chiều nhau và gặp nhau sau 4 giờ. Ơtơ I 3 đi từ A với vận tốc bằng vận tốc của ơtơ II đi từ B. Hỏi mỗi ơtơ đi cả 4 quãng đường AB thì mất bao lâu ? 3.66 Một ơtơ đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ơtơ bị tàu hỏa chắn đường 10 phút. Do đĩ để kịp đến B đúng thời gian đã định, người đĩ phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính quãng đường AB. 3.67 Một ơtơ đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và quay từ B về A với vận tốc 40 km/h. Tính vận tốc trung bình của ơtơ. 3.68 Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đĩ đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB. 3.69 Một canơ xuơi dịng từ A đến B mất 4 giờ và ngược dịng từ B về A mất 5 giờ. Tìm đoạn đường AB, biết vận tốc của dịng nước là 2 km/h. 3.70 Lúc 7 giờ sáng, một canơ xuơi dịng từ A đến B cách nhau 36 km, rồi ngay lập tức quay trở về và đến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của canơ khi xuơi dàng, biết vận tốc của dịng nước là 6 km/h. 3.71 Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đĩ mỗi ngày phải khai thác được 50 tấn than. Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn than. Do đĩ, đội khơng những đã hồn thành kế hoạch trước một ngày mà cịn vượt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác bao nhiêu tấn than ? 3.72 Đầu năm học một tổ học sinh được mua một số sách vở, phải trả 72.000đ. Nếu bớt đi 3 người thì mỗi người cịn lại phải trả thêm 4000đ. Hỏi tổ cĩ bao nhiêu người ? Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 22 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.73 Một xí nghiệp ký hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, khơng những xí nghiệp đã hồn thành số thảm cần dệt mà cịn dệt thêm được 24 tấm nữa. Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng. 3.74 Một đội sản xuất dự định phải làm một số dụng cụ trong 30 ngày. Do mỗi ngày đã vượt năng suất so với dự định 10 dụng cụ nên khơng những đã làm thêm được 20 dụng cụ mà tổ đĩ cịn làm xong trước thời hạn 7 ngày. Tính số dụng cụ mà tổ sản xuất đĩ phải làm theo kế hoạch. 3.75 Một vịi nước chảy vào bể khơng cĩ nước. Cùng lúc đĩ, một vịi chảy từ 4 bể ra. Mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng lượng nước chảy vào. Sau 5 5 1 giờ, nước trong bể đạt tới dung tích bể. Hỏi nếu bể khơng cĩ nước và 8 chỉ mở vịi chảy vào thì trong bao lâu thì đầy bể ? 3.76 Hai người cùng làm một cơng việc trong 3 giờ 20 phút thì xong. Nếu 4 người I làm 3 giờ và người II làm 2 giờ thì tất cả được cơng việc. Hỏi 5 mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong cơng việc đĩ ? 3.77 Bài tốn cổ: Một đàn em nhỏ đứng bên sơng To nhỏ bàn nhau chuyện chia bịng Mỗi người năm quả thừa năm quả Mỗi người sáu quả một người khơng Hỏi người bạn trẻ đang dừng bước: Cĩ mấy em thơ, mấy quả bịng ? 3.78 Bài tốn cổ Trung Hoa: Cành sen nhỏ mọc trong hồ nước Bơng sen trịn nửa thước nhơ lên. Bỗng đâu giĩ thổi sang bên Bơng hoa dạt xuống nằm trên mặt hồ Cách cành cũ được vừa hai thước (Cứ sát theo mặt nước mà đo). Nhờ ai thạo tính giúp cho Hồ sâu bao thước, lí do thế nào ? Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 23 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Ơn tập chương 3 3.79 Giải các phương trình sau: a) 11 + 8x – 3 = 5x – 3 + x b) 4 – 2x + 15 = 9x + 4 – 2x c) (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2) = (x – 4)2 d) (x + 1)(x2 – x + 1) – 2x = x(x + 1)(x – 1) e) (x – 1)3 – x(x + 1)2 = 5x(2 – x) – 11(x + 2) 5x 1 2x 3 x 8 x f) 10 6 15 30 x 2 x 4 x 6 x 8 g) 98 96 94 92 x 1 x 2 x 3 x 4 h) 9 8 7 6 4 3x x 3 2x 7x i) 5 2 x 1 15 5 2x 8 3x 1 9x 2 3x 1 j) 6 4 8 12 (x 2)2 (2x 3)(2x 3) (x 4) 2 k) 0 3 8 6 9x 0,7 5x 1,5 7x 1,1 5(0,4 2x) l) 4 7 6 6 3.80 Giải các phương trình sau: 2(x 3) 4x 3 a) (3x–2) = 0 7 5 7x 2 2(1 3x b) (3,3–11x) = 0 5 3 3x 8 3x 8 c) (2x3) 1(x5) 1 2 7x 2 7x d) (x + 2)(x – 3)(17x2 – 17x + 8) = (x + 2)(x – 3)(x2 – 17x +33) 12 1 2 e) x 3 x 5 0 9 25 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 24 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 2 2 2 2 3x 1 x 2 2x 3x f) g) 1 1 5 3 5 3 3 2 2 2 2 1 1 3 3 1 h) x 1 x 1 i) x x x 0 x x 4 4 2 j) 3x2 + 7x + 2 = 0 k) x2 – 4x + 1 = 0 l) 2x2 – 6x + 1 = 0 m) 3x2 + 4x – 4 = 0 n) x6 – x2 = 0 o) x3 – 12 = 13x p) – x5 + 4x4 = – 12x3 q) x3 = 4x 3.81 Giải các phương trình sau: x 1 x 1 4 a) x 1 x 1 x2 1 8x2 2x 1 8x b) 3(1 4x)2 6x 3 4 8x 3 15 7 c) 4(x 5) 50 2x2 6(x 5) 13 1 6 d) (x 3)(2x 7) 2x 7 x2 9 x 1 7 5 x 1 e) 2x2 4x 8x 4x 2 8x 8x 16 5 2x (x 1)(x 1) (x 2)(1 3x) f) 3 3x 1 9x 3 13 1 6 g) (x 3)(2x 7) 2x 7 (x 3)(x 3) 3 2 1 h) (x 1)(x 2) (x 3)(x 1) (x 2)(x 3) x a x a a(3a 1) 3.82 Cho phương trình (ẩn x): a x a x a2 x 2 a) Giải phương trình với a = – 3. b) Giải phương trình với a = 1. c) Giải phương trình với a = 0. 1 d) Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x = làm nghiệm. 2 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 25 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 6x 1 6x 1 3.83 Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức và bằng nhau. 3x 2 3x 2 y 5 y 1 8 3.84 Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức và y 1 y 3 (y 1)(y 3) bằng nhau. 3.85 Cho phương trình: m(x2 1) 4(x m 3) a) Định m để phương trình cĩ nghiệm x = 3. b) Định m để phương trình vơ nghiệm. 3.86 Tìm 2 số nguyên, biết hiệu của 2 số đĩ là 99. Nếu chia số bé cho 3 và số lớn cho 11 thì thương thứ nhất hơn thương thứ hai 7 đơn vị. Biết các phép chia nĩi trên là các phép chia hết. 2 3.87 Chu vi một miếng đất hình chữ nhật cĩ chiều dài bằng chiều rộng. Nếu 3 giảm mỗi chiều đi 4m thì diện tích tăng thêm 164m2. Tính kích thước miếng đất. 3.88 Thùng thứ nhất chứa 60 gĩi kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gĩi kẹo. Người ta lấy ra từ thùng thứ hai số gĩi kẹo nhiều gấp ba lần số gĩi kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất. Hỏi cĩ bao nhiêu gĩi kẹo được lấy ra từ thùng thứ nhất, biết rằng số gĩi kẹo cịn lại trong thùng thứ nhất nhiều gấp hai lần số gĩi kẹo cịn lại trong thùng thứ hai ? 3.89 Một đội sản xuất dự định phải làm 1500 sản phẩm trong 30 ngày. Do mỗi ngày đã vượt năng suất so với dự định 15 sản phẩm. Do đĩ đội đã khơng những đã làm thêm được 255 sản phẩm mà cịn làm xong trước thời hạn. Hỏi thực tế đội sản xuất đã rút ngắn được bao nhiêu ngày ? 3.90 Hai vịi nước cùng chảy vào một bể thì sau 2 giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng 3 nước vịi I chảy được bằng lượng nước chảy được của vịi II. Hỏi mỗi 2 vịi chảy riêng trong bao lâu thì đầy bể? 3.91 Bài tốn cổ Trung Hoa: Một đoạn dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì thừa ra một đoạn dây dài 0,5 m. Nếu kéo căng sợi dây và cho đầu dây chạm mặt đất thì đầu dây đĩ cách gốc cây 2,5 m. Tính chiều cao của cây. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 26 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Chương IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN  Bất đẳng thức – Tính chất của bất đẳng thức I. Thứ tự trên tập hợp số 1. Khi so sánh hai số thực a và b, xảy ra một trong ba trường hợp sau:  Số a bằng số b, kí hiệu: a = b  Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu: a b. 2. Khi biểu diễn số thực trên trục số (nằm ngang), điểm biểu diễn số nhỏ hơn ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn. 3 1,5 0 2 3 3. Nếu số a khơng nhỏ hơn số b thì a > b hoặc a = b. Kí hiệu: a ≥ b 4. Nếu số a khơng lớn hơn số b thì a b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải. 2. Một bất đẳng thức cĩ thể đúng hoặc sai Ví dụ: 2 < 3 (S); 5 ≥ 2 (Đ); 0 ≥ 0 (Đ); 7 ≥ 8 (S) 3. Khi nĩi chứng minh bất đẳng thức thì ta hiểu là phải chứng minh bất đẳng thức luơn đúng.  Số a bằng số b, kí hiệu: a = b III. Các tính chất cơ bản của bắt đẳng thức 1. Tính đối xứng: a b b a 2. Tính chất bắc cầu: Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 27 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 a b  a c b c 3. Cộng 2 vế cùng một số: a b a c b c (cộng 2 vế với c) a c b a b c (cộng 2 vế với – c) a b a b 0 (cộng 2 vế với – b) a b a b 0 (cộng 2 vế với – b) 4. Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều: (Chú ý: Khơng cĩ trừ) a b  a c b d c d  5. Nhân 2 vế với 1 số: a b a.c b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a b a.c b.c (nếu c < 0: đổi chiều) 6. Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều: a b 0  a.c b.d c d 0 7. Nâng lên lũy thừa: a b 0 an b n ( n * ) 8. Nghịch đảo: 1 1 a b 0 a b IV. Một số bất đẳng thức cần nhớ  a2 0,  a  a2 0,  a  ( a b )2 0,  a,b  ( a b )2 0,  a,b  a 0,  a  a b a b dấu “=” xảy ra khi ab ≥ 0 V. Phương pháp chứng minh bắt đẳng thức 1. Dùng định nghĩa Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 28 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Muốn chứng minh A ≥ B, ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B ≥ 0. 2. Phương pháp biến đổi tương đương Muốn chứng minh A ≥ B (1), ta biến đổi tương đương: A ≥ B C ≥ D E ≥ F X ≥ Y (2) Nếu bất đẳng thức (2) hiển đúng thì bất đẳng thức (1) là đúng. 3. Dùng bất đẳng thứa trung gian Từ bất đẳng thức này, kết hợp với các tính chất để suy ra bất đẳng thức phải chúng minh. 4.1 Các khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ? 1. a) (–2) + 3 2 b) – 6 2.(–3) c) 4 + (–8) –14 2. a) (–6).5 6 (3) c) 12 > 40 ( 3) d) 12 > 8 ( 2) e) 14 < 29 (2) f) 6 5 ( 4) 4.3 Chuyển các khẳng định sau về bất đẳng thức và cho biết khẳng định đĩ đúng hay sai ? a) Tổng của –3 và 1 nhỏ hơn hoặc bằng –2. b) Hiệu của 7 và –15 nhỏ hơn 20. c) Tích của –4 và 5 khơng lớn hơn –18. d) Thương của 8 và –3 lớn hơn thương của 7 và –2. 4.4 Cho a < b, hãy so sánh: 1. a) a + 1 và b + 1 b) a – 2 và b – 2 c) a – 5 và b – 5 d) 2a + 1 và 2b + 1 e) 2a + 1 và 2b + 3 f) 4 – 3a và 2 – 3b 2. a) 2a và 2b b) 2a và a + b c) – a và – b d) 5a và 5b e) 3a và 3b f) a + b và 2b Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 29 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 4.5 Cho a 2b 5 c) 2a – 3 3 – 6b h) 1 + a 1 – 5b 4.6 Với m bất kỳ, hãy chứng tỏ: a) 1 + m 3b c) 5a – 6 5b – 6 d) 2a + 3 2b e) 2014a 2013 2014b 2013 4.8 Số a và b là âm hay dương nếu: a) 12a 5a d) 5b > 3b e) 12b > 8b f) 6b 9b 4.9 Cho a > 0, b > 0, nếu a 0 c) a2 = 0 d) a2 0 e) a2 < 0 4.11 Chứng tỏ rằng với a, b và c là ba số bất kỳ thì: a2 b 2 a) a2 + b2 – 2ab 0 b) ab 2 c) a2 a 1 0 d) (a b)2 2(a 2 b 2 ) e) a2 b 2 c 2 3 2(a b c) f) (a b c)2 3(a 2 b 2 c) 2 g) a2 b 2 c 2 ab bc ca h) a2 b 2 1 ab a b i) a2 2b 2 2c 2 2a(b c) j) a4 b 4 ab 3 a 3 b Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 30 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Bất phương trình một ẩn Bất phương trình bậc nhất một ẩn I. Bất phương trình một ẩn 1. Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi đĩ ta gọi hệ thức A(x) B(x), A(x) ≥ B(x), A(x) ≤ B(x)) là bất phương trình một ẩn với ẩn là x. A(x) là vế trái, B(x) là vế phải của bất phương trình. 2. Giá trị của ẩn làm cho phương trình trở thành bất đẳng thức đúng gọi là nghiệm của bất phương trình. 3. Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình. 4. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương tình đĩ. II. Bất phương trình tương đương 1. Định nghĩa: . Hai bất phương trình gọi là tương đương với nhau nếu chúng cĩ chung một tập hợp nghiệm. . Sự tương đương ký hiệu bởi dấu . Bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình (2), ta viết: (1) (2). 2. Hai quy tắc biến đổi tương đương bất phương trình: . Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức) từ vế này sang vế kia của một bất phương trình ta phải đổi dấu hạng tử đĩ để được bất phương trình tương đương. A(x) B(x) C(x) A(x) C(x) B(x) . Quy tắc nhân: Khi nhân 2 vế của một bất phương trình với một số khác 0, để được một bất phương trình tương đương ta phải:  Giữ nguyên chiều của bất phương tình nếu số đĩ dương Với m > 0, ta cĩ: A(x) B(x) m.A(x) m.B(x) Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 31 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2  Đổi chiều của bất phương trình nếu số đĩ âm (dấu “>”  “ 0, ax + b 0, ax + b 0) trong đĩ a và b là hai số đã cho, a 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Cách giải: a) Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn: Sử dụng hai quy tắc biến đổi tương đương. Cần chú ý là khi nhân hay chia hai vế của bất phương trình cho cùng một số phải xác định xem số đĩ dương hay âm rồi áp dụng quy tắc. b) Giải bất phương trình đưa được về dạng ax + b 0, ax + b 0, ax + b 0):  Khai triển, chuyển các hạng tử cĩ chứa ẩn sang một vế, các hạng tử cịn lại sang một vế. Thu gọn và đưa bất phương tình về dạng A(x) B(x), A(x) ≥ B(x), A(x) ≤ B(x)) B  Nếu A > 0, bất phương tình (1) cĩ nghiệm là x A B Nếu A 0 thì bất phương trình (1) cĩ nghiệm tùy ý 3. Biểu diễn nghiệm trên trục số: Thơng thường một bất phương trình cĩ vơ số nghiệm nên khơng thể kiệt kê hết được. Người ta chọn cách thể hiện tập nghiệm bằng cách Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 32 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 biểu diễn trên trục số (phần khơng bị xĩa) . Các trường hợp thường gặp: a a (1) [ (2) ( { x / x a } { x / x a } b b (3) ] (4) ) { x / x b } { x / x b } a b a b (5) [ ] (6) ( ) {x / a ≤ x ≤ b} {x / a b} O O (9) (10) x R (vơ số nghiệm) x  (vơ số nghiệm)  Chú ý: Tại a, biểu diễn ngoặc vuơng “[, ]” tức trong tập nghiệm cĩ x = a, cịn ngược lại biểu diễn ngoặc đơn “(, )” khi x = a khơng thuộc tập nghiệm. 4.12 Chứng minh rằng các bất phương trình sau tương đương: a) x3 – 2x2 – 1 x2 + x + 1 và x3 – 3x2 – x – 2 0 b) x2 + ax – a x3 + x2 + 1 và x3 + 2x2 – ax + a + 1 0 c) x2 + 2x + 5 3x – 7 + x2 và x – 12 0 d) x2 + x + 1 0 4 2 e) 3x3 – 4x – 2 0 và x3 – x – 0 3 3 f) x2 – 5 0 và 2x2 – 6 4 4.13 Giải thích sự tương đương của các bất phương trình sau: a) 2x 18 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 33 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 4.14 Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn: a) 2x – 3 0 c) 5x – 15 0 d) x2 > 0 e) x2 + 1 0 f) 3x + 2 > 5 4.15 Hãy viết thành bất phương trình và chỉ ra một nghiệm của nĩ từ các mệnh đề sau: a) Tổng của một số nào đĩ và 5 nhỏ hơn 5. b) Hiệu của 9 và một số nào đĩ nhỏ hơn 12. c) Tổng của hai số nào đĩ và 3 lớn hơn 12. d) Hiệu của 5 và 3 lần số đĩ nhỏ hơn 10. e) Tổng của số nào đĩ với hai lần số đĩ khơng vượt quá 5. 4.16 Giải các bất phương trình sau: 1. a) x – 5 > 3 b) x – 2x 4x + 2 d) 8x + 2 2x + 3 f) x – 4 4 h) 3 – 4x 19 i) x + 3 > 6 j) 2x – 1 > 5 k) 3x – 2 8 n) 4x – 5 2 q) 7x – 2,2 2,3 – 4x 2. a) 3x 5x + 6 3. a) 0,3x > 0,6 b) 4x 4 d) 3x 6 f) 0,2x > 8 2 g) 1,5x > 9 h) 1,2x 6 3 5 1 1 j) x 2 l) 5 – x > 2 6 4 3 1 1 3 m) x > 3 n) x 6 2 3 5 4 9 3 2 4. a) 2x + > b) 6 – x 3 5 5 5 3 3x 1 2x 4 6 4x d) 2 e) 3 f) 1 4 3 5 1 2x 15 6x 8 11x g) 4 h) 5 i) 13 3 3 4 4.17 Giải các bất phương trình sau: Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 34 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 1. a) 8x + 3(x + 1) > 5x – (2x – 6) b) 2x(6x – 1) > (3x – 2)(4x + 3) c) (x – 1)2 x(x – 4) e) 2x + 3 (3 + 2x) – (5 – 6x) g) (x + 2)2 (x–2)(x + 8) + 26 i) x2 – x(x + 2) > 3x – 1 j) 2x – x(3x + 1) 15 – 3x(x + 2) k) 18 – 3x(1 – x) 2(x – 1) – x(3 – x) n) (x – 1)2 + x2 (x + 1)2 + (x + 2)2 1 2x 1 5x x 1 x 1 2. a) 2 b) 1 8 4 8 4 3 1 x 4 2 x 3 2x c) (x 1) d) 4 6 3 5 12x 1 9x 1 8x 1 3(x 1) x 1 e) f) 2 3 12 3 4 8 4 x(2x 3) x 1 3x 1 13 x 7x 11(x 3) g) x 2 h) 2 2 5 2 3 2 (x 3)2 (2x 1) 2 (2x 1)2 (1 x)3x 5x i) x j) 1 3 12 4 3 4 5x 2 1 2x 12x 5 3x 1 k) l) 4 12 8 12 11 3x 5x 2 1 4x 5 3x m) n) 10 15 12 9 4.18 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số: 1. a) 2x – 3 > 0 b) 2x – 4 0 d) 3x + 4 < 0 e) 4 – 3x 0 f) 5 – 2x 0 g) x + 3 < 0 h) 3x + 12 0 i) 6 – 4x 0 11 6 2x 6 2. a) 0 b) 0 c) 0 2 3x 5x 12 3 13 2 7x 1 9x d) 0 e) 0 f) 0 8 5x 5 8 x1 7x 3 2x1 32x 3. a) 2 15 3 5 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 35 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 2x 1 2x2 3 x(5 3x) 4x 1 b) 3 4 6 5 4x 2 1 5x 5x2 3 3x 1 x(2x 3) c) x 3 d) 5 3 4 5 4 2 x 4 x 3 x 2 5x 2 2x2 x x(1 3x) 5x e) x 5 f) 5 3 2 3 2 3 4 2x 1 1 5x x x g) 2x 3x h) x 3 2 5 6 3 6 x 1 x 2 2x 1 4. a) 1 1 b) x 1 1 2x 4 6 2 3 4.19 Tìm các giá trị của x sao cho: a) Giá trị của biểu thức 2x – 5 khơng âm. 5 b) Giá trị biểu thức là âm. 3x 18 8x 15 c) Giá trị biểu thức là dương. 