›
›
›

Bài tập Toán Lớp 12 - Thể tích khối lăng trụ (Có lời giải)

docx 51 trang Hàn Vy 03/03/2023 2561
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Toán Lớp 12 - Thể tích khối lăng trụ (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_toan_lop_12_the_tich_khoi_lang_tru_co_loi_giai.docx

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 - Thể tích khối lăng trụ (Có lời giải)

  1. CHỦ ĐỀ 5 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ I. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Thể tớch Diện tớch xung quanh Diện tớch toàn phần KHỐI LĂNG V B.h S = Tổng diện tớch cỏc mặt bờn S = S + Diện tớch 2 mặt đỏy TRỤ + B là diện tớch đỏy xq tp xq + h là đường cao lăng trụ Chỳ ý: 1. Thể tớch khối hỡnh hộp chữ nhật: V = a.b.c ị Thể tớch khối lập phương: V = a3 a a a b a c Hỡnh hộp chữ nhật Hỡnh lập phương 2. Hỡnh lăng trụ đều là hỡnh lăng trụ đứng cú đỏy là đa giỏc đều + Hỡnh lăng trụ tam giỏc đều là hỡnh lăng trụ đứng cú đỏy là tam giỏc đều. + Hỡnh lăng trụ tứ giỏc đều là hỡnh lăng trụ đứng cú đỏy là hỡnh vuụng. II. CÁC CễNG THỨC TÍNH NHANH TỈ LỆ THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ 1. Khối trụ tam giỏc Bài toỏn 1: Gọi V là thể tớch khối lăng trụ, V4 là thể tớch khối chúp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của V 1 lăng trụ. Khi đú: 4 . V 3 V 1 Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A' B 'C '. Khi đú: C.A'B'C ' . VABC.A'B'C ' 3 Bài toỏn 2: Gọi V là thể tớch khối lăng trụ, V5 là thể tớch khối chúp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của V 2 lăng trụ. Khi đú: 5 . V 3
  2. V 2 Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A' B 'C '. Khi đú: A'B' ABC . VABC.A'B'C ' 3 Bài toỏn 3: Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A' B 'C '. Mặt phẳng cắt cỏc đường thẳng AA', BB ',CC ' AM BN CP V a b c lần lượt tại M , N, P sao cho a, b, c thỡ ABC.MNP AA' BB ' CC ' VABC.A'B'C ' 3 2. Khối hộp Bài toỏn 1: Gọi V là thể tớch khối hộp, V4 là thể tớch khối chúp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối V 1 hộp và 4 đỉnh này thuộc hai đường chộo của hai mặt song song . Khi đú: 4 . V 3 Bài toỏn 2: Gọi V là thể tớch khối hộp, V4 là thể tớch khối chúp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối V 1 hộp ( trừ trường hợp 4 đỉnh này thuộc hai đường chộo của hai mặt song song) . Khi đú: 4 . V 6 Bài toỏn 3: Gọi V là thể tớch khối hộp, V5 là thể tớch khối chúp tạo thành từ 5 trong 8 đỉnh của khối V 1 hộp (1 đỉnh thuộc mặt phẳng đỏy, 4 đỉnh cũn lại thuộc mặt phẳng đỏy cũn lại). Khi đú: 5 . V 3 Bài toỏn 4: Cho hỡnh hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Mặt phẳng cắt cỏc đường thẳng AA', BB ',CC ', DD ' lần AM BQ CP DN lượt tại M ,Q, P, N sao cho a, b, c, d và a c b d thỡ: AA' BB ' CC ' DD '
  3. V a b c d a c b d ABCD.MQPN VABCD.A'B'C 'D' 4 2 2 V Chỳ ý: Hai khối đa diện đồng dạng với tỉ số k thỡ tỉ lệ thể tớch của chỳng là k 3 hay 1 k 3 V2 DẠNG 1 Lí THUYẾT VÀ VẬN DỤNG MỨC ĐỘ TRUNG BèNH
  4. Cõu 1. (Đề thi THPT Quốc Gia – Năm 2022 –Mó đề 101, 102) Cho khối lăng trụ cú diện tớch đỏy 3a2 và chiều cao 2a . Thể tớch khối lăng trụ đó cho bằng: A. a3 . B. 6a3 . C. 3a3 . D. 2a3 . Lời giải Chọn B. Thể tớch khối lăng trụ: V B.h 3a2 .2a 6a3 . Cõu 2. (Đề thi THPT Quốc Gia – Năm 2022 –Mó đề 103, 104) Cho khối chúp và khối lăng trụ cú diện tớch đỏy, chiều cao tương ứng bằng nhau và cú thể tớch lần lượt là V1 V1 ,V2 . Tỉ số bằng V2 2 3 1 A. .B. 3 .C. .D. . 3 2 3 Lời giải Chọn D. Gọi diện tớch đỏy và chiều cao tương ứng của khối chúp và khối lăng trụ là B và h . 1 V Bh V 1 Ta cú 1 3 1 . V 3 2 V2 Bh Cõu 3. Thể tớch khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và cú chiều cao h là 4 1 A. V B.h . B. V Bh . C. V Bh . D. V 3Bh . 3 3 Lời giải Chọn A Thể tớch khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và cú chiều cao h là: V B.h . Cõu 4. Chiều cao của khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và thể tớch V là 3V V B V A. h . B. h . C. h . D. h . B 3B V B Lời giải Chọn D V Chiều cao của khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và thể tớch V là: h . B Cõu 5. Diện tớch đỏy của khối lăng trụ cú thể tớch V và cú chiều cao h là 3V 3h V h A. B . B. B . C. B . D. B . h V h V Lời giải Chọn C V Diện tớch đỏy của khối lăng trụ cú thể tớch V và cú chiều cao h là: B . h
  5. Cõu 6. Thể tớch khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và cú chiều cao 2h là A. V 2B.h . B. V B.h . C. V 6Bh . D. V 3Bh . Lời giải Chọn A Thể tớch khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và cú chiều cao 2h là: V B.2h 2B.h . Cõu 7. Thể tớch khối lăng trụ như thế nào khi tăng diện tớch đỏy lờn 2 lần và giảm chiều cao 2 lần? A. tăng lờn 2 lần. B. giảm 4 lần. C. tăng lờn 4 lần. D. giữ nguyờn. Lời giải Chọn D Thể tớch khối lăng trụ ban đầu cú diện tớch đỏy B và cú chiều cao h là: V B.h . h Thể tớch khối lăng trụ sau tăng diện tớch đỏy lờn 2 lần và giảm chiều cao 2 lần: V 2B. B.h . 2 Cõu 8. Chiều cao của khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và thể tớch 3V là 6V V V 3V A. h . B. h . C. h . D. h . B 3B B B Lời giải Chọn D 3V Chiều cao của khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và thể tớch 3V là: h . B Cõu 9. Diện tớch đỏy của khối lăng trụ cú thể tớch V và cú chiều cao 3h là 3V 3h V V A. B . B. B . C. B . D. B . h V 3h h Lời giải Chọn C V Diện tớch đỏy của khối lăng trụ cú thể tớch V và cú chiều cao 3h là: B . 3h Cõu 10. Cho khối lập phương cú cạnh bằng 6 . Thể tớch của khối lập phương đó cho bằng A. 216 . B. 18. C. 36 . D. 72 . Lời giải Chọn A Thể tớch khối lập phương cú cạnh bằng 6 là V 63 216 . Cõu 11. Cho khối hộp chữ nhật cú 3 kớch thước 3;4;5 . Thể tớch của khối hộp đó cho bằng? A. 10. B. 20 . C. 12. D. 60 . Lời giải Chọn D. Thể tớch của khối hộp đó cho bằng V 3.4.5 60 Cõu 12. Thể tớch khối lăng trụ như thế nào khi tăng diện tớch đỏy lờn 4 lần và tăng chiều cao 4 lần?
