Bài tập Toán Lớp 11 - Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác - Vũ Tuấn Anh

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 11 - Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác - Vũ Tuấn Anh

1. CHUYÊN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình đưa về dạng tích 1.1. Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác: công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích, công thức hạ bậc, Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1) Giải 1 sin 6x sin x sin5x sin 2x sin 4x sin3x 0 7x 5x x 3x 7x 3x 2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cos x 1 0 2 2 2 2 2 2 7x k2 sin 0 x 2 7 3x k2 cos 0 x ;k Z 2 3 3 2cos x 1 0 2 x k2 3 *Lưu ý: Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau 2 3 2 Ví dụ 2. Giải phương trình: cos3xcos3 x sin3xsin3 x (2) 8 Giải 1 1 2 3 2 2 cos2 x cos4x cos2x sin2 x cos2x cos4x 2 2 8 2 3 2 2 3 2 cos4x cos2 x sin2 x cos2x cos2 x sin2 x cos4x cos2 2x 4 4 2 k 4cos4x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x k Z 2 16 2 *Lưu ý: Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng công thức nhân 3 2 2 Ví dụ 3. Giải phương trình : 2cos 2x 3 cos4x 4cos x 1 (3) 4 Giải 2 2 3 1 cos 4x 3 cos4x 4cos x 1 sin 4x 3 cos4x 2 2cos x 1 2 1 3 sin 4x cos4x cos2x cos 4x cos2x 2 2 6 k x k  x ,k ¢ 12 36 3 1.2. Phương trình sử dụng một số biến đổi khác 57
2. Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử chung nhanh nhất, sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó sin2 x 1 cos x 1 cos x , cos2 x 1 sin x 1 sin x cos2x cos x sin x cos x sin x 1 cos2x sin 2x 2cos x(sin x cos x) 1 sin 2x sin x cos x 2 1 cos2x sin 2x 2sin x(sin x cos x) 1 sin 2x sin x cos x 2 sin x cos x 1 tan x cos x  2 sin x sin x cos x 4 Ví dụ 4. Giải phương trình: 2sin x(1 cos2x) sin 2x 1 2cos x (4) Giải Cách 1: 4 2sin x.2cos2 x 2sin xcos x 1 2cos x 2cos x 1 2sin xcos x 1 0 1 cos x 2 phần còn lại dành cho bạn đọc sin 2x 1 Cách 2: 4 2sin xcos2x (1 sin 2x) 2(cos x sin x) 0 2 2sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x 0 cos x sin x 2sin x cos x 2sin2 x cos x sin x 2 0 cos x sin x 2sin xcos x 2cos2 x cos x sin x 0(phần còn lại HS tự làm) Ví dụ 5.Giải phương trình: cos2x 3sin 2x 5sin x 3cos x 3 (5) Giải 5 (6sin xcos x 3cos x) (2sin2 x 5sin x 2) 0 3cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0 (2sin x 1)(3cos x sin x 2) 0 Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản (HS tự làm) 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm, điều quan trọng nhất của dạng này là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại nghiệm. Ngoài ra, ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan, cot. Khi đó, có thể sử dụng một số công thức 58
3. sin a b sin b a  tan a tanb  cota cotb= cosacosb cosacosb cos a b cos a b  tan a cot b  tana-cotb= cosasinb cosasinb 2  tan a cot a  cot a tan a 2cot 2a sin 2a cos a b cos a b 1 tan a tanb 1 tan a tanb cosacosb cosacosb Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức 2cos4x Ví dụ 6. Giải phương trình: cot x tan x (6) sin 2x Giải. sin x 0 k ĐK: cos x 0 sin 2x 0 x ,k Z 2 sin 2x 0 x l 2cos4x 2cos2x 2cos4x 6 cot x tan x cos4x cos2x l ,l Z sin 2x sin 2x sin 2x x 3 Kiểm tra điều kiện ta được x l ,l Z 3 4cos3x 2cos2 x 2sin x 1 sin 2x 2 sin x cos x Ví dụ 7. Giải phương trình: 0 (7) 2sin2 x 1 Giải. k ĐK: 2sin2 x 1 0 cos2x 0 x ,k Z 4 2 7 4cos2 x sin x cos x 2cos x sin x cos x 2 sin x cos x 0 x m 4 2 sin x cos x cos x 1 2cos x 1 0 x m2 ,m Z 2 x m2 3 m2 Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm x ,m Z 3 2 Ví dụ 8. Giải phương trình: 3tan3x cot 2x 2tan x (8) sin 4x Giải 59
4. cos3x 0 k x sin2x 0 6 3 ĐK: ,k Z (*) cos x 0 k x sin 4x 0 4 2 2sin 2x cos x 2 8 2 tan3x tan x tan3x cot 2x sin 4x cos3xcos x cos3xsin 2x sin 4x 4sin 4xsin x 2cos2xcos x 2cos3x 4sin 4xsin x cos3x cos x 2cos3x 4sin 4xsin x cos3x cos x 8sin 2xcos2xsin x 2sin 2xsin x do (*) 1 1 1 cos2x x arccos m ,m Z 4 2 4 Nghiệm này thỏa mãn ĐK BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1)cos3x cos2x cos x 1 0 2) 2 2 sin x cos x 1 12 1 1 3)(1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x 4)sin 2x sin x 2cot 2x sin 2x 2sin x 5)sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0 2 x 6) tan x cos x cos x sin x 1 tan x tan 2 3 1 2 cos x sin x 7)2 2cos x 3cos x sin x 0 8) 4 tan x cot 2x cot x 1 1 9)cos xcos2xcos3x sin xsin 2xsin3x 2 3 3 10)sin x cos x cos2x tan x tan x 4 4 11) tan x tan 2x sin3xcos2x 2 2 x 7 12)sin xcos4x sin 2x 4sin 4 2 2 x x 2 2 x 13)sin sin x cos sin x 1 2cos 2 2 4 2 14)2sin x cot x 2sin 2x 1 sin2 3x 15)sin2 x cos3xsin3 x sin3xcos3 x sin xsin2 3x 3sin 4x 60