Bài tập Toán Lớp 11 - Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 11 - Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

1. Bài 2: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tóm tắt kiến thức: 1. Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp c 0 , c là hằng số 1 x 1 x 2 x 1 1 n n 1 2 x x x n.x 2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Cho các hàm số u u x ; v v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: 1. u v u v 2. u - v = u - v u u v v u 3. u.v u v v u 4. 2 v v x 0 v v Chú ý: 1 v a) k.v kv (k: hằng số) b) 2 v v(x) 0 v v Mở rộng: 1. u1 u2 un u1 u2 un 2. u.v.w u .v.w u.v .w u.v.w 3. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y f u x f u với u u x . Khi đó: yx yu .ux 4. Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp u u x c 0 , c là hằng số x 1 1 u 2 1 1 u u 2 x x u u 1 2 u x 2 x 1 u .u .u x .x 1
2. (Các hàm số đã cho trong bảng được xác định với điều kiện đầy đủ). 2. Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết. - Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức. B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số tại các điểm x0 được cho kèm theo 2 2 a). y 7 x x , x0 1 b) y 3x 4x 9, x0 1 Lời giải a). y 7 x x2 y ' 1 2x y 1 1. b). y 3x2 4x 9 y ' 6x 4 y 1 2. Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a). y x3 3x 1 b) y 2x 3 x5 2x c). y x2 1 5 3x2 d). y x 2x 1 3x 2 e). y x2 2x 3 2x2 3 f). y x2 x 2x 1 3 2x 1 g) y h). y l). y 4x 3 2x 1 1 3x 1 x x2 x2 3x 3 2x2 4x 1 m). y n). y o). y 1 x x2 x 1 x 3 Lời Giải ' a). y ' x3 3x 1 3x2 3 . b). y 2x 3 x5 2x . / 5 / 5 5 / y ' 2x 3 x 2x 2x 3 x 2x x 2x 2x 3 2 x5 2x 5x4 2 2x 3 12x5 15x4 8x 6. c). y x2 1 5 3x2 / 2 2 2 / 2 2 / 2 y ' x 1 5 3x x 1 5 3x 5 3x x 1 2x 5 3x2 6x x2 1 10x 6x3 6x3 6x 12x3 4x. d). y x 2x 1 3x 2 2x2 x 3x 2 / 2 2 / / 2 y ' 2x x 3x 2 2x x 3x 2 3x 2 . 2x x 4x 1 3x 2 3 2x2 x 18x2 2x 2. e). y x2 2x 3 2x2 3 / 2 2 2 / 2 2 / 2 y ' x 2x 3 2x 3 x 2x 3 2x 3 2x 3 x 2x 3
3. 4x 2 2x2 3 4x x2 2x 3 12x3 4x2 24x 6. f) y x2 x / / / 1 1 5x x y ' x2 x x2 . x x .x2 2x. x .x2 2x x x x . 2 x 2 2 / 2x 1 2x 1 g) y y ' 4x 3 4x 3 / / 2x 1 4x 3 4x 3 2x 1 2 4x 3 4 2x 1 2 . 4x 3 2 4x 3 2 4x 3 2 / / 3 1 2x 1 6 h) y y ' 3. 3. 2 2 . 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 / 2x 1 2x 1 l). y y ' 1 3x 1 3x / / 2x 1 1 3x 1 3x 2x 1 2 1 3x 3 2x 1 5 y ' . 1 3x 2 1 3x 2 1 3x 2 / 1 x x2 1 x x2 m). y 2 y ' 2 1 x x 1 x x / / 1 x x2 1 x x2 1 x x2 1 x x2 2 1 x x2 1 2x 1 x x2 1 2x 1 x x2 2 . 1 x x2 2 / / 2 x2 3x 3 x 3x 3 x 1 x 1 x 3x 3 n). y y ' x 1 x 1 2 2 2x 3 x 1 x 3x 3 x2 2x . x 1 2 x 1 2 2 / / 2 2x2 4x 1 2x 4x 1 x 3 x 3 2x 4x 1 o). y y ' x 3 x 3 2 2 4x 4 x 3 2x 4x 1 2x2 12x 11 . x 3 2 x 3 2 Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 2 3 a). y x7 x b). y 2x3 3x2 6x 1 c). y 1 2x2 32 4 3 2 d). y x x2 e). y x2 x 1 f). y x2 x 1 . x2 x 1