  6. A. tăng lờn 16 lần. B. giảm 8 lần. C. tăng lờn 4 lần. D. giữ nguyờn. Lời giải Chọn A Thể tớch khối lăng trụ ban đầu cú diện tớch đỏy B và cú chiều cao h là: V B.h . Thể tớch khối lăng trụ sau khi tăng diện tớch đỏy lờn 4 lần và tăng chiều cao 4 lần: V 4B.4h 16B.h . Cõu 13. Cho khối hộp hỡnh chữ nhật cú ba kớch thước 2; 4; 6 . Thể tớch của khối hộp đó cho bằng A. .1 6 B. . 12 C. . 48 D. . 8 Lời giải Chọn C Thể tớch của khối hộp đó cho bằng 2.4.6 48. Cõu 14. Cho khối lăng trụ cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a và chiều cao bằng 4a . Thể tớch của khối lăng trụ đó cho bằng 16 4 A. 16a3 B. 4a3 C. a3 D. a3 3 3 Lời giải Chọn B 2 3 V Sday .h a .4a 4a . Cõu 15. Cho khối lăng trụ cú diện tớch đỏy bằng a2 3 , khoảng cỏch giữa hai đỏy của lăng trụ bằng a 6 . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ a3 2 3a3 2 A. V 3a3 2 B. V a3 2 C. V D. V 3 4 Lời giải Chọn A Thể tớch khối lăng trụ là V B.h a2 3.a 6 3a3 2 Cõu 16. Hỡnh lập phương cú độ dài đường chộo bằng 6 thỡ cú thể tớch là A. 2 2 . B. 54 2 . C. 24 3 . D. 8 . Lời giải Chọn C Gọi cạnh của hỡnh lập phương là a(a > 0). ị đường chộo của hỡnh lập phương là a 3 . Theo bài ra ta cú: a 3 = 6 ị a = 2 3 . 3 Vậy thể tớch của khối lập phương là: V = (2 3) = 24 3 . Cõu 17. Tớnh thể tớch V của khối lập phương ABCD.A B C D , biết AC a 3 . 3 6a3 1 A. V a3 B. V C. V 3 3a3 D. V a3 4 3 Lời giải
  7. Chọn A Giả sử khối lập phương cú cạnh bằng x; x 0 Xột tam giỏc A' B 'C ' vuụng cõn tại B ' ta cú: A'C '2 A' B '2 B 'C '2 x2 x2 2x2 A'C ' x 2 Xột tam giỏc A' AC ' vuụng tại A' ta cú AC '2 A' A2 A'C '2 3a2 x2 2x2 x a Thể tớch của khối lập phương ABCD.A B C D là V a3 . Cõu 18. Lăng trụ tam giỏc đều cú độ dài tất cả cỏc cạnh bằng 3. Thể tớch khối lăng trụ đó cho bằng: 27 3 9 3 9 3 27 3 A. . B. . C. . D. 4 2 4 2 Lời giải Chọn A 32 3 9 3 Đỏy hỡnh lăng trụ là tam giỏc đều cạnh bằng 3 nờn S . 4 4 Chiều cao của hỡnh lăng trụ bằng h 3 9 3 27 3 Thể tớch V S.h .3 . 4 4 Cõu 19. Cho khối hộp chữ nhật cú cạnh bờn bằng 5 , đỏy là hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằng 16. Hỏi thể tớch khối hộp chữ nhật bằng: 80 A. 21. B. 64 . C. 80 . D. . 3 Lời giải Chọn C Khối hộp chữ nhật cú cạnh bờn bằng 5 nờn cú chiều cao h = 5. Thể tớch khối lăng trụ là: V = SABCD .h = 16.5 = 80. Cõu 20. Cho khối lăng trụ cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a và chiều cao bằng 4a . Thể tớch của khối lăng trụ đó cho bằng 16 4 A. 16a3 B. 4a3 C. a3 D. a3 3 3 Lời giải Chọn B
  8. 2 3 V Sday .h a .4a 4a . Cõu 21. Cho khối lăng trụ cú diện tớch đỏy bằng a2 3 , khoảng cỏch giữa hai đỏy của lăng trụ bằng a 6 . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ a3 2 3a3 2 A. V 3a3 2 B. V a3 2 C. V D. V 3 4 Lời giải Chọn A Thể tớch khối lăng trụ là V B.h a2 3.a 6 3a3 2 DẠNG 2 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG MỨC ĐỘ TRUNG BèNH Cõu 22. Hỡnh lập phương cú độ dài đường chộo bằng 6 thỡ cú thể tớch là A. 2 2 . B. 54 2 . C. 24 3 . D. 8 . Lời giải Chọn C Gọi cạnh của hỡnh lập phương là a(a > 0).
  9. ị đường chộo của hỡnh lập phương là a 3 . Theo bài ra ta cú: a 3 = 6 ị a = 2 3 . 3 Vậy thể tớch của khối lập phương là: V = (2 3) = 24 3 . Cõu 23. Tớnh thể tớch V của khối lập phương ABCD.A B C D , biết AC a 3 . 3 6a3 1 A. V a3 B. V C. V 3 3a3 D. V a3 4 3 Lời giải Chọn A Giả sử khối lập phương cú cạnh bằng x; x 0 Xột tam giỏc A' B 'C ' vuụng cõn tại B ' ta cú: A'C '2 A' B '2 B 'C '2 x2 x2 2x2 A'C ' x 2 Xột tam giỏc A' AC ' vuụng tại A' ta cú AC '2 A' A2 A'C '2 3a2 x2 2x2 x a Thể tớch của khối lập phương ABCD.A B C D là V a3 . Cõu 24. Thể tớch của khối lăng trụ tam giỏc đều cú tất cả cỏc cạnh bằng a . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V B. V C. V D. V 12 2 4 6 Lời giải Chọn C h a a3 3 a2 3 V h.S . S 4 4 Cõu 25. Lăng trụ tam giỏc đều cú độ dài tất cả cỏc cạnh bằng 3. Thể tớch khối lăng trụ đó cho bằng: 27 3 9 3 9 3 27 3 A. . B. . C. . D. 4 2 4 2 Lời giải Chọn A 32 3 9 3 Đỏy hỡnh lăng trụ là tam giỏc đều cạnh bằng 3 nờn S . 4 4 Chiều cao của hỡnh lăng trụ bằng h 3
  10. 9 3 27 3 Thể tớch V S.h .3 . 4 4 Cõu 26. Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC. A’B’C’ cú AB 2a, AA' a 3 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC. A’B’C’. 3a3 a3 A. 3a3 . B. a3 . C. . D. . 4 4 Lời giải Chọn A Lăng trụ ABC. A’B’C’ là lăng trụ đều nờn ABC là tam giỏc đều và AA'  ABC . • AA'  ABC chiều cao của lăng trụ là: h AA' a 3 . • ABC là tam giỏc đều cú AB 2a ABC diện tớch là: AB 2 3 2a 2 3 S a2 3 . ABC 4 4 2 3 Thể tớch khối lăng trụ là: VS.ABC h.S ABC a 3.a 3 3a . Cõu 27. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cú diện tớch mặt chộo ACC A bằng 2 2a2 . Thể tớch của khối lập phương ABCD.A B C D là: a3 3 A. . B. a3 . C. 2a3 2 . D. 2a3 3 . 3 Lời giải Chọn C
  11. Giả sử hỡnh lập phương cú cạnh bằng x x 0 . Xột ABC vuụng tại B cú: AC AB2 BC 2 x2 x2 x 2 2 Ta cú SACC A AA .AC x.x 2 2 2a x a 2 . 3 3 Vậy VABCD.A B C D a 2 2a 2 . Cõu 28. Cho hỡnh lập phương ABC D.A B C D cú diện tớch tam giỏc ACD bằng a2 3 . Tớnh thể tớch V của hỡnh lập phương. A.V 3 3a3 . B. V 2 2a3 . C. V a3 . D. V 8a3 . Lời giải Chọn B A' D' B' C' A D O B C Giả sử cạnh của hỡnh lập phương cú độ dài là x . x 6 Ta cú AC x 2 , OD OD2 A A2 2 1 1 x 6 x2 3 Diệntớchtamgiỏc ACD là S OD .AC x 2. . ACD 2 2 2 2 x2 3 x2 Khi đú, ta cú a2 3 a2 x a 2 . 2 2 VậyV x3 2a3 2 . Cõu 29. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cú diện tớch tam giỏc ACD bằng a2 3 . Tớnh thể tớch V của hỡnh lập phương. A. V 3 3a3 .B. V 2 2a3 . C. V a3 . D. V 8a3 . Lời giải Chọn B
  12. A' D' B' C' A D O B C Giả sử cạnh của hỡnh lập phương cú độ dài là x . x 6 Ta cú AC x 2 , OD OD2 A A2 2 1 1 x 6 x2 3 Diện tớch tam giỏc ACD là S OD .AC x 2. . ACD 2 2 2 2 x2 3 x2 Khi đú, ta cú a2 3 a2 x a 2 . 2 2 Vậy V x3 2a3 2 . Cõu 30. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D cú AB 3 , AD 4 , A A 5. Thể tớch khối hộp đó cho bằng: A. 20 . B. 60 . C. 30 . D. 16. Lời giải Chọn B A D B C A' D' B' C' Ta cú SABCD AB.AD 3.4 12 . Thể tớch khối hộp đó cho bằng VABCD.A B C D A A.SABCD 5.12 60 . Cõu 31. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D cú AB 3 , AD 4 , A C 13 . Thể tớch khối hộp đó cho bằng: A. 156. B. 144. C. 120. D. 116 . Lời giải Chọn B