3 5 3x d) Giá trị biểu thức 2 là khơng dương. 2 e) Giá trị của biểu thức 3x khơng lớn hơn giá trị của biểu thức 7x + 5. 5 2x 5x 2 f) Giá trị phân thức lớn hơn giá trị phân thức . 6 3 1,5 x 4x 5 g) Giá trị phân thức nhỏ hơn giá trị phân thức . 5 2 5x(x 3) h) Giá trị phân thức 2 lớn hơn giá trị phân thức 4 x(10x 3) x . 8 (x 1)(x 2) i) Giá trị phân thức x khơng nhỏ hơn giá trị phân thức 6 2x2 8x 1 . 12 4.20 Tìm các nghiệm nguyên âm của các bất phương trình: a) 4x + 13 0 b) 3(2x – 3) < 2(5x + 2) Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 36 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 4.21 Tìm các nghiệm nguyên dương của các bất phương trình: a) 17 – 3x 0 b) x(x – 2) – 5x + 21 (x – 2)2 4.22 Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn mỗi bất phương trình sau: a) 4n – 19 0 b) 17 – 6n 8 c) 3(5 – 4n) + (27 + 2n) > 0 d) (n + 2)2 – (n – 3)(n + 3) 40 4.23 Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn cả hai bất phương trình: a) 2x > 9 và 7 – 3x 0 và 4x – 3 0 c) 7 – 3x > 0 và (x – 3)2 – 14 0 c) 3 – 2x 0 và 3x – 14 0 4.25 Tìm các số nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau: a) 0,2x + 3,2 > 1,5 b) 4,2 – (3 – 0,4x) > 0,1x + 0,5 4.26 Tìm các số nguyên x lớn nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau: a) 5,2 + 0,3x 2 (a – b) < 2(a – b) 4.28 Với giá trị nào của m thì phương trình ẩn x: a) x – 3 = 2m + 4 cĩ nghiệm dương. b) 2x – 5 = m + 8 cĩ nghiệm âm. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 37 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Định nghĩa x khi x 0 x x khi x 0 2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối:  – x = x  x2 = x2  a + b a + b  a b a b a a  a.b = a.b  b b 3. Giải một phương trình cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối Để giải một phương trình cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối ta quy về việc giải hai phương trình ứng với biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối âm hay dương. Sau khi giải xong từng phương trình kiểm tra lại nếu nghiệm thỏa điều kiện thì nhận khơng thì thơi. 4. Các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp:  Dạng 1: A = B (1) (với B là một số thực khơng chứa biến) Nếu B 0 : (1) A = B hoặc A = – B  Dạng 2: A = B (2) (với B là một biểu thức cĩ chứa biến) Nếu A 0 x (*) (2) A = B x = (đem nghiệm này so với điều kiện (*) nếu thỏa thì lấy) Chú ý: Trường hợp phương trình A = B cĩ VSN thì phương trình (2) cĩ nghiệm là (*). Nếu A < 0 x ( ) (2) – A = B x = (đem nghiệm này so với điều kiện ( ) nếu thỏa thì lấy) Chú ý: Trường hợp ph/trình – A = B cĩ VSN thì phương trình (2) cĩ nghiệm là ( ). Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 38 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Vậy nghiệm của phương trình là: (lấy nghiệm của hai trường hợp trên).  Dạng 3: A = B A = B A = B hoặc A = – B (giải hai phương trình này tìm nghiệm nếu cĩ).  Dạng 4: A 0 ( a ) B 0 ( b ) A + B + + N= 0 (1) N 0 ( n ) Nghiệm của (1) là nghiệm chung của các phương trình (a), (b), (n).  Dạng 5: Phương trình cĩ chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: Tìm giá trị của ăn để biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối bằng 0. Các giá trị này khi biểu diễn lên trục số sẽ chia trục số thành nhiều khoảng giá trị của ẩn. Cho ẩn lấy giá trị trên từng khoảng, trên từng khoảng đĩ dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối sẽ âm hoặc dương. Dựa vào đĩ mà bỏ dấu trị tuyệt đối. Giải phương trình, giá trị tìm được phải nằm trong khoảng đang xét mới nhận làm nghiệm. Nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm vừa tìm được trên từng khoảng. 4.29 Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau: a) A = 3x + 2 + 5x trong hai trường hợp: x 0 và x 0. c) C = x – 4 2x + 12 khi x > 5 d) D = 3x + 2 + x + 5 e) E = 1 + 4x2 2x – 4x2 x 1 2x 1 f) F x 1 g) G 1 2x x 1 1 2x Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 39 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 x2 3 2 x h) H x 5 i) I x 2 x x2 3 x 2 4.30 Giải các phương trình sau: 1. a) 2x = x – 6 b)  5x 16 = 3x c) 4x = 2x + 12 d)  3x = x – 8 e) 0,5x = 3 – 2x f)  2x = 3x + 4 g) 5x = x – 12 h)  2,5x = 5+1,5x i)  3,5x = 1,5x + 5 j) 2x = 3x – 2 k) 3x = x + 8 l)  2x = 4x + 18 2. a) x – 5 = 3 b) 2x – 5 = 4 c) x + 6 = 1 d) 3 – 7x = 2 e) x – 5 = 2 f) 8x – 5x = 2 g) x – 2 = 3 h) 4x + 3 = 0 i) x – 7 = 2 j) 5x – 2x = 1 k) 3x + 2 = 0 l) 3212x – 1994= 5 3. a) x 7 = 2x + 3 b) x + 4 = 2x – 5 c) x + 3 = 3x – 1 d) 9 + x = 2x e) x – 1 = 3x + 2 f) x + 6 = 2x + 9 g) 7 – x = 5x + 1 h) x – 4 + 3x = 5 i) 3x – 2 = 2x j) 4 + 2x = 4x k) 2x – 3 = x + 21 l) 3x – 1 = x – 2 m) 2x – 3 = x n) x – 3 = 4 – x o) 3x – 4 = x + 4 p) x – 7 3 = x q) x + 8 = x r) x – 8 = x s) 2x – 5 = x + 1 t) 5 – 2x = 1 – x u) 2 – x = 0,5x – 4 v) x + 15 = 3x – 1 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 40 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 w) x – 5 = 3x x) x + 2 = 2x – 10 4. a) 2x – 3 = 2x – 3 b) 5x – 4 = 4 – 5x c) 2x + 3 = 2x + 2 d) 5x – 3 = 5x – 5 e) x2 – 3x + 3 = x2 + 3x – 1 f) x2 – 9 = x2 – 9 5. a) 5x 3x – 2 = 0 b) x – 5x +  2x 3 = 0 e) 3 – x+ x2 – (4 + x)x = 0 f) (x – 1)2 + x + 21 x2 – 13 = 0 6. a) x 3 1 2 b) x 1 1 5 c) x 2 3 5 d) 2 1 x 1 7. a) 2 – x=2x – 3 b) x + 3 = 5 – x c) 2x – 1 = 2 – 3x d) 2x = x(x – 2) e) x(x + 1) = 3 – x f) 3x – 1 2x + 3 = 0 8*. a) x – 1+2 x = 3 b) x + 3+x – 5 = 3x – 1 c) x 2x – 1+3x – 2 = 4 d) x – 1+x+2+x – 3 = 14 e) 1 – x x – 2 x – 3 = 0,5 f) x – 3 + x + 2 = 7 g) x + 1 – x = x + x – 3 h) x – 3+x – 11= 8 9. a) 5x – 3 = 2x2 b) 2x – 3 = (2x – 3)2 10. a) x + 2 + 2x – 1 = 0 b) 1 – 2x + 7x – 6 + 0,5 – 7,5x= 0 c) x3 – 2x – 4+3x3 – 7x2 + 2x 12 = 0 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 41 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Bất phương trình tích, thương. Bất phương trình bậc hai. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 1. Bất phương trình tích A( x ) 0 A( x ) 0 Dạng 1. A( x ).B( x ) 0 hoặc B( x ) 0 B( x ) 0 A( x ) 0 A( x ) 0 A( x ).B( x ) 0 hoặc B( x ) 0 B( x ) 0 A( x ) 0 A( x ) 0 Dạng 2. A( x ).B( x ) 0 hoặc B( x ) 0 B( x ) 0 A( x ) 0 A( x ) 0 A( x ).B( x ) 0 hoặc B( x ) 0 B( x ) 0 2. Bất phương trình thương A( x ) A( x ) 0 A( x ) 0 Dạng 1. 0 hoặc B( x ) B( x ) 0 B( x ) 0 A( x ) A( x ) 0 A( x ) 0 0 hoặc B( x ) B( x ) 0 B( x ) 0 A( x ) A( x ) 0 A( x ) 0 Dạng 2. 0 hoặc B( x ) B( x ) 0 B( x ) 0 A( x ) A( x ) 0 A( x ) 0 0 hoặc B( x ) B( x ) 0 B( x ) 0 3. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối  x a a x a  x a x a hoặc x a  Một số bất phương trình đặc biệt:  |a| ≥ 0 a R  |a| > 0 a ≠ 0  |a| ≤ 0 a = 0  |a| < 0 a  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 42 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 4. Bất phương trình bậc hai a) Bất phương trình bậc hai là bất phương trình cĩ các dạng: (1): ax2 + bx + c > 0 (2): ax2 + bx + c ≥ 0 (3): ax2 + bx + c 0 a ≠ 0  a2 ≤ 0 a = 0  a2 0 c) (x + 5)(7 – 2x) > 0 d) (2x + 1)(x – 3) 0 x 2 x 2 x 1 g) 0 h) 0 i) 1 x 3 x 5 x 3 2 x j) 1 k) x 1 2 l) 2x 1 3 3x 1 4.32 Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vơ nghiệm: a) x2 + 1 0 b) 3x2 + 2x + 1 0 c) x2 + 6x 10 < 0 x2 4x 5 6 2x x2 d) x2 + 3x 3 < 0 e) 0 f) 0 2 x2 1 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 43 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Ơn tập chương 4 4.34 Cho m > n, chứng minh: a) m + 2 > n + 2 b) 2m 2n – 5 d) 4 – 3m 3n + 2 f) 2 – 4m 5 b) 10 – 2x 2 f) x + 1 > 7 – 2x 4.36 Giải các bất phương trình sau: a) 3 – 2x > 4 b) 3x + 4 x – 5 g) (x – 2)2 ((x – 3)(x + 1) `h) (x2 + 1)(x – 6) (x – 2)3 4.37 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số: 1. a) x – 1 1 c) 0,2x 5x2 + 16x + 2 2 x 2x 3 2. a) 5 b) 3 4 5 4x 5 7 x 2x 7 3x 2 5x 2 1x c) d) 3 5 15 6 3 2 3x 7 5x2 3x 3x 1 x(2x 1) 3 e) 2x 1,4 f) 5 5 4 2 2 1 2x 2x 1 5x 20 2x2 x x(1 3x) 5x g) 1 2 h) 3 6 3 2 3 4 x 1 2x 1 5x2 3 3x 1 x(2x 3) i) 1 2 j) 5 3 6 5 4 2 x 1 2x 3 x 5x 2 2x2 x x(1 3x) 5x k) x 5 1 l) 3 2 3 3 2 3 4 2x 3 4 x 15x 2 x2 1 x(1 2x) x 3 m) n) 4 3 4 3 6 2 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 44 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 4.38 Tìm các giá trị của x sao cho: a) Giá trị của biểu thức 5 – 2x là số dương. b) Giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị của biểu thức 4x 5. c) Giá trị của biểu thức 2x + 1 khơng nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3. d) Giá trị của biểu thức x2+ 1 khơng lớn hơn giá trị của biểu thức (x 2)2. 