4. 3 2 3 2x 1 1 2 x 3 x g) y h). y 5 k). y 2 x 1 x2 x 1 1 x x l). y 1 2x 2 3x2 3 4x3 LỜI GIẢI 2 / a). y x7 x . Sử dụng công thức u .u 1.u ' (với u x7 x ) / y ' 2 x7 x . x7 x 2 x7 x 7x6 1 . 2 / b). y 2x3 3x2 6x 1 . Sử dụng công thức u với u 2x3 3x2 6x 1 / y ' 2 2x3 3x2 6x 1 2x3 3x2 6x 1 2 2x3 3x2 6x 1 6x2 6x 6 . 3 / c). y 1 2x2 . Sử dụng công thức u với u 1 2x2 2 / 2 2 y ' 3 1 2x2 1 2x2 3 1 2x2 4x 12x 1 2x2 . 32 / d). y x x2 . Sử dụng công thức u với u x x2 31 / 31 y ' 32 x x2 . x x2 32 x x2 . 1 2x 4 / e). y x2 x 1 . Sử dụng công thức u với u x2 x 1 3 / 3 y ' 4 x2 x 1 . x2 x 1 4 x2 x 1 . 2x 1 . 3 2 f). y x2 x 1 . x2 x 1 Đầu tiên sử dụng công thức đạo hàm uv 3 / 2 2 / 3 y ' x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 . / Sau đó sử dụng công thức u 2 / / 3 y ' 3 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 2 3 y ' 3 x2 x 1 2x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 2x 1 x2 x 1 2 2 2 2 2 y ' x x 1 x x 1 3 2x 1 x x 1 2 2x 1 x x 1 . 3 2x 1 g) y x 1 / 2x 1 Bước đầu tiên sử dụng u , với u x 1 2 / 2 2 2x 1 2x 1 2x 1 1 3 2x 1 y ' 3. . 3. . 2 4 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 h). y 5 x2 x 1
5. / 1 2 5 Đầu tiên sử dụng công thức với u x x 1 u / 2 5 4 / x x 1 5 x2 x 1 . x2 x 1 5 2x 1 y ' . 5 2 2 10 2 6 x2 x 1 x x 1 x x 1 2 x2 3 x3 k). y 1 x x2 / u Đầu tiên sử dụng v / 2 3 2 2 / 2 3 2 x 3 x . 1 x x 1 x x 2 x 3 x y ' 2 1 x x2 / 2 3 2 / 3 3 / 2 Tính 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 x 2x 3 x3 3x2 2 x2 5x4 6x2 6x. 5x4 6x2 6x 1 x x2 1 2x 2 x2 3 x3 Vậy y ' 2 . 1 x x2 l). y 1 2x 2 3x2 3 4x3 . / / y ' 1 2x / 2 3x2 3 4x3 1 2x 2 3x2 3 4x3 1 2x 2 3x2 3 4x3 y ' 2 2 3x2 3 4x3 1 2x 6x 3 4x3 1 2x 2 3x2 12x2 . Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a).y x2 x x 1 b). y 1 2x x2 c). y x2 1 1 x2 x2 1 1 x 1 d). y e). y f) y x 1 x 1 x x 1 5 1 1 x 3 g). y x h). y i). y 1 1 2x x 1 x 3 4x 1 x 3 k). y l). y m). y x 2 x2 2 x 1 LỜI GIẢI a). y x2 x x 1 / /. / 1 3 x y ' x2 x x 1/ 2x x '. x x .x 2x x .x 2x . 2 x 2 / b). y 1 2x x2 . Sử dụng công thức u với u 1 2x x2
6. 2 / 1 2x x 1 x y ' . 1 2x x2 1 2x x2 c). y x2 1 1 x2 2 / 2 / / / x 1 1 x x x y ' x2 1 1 x2 . 2 x2 1 2 1 x2 x2 1 1 x2 x2 1 / x2 1 d). y . Sử dụng công thức u với u x x / 1 x2 1 1 1 y ' . 1 2 . x2 1 x x2 1 x 2 2 x x 1 x / 1 x e). y . Đầu tiên sử dụng công thức u với u 1 x 1 x / 1 x 1 x y ' 2 . 1 x 1 x / / / 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x Tính 2 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x 2 x 2 x 1 2 2 1 x x 1 x 1 x 1 Vậy y ' 2 . . 2 1 x x 1 x 1 f). y x 1 x 1 / / / 1 1 x 1 1 1 y ' x 1 . 2 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 5 1 / 1 g). y x . Bước đầu tiên sử dụng u với u x x x / 4 / 4 1 1 1 1 x y ' 5 x . x 5 x . 2 x x x 2 x x 4 1 1 1 5 x x 2 x 2 x.x