  13. A D B C A' D' B' C' Ta cú SABCD AB.AD 3.4 12 ; AA A C2 AC2 A C2 AB2 BC2 132 32 42 12. Thể tớch khối hộp đó cho bằng VABCD.A B C D A A.SABCD 12.12 144 . Cõu 32. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D cú đỏy AD 3, AB 4 , đường chộo ABÂ của mặt bờn (ABBÂAÂ) cú độ dài bằng 5 . Tớnh thể tớch của khối hộp đó cho. A. V = 36 . B. V = 45. C. V = 18 . D. V = 48. Lời giải Chọn A D A C B 5 D' A' C' 3 B' . 2 2 Xột tam giỏc vuụng AAÂBÂ cú AAÂ= ABÂ - AÂBÂ = 3 và cú diện tớch đỏy SABCD = 3.4 = 12 Thể tớch của khối hộp đó cho là VABCD.AÂBÂCÂDÂ = 12.3 = 36 . Cõu 33. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.AÂBÂCÂDÂcú AB = a , AC = 2a , biết tam giỏc AÂAC là tam giỏc vuụng cõn tại A . Thể tớch khối hộp đó cho bằng: 2 3a3 3 3a3 A. . B. 2 3a3 . C. 3a3 . D. . 3 2 Lời giải Chọn B A D B C A' D' B' C'
  14. 2 2 2 2 2 Ta cú: AD = AC - AB = 4a - a = a 3 ị SABCD = AB.AD = a.a 3 = a 3 . Tam giỏc AÂAC vuụng cõn tại A nờn AÂA = AC = 2a . Â 2 3 Thể tớch khối hộp đó cho là VABCD.AÂBÂCÂDÂ = A A.SABCD = 2a.a 3 = 2 3a . Cõu 34. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.AÂBÂCÂDÂcú AB = 3a , AD = 4a , biết tứ giỏc BBÂDÂD là hỡnh vuụng. Thể tớch khối hộp đó cho bằng: A. 20a3 . B. 60a3 . C. 12a3 . D. 30a3 . Lời giải Chọn B A D B C A' D' B' C' 2 Diện tớch đỏy SABCD AB.AD 3a.4a 12a . Ta cú BD = AB2 + AD2 = (3a)2 + (4a)2 = 5a Do tứ giỏc BBÂDÂD là hỡnh vuụng nờn cú BBÂ= BD = 5a . Â 2 3 Thể tớch khối hộp đó cho là VABCD.AÂBÂCÂDÂ = BB .SABCD = 5a.12a = 60a . Cõu 35. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.AÂBÂCÂDÂcú AB = 3a , BC = 4a , biết tam giỏc AÂBC là tam giỏc vuụng cõn tại B . Thể tớch khối hộp đó cho bằng: A. 20a3 . B. 12a3 7 . C. 4a3 7 . D. 60a3 . Lời giải Chọn B A' D' B' C' A D B C 2 Diện tớch đỏy SABCD AB.AD 3a.4a 12a . Do tam giỏc AÂBC là tam giỏc vuụng cõn tại B nờn cú AÂB = BC = 4a . Ta cú AAÂ= AÂB2 - AB2 = (4a)2 - (3a)2 = a 7
  15. Â 2 3 Thể tớch khối hộp đó cho là VABCD.AÂBÂCÂDÂ = AA .SABCD = a 7.12a = 12a 7 . Cõu 36. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D cú đỏy AB 3, AD 4 . Biết đường thẳng AC tạo với mặt phẳng ABCD gúc 45. Thể tớch khối hộp đó cho bằng: A. 60 . B. 48 . C. 30 . D. 20 . Lời giải Chọn A A D B C A' D' B' C' Diện tớch đỏy SABCD AB.AD 3.4 12. Ta cú AA  ABCD AC , ABCD ãAC A 45; A C A B 2 B C 2 5 A A A C .tan 45 5 . Thể tớch khối hộp đó cho là VABCD.A B C D SABCD .AA 12.5 60 . Cõu 37. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D cú đỏy AB 3, AD 4 . Biết đường thẳng AB tạo với mặt phẳng ABCD gúc 45. Thể tớch khối hộp đó cho bằng: A. 36. B. 48 . C. 30 . D. 20 . Lời giải Chọn A Diện tớch đỏy SABCD AB.AD 3.4 12. Ta cú AA  ABCD AB , ABCD ãAB A 45 nờn A A A B .tan 45 3. Thể tớch khối hộp đó cho là VABCD.A B C D SABCD .AA 12.3 36 . Cõu 38. Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A B C D cú AB 3a, AD 4a . Đường thẳng A C tạo với mặt phẳng (A B BA) một gúc 300 . Thể tớch khối hộp chữ nhật đó cho bằng:
  16. A. 6a3 39 .B. a3 39 .C. 18a3 39 . D. 2a3 39 . Lời giải Chọn A A' D' B' C' A D B C 2 Diện tớch đỏy SABCD AB.AD 3a.4a 12a . BC  AB ã 0 Ta cú BC  (ABB A ) A C; ABB A Cã A B 30 BC  B B Khi đú A B.tan30 BC 4a A B 4a 3 . Do vậy A A A B2 AB2 a 39 . 3 Vậy thể tớch khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D là VABCD.A B C D A A.SABCD 6a 39 . Cõu 39. Cho hỡnh hộp chữ nhật cú diện tớch ba mặt lần lượt là 6a2 ;8a2 ;12a2 . Tớnh thể tớch khối hộp chữ nhật đú. A. 8a3 . B. 12a3 . C. 24a3 . D. 18a3 Lời giải Chọn C Gọi ba kớch thước của hỡnh hộp chữ nhật là x; y; z , điều kiện: x; y; z 0 . Diện tớch ba mặt của hỡnh hộp chữ nhật lần lượt là xy; yz; zx . Theo giả thiết ta cú: xy.yz.zx 6a2.8a2.12a2 (xyz)2 576a6 xyz 24a3 . Vậy thể tớch khối hộp chữ nhật là: V xyz 24a3 . Cõu 40. Tớnh thể tớch V của khối chữ nhật ABCD.A B C D biết rằng AB a , AD 2a , AC a 14 . a3 14 A. V a3 5 . B. V . C. V 2a3 . D. V 6a3 . 3 Lời giải Chọn D
  17. A ' D ' B ' C' a 14 2a A a D B C Ta cú: AC 2 AB2 AD2 AA 2 AA AC 2 AB2 AD2 AA 14a2 4a2 a2 3a . Thể tớch khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D là V AB.AD.AA 6a3 . Cõu 41. Cho khối lăng trụ đứng ABC.AÂBÂCÂ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a và AA 2a . Thể tớch của khối lăng trụ đó cho bằng 3a3 3a3 3a3 A. . B. . C. 3a3. D. . 2 6 3 Lời giải Chọn A a2 3 Tam giỏc ABC đều cạnh a nờn S = DABC 4 Do khối lăng trụ ABC.AÂBÂCÂ là lăng trụ đứng nờn đường cao của lăng trụ là AA 2a a2 3 3a3 Thể tớch khối lăng trụ là V = AAÂ.S = 2a. = . DABC 4 2 Cõu 42. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C cú B C 3a , đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B và AC a 2 . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ đứng ABC.A B C . 2a3 a3 A. V 2a3 . B. V 2a3 . C. V . D. V . 3 6 2 Lời giải Chọn C
  18. AC a 2 Đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B và AC a 2 BC AC a . 2 2 2 BB C vuụng tại B BB B C BC 2 9a2 a2 2a 2 . 1 1 1 2a3 V  BB  S 2a 2  a2 . 3 ABC 3 2 3 2a3 Vậy thể tớch của khối lăng trụ đứng ABC.A B C là V . 3 Cõu 43. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.AÂBÂCÂ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A , biết AB = a , AC = 2a và AÂB = 3a . Tớnh thể tớch của khối lăng trụ ABC.AÂBÂCÂ. 2 2a3 5a3 A. . B. . C. 5a3 . D. 2 2a3 . 3 3 Lời giải Chọn D A' C' 3a B' 2a A C a B 1 1 + Diện tớch đỏy là S = AB.AC = .a.2a = a2 . ABC 2 2 2 + Tam giỏc ABAÂ vuụng tại A nờn cú AAÂ= AÂB2 - AB2 = (3a) - a2 = 2a 2 . 2 3 + Thể tớch cần tớnh là: V = SABC .AAÂ= a .2a 2 = 2 2a . Cõu 44. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABCD.AÂBÂCÂDÂ cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AB = a , AD = a 2 , ABÂ= a 5 . Tớnh theo a thể tớch V của khối lăng trụ đó cho.