2x 3 x(x 2) e) Giá trị của biểu thức khơng lớn hơn giá trị của biểu 35 7 x2 2x 3 thức . 7 5 6x 1 x 3 f) Giá trị của biểu thức khơng nhỏ hơn giá trị của biểu thức 18 12 5x 3 12 5x . 6 9 10x 5 x 3 g) Giá trị của biểu thức khơng nhỏ hơn giá trị của biểu 18 12 7x 3 12 x thức . 6 9 4.39 Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn cả hai bất phương trình: 10x 5 x 3 10x 5 x 3 và 18 12 18 12 x2 6 1 10 x 2 4.40 Cho biểu thức: 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. b) Rút gọn biểu thức. c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức cĩ giá trị dương. x 2 2 2 4x x2 3x 1 4.41 Cho biểu thức: 3 : 3x x 1 x 1 3x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. b) Rút gọn biểu thức. c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức cĩ giá trị âm. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 45 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 12x x 2x2 2412x 4.42 Cho biểu thức: 2  4 2x 3x 6 12 3x 6 13x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. b) Rút gọn biểu thức. c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức cĩ giá trị dương. x 2 x 1 2x 1 x 1 4.43 Cho biểu thức: 2 2  x x x x 1 x2 x 1 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. b) Rút gọn biểu thức. c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức cĩ giá trị dương. x 2 2 2 4x x2 3x 1 4.44 Cho biểu thức: 3 : 3x x 1 x 1 3x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. b) Rút gọn biểu thức. c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức cĩ giá trị âm. 4x3 6x 2 8x 4.45 Cho biểu thức: 2x 1 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. b) Rút gọn biểu thức. c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức cĩ giá trị khơng âm. 8 2x 4.46 Cho biểu thức: x2 x 20 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. b) Rút gọn biểu thức. c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức cĩ giá trị âm. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 46 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Phần 2. Hình học Chương III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG  Đoạn thẳng tỉ lệ 1. Tỉ số của hai đoạn thẳng: AB . Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD, kí hiệu: là tỉ số sđộ dài của CD chúng theo cùng đơn vị đo. . Tỉ số của hai đoạn thẳng khơng phụ thuộc vào đơn vị đo. 2. Đoạn thẳng tỉ lệ: Cặp đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với cặp đoạn thẳng AB A' B' A B và C D CD C' D' 3. Một số tính chất tỉ lệ thức: AB A' B' . AB.C' D' A' B' .CD CD C' D' AB A' B' AB CD ; CD C'D' A'B' C'D' . AB.C' D' A' B' .CD C'D' A'B' C'D' CD ; CD AB A' B' AB AB CD A' B' C' D' AB A' B' CD C' D' . CD C' D' AB A' B' AB CD A' B' C' D' Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 47 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 AB A' B' AB A' B' . CD C'D' CD C'D' 4. Điểm chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước Cho đoạn thẳng AB. Một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (hoặc thuộc đường a thẳng AB) được gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số (với a, b > 0) nếu b CA a cĩ . CB b a b . Nếu C chia AB theo tỉ số 0 thì C chia BA theo tỉ số . b a a . Nếu 1 C là trung điểm của đoạn AB. b a a . Nếu 1 , Cĩ hai điểm C và C cùng chia AB theo tỉ số (C thuộc b b C nằm trên đường thẳng AB nhưng khơng thuộc đoạn thảng AB) 3.1 Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng cĩ độ dài như sau: a) AB = 9 cm và CD = 27 cm b) EF = 36 cm và 12 dm AB 3 3.2 Cho biết và CD = 12cm. Tính độ dài của đoạn thẳng AB. CD 4 3.3 Cho ABC, các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. AE AG a) Tính b) Tính AC GD c) Kể tên 2 cặp đoạn thẳng tỷ lệ với AG và GD. 3.4 Cho biết độ dài của đoạn thẳng AB gấp 12 lần độ dài của đoạn thẳng CD, đoạn thẳng A B gấp 5 lần độ dài của đoạn thẳng CD. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A B . 3.5 Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm trong đoạn AB. AM BM Tính các tỉ số và nếu: AB AB MA 1 MA 7 MA m a) b) c) (với m, n N*) MB 2 MB 4 MB n Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 48 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.6 Đoạn thẳng AB gấp năm lần đoạn thẳng CD, đoạn thẳng A B gấp bảy lần đoạn thẳng CD. a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A B . b) Cho biết đoạn thẳng MN = 505cm và đoạn thẳng M N = 707cm, hỏi hai đoạn thẳng AB, A B cĩ tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN và M N hay khơng ? 3.7 Cho 5 điểm A, B, C, D, E, theo thứ tự trên một đường thẳng. Biết AB CD AB = 6cm, BC = 9cm, CD = 4cm và . Tính AE. BC DE AB' AC' 3.8 Cho ABC, B AB và C AC. Cho biết: . AB AC AB' AC' BB' CC' Chứng minh: ; AB AC AB AC 3.9 Trên một đường thẳng, đặt 4 đoạn thẳng liên tiếp: AB=BC=2CD= 4DE. AB AC AD AE Tính các tỉ số: ; ; ; . BE AE AE BD 3.10 Cho đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng d. Trên d lấy điểm C thuộc đoạn CA DA 3 thẳng AB và điểm D nằm ngồi AB sao cho . CB DB 5 AB AB a) Tính ; b) Cho AB = 24cm, Tính CA, DA. AC CB 3.11 Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự trên một đường thẳng và AB CB 2 . AD CD 3 a) Nếu BD = 1cm. Tính CB, DA. 3AB 2AD b) Chứng minh: AC 5 c) Gọi O là trung điểm của BD. Chứng minh: OB2 = OA . OC. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 49 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Định lý Ta-lét (Thalès) trong tam giác 1. Định lý Ta-lét thuận: a) Phát biểu: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh cịn lại thì định ra trên hai cạnh đĩ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. A b) Cách trình bày: B' C' a Xét ABC, ta cĩ: B C // BC (?) B C AB' AC' B' A C' A BB' CC' ; ; (định lí Ta-lét) AB AC B' B C' C BA CA 2. Định lý Ta-lét đảo: a) Phát biểu: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đĩ song song với cạnh cịn lại của tam giác. A b) Cách trình bày: B' C' a Xét ABC, ta cĩ: B C AB' AC' AB' AC' BB' CC' hoặc hoặc (?) AB AC BB' CC' AB AC B C // BC (định lí Ta-lét đảo) 3. Hệ quả của định lý Ta-lét: a) Phát biểu: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh cịn lại thì nĩ tạo thành một tam giác mới cĩ ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 50 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 C' B' a A A A B' C' a B C a B C B' C' B C b) Cách trình bày: Xét ABC, ta cĩ: B C // BC (?) AB' AC' B' C' (hệ quả của định lí Ta-lét) AB AC BC 3.12 Cho ABC cĩ AC = 8,5cm. Lấy M, N lần lược thuộc AB và AC sao cho AM = 4cm và AN = 5cm. Biết MN // BC. Tính BM. 3.13 Cho DEF cĩ DF = 24cm. Lấy P, Q lần lược thuộc DE và DF sao cho EP = 10,5cm và DQ = 9cm. Biết PQ // EF. Tính DP. 3.14 Cho ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Biết AM = 17cm, BM = 10cm, CN = 9cm. Tính AN. 3.15 Cho PQR, đường thẳng song song với cạnh QR cắt PQ, PR lần lượt tại E và F. Biết PF = 20cm, FR = 15cm, EP = 16cm. Tính PQ. 3.16 Cho ABC, cĩ AB = 5cm, BC = 6,5cm. Trên AB lấy điểm D sao cho DB = 3cm, từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Tính DE. 3.17 Cho OPQ, cĩ PQ = 5,2cm. Trên tia đối của tia OP lấy điểm N sao cho ON = 2cm. Từ N vẽ đường thẳng song song với PQ cắt đường thẳng OQ tại M. Tính độ dài đoạn thẳng OP khi MN = 3cm. 3.18 Cho ABC, cĩ AB = 12cm, AC = 20cm và BC = 28cm. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm P, N, M sao cho AP = 3cm, 1 BN = BC , 3AM = MC. Chứng minh: BNMP là hình bình hành. 4 3.19 Cho OAB vuơng tại A, cĩ OA = 6cm. Trên tia đối của tia OA lấy A sao 1 cho BC . Từ A vẽ đường vuơng gĩc với AA tại A , đường thẳng này 4 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 51 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 cắt OB kéo dài tại B . Tính OB và AB, biết A B = 4,2cm. 3.20 Cho gĩc xƠy. Trên tia Ox lấy theo thứ tự 2 điểm A, B sao cho: OA = 2cm, AB = 3cm. Trên tia Oy lấy điểm C với OC = 3cm. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D. a) Tính độ dài đoạn thẳng CD. b) Nếu OA = m, AB = n, OC = p. Tính CD theo m, n, p. 3.21 Gọi G là trọng tâm của ABC. Từ G kẻ các đường thẳng song song với 2 cạnh AB và AC, cắt BC lần lượt tại D và E. BD EC a) So sánh các tỉ số và . BC BC b) So sánh 3 đoạn thẳng BD, DE, EC. 3.22 Cho ABC cĩ đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B , C và H . AH' BC' a) Chứng minh: AH BC 1 2 b) Cho AH = AH và diện tích ABC là 67,5cm . S AB C . 3 DB 1 3.23 Cho ABC cĩ AB = 7,5cm. Trên AB lấy điểm D với: . DA 2 a) Tính độ dài đoạn thẳng DA, DB. BD b) Gọi DH, BK lần lượt là khoảng cách từ D, B đến AC. Tính . BC c) Cho biết AK = 4,5cm. Tính HK. 3.24 Cho ABC cĩ BC = a. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC. a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF theo a. 2 b) Tính SMNFE, biết a = 15cm và S ABC = 270cm . 3.25 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. Dùng định lý Talét để chứng minh: a) 2 đoạn thẳng DE và BG chia AC thành 3 đoạn bằng nhau. b) AG và AF chia BD thành 2 đoạn bằng nhau. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 52 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.26 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với 2 AB CB 2 đáy, cắt cạnh bên AD ở M và cắt cạnh BC ở N. Biết . AD CD 3 AB CB 2 Chứng minh: AD CD 3 3.27 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) cĩ hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB. b) So sánh độ dài đoạn MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB. 3.28 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD theo thứ tự là N và M. Chứng minh: CD AB a) MN // AB b) MN 2 3.29 Cho ABC. Từ D trên cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. AB CB 2 a) Chứng minh: . AD CD 3 b) Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB. Gọi M là giao DM AC điểm của DF và BC. Chứng minh: . MF AB 3.30 Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua A lần lượt cắt BD ở I, BC ở J và CD ở K. IB IB a) So sánh và b) Chứng minh: IA2 = IJ . IK ID ID DC BJ c) Chứng minh: . DK BC 3.31 Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh: IK // AB. b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh: EI = IK = KF. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 53 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.32 Cho ABC. Điểm D thuộc cạnh BC. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AC, AB cắt AB, AC lần lượt tại E và F. AE AF a) Chứng minh: 1 AB AC b) Xác định điểm D trên BC để EF // BC. DB 1 c) Nếu , chứng minh: EF song song với trung tuyến BM. DC 2 3.33 Cho hình thang ABCD (AB // CD) cĩ các đường chéo cắt nhau tại O. a) Chứng minh: OA . OD = OB . OC b) Kẻ một đường thẳng bất kỳ qua O cắt AB ở M, CD ở N. Biết MA m ND . Tính . Áp dụng để chứng minh định lý: “Trong một MB n NC hình thang, đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của một đáy thì đi qua trung điểm của đáy kia” c) Qua O, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: O là trung điểm của đường thẳng PQ. 3.34 Cho tứ giác ABCD. Qua E AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở G. Qua G kẻ đường thẳng song song với CB cắt AB ở H. C.minh: a) HE // BD b) AE . BH = AH . DE 3.35 Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các 1 điểm E, F, G, H sao cho: AE = 2EB, BF = FC, CG = 2CD, 2 1 DH = HA. Chứng minh: EFGH là hình bình hành. 2 3.36 Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ tia Ax cắt BD ở I, BC ở J và cắt tia DC ở K. Chứng minh: IA2 = IJ . IK và tích KD.BJ khơng đổi. 3.37 Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC ở M, AB ở N. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB ở F. Qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở P. Chứng minh: MP // AB và 3 đường thẳng MP, CF và DB đồng qui. 3.38 Cho ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 54 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 KD và BC. Chứng minh: tỉ số khơng phụ thuộc vào cách chọn các điểm KE D và E. 3.39 Cho ABC, trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC lần lượt ở D và E. Chứng minh: DE = BK. 3.40 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh: AE BF AE BF DE CF a) b) c) ED FC AD BC DA CB 3.41 Cho hình bình hành ABCD. Vẽ một đường thẳng cắt AB ở E, AD ở F, AC AB AD AC ở G. Chứng minh: AE AF AG 3.42 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh: OE = OF. 3.43 Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho: AM AN . Gọi I là trung điểm của BC, AI cắt MN ở K. Chứng minh: K AB AC là trung điểm của MN. Áp dụng chứng minh: Trong một hình thang cĩ 2 cạnh bên khơng song song, giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của 2 đáy cùng nằm trên một đường thẳng. 3.44 Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M và trên cạnh CD lấy một điểm N sao cho DN = BM. C/minh: MN, DB, AC đồng qui. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 55 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Tính chất đường phân giác của tam giác a) Phát biểu: Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thảng ấy. b) Cách trình bày: x . Xét ABC, ta cĩ: A AD là tia phân giác trong của BÂC (?) AB DB (1) (t/c đường p/g trong ) AC DC . Xét ABC, ta cĩ: E B D C AE là tia phân giác ngoại của BÂx (?) AB EB (2) (t/c đường p/g trong ) AC EC AB DB EB Chú ý: Từ (1) và (2) ta cĩ: AC DC EC 3.45 Cho ABC cân tại A cĩ BC = 8cm, tia phân giác của gĩc B cắt đường cao AK 3 AH ở K. Biết . Tính độ dài AB. AH 5 DA 3.46 Cho ABC vuơng tại A, C 300 , kẻ phân giác BD. Tính . DC 3.47 Cho ABC cân tại A, phân giác BD. Biết BC = 10cm, AB = 15cm. a) Tính AD, DC. b) Phân giác ngồi của B cắt AC ở E. Tính EC. 3.48 Cho ABC cân, cĩ BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác gĩc A cắt BC tại M, đường phân giác gĩc C cắt BA tại N. a) Chứng minh: MN // AC. b) Tính MN theo a, b. 3.49 Cho ABC, đường phân giác của gĩc Â cắt BC tại D. Biết AB = 4,5cm, AC = 7,2cm, BD = 3,5cm. Tính CD. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 56 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.50 Cho MNP, đường phân giác của gĩc P cắt MN tại Q. Biết PM = 6,2cm, PN = 8,7cm, MN = 12,5cm. Tính QN. 3.51 Cho ABC, phân giác gĩc Â cắt BC tại E. Biết AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Tính EB, EC. 3.52 Cho ABC cĩ các đường phân giác AD, BE và CF. DB EC FA Chứng minh:   1. DC EA FB 3.53 Cho ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của AMB cắt AB ở D, đường phân giác của AMC cắt AC ở E. a) Chứng minh: DE // BC. b) Gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh: DI = IE. 3.54 Cho ABC cĩ AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Đường phân giác gĩc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E AC). a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE. b) Cho biết diện tích ABC là S, tính diện tích ABD, ADE và DCE. 3.55 Cho ABC vuơng tại A cĩ AB = 21cm, AC = 28cm. Đường phân giác gĩc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E AC). a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE. b) Tính diện tích ABD và ACD. 3.56 Cho ABC cân tại A, phân giác gĩc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm. a) Tính AD, DC. b) Đường vuơng gĩc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E. Tính EC. 3.57 Cho ABC cĩ A 900 , AB = 12cm, AC = 16cm. Đường phân giác gĩc A cắt BC tại D. a) Tính BC, BD, CD. b) Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD. 3.58 Cho ABC vuơng tại A, AB = a, AC = b, (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M và D thuộc BC). a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 57 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 b) Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết a = 4,15cm và b = 7m,25cm. 3.59 Cho ABC cĩ độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân S m giác. Chứng minh: ABD . S ACD n 3.60 Cho ABC, I là trung điểm của BC. Đường phân giác của gĩc AIB cắt AB ở M và phân giác của gĩc AIC cắt cạnh AC ở N. a) Chứng minh: MN // BC. b) ABC phải thỏa điều kiện gì để MN = AI ? c) Với điều kiện nào thì tứ giác AMIN là hình vuơng ? 