7. / / / 1 x u 1 x 1 x 1 x 1 x h). y . Sử dụng được: y ' 2 1 x v 1 x 1 x / 1 x . 1 x 2 1 x 1 x 3 x 2 1 x . 1 x 2 1 x. 1 x 2 1 x 1 x 3 / i) y 1 1 2x . Bước đầu tiên áp dụng u với u 1 1 2x 2 / 2 / 2 1 2x 6 1 1 2x y ' 3 1 1 2x . 1 1 2x 3 1 1 2x . . 2 1 2x 2 1 2x 4x 1 k). y (áp dụng u chia v đạo hàm) x2 2 / x2 2 / 2 / 2 2 4. x 2 . 4x 1 4x 1 x 2 x 2 . 4x 1 2 y ' 2 x 2 2 2 x2 2 x 2 2 x 4 x 2 4x 1 2 x2 2 4 x 2 x 4x 1 x 8 2 x 2 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 x3 l). y (Áp dụng căn bặc hai của u đạo hàm). x 1 / 1 x3 y ' . x3 x 1 2 x 1 / 3 / / 3 x3 x x 1 x 1 .x 3x2 x 1 x3 2x3 3x2 Ta có: 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 2x3 3x2 Vậy y ' . 2 . x3 x 1 2 x 1 / m). y x 2 3 . ( u với u x 2 3 ) 1 3 / 1 2 3 x 2 y ' . x 2 .3. x 2 . 2 x 2 3 2 x 2 3 2 x 2 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hàm số f x xác định trên ¡ bởi f x ax b, với a, b là hai số thực đã cho. Chọn câu đúng: A. f ' x a . B. . f ' x C. a . D. f. ' x b f ' x b
8. Lời giải Chọn A Sử dụng các công thức đạo hàm: c 0 với c const ; x 1 ; k.x kx k với k const ; u v u v ; Ta có f x ax b ax b a . 2x 1 Câu 2: Hàm số y có đạo hàm là: x 1 1 3 1 A. .y 2 B. . C.y y . D. .y x 1 2 x 1 2 x 1 2 Lời giải Chọn C 2 x 1 2x 1 3 Ta có : y . x 1 2 x 1 2 ax b ad bc Tính nhanh: 2 với c 0 và ad bc 0 cx d cx d Câu 3: Cho hàm số f x 2x2 3x xác định trên ¡ . Khi đó f x bằng: A. . 4x 3 B. 4x 3 . C. .4 x 3 D. . 4x 3 Lời giải Chọn B Sử dụng các công thức đạo hàm: x 1 ; k.u k.u ; xn n.xn 1 ; u v u v . f x 2x2 3x 2 x2 3x ' 4x 3. Câu 4: Cho hàm số f x xác định trên ¡ bởi f x 2x2 1 . Giá trị f 1 bằng: A. .2 B. . 6 C. 4 . D. .3 Lời giải Chọn C Ta có : f ' x 4x f 1 4 . 5 Câu 5: Đạo hàm của hàm số y 1 x3 là: 4 5 4 4 A. .y 5 1B. x3 y 15x2 1 x3 .C. . y D. 3 . 1 x3 y 5x2 1 x3 Lời giải Chọn B 4 4 Ta có : y 5 1 x3 1 x3 15x2 1 x3 . x2 x Câu 6: Cho hàm số y đạo hàm của hàm số tại x 1 là: x 2
9. A. .y 1 4 B. y 1 5 . C. .y 1 3D. . y 1 2 Lời giải Chọn B 2 2x 1 x 2 x x x2 4x 2 Cách 1: Ta có : y x 2 2 x 2 2 y 1 5. Cách 2: Sử dụng MTCT 2 Câu 7: Cho hàm số f x 3x2 1 . Giá trị f 1 là: A. .4 B. . 8 C. . 4 D. 24 . Lời giải Chọn D Cách 1: f x 2 3x2 1 3x2 1 12x 3x2 1 f 1 24 Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào màn hình: Nhận xét: Bằng cách 2 ta có thể tính nhanh chóng đạo hàm tại một điểm xác định x x0 . x Câu 8: Cho hàm số y . y 0 bằng: 4 x2 1 1 A. y 0 . B. .y 0 C. . yD. 0. 1 y 0 2 2 3 Lời giải Chọn A x 4 x2 x 4 x2 4 Ta có : y 2 3 4 x2 4 x2 1 y 0 . 2 Câu 9: Cho hàm số f x xác định trên ¡ bởi f x x2 . Giá trị f 0 bằng A. .0 B. . 2 C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải Chọn D x Cách 1 : Ta có : f x x2 f x không xác định tại x 0 f 0 không có đạo hàm tại x 0 .