  19. 2a3 2 A. V = a3 2 . B. V = 2a3 2 . C. V = a3 10 . D. V = . 3 Lời giải Chọn B 2 SABCD = AB.AD = a.a 2 = a 2 . 2 Trong tam giỏc ABBÂ, BBÂ= ABÂ2 - AB2 = (a 5) - a2 = 2a . 2 3 Vậy V = BBÂ.SABCD = 2a.a 2 = 2a 2 . Cõu 45. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a và AA' 2a (minh họa như hỡnh vẽ bờn dưới). Thể tớch của khối lăng trụ đó cho bằng 6a3 6a3 6a3 6a3 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 12 Lời giải Chọn B a2 3 Ta cú: S . ABC 4 a2 3 a3 6 Vậy thể tớch của khối lăng trụ đó cho là: V S .AA .a 2 . ABC.A B C ABC 4 4 Cõu 46. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C cú BB a , đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B và AC a 2 . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ đó cho.
  20. a3 a3 a3 A. V B. V C. V a3 D. V 3 2 6 Lời giải Chọn B AC 1 Tam giỏc ABC vuụng cõn tại B AB BC a . Suy ra: S a2 . 2 ABC 2 1 a3 Khi đú: V S .BB a2.a ABC.A B C ABC 2 2 Cõu 47. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A' B'C ' cú đỏy là tam giỏc đều cạnh 2a và AA' 3a (minh họa như hỡnh vẽ bờn). A' C' B' A C B Thể tớch của khối lăng trụ đó cho bằng A. 6 3a3 . B. 3 3a3 . C. 2 3a3. D. 3a3 . Lời giải Chọn B (2a)2 3 Khối lăng trụ đó cho cú đỏy là tam giỏc đều cú diện tớch là và chiều cao là AA' 3a (do là lăng 4 (2a)2 3 trụ đứng) nờn cú thể tớch là .3a 3 3a3 4 Cõu 48. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a và AA' 3a (minh họa hỡnh vẽ bờn). Thể tớch khối lăng trụ đó cho bằng.
  21. A' C' B' A C B a3 a3 3a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2 Lời giải Chọn C a2 3 Ta cú S ; AA' a 3 . ABC 4 3 3a3 Từ đú suy ra V a 3.a2 . 4 4 Cõu 49. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.AÂBÂCÂ cú đỏy là tam giỏc vuụng cõn tại B , AB = a và AÂB = a 3 . Thể tớch khối lăng trụ ABC.AÂBÂCÂ là a3 3 a3 a3 a3 2 A. B. C. D. 2 6 2 2 Lời giải Chọn D A' C' B' a 3 A C a B 1 a2 Ta cú AAÂ= AÂB2 - AB2 = a 2 , S = AB2 = . ABC 2 2 a3 2 Thể tớch khối lăng trụ là V = AAÂ.S = . ABC 2 Cõu 50. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a , A' B tạo với mặt phẳng đỏy một gúc 60o . Thể tớch khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' bằng 3a3 a3 3a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 8 Lời giải Chọn C
  22. a2 3 Đỏy là tam giỏc đều cạnh a , cú diện tớch: S = . DABC 4 Vỡ AA' ^ (ABC)ị ãA' BA = (A' B,(ABC))= 60o , suy ra: AA' = AB tan 60o = a 3 Vậy thể tớch khối lăng trụ: a2 3 3a3 V = S .AA' = .a 3 = . ABC.A'B'C ' DABC 4 4 Cõu 51. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABCD.A' B 'C ' D ' , đỏy là hỡnh thang vuụng tại A và D , cú AB 2CD, AD CD a 2, AA' 2a . A' B' 2a C' D' A B a 2 D a 2 C Thể tớch khối lăng trụ đó cho bằng A. 12a3 . B. 6a3 . C. 2a3 . D. 4a3 . Lời giải Chọn B A' B' 2a C' D' A B a 2 D a 2 C
  23. Diện tớch hỡnh thang ABCD là: AB CD .AD 2CD CD .AD 3CD.AD 3.a 2.a 2 S 3a2 . ABCD 2 2 2 2 2 3 Thể tớch khối lăng trụ đó cho: V SABCD .AA 3a .2a 6a . Cõu 52. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABCD.A B C D cú đỏy là hỡnh thoi, biết AA 4a, AC 2a, BD a . Thể tớch V của khối lăng trụ là 8 A. V 8a3 . B. V 2a3 . C. V a3 . D. V 4a3 . 3 Lời giải Chọn D 1 1 Thể tớch V của khối lăng trụ là: V S .AA .AC.BD.AA .2a.a.4a 4a3 . ABCD 2 2 Cõu 53. Tớnh thể tớch khối lăng trụ đứng ABC.A B C biết AA 2a; AB 3a; AC 4a và AB  AC . A. 12a3 . B. 4a3 . C. 24a3 . D. 8a3 . Lời giải Chọn A
  24. 1 1 Ta cú: S AB.AC 3a.4a 6a2 . ABC 2 2 3 Vậy VABC.A B C AA .SABC 12a . Cõu 54. Cho hỡnh hộp đứng cú một mặt là hỡnh vuụng cạnh a và một mặt cú diện tớch là 3a2 . Thể tớch khối hộp là A. a3 . B. 3a3 . C. 2a3 . D. 4a3 . Lời giải Chọn B Giả sử mặt ABB' A' là hỡnh vuụng cạnh bằng a , mặt ABCD cú diện tớch bằng 3a2 . 2 Do đú chiều cao h AA' a , diện tớch đỏy là B SABCD 3a . Suy ra thể tớch của khối hộp đú là V 3a2a 3a3 . Cõu 55. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A B C D , biết AB a; BC 2a; AC a 21 .