3.61 a) Cho ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích của ABC là S. b) Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích ABC. 3.62 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD, D 600 . Phân giác của D cắt 4 AC tại I, chia AC theo tỉ số và cắt AB tại M. Biết MA – MB = 6cm. 11 Tính AB, CD. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 58 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Tam giác đồng dạng 1. Định nghĩa: Hai tam giác gọi là đồng dạng với A nhau nếu chúng cĩ 3 cặp gĩc bằng nhau đơi một và 3 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. A  A';B  B';C  C' ABC  A B C AB BC CA B A' C k A'B' B'C' C'A' (k là tỉ số đồng dạng) 2. Tính chất: B' C' a) Phản xạ : ABC  ABC b) Đối xứng: Nếu ABC  A B C thì A B C  ABC. c) Bắc cầu: ABC A' B' C'   ABC A" B" C" A'B'C' A"B"C" (Nếu ABC A' B' C' theo tỉ số k1 và A'B'C' A"B"C" theo tỉ số k2 thì ABC A" B" C" theo tỉ số k = ) 3. Định lí: a) Phát biểu: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh cịn lại thì nĩ tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. M N a A A A M N a B C a B C M N B C b) Cách trình bày: Xét ABC và A B C , ta cĩ: Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 59 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 MN / / BC   AMN ABC M AB, N AC  Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh cịn lại. 4. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: a) Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) . Định lí: Nếu 3 cạnh của tam giác này tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đĩ đồng dạng. . Trình bày: Xét ABC và A B C , ta cĩ: AB AC BC   ABC A'B'C' (c.c.c) A'B' A'C' B'C'  b) Trường hợp cạnh - gĩc - cạnh (c.g.c) . Định lí: Nếu 2 cạnh của tam giác này tỉ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 gĩc tạo bởi các cặp cạnh đĩ bằng nhau thì 2 tam giác đĩ đồng dạng. . Trình bày: Xét ABC và A B C , ta cĩ: AB AC  A' B' A' C'  ABC A' B' C' ( c.g.c )   A A'  c) Trường hợp gĩc - gĩc (g.g) . Định lí: Nếu 2 gĩc của tam giác này lần lượt bằng 2 gĩc của tam giác kia thì 2 tam giác đĩ đồng dạng. . Trình bày: Xét ABC và A B C , ta cĩ:   A A'   ABC A'B'C'(g.g)   B B' 5. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuơng: a) Trường hợp gĩc - gĩc (g.g) . Định lí: Tam giác vuơng này cĩ một gĩc nhọn bằng gĩc nhọn của tam giác vuơng kia thì 2 tam giác vuơng đĩ đồng dạng Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 60 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 . Trình bày: C Xét ABC và A B C , ta cĩ: 0 C' A A' 90     B B'  ABC A'B'C'(g.g) b) Trường hợp cạnh - gĩc - cạnh (c.g.c) A B A' B' . Định lí: Nếu 2 cạnh gĩc vuơng của tam giác vuơng này tỉ lệ với 2 cạnh gĩc vuơng của tam giác kia thì 2 tam giác vuơng đĩ đồng dạng. . Trình bày: C Xét ABC và A B C , ta cĩ: C' A  A' 900  AB AC  ABC A' B' C' ( c.g.c ) A' B' A' C'  A B A' B' c) Trường hợp cạnh huyền – cạnh gĩc vuơng (ch.cgv) . Định lí: Nếu cạnh huyền và một cạnh gĩc vuơng của tam giác vuơng này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh gĩc vuơng của tam giác vuơng kia thì 2 tam giác vuơng đĩ đồng dạng. C . Trình bày: C' Xét ABC và A B C , ta cĩ: A  A' 900  A B A' B' AB BC  ABC A' B' C' ( ch.cgv ) A' B' B' C'  6. Quan hệ giữa tỉ số đồng dạng với các tỉ số khác: Cho ABC A' B' C' theo tỉ số k. . Tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng bằng k. . Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng bằng k. . Tỉ số của hai đường cao tương ứng bằng k. . Tỉ số của hai chu vi tương ứng bằng k. . Tỉ số của hai diên tích tương ứng bằng k2. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 61 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 AM 2 AN 2 3.63 Cho ABC, lấy M AB, N AC sao cho: và . MB 3 NC 3 a) Hai đường thẳng MN và BC cĩ song song với nhau khơng ? Vì sao ? b) Cho biết chu vi và diện tích ABC lần lượt P và S. Tính chu vi và diện tích AMN. 2 3.64 Tỉ số các cạnh bé nhất của hai tam giác đồng dạng là . Tính chu vi của 5 hai tam giác đĩ, biết hiệu hai chu vi của chúng bằng 42dm. DB 1 3.65 Cho ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho: . Kẻ DE // AC, DC 2 DF // AB (E AB, F AC) a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng. Đối với mỗi cặp, hãy viết các gĩc bằng nhau và các tỉ số tương ứng. b) Tính chu vi BED, biết rằng hiệu chu vi của hai DFC và BED là 30cm. 3.66 Cho ABC cĩ AB = 16,2cm; BC = 24,3cm; AC = 32,7cm. Tính độ dài các cạnh của A B C , biết rằng A B C đồng dạng với ABC và: a) A B lớn hơn AB là 10,8cm. b) A B bé hơn AB là 5,4cm. 3.67 Cho hình thang ABCD (AB // CD) cĩ CD = 2AB. Gọi E là trung điểm của DC. Chứng minh 3 tam gíac ADE, ABE và BEC đồng dạng với nhau. 3.68 Cho ABC và A B C . Biết AB = 6cm, BC = 12cm, CA = 9cm, A B = 4cm, B C = 8cm, C A = 6cm. a) ABC và A B C cĩ đồng dạng với nhau khơng ? b) Tính tỉ số chu vi của hai . 3.69 Hai tam giác mà các cạnh cĩ độ dài như sau cĩ đồng dạng khơng ? a) 4cm, 5cm, 6cm và 8cm, 10cm, 12cm. b) 3cm, 4cm, 6cm và 9cm, 15cm, 18cm. c) 1dm, 2dm, 2dm và 1dm, 1dm, 0,5dm. 3.70 Cho ABC ( A 900 ) cĩ AB = 6cm, AC = 8cm và A B C ( A' 900 ) cĩ A B = 9cm, B C =15cm. Hỏi hai tam giác vuơng đĩ cĩ đồng dạng hay khơng ? Vì sao ? Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 62 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.71 Cho ABC cĩ G là trọng tâm. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của GA, GB, GC. Chứng minh: PQR và ABC đồng dạng. 3.72 Cho ABC cĩ H là trực tâm. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của HA, 1 HB, HC. Chứng minh: KMN  ABC với tỉ số đồng dạng k = . 2 3.73 Cho ABC, điểm O nằm trong . Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC. a) Chứng minh: DEF  ABC. b) Tính chu vi của DEF, biết rằng chu vi của ABC bằng 543cm. 3.74 Cho ABC cĩ độ dài các cạnh là AB = 3cm, BC = 7cm, CA = 5cm. A B C đồng dạng với ABC và cĩ chu vi bằng 55cm. Hãy tính độ dài các cạnh của A B C (làm trịn số đến chữ số thập phân thứ hai). 15 3.75 Cho hai tam giác đồng dạng cĩ tỉ số chu vi là và hiệu độ dài hai cạnh 17 tương ứng của chúng là 12,5cm. Tính hai cạnh đĩ. 3.76 Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho AC = AE. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N. a) Tìm đồng dạng với ADC và tìm tỉ số đồng dạng. b) Điểm E ở vị trí nào trên AC thì E là trung điểm của MN ? 2 3.77 Cho ABC. Dựng đồng dạng với đĩ, biết tỉ số đồng dạng k = . Cĩ 3 thể dựng được bao nhiêu như thế ? 3.78 Cho ABC cĩ AB = 12cm, AC = 15cm, BC = 18cm. Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM = 10cm, trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN. 3.79 Cho ABC cĩ AC = 12cm, BC = 16cm. Điểm D BC sao cho: ADC BAC . Tính DC. 3.80 Hình thang ABCD cĩ AB // CD, A CBD . C/minh: BD2 = AB . CD. 3.81 Cho ABC cĩ 3 đường cao AD, BE, CF với H là trực tâm. Chứng minh: Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 63 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 a) AHE  BHD. b) HA . HD = HB . HE = HC . HF. 3.82 Cho ABC cĩ A 2B . Tính AB, biết AC = 9cm, BC = 12cm. 3.83 Hình thang ABCD (AB//CD) cĩ AB = 2cm, BD = 4cm, CD = 8cm. C/m: a) A DBC . b) BC = 2AD. 3.84 Cho ABC cĩ AB = 10cm, AC = 20cm. Trên cạnh AC, đặt đoạn thẳng AD = 5cm. Chứng minh: ABD = ACB. 3.85 Trên một cạnh của xOy ( xOy 1800 ), lấy các điểm A và B sao cho OA = 5cm, AB = 11cm. Trên cạnh thứ hai lấy các điểm C và D sao cho OC = 8cm và OD = 10cm. a) Chứng minh: OCB  OAD. b) Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I. Chứng minh: IAB và ICD cĩ các gĩc bằng nhau từng đơi một. 3.86 Chứng minh rằng nếu ABC đồng dạng với A B C theo tỉ số k thì: a) Tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đĩ cũng bằng k. b) Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đĩ cũng bằng k. c) Tỉ số của hai đường cao tương ứng của hai tam giác đĩ cũng bằng k. 3.87 Cho hình thang ABCD (AB // CD) cĩ AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; DAB DBC . Tính độ dài BD (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất). 3.88 Cho hình thang ABCD (AB // CD) cĩ AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; DAB DBC . a) Chứng minh: ADB  BCD. b) Tính độ dài các cạnh BC, CD. c) Sau hki tính hãy vẽ lại hình chính xác bằng thướt và compa. 3.89 Trên đoạn thẳng AC = 27cm lấy điểm B sao cho AB = 15cm. Từ A và C vẽ hai tia Ax và Cy cùng vuơng gĩc với AB và nằm cùng phía với nhau. Lấy E Ax, D Cy sao cho AE = 10cm, ABE BDC . a) Chứng minh: BDE vuơng. b) Tính CD, BE, BD và ED (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất). Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 64 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 c) So sánh diện tích BDE với tổng diện tích của hai tam giác AEB và BCD. 3.90 Cho ABC cĩ AB = 3cm, AC = 2cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 3,5cm. Từ D kẽ đường thẳng song song với AB cắt AC kéo dài tại E. Tính BC, CE biết DE = 6cm. 3.91 Cho ABC cĩ AB = 8cm, AC = 16cm, D AB, E AC sao cho: BD = 2cm, CE = 13cm. Chứng minh: a) AED đồng dạng với ABC. b) AB . CD = AC . BE 3.92 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. a) Chứng minh: OA . OD = OB . OC b) Đường thẳng qua O và vuơng gĩc với AB và CD theo thứ tự tại H và OH AB K. Chứng minh: . OK CD 1 3.93 ABC cĩ AB = BC, M là trung điểm của BC, D là trung điểm của BM. 2 1 Chứng minh: AD = AC. 2 3.94 Cho ABC vuơng tại A, đường cao AD và phân giác BE cắt nhau tại F. FD EA Chứng minh: . FA EC 3.95 Cho ABC cĩ AB = 24cm, Ac = 28cm. Tia phân giác của Â cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. BM AM DM a) Tính tỉ số: . b. Chứng minh: . CN AN DN 3.96 Cho hình bình hành ABCD cĩ độ dài các cạnh AB = 12cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy một điểm E sao cho AE = 8cm. Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F. a) Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng với nhau và chứng minh. b) Tính độ dài các đoạn thẳng EF và BF, biết DE = 10cm. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 65 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.97 Cho tứ giác ABCD, cĩ A C 900 , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, BAO BDO . Chứng minh: a) ABO  DCO. b. BCO  ADO 3.98 Cho ABC vuơng tại A, AC = 9cm, BC = 24cm. Đường trung trực của BC cắt các đường thẳng AC tại D, BC tại M. Tính CD. 3.99 Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB = a = 12cm, BC = b = 9cm. Gọi H là chân đường vuơng gĩc kẻ từ A xuống BD. a) Chứng minh: AHB và BCD đồng dạng. b) Tính AH và S AHB. 3.100 Cho ABC vuơng tại A, AC = 4cm, BC = 6cm. Kẻ tia Cx  BC (Cx và A khác phía so với đường thẳng BC). Lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm. Chứng minh: BD // AC. 3.101 Cho ABC vuơng tại A, AH là đường cao, M là trung điểm của BC, gọi N là hình chiếu của M trên AC. a) Hãy tìm và chứng minh các cặp đồng dạng với nhau. b) Biết BH = 4cm, CH = 9cm, tính diện tích AMH. 3.102 ABC và DEF cĩ AD  , BE  , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm. Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm. 3.103 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh: ADE  CBF. 3.104 Cho ABC ( A 900 ), đường cao AH = 8cm, BC = 20cm. Gọi D là hình chiếu của H trên AC a) Hỏi trong hình đã cho cĩ bao nhiêu đồng dạng ? Viết các tỉ lệ thức giữa các cạnh tương ứng của chúng. b) Gọi E là hình chiếu của H trên AB. Tính diện tích ADE. 3.105 Cho ABC vuơng tại A, đường cao AH. Tính chu vi và diện tích ABC nếu biết HB = 25cm và HC = 36cm. 3.106 Cho một tam giác vuơng trong đĩ cạnh huyền dài 20cm và một cạnh gĩc vuơng dài 12cm. Tính độ dài hình chiếu cạnh gĩc vuơng kia trên cạnh huyền. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 66 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.107 Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Chứng minh: a) AH2 = HB . HC b) AB2 = BH . BC c) AC2 = CH . CB d) AH . BC = AB . AC e) BC2 = AC2 + AB2 (Định lý Pi-ta-go) 3.108 Cho ABC cĩ các đường cao BD và CE. a) Chứng minh: ABD  ACE. b) Chứng minh: ADE  ABC. c) Tính AED biết ACB 480 . 3.109 Tứ giác ABCD cĩ AB = 3cm, BC = 10cm, CD = 12cm, AD = 5cm, đường chéo BD = 6cm. Chứng minh: a) ABD và BDC đồng dạng b) ABCD là hình thang. 3.110 Cho ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. D AB, E AC sao cho OB2 = BD.CE. Chứng minh: a) OBD và ECO đồng dạng, DOE cĩ số đo khơng đổi. b) 3 tam giác EOD, OBD và ECO đồng dạng. c) DO là tia phân giác của BDE, EO là tia phân giác của CED . d) Khi D, E di động (vẫn thỏa OB2 = BD . CE) thì khoảng cách từ O đến DE khơng đổi và chu vi ADE < 2AB. 3.111 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua I và song song với 2 đáy cắt BC ở J, AD ở K. 1 1 1 a) Chứng minh: . Suy ra I là trung điểm của KJ. IJ AB CD S b) Cho AB = m, CD = n. Tính tỉ số ABCD theo m và n. S AIB c) Bây giờ cho ABCD là hình thang cân. C.m: AC2 = AB . CD + AD2. 3.112 Cho ABC, M và N lần lượt trung điểm của BC, CA. Gọi H là trực tâm , G là trọng tâm, O là giao điểm của các đường trungtrực của các cạnh BC, AC. Chứng minh: a) ABH  MNO, AHG  MOG. b) H, G, O thẳng hàng. 3.113 Cho hình bình hành ABCD cĩ B tù. Từ C kẻ các đường CE, CF vuơng gĩc với AB, AD. Chứng minh: AB . AE + AD . AF = AC2. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 67 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 (Đề thi vơ địch Tốn Hungari – 1918) Bài 2. Trên các cạnh BC, CA, AB của ABC, ta lấy các điểm tương ứng P, Q, R. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để AP, BQ và CR đồng PB QC RA qui là cĩ hệ thức   1. (Đ.lý Ceva) PC QA RB 3.114 Hãy áp dụng định lý Ceva để chứng minh trong một tam giác: a) Ba đường cao đồng qui. b) Ba đường phân giác đồng qui. c) Ba đường trung tuyến đồng qui. 3.115 Trên các đường thẳng qua các cạnh BC, CA, AB của ABC, ta lấy các điểm tương ứng P, Q, R (khơng trùng với các đỉnh và ít nhất một điểm nằm ngồi tam giác). Chứng minh rằng: điều kiện cần và đủ để 3 điểm P, PB QC RA Q và R thẳng hàng là cĩ hệ thức   1. (Đ.lý Menelaus) PC QA RB 3.116 Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M AD sao cho AM = 2MD, điểm N trên CD sao cho DN = 3NC. Hai đường thẳng BM và AN cắt nhau tại AS S. Tính tỉ số . SN 3.117 Cho hình thang vuơng ABCD (Â = D = 900), AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm, E AD sao cho AE = 8cm. Chứng minh: BEC 900 . 3.118 Cho 2 A B C và ABC cĩ 3 gĩc nhọn. Kẻ 2 đường cao A H và AH. A'H' AH A'H' AH Biết và . Chứng minh: ABC  A B C . A'B' AB A'C' AC 3.119 Cho hình bình hành ABCD. Hình chiếu của A trên CD là H, trên BC là K. a) Chứng minh: AHD và AKB đồng dạng. b) Hình bình hành ABCD cĩ thêm điều kiện gì để các AHC  AKC? 3.120 Tứ giác ABCD cĩ hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABD ACD . Gọi E là giao điểm của của AD và BC. Chứng minh: a) AOB  DOC. b) AOD  BOC. c) EA . ED = EB . EC. 3.121 Cho ABC cĩ hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kỳ trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 68 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 song với CL (E BC, F AB). Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh: FM = MN = NE. 3.122 Cho hình vuơng ABCD cạnh a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh C, cắt tia AB ở E và cắt AD ở F. Chứng minh: BE AE2 a) BE . DF = a2. b) DF AF2 3.123 Cho ABC cân tại A, vẽ các đường cao BH và CK. a) Chứng minh: BK = CH b) Chứng minh: KH // BC c) Cho BC = a, AB = AC = b. Tính HK. 3.124 Cho ABC, A 900 , C 300 và đường phân giác BD (D AC). AD a) Tính tỉ số: . CD b) Biết AB = 12,5cm, tính chu vi và diện tích ABC. 3.125 Tứ giác ABCD cĩ AB = 4cm, BC = 20cm, CD = 25cm, DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm. a) Nêu cách vẽ tứ giác ABCD. b) Các tam giác ABD và BDC cĩ đồng dạng khơng ? Vì sao ? c) Chứng minh: AB // CD. 3.126 Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 15cm, CD = 30cm, đường cao 20cm, các đường chéo cắt nhau tại I. Tính diện tích các OAB và OCD. 3.127 Đường cao của một tam giác vuơng xuất phát từ đỉnh gĩc vuơng chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng cĩ độ dài 9cm và 16cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuơng đĩ. 3.128 Cho ABC vuơng tại A. Vẽ đường cao AH. Biết chu vi ABH = 3dm, chu vi ACH = 4dm. Tính chu vi ABC. 3.129 Cho ABC đều. Trung tuyến AM. Vẽ đường cao MH của AMC. a) Chứng minh: ABM và AMH đồng dạng. b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BM, MH. Chứng minh: AB . AF = AM . AE. c) Chứng minh: BH  AF. d) Chứng minh: AE . EM = BH . HC. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 69 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.130 Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn, 3 đường cao AM, BN, CP đồng qui tại H. a) Chứng minh: ABM  AHP, ABH  AMP. b) Chứng minh: MH . MA = MB . MC. c) Chứng minh: AHB  NHM. d) Chứng minh: MAP  MNH. e) Cho B, C cố định, A thay đổi vị trí sao cho ABC vẫn cĩ 3 gĩc nhọn. ABC phải cĩ đặc điểm gì để tích MH . MA cĩ giá trị lớn nhất. 3.131 Cho ABC. Kẻ DE // BC sao cho DC2 = BC . DE. a) Chứng minh: DEC  CDB. Suy ra cách dựng DE. b) Chứng minh: AD2 = AC . AE và AC2 = AB . AD. 3.132 Cho ABC vuơng tại A, cĩ đường cao AH. Từ H vẽ HI  AB tại I và HJ  AC tại J. Gọi AM là trung tuyến của ABC. a) Biết AB = 30cm, AC = 40cm. Tính BC, AH, BI. b) Chứng minh: IJ = AH và AM  IJ. c) Chứng minh: AB . AI = AC . AJ; AIJ  ACB. d) Chứng minh: ABJ  ACI; BIJ  IHC. 3.133 Cho ABC cân tại A cĩ A 900 và CI là tia phân giác của ABC. Đường thẳng vuơng gĩc với CI tại I cắt các đường thẳng AC, BC lần lượt tại E và F. Chứng minh: BC . AE = AC . BF. 3.134 Các đường cao của một tam giác cĩ 3 gĩc nhọn ABC cắt nhau tại O. trên các đoạn thẳng OB và OC người ta lấy các điểm B , C sao cho AB C = AB'C AC'B 900 . Chứng minh: AB = AC . 3.135 Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh: a) AD . BC = BE . AC = CF . AB b) HD . HA = HE . HB = HF . HC c) AE . AC = AB . AF và AD . HD = BD . CD HD HE HF d) 1 AD BE CF e) ABC  AEF, BDF  EDC. f) ABH  EDH, AFD  EHD. g) H cách đều 3 cạnh của DEF. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 70 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.136 Cho ABC cĩ A 900 , AB = 80cm, AC = 60cm, AH là đường cao, AI là phân giác (I BC). a) Tính BC, AH, BI, CI. b) Chứng minh: ABC  HAC. c) HM và HN là phân giác của ABH và ACH. C/m: MAH  NCH. d) C/m: ABC  HMN rồi c/m: MAN vuơng cân. e) Phân giác của gĩc ACB cắt HN ở E, phân giác của gĩc ABC cắt HM ở F. Chứng minh: EF // MN. f) Chứng minh: BF . EC = AF . AE 3.137 Cho ABC cĩ đường cao AH (H nằm giữa B và C). Từ H vẽ HM  AB (M AB) và HN  AC (N AC). a) Biết HA = 15cm, HC = 36cm, BC = 56cm. Tính AB, AC. b) Chứng minh: AB . AM = AC . AN; ABC và ANM đồng dạng. c) Chứng minh: AB . CM = AC . BN d) CM cắt BN tại K. Chứng minh: MKN và BKC đồng dạng. e) Chứng minh: MN . BC + BM . CN = CM . BN f) Nếu cho A, H cố định, B và C di chuyển trên đường thẳng vuơng gĩc với AH tại H sao cho H vẫn nằm giữa B và C. Chứng minh rằng trung trực của đoạn thẳng MN luơn đi qua 1 điểm cố định. 3.138 Cho ABC. Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A cĩ bờ là BC, vẽ tia Cx sao BAC cho BCx . Gọi AD là phân giác của ABC. Tia Cx cắt tia AD ở E. 2 Chứng minh: a) ABD  CED; ABD  AEC. b) AE2 > AB . AC . c) Trung trực của BC đi qua E. d) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh: 4AB . AC = 4AI2 – DE2 3.139 Cho hình vuơng ABCD cố định, M là một điểm lấy trên cạnh BC (M B). Tia AM cắt DC tại P. Trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN = BM. a) Chứng minh: AND = ABM và MAN là vuơng cân. b) Chứng minh: ABM  PDA và BC2 = BM . DP. c) Qua A vẽ đường thẳng vuơng gĩc với MN tại H và cắt CD tại Q, MN cắt AD ở I. Chứng minh: AH . AQ = AI . AD và DAQ HMQ . d) Chứng minh: NDH  NIQ. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 71 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 Ơn tập chương 3 3.140 Cho ABC vuơng tại A, cĩ AB = 15 cm, AC = 20cm, BC = 25cm. 1. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC a) Chứng minh: ABC  HAC. b) Tính AH, CH 2. Vẽ đường phân giác AD của gĩc HAC. Tính DH, DC. 3.141 Cho ABC vuơng ở A, cĩ đường cao AH. Biết AB = 12 cm; BC = 20 cm a) Chứng minh ABC  HBA và tính độ dài đoạn thẳng BH. b) Tia phân giác của gĩc ABC cắt cạnh AC tại D. Tính DA và DC. 3.142 Cho hai tam giác ABC và DEF. Tam giác ABC cĩ AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Tam giác DEF cĩ DE = 12cm, DF = 18cm, EF = 24cm. a) Hai tam giác trên cĩ đồng dạng khơng? Vì sao? b) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đĩ. 3.143 Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ AH  DB. a) Chứng minh ABD  HAD. b) Biết AB = 12cm, AD = 9cm. Tính độ dài DB, DH. 3.144 Cho hình vuơng ABCD cĩ độ dài cạnh bằng 12cm.Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = 3cm .Đường thẳng DE cắt CB kéo dài tại K . a) Tính DE b) Chứng minh: EAD  EBK, tính tỉ số đồng dạng k. c) Chứng minh: AD2 = KC.AE 3.145 Cho ABC vuơng tại A, cĩ AB = 6cm, AC= 8cm, đường cao AH cắt đường phân giác DB tại I. a) Chứng minh: IA.BH = IH.BA b) Chứng minh: AB2 = BH.BC c) Tỷ số diện tích của ABH và ABC 3.146 Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB = 8cm , BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của ADB. a) Chứng minh AHB  BCD. b) Chứng minh AD2 = DH.DB. c) Tính độ dài các đoạn thẳng DH, AH. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 72 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349
Bài tập Tốn 8 Học kì 2 3.147 Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB = 12cm ; BC = 9cm. Gọi H là chân đường vuơng gĩc kẻ từ A xuống BD. a) Chứng minh: AHB  BCD. b) Tính độ dài đoạn thẳng AH. c) Tính diện tích tam giác AHB. 3.148 Cho tam giác ABC vuơng tại A với đường cao AH (H BC) a) Chứng minh: AHB  CHA b) Cho HB = 3cm ; HC = 12cm. Tính độ dài đường cao AH. 3.149 Cho hình vuơng ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M (M A, M B). Đường thẳng vuơng gĩc với DM tại D cắt đường thẳng BC tại N. a) Chứng minh: DM = DN. b) Gọi K là trung điểm của MN, DK cắt DE tại E. Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại M cắt DE tại F. Chứng minh MFNE là hình thoi. c) Chứng minh NE.NB = DM2 d) C/minh chu vi MBE khơng đổi khi M di động trên cạnh AB. 3.150 Cho ABC cĩ AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 9 cm và AD là tia phân giác (D BC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AD. a) Trên cạnh AC lấy điểm G. Chứng minh rằng: i) Nếu ABG ACG thì AB2 = AC.AG. ii) Nếu AB2 = AC.AG thì ABG ACG . S BE b) Tính BD, tỉ số ABD và tỉ số . SACD CF AE DE c) Chứng minh: . AF DF d) Gọi H là trung điểm của BC. Đường thẳng song song với AD đi qua H cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại I, K. Chứng minh: IB = KC. 3.151 Cho ABC cĩ hai đường cao AD, BE cắt nhau ở H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Các đường trung trực của BC cắt nhau tại O. a) Chứng minh: AHB  MON. b) Gọi I là điểm đối xứng của O qua BC. Chứng minh tứ giác AHIO là hình bình hành. c) Gọi G là trọng tâm của ABC. Chứng minh AHG  MOG. Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 73 File Word liên hệ: tranquocnghia@gmail.com- ĐT: 0983734349