10. Cách 2: Sử dụng MTCT thì kết quả là màn hình hiển thị thông báo “Math ERROR” và không tính được. x 2 2 Câu 10: Hàm số y có đạo hàm là: 1 x x2 2x x2 2x x2 2x A. y . B. .y C. . D. . y 2 x 2 y 1 x 2 1 x 2 1 x 2 Lời giải Chọn A 2 2 x 2 1 x x 2 1 x2 2x Ta có : y . 1 x 2 1 x 2 2 1 x f x Câu 11: Cho hàm số y . Đạo hàm của hàm số là: 1 x 2 1 x 2 1 x A. . fB. x 3 f x 3 . 1 x x 1 x 2 1 x 2 1 x C. . f x 2 D. . f x x 1 x 1 x Lời giải Chọn B 1 x 1 x 1 x 2 2 1 x Ta có : y 2 2 x . 2 3 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x Câu 12: Cho hàm số f x xác định trên D 0; cho bởi f x x x có đạo hàm là: 1 3 1 x x A. . f x B. x f x x . C. . f x D. . f x x 2 2 2 x 2 Lời giải Chọn B 1 u.v ' u '.v u.v ' ; x ' ; x ' 1 . 2 x x 1 3 Ta có f ' x x x ' x '. x x. x ' x x x x . 2 x 2 2 2 1 Câu 13: Hàm số f x x xác định trên D 0; . Đạo hàm của f x là: x 1 1 A. . f ' B.x . x 2 f ' x x x x2 1 1 C. . f ' D.x x f ' x 1 . x x2
11. Lời giải Chọn D ' n n 1 1 u ' Sử dụng công thức đạo hàm hợp: u ' n.u .u ' và 2 . u u 2 ' ' 1 1 1 1 1 1 Ta có: f ' x x 2. x . x 2. x x x x x 2 x 2x x 1 1 1 1 1 1 2. x 1 1 1 1 2 . 2 x x x x x x x2 x 3 ax b Câu 14: Đạo hàm của hàm số y 2 bằng biểu thức có dạng 2 . Khi đó a b bằng: x x 1 x2 x 1 A. .a b 4 B. . a C.b . 5 D. a b 10 a b 12 . Lời giải Chọn D x2 x 1 4 4 4 2x 1 8x 4 Cách 1: y 2 1 2 y 2 2 . x x 1 x x 1 x2 x 1 x2 x 1 u u v uv Cách 2: Áp dụng 2 . v v 2 2 2x 1 x x 1 x x 3 2x 1 8x 4 y 2 2 a b 12 . x2 x 1 x2 x 1 a Câu 15: Đạo hàm của hàm số y x2 1 5 3x2 bằng biểu thức có dạng ax3 bx . Khi đó T bằng: b A. . 1 B. . 2 C. . 3 D. 3 . Lời giải Chọn D y x2 1 5 3x2 x2 1 5 3x2 2x 5 3x2 x2 1 6x 12x3 4x . a 12 Do đó T 3 . b 4 D. BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau x3 1. y x4 3x2 2x 1 2. y 2x2 x 1 3 2x 1 x2 x 1 3. y 4. y x 2 x 1 Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau 3 1. y x x 2 1 2. y (2x 5)2
12. 2 2x x2 3. y 4.y (x 1) x2 x 1 . x2 1 Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau 2 7 2 2 2x 1. y x x 2. y x 1 5 3x 3. y 2 x 1 3 2 5 3 2 4. y x 2x 1 5x 3 5. y 4x 2 6. y (x 2) (x 3) x x 7. y x3 3x2 2 8. y x2 x x 1 9. y a2 x2 1 1 x 10. y 11. y x x 1 x Hướng dẫn giải Bài 1 1. Ta có: y 4x3 6x 2 . 2. Ta có: y x2 4x 1 . 2x 1 x 2 2x 1 x 2 3 3. Ta có: y . x 2 2 x 2 2 2 2x 1 x 2 x x 1 x2 2x 4. Ta có: y . x 1 2 x 1 2 Bài 2 2 x 1 1. Ta có: y x x2 1 x2 1 x x2 1 x . 2 x2 1 x2 2x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 2 3 2x 5 12(2x 5) 12 2. Ta có: y . 2x 5 4 2x 5 4 2x 5 3 2 2 2x 2 x 1 2x x 2x 2 2x2 6x 2 3. Ta có: y 2 2 . x2 1 x2 1 2x 1 4x2 5x 3 4. Ta có: y x2 x 1 x 1 . 2 x2 x 1 2 x2 x 1 Bài 3. 1. Ta có: y 2 x7 x 7x6 1 . 2. Ta có: y 12x3 4x . 2x2 2 3. Ta có: y 2 . x2 1