  25. Tớnh thể tớch V của khối hộp đú? 8 A. 4a3 . B. 16a3 . C. a3 . D. 8a3 . 3 Lời giải Chọn D Xột tam giỏc vuụng ABC , ta cú: AC AB2 BC 2 a 5 . Xột tam giỏc vuụng ACC , ta cú: CC AC 2 AC 2 4a . Vậy thể tớch của khối hộp hộp chữ nhật ABCD. A B C D là: V a.2a.4a 8a3 . Cõu 56. Cho hỡnh hộp đứng cú cạnh bờn độ dài 3a , đỏy là hỡnh thoi cạnh a và cú một gúc 60 . Khi đú thể tớch khối hộp là 3a3 3 a3 3 a3 3 3a3 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 2 Lời giải Chọn D Ta cú chiều cao h 3a . a2 3 a2 3 Hỡnh thoi cạnh a và cú một gúc 60 cú diện tớch S 2. 4 2 3a3 3 Thể tớch khối hộp là V S.h . 2 Cõu 57. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D cú AA a, AB 3a, AC 5a . Thể tớch của khối hộp đó cho là A. 5a 3 . B. 4a 3 . C. 12a 3 . D. 15a 3 . Lời giải Chọn C 2 2 Xột ABC vuụng tại B , ta cú: BC AC 2 AB2 5a 3a 4a . 2 SABCD AB.BC 3a.4a 12a 2 3 VABCD.A B C D SABCD . AA 12a .a 12a .
  26. Cõu 58. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A B C cú BB a , đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B, AC a 2 . Tớnh thể tớch lăng trụ a3 a3 a3 A. . B. . C. a3 . D. . 3 6 2 Lời giải Chọn D 2 Trong ABC : AC 2 AB2 BC 2 2AB2 a 2 AB BC a. 1 a3 Thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C là: V S .BB AB.BC.BB . ABC.A B C ABC 2 2 Cõu 59. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABCD.AÂBÂCÂDÂ, cú ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a , cạnh ACÂ= 2a 3 .Thể tớch khối lăng trụ ABC.AÂBÂCÂ bằng A. 4a3 . B. 3a3 . C. 2a3 . D. a3 . Lời giải Chọn A Ta cú: ACÂ2 = AB2 + AD2 + AAÂ2 ị AAÂ2 = 4a2 ị AAÂ= 2a .
  27. Thể tớch khối lăng trụ ABC.AÂBÂCÂlà 1 1 V = .AB.AD.AAÂ= .2a.2a.2a = 4a3 . ABC.AÂBÂCÂ 2 2 Cõu 60. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A với BC a và mặt bờn AA' B' B là hỡnh vuụng. Thể tớch khối lăng trụ ABC.A' B'C' bằng 2 2 1 1 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. a3 . 8 4 4 12 Lời giải Chọn A. A B a C A' B' C' BC 2 a 2 1 a2 Tam giỏc ABC vuụng cõn tại A AB S AB2 . 2 2 ABC 2 4 a 2 Mặt bờn AA' B' B là hỡnh vuụng AA' AB . 2 a 2 a2 a3 2 Vậy V AA'.S . . ABC. A ' B' C " ABC 2 4 8 Cõu 61. Cho khối đa diện (kớch thước như hỡnh vẽ bờn) được tạo bởi ba hỡnh chữ nhật và hai tam giỏc bằng nhau. Tớnh thể tớch khối đa diện đó cho. A. 48cm3 . B. 192cm3 . C. 32cm3 . D. 96cm3 . Lời giải Chọn D
  28. Từ giả thiết, suy ra khối đa diện là một khối lăng trụ đứng cú đỏy là tam giỏc và cỏc mặt bờn là hỡnh chữ nhật. 1 Thể tớch khối đa diện là V .6.4.8 96 cm3 . 2 Cõu 62. Cho khối lăng trụ tam giỏc đều cú tất cả cỏc cạnh bằng a . Thể tớch khối lăng trụ đú bằng a3 6 a3 2 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 12 Lời giải Chọn C a2 3 a2 3 a3 3 Diện tớch đỏy S , chiều cao h a . Khi đú V a . 4 4 4 Cõu 63. Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C cú AB 2a, AA a 3 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C . a3 3a3 A. 3a3 . B. . C. . D. a3 . 4 4 Lời giải Chọn A 2a 2 3 Thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C : V AA .S a 3. 3a3 . ABC 4 Cõu 64. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A B C D cú đỏy là hỡnh thoi cạnh a , BD a 3 và AA 4a (minh họa như hỡnh bờn). Thể tớch của khối lăng trụ đó cho bằng
  29. 2 3a3 4 3a3 A. 2 3a3 . B. 4 3a3 . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn A BD a 3 Gọi I AC  BD . Ta cú: AC  BD, BI . Xột tam giỏc vuụng BAI vuụng tại I : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 3 2 3a a a AI BA BI a a AI AC a. 2 4 4 2 1 1 a 3 a2 3 Diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD : S 2S 2. BI.AC 2. .a . ABCD ABC 2 2 2 2 a2 3 Vậy: V S .AA .4a 2 3a3. ABCD.A B C D ABCD 2 MỨC ĐỘ KHÁ GIỎI Cõu 65. (Đề thi THPT Quốc Gia – Năm 2022 –Mó đề 101) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A , AB 2a . Gúc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ACC A bằng 300 . Thể tớch của khối lăng trụ đó cho bằng A. 3a3 . B. a3 . C. 12 2a3 . D. 4 2a3 . Lời giải Chọn D.
  30. B' C' A' B C A Ta cú: BA  BC và BA  AA BA  ACC A . Suy ra gúc BC , ACC A BC ,C A Bã C A 300 . Ta giỏc ABC vuụng tại A , cú AC AB.cot ãAC B 2a 3 . Tam giỏc CAC vuụng tại C , cú CC AC 2 AC 2 2a 2 . 1 Thể tớch khối lăng trụ là V B.h AB.AC.CC 4a3 2 . 2 Cõu 66. (Đề thi THPT Quốc Gia – Năm 2022 –Mó đề 102) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A , AB a . Gúc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ACC A bằng 30 . Thể tớch của khối lăng trụ đó cho bằng 1 3 3 2 2 A. a3 . B. a3 .C. a3 .D. a3 . 8 8 2 2 Lời giải Chọn D. 1 a2 Diện tớch đỏy: S AB.AC . ABC 2 2 AB  AC ã ã Ta cú: AB  ACC A BC , ACC A BC A 30. AB  AA
  31. 2 Khi đú AC AB.cot 30 a 3 AA AC 2 A C 2 a 3 a2 a 2 . a2 2 Vậy, thể tớch khối lăng trụ đó cho là: V S .AA .a 2 .a3 . ABC 2 2 Cõu 67. (Đề thi THPT Quốc Gia – Năm 2022 –Mó đề 103) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' cú đỏy A B C là tam giỏc vuụng cõn tại A , cạnh bờn A A 2a , gúc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng 30 . Thể tớch của khối lăng trụ đó cho bằng 3 8 3 8 A. 24a .B. a 3 .C. 8a . D. a 3 . 3 9 Lời giải Chọn A. A' C' B' A C H B Kẻ AH  BC , ta cú AA  ABC nờn AA '  BC . AH  BC và AA '  BC suy ra BC  AA H A H  BC . Suy ra gúc giữa A BC và ABC là ãA HA ãA HA 30 . ΔA ' AH vuụng tại A cú AA 2a 2a tan ãA HA tan 30 AH 2a 3. AH AH tan 30 ΔABC vuụng cõn tại A nờn BC 2AH 4a 3 . 1 1 S AH  BC 2a 3 4a 3 12a2. ABC 2 2 Vậy thể tớch của khối lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' là Cõu 68. (Đề thi THPT Quốc Gia – Năm 2022 –Mó đề 104) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A , cạnh bờn AA 2a , gúc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng 60 . Thể tớch của khối lăng trụ đó cho bằng 8 8 A. a3 . B. 8a3 . C. a3 . D. 24a3 . 9 3 Lời giải
  32. Chọn C. A' C' B' A C I B Gọi I là trung điểm của BC . Ta cú: + ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A nờn AI  BC + ABC.A B C là khối lăng trụ đứng nờn AA  BC suy ra BC  AA I BC  A I . Do đú, gúc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng gúc giữa A I và AI , mà tam giỏc AA I vuụng tại A nờn ta cú ãAIA là gúc nhọn. Suy ra gúc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng ãAIA 60 . AA 2a Trong tam giỏc vuụng AA I , ta cú AI . tan 60 3 4a BC 2a 6 ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A nờn BC 2AI , AB AC . 3 2 3 2 1 1 2a 6 8a3 Vậy thể tớch khối lăng trụ đó cho là V AA .S AA . AB.AC .2a. . ABC 2 2 3 3 Cõu 69. (Đề thi THPT Quốc Gia – Đợt 1 - Năm 2021 –Mó đề 101) Cho khối hộp chữ nhật ABCD  A B C D cú đỏy là hỡnh vuụng, BD 2a , gúc giữa hai mặt phẳng A BD và (ABCD) bằng 30 . Thể tớch khối hộp chữ nhật đó cho bằng 2 3 2 3 A. 6 3a3 . B. a3 C. 2 3a3 D. a3 . 9 3 Lời giải Chọn D.
  33. Gọi O AC  BD . 2 2 2 BD 2a 2 Diện tớch hỡnh vuụng ABCD là SABCD AB 2a . 2 2 Ta cú: A BD ,(ABCD) A O; AO 30 3 Xột tam giỏc A OA vuụng tại A , ta cú: A A tan 30 AO a 3 3 2 3 Thể tớch khối hộp chữ nhật đó cho là V A A S a 2a2 a3 . ABCD 3 3 Cõu 70. (Đề thi THPT Quốc Gia – Đợt 1 - Năm 2021 –Mó đề 102) Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' cú đỏy là hỡnh vuụng, BD 4a , gúc giữa hai mặt phẳng A' BD và ABCD =30o . Thể tớch của khối hộp chữ nhật đa cho bằng ? 16 3 16 3 A. a3 B. 48 3a3 C. a3 D.16 3a3 9 3 Lời giải Chọn C. Gọi O là trung điểm của BD . Ta cú: A' AB A' AD suy ra A' B A' D suy ra A' BD cõn. A' BD  ABCD BD ã o Mà A'O  BD A BD , ABCD ãA OA 30.=30 . AO  BD A A A A A A A A 2a 3 Xột A OA vuụng tại A cú: tan 30o A' A 2a tan 30 . AO AC BD 2a 3 2 2
  34. Xột hỡnh vuụng ABCD cú: BD AB 2 AB 2a 2. 2a 3 2 16 3 Vậy thể tớch của khối hỡnh hộp chữ nhật bằng: V A' A. AB2 = . 2a 2 = a3 . 3 3 Cõu 71. (Đề thi THPT Quốc Gia – Đợt 1 - Năm 2021 –Mó đề 103) Cho khối hộp chữ nhật ABCD  A B C D cú đỏy là hỡnh vuụng, BD 2a , gúc giữa hai mặt phẳng A BD và (ABCD) bằng 60 . Thể tớch của khối hộp đó cho bằng 2 3 2 3 A. a3 B. 6 3a3 C. a3 D. 2 3a3 9 3 Lời giải Chọn D. Gọi O AC  BD . A BD  (ABCD) BD 0 ã Ta cú: A O  BD 60 A OA AC  BD  2 Tam giỏc AA O cú: AA tan 60 .OA 3a và SABCD 2a Vậy V AA  S 2 3a3 . ABCD.A B C D ABCD Cõu 72. (Đề thi THPT Quốc Gia – Đợt 1 - Năm 2021 –Mó đề 104) Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D cú đỏy là hỡnh vuụng BD 4a , gúc giữa hai mặt phẳng A BD và ABCD bằng 600 . Thể tớch của khối hộp chữ nhật đó cho bằng 16 3 16 3 A. 48 3a3 . B. a3 . C. a3 . D. 16 3a3 . 9 3 Lời giải Chọn D.
  35. Ta cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cú BD 4a AB 2 2a . Gọi I trung điểm BD. Vỡ BD 4a BI AI 2a . A A Tam giỏc A AI vuụng tại A cú: tan 600 A A 2 3a . AI 2 3 Thể tớch của khối hộp chữ nhật đó cho bằng: V SABCD .A A 2 2a .2 3a 16 3a . Cõu 73. Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A'B'C ' cú AB a, gúc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng ABC bằng 45. Thể tớch khối lăng trụ ABC.A'B'C ' bằng a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 12 6 Lời giải Chọn A. ã Cú: (A 'C,(ABC ))= Ã'CA = 45° . ã AA ' Xột tam giỏc A 'AC vuụng tại A, ta cú: tanA 'CA = ị AA ' = a. AC a2 3 a3 3 Thể tớch khối lăng trụ ABC.A'B'C ' là: V AA'.S a. . ABC 4 4 Cõu 74. Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C cú AB 4a , gúc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng ABC bằng 45o . Thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C bằng a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. 16a3 3 . D. . 4 2 6
  36. Lời giải Chọn C C' A' B' 0 C 45 4a A 4a 4a B ABC.A B C là lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C là lăng trụ đứng và đỏy là tam giỏc đều. Ta cú: A A  ABC ãA C, ABC ãA CA 45o A AC vuụng cõn tại A A A AC 4a . AB 2 3 4a 2 3 S 4a2 3 V AA .S 4a.4a2 3 16a3 3 . ABC 4 4 ABC.A'B'C ' ABC Cõu 75. Cho lăng trụ đều ABC.A B C . Biết rằng gúc giữa A BC và ABC là 30, tam giỏc A BC cú diện tớch bằng 8 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C . A. 8 3 . B. 8 . C. 3 3 . D. 8 2 . Lời giải Chọn A Đặt AB x, x 0 , gọi M là trung điểm BC . A BC ABC BC ã Ta cú AM  BC A BC , ABC ãA MA 30 . A M  BC AM x 3 2 Xột A AM , cú A M . x . cos30 2 3 A' C' B' A 30° C x M B 1 S 8 A M.BC 8 x2 16 x 4 A BC 2
  37. 4. 3 1 16. 3 Suy ra A A AM.tan30 . 2 ; S 4 3 . 2 3 ABC 4 Vậy VABC.A B C A A.SABC 2.4 3 8 3 . a2 3 Cõu 76. Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A' B 'C ' cú diện tớch đỏy bằng . Mặt phẳng A' BC hợp 4 với mặt phẳng đỏy một gúc 600 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. 3a3 3 a3 3 5a3 3 3a3 2 A. B. C. D. 8 8 12 8 Lời giải Chọn A a2 3 Vỡ đỏy ABC là tam giỏc đều cú diện tớch bằng cạnh đỏy bằng a . 4 BC  AM Gọi M trung điểm BC , ta cú BC  A'M BC  AA' Từ đú ta cú ã A' BC , ABC ãA'M , AM ãA'MA 600 . 3a Xột A' AM ta cú AA' AM.tan 600 2 3a3 3 Thể tớch lăng trụ ABC.A' B 'C ' là V AA'.S ABC.A'B'C ' ABC 8 Cõu 77. Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C cú cạnh đỏy bằng a và AB vuụng gúc với BC . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ đó cho. a3 6 a3 6 7a3 A. V . B. V . C. V a3 6 . D. V . 4 8 8 Lời giải Chọn B
  38.     Đặt x BA , y BC , z BB , theo giả thiết AB  BC nờn     2  2  AB .BC 0 z x y z 0 z.y z x.y x.z 0 z x.y 2  a2 a 2 z x y cos60o z 2 2 1 6a3 Vậy V AB.AC.sin 60o.BB ABC.A'B'C ' 2 8 Cõu 78. Cho lăng trụ đứng tam giỏc ABC.A' B 'C ' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B với BA BC a , biết A' B tạo với mặt phẳng ABC một gúc 600 . Thể tớch khối lăng trụ đó cho bằng a3 3 a3 3 a3 A. 2a3 . B. . C. . D. . 6 2 2 Lời giải Chọn C Gúc giữa đường thẳng A' B và mặt phẳng ABC là ãA' BA 600 A' A AB.tan 600 a 3 . 1 a2 a3 3 Cú S BA.BC V S .A' A . ABC 2 2 ABC.A'B'C ' ABC 2 Cõu 79. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A , BC = a 2, A' B tạo với đỏy một gúc bằng 600 . Thể tớch của khối lăng trụ bằng 3a3 3a3 3a3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 2 Lời giải Chọn A