13. 4. Ta có: y 4x3 3x2 6x . 10 5 2 5. Ta có: y 3 4 3 4x 2 . x x 2 3 6. Ta có: y 3 x2 5x 6 2 x 3 x 2 . 3x2 6x 7. Ta có: y . 2 x3 3x2 2 x 8. Ta có: y 2x x 1 . 2 x 1 x2 a2 x2 2 2 a2 9. Ta có: y a x . 2 2 3 a x a2 x2 x x 3 1 10. Ta có: y . x3 2 x2 x 1 x 1 x 1 3x 11. Ta có: y 2 1 x . 1 x 2 1 x 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 16: Đạo hàm của hàm số y 2x 5 4 x bằng biểu thức nào dưới đây? 1 4 2 1 A. . 10x 4 B. . C. 10x 4 10x 4 . D. . 10x 4 x x x x Lời giải Chọn D 2 f x y 10x4 . x 2x Câu 17: Cho hàm số xác định trên ¡ \1 bởi f x . Giá trị của f 1 bằng: x 1 1 1 A. . B. . C. . 2 D. Không tồn tại. 2 2 Lời giải Chọn B 2 x 1 2x 2 1 Cách 1 : Ta có : f x f 1 . x 1 2 x 1 2 2 Cách 2 : Sử dụng MTBT. x2 2x 5 Câu 18: Với f (x) . Thì f ' 1 bằng: x 1 A. .1 B. . 3 C. . 5 D. 0 . Lời giải
14. Chọn D x2 2x 5 4 4 Cách 1: Ta có: f (x) x 1 f ' x 1 f ' 1 0 . x 1 x 1 x 1 2 Cách 2 : Sử dụng MTBT. 4 Câu 19: Đạo hàm của hàm số f x x2 1 tại điểm x 1 là: A. . 32 B. . 30 C. 64 . D. .12 Lời giải Chọn C 3 3 Cách 1 : f x 4 x2 1 x2 1 8x x2 1 f 1 64 . Cách 2 : Sử dụng MTBT. 3 1 Câu 20: Hàm số f x x xác định trên D 0; . Đạo hàm của hàm số f x là: x 3 1 1 1 3 1 1 1 A. f ' x x . B. .f ' x x 2 x x x x2 x 2 x x x x2 x 3 1 1 1 3 1 C. . f ' x D. . x f ' x x x 3 x 2 x x x x2 x x x x Lời giải Chọn A ' n n 1 1 u ' Sử dụng công thức đạo hàm hợp: u ' n.u .u ' và 2 . u u 2 1 1 1 1 1 1 Ta có: f ' x 3 x . 3. x 2 . 1 x 2 x 2x x 2 x x x 3 1 1 3 1 1 1 x 1 2 x . 2 x x x 2 x x x x2 x 2x 1 a Câu 21: Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a nhận giá trị nào sau x 2 x 2 2 đây: A. .a 3 B. . a 5 C. a 3. D. .a 5 Lời giải Chọn C 2x 1 x 2 2x 1 x 2 3 y a 3. x 2 2 x 2 2 2.2 1.1 3 Hoặc áp dụng công thức tính nhanh: y a 3. x 2 2 x 2 2
15. x2 x 1 ax2 bx Câu 22: Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a.b bằng: x 1 x 1 2 A. a.b 2 . B. .a .b 1 C. . a.b D.3 . a.b 4 Lời giải Chọn A 2 2x 1 x 1 x x 1 x2 2x Cách 1: y a.b 2. x 1 2 x 1 2 1 1 x2 2x Cách 2: y x y 1 . x 1 x 1 2 x 1 2 Cách 3: Áp dụng công thức tính nhanh x2 2.1.( 1)x ( 1)( 1) 1.1 x2 2x y a.b 2. x 1 2 x 1 2 ax2 bx c aa x2 2ab x bb ac Với a.a 0 ta có . 