  39. 1 1 ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A , BC = a 2 ị AB = AC = a ị S = a.a = a2 . DABC 2 2 A' B tạo với đỏy một gúc bằng 600 ị Bã A' B ' = 600 . BB ' D BA' B ': tan Bã A' B ' = = 3 ị BB ' = 3A' B ' = a 3. v A' B ' 1 3a3 Thể tớch khối lăng trụ ABC.A'B'C'là: V = BB '.S = a 3. a2 = . ABC.A'B'C ' DABC 2 2 Cõu 80. Cho khối lăng trụ đứng tam giỏc ABC.A B C cú đỏy là một tam giỏc vuụng tại A . Cho AC AB 2a , gúc giữa AC và mặt phẳng ABC bằng 30 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C . 2a3 3 a3 3 5a3 3 4a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D 1 Diện tớch tam giỏc ABC : S AB.AC 2a2 . ABC 2 Hỡnh chiếu vuụng gúc của AC lờn ABC là AC . Gúc giữa AC và mặt phẳng ABC là gúc tạo bởi giữa đường thẳng AC và AC hay Cã AC Theo bài ra cú Cã AC 30. 2a 3 Xột tam giỏc C CA vuụng tại C cú CC AC.tan 30 . 3
  40. 2a 3 4a3 3 Thể tớch của khối lăng trụ ABC.A B C là V CC .S .2a2 . ABC.A B C ABC 3 3 Cõu 81. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A , ãACB 30 , biết 1 gúc giữa B 'C và mặt phẳng ACC ' A' bằng thỏa món sin . Cho khoảng cỏch giữa hai đường 2 5 thẳng A' B và CC ' bằng a 3 . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. 3a3 6 A. V a3 6 . B. V . C. V a3 3 . D. V 2a3 3 . 2 Lời giải Chọn D * Ta cú: CC //AA CC // AA B B Mà A' B  AA' B ' B , nờn d CC '; A' B d CC '; AA' B ' B C ' A' a 3 * Ta cú: AC A'C ' a 3; AB A' B ' a; a2 3 Diện tớch đỏy là B dt ABC 2 * Dễ thấy A' B '  ACC ' A' Gúc giữa B 'C và mặt phẳng ACC ' A' là Bã 'CA' A' B ' 1 sin B 'C 2a 5 B 'C 2 5 CC ' B 'C 2 B 'C '2 20a2 4a2 4a a2 3 * Thể tớch lăng trụ là V B.h với h CC ' V .4a 2a3 3. 2 Cõu 82. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc cõn với AB AC a , Bã AC 120 . Mặt phẳng (AB C ) tạo với đỏy một gúc 60 . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ đó cho. 3a3 9a3 a3 3a3 A. V B. V C. V D. V 8 8 8 4
  41. Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm của B C , khi đú gúc giữa mp AB C và đỏy là gúc ãAHA 60 . 1 a2 3 Ta cú S AC.AB.sin120 . ABC 2 4 1 2S a B C BC AB2 AC 2 2AB.AC.cos120 a2 a2 2.a.a. a 3 A H ABC 2 B C 2 a 3 AA A H.tan 60 . 2 3a3 Vậy V S .AA . ACB 8 Cõu 83. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a và A' BC hợp với mặt đỏy ABC một gúc 30 . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. a3 3 a3 3 a3 3 3a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 12 24 8 Lời giải Chọn A
  42. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn BC . Suy ra AH  BC . A'H  BC . Mà ABC  A'BC BC Gúc giữa A'BC và ABC bằng gúc AH; A'H ãAHA' 30 . a 3 a Ta cú: ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a nờn AH , A' A AH.tan 30 . 2 2 a a2 3 a3 3 Thể tớch khối lăng trụ ABC.A'B'C ' là V A' A.S ABC  . 2 4 8 Cõu 84. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A và AB a , AC a 3 , mặt phẳng A BC tạo với đỏy một gúc 30 . Thể tớch của khối lăng trụ ABC.A B C bằng a3 3 a3 3 3 3 a3 3 a3 A. . B. . C. . D. . 12 3 4 4 Lời giải Chọn D * Xỏc định gúc giữa mặt phẳng A BC và mặt phẳng đỏy: Trong mặt phẳng ABC , dựng AH  BC với H nằm trờn cạnh BC . Theo định lý ba đường vuụng gúc, ta cú: A H  BC . Vậy ã A BC ; ABC ãA HA 30 1 1 1 1 1 a 3 * Xột tam giỏc ABC cú: AH . AH 2 AB2 AC 2 a2 3a2 2 AB.AC a2 3 Diện tớch B của tam giỏc ABC là: B . 2 2 a * Xột tam giỏc A HA vuụng tại A , ta cú: A A AH.tan 30 . Thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C bằng 2 a2 3 a 3 a3 V B.h . . 2 2 4 Cõu 85. Cho hỡnh lăng trụ đứng, cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A , AB = a 2 , gúc giữa mp (AB 'C ') và mp(ABC)bằng 600. Thể tớch khối lăng trụ bằng
  43. A. 3a3 . B. 3 3a3 . C. a3 . D. 3a3 . Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm của cạnh B 'C '. Ta cú gúc giữa mp(AB 'C ') và mp(ABC) bằng gúc giữa mp(AB 'C ') và mp(A' B 'C ') Ta cú B 'C ' = (AB 'C ') ầ(A' B 'C ') Vỡ ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A nờn hai mặt bờn ABB ' A ' và ACC ' A' là hai hỡnh chữ nhật bằng nhau, do đú AC ' = AB ' ị DAB 'C ' là tam giỏc cõn tại A ị AI ^ B 'C ' Vỡ DA' B 'C ' là tam giỏc vuụng cõn tại A ' nờn A' I ^ B 'C ' . Như vậy gúc giữa mp(AB 'C ') và mp (ABC) bằng ãAIA' = 600 1 Ta cú A' I = BC = a ị AA' = A' I.tan 600 = a 3 2 1 2 ị V = AA'.S = a 3. a 2 = a3 3 ABC.A'B'C ' ABC 2( ) Cõu 86. Cho hỡnh lăng trụ đều ABC.AÂBÂCÂ. Biết khoảng cỏch từ điểm C đến mặt phẳng (ABCÂ) bằng a 1 , gúc giữa hai mặt phẳng (ABCÂ) và (BCCÂBÂ) bằng với cos = . Tớnh thể tớch khối lăng trụ 2 3 ABC.AÂBÂCÂ. 3a3 2 3a3 2 a3 2 3a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 2 2 8 Lời giải Chọn B
  44. A' C' E B' K y α a A C M x B Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC ùỡ AB ^ CCÂ Do ớù ị AB ^ (MCCÂ)ị (ABCÂ)^ (MCCÂ). ợù AB ^ CM Kẻ CK vuụng gúc với CM tại K thỡ ta được CK ^ (ABCÂ), do đú CK = d (C;(ABCÂ))= a . x 3 Đặt BC = x,CCÂ= y,(x > 0, y > 0), ta được: CM = 2 1 1 1 4 1 1 + = Û + = (1). CM 2 CCÂ2 CK 2 3x2 y2 a2 KC a 12 Kẻ CE ^ BCÂ tại E , ta được Kã EC = , EC = = = a . sin 1 11 1- 12 1 1 1 11 Lại cú + = = (2). x2 y2 CE 2 12a2 a 6 Giải (1),(2) ta được x = 2a, y = . 2 x2 3 a 6 4a2 3 3 2a3 Thể tớch khối lăng trụ ABC.AÂBÂCÂ là: V = y. = . = 4 2 4 2 Cõu 87. Cho khối lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C cú A B a 6 , đường thẳng A' B vuụng gúc với đường thẳng B C . Tớnh thể tớch khối lăng trụ đó cho theo a . a3 6 3a3 9a3 A. . B. a3 6 . C. . D. . 3 4 4 Lời giải Chọn A
  45. Dựng hỡnh hộp ABCD.ABCD khi đú tứ giỏc ABCD là hỡnh thoi. Đặt AB x AD x Tam giỏc ABD cú gúc Bã AD 120 ỏp dụng định lý cụsin ta cú: BD2 AB2 AD2 2AB.AD.cos BAD x2 x2 2x.x.cos120 3x2 Ta cú: A'B a 6 A D a 6 Ta cú: A D//B C A B  A D A BD vuụng tại A BD2 A' B2 A D2 3x2 12a2 x2 4a2 x 2a Chiều cao hỡnh trụ AA 2 A B2 AB2 6a2 4a2 2a2 AA a 2 1 1 1 3 6a3 V AA .S a 2. .2a.2a. . ABC.A B C 3 ABC 3 2 2 3 Cõu 88. Cho khối lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' cú cạnh đỏy bằng a . Khoảng cỏch từ điểm A' đến mặt 2a 3 phẳng AB 'C ' bằng . Thể tớch của khối lăng trụ đó cho là 19 a3 3 a3 3 a3 3 3a3 A. B. C. D. 4 6 2 2 Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của B 'C ' . AA'  B 'C ' Ta cú B 'C '  AA'M AB 'C '  AA'M theo giao tuyến AM . A'M  B 'C ' Kẻ A' H  AM trong mặt phẳng AA'M , suy ra A' H  AB 'C ' . 2a 3 Vậy khoảng cỏch từ A' đến mặt phẳng AB 'C ' là A' H . 19
  46. 1 1 1 1 1 1 1 Ta cú A' A 2a . A' H 2 A' A2 A'M 2 A' A2 A' H 2 A'M 2 4a2 a2 3 a3 3 Vậy thể tớch khối lăng trụ là V AA'.S 2a. . A'B'C ' 4 2 Cõu 89. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C đỏy là tam giỏc vuụng cõn tại B , AC a 2 , biết gúc giữa A BC và đỏy bằng 60 . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ. a3 3 a3 3 a3 3 a3 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 3 6 6 Lời giải Chọn A Tam giỏc ABC vuụng cõn tại B , AC a 2 AB BC a . a2 S . ABC 2 Gúc giữa A BC và đỏy là gúc ãA BA 60 . A A AB.tan 60 a 3 . a2 a3 3 V S .A A .a 3 . ABC.A B C ABC 2 2
  47. Cõu 90. Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C cú gúc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng 60 , cạnh AB a . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ ABC.A B C . 3 3 3 3 A. V a3 . B. V a3 . C. V a3 . D. V 3a3 . 4 4 8 Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của BC suy ra AM  BC 1 BC  AM Ta cú BC  A M 2 BC  AA Mặt khỏc ABC  A BC BC 3 Từ 1 , 2 , 3 suy ra ãABC ; A BC ãA MA 60 . a2 3 a 3 Vỡ tam giỏc ABC đều nờn S và AM . ABC 4 2 3a Ta cú AA AM.tan 60 . 2 3a a2 3 3a3 3 Vậy V AA .S . . ABC.A B C ABC 2 4 8 Cõu 91. Cho khối lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C cú cạnh đỏy là a và khoảng cỏch từ A đến mặt a phẳng A BC bằng . Thể tớch của khối lăng trụ bằng: 2 3 2a3 2a3 3a3 2 3a3 2 A. . B. . C. . D. . 12 16 16 48 Lời giải Chọn C
  48. Gọi I là trung điểm của BC và H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn A I . Khi đú ta cú: a d A, A BC AH . 2 Trong tam giỏc vuụng AA I ta cú: 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AH AA AI AA AH AI a a 3 a 3a 3a 2 2 a 6 Suy ra: AA . 4 a2 3 a 6 3a3 2 Thể tớch khối lăng trụ là: V S .AA  . ABC 4 4 16 Cõu 92. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc cõn với AB AC a, Bã AC 120 , mặt phẳng (A BC ) tạo với đỏy một gúc 60 . Tớnh thể tớch của khối lăng trụ đó cho 3a3 9a3 3a3 3 3a3 A. V . B. V . C. . D. V . 8 8 8 8 Lời giải Chọn D Hạ B I  A C . Khi đú ta cú ãA BC , ABC Bã IB 60
  49. B I a 3 Vỡ Bã A C 120 Bã A I 60 . Do đú sin 60 B I . B A 2 BB BB a 3 3a Suy ra tan Bã IB tan 60 BB . 3 B I B I 2 2 1 1 a a2 3 Mặt khỏc S .AI.BC . .a 3 . ABC 2 2 2 4 a2 3 a3 3 3a3 Vậy thể tớch khối chúp là V B.h . . 4 2 8 Cõu 93. Cho hỡnh lăng trụ đều ABC.A B C cú cạnh đỏy bằng a . Đường thẳng AB tạo với mặt phẳng BCC B một gúc 30 . Thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C theo a . 3a3 a3 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 4 12 4 Lời giải Chọn D Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Do ABC.A B C là hỡnh lăng trụ tam giỏc đều nờn ta cú AM  BCC B AB , BCC B ãAB M 30. AM AM 3a Xột tam giỏc vuụng AB M ta cú tan 30 AB AB . AB tan 30 2 9a2 a2 Xột tam giỏc vuụng B BM ta cú BB B M 2 BM 2 a 2 . 4 4 1 a3 6 Thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C là V AB.AC.sin 60.BB . ABC.A B C 2 4 Cõu 94. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A B C , biết đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a . Khoảng cỏch từ tõm a O của tam giỏc ABC đến mặt phẳng A BC bằng . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C . 6
  50. 3a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2 A. . B. . C. . D. . 8 28 4 16 Lời giải Chọn D a2 3 Diện tớch đỏy là B S . ABC 4 Chiều cao là h d ABC ; A B C AA . Do tam giỏc ABC là tam giỏc đều nờn O là trọng tõm của tam giỏc ABC . Gọi I là trung điểm của BC , H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn A I ta cú AH  A BC d A; A BC AH d O; A BC IO 1 d A; A BC AH a a d O; A BC AH d A; A BC IA 3 3 3 6 2 Xột tam giỏc A AI vuụng tại A ta cú: 1 1 1 1 1 1 a 3 a 3 3a3 2 AA h V . AH 2 AA 2 AI 2 AA 2 AH 2 AI 2 2 2 2 2 ABC.A B C 16 Cõu 95. Cho một lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C cú cạnh đỏy bằng a , gúc giữa A C và mặt phẳng đỏy bằng 60 . Tớnh diện tớch xung quanh Sxp của hỡnh nún cú đỏy là đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC và đỉnh là trọng tõm của tam giỏc A B C . A' B' C' A B C a2 333 a2 333 a2 111 a2 111 A. S . B. S . C. S . D. S . xq 36 xq 6 xq 6 xq 36 Lời giải Chọn A
  51. A' B' G' C' A B G M C Ta cú ãA C; ABC ãA CA 60 suy ra AA AC.tan 60 3a . 1 1 3a 3 3a2 111a Cú r GM AM . a và l G M G G2 GM 2 3a2 . 3 3 2 6 36 6 3 111 a2 333 Vậy S rl . a. a . xp 6 6 36