2 a x b a x b x2 x 3 ax b Câu 23: Đạo hàm của hàm số y 2 bằng biểu thức có dạng 2 . Khi đó a b bằng: x x 1 x2 x 1 A. .a b 4 B. . a C.b . 5 D. a b 10 a b 12 . Lời giải Chọn D x2 x 1 4 4 4 2x 1 8x 4 Cách 1: y 2 1 2 y 2 2 . x x 1 x x 1 x2 x 1 x2 x 1 u u v uv Cách 2: Áp dụng 2 . v v 2 2 2x 1 x x 1 x x 3 2x 1 8x 4 y 2 2 a b 12 . x2 x 1 x2 x 1 Cách 3:Áp dụng công thức tính nhanh a b a c b c x2 2 x 2 ax bx c a1 b1 a1 c1 b1 c1 2 . a x2 b x c 2 1 1 1 a1x b1x c1 Câu 24: Đạo hàm của hàm số y ax2 a 1 x a3 a2 (với a là hằng số) tại mọi x ¡ là: A. .2 x a 1 B. . C.2a .x D.1 a 2ax 3a2 2a 1 2ax a 1. Lời giải Chọn D y 2ax a 1. ax b Câu 25: Đạo hàm của hàm số y x2 x 1 bằng biểu thức có dạng . Khi đó a b bằng: 2 x2 x 1
16. A. .a b 2 B. . aC. b 1 a b 1. D. .a b 2 Lời giải Chọn C 2 x x 1 2x 1 y a b 1. 2 x2 x 1 2 x2 x 1 5 Câu 26: Đạo hàm của hàm số y x2 x 1 là: 4 4 A. .4 x2 x 1 2x 1 B. . 5 x2 x 1 4 4 C. 5 x2 x 1 2x 1 . D. . x2 x 1 2x 1 Lời giải Chọn C 4 4 y 5 x2 x 1 x2 x 1 5 x2 x 1 2x 1 . Câu 27: Đạo hàm của hàm số y x2 2x 1 5x 3 bằng biểu thức có dạng ax3 bx2 cx . Khi đó a b c bằng: A. 31. B. .2 4 C. . 51 D. . 34 Lời giải Chọn A Cách 1: y 2x 2x 1 5x 3 x2.2 5x 3 x2 2x 1 .5 40 x3 3x2 6x a b c 31 . Cách 2:Nhân vào rút gọn ta được y 10x4 x3 3x2 y 40x3 3x2 6x nên a b c 31 . x Câu 28: Đạo hàm của hàm số y (a là hằng số) là: a2 x2 a2 a2 2a2 a2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 Lời giải Chọn D x2 a2 x2 2 2 a2 y a x . 2 2 3 a x a2 x2 1 ax Câu 29: Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a nhận giá trị nào 2 3 x 1 x2 1 sau đây: A. .a 4 B. a 1. C. .a 2 D. . a 3 Lời giải Chọn B
17. 2 2 x 1 x 1 x y 2 a 1 x 1 2 x2 1. x2 1 x2 1. x2 1 Câu 30: Cho hàm số f x x 1 . Đạo hàm của hàm số tại x 1 là: 1 A. . B. . 1 C. 0 . D. Không tồn tại. 2 Lời giải Chọn D 1 Cách 1: Ta có: f x Không tồn tại f 1 vì f x xác định với x 1 . 2 x 1 Cách 2: Sử dụng MTCT thì kết quả là màn hình hiển thị thông báo “Math ERROR” và không tính được. x 1 ax b Câu 31: Đạo hàm của hàm số y biểu thức có dạng . Khi đó P a.b bằng: x2 1 (x2 1)3 A. P 1. B. .P 1 C. . P 2 D. . P 2 Lời giải Chọn A x x2 1 x 1 . 2 x2 1 x2 x x 1 y x 1 . 2 3 3 x 1 x2 1 x2 1 P a.b 1 DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tóm tắt kiến thức: Sử dụng bảng công thức đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm 2. Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết. - Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức. - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1.Chof x 2x3 x 2, g x 3x2 x 2 . Giải bất phương trình f ' x g ' x . Lời giải / / a). Ta có f ' x 2x3 x 2 6x2 1 , g ' x 3x2 x 2 6x 1 f ' x g ' x 6x2 1 6x 1 6x2 6x 0 x ;0  1; Bài 2. Cho y tan x chứng minh y ' y2 1 0 Lời giải Cho y tan x chứng minh y ' y2 1 0 Ta có: y ' tan x / 1 tan2 x
18. 1 tan2 x tan2 x 1 0 (đúng) (đpcm). C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM D. BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN x2 Bài 1. a).Chof x 2x3 x2 3, g x x3 3 . Giải bất phương trình f ' x g ' x . 2 60 64 b) Cho f x 3x 5 . Giải phương trình f ' x 0 x x3 Bài 2. a)y cot 2x . Chứng minh: y ' 2y2 2 0 b) Cho y xsin x chứng minh: x.y 2 y/ sin x x 2cos x y 0 c) Cho hàm số y x 1 x2 . Chứng minh: 2 1 x2 .y ' y Lời giải Bài 1. / / 2 3 2 2 3 x 2 a). f ' x 2x x 3 6x 2x, g ' x x 3 3x x 2 f ' x g ' x 6x2 2x 3x2 x 3x2 3x 0 x ;0  1; / 60 64 60 192 b). Ta có f ' x 3x 3 5 3 2 4 x x x x 60 192 1 f ' x 0 3 0 1 . Đặt t , t 0 x2 x4 x2 1 1 1 192t 2 60t 3 0 t  t 4 16 1 1 1 Với t x2 4 x 2 4 x2 4 1 1 1 Với t x2 16 x 4 16 x2 16 Vậy f ' x 0 có 4 nghiệm x 2 , x 4 Bài 2. a).y cot 2x chứng minh: y ' 2y2 2 0 Ta có: y ' cot 2x / 2 1 cot2 2x 2 1 cot2 2x 2cot2 2x 2 0 (đpcm). b). y xsin x chứng minh: x.y 2 y/ sin x x 2cos x y 0 Ta có: y ' xsin x / x '.sin x x. sin x / sin x x cos x. x2.sin x 2 sin x x cos x sin x x 2cos x xsin x 0 x2 sin x 2x cos x 2x cos x x2 sin x 0 0 0 (đpcm). c). Cho hàm số y x 1 x2 . Chứng minh: 2 1 x2 .y ' y
19. / 1 / 1 x Ta có: y ' x 1 x2 . x 1 x2 . 1 2 2 x 1 x2 2 x 1 x2 1 x 1 1 x2 x 1 x2 x . . 2 2 2 x 1 x2 1 x 2 1 x x 1 x2 2 1 x2 . x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 (đpcm). 2 1 x2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 3: SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tóm tắt kiến thức: f (x) f (x0 ) Từ định nghĩa đạo hàm f '(x0 ) lim ,ta thấy có thể sử dụng đạo hàm để tìm x x 0 x x0 giới hạn của hàm số. Cụ thể g(x) Để tínhA lim , biết g(x0 ) 0 . x x 0 x x0 Ta viết g(x) f (x) f (x0 ) . Khi đó nếu f (x) có đạo hàm tại x0 thì: f (x) f (x0 ) A lim f '(x0 ) . x x 0 x x0 F(x) Để tính: B lim , biết F(x0 ) G(x0 ) 0 . x x0 G(x) Ta viết F(x) f (x) f (x0 ) vàG(x) g(x) g(x0 ) . Nếu hai hàm số f (x), g(x) có đạo hàm tại x x0 và g '(x0 ) 0 thì: f (x) f (x0 ) x x f '(x ) B lim 0 0 . x x0 g(x) g(x ) 0 g '(x0 ) x x0 2. Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết. - Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức. - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tính các giới hạn sau : 3 1 x 1 3 2x 1 3x 2 1. A lim 2. B lim x 0 x x 1 x2 1 n 1 3x 1 3 1 x2 4 1 2x 3. C lim 4. D lim x 0 x x 0 x x2 Lời giải
20. 1 1. Đặt f (x) 3 1 x f '(x) và f (0) 1 33 (1 x)2 f (x) f (0) 1 A lim f '(0) . x 0 x 0 3 2. Đặt f (x) 3 2x 1 3x 2 2 3 f '(x) và f (1) 0 . 3.3 (2x 1)2 2 3x 2 1 f (x) f (0) 1 f (x) f (0) 1 2 3 5 B lim . lim .lim . f '(1) . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 3 2 9 f (x) f (0) 3 3. Đặt.f (x) n 1 3x C lim f '(0) x 0 x n 2x 1 4. Đặt f (x) 3 1 x2 4 1 2x f '(x) 3.3 (1 x2 )2 2.4 (1 2x)3 1 f (x) f (0) 1 D lim .lim f '(0) . x 0 x 1 x 0 x 2 1 2x2 3 1 3x2 Bài 2. Tính giới hạn sau : A lim x 0 1 cos x Lời giải 1 2x2 3 1 3x2 2 f (x) Ta có: A lim x lim . x 0 x x 0 x 2sin2 2sin2 2 2 x2 x2 2 2 x x 2sin sin 2 1 2 1 Mà lim lim . x 0 2 x 0 x x 2 2 2 1 2t 3 1 3t Đặt t x2 lim f (x) lim 0 . x 0 t 0 t Vậy A 0 . C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM D. BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm các giới hạn sau (1 3x)3 (1 4x)4 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 1. A2. lim B lim x 0 x x 0 x n 1 ax 1 2x 1 x 3. C4. lim (m,n ¥ ;a.b 0) D lim x 0 m 1 bx 1 x 1 x2 1 Bài 2 Tìm các giới hạn sau
21. 3 2x 1 1 2x 1 3 x2 1 1. A lim 2. B lim x 1 1 2 x2 x 0 sin x 3 26x3 1 4 80x4 1 3 4 2x x2 3 4 2x x2 3. C lim 4. E lim x 1 x 1 x 0 2 x 2 x Lời giải Bài 1. 1. Xét hàm số f(x) (1 3x)3 (1 4x)4 A f'(0) 25 2. Xét hàm số f(x) (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 B f'(0) 6 3. Xét hai hàm số f(x) n 1 ax 1,g(x) m 1 bx 1 f'(0) ma Suy ra C . g'(0) nb 1 4. Xét hàm số f(x) 2x 1 x D lim .f'(1) 0 x 1 x 1 Bài 2 2 2 1. Đặt f(x) 3 2x 1 1 f'(x) f'(1) 3.3 (2x 1)2 3 x Và g(x) 1 2 x2 g'(x) g'(1) 1 . 2 x2 f(x) f(1) f(x) f(x) f(1) f'(1) 2 Khi đó:.A lim lim lim x 1 x 1 g(x) x 1 g(x) g(1) x 1 g(x) g(1) g'(1) 3 x 1 3 1 2x 2. Đặt f(x) 2x 1 x2 1 f'(x) . 2x 1 3.3 (x2 1)2 f'(0) 1 . Và g(x) sin x g'(x) cosx g'(0) 1 . f(x) f(0) f(x) f'(0) Khi đó: B lim lim x 1 . x 0 g(x) x 0 g(x) g(0) g'(0) x 1 1 3. Đặt g(x) x 1 g'(x) g'(1) và 2 x 2 26 80x3 f(x) 3 26x3 1 4 80x4 1 f'(x) 3 (26x3 1)2 4 (80x4 1)3 2 f'(1) . 27 f(x) f(1) f(x) f'(1) 4 Khi đó:.C lim lim x 1 x 1 g(x) x 0 g(x) g(1) g'(1) 27 x 1 3 3 4. Xét hai hàm số f(x) 4 2x x2 4 2x x2
22. g(x) 2 x 2 x f'(0) 3 4. 2 Ta có: E . g'